INEQUALITIES IJJPJKLJGFFBU YGYGHLKJJLK IUHUHKLJHJ

ΙΝΕ;ΘΑΛΙΤΙΕΣ

1. [
ΧΡΗΣΙΜΕΣ)ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ)
ΣΤΑ)ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)ΤΗΣ)Γ
)
ΛΥΚΕΙΟΥ
]
!
1
!
!




!
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ

Α
:
Γνωστές

ανισότητες

από

προηγού
µ
ενες

τάξεις

που

δε

χρήζουν

απόδειξης



Στο

σχολικό

βιβλίο

της

Άλγεβρας

της
1
ης

Τάξης

του

Γενικού

Λυκείου

στη

σελίδα
58
υπάρχει

εφαρ
µ
ογή

σύ
µ
φωνα
µ
ε

την

οποία



!

Αν

α
,
β

ο
µ
όση
µ
οι

αριθ
µ
οί
,
τότε



!

Για

όλους

τους

πραγ
µ
ατικούς

αριθ
µ
ούς

α
,
β

ισχύει

ότι


η

οποία

έχει

ά
µ
εση

συνέπεια

πώς

για

τους

αριθ
µ
ούς


ισχύει

ότι



!

Αν


τότε


µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

για

α
=1


Για

διδακτικούς

σκοπούς

στο

τέλος

παραθέτου
µ
ε

τις

αποδείξεις

και

παρατηρήσεις

πάνω

στις

παραπάνω

ανισότ
ητες









Από

το

σχολικό

βιβλίο

της

Άλγεβρας

της
2
ης

Τάξης

του

Γενικού

Λυκείου

ισχύει

ότι


και


για

κάθε


µ
ε

τις

ισότητες

να

ισχύουν

για

άπειρα

ση
µ
εία


,

και



αντίστοιχα

όπως

φαίνεται

και

στα

διπλανά

σχή
µ
ατα














α<
β
⇔
1
α
>
1
β

α
2
+β
2
≥
2
⋅
α
β

α
,
β
∈
0
,
+
∞
⎡
⎣
)

α+β≥
2
⋅
α
⋅β

α
>
0

α+
1
α
≥
2

η
µ
x
≤
1

σ
υ
ν
x
≤
1

x
∈
R

x
=
κ
π
+
π
2
κ
∈
Ζ

x
=
κ
π
κ
∈
Ζ19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

2. [
ΧΡΗΣΙΜΕΣ)ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ)
ΣΤΑ)ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)ΤΗΣ)Γ
)
ΛΥΚΕΙΟΥ
]
!
2
!
!




!
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
B
:
Χρήσι
µ
ες

ανισότητες

από

προηγού
µ
ενες

τάξεις

που

χρήζουν

απόδειξης



Β
/
1.

Ισχύει

ότι


για

κάθε



Απόδειξ
η
:
Για

κάθε


ισχύει

ότι



Ό
µ
ως

είναι

γνωστό

ότι


και



οπότε



Δηλαδή



Ο
µ
οίως

και




Β
/
2
.

Ισχύει

ότι

!
για

όλους

τους

πραγ
µ
ατικούς

αριθ
µ
ούς



Απόδειξ
η
:
Πράγ
µ
ατι

αν

αντι
µ
ετωπίσου
µ
ε

την

παράσταση


ως

τριώνυ
µ
ο
µ
ε
µ
εταβλητή

το

α

για

τη

διακρίνουσα

του

έχου
µ
ε


οπότε

για

το

τριώνυ
µ
ο


ισχύει

ότι


για

κάθε


µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

όταν

α
=
β
=0


Ένας

άλλος

τρόπος

απόδειξης

είναι

και

ο

παρακάτω
:


Έστω

ότι



το

οποίο

ισχύει

για

κάθε

µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

όταν

α
=
β
=0
!


