Inecuaciones lineales y cuadraticas COMIL - enrique0975

EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

1. INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Conjunto solución, gráfica y Comprobación. enrique0975

2. INECUACIONES LINEALES -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ] ( -  +  Esto quiere decir que son todos los valores incluidos el -2 hacia el infinito negativo COMPROBACIÓN x + 15  3 – 7x - (- 2) + 15  3 – 7(-2) 2 + 15  3 +14 17  17 x  (- , -2] Conjunto solución x + 15  3 – 7x - (- 5) + 15  3 – 7(-5) 5 + 15  3 + 35 20  38 x + 15  3 – 7x - (- 8) + 15  3 – 7(-8) 8 + 15  3 + 56 23  59 EJERCICIO 1

3. INECUACIONES LINEALES -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 [ ) -  +  Esto quiere decir que son todos los valores incluidos el -8/5 hacia el infinito positivo COMPROBACIÓN x  [- 8/5, +) Conjunto solución -8  5 = -1,6 Solo se hace la división para saber donde va representado en la recta -8/5 x + 11  3 – 4x -1 + 11  3 – 4(-1) 10  3 + 5 10  8 x + 11  3 – 4x 2 + 11  3 – 4(2) 13  3 – 6 13  - 3 EJERCICIO 2

4. INECUACIONES LINEALES -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 [ ) -  +  Esto quiere decir que son todos los valores incluido el 2 hacia el infinito positivo COMPROBACIÓN x  [- 2, +) Conjunto solución x – 13  3 + 7x - x – 7x  3 + 13 - 8x  16 - 8x (-1)  16(-1) 8x  -16 x  -16/8 x  -2 x – 13  3 + 7x - (-2) – 13  3 + 7(-2) 2 – 13  3 – 14 -11  -11 x – 13  3 + 7x - (-1) – 13  3 + 7(-1) 1 – 13  3 – 7 -12  - 4 x – 13  3 + 7x - (3) – 13  3 + 7(3) -3 – 13  3 + 21 -16  24 EJERCICIO 3

5. INECUACIONES LINEALES -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ] ( -  +  Esto quiere decir que son todos los valores incluido el 5/3 hacia el infinito negativo COMPROBACIÓN x  (-, 5/3] Conjunto solución 2x + 11  6 + 5x 2x – 5x  6 – 11 – 3x  – 5 – 3x(-1)  – 5(-1) 3x  5 x  5/3 5  3 = 1,6666…. Solo se hace la división para saber donde va representado en la recta 5/3 2x + 11  6 + 5x 2(1) + 11  6 + 5(1) 2 + 11  6 + 5 13  11 2x + 11  6 + 5x 2(-2) + 11  6 + 5(-2) -4 + 11  6 – 10 7  – 4 EJERCICIO 4

6. INECUACIONES LINEALES -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 [ ) -  +  Esto quiere decir que son todos los valores incluido el -37/49 hacia el infinito positivo COMPROBACIÓN x  [-37/49, +) Conjunto solución -37  49 = - 0.7551 Solo se hace la división para saber donde va representado en la recta -37/49 Siguiente página EJERCICIO 5

7. COMPROBACIÓN ejercicio anterior

8. INECUACIONES LINEALES -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ] ( -  +  Esto quiere decir que son todos los valores incluido el 63/22 hacia el infinito negativo COMPROBACIÓN x  (-, 63/22] Conjunto solución 63  22 = 2.8636….. Solo se hace la división para saber donde va representado en la recta 63/22 Siguiente página EJERCICIO 6

9. COMPROBACIÓN ejercicio anterior

10. INECUACIONES LINEALES -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ( -  +  Esto quiere decir que son todos los valores SIN incluir el 1 hacia el infinito positivo COMPROBACIÓN x  (1, +) Conjunto solución Siguiente página EJERCICIO 7

11. INECUACIONES CUADRÁTICAS

12. INECUACIONES CUADRÁTICAS NOTA: Siempre en esta parte debe existir un x 2 para que sea inecuación cuadrática, se lo puede resolver de dos maneras: por factorización (en caso que se pueda factorizar ) o con la fórmula cuadrática. El trinomio 3x 2 + 2x + 10 no se puede factorizar como trinomio de la forma ax 2 +bx+c entonces aplicamos la fórmula cuadrática: NOTA: NO existe la raíz de un número negativo, este se lo conoce como imaginario. Cuando suceda esto debemos dar un valor cualquiera sea positivo, negativo o cero y reemplazar la “x” por el valor que escojamos en la inecuación 3x 2 + 2x + 10  0, vemos que el signo de esta inecuación es mayor que (>) entonces nuestro resultado debe ser positivo. SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA a=3 b=2 c=10 EJERCICIO 8

