Informe La Elipse
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Oct 12, 2014
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About This Presentation
DEDICATORIA
AGRADECIMIENTO
RESUMEN
ÍNDICE
I Introducción
II Historia de las Secciones Cónicas
2.1. Se sientan las bases de la Geometría Analítica
2.2. Las cónicas como lugares geométricos
2.3. Expresión analítica de las cónicas
2.4. Ejemplos de Aplicación en la vida real.
III Tema
3.1. E...
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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL
NORTE
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Departamento de Ciencias
Tema: La Elipse
Docente:
MURGA TIRADO, Christian Edinson
Código Clase:
10018946
Integrantes:
BARBOZA NAVARRO, Alexis Jhosep
Cajamarca – Perú
2014
NORTE
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Departamento de Ciencias
Tema: La Elipse
Docente:
MURGA TIRADO, Christian Edinson
Código Clase:
10018946
Integrantes:
BARBOZA NAVARRO, Alexis Jhosep
Cajamarca – Perú
2014
MATEMATICA BASICA 1 1
LA ELIPSE
DEDICATORIA
El presente trabajo está dedicado a los padres de cada uno de los integrantes del presente
informe, por el apoyo decidido para poder llevarlo a cabo y al profesor que con su apoyo se hizo
posible la siguiente investigación y así poder concluir exitosamente.
LA ELIPSE
DEDICATORIA
El presente trabajo está dedicado a los padres de cada uno de los integrantes del presente
informe, por el apoyo decidido para poder llevarlo a cabo y al profesor que con su apoyo se hizo
posible la siguiente investigación y así poder concluir exitosamente.
MATEMATICA BASICA 1 2
LA ELIPSE
AGRADECIMIENTO
Agradezco el interés y la responsabilidad de mis compañeros en lograr obtener los
conocimientos sobre los temas de investigación “La Elipse” y al docente que nos imparte sus
conocimientos.
LA ELIPSE
AGRADECIMIENTO
Agradezco el interés y la responsabilidad de mis compañeros en lograr obtener los
conocimientos sobre los temas de investigación “La Elipse” y al docente que nos imparte sus
conocimientos.
MATEMATICA BASICA 1 3
LA ELIPSE
RESUMEN
En el presente informe se estará dando a conocer los siguientes temas como lo son la
historia de las secciones cónicas, las bases que se sientan en la Geometría Analítica, las cónicas
como lugares Geométricos las diferentes expresiones analíticas de las cónicas, y diferentes
aplicaciones de las cónicas en la vida cotidiana. Y el desarrollo específico de La Elipse, su
definición y propiedades, los elementos, su excentricidad, sus diferentes ecuaciones como son:
reducida, ecuación de la elipse con los focos en el eje “Y”, ecuación de la elipse con el centro
desplazado de origen de coordenadas.
LA ELIPSE
RESUMEN
En el presente informe se estará dando a conocer los siguientes temas como lo son la
historia de las secciones cónicas, las bases que se sientan en la Geometría Analítica, las cónicas
como lugares Geométricos las diferentes expresiones analíticas de las cónicas, y diferentes
aplicaciones de las cónicas en la vida cotidiana. Y el desarrollo específico de La Elipse, su
definición y propiedades, los elementos, su excentricidad, sus diferentes ecuaciones como son:
reducida, ecuación de la elipse con los focos en el eje “Y”, ecuación de la elipse con el centro
desplazado de origen de coordenadas.
MATEMATICA BASICA 1 4
LA ELIPSE
Índice
DEDICATORIA ________________________________________________________________ 1
AGRADECIMIENTO ____________________________________________________________ 2
RESUMEN____________________________________________________________________ 3
Índice ________________________________________________________________________ 4
I. Introducción _____________________________________________________________ 5
II. Historia de las Secciones Cónicas ___________________________________________ 6
2.1. Se sientan las bases de la Geometría Analítica _____________________________ 8
2.2. Las cónicas como lugares geométricos ____________________________________ 9
2.3. Expresión analítica de las cónicas ________________________________________ 9
2.4. Ejemplos de Aplicación en la vida real. ____________________________________ 9
III. Tema________________________________________________________________ 10
3.1. Elipse______________________________________________________________ 10
3.1.1. Ejemplos de aplicación en la vida real ________________________________ 10
3.1.2. Definiciones y Propiedades. ________________________________________ 10
3.1.3. Elementos de la elipse ____________________________________________ 13
3.1.4. Excentricidad de la elipse __________________________________________ 14
3.1.5. Ecuación de la elipse _____________________________________________ 16
3.1.5.1. Ecuación reducida de la Elipse ____________________________________ 16
3.1.5.2. Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y _______________________ 17
3.1.5.3. Ecuación de la elipse con el centro desplazado de origen de coordenadas. 18
3.1.6. Ejercicios resueltos _______________________________________________ 20
3.1.7. Ejercicios Propuestos (sin solución) __________________________________ 21
3.1.8. Construcciones de una elipse _______________________________________ 22
3.1.8.1. TRAZADO DE LA ELIPSE MEDIANTE RADIOS VECTORES ___________ 22
3.1.8.2. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS ______________ 23
3.1.8.3. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS DADOS DOS EJES
CONJUGADOS. _______________________________________________________ 23
3.1.8.4. TRAZADO DE LA ELIPSE POR ENVOLVENTES _____________________ 24
3.1.8.5. TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE CIRCUNFERENCIA A FINES ___ 25
VI Conclusión _____________________________________________________________ 26
V Bibliografía _____________________________________________________________ 27
LA ELIPSE
Índice
DEDICATORIA ________________________________________________________________ 1
AGRADECIMIENTO ____________________________________________________________ 2
RESUMEN____________________________________________________________________ 3
Índice ________________________________________________________________________ 4
I. Introducción _____________________________________________________________ 5
II. Historia de las Secciones Cónicas ___________________________________________ 6
2.1. Se sientan las bases de la Geometría Analítica _____________________________ 8
2.2. Las cónicas como lugares geométricos ____________________________________ 9
2.3. Expresión analítica de las cónicas ________________________________________ 9
2.4. Ejemplos de Aplicación en la vida real. ____________________________________ 9
III. Tema________________________________________________________________ 10
3.1. Elipse______________________________________________________________ 10
3.1.1. Ejemplos de aplicación en la vida real ________________________________ 10
3.1.2. Definiciones y Propiedades. ________________________________________ 10
3.1.3. Elementos de la elipse ____________________________________________ 13
3.1.4. Excentricidad de la elipse __________________________________________ 14
3.1.5. Ecuación de la elipse _____________________________________________ 16
3.1.5.1. Ecuación reducida de la Elipse ____________________________________ 16
3.1.5.2. Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y _______________________ 17
3.1.5.3. Ecuación de la elipse con el centro desplazado de origen de coordenadas. 18
3.1.6. Ejercicios resueltos _______________________________________________ 20
3.1.7. Ejercicios Propuestos (sin solución) __________________________________ 21
3.1.8. Construcciones de una elipse _______________________________________ 22
3.1.8.1. TRAZADO DE LA ELIPSE MEDIANTE RADIOS VECTORES ___________ 22