Η

παραπάνω

ανισοϊισότ
ητα

αποτελεί

και

άσκηση
4

της

Β

Ο
µ
άδας

του

σχολικού

βιβλίου

της

Άλγεβρας

της
1
ης

Τάξης

του

Γενικού

Λυκείου

στη

σελίδα
60




Β
/
3.
Ισχύει

ότι

!
για

όλους

τους

πραγ
µ
ατικούς

αριθ
µ
ούς

µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

για
x=0



Απόδειξη
:
Πράγ
µ
ατι

για

κάθε


ισχύει


µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει

µ
όνο

για

x=0
οπότε








x
2
+
1
±
x
>
0

x
∈
R

x
∈
R

x
2
+
1
>
x
2
⇔
x
2
+
1
>
x
2
=
x

x≥
x

x≥
−
x

x
∈
R

x
2
+
1
>
x
≥
x

x
2
+
1
>
x
⇔
x
2
+
1
−
x
>
0

x
2
+
1
>
−
x
⇔
x
2
+
1
+
x
>
0

α
2
±
α
⋅
β+β
2
≥
0

α
2
±
α
⋅
β
+
β
2

Δ
=
±
β
(
)
2
−
4
⋅
1
⋅
β
2
=
β
2
−
4
⋅
β
2
=
−
3
β
2
≤
0

α
2
+
α
⋅
β
+
β
2

α
2
±
α
⋅
β
+
β
2
≥
0

α
,
β
∈
R

α
2
+
α
⋅
β
+
β
2
≥
0
⇔
2
α
2
+
2
α
⋅
β
+
2
β
2
≥
0
⇔

α
2
+
2
α
⋅
β
+
β
2
+
α
2
+
β
2
≥
0
⇔
α
+
β
(
)
2
+
α
2
+
β
2
≥
0

α
,
β
∈
R

e
x
2
−
1
≥
0

x
∈
R

x
2
≥
0


x
2
≥
0
⇔
e
x

e
x
2
≥
e
0
⇔
e
x
2
−
1
≥
019.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

3. [
ΧΡΗΣΙΜΕΣ)ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ)
ΣΤΑ)ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)ΤΗΣ)Γ
)
ΛΥΚΕΙΟΥ
]
!
3
!
!




!

Β
/
4.
Ισχύει

ότι

!
για

όλους

τους

πραγ
µ
ατικούς

αριθ
µ
ούς

µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

για
x=0



Απόδειξ
η
:
Πράγ
µ
ατι

για

κάθε


ισχύει


µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

για

x=0
οπότε





Β
/
5.
Ισχύει

ότι

!
για

όλους

τους

πραγ
µ
ατικούς

αριθ
µ
ούς


µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

για
x=0



Απόδειξη
:
Πράγ
µ
ατι

για

κάθε


ισχύει


µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

για

x=0
οπότε





Β
/
6.
Ισχύει

ότι

!
για

όλους

τους

πραγ
µ
ατικούς

αριθ
µ
ούς

µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

για




Απόδειξη
:
Πράγ
µ
ατι

για

κάθε


ισχύει






!
!
!
η

οποία

ισχύει

για

κάθε


µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

όταν




e
x
−
1
≥
0

x
∈
R

x
≥
0


x
≥
0
⇔
e
x

e
x
≥
e
0
⇔
e
x
−
1
≥
0

e
x
−
1
≥
0

x
∈
0
,
+
∞
⎡
⎣
)

x
∈
0
,
+
∞
⎡
⎣
)

x
≥
0


x
≥
0
⇔
e
x

e
x
≥
e
0
⇔
e
x
−
1
≥
0

x
x
2
+
1
≤
1
2

x
=±
1

x
∈
R

x
x
2
+
1
≤
1
2
⇔
x
2
+
1
>
0
,
∀
x
∈
R
x
2
+
1
(
)
⋅
x
x
2
+
1
≤
x
2
+
1
(
)
⋅
1
2
⇔
⇔
x
≤
1
2
x
2
+
1
(
)
⇔
2
x
≤
x
2
+
1
⇔

⇔
x
2
=
x
2
2
x
≤
x
2
+
1
⇔
x
2
−
2
x
+
1
≥
0
⇔
x
−
1
(
)
2
≥
0
x
∈
R

x−
1
=
0
⇔
x
=
1
⇔
x
=
±
119.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

4. [
ΧΡΗΣΙΜΕΣ)ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ)
ΣΤΑ)ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)ΤΗΣ)Γ
)
ΛΥΚΕΙΟΥ
]
!
4
!
!




