INTEGRAL DE LINEA

Sea α un camino regular a trozos en R
p
, definido en [a,b]. Sea f un campo vectorial definido
y acotado sobre la gráfica C de α. La integral de línea de f a lo largo de C se representa

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES
EZEQUIEL ZAMORA








PROFESOR: INTEGRANTES:
ENRIQUE MURILLO HIDALGO JORGE
AZUAJE LESLY

ING. EN INFORMÁTICA




BARINAS, SEPTIEMBRE DE 2016

2. 2

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES
EZEQUIEL ZAMORA





























PROFESOR:
ENRIQUE MURILLO
INTEGRANTES:
HIDALGO JORGE Nº C. I. V-19.187.649
AZUAJE LESLY N° C. I. V-22.308.686
ING. EN INFORMÁTICA






BARINAS, SEPTIEMBRE DE 2016

3. INTEGRAL DE LINEA
La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las
interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral
de línea de un campo escalar.
En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es
evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano
complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
 El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
 El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que
se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
 Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto
a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por
campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

una función vectorial definida en

, diferenciable y acotada en;

la parametrización de una trayectoria en. Se llamaintegral de
línea de F sobrea la integral:



Una forma mas utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector
diferencial de curva también se pude expresar así:

4. 4




Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:





Curvas en el espacio

Sea )(tr
 el vector posición de un punto en el espacio, 0r , una constante, t un
parámetro que puede ser el tiempo.

Estudiemos trtr cos)(
 i
 + rsent j
 irirr

1)0(
jrjrr

1)
2
(


5. 5




Además rrtsenrtrtr 
22222
cos)(

Como el módulo del vector )(tr
 es r, su extremo estará siempre sobre una circunferencia
de radio r.

La figura siguiente muestra el recorrido del extremo de )(tr
 cuando t varía de 0 a 2
 .












Si examinamos la ecuación de vectorial de una recta que pasa por P(0,1,1) y Q(1,2,3).














Vemos que para que R(x,y,z) esté sobre la recta QtPPOr

 , para algún número real t.
   ttttzyx 21,1,2,1,1)1,1,0(,, 


Por lo tanto  ktjtittr

)21)1()(  , con parámetro t, recorre tal tipo de curva.





Y
X
Cuando t varía de 0 a 2
 , 2
0

t , )(tr

describe una curva C, que consiste en un
cuarto de circunferencia.

P
R(x,y,z)
Q
O(0,0,0)
(0,1,1)
(1,2,3)

6. 6




Una mas amplia explicación se encuentra en Stewart 1 , cap. 10, secc. 10.1, pags. 704 a
710.

En Stewart 1 , capítulo 10, a partir de la siguiente gráfica y la definición )(tr
 h
trhtr )()(
lim


,

Se concluye que )(tr
 es tangente a la curva descrita por el extremo (x,y) del vector )(tr
 .
(Pags. 710 a 715, cap. 10, Stewart 1 ).

Para obtener el vector T
 de longitud 1, tangente a la curva, se utiliza como es usual )(
)(
tr
tr
T





Estos resultados se generalizan a los vectores en dimensión 3.

Además, si ktzjtyitxtr

)()()()(  , tenemos que ktzjtyitxtr

)()()()(  , en
donde )(),(),( tztytx  son derivadas convencionales en una variable.

Ejemplo

Sea jtsenittr

)()cos()(  . Por lo tanto jtyitxtr

)()()(  , donde )cos()( ttx
)()( tsenty
. Luego )()( tsentx  , )cos()( tty
Por lo tanto jtitsentr

)cos()()( 

Vemos que para obtener la derivada del vector (en la variable t), basta con derivar cada una
de sus componentes con respecto a t. Recordemos de nuevo que el vector unitario, tangente
a la curva es )(
)(
tr
tr
T



 .

