Inecuaciones y sistemas

Nivel: 4º ESO o 1º de Bachillerato
Contenido: Inecuaciones de primer grado y una incógnita, inecuaciones polinomicas de grado mayor que 1 y una incógnita, inecuaciones racionales, inecuaciones lineales de 2 incógnitas y sistemas de inecuaciones.

1. Prof. Carlos A. Blanco Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

2. Definiciones básicas. Desigualdades Reglas de equivalencia de las desigualdades Inecuaciones lineales de una incógnita Inecuaciones polinómicas Inecuaciones racionales Inecuaciones lineales de dos incógnitas Sistemas de inecuaciones ÍNDICE

3. Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. Hay que notar que siendo desigualdades, debemos conocer las desigualdades que hay: < es “menor que” y lo entendemos como una desigualdad estricta: Se tiene que pero por el contrario es “menor o igual que” y aquí si damos la posibilidad de que ambos miembros sean iguales: así como > es “mayor que” y, al igual que antes, lo entendemos como una desigualdad estricta: Se tiene que pero por el contrario es “mayor o igual que” y, como antes, también damos la posibilidad de que ambos miembros sean iguales: así como Las soluciones de una inecuación, por lo general, serán conjuntos de puntos que cumplan las desigualdades. Normalmente se podrán expresar en términos de intervalos.   DEFINICIONES BÁSICAS

4. Son conocidas como reglas de monotonía y son similares a las reglas de la suma y del producto para las ecuaciones: Si se tiene una desigualdad Y se tiene una expresión c cualquiera, entonces se tiene que: Si se tiene una desigualdad Y se tiene un número real cualquiera, entonces se tiene que: Si por último se tiene una desigualdad Y se tiene un número real cualquiera, entonces se tiene que:   REGLAS DE EQUIVALENCIA

5.     Como consecuencia, a la hora de despejar: Si la incógnita está multiplicada por un número positivo, podemos despejar como habitualmente manteniendo la desigualdad Si la incógnita está multiplicada por un número negativo, al despejar deberemos cambiar la desigualdad de sentido :       Debemos entender que: P odremos sumar cualquier expresión o multiplicar por cualquier número positivo a ambos miembros de una inecuación y la desigualdad se mantiene . Por el contrario si multiplicamos por un número negativo ambos miembros de una inecuación la desigualdad cambia de sentido .   Ejemplos: REGLAS DE EQUIVALENCIA

6. Como siempre, debemos tener cuidado con los signos; especialmente en los numeradores de las fracciones que tengan un signo menos delante. Observa asimismo el cambio de sentido de la desigualdad al despejar: se ha dividido entre un número negativo.       Es en éste último punto donde deberé tener cuidado con la desigualdad, si se mantiene o si cambia de sentido. Ejemplo Quitar paréntesis Trasponer términos Quitar denominadores Agrupar términos semejantes Quitar paréntesis Despejar Para resolver inecuaciones lineales de una incógnita se seguirán los mismos pasos que para las ecuaciones lineales : INECUACIONES LINEALES DE UNA INCÓNGITA

7. Eliminamos los denominadores, trasponemos y despejamos:   Eliminamos los denominadores, trasponemos y despejamos:   a) b) a) b) Resuelve las siguientes inecuaciones: INECUACIONES LINEALES DE UNA INCÓNGITA

8. La manera de resolver una inecuación polinómica es calcular el signo de dicho polinomio, descomponiendo y evaluando el signo de sus factores. Nota: Si la desigualdad fuera otra, sería lo mismo: nos preguntarían los valores de para los que el polinomio es negativo o nulo, y lo mismo con desigualdades estrictas.   Resolveremos inecuaciones polinómicas cuando estén en la forma Es decir, cuando todos los términos estén en un miembro de la inecuación, quedando en el segundo miembro solamente un 0. Observamos que en este caso lo que se está preguntando es para que valores de , el polinomio es positivo o nulo.   INECUACIONES POLINÓMICAS

9.                                         Si tenemos la inecuación: Descomponemos el polinomio calculando sus raíces (por Ruffini, resolviendo la ecuación,…) Elaboramos una tabla con los signos de sus factores de manera que la línea superior es una recta real en la que colocamos los puntos donde se hacen cero los factores que forman el polinomio.   INECUACIONES POLINÓMICAS

10.                 Evaluamos los factores del polinomio en cada uno de los intervalos: Tomamos un valor de en el intervalo (por ejemplo ) Evaluamos el factor , y de este modo colocamos un signo en la casilla correspondiente. Análogamente evaluamos el resto de los factores en los intervalos. Se tiene entonces la tabla :   INECUACIONES POLINÓMICAS