!

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ

Γ
:
Γνωστές

ανισότητες

από

το

σχολικό

βιβλίο

της

Γ

τάξης

του

Λυκείου

που

δε

χρήζουν

απόδειξης




Γ
/
1
.

Για

κάθε


ισχύει

ότι



Από

το

σχολικό
µ
ας

βιβλίο

στη

σελίδα

52

ισχύει

η

παραπάνω

ανισοϊισότητα

και
µ
άλιστα
µ
ε

την

πληροφο
ρία

ότι

η

ισότητα

ισχύει
µ
όνο

για
x=0


Η

γεω
µ
ετρική

ερ
µ
ηνεί
α

της

παραπάνω

α
νι
σο
ϊσό
τητας

φαίνεται

στο

διπλανό

σχή
µ
α






Η

παραπάνω

γράφεται

επίσης


Οπότε

για
x>0
προκύπτει

ότι


και

εύκολα
µ
πορού
µ
ε

να

προσδιορίσου
µ
ε

το

πρόση
µ
ο

των

συναρτήσεων




Στο

διπλανό

σχή
µ
α

συνοψίζονται

τα

παραπάνω
,
διακρίνοντας

τη

σχετικ
ή

θέση

των

γραφικών

παραστάσεων

των

συναρτήσεων


,

και



Έτσι

προκύπτει

εύκολα

ότι




όταν




όταν


x
<
0



κ
.
ο
.
κ



Επιπλέον

η

ανισοϊισότητα

αν

υψωθεί

στο

τετράγωνο
µ
ας

δίνει

το

πρόση
µ
ο

µ
ιας

άλλης

συνάρτησης
.

Πράγ
µ
ατι

για

κάθε


και
µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

για
x=0




x
∈
R

ηµ
x
≤
x

η
µ
x
≤
x
⇔
−
x
≤
η
µ
x
≤
x

−
x
<
η
µ
x
<
x

η
µ
x
−
x
,

x
-
η
µ
x

y
=
x

y
=
−
x

y
=
η
µ
x

x
>
η
µ
x

x
>
0

−
x
>
η
µ
x

η
µ
x
≤
x
⇔
η
µ
x
2
≤
x
2
⇔
η
µ
2
x
≤
x
2
⇔
x
2
−
η
µ
2
x
≥
0
x
∈
R19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

5. [
ΧΡΗΣΙΜΕΣ)ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ)
ΣΤΑ)ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)ΤΗΣ)Γ
)
ΛΥΚΕΙΟΥ
]
!
5
!
!




!

Γ
/
2
.

Για

κάθε


ισχύει

ότι

!
µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει

µ
όνο

για

x=1





Από

το

σχολικό
µ
ας

βιβλίο

και

πιο

συγκεκρι
µ
ένα

από

τη

εφαρ
µ
ογή

στη

σελίδα

148

ισχύει

η

παραπάνω

ανισοϊσότητα

και
µ
άλιστα
µ
ε

την

πληροφορί
α

ότι

η

ισότητα

ισχύει

µ
όνο

για
x=1


Η

γεω
µ
ετρική

ερ
µ
ηνεία

της

παραπάνω

α
νισοϊσό
τητας

φαίνεται

στο

διπλανό

σχή
µ
α











Γ
/
3
.

Για

κάθε


ισχύει

ότι


µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει

µ
όνο

για

x=0




A
ν

στην

γνωστή

ανισοϊσότητα

της

εφαρ
µ
ογής

του

σχολικού

βιβλίου


θέσου
µ
ε

όπου
x
το


προκύπτει

ότι




για

κάθε


δηλαδή

για

κάθε


και
µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει

όταν


δηλαδή

όταν

x=0


Η

γεω
µ
ετρική

ερ
µ
ηνεία

της

παραπάνω

α
νι
σοϊσό
τητας

φαίνεται

στο

παραπάνω

σχή
µ
α











x
>
0

l
n
x
≤
x
−
1

x
∈
R

e
x
≥
x
+
1

l
n
x
≤
x
−
1
,

x
>
0
(
)

e
x

l
n
e
x
≤
e
x
−
1
⇔
x
≤
e
x
−
1
⇔
e
x
≥
x
+
1

e
x
>
0

x
∈
R

e
x
=
119.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

6. [
ΧΡΗΣΙΜΕΣ)ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ)
ΣΤΑ)ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)ΤΗΣ)Γ
)
ΛΥΚΕΙΟΥ
]
!
6
!
!