13. 3x 2 + 2x + 10 > 0 3(2) 2 + 2(2) + 10 > 0 3(4) + 4+ 10 > 0 12+ 4+ 10 > 0 26 > Reemplazamos la “x” por un valor cualquiera, para esta demostración vamos a tomar un número positivo, uno negativo y el cero. Para ver que sucede. Pero no es necesario que hagan con tres números, suficiente con un número. Reemplazando un número positivo 3x 2 + 2x + 10 > 0 3(-3) 2 + 2(-3) + 10 > 0 3(9) – 6 + 10 > 0 27 – 6 + 10 > 0 31 > Reemplazando un número negativo 3x 2 + 2x + 10 > 0 3(0) 2 + 2(0) + 10 > 0 0 – 0 + 10 > 0 10 > Reemplazando por el cero (0) Como vemos en la demostración para los 3 casos satisface la inecuación entonces la respuesta es todos los números reales (R). En caso que la respuesta hubiera sido negativa o contraria al signo > o < (Ejemplo: – 8 > 0 o 5 < 0) el conjunto no tiene solución. x  (R) o (-, +) Conjunto solución -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ( -  +  Esto quiere decir que “x” pertenece al conjunto de los números reales (R)

14. INECUACIONES CUADRÁTICAS a=2 b=7 c=3 NOTA: Como mencione anteriormente se los puede realizar por los 2 métodos, factorizar o fórmula general , todos los ejercicios los vamos a hacer por fórmula general. SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA EJERCICIO 9

15. 2x 2 + 7x + 3 < 0 2(-4) 2 + 7(-4) + 3 > 0 2(16) – 28 + 3 > 0 32 – 28 + 3 > 7 < Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica Reemplazando un número entre -  y -3 Reemplazando un número entre -3 y -1/2 Reemplazando un número entre -1/2 y + x  (-3, -1/2) Conjunto solución -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ) ( -  +  -1/2 2x 2 + 7x + 3 < 0 2(-2) 2 + 7(-2) + 3 > 0 2(4) – 14 + 3 > 0 8 – 14 + 3 > -3 < 2x 2 + 7x + 3 < 0 2(0) 2 + 7(0) + 3 > 0 0 – 0 + 3 > 0 3 > NO satisface la inecuación NO satisface la inecuación SI satisface la inecuación -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -  +  -1/2 ( ) Esto quiere decir que “x” pertenece a los números entre -3 y -1/2 SIN incluir al -3 y al -1/2

16. INECUACIONES CUADRÁTICAS a= -6 b= 9 c= -70 -6x 2 + 9x – 70  0 -6(0)2 + 9(0) – 70  0 0 + -10  0 - 10  0 Reemplazamos en valor de “x” por un número cualquiera NO satisface la inecuación x  () o NO tiene solución Conjunto solución EJERCICIO 10

17. INECUACIONES CUADRÁTICAS a= 2 b= 26 c= 27 SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA EJERCICIO 11

18. 2x 2 + 26x + 27  2(-12) 2 + 26(-12) + 27  2(144) – 312 + 27  288 – 312 + 27  3  Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica Reemplazando un número entre -  y -11.8619 Reemplazando un número entre -11.8619 y 1.1381 Reemplazando un número entre 1.1381 y + x  (-, -11.8619] U [1.1381, +) Conjunto solución -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 ) ( -  +  1.1381 NO satisface la inecuación SI satisface la inecuación -11.8619 2x 2 + 26x + 27  2(-2) 2 + 26(-2) + 27  2(4) – 52 + 27  8 – 52 + 27  -17  2x 2 + 26x + 27  2(2) 2 + 26(2) + 27  2(4) + 52 + 27  8 + 52 + 27  8 7  SI satisface la inecuación -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 ) ( -  +  1.1381 -11.8619 [ ]