11. Con lo que deducimos que la solución es el conjunto Hay que notar que en este conjunto solución hemos incluido los extremos de los intervalos puesto que son puntos donde la inecuación se hace cero, y en este caso, soluciones también.             Puesto que la inecuación era , lo que preguntaban eran los valores de para los que el polinomio era positivo:   Calculamos los signos del polinomio operando los signos de los factores. Se tiene finalmente la tabla: INECUACIONES POLINÓMICAS

12. Y la solución hubiera sido       Y la solución hubiera sido Del mismo modo, si hubiera sido , entonces:       Si fuera , con los mismos pasos, hubiéramos obtenido:   INECUACIONES POLINÓMICAS

13.  Y la solución hubiera sido       Y por último, si hubiera sido , la tabla hubiera sido:   INECUACIONES POLINÓMICAS

14. La inecuación busca los valores de para los que el polinomio es positivo, es decir, para los que la función es positiva. Los valores de para los que los valores de están por encima del eje . Los valores de para los que la gráfica está por encima del eje .   x y 2 1 2 3 2 Interpretamos gráficamente estas inecuaciones. Se tiene que la ecuación representa una función de segundo grado, cuya gráfica es una parábola. Podemos dibujar la parábola con una tabla de valores:   INECUACIONES POLINÓMICAS

15. Se tiene que la solución sería toda la recta real:   Observamos que se podrían dar los siguientes casos. Si se trata de una inecuación , y el polinomio se representa gráficamente :   INECUACIONES POLINÓMICAS

16. Entonces ningún punto sería solución. Es decir, la solución sería el conjunto vacío   Si se tratara de una inecuación , y el polinomio se representa gráficamente :   INECUACIONES POLINÓMICAS

17. Para distinguirlo, evaluamos el polinomio en un punto cualquiera: Si Al ser positivo el valor de la parábola en concluimos que el dibujo es el primero y así el polinomio es siempre positivo. La solución es   O bien su dibujo es O bien su dibujo es Ejemplo: Resolver Como antes, intentamos descomponer el polinomio Al no tener raíces reales, el polinomio es irreducible. Gráficamente, la parábola no corta al eje , de modo que tenemos dos posibilidades:   INECUACIONES POLINÓMICAS

18. Nota : lo escribimos en forma de conjunto, como en todos los casos anteriores. Un conjunto formado por un solo punto, o por puntos aislados, lo denotamos entre llaves. Deducimos entonces que la solución es , el punto   Ejemplo: Resolver Descomponemos el polinomio Al ser un factor elevado al cuadrado, deducimos que siempre va a tener signo positivo, salvo donde se anule, que es en el punto .   INECUACIONES POLINÓMICAS

19. La solución es   Resolvemos ahora unos ejercicios de inecuaciones dadas gráficamente: Resolver , siendo la gráfica del polinomio la siguiente   INECUACIONES POLINÓMICAS

20. La solución es   Resolver , siendo la gráfica del polinomio la siguiente   INECUACIONES POLINÓMICAS

21. Observamos los signos del polinomio y concluimos que la solución es el conjunto                                       Al descomponer el polinomio se obtiene Formamos la tabla y calculamos los signos:   Resuelve la inecuación   INECUACIONES POLINÓMICAS

22. En el primer caso la solución es En el segundo caso la solución es En el tercer caso la solución es   Resuelve las inecuaciones , donde es el polinomio dado por las siguientes gráficas en cada caso.   INECUACIONES POLINÓMICAS

23.  Igual que en las inecuaciones polinómicas, vamos a resolverlas cuando estén en la forma Para resolverlas, calcularemos los signos del numerador y del denominador para así calcular los signos del cociente. El cálculo de los signos se hace del mismo modo que en las ecuaciones polinómicas.   INECUACIONES RACIONALES

24. En la solución, añadimos el punto en el que el numerador se hace cero, y quitamos el punto en el que el denominador se hace cero porque no se puede dividir entre cero. La solución es       Ejemplo: Si tuviéramos la inecuación Para resolver, calcularemos los signos de numerador y denominador, exactamente de la misma forma que en las inecuaciones polinómicas, para hallar el signo del cociente:   INECUACIONES RACIONALES

25. Nota : En general Si la desigualdad contiene el símbolo igual : incluimos los ceros del numerador y excluimos los ceros del denominador . Si la desigualdad es estricta : excluimos todos los ceros , tanto del numerador como del denominador.     Si la inecuación hubiera sido En la solución se hubieran quitado los dos extremos:   INECUACIONES RACIONALES