3.1.8.2. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS ______________ 23
3.1.8.3. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS DADOS DOS EJES
CONJUGADOS. _______________________________________________________ 23
3.1.8.4. TRAZADO DE LA ELIPSE POR ENVOLVENTES _____________________ 24
3.1.8.5. TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE CIRCUNFERENCIA A FINES ___ 25
VI Conclusión _____________________________________________________________ 26
V Bibliografía _____________________________________________________________ 27
MATEMATICA BASICA 1 5
LA ELIPSE
I. Introducción
El presente trabajo da a conocer el tema de “la elipse”, el cual busca dar a conocer los
elementos que este contiene, las formas de graficarlo, las diferentes ecuaciones que
desprenden de un elipse, la historia, propiedades, definición, bases de la geometría analítica,
secciones cónicas; para así poder dar un aporte a los conocimientos teóricos de los diferentes
estudiantes para asi poder sobresalir en su educación.
LA ELIPSE
I. Introducción
El presente trabajo da a conocer el tema de “la elipse”, el cual busca dar a conocer los
elementos que este contiene, las formas de graficarlo, las diferentes ecuaciones que
desprenden de un elipse, la historia, propiedades, definición, bases de la geometría analítica,
secciones cónicas; para así poder dar un aporte a los conocimientos teóricos de los diferentes
estudiantes para asi poder sobresalir en su educación.
MATEMATICA BASICA 1 6
LA ELIPSE
II. Historia de las Secciones Cónicas
Menecmo (350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-
190 A.C.) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar
la propiedad plana que las definía.
Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el
nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas. Apolonio demostró que las curvas cónicas
tienen muchas propiedades interesantes. Quizás las propiedades más interesantes y
útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión.
Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de
Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos.
En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y
espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se
refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz
en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos,
la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta
propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor
iluminada.
René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas
con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En
la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de
segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría
Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan
secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas
son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física.
Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda
lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas
alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido
a una fuerza gravitatoria es una curva cónica.
Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol
son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad
es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón. Más
tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la
órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva
cónica.
El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los
tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo o problema de Delos.
"...la peste se llevó una cuarta parte de la población ateniense y la profunda impresión que produjo
esta catástrofe fue probablemente el origen del segundo problema..."
"...Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podría conjurarse
la peste, a lo que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo.
Al parecer los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener
la peste, obviamente habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos...”
LA ELIPSE
II. Historia de las Secciones Cónicas
Menecmo (350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-
190 A.C.) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar
la propiedad plana que las definía.
Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el
nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas. Apolonio demostró que las curvas cónicas
tienen muchas propiedades interesantes. Quizás las propiedades más interesantes y
útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión.
Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de
Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos.
En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y
espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se
refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz
en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos,
la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta
propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor
iluminada.
René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas
con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En
la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de
segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría
Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan
secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas
son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física.
Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda
lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas
alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido
a una fuerza gravitatoria es una curva cónica.
Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol
son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad
es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón. Más
tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la
órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva
cónica.
El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los
tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo o problema de Delos.
"...la peste se llevó una cuarta parte de la población ateniense y la profunda impresión que produjo
esta catástrofe fue probablemente el origen del segundo problema..."
"...Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podría conjurarse
la peste, a lo que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo.
Al parecer los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener
la peste, obviamente habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos...”
MATEMATICA BASICA 1 7
LA ELIPSE
Fue Hipocrátes de Chios quien demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo siempre
que se pudiera encontrar curvas que cumplieran a/x=x/y=y/2a; y Menecmo halló dichas curvas
como secciones de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma).
Pero es Apolonio de Pérgamo quien hace un tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los
anteriores, y quien da una formulación definitiva.
Todo este estudio de estas formulaciones se encuentra en "Las Cónicas", que son
ocho libros dedicados al estudio de las cónicas. Dicho tratado fue considerado como el corpus
más completo que recogía los conocimientos sobre tales curvas de todo la Antigüedad. Con
posterioridad el rastro de los ocho libros de Las Cónicas de Apolonio se perdió, de tal modo que
su legado ha llegado hasta nosotros de diversas formas. Sólo los cuatro libros primeros se
conservan en griego. El octavo desapareció en su totalidad, pero, gracias a la traducción al árabe
de los libros V al VII que realizara Thabit ibn Qurra, se conservaron los siete primeros. Todos
ellos traducidos al latín en los siglos XVI y XVII por Johanms B Aptista Memus en 1537 y Abraham
Echellencis y Giacomo Alfonso Borelli en 1661.
