Integracionpor fraccionesparcialespor pasos

1. 1 Cómo ya se ha mencionado son varios los Artificios de Integración que nos permiten resolver Integrales Complejas, estos Artificios son principalmente: Integración por Partes Integración por Fracciones Parciales Integración por Sustitución Trigonométrica Hoy vamos a ver

2. Método de integración por fracciones parciales Consiste en que a partir de una fracción que se presenta en el problema, se encuentre dos o más fracciones cuya suma ó resta de ellas nos de el problema-fracción-original. Estas dos o más nuevas fracciones se integran por separado.

3. Método de integración por fracciones parciales Son dos los REQUISITOS que debe cumplir la integral original: El Problema debe de ser una FRACCIÓN 2. El denominador debe de ser factorizable

4. Método de integración por fracciones parciales Veamos un ejemplo de lo que son las fracciones parciales Hasta el momento a ustedes les han enseñado a sumar o restar fracciones de la siguiente manera 2(x+1) - 3(x) = 2x + 2 – 3x = 2 – x . (x) ( x+1) x 2 + x x 2 + x Se obtiene el común denominador Y se multiplican cruzados. Denominador por numerador opuesto Multiplicando los denominadores Se tienen dos fracciones Sumando y restando numeradores

5. Método de integración por fracciones parciales 2(x+1) - 3(x) = 2x + 2 – 3x = 2 – x . (x) ( x+1) x 2 + x x 2 + x Se obtiene el común denominador Y se multiplican cruzados. Denominador por numerador opuesto Multiplicando los denominadores Se tienen dos fracciones que se están restando Sumando y restando numeradores Veámoslo nuevamente

6. Método de integración por fracciones parciales 2(x+1) - 3(x) = 2x + 2 – 3x = 2 – x . (x) ( x+1) x 2 + x x 2 + x Algo de Teoría Cada una de estas fracciones se llama Fracción simple o Fracción parcial Esta Fracción se llama Fracción Compleja Ahora el problema está en cómo encontrar las fracciones parciales cuando sólo me dan la Fracción compleja Este método nos permite encontrar esas fracciones parciales

7. 7 CASO I  A . ( ax + b) ( ax + b) CASO II  A + B ... + N . ( ax + b) n ( ax + b) ( ax + b) 2 ( ax + b) n CASO III  Ax + B . ( ax 2 + bx + c ) ax2 + bx + c CASO IV  Ax + B + Cx + D … + Mx + N . (ax 2 + bx + c) n (ax 2 + bx + c) (ax 2 + bx + c) 2 (ax 2 + bx + c) n Primero tienes que conocer la siguiente tabla de Fracciones Parciales Para convertir una fracción en dos o más fracciones parciales, se emplean cuatro casos, los cuales se comparan con los factores del denominador de la fracción original

8. 8 CASO I  A . ( ax + b) ( ax + b) CASO II  A + B ... + N . ( ax + b) n ( ax + b) ( ax + b) 2 ( ax + b) n CASO III  Ax + B . ( ax 2 + bx + c ) ax2 + bx + c CASO IV  Ax + B + Cx + D … + Mx + N . (ax 2 + bx + c) n (ax 2 + bx + c) (ax 2 + bx + c) 2 (ax 2 + bx + c) n Con esta tabla sabrás en cuantas fracciones parciales se dividirá tu fracción original Uno de los factores del denominador Si el denominador tiene un factor sin exponentes, a ese factor le corresponde el CASO I que señala una fracción con una CONTANTE en el NUMERADOR sobre el factor analizado Si el denominador tiene un factor elevado a un exponente (n) , a ese factor le corresponde el CASO II que señala (n) fracciones sumándose con una CONTANTE en el NUMERADOR sobre el factor con un exponente de 1 hasta (n) analizado Este Factor tiene un exponente

9. 9 CASO III  Ax + B . ( ax 2 + bx + c ) ax2 + bx + c CASO IV  Ax + B + Cx + D … + Mx + N . (ax 2 + bx + c) n (ax 2 + bx + c) (ax 2 + bx + c) 2 (ax 2 + bx + c) n Este factor tiene una x 2 Si el denominador tiene un factor cuadrático, es decir con una x 2 , a ese factor le corresponde el CASO III que señala una fracción con DOS CONSTANTES en el NUMERADOR, una de esas constantes multiplica a X Finalmente tenemos el CASO IV, se usa si el denominador tiene un factor cuadrático, es decir con una x 2 , y aparte todo el factor esta elevado a un exponente (n), este caso señala que a ese factor le corresponden (n) fracciones con DOS CONSTANTES en el NUMERADOR, una de esas constantes multiplica a X. Cada fracción tiene el factor como denominador y en cada fracción el denominador va elevando su exponente hasta llegar a (n) Este factor tiene una x 2 y aparte tiene un exponente (n) Con esta tabla sabrás en cuantas fracciones parciales se dividirá tu fracción original