19. INECUACIONES CUADRÁTICAS a= -4, b= -33, c= -7 SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA EJERCICIO 12

20. -4x 2 – 33x – 7  - 4(-9) 2 – 33(-9) – 7  -4(81)+ 297 – 7  324 + 297 – 7  0 -34  0 Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica Reemplazando un número entre -  y -0.2821 Reemplazando un número entre -0.2821 y 8.0321 Reemplazando un número entre 8.0321 y + x  [-8.0321, -0.2821] Conjunto solución -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 ) ( -  +  -8.0321 NO satisface la inecuación SI satisface la inecuación -0.2821 -4x 2 – 33x – 7  - 4(-2) 2 – 33(-2) – 7  - 4(4) + 66 – 7  16 + 66 – 7  0 43  0 -4x 2 – 33x – 7  - 4(2) 2 – 33(2) – 7  - 4(4) – 66 – 7  16 – 33 – 7  0 -56  0 NO satisface la inecuación -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 ] [ -  +  -8.0321 -0.2821

21. INECUACIONES CUADRÁTICAS SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA EJERCICIO 13

22. x 2 – x – 6 < (-3) 2 – (-3) – 6 < 9 + 3 – 6 < 12 < 0 Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica Reemplazando un número entre -  y -2 Reemplazando un número entre -2 y 3 Reemplazando un número entre 3 y + x  (-2, 3) Conjunto solución -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 ) ( -  +  NO satisface la inecuación SI satisface la inecuación NO satisface la inecuación x 2 – x – 6 < (0) 2 – (0) – 6 < 0 + 0 – 6 < -6 < 0 x 2 – x – 6 < (4) 2 – (4) – 6 < 16 – 4 – 6 < 6 < 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 ) ( -  + 

23. INECUACIONES CUADRÁTICAS SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA EJERCICIO 14

24. -x 2 – 2x + 8 < -(-5) 2 – 2(-5) + 8 < -25 + 10 + 8 < -7 < 0 Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica Reemplazando un número entre -  y -4 Reemplazando un número entre -4 y 2 Reemplazando un número entre 2 y + x  (-, -4) U (2, +) Conjunto solución -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ) ( -  +  NO satisface la inecuación SI satisface la inecuación -x 2 – 2x + 8 < -(0) 2 – 2(0) + 8 < -0 + 0 + 8 < 8 < 0 -x 2 – 2x + 8 < -(3) 2 – 2(3) + 8 < -9 – 6 + 8 < - 7 < 0 SI satisface la inecuación -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ) ( -  +  ) (

25. INECUACIONES CUADRÁTICAS EJERCICIO 15 2x 2 + 5x + 6 < 2(0) 2 + 5(0) + 6 < 0 + 0 + 6 < 0 6 < 0 NO satisface la inecuación x  () o NO tiene solución Conjunto solución

26. INECUACIONES CUADRÁTICAS EJERCICIO 16 -x 2 + 3x – 4 < -(0) 2 + 3(0) – 4 < -0 + 0 – 4 < – 4 < SI satisface la inecuación x  (R) o (-, +) Conjunto solución -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ( -  +  Esto quiere decir que “x” pertenece al conjunto de los números reales (R)

27. INECUACIONES CUADRÁTICAS EJERCICIO 17 SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA

28. 2 x 2 + 5x – 3 < 2(2) 2 + 5(2) – 3 < 2(4) + 10 – 3 < 8 + 10 – 3 < 0 15 < 0 2 x 2 + 5x – 3 < 2(-4) 2 + 5(-4) – 3 < 2(16) – 20 – 3 < 32 – 20 -3 < 0 9 < 0 Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica Reemplazando un número entre -  y -3 Reemplazando un número entre -3 y 1.5 Reemplazando un número entre 1.5 y + x  (-3, 1/2) U (1.5, +) Conjunto solución -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ) ( -  +  NO satisface la inecuación NO satisface la inecuación SI satisface la inecuación -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ) ( -  +  2 x 2 + 5x – 3 < 2(-1) 2 + 5(-1) – 3 < 2(1) – 5 – 3 < 2 – 5 – 3 < 0 – 6 < 0 1/2

29. INECUACIONES CUADRÁTICAS EJERCICIO 18 SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA

30. 6x 2 + 31x + 18  6(-6) 2 + 31(-6) + 18  6(36) – 186 + 18  216 – 186 + 18  48  Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica Reemplazando un número entre -  y -4.5 Reemplazando un número entre -4.5 y -0.6666 Reemplazando un número entre -0.6666 y + x  (-9/2, -2/3) Conjunto solución -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ) ( -  +  NO satisface la inecuación NO satisface la inecuación SI satisface la inecuación 6x 2 + 31x + 18  6(-2) 2 + 31(-2) + 18  6(4) – 62 + 18  24 – 62 + 18  – 20  6x 2 + 31x + 18  6(1) 2 + 31(1) + 18  6(1) + 31 + 18  6 + 31 + 18  55  -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ) ( -  +  [ ] -4.5 -0.666