Estos libros contienen 387 teoremas bien demostrados, algu nos conocidos
por matemáticos anteriores a Apolonio, pero la mayoría de ellos inéditos.
En cuanto a la elaboración de Las Cónicas sabemos que, residiendo en Alejandría, Apolonio fue
visitado por un geómetra llamado Naucrates, y, a petición de este último, escribió un apresurado
borrador de Las Cónicas en ocho libros. Más tarde, ya en Pérgamo, perfeccionó y pulió el
contenido de su primera obra.
El propio Apolonio nos describe en la introducción de su primer libro el contenido del resto.
Resumiremos los ocho libros a continuación:
El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas.
El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas.
El libro III: (el preferido de Apolonio).
El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos.
El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.
El libro VI: trata sobre cónicas semejante.
El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados.
El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice.
Apolonio les da su nombre definitivo Ellipsis (deficiencia), se utilizaba cuando un rectángulo dado
debía de aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado. Mientras que la
palabra Hyperbola (avanzar más allá) se adoptó para el caso en que el área excedía del segmento
dado, y por último la palabra Parábola (colocar al lado o comparar) indicaba que no había
deficiencia ni exceso.
Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto,
variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y "a partir del cono dedujo
LA ELIPSE
Fue Hipocrátes de Chios quien demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo siempre
que se pudiera encontrar curvas que cumplieran a/x=x/y=y/2a; y Menecmo halló dichas curvas
como secciones de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma).
Pero es Apolonio de Pérgamo quien hace un tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los
anteriores, y quien da una formulación definitiva.
Todo este estudio de estas formulaciones se encuentra en "Las Cónicas", que son
ocho libros dedicados al estudio de las cónicas. Dicho tratado fue considerado como el corpus
más completo que recogía los conocimientos sobre tales curvas de todo la Antigüedad. Con
posterioridad el rastro de los ocho libros de Las Cónicas de Apolonio se perdió, de tal modo que
su legado ha llegado hasta nosotros de diversas formas. Sólo los cuatro libros primeros se
conservan en griego. El octavo desapareció en su totalidad, pero, gracias a la traducción al árabe
de los libros V al VII que realizara Thabit ibn Qurra, se conservaron los siete primeros. Todos
ellos traducidos al latín en los siglos XVI y XVII por Johanms B Aptista Memus en 1537 y Abraham
Echellencis y Giacomo Alfonso Borelli en 1661.
Estos libros contienen 387 teoremas bien demostrados, algu nos conocidos
por matemáticos anteriores a Apolonio, pero la mayoría de ellos inéditos.
En cuanto a la elaboración de Las Cónicas sabemos que, residiendo en Alejandría, Apolonio fue
visitado por un geómetra llamado Naucrates, y, a petición de este último, escribió un apresurado
borrador de Las Cónicas en ocho libros. Más tarde, ya en Pérgamo, perfeccionó y pulió el
contenido de su primera obra.
El propio Apolonio nos describe en la introducción de su primer libro el contenido del resto.
Resumiremos los ocho libros a continuación:
El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas.
El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas.
El libro III: (el preferido de Apolonio).
El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos.
El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.
El libro VI: trata sobre cónicas semejante.
El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados.
El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice.
Apolonio les da su nombre definitivo Ellipsis (deficiencia), se utilizaba cuando un rectángulo dado
debía de aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado. Mientras que la
palabra Hyperbola (avanzar más allá) se adoptó para el caso en que el área excedía del segmento
dado, y por último la palabra Parábola (colocar al lado o comparar) indicaba que no había
deficiencia ni exceso.
Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto,
variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y "a partir del cono dedujo
MATEMATICA BASICA 1 8
LA ELIPSE
una propiedad plana fundamental, una condición necesaria y suficiente para que un punto esté
situado en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas
por métodos planimétricos exclusivamente..." y "consigue una de las mejores obras de
la matemática antigua".
2.1. Se sientan las bases de la Geometría Analítica
Uno de ellos fue el matemático y astrónomo persa Omar Jayam (1048 – 1131).
Este llevó a cabo una serie de trabajos que se convertirían en fundamentales
en dicha área científica y que ejercerían como pilares para el desarrollo de
teorías posteriores. Entre aquellos se encuentran, por ejemplo, Disertación
sobre una posible demostración del postulado paralelo o Tesis sobre
demostraciones de álgebra.
De estos textos realizados por dicho autor persa parece ser que podría haber
“bebido” el científico francés René Descartes (1596 – 1650) que es otra de las
figuras clave en el origen de la geometría analítica y es que muchos autores
dictaminan que él es el padre de la misma. Así, entre sus principales
aportaciones se encontrarían los llamados ejes cartesianos y entre sus trabajos
más influyentes está, por ejemplo, La Geometría.
Junto a estas dos importantes figuras no hay que pasar por alto tampoco la del
matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665), también conocido como
Eric Temple Bell. Este está considerado como el descubridor del principio
fundamental de la geometría analítica y ha pasado a la historia no sólo por este
sino también por su teoría de los números.
Contribuyentes en la teoría de la geometría analítica.
LA ELIPSE
una propiedad plana fundamental, una condición necesaria y suficiente para que un punto esté
situado en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas
por métodos planimétricos exclusivamente..." y "consigue una de las mejores obras de
la matemática antigua".
2.1. Se sientan las bases de la Geometría Analítica
Uno de ellos fue el matemático y astrónomo persa Omar Jayam (1048 – 1131).