!

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ

Δ
:
Χρήσ
ι
µ
ες

ανισότητες

σ
τη

Γ

τάξη

του

Λυκείου

που


χρήζουν

απόδειξης



Δ
/1.
Ισχύει

ότι


x
−
1
x
≤
l
n
x
≤
x
−
1

για

κάθε

x>0
και
µ
ε

τις

ισότητες

να

ισχύουν
µ
όνο

για

x=1


Απόδειξη
:
Πράγ
µ
ατι

αν

στην

γνωστή

ανισοϊισότητα

Γ
/2
σελ
.5
θέσου
µ
ε

όπου
x

το


τότε

προκύπτει
µ
ιά

νέα
,

µ
ε

ισχύ

για

κ
άθε

x>0:





και
µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει

πάλι

µ
όνο

για

x=1.
Οπότε

συνοψίζοντας
,
έχου
µ
ε

εγκλωβίσει

τη

συνάρτηση

lnx
ως

εξής
:



για

κάθε

x>0
και

µ
ε

τις

ισότητες

να

ισχύουν
µ
όνο

για

x=1



Η

γεω
µ
ετρική

ερ
µ
ηνεία

της

παραπάνω

α
ν
ι
σοϊσό
τητας

φαίνεται

στο

παραπάνω

σχή
µ
α




Δ
/2
.
Ισχύει

ότι


l
n
x
<
x
<
e
x

για

κάθε

x>0



Απόδειξη
:
Πράγ
µ
ατι

από

τη

γνωστή

ανισοϊισότητα

Γ
/2
σελ
.5
ισχύει

ότι

για

κάθε

x>0

l
n
x
≤
x
−
1
<
x


δηλαδή


l
n
x
<
x


για

κάθε

x>0
κ
αι

από

τη

γνωστή

ανισοϊισότητα

Γ
/3

σελ
.5
ισχύει

ότι

για


x
∈
R


e
x
≥
x
+
1
>
x

δηλαδή


e
x
>
x

κάθε

.
Συνοψίζοντας

προκύπτει

πώς

για

κάθε

x>0

ισχύει

ότι


l
n
x
<
x
<
e
x


Η

γεω
µ
ετρική

ερ
µ
ηνεία

τη
ς

παραπάνω

α
νισότητας

φαίνεται

στο

διπλανό

σχή
µ
α






1
x

l
n
1
x
≤
1
x
−
1
⇔
−
l
n
x
≤
1
−
x
x
⇔
⇔
l
n
x
≥
x
−
1
x

x
−
1
x
≤
l
n
x
≤
x
−
1

x
∈
R19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

7. [
ΧΡΗΣΙΜΕΣ)ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ)
ΣΤΑ)ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)ΤΗΣ)Γ
)
ΛΥΚΕΙΟΥ
]
!
7
!
!




!

Δ
/3
.
Ισχύει

ότι


x
<
ε
ϕ
x

για

κάθε



x
∈
0
,
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟


Απόδειξη
:



Θεωρού
µ
ε

τη

συνάρτηση


f
x
(
)
=
η
µ
x
−
x
σ
υ
ν
x
στο

διάστη
µ
α


0
,
π
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

.
Η

συνάρτηση
f

ε
ίναι

συνεχής

στο


0
,
π
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

και

παραγωγίσι
µ
η

στο


0
,
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

µ
ε


f
/
x
(
)
=
σ
υ
ν
x
−
σ
υ
ν
x
−
x
η
µ
x
(
)
=
σ
υ
ν
x
−
σ
υ
ν
x
+
x
η
µ
x
=
x
η
µ
x
>
0


