Integração numerica

muito bom o material

1. CI202 - Métodos Numéricos
1
Introdução
Do ponto de vista analítico existem diversas 
regras, que podem ser utilizadas na prática.
Porém, técnicas de integração analítica, como o 
Teorema Fundamental do Cálculo Integral, nem 
sempre resolvem todos os casos.
Também não se pode dizer que uma função 
simples terá também uma primitiva simples.
Pois f(x) = 1/x (função algégrica racional) ln(x) (função transcendente → primitiva de 1/x)
Integração Numérica Integração Numérica

2. CI202 - Métodos Numéricos
2
Introdução
Quando não se pode calcular a integral por 
métodos analíticos, mecânicos ou gráficos, 
recorre-se a métodos algorítmicos.
Porém existem situações em que apenas os 
métodos numéricos podem ser usados.
Se não possuirmos a expressão analítica de f, 
poderemos apenas usar o método numérico. A integração numérica pode trazer ótimos 
resultados quando outros métodos falham.
Integração Numérica Integração Numérica

3. CI202 - Métodos Numéricos
3
Introdução
A solução numérica de uma integral simples é 
comumente chamada de quadratura.
Sabe-se que do Cálculo Diferencial e Integral que 
se f(x) é uma função contínua em [a,b], então 
esta função tem uma primitiva neste intervalo.
Assim, existe F(x) tal que ∫ f(x) dx = F(x) + C, 
com F'(x) = f(x);
Integração Numérica Integração Numérica

4. CI202 - Métodos Numéricos
4
Introdução
Demonstra-se que, no intervalo [a,b], tais métodos, não se aplicam a alguns tipos de 
integrandos f(x), se não são conhecidas suas 
primitivas F(x).
Nestes casos, e naqueles em que a obtenção da 
primitiva, embora viável, é muito trabalhosa, 
podem ser empregados métodos para o cálculo 
do valor numérico aproximado de:
Integração Numérica Integração Numérica ç
a
b
fãxídxáFãbíâFãaí
ç
a
b
fãxídx

5. CI202 - Métodos Numéricos
5
Introdução
A aplicação de tais métodos é obviamente 
necessária no caso em que o valor de f(x) é 
conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo 
[a,b], ou através de um gráfico. Lembrando que:
Integração Numérica Integração Numérica
ç
a
b
fãxídxálim
nõó
ô
iá1
n
fã x
i
íx
i
ãRiemanní,
onde X
ix
iâ1,x
ipartesdea,b,comx
0áa,x
náb ex
iáx
iâx
i
â
1,paransuficientementegrande
e

x
i
suficientementepequeno.
ô
iá1
n
fã x
i
íx
i
õlim
a
b
fãxídx

6. CI202 - Métodos Numéricos
6
Introdução
Sendo f(x) não negativa em [a,b],                                 
representa, numericamente, a área da figura 
delimitada por y=0, x = a, x = b e y = f(x), como 
mostra a figura abaixo:
Integração Numérica Integração Numérica
ç
a
b
f
ã
x
í
dx
Aáç
a
b
fãxídx

7. CI202 - Métodos Numéricos
7
Introdução
Quando f(x) não for somente positiva, pode-se 
considerar f(x) em módulo, para o cálculo da área, 
como mostra a figura abaixo:
Integração Numérica Integração Numérica
Aáç
a
c
fãxíç
c
b
fãxídx
Aáç
a
b
fãxídx
ou

8. CI202 - Métodos Numéricos
8
Introdução
A idéia básica da integração numérica é a 
substituição da função f(x) por um polinômio que a 
aproxime razoavelmente no intervalo [a,b].
Assim o problema fica resolvido pela integração de 
polinômios (tarefa trivial).
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9. CI202 - Métodos Numéricos
9
Introdução
Com este raciocínio podemos deduzir fórmulas para 
aproximar a integral de f(x)dx no intervalo [a;b].
As fórmulas que deduziremos terão a expressão 
abaixo:
Integração Numérica Integração Numérica
x
ia,b,iá0,1,...,n
ç
a
b
fãxídxáç
x
0
x
n
fãxídxA
0
fãx
0
íA
1
fãx
1
í...A
n
fãx
n
í