Este llevó a cabo una serie de trabajos que se convertirían en fundamentales
en dicha área científica y que ejercerían como pilares para el desarrollo de
teorías posteriores. Entre aquellos se encuentran, por ejemplo, Disertación
sobre una posible demostración del postulado paralelo o Tesis sobre
demostraciones de álgebra.
De estos textos realizados por dicho autor persa parece ser que podría haber
“bebido” el científico francés René Descartes (1596 – 1650) que es otra de las
figuras clave en el origen de la geometría analítica y es que muchos autores
dictaminan que él es el padre de la misma. Así, entre sus principales
aportaciones se encontrarían los llamados ejes cartesianos y entre sus trabajos
más influyentes está, por ejemplo, La Geometría.
Junto a estas dos importantes figuras no hay que pasar por alto tampoco la del
matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665), también conocido como
Eric Temple Bell. Este está considerado como el descubridor del principio
fundamental de la geometría analítica y ha pasado a la historia no sólo por este
sino también por su teoría de los números.
Contribuyentes en la teoría de la geometría analítica.
MATEMATICA BASICA 1 9
LA ELIPSE
2.2. Las cónicas como lugares geométricos
Si “F” es un punto fijo del plano y “D” una recta, el lugar geométrico de los puntos
del plano cuyas distancias al punto “F” y a la recta “D” están en proporción
constante es una cónica no degenerada (elipse, hipérbola, parábola).
Al punto “F” se le denomina FOCO de la cónica y a la recta
“D” DIRECTRIZ asociada al foco “F”.
2.3. Expresión analítica de las cónicas
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica
mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
En la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
h
2
> ab: hipérbola.
h
2
= ab: parábola.
h
2
< ab: elipse.
a = b y h = 0: circunferencia (considerada un caso particular de la elipse).
2.4. Ejemplos de Aplicación en la vida real.
Los cables de los puentes colgantes forman la envolvente de una parábola.
En diseños artísticos es común encuadrar retratos y fotografías en un marco con
forma elíptica.
Las orbitas alrededor del sol son elípticas.
LA ELIPSE
2.2. Las cónicas como lugares geométricos
Si “F” es un punto fijo del plano y “D” una recta, el lugar geométrico de los puntos
del plano cuyas distancias al punto “F” y a la recta “D” están en proporción
constante es una cónica no degenerada (elipse, hipérbola, parábola).
Al punto “F” se le denomina FOCO de la cónica y a la recta
“D” DIRECTRIZ asociada al foco “F”.
2.3. Expresión analítica de las cónicas
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica
mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
En la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
h
2
> ab: hipérbola.
h
2
= ab: parábola.
h
2
< ab: elipse.
a = b y h = 0: circunferencia (considerada un caso particular de la elipse).
2.4. Ejemplos de Aplicación en la vida real.
Los cables de los puentes colgantes forman la envolvente de una parábola.
En diseños artísticos es común encuadrar retratos y fotografías en un marco con
forma elíptica.
Las orbitas alrededor del sol son elípticas.
MATEMATICA BASICA 1 10
LA ELIPSE
III. Tema
3.1. Elipse
3.1.1. Ejemplos de aplicación en la vida real
Lentes
Edificios
Construcciones de estadios
Mesas, etc.
3.1.2. Definiciones y Propiedades.
La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos tiene la propiedad que la suma
de distancia de cada uno de ellos a otros dos fijos, llamados focos, es constante e
igual al eje mayor de la elipse.
Los ejes se cortan perpendicularmente en el centro de la elipse, esta es simétrica
respecto a los dos ejes.
El "eje mayor" se denomina eje real y el menor "eje imaginario".
La distancia focal, o la determinación de los focos, se realiza de la siguiente manera:
Se traza un arco de radio igual al semieje mayor y de centro un extremo del eje menor;
los puntos de corte del arco anterior con el eje de simetría mayor son los focos de la
elipse (F1 y F2).
En la Ilustración nº 1 observamos como trazando dos rectas desde un punto (P)
cualquiera de la Elipse, hasta los focos (F1 F2) se obtienen dos segmentos que al
sumarlos nos darán una magnitud igual al eje de simetría mayor AB.
LA ELIPSE
III. Tema
3.1. Elipse
3.1.1. Ejemplos de aplicación en la vida real
Lentes
Edificios
Construcciones de estadios
Mesas, etc.
3.1.2. Definiciones y Propiedades.
La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos tiene la propiedad que la suma
de distancia de cada uno de ellos a otros dos fijos, llamados focos, es constante e
igual al eje mayor de la elipse.
Los ejes se cortan perpendicularmente en el centro de la elipse, esta es simétrica
respecto a los dos ejes.
El "eje mayor" se denomina eje real y el menor "eje imaginario".
La distancia focal, o la determinación de los focos, se realiza de la siguiente manera:
Se traza un arco de radio igual al semieje mayor y de centro un extremo del eje menor;
los puntos de corte del arco anterior con el eje de simetría mayor son los focos de la
elipse (F1 y F2).
En la Ilustración nº 1 observamos como trazando dos rectas desde un punto (P)
cualquiera de la Elipse, hasta los focos (F1 F2) se obtienen dos segmentos que al
sumarlos nos darán una magnitud igual al eje de simetría mayor AB.
MATEMATICA BASICA 1 11
LA ELIPSE
PARÁMETROS DE LA ELIPSE: (Ilustración nº 1)
a= La distancia que hay desde el Centro de la elipse
a un extremo del eje de simetría mayor (a). Eje de
simetría Mayor (AB) se denomina 2a.
b= La distancia que hay desde el centro de la elipse
a un extremo del eje de simetría menor (b). Eje de
simetría Menor (CD) se denomina 2b.
c=La distancia que hay desde el centro de la elipse a
uno de los focos (F1, por ejemplo) Distancia Focal se
denomina 2c.
