INECUACIONES POLINOMICAS EXAMEN DE ADMISIÓN

Teoria de inecuaciones

1. INECUACIONES POLINÓMICAS

2. INTRODUCCIÓN Las inecuaciones polinómicas son fundamentales en diversas áreas, como la optimización, la física, la economía, la medicina y la ingeniería. Su evolución histórica muestra cómo las matemáticas han progresado desde la resolución de problemas prácticos hacia la formalización y el análisis abstracto, lo que ha ampliado sus aplicaciones y comprensión. Resolver inecuaciones polinómicas combina conceptos de álgebra, como factorización y análisis de signos, con métodos gráficos y numéricos.

3. Las inecuaciones polinómicas tienen la forma: INECUACIÓN POLINÓMICAS Y son llamadas también inecuaciones de orden superior. Para un polinomio de grado n, con coeficientes reales:     ….(1) ….(2)

4.   Existen n números reales (no necesariamente distintos) tales que:     …(3) Si uno de los factores de (3) es , entonces se dice que r es un cero o raíz de : si m de estos factores son precisamente , r se llama cero de multiplicidad m.   Se dice que un valor crítico es un cero simple si su multiplicidad es uno, es todo caso, se dice que es un cero múltiple. Por ejemplo, si:   Entonces: 1 es un cero de multiplicidad 2 -1 es un cero de multiplicidad simple 4 es un cero de multiplicidad 3

5. Existen tres casos pare resolver inecuaciones polinómicas y son los siguientes: CASO I. Los ceros de polinomios son multiplicidad simple, es decir, son reales y diferentes. Esto es:     Donde:   Los pasos a seguir son los siguientes Se halla los valores críticos factorizando el polinomio y resolviendo la ecuación .   (2) Se ubica los valores críticos sobre una recta real y se señala los intervalos de variación.

6. (3) Se anota con signo (+) el último intervalo , luego en los demás intervalos se alterna los signos (-), (+), (-), …, de derecha a izquierda.   (4) El conjunto solución lo conforman la unión de intervalos con signo positivo si , o la unión de intervalos con signo (-) si .   Observación. Las inecuaciones de la forma       Donde son polinomios no nulos de grado mayor que dos también pueden ser resueltos por el método de los valores críticos, teniendo cuidado en restringir las raíces de .  

7. CASO II. Los factores son todos lineales y algunos son ceros de multiplicidad múltiple. Supongamos que es el factor que se repite m veces, entonces puede ocurrir lo siguiente:   Si m es par, los signos de los intervalos donde figure son iguales, es decir, son alternados. Entonces se elimina el factor y se trabaja con los demás factores como el caso I. Esto es, si:   (restricción)   b) (restricción)  

8. c)     Obsérvese que en las desigualdades estrictas se restringe la raíz , lo contrario sucede para desigualdades no estrictas .   B) Si m es impar, el factor tiene el mismo signo del factor , en consecuencia, la inecuación se resuelve como el casi I, esto es, si:      

9. CASO III. Cuando los factores son lineales y cuadráticos, siendo los ceros del factor cuadrático no reales.  

10. EJEMPLOS Resolver las siguientes inecuaciones:     3 .       6.   7.  

11. SITUACIONES PROBLEMATICAS 1. Dos empresas, A y B, compiten en un mercado. Sus ingresos netos (en miles de soles) en función del tiempo x (en años) están modelados por las funciones: . La empresa A quiere asegurarse de que sus ingresos sean mayores que los de la empresa B. ¿Durante qué años (valores de 𝑥) la empresa A tendrá mayores ingresos?  

12. 2. Una empresa dedicada a la venta de automóviles, ofrece dos opciones de pago a sus trabajadores según las ventas del mes. Las opciones están expresadas por los siguientes polinomios y , donde x representa las ventas mensuales. Juan, un estudiante de la UNC, desea saber cuantos vehículos debe vender para que su mejor sueldo sea la segunda opción.  

13. 3. Un negocio de transporte tiene un ingreso promedio diario (en soles) dado por: donde 𝑥 es el número de viajes realizados por día. Si el ingreso diario debe ser al menos 100 soles para cubrir los costos operativos, ¿cuántos viajes debe realizar el negocio cada día para garantizar su sostenibilidad?  

14. 4. La ganancia mensual de una empresa (en miles de soles) está dada por: donde es el número de productos vendidos (en miles). La empresa desea que sus ganancias sean mayores a 50 mil soles. ¿Cuántos productos debe vender como mínimo para alcanzar este objetivo?