10. CI202 - Métodos Numéricos
10
Fórmulas de Newton-Cotes
Nas fórmulas de Newton-Cotes a idéia de polinômio 
que aproxime f(x) razoavelmente é que este 
polinômio interpole f(x) em pontos de [a,b] 
igualmente espaçados. 
Consideremos a partição do intervalo [a,b] em 
subintervalos, de comprimento h, [ x
i
, x
i+1
], i = 
0,1,...,n-1. Assim x
i+1
 – x
i
 = h = ( b - a ) / n.
Integração Numérica Integração Numérica

11. CI202 - Métodos Numéricos
11
Fórmulas de Newton-Cotes
As fórmulas fechadas de Newton-Cotes são fórmulas 
de integração do tipo x
0
 = a, x
n
 = b e 
Sendo os coeficientes A
i
 determinados de acordo 
com o grau do polinômio aproximador.
Analisaremos a seguir algumas fórmulas fechadas 
de Newton-Cotes como regra dos retângulos, regra 
dos trapézios e regra de Simpson.
Integração Numérica Integração Numérica
ç
a
b
f
ã
x
í
dx
á
ç
x
0
x
n
f
ã
x
í
dx

A
0
f
ã
x
0í
A
1
f
ã
x
1
í
...

A
n
f
ã
x
níá
ô i
á
0
n
A
i
f
ã
x
i
í

12. CI202 - Métodos Numéricos
12
Regra dos Retângulos
Seja o intervalo finito [a,b] no eixo x que é 
particionado em n subintervalos igualmente 
espaçados [ x
i
, x
i+1 
], com x
0
 = a e x
n
 = b e h
i
 = x
i+1
– x
i
. 
Seja f uma função contínua ou simplesmente 
Riemann integrável, cuja integral não é conhecida.
Nosso objetivo é calcular                          pelo método 
da área dos retângulos.
Tais retângulos podem ser considerados de diversas 
maneiras.
Integração Numérica Integração Numérica
Aáç
a
b
fãxídx

13. CI202 - Métodos Numéricos
13
Regra dos Retângulos
 No primeiro caso, a área de cada retângulo é f(x
i
)*h
i 
.
Integração Numérica Integração Numérica

14. CI202 - Métodos Numéricos
14
Regra dos Retângulos
 Em (b) a área de cada retângulo é f(x
i+1
)*h
i 
.
Integração Numérica Integração Numérica

15. CI202 - Métodos Numéricos
15
Regra dos Retângulos
E em (c) a área de cada retângulo é f((x
i 
+ x
i+1
)/2)*h
i 
.
Integração Numérica Integração Numérica

16. CI202 - Métodos Numéricos
16
Regra dos Retângulos
Em qualquer caso a soma das áreas dos retângulos 
será uma aproximação para:
Subdividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos, 
pela regra dos retângulos, que será indicado por 
R(h), é dada pelas fórmulas:
Integração Numérica Integração Numérica
ç
a
b
fãxídx
Rãh
n
íáô
i
á
0
n
â
1
fãx
iíh
i
õãcasoaí
R
ã
h
n
íá
ô i
á
0
n
â
1
f
ã
x
i

1
í
h
i
õã
casob
í
Rãh
n
íáô
i
á
0
n
â
1
f
ã
x
ix
i

1
2
í
h
i
õãcasocí

17. CI202 - Métodos Numéricos
17
Regra dos Retângulos
Como h
i
 é constante, temos h = (b – a) / n. Então: Em geral, quando se utilizar a regra dos retângulos 
se efetua os cálculos através do caso (c), ou seja:
Integração Numérica Integração Numérica
Rãh
n
íáhô
i
á
0
n
â
1
fãx
iíõãcasoaí
Rãh
n
íáhô
i
á
0
n
â
1
fãx
i