DIÁMETROS CONJUGADOS: (Ilustración nº 2)
Son las cuerdas que pasan por El Centro de la elipse
de Tal modo que cualquier cuerda paralela a uno de
dichos diámetros queda dividida en dos partes iguales.
Para construir una elipse a partir de sus diámetros
conjugados se sigue el siguiente método:
1.- Se traza una circunferencia de diámetro igual al
conjugado mayor (AB) y se levanta perpendiculares a
él de manera arbitraria.
2.- Por los puntos de intersección entre las cuerdas
anteriores con el diámetro conjugado AB se trazan
paralelas al otro conjugado (CD).
3.- Unir mediante rectas los extremos del diámetro de
la circunferencia con los extremos del conjugado
LA ELIPSE
PARÁMETROS DE LA ELIPSE: (Ilustración nº 1)
a= La distancia que hay desde el Centro de la elipse
a un extremo del eje de simetría mayor (a). Eje de
simetría Mayor (AB) se denomina 2a.
b= La distancia que hay desde el centro de la elipse
a un extremo del eje de simetría menor (b). Eje de
simetría Menor (CD) se denomina 2b.
c=La distancia que hay desde el centro de la elipse a
uno de los focos (F1, por ejemplo) Distancia Focal se
denomina 2c.
DIÁMETROS CONJUGADOS: (Ilustración nº 2)
Son las cuerdas que pasan por El Centro de la elipse
de Tal modo que cualquier cuerda paralela a uno de
dichos diámetros queda dividida en dos partes iguales.
Para construir una elipse a partir de sus diámetros
conjugados se sigue el siguiente método:
1.- Se traza una circunferencia de diámetro igual al
conjugado mayor (AB) y se levanta perpendiculares a
él de manera arbitraria.
2.- Por los puntos de intersección entre las cuerdas
anteriores con el diámetro conjugado AB se trazan
paralelas al otro conjugado (CD).
3.- Unir mediante rectas los extremos del diámetro de
la circunferencia con los extremos del conjugado
MATEMATICA BASICA 1 12
LA ELIPSE
menor (CD) y trazar por los extremos de las cuerdas
obtenidas anteriormente paralelas a los segmentos
anteriores (extremos del diámetro de la circunferencia
y CD) hasta que corten a cada paralela a CD en dos
puntos, éstos determinan la elipse.
ELIPSE FUNDAMENTOS
CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL:
(Ilustración n° 3)
Es el lugar geométrico de los pies de las
perpendicularidades trazadas desde un foco a las
tangentes de las cónicas correspondiente.
El centro de esta circunferencia es el de la elipse,
siendo su radio el semieje mayor (a).
La intersección de una recta tangente a la cónica
con la circunferencia principal determina dos
puntos (P y R) que son los pies de las
perpendiculares trazadas a dicha recta tangente,
estas cortaran al eje de simetría mayor
determinando los focos.
CIRCUNFERENCIAS FOCALES:
(Ilustración n° 4)
Las circunferencias focales se definen como: el
lugar geométrico de los puntos simétricos del otro
foco respecto de las tangentes a la cónica.
Los centros de estas circunferencias son los focos
de la cónica y su radio es igual al del eje de
simetría mayor (2ª)
La elipse tiene dos circunferencias focales.
OTRA DEFINICION DE ELIPSE:
LA ELIPSE
menor (CD) y trazar por los extremos de las cuerdas
obtenidas anteriormente paralelas a los segmentos
anteriores (extremos del diámetro de la circunferencia
y CD) hasta que corten a cada paralela a CD en dos
puntos, éstos determinan la elipse.
ELIPSE FUNDAMENTOS
CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL:
(Ilustración n° 3)
Es el lugar geométrico de los pies de las
perpendicularidades trazadas desde un foco a las
tangentes de las cónicas correspondiente.
El centro de esta circunferencia es el de la elipse,
siendo su radio el semieje mayor (a).
La intersección de una recta tangente a la cónica
con la circunferencia principal determina dos
puntos (P y R) que son los pies de las
perpendiculares trazadas a dicha recta tangente,
estas cortaran al eje de simetría mayor
determinando los focos.
CIRCUNFERENCIAS FOCALES:
(Ilustración n° 4)
Las circunferencias focales se definen como: el
lugar geométrico de los puntos simétricos del otro
foco respecto de las tangentes a la cónica.
Los centros de estas circunferencias son los focos
de la cónica y su radio es igual al del eje de
simetría mayor (2ª)
La elipse tiene dos circunferencias focales.
OTRA DEFINICION DE ELIPSE:
MATEMATICA BASICA 1 13
LA ELIPSE
(Ilustración n° 5)
Es el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que son tangentes a una
circunferencia focal y que pasan por el otro foco.
Los puntos de tangencia de la circunferencia con la focal estarán alineados con su foco
correspondiente.
En la ilustración n°4 F1 está en línea con P y F2 con R y F1
3.1.3. Elementos de la elipse
FOCOS: son los puntos fijos F1 y F2. Punto asociado con una elipse.
EJE FO C AL: Es la rec ta que pas a por los foc os .
VÉR TIC ES: Son los puntos V1 y V2 en donde el eje focal
c orta a la elips e
C ENTR O : Es el punto M entre los foc os .
EJE NO R MAL: Es la rec ta L´ que pas a por M y es
perpendic ular al eje foc al Son
EJE MAYO R : Es el s egm ento V1V2= 2a de la elips e, a es el
valor del s em ieje m ayor.
EJE MENO R : Es el s egm ento B1B2= 2b de la elips e, b es el
valor del s em ieje m enor.