Longitud de una curva

Stewart 1 , pag. 716, cap. 10, señala que la longitud S, de la curva





0t


X
Y
(x(t),y(t),z(t))

C = { (x(t),y(t),z(t)) | bta }
Está dada por:
(1) S = 

b
a
dttztytx
222
)()()(
= 

b
a
dttr)(


7. 7





Ejemplo:

La curva trtr cos)(
 i
 + r sent j
 , 20t , r constante, es una circunferencia
de radio r. jtyitxtr

)()()( 
, donde )cos()( trtx , )()( trsenty
Por lo tanto jtrirsentjtyitxtr

cos)()()( 
Luego S =   

  

2
0
2
0
2
0
2
0
222222
cos)()( rtrdtdttrtsenrdttytx =2 r.
Coincidiendo con un resultado bastante conocido, la fórmula de la longitud de la
circunferencia de radio r.

De (1) se concluye (2) )()()()(
222
trtztytx
dt
ds

 .
La expresión diferencial dttrds )(
 será utilizada mas adelante.

Trabajo desarrollado por una fuerza al describir una curva.










El trabajo de una fuerza que se mueve sobre una línea recta, se define como W =F S, si la
fuerza está en la misma dirección que el movimiento, siendo S el espacio recorrido. Cuando
el ángulo entre la fuerza F
 y la recta sobre la cual se aplica, es  , el trabajo será
W =F cos   S =SF


 .

Donde S
 es un vector de longitud S y en la dirección del desplazamiento de la fuerza, sobre
la recta en la cual se aplica la fuerza.







θ


S











S

8. 8





En el caso de una fuerza variable (vector F
 ) que se aplica sobre una curva, se define el
trabajo como:
W=
C
dsTF)(



En donde T
 )(
)(
tr
tr

 , es un vector unitario en la dirección de la recta tangente a la curva y
la integral sobre la curva C se calcula como se señala a continuación.

Si  denota el producto escalar o producto interno de vectores, la integral 
C
dsTF)(




.
Se denomina la integral de línea de TF


 , ya que el trabajo depende no sólo de la fuerza F

si no también de la forma de la curva C.
TF





No es un vector, sino un número que varía a lo largo de C.






C
iii
syxfdsyxf ),(lim),(


Donde  

ii
yx, es un punto intermedio entre dos puntos Pi-1,Pi de la curva y i
s es la
longitud de la curva entre dichos puntos.








La curva se ha dividido en infinitas porciones, como se hace siempre que se define una
integral.

Es claro que debe haber una diferencia entre n


*
*
Pi-1
Pi

9. 9




C
dsyxf),(
, 
C
dxyxf),( , 
C
dyyxf),(
Estas diferencias se estudiarán mas adelante en mayor detalle.
)()()()(
222
trtztytx
dt
ds


, definiremos 
C
dsyxf),(
= 

b
a
dttytxtytxf
22
)()())(),((
En donde aparentemente se ha efectuado un cambio de variable, con el correspondiente
cambio de los límites de integración.


Por lo tanto 
C
dsyxf),(
= 

b
a
dttrtytxf )())(),((
 , en donde jtyitxtr

)()()( 

Ejemplo: Evaluar 

C
dsyx)2(
2 , en donde C es la mitad superior del círculo unitario








Solución: Al utilizar el ángulo t como parámetro tenemos que:  )()(),cos()(, tsentyttxyxC 

O lo que es lo mismo: jtsenittr

)()cos()(  .
Por lo tanto: )()(cos)(
22
tsenttr 
 = 11
Luego: 

C
dsyx)2(
2 =   

  
0 0 0
22
)()(cos21)()(cos2 dttsentdtdttsent =
=2
0
3
0 3
)(cost
t = 3
2
2
3
1
3
1
2
3
)0(cos
3
)(cos
2
33
 


Nota: al integrar dttsent )()(cos
2 , se tuvo en cuenta que )(
))(cos(
tsen
dt
td
 o sea que si )cos(tu
, entonces dttsendu )( .


(-1,0) (1,0)

10. 10





(0,0)
*(1,1)

La integral 
C
dsyxf),( , se denomina la integral de línea de f respecto a la longitud de
arco.

Ejemplo: Evalue 
C
xds2 , donde C es la curva descrita por el arco de la parábola 2
xy , de
(0,0) a (1,1).














Ejemplo: Evalúe 
C
xds2 , donde C es la recta vertical que va de (1,1) a (1,2).