26.                                     Descomponemos el denominador (el numerador ya es de grado 1) Formamos la tabla y calculamos los signos:   Resuelve la inecuación Resuelve la inecuación INECUACIONES RACIONALES Observamos los signos del polinomio y concluimos que la solución es el conjunto  

27.  Una inecuación lineal de dos incógnitas es una inecuación del tipo: Y las soluciones serán pares que verifiquen la desigualdad. Interpretaremos los pares como puntos del plano, así que las soluciones de la inecuación serán puntos del plano que verifiquen la desigualdad. Para descubrir cuáles serán dichos puntos del plano, la solución se dará de forma gráfica, y para ello realizaremos los siguientes pasos:   INECUACIONES LINEALES DE DOS INCÓGNITAS

28. Representaremos gráficamente la ecuación Que sabemos que es una recta del plano. Esta recta nos dividirá el plano en dos partes, o dos semiplanos. Para todos los puntos de uno de los dos semiplanos la desigualdad se verificará. Evaluaremos la desigualdad en un punto que NO esté en la recta, y que sea sencillo. Si la desigualdad se cumple para ese punto en cuestión, entonces la desigualdad será cierta para todos los puntos de ese semiplano Si la desigualdad es falsa para ese punto en cuestión, también será falsa para el resto de los puntos del semiplano   INECUACIONES LINEALES DE DOS INCÓGNITAS

29. (Si la recta pasara por el los valores que se darían serían otros. Además, siempre vamos a procurar que las coordenadas me queden enteras para que su representación sea más sencilla)       x y         Para la primera parte, representar la recta, observamos que una ecuación lineal de dos incógnitas es una recta del plano. Así que para representarla gráficamente solo necesitamos calcular dos puntos por los que pase dicha recta. Eso se hace dando dos valores fáciles: INECUACIONES LINEALES DE DOS INCÓGNITAS

30. Nota: Además , en este caso, como la desigualdad contenía el símbolo igual, la recta debe estar incluida como solución: hay que pensar que los puntos de la recta son los puntos en los que se verifica la igualdad. Para la segunda parte, el punto más fácil para evaluar la inecuación es el . En este caso nos queda Que es cierto. Entonces todos los puntos que están del mismo lado de la recta que el forman parte de la solución. Es decir :   INECUACIONES LINEALES DE DOS INCÓGNITAS

31.  Si la recta pasara por , escogeríamos un punto de uno de los ejes de coordenadas para hacer la evaluación. Siempre debemos tener en cuenta dos detalles: Debemos tener muy claro en que lado de la recta está el punto en el que vamos a realizar la evaluación. Un punto ambiguo, que no sepa si está encima o debajo, a la derecha o a la izquierda de la recta no nos sirve. Escogeremos un punto que sea sencillo de evaluar, con coordenadas enteras y pequeñas.   INECUACIONES LINEALES DE DOS INCÓGNITAS

32. Un sistema de inecuaciones es un conjunto de inecuaciones. Puede ser cualquier número de inecuaciones de cualquier tipo. Para resolver un sistema: Se resuelve por separado cada una de las inecuaciones que forman el sistema y se representa gráficamente su solución Una vez tenemos la solución de todas las inecuaciones que forman el sistema, buscamos los puntos comunes a todas las inecuaciones a la vez. Si por ejemplo el siguiente gráfico mostrara la solución de las diversas inecuaciones de un sistema La solución serían los puntos comunes a las tres inecuaciones a la vez: SISTEMAS DE INECUACIONES

33. En un sistema de inecuaciones lineales de dos incógnitas, deberemos hallar los vértices de la figura resultante, lo que se hará resolviendo los sistemas de ecuaciones lineales formados por las ecuaciones de las rectas que definan cada uno de los vértices de la figura. En este ejemplo la solución es el triángulo. En el caso de ser sistemas de inecuaciones lineales de dos incógnitas, las soluciones se deben representar en los mismos ejes de coordenadas para buscar los puntos comunes : SISTEMAS DE INECUACIONES

34. Vemos que el sistema no tiene solución puesto que no hay puntos comunes a las dos soluciones. Su solución es (conjunto vacío)   Resolvemos la segunda inecuación. Operamos y descomponemos: Calculando los signos se tiene la solución   Resolvemos la primera inecuación y lo representamos gráficamente:   Resolver el sistema   SISTEMAS DE INECUACIONES

35.       x y               x y         Resolvemos cada inecuación por separado, representando las soluciones en los mismos ejes de coordenadas Representamos primero la primera inecuación: Resolver   SISTEMAS DE INECUACIONES