C UER D A FO C AL: Es el s egm ento EP.
LA ELIPSE
(Ilustración n° 5)
Es el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que son tangentes a una
circunferencia focal y que pasan por el otro foco.
Los puntos de tangencia de la circunferencia con la focal estarán alineados con su foco
correspondiente.
En la ilustración n°4 F1 está en línea con P y F2 con R y F1
3.1.3. Elementos de la elipse
FOCOS: son los puntos fijos F1 y F2. Punto asociado con una elipse.
EJE FO C AL: Es la rec ta que pas a por los foc os .
VÉR TIC ES: Son los puntos V1 y V2 en donde el eje focal
c orta a la elips e
C ENTR O : Es el punto M entre los foc os .
EJE NO R MAL: Es la rec ta L´ que pas a por M y es
perpendic ular al eje foc al Son
EJE MAYO R : Es el s egm ento V1V2= 2a de la elips e, a es el
valor del s em ieje m ayor.
EJE MENO R : Es el s egm ento B1B2= 2b de la elips e, b es el
valor del s em ieje m enor.
C UER D A FO C AL: Es el s egm ento EP.
MATEMATICA BASICA 1 14
LA ELIPSE
LAD O R EC TO: Son los s egm entos LR y L “r” que pas an por
los foc os .
D IÁMETR O : Es el s egm ento TH que pas a por el c entro de la
elips e.
D IR EC TRIC ES: Son los s egm entos D 1´D 2´ y D 1D 2 y s on
perpendic ulares al eje foc al.
R AD IO FO C AL: Son los s egm entos F1N, F2N.
EJES D E SIMETR ÍA: Son las rec tas que c ontienen al eje
m ayor o al eje m enor.
C ENTR O D E SIMETR ÍA: C oinc ide c on el c entro de la elipse,
que es el punto de inters ec c ión de los ejes de s im etría.
3.1.4. Excentricidad de la elipse
La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse,
en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la
semidistancia focal y al semieje mayor:
LA ELIPSE
LAD O R EC TO: Son los s egm entos LR y L “r” que pas an por
los foc os .
D IÁMETR O : Es el s egm ento TH que pas a por el c entro de la
elips e.
D IR EC TRIC ES: Son los s egm entos D 1´D 2´ y D 1D 2 y s on
perpendic ulares al eje foc al.
R AD IO FO C AL: Son los s egm entos F1N, F2N.
EJES D E SIMETR ÍA: Son las rec tas que c ontienen al eje
m ayor o al eje m enor.
C ENTR O D E SIMETR ÍA: C oinc ide c on el c entro de la elipse,
que es el punto de inters ec c ión de los ejes de s im etría.
3.1.4. Excentricidad de la elipse
La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse,
en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la
semidistancia focal y al semieje mayor:
MATEMATICA BASICA 1 15
LA ELIPSE
La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es
una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los
focos (F1 y F1) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y
tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.
Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).
LA ELIPSE
La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es
una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los
focos (F1 y F1) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y
tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.
Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).
MATEMATICA BASICA 1 16
LA ELIPSE
Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:
La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función
trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:
3.1.5. Ecuación de la elipse
3.1.5.1. Ecuación reducida de la Elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de las coordenadas y los ejes
de la elipse como ejes de las coordenadas. Las coordenadas de los focos
son:
F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple.
Esta expresión da lugar a:
LA ELIPSE
Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:
La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función
trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:
3.1.5. Ecuación de la elipse
3.1.5.1. Ecuación reducida de la Elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de las coordenadas y los ejes
de la elipse como ejes de las coordenadas. Las coordenadas de los focos
son:
F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple.
Esta expresión da lugar a:
MATEMATICA BASICA 1 17
LA ELIPSE
Realizando las operaciones:
3.1.5.2. Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y
Si el eje principal se encuentra en las ordenadas se obtendrá la siguiente
ecuación:
Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(o, c)
LA ELIPSE
Realizando las operaciones:
3.1.5.2. Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y
Si el eje principal se encuentra en las ordenadas se obtendrá la siguiente
ecuación:
Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(o, c)
MATEMATICA BASICA 1 18
LA ELIPSE
3.1.5.3. Ecuación de la elipse con el centro desplazado de origen de
coordenadas.
El eje principal que contiene las coordenadas de los focos y vértices del
eje mayor es paralelo al eje de ordenadas.
La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos
se mantiene constante e igual a
Las coordenadas de los focos son: F1 (0, c) y F2 (0,-c).
Hacemos uso del cálculo de la distancia entre dos puntos:
Pasamos la primera raíz a la izquierda del (=):
Elevamos ambos miembros al cuadrado y hacemos operaciones tal como
tienes a continuación, paso a paso:
LA ELIPSE
3.1.5.3. Ecuación de la elipse con el centro desplazado de origen de
coordenadas.
El eje principal que contiene las coordenadas de los focos y vértices del
eje mayor es paralelo al eje de ordenadas.
La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos
se mantiene constante e igual a
Las coordenadas de los focos son: F1 (0, c) y F2 (0,-c).
