Integración por parte

Métodos de Integración: por parte

1. 1
INTEGRACIÓN POR PARTES

2. 2
•Cuando la integral no se pueda resolver por ninguno de los tres métodos
anteriores o pudiendo hacerse no se vea claro el cambio de variable a
emplear, se recurre a la integración por partes:
• Sea ò f(x).g(x) dx , en general.
•[ puede que f(x)= 1 , o que g(x)=1 ]
• ò f(x).g(x)dx = ò u. dv = u.v - ò v du
•
• f(x) = u  f ’(x) dx = du
• g(x) dx = dv  ò g(x) dx = ò dv = v
•La segunda integral , ò v du , suele ser inmediata.
•De no serlo, o nos hemos equivocado en los cambios de variables ( u y v) o
tendremos que volver a realizar otra integración por partes al ser la integral
CÍCLICA.
INTEGRACIÓN POR PARTES

3. 3
•EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES
"ò f(x).g(x)dx = ò u. dv = u.v - ò v du
• x
•1 - Calcular ò x e dx
•cambio de variables:
• x = u  dx = du ;
• x x
• e dx = dv  ò e dx = v
• x x x x
•quedándonos I = x.e - ò e dx = x.e - e + C
•
•2. Calcular ò L x dx.
•cambio de variables: Lx = u  1/x dx = du ;
• dx = dv  ò dx = v
•quedándonos I = Lx .x - ò x . 1/x dx = Lx . x - ò dx = Lx . x - x + C

4. 4
•EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES
"ò f(x).g(x)dx = ò u. dv = u.v - ò v du
•3 - Calcular ò x
2
e
x
dx
•

cambio de variables:
• x
2
= u  2x dx = du ;
• e
x
dx = dv  ò e
x
dx = e
x
= v
•quedándonos I = x
2
e
x
- ò 2x e
x
dx
•Calculamos ò 2x e
x
dx.
•cambio de variables: 2x = u  2 dx = du ;
• e
x
dx = dv  ò e
x
dx = e
x
= v
•quedándonos I = x
2
e
x
- [ 2x. e
x
- ò 2 e
x
dx ] =
• = x
2
e
x
- 2x. e
x
+ 2 e
x
+ k

5. 5
•EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES
"ò f(x).g(x)dx = ò u. dv = u.v - ò v du
•4 - Calcular ò x
2
sen x dx
•

cambio de variables:
• x
2
= u  2x dx = du ;
• sen x dx = dv  ò sen x dx = - cos x = v
•quedándonos I = - x
2
cos x - ò - 2x cos x dx
•Calculamos ò - 2x cos x dx.
•cambio de variables: - 2x = u  - 2 dx = du ;
• cos x dx = dv  ò cos x dx = sen x = v
•quedándonos I = - x
2
cos x - [ - 2x sen x - ò - 2 sen x dx ] =
• = - x
2
cos x + 2x. sen x + 2 cos x + k

6. 6
•INTEGRAL CÍCLICA
• x
•Calcular ò sen x .e dx ò f(x).g(x)dx = ò u. dv = u.v - ò v du
•Veamos sen x dx = dv v = ò sen x dx = - cos x + C
• x x
• e = u  du = e dx
• x x x x
• I = e (- cos x ) - ò - cos x . e dx = - e . cos x + ò e . cos x dx
•Nueva integración por partes:
•Veamos cos x dx = dv v = ò cos x dx = sen x + C
• x x
• e = u  du = e dx
• x x x
• I = - e . cos x + e sen x - ò e . sen x dx
• x x
• 2. I = e ( sen x – cos x ) , luego I = e ( sen x – cos x ) / 2

7. 6
•INTEGRAL CÍCLICA
• x
•Calcular ò sen x .e dx ò f(x).g(x)dx = ò u. dv = u.v - ò v du
•Veamos sen x dx = dv v = ò sen x dx = - cos x + C
• x x
• e = u  du = e dx
• x x x x
• I = e (- cos x ) - ò - cos x . e dx = - e . cos x + ò e . cos x dx
•Nueva integración por partes:
•Veamos cos x dx = dv v = ò cos x dx = sen x + C
• x x
• e = u  du = e dx
• x x x
• I = - e . cos x + e sen x - ò e . sen x dx
• x x
• 2. I = e ( sen x – cos x ) , luego I = e ( sen x – cos x ) / 2