Si integramos 
C
xds2 , donde C es el segmento de recta entre los puntos (1,0) y (2,0).
En el eje X, tenemos que 0y y 21x








Parametrizando 2
xy , x=x, en el
parámetro x. 1)(,2)(  xxxxy

C
xds2
=

1
0
2
)2(12 dxxx = 

1
0
2
412 dxxx =  

1
0
22
1
2
)41(41
4
1
xdx
= 
1
0
2
3
2
41
3
2
4
1
x =
=6
155




(1,1)
(1,2)
*
*
Aquí el parámetro obligado es y, ya que la x es
constante, x=1. Luego yyy)( , 1)(yx . Por lo tanto 0)(,1)(  yxyy
. Por consiguiente: 
C
xds2
=

2
1
2
1
2
1
22
2212))(())(()1(2 ydyyyyx
Utilizando a x como parámetro 1)(,0)(
)(,0)(


xxxy
xxxxy


C
xds2
= 

2
1
2
1
2
212 xdxdxx
Coincidiendo aparentemente
en este caso con la integración
normal

Y
X
*
(1,0)
(2,0)

11. 11







Se define de manera similar



C
iii
xyxfdxyxf ),(lim),(




C
iii
yyxfdyyxf ),(lim),(



De esta manera resulta que si )(),( tyytxx  , entonces:

C
dxyxf),(
= 

b
a
dttxtytxf )())(),(( 
C
dyyxf),(
= 

b
a
dttytytxf )())(),((
Ejemplo:
Evaluar 
C
dxy
2 , donde C es el segmento de recta que va de (-5,-3) a (0,2).











Las ecuaciones paramétricas de dichas rectas son:
55)( ttx
, 35)( tty , por lo tanto   

C
dttdttxtdxy
1
0
1
0
222
5.)35()()35(

Los límites de integración para t se calcularon notando que en t=0, x(0)=-5, y(0)=-3 (el
punto (-5,-3)) y para t=1, x(1)=0, y(1)=2 (el punto (0,2)). n
n


(-5,-3)
(0,2)

12. 12




Luego   






 















C
t
tt
dtttdxy
6
549050
59
2
30
3
25
59
2
30
3
25
5930255
1
0
1
0
23
22
=3
7
6
14


Note que la ecuación cartesiana de la recta que pasa por los puntos  3,5 y (0,2) es 2xy
. Luego 44)2(
222
 xxxy Por lo tanto  

 
 







0
5
0
5
23
0
5
23
22
6
70
54
2
54
3
5
4
2
4
3
44 x
xx
dxxxdxy
=3
35


Este valor no coincide por supuesto con la integral sobre C calculada antes, lo cual muestra
que estos conceptos son totalmente diferentes y por lo tanto sus aplicaciones.

Además, si evaluamos la integral de línea 
c
dxy
2 , donde C es el segmento de recta en el eje
x, 05x , tenemos que y(x)=0 y x(x)=x, parametrizando respecto de x, por lo tanto 1)(xx


Por ello  

C
C
dxdxy 00
2 , dando como podría esperarse un valor diferente cada una de
las integrales calculadas antes.


A menudo se presentan al mismo tiempo la integración de línea respecto a x y respecto a y,
tal como:
  

C CC
dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ,,),(),(




Ejemplo: Evalúe xdydxy
C

2 donde:







a) C=C1, es el segmento de recta que
va de (-5,-3) a (0,2).
b) C=C2, es el arco de parábola 2
4yx
de (-5,-3) a (0,2)

(-5,-3)
(0,2)
C1
C2
4

13. 13





Solución:
a) Sabemos que la ecuación paramétrica de C1 es 35)(,55)(  ttyttx .
Luego 10,5)(,5)(  ttytx
Por lo tanto xdydxy
C

2 = 

1
0
2
5)55()535( dttt =dtttt )5593025(5
1
0
2

=
5dttt )42525(
1
0
2

 = 6
247550
54
2
25
3
25
54
2
25
3
25
1
0
23















 t
tt =6
5


b) Tomando a y como parámetro 23,,4
2
 yyyyx , e       
  

2
3
2
3
22
2
3
2
3
22
6
5
40424)()(
2
dyydyyydyyyxdyyxyxdydxy
C


Comenta que si integramos 

C
QdyPdx , en dirección contraria, cambiando la
parametrización con 10t , pero yendo de (0,2) a (-5,3), en el caso de la recta,
tendríamos que 

 Cc
QdyPdxQdyPdx
,
más que si la integral de línea es respecto al arco, entonces  


C C
dsyxfdsyxf ),(),(


Integrales de línea en el espacio

En el espacio se define de manera similar  

C
b
a
dttrtrfdszyxf )())((),,(


Las otras fórmulas se generalizan igualmente.