1
íõãcasobí
Rãh
n
íáhô
i
á
0
n
â
1
f
ã
x
ix
i

1
2
í
õãcasocí
Rãh
níáhô
iá0
nâ1
fã x
ií
,sendo
x
iá
x
ix
i1
2

18. CI202 - Métodos Numéricos
18
Regra dos Retângulos
Exemplo: Calcular                   .  Considere n=4 e 4 
casas decimais com arredondamento.
Integração Numérica Integração Numérica
ç
â
1
1
x
2
â1dx
Rãh
4
íáâ1,375
ç
â
1
1
x
2
â
1dx
áâ
1,3333

19. CI202 - Métodos Numéricos
19
Regra dos Retângulos
Exercício: Calcular                   .  Considere n=4 e 4 
casas decimais com arredondamento.
Respostas: 
R(h4) = 345,2234
Analítico: 348,8307
Integração Numérica Integração Numérica
ç
4
6
e
x
dx

20. CI202 - Métodos Numéricos
20
Regra dos Trapézios
Seja o intervalo finito [a,b] no eixo x que é 
particionado em n subintervalos igualmente 
espaçados [ x
i
, x
i+1 
], com x
0
 = a e x
n
 = b e h
i
 = x
i+1
– x
i
. 
Seja f uma função contínua ou simplesmente 
Riemann integrável, cuja integral não é conhecida.
Integração Numérica Integração Numérica

21. CI202 - Métodos Numéricos
21
Regra dos Trapézios
Numericamente a regra dos trapézios é obtida 
aproximando-se f por um polinômio interpolador de 
1° grau. Então usa-se a fórmula de Lagrange para 
expressar o polinômio p
1
(x) que interpola em x
0
 e x
1
 
temos:
Assim,                                  ,  que é a área do 
trapézio de altura h = x
1
 – x
0
 e bases f(x
0
) e f(x
1
).
Integração Numérica Integração Numérica
ç
a
b
fãxídx
ç
aáx
0
báx
1
p
1
ãxídxá
ç
x
0
x
1

ãxâx
1
í
âh
fãx
0
í
ãxâx
0
í
âh
fãx
1
í

dxáI
T
I
T
á
h
2

fãx
0
ífãx
1
í

22. CI202 - Métodos Numéricos
22
Regra dos Trapézios
Geometricamente: Podemos ver, conforme mostra a 
figura abaixo:
A área de cada trapézio é: A soma dessas áreas será uma aproximação para:
Integração Numérica Integração Numérica
ãfãx
i
ífãx
i1
íí
2
h
i
ç
a
b
fãxídx

23. CI202 - Métodos Numéricos
23
Regra dos Trapézios Repetida
Dividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos, pela 
regra dos trapézios, o resultado, que será indicado 
por T(h), é dada pela fórmula:
Como h
i
 é constante, temos h = (b-a)/n. Então:
Integração Numérica Integração Numérica
Tãh
n
íá
ô i
á
0
n
â
1
ã
fãx
i
ífãx
i

1
í
2
í
h
i
Tãh
n
íá
h
2
fãx
0
í2fãx
1
í2fãx
2
í...2fãx
nâ1
ífãx
n
í
T
ã
h
n
íá
h

ô iá0
nâ1
ã
f
ã
x
i
í
f
ã
x
i1
í
2
í

24. CI202 - Métodos Numéricos
24
Regra dos Trapézios
Exemplo: Calcular                   .  Considere n=4 e 4 
casas decimais com arredondamento.
Integração Numérica Integração Numérica
ç
â
1
1
x
2
â1dx
T
ã
h
4
íáâ
1,25
ç
â
1
1
x
2
â
1dx
áâ
1,3333

25. CI202 - Métodos Numéricos
25
Regra dos Trapézios
Exercício: Calcular                            .  Considere n=4 
e 4 casas decimais com arredondamento.
Respostas: 
T(h4) = 0,0782
Analítico: 0,0834
Integração Numérica Integração Numérica
ç
0
1
x
3
â2x
2
3xâ1dx