Hacemos uso del cálculo de la distancia entre dos puntos:
Pasamos la primera raíz a la izquierda del (=):
Elevamos ambos miembros al cuadrado y hacemos operaciones tal como
tienes a continuación, paso a paso:
MATEMATICA BASICA 1 19
LA ELIPSE
Sabemos que sacamos factores y constituyendo
por tenemos:
Dividiendo todos los términos por significando y ordenando
llegamos a:
, o bien,
LA ELIPSE
Sabemos que sacamos factores y constituyendo
por tenemos:
Dividiendo todos los términos por significando y ordenando
llegamos a:
, o bien,
MATEMATICA BASICA 1 20
LA ELIPSE
3.1.6. Ejercicios resueltos
LA ELIPSE
3.1.6. Ejercicios resueltos
MATEMATICA BASICA 1 21
LA ELIPSE
3.1.7. Ejercicios Propuestos (sin solución)
Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las
siguientes elipses:
Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de la
siguiente elipse:
Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de la
siguiente elipse:
Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las
siguientes maneras:
a) Sus focos son F'(-3, 0) y F (3, 0) y dos de sus vértices son (-4, 0) y
(4, 0)
b) Pasa por los puntos (3, 0) y (2, 1/5)
Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las
siguientes maneras:
a) F'(-4, 0) y F (4, 0) y longitud del eje menor 6
b) F'(0, -2) y F (0, 2) y cuya excentricidad es igual a 0,4
c) El eje mayor sobre el eje X es 12 y pasa por el punto (4, 4)
d) El eje mayor sobre el eje Y es 4 y su excentricidad es 1/6
LA ELIPSE
3.1.7. Ejercicios Propuestos (sin solución)
Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las
siguientes elipses:
Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de la
siguiente elipse:
Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de la
siguiente elipse:
Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las
siguientes maneras:
a) Sus focos son F'(-3, 0) y F (3, 0) y dos de sus vértices son (-4, 0) y
(4, 0)
b) Pasa por los puntos (3, 0) y (2, 1/5)
Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las
siguientes maneras:
a) F'(-4, 0) y F (4, 0) y longitud del eje menor 6
b) F'(0, -2) y F (0, 2) y cuya excentricidad es igual a 0,4
c) El eje mayor sobre el eje X es 12 y pasa por el punto (4, 4)
d) El eje mayor sobre el eje Y es 4 y su excentricidad es 1/6
MATEMATICA BASICA 1 22
LA ELIPSE
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a R
(-4, 0) y S (4, 0) es igual a 10.
Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a
los focos R (0, -3) y S (0, 3) es igual a 10.
Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos
en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P (10,-4) y que su eje
mayor es igual al doble del menor.
Hallar la ecuación de la tangente y de la normal de la elipse 2x
2
+y
2
=3 en el punto
A (-1,1).
Dada la siguiente elipse 4x
2
+ 5y
2
= 20 hallar las rectas tangente y normal en
el punto de ordenada y= - 1 y abscisa positiva.
Halla las tangentes a la siguiente elipse desde el punto P (5, 0):
3.1.8. Construcciones de una elipse
3.1.8.1. TRAZADO DE LA ELIPSE MEDIANTE RADIOS VECTORES
Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar
geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los
focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo
necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a,
para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje
mayor, 1, 2, 3, etc., y cogeremos como parejas de radios vectores,
los segmentos A1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente,
determinando los puntos 1', 2', 3', etc. de la elipse.
Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos
de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.
Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del
trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o
mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.
LA ELIPSE
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a R
(-4, 0) y S (4, 0) es igual a 10.
Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a
los focos R (0, -3) y S (0, 3) es igual a 10.
Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos
en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P (10,-4) y que su eje
mayor es igual al doble del menor.
Hallar la ecuación de la tangente y de la normal de la elipse 2x
2
+y
2
=3 en el punto
A (-1,1).
Dada la siguiente elipse 4x
2
+ 5y
2
= 20 hallar las rectas tangente y normal en
el punto de ordenada y= - 1 y abscisa positiva.
Halla las tangentes a la siguiente elipse desde el punto P (5, 0):
3.1.8. Construcciones de una elipse
3.1.8.1. TRAZADO DE LA ELIPSE MEDIANTE RADIOS VECTORES
Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar
geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los
focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo
necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a,
para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje
mayor, 1, 2, 3, etc., y cogeremos como parejas de radios vectores,
los segmentos A1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente,
determinando los puntos 1', 2', 3', etc. de la elipse.
Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos
de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.
Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del
trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o
mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.
MATEMATICA BASICA 1 23
LA ELIPSE
3.1.8.2. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS
Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en
un mismo número de partes iguales.
Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en
sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se
repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.
3.1.8.3. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS DADOS
DOS EJES CONJUGADOS.
Trazaremos el romboide A'O'C'E', y dividiremos los
lados A'O' y A'E' en un mismo número de partes iguales.
Seguidamente iremos trazando las rectas C'1-D'1, C'2-D'2, etc. y en
sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se
repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.
LA ELIPSE
3.1.8.2. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS
Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en
un mismo número de partes iguales.
Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en
sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se
repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.
3.1.8.3. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS DADOS
DOS EJES CONJUGADOS.
Trazaremos el romboide A'O'C'E', y dividiremos los
lados A'O' y A'E' en un mismo número de partes iguales.
Seguidamente iremos trazando las rectas C'1-D'1, C'2-D'2, etc. y en
sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se
repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.
MATEMATICA BASICA 1 24
LA ELIPSE
3.1.8.4. TRAZADO DE LA ELIPSE POR ENVOLVENTES
Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de
una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares
trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.
Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como
el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos
por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la
elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que
irán envolviendo a la elipse.
LA ELIPSE
3.1.8.4. TRAZADO DE LA ELIPSE POR ENVOLVENTES
Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de
una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares
trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.
Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como
el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos
por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la
elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que
irán envolviendo a la elipse.
MATEMATICA BASICA 1 25
LA ELIPSE
3.1.8.5. TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE CIRCUNFERENCIA A
FINES
Partiendo de los ejes conjugados A'B' y C'D', comenzaremos trazando la
circunferencia de centro O y diámetro A'B'.
Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares
a A'B', como la 1-2. Uniendo 2 con C', y 1 con D', obtendremos los
triángulosO2C' y O1D'. Solo restará construir en el resto de cuerdas
triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al
triángulo O2C', obteniendo así puntos de la elipse.
LA ELIPSE
3.1.8.5. TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE CIRCUNFERENCIA A
FINES
Partiendo de los ejes conjugados A'B' y C'D', comenzaremos trazando la
circunferencia de centro O y diámetro A'B'.
Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares
a A'B', como la 1-2. Uniendo 2 con C', y 1 con D', obtendremos los
triángulosO2C' y O1D'. Solo restará construir en el resto de cuerdas
triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al
triángulo O2C', obteniendo así puntos de la elipse.
MATEMATICA BASICA 1 26
LA ELIPSE
VI Conclusión
Gracias a la investigación obtenida hemos concluido que:
Para poder hallar una ecuación elíptica solo hay que aplicar las formulas y el
desarrollo será más sencillo.
Para la realización de un trabajo o desarrollo de problemas se tiene que poner
mucha atención y mucho empeño.
El estudio de la elipse se torna un poco complicado al no tener la base necesaria
para el desarrollo del tema.
La elipse es una figura a la cual hay formas de construirlo y si no tomas esos
pasos no te podrá salir exacta.
LA ELIPSE
VI Conclusión
Gracias a la investigación obtenida hemos concluido que:
Para poder hallar una ecuación elíptica solo hay que aplicar las formulas y el
desarrollo será más sencillo.
Para la realización de un trabajo o desarrollo de problemas se tiene que poner
mucha atención y mucho empeño.
El estudio de la elipse se torna un poco complicado al no tener la base necesaria
para el desarrollo del tema.
La elipse es una figura a la cual hay formas de construirlo y si no tomas esos
pasos no te podrá salir exacta.
MATEMATICA BASICA 1 27
LA ELIPSE
V Bibliografía
http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/conicas/elipse01.php
“Cálculo y geometría analítica /”. (Larson, Roland E) autores analíticos Hostetler,
Robert P., coaut. Edwars, Bruce H., coaut. Abellanas Rapún, Lorenzo, tr. México:
McGraw-Hill. 1999. 2 v.: 25 cm. Edición; 6a ed. Título original: Calculus With
Analytic Geometry. V. 1.-- Cap. P Preparación para cálculo.-- Cap. 1 Límites y sus
propiedades.-- Cap. 2 La derivada.-- Cap. 3 Aplicaciones de la derivada.-- Cap. 4
Integración.-- Cap. 5 Funciones logarítmicas, exponenciales y otras funciones
trascendentes.-- Cap. 6 Aplicaciones de la integral.-- Cap. 7 Métodos de
intergración, regla de L'Hopital e integrales impropias.-- Cap. 8 Series.--V. 2.-- Cap.
9 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.-- Cap. 10 Vectores y
geometría del espacio.-- Cap. 11 Funciones vectorales.-- Cap. 12 Funciones de
varias variables.-- Cap. 13 Integración múltiple.-- Cap. 14 Análisis vectorial.-- Cap.
15 Ecuaciones diferenciales.
“Calculo y geometria analitica.2”. ed. (Simmons, G.F.; Martinez Fernandez, J.J.
(Trad.)Llovet, J. (Rev.Tec.). Mexico (Mexico). McGraw-Hill/Interamericana. 2002.
919 p. MATEMATICAS.
CÁLCULO; GEOMETRIA ANALITICA; FUNCIONES; ANALISIS FUNCIONAL;
FUNCIONES DIFERENCIALES; FUNCIONES EX PONENCIALES.
http://www.vitutor.com/geo/coni/elipse.html
http://www.ditutor.com/geometria_analitica/elipses.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse.html
http://www.roberprof.com/2009/09/08/elipse-elementos/
https://sites.google.com/site/geometriaanaliticageraferjenny/unidad-3/la-elipse
LA ELIPSE
V Bibliografía
http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/conicas/elipse01.php
“Cálculo y geometría analítica /”. (Larson, Roland E) autores analíticos Hostetler,
Robert P., coaut. Edwars, Bruce H., coaut. Abellanas Rapún, Lorenzo, tr. México:
McGraw-Hill. 1999. 2 v.: 25 cm. Edición; 6a ed. Título original: Calculus With
Analytic Geometry. V. 1.-- Cap. P Preparación para cálculo.-- Cap. 1 Límites y sus
propiedades.-- Cap. 2 La derivada.-- Cap. 3 Aplicaciones de la derivada.-- Cap. 4
Integración.-- Cap. 5 Funciones logarítmicas, exponenciales y otras funciones
trascendentes.-- Cap. 6 Aplicaciones de la integral.-- Cap. 7 Métodos de
intergración, regla de L'Hopital e integrales impropias.-- Cap. 8 Series.--V. 2.-- Cap.
9 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.-- Cap. 10 Vectores y
geometría del espacio.-- Cap. 11 Funciones vectorales.-- Cap. 12 Funciones de
varias variables.-- Cap. 13 Integración múltiple.-- Cap. 14 Análisis vectorial.-- Cap.
15 Ecuaciones diferenciales.
“Calculo y geometria analitica.2”. ed. (Simmons, G.F.; Martinez Fernandez, J.J.
(Trad.)Llovet, J. (Rev.Tec.). Mexico (Mexico). McGraw-Hill/Interamericana. 2002.
919 p. MATEMATICAS.
CÁLCULO; GEOMETRIA ANALITICA; FUNCIONES; ANALISIS FUNCIONAL;
FUNCIONES DIFERENCIALES; FUNCIONES EX PONENCIALES.
http://www.vitutor.com/geo/coni/elipse.html
http://www.ditutor.com/geometria_analitica/elipses.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse.html
http://www.roberprof.com/2009/09/08/elipse-elementos/
https://sites.google.com/site/geometriaanaliticageraferjenny/unidad-3/la-elipse
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