για

κάθε


x
∈
0
,
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

Εφόσον

η
f

είναι

συνεχής

στο


0
,
π
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

η
f

είναι

γνησίως

αύξουσα

στο


0
,
π
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

και

για

κάθε


x
∈
0
,
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

είναι


0
<
x
<
π
2
⇔
f
x
(
)
>
f
0
(
)
⇔



η
µ
x
−
x
σ
υ
ν
x
>
0
⇔
η
µ
x
>
x
σ
υ
ν
x
⇔
σ
υ
ν
x
>
0

σ
τ
ο

0
,
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
η
µ
x
σ
υ
ν
x
>
x
σ
υ
ν
x
σ
υ
ν
x
⇔
ε
ϕ
x
>
x




Δ
/4
.
Ισχύει

ότι


f
2
x
(
)
−
m
+
M
(
)
⋅
f
x
(
)
+
m
M
≤
0

για

κάθε

συνεχή

συνάρτηση


f
:
α
,
β⎡
⎣
⎤
⎦
→
R

όπου

m,M

η

ελάχιστη

και

η
µ
έγ
ιστη

τι
µ
ή

της

f

αντίστοιχα



Απόδειξη
:
Η

συνάρτηση

f

στο
[
α
,
β
]
εφόσον

είναι

συνεχής

από

Θεώρη
µ
α

Μέγιστης

–

Ελάχιστης

τι
µ
ής

παρουσιάζει

ελάχιστη

τι
µ
ή

m (
έστω

στη

θέση


x
1
∈
α
,
β
⎡
⎣
⎤
⎦

)
και

αντίστοιχα
µ
έγιστη

τι
µ
ή

Μ

(
έστω

στη

θέση


x
2
∈
α
,
β
⎡
⎣
⎤
⎦

)
οπότε

για

κάθε


x
∈
α
,
β
⎡
⎣
⎤
⎦

θα

ισχύει


m
≤
f
x
(
)
≤
M

ή

ισοδύνα
µ
α


f
x
(
)
≥
m
f
x
(
)
≤
M
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪



⇔
f
x
(
)
−
m
≥
0
f
x
(
)
−
M
≤
0
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

οπότε


f
x
(
)
−
m
(
)
⋅
f
x
(
)
−
M
(
)
≤
0
⇔
f
2
x
(
)
−
m
+
M
(
)
f
x
(
)
+
m
M
≤
0


19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

8. [
ΧΡΗΣΙΜΕΣ)ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ)
ΣΤΑ)ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)ΤΗΣ)Γ
)
ΛΥΚΕΙΟΥ
]
!
8
!
!




!
Δ
/5
.
Αν
µ
ια

συνάρτηση

f

είναι

ορισ
µ
ένη

και

κυρτή

σε

ένα

δι
άστη
µ
α

Δ

τότε


f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
≤
f
α
(
)
+
f
β
(
)
2

για

κάθε


α
,
β∈Δ

(
ανισότητα

Jensen)


Απόδειξη
:


!

Αν

α
=
β

τότε

η

αποδεικτέα

σχέση

γράφεται


f
α
(
)
≤
f
α
(
)

η

οποία

είναι

προφανής




!

Αν

α
≠
β

τότε

και

χωρίς

βλάβη

τ
ης

γενικότητας

έστω

α
<
β



Η

f

είναι

συνεχής

στα

διαστή
µ
ατα


α
,
α
+
β
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

,

α
+
β
2
,
β
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

και

παραγωγίσι
µ
η

στα


α
,
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
,

α
+
β
2
,
β
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

,
οπότε

σύ
µ
φωνα
µ
ε

το

Θεώρη
µ
α

Μέσης

Τι
µ
ής

υπάρχουν


ξ
1
∈
α
,
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

και


ξ
2
∈
α
+
β
2
,
β
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

τέτοια

ώστε




f
/
ξ
1
(
)
=
f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
f
α
(
)
α
+
β
2
−
α
=
2
f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
f
α
(
)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
β
−
α





f
/
ξ
2
(
)
=
f
β
(
)
−
f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
β
−
α
+
β
2
=
2
f
β
(
)
−
f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
β
−
α