10. 10 ∫ 3 dx x 2 + x (x 2 + x)  x (x + 1) Ejemplo 1 Se tiene la siguiente integral, para usar el método de FRACCIONES PARCIALES la integral debe de ser una fracción factorizable en su denominador _3__ x 2 + x Separamos la FRACCION de la integral Factorizamos el denominador, en este caso se saca factor común “x” Veamos un ejemplo de Fracciones Parciales

11. 11 ∫ 3 dx x 2 + x (x 2 + x)  x (x + 1) Ejemplo 1 _3__ x 2 + x Factorizamos el denominador, en este caso se saca factor común “x” El segundo paso es comparar cada factor con un caso de fracciones parciales y obtener la o las fracciones parciales que le corresponden a cada factor.

12. 12 ∫ 3 dx x 2 + x (x 2 + x)  x ( x + 1) Ejemplo 1 (x)  A/x 3 = A + B__ x(x + 1) x x + 1 _3__ x 2 + x El segundo FACTOR es una (x+1) como no tiene exponentes se parece al CASO I A este factor le corresponde una fracción parcial (x + 1)  B/(x + 1) Como se puede observar llevamos dos fracciones parciales una por cada factor, ambas fracciones siempre se suman El primer FACTOR de este ejemplo es una (x) como no tiene exponentes se parece al CASO I A este factor le corresponde una fracción parcial Continuando con el ejemplo 1

13. 13 ∫ 3 dx x 2 + x (x 2 + x)  x ( x + 1) Ejemplo 1 (x)  A/x 3 = A + B__ x(x + 1) x x + 1 _3__ x 2 + x (x + 1)  B/(x + 1) Las Fracciones Parciales siempre se colocan sumándose Sólo falta obtener los valores de “A” y de “B ” Continuando con el ejemplo 1

14. 14 ∫ x dx . x 2 - 3x – 4 Ejemplo 2 ( x – 4)  A/(x – 4) caso I ( x – 1)  B/(x + 1) caso I x = A + B (x – 4)(x + 1) (x – 4) (x + 1) x . x 2 - 3x – 4 x 2 - 3x – 4  ( x – 4 ) ( x + 1) Separamos la FRACCION de la integral El Primer paso es Factorizar el denominador, en este caso es un trinomio cuadrado, se usan dos paréntesis El segundo paso es comparar cada factor con un caso de fracciones parciales y obtener la o las fracciones parciales que le corresponden a cada factor. Ambos factores son del CASO I ya que no tienen exponentes y cada uno de ellos será una FRACCION PARCIAL Finalmente todas las FRACCIONES PARCIALES se suman Veamos otro ejemplo

15. 15 ∫ 3x + 5 dx . x 3 – x 2 – x + 1 Ejemplo 3 ( x – 1) 2  A / ( x – 4 ) + B / (x – 1) 2 caso II ( x + 1)  C / ( x + 1) caso I A + B + C . (x – 1) (x – 1) 2 ( x + 1) 3x + 5 . x 3 – x 2 – x + 1 x 3 – x 2 – x + 1  x 2 (x – 1) – 1 (x – 1) Queda (x – 1) 2 (x + 1) Separamos la FRACCION de la integral El segundo paso es comparar cada factor con un CASO de fracciones parciales Un Factor es el CASO I ya que no tienen exponentes y el otro el CASO II con exponente (n) Finalmente todas las FRACCIONES PARCIALES se suman El Primer paso es Factorizar el denominador, ahora la factorización es por agrupación. Debes de practicar FACTORIZACION NUEVAMENTE Veamos otro ejemplo

16. 16 ∫ (x 3 + x 2 + x + 2) dx . x 4 + 3x 2 + 2 Ejemplo 4 ( x 2 + 2 )  ( Ax + B) / ( x 2 + 2) caso III ( x 2 + 1)  ( Cx + D) / ( x 2 + 1) caso III Ax + B + Bx + C . ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 1 ) x 3 + x 2 + x + 2 . x 4 + 3x 2 + 2 x 4 + 3x 2 + 2  ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 1) Separamos la FRACCION de la integral El segundo paso es comparar cada factor con un CASO de fracciones parciales Ambos factores son el CASO III ya que tienen una x 2 . En las Fracciones Parciales las Constantes nunca se repiten Finalmente todas las FRACCIONES PARCIALES se suman El Primer paso es Factorizar el denominador, en este caso es un trinomio cuadrado, se usan dos paréntesis Un último ejemplo

17. 17 Sólo hemos practicado los dos primeros pasos del método de Integración por Fracciones Parciales, faltaría obtener el valor de las constantes (A, B, C, etc.) y resolver las integrales de cada Fracción Parcial. Pero eso lo haremos más adelante Por lo pronto debes practicar los casos de FACTORIZACIÓN que vimos en el primer semestre Repasa este método en el Manual de Matemáticas Nos vemos pronto Viva Jesús en Nuestros Corazones