Ejemplo: Evaluar senzdsy
C

Donde C es la hélice circular tzsentytx  ,,cos
, 20t (Stewart 1 ,cap 13, pag. 931).
Solución:

14. 14



senzdsy
C

=

2
0
)(dttrsentsent = 

 2
0
2
0
2222
21cos tdtsendtttsentsen
= 











2
0
2
0
22
2
1
2
2
)2cos1(
2
1
2 tsentdtt
Ejemplo 6:

Evalúe 

C
xdzzdyydx , donde C es la curva que se muestra en la siguiente figura:












C2 se caracteriza por 4,3yx , 50z .
A diferencia del libro, lo parametrizaremos por z ( a diferencia del libro)
zzzyzx  ,4)(,3)(

Luego: 15333)()(4
0
5
0
5
0
5
2
  
zdzdzdzzyzdzzxxdzzdyydx
C .
Ya que 0)()(  tytx .
Nota: Al cambiar la parametrización no cambia el valor de la integral de línea.
Luego: 


21
5,9)15(5,24
CCC
xdzzdyydx .

Integrales de línea de campos vectoriales

En la página 4 se definió el trabajo de una fuerza F
 (vectorial) al recorrer una curva C,
como
W=
C
dsTF)(






(2,0,0)
(3,4,0)
(3,4,5) Z
Y
X
C1
C2
Las coordenadas paramétricas de C1 son: tx2
, ty4 , tz5
Luego:  

1
1
0
)()2()(5)(4
C
dttztdttytdttxtxdzzdyydx
=

1
0
2455)2(204 dtttdttdt . Ver pag. 931

15. 15




Definición:

Definimos (bajo ciertas condiciones de continuidad) la integral sobre una curva “suave” C
(las coordenadas parmétricas son continuas y no todas iguales a 0 al mismo tiempo) así:
  

C C C
dsTFdttrtrFdrF
(*)
)()())((

,
Donde T
 es un vector tangente a C, unitario, que varía a medida que varía t (o ))((trF
 .
En la definición se ha sustituido dttr)(
 como rd
 .
(*) Recuerde que )(
)(
tr
tr
T




 y ds = dttr)(

Ejemplo:

Evaluar 

C
drF
 donde kzkjyzixyzyxF

),,( y C es la curva cúbica torcida dada por: 10,,,
32
 ttztytx
.
ktjtittr

32
)( 
. Ahora ktjtitkttjttitttrF

4533322
))(( 

Luego 63663
532)())(( ttttttrtrF 
 . Por lo tanto  
28
27
7
5
4
)5()())((
1
0
1
0
74
63









 
C
tt
dtttdttrtrF



Relaciones entre las integrales de línea de los campos vectoriales y los campos
escalares

Si ktztytxRjtztytxQitztytxPtrF

))(),(),(())(),(),(())(,9(),(())(( 
Donde P, Q y R son campos escalares (reales), tenemos que:
 

C C
dttrtrFrdF )())((
 =  

b
a
dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP )())(),(),(()())(),(),(()()).(,(),((

=

C
RdzQdyPdx
Por ejemplo, la integral 

C
xdzzdyydx ,
podría expresarce como 
c
drF.
 , donde kxjziyzyxF

),,(

16. 16





Teorema fundamental de las integrales de línea

El teorema fundamental del cálculo dice: 

b
a
aFbFdxxF )()()(

Una expresión similar existe para las integrales de línea.

Sea C una curva suave ()(tr

 continua, 0)(tr
 , t ). Sea f una función derivable de
dos otres variables, cuyo vector gradiente f sea continuo en C. Entonces: 

C
arfbrfdrf ))(())((


Un campo vectorial F
 se denomina conservativo si existe una función f
Tal que Ff

 . La integración de línea de campos conservativos se puede efectuar
utilizando a f como una especie de “antiderivada” para la cual su “derivada” es Ff

 .