Integral Dupla.pdf

integral dupla

1. Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Campo Mourão
Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
Profa. Tatiane Cazarin da Silva

2. A=lim
�→∞
σ
�
�
��
�
∗
Δ�=׬
�
�
����

3. Podeserutilizadanocálculodeáreas,paraissodevemos
lembrarqueosinaldaintegraldependedaposiçãoda
regiãonoplano:

4. Volume;
Área de superfícies planas;
Densidade de massa;
Momentos e centro de massa;
Momento de inércia;
Probabilidade;
Valor esperado.

5. Exemplos

8. V=lim
�,�→∞
σ
�
�
σ
�
�
��
��
∗
,�
��
∗
Δ??????=׭
??????
��,��??????

9. V=lim
�,�→∞
σ
�
�
σ
�
�
��
��
∗
,�
��
∗
Δ??????=׭
??????
��,��??????

10. Pode ser usada no cálculo de volumes?
Pode ser usada no cálculo de áreas?
V=lim