Επειδή

η

f

είναι

κυρτή

στο

Δ
,
η


f
/

είναι

γνησίως

αύξουσα

στο

εσωτερικό

του

Δ

οπότε

έχου
µ
ε


α
<
ξ
1
<
ξ
2
<
β
⇔
f
/
ξ
1
(
)
<
f
/
ξ
2
(
)
⇔



2
f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
f
α
(
)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
β
−
α

<
2
f
β
(
)
−
f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
β
−
α
⇔
β
>
α
f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
f
α
(
)
<
f
β
(
)
−
f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟



⇔
2
f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
<
f
α
(
)
+
f
β
(
)
⇔
f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
<
f
α
(
)
+
f
β
(
)
2


Άρα

σε

κάθε

περίπτωση

έχου
µ
ε

ότι


f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
≤
f
α
(
)
+
f
β
(
)
2

για

κάθε


α
,
β
∈
Δ

µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

όταν

α
=
β

19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

9. [
ΧΡΗΣΙΜΕΣ)ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ)
ΣΤΑ)ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)ΤΗΣ)Γ
)
ΛΥΚΕΙΟΥ
]
!
9
!
!




!

Ο
µ
οίως

αποδεικνύετ
αι

αν

η

f
είναι

κοίλη

σε

ένα

διάστη
µ
α

Δ

ισχύει

ότι


f
α
+
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
≥
f
α
(
)
+
f
β
(
)
2

για

κάθε


α
,
β
∈
Δ

µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

όταν

α
=
β




Για

διδακτικούς

σκοπούς

παραθέτου
µ
ε

τις

αποδείξεις

της

Κατηγορίας

Α



Α
1.
Αν

α
,
β

ο
µ
όση
µ
οι

να

αποδε
ίξετε

ότι




Απόδειξη
:
Πράγ
µ
ατι

εφόσον

α
,
β

ο
µ
όση
µ
οι

ισχύει

ότι


και






Α
2.
Να

αποδείξετε

ότι

για

όλους

τους

πραγ
µ
ατικούς

αριθ
µ
ούς

α
,
β

ισχύει

ότι



Απόδειξη
:
Πράγ
µ
ατι


το

οποίο

ισχύει

για

όλους

τους

πραγ
µ
ατικούς

αριθ
µ
ούς

α
,
β

και
µ
ε

την

ισότητα

να

ι
σχύει
µ
όνο

όταν

α
=
β


Αν


τότε

θέτοντας

όπου

α

το


και

αντίστοιχα

όπου

β

το


προκύπτει


Α
3
.

Να

αποδείξετε

ότι


για

κάθε



Απόδειξη
:
Πράγ
µ
ατι

για

κάθε

x>0
,
έχου
µ
ε


που

ισχύει

για

κάθε

x>0 µ
ε

την

ισότητα

να

ισχύει
µ
όνο

για
x=1


Με

ό
µ
οιο

τρόπο

αποδεικνύο
υ
µ
ε

ότι


για

κάθε



!

α<
β
⇔
1
α
>
1
β

α
β
>
0

α
<
β
⇔
÷
α
β
>
0
α
α
β
<
β
α
β
⇔
1
β
<
1
α
⇔
1
α
>
1
β

α
2
+β
2
≥
2
⋅
α
β

α
2
+
β
2
≥
2
⋅
α
β
⇔
α
2
+
β
2
−
2
⋅
α
β
≥
0
⇔
α
−
β
(
)
2
≥
0

α
,
β
∈
0
,
+
∞
⎡
⎣
)
α
β

α
(
)
2
+
β
(
)
2
≥
2
⋅
α
⋅
β
⇔
α
+
β
≥
2
α
β

x
+
1
x
≥
2

x
>
0

x
+
1
x
≥
2
⇔
⋅
x
>
0
x
2
+
1
≥
2
x
⇔
x
2
−
2
x
+
1
≥
0
⇔
x
−
1
(
)
2
≥
0

x
+
1
x
≤
−
2

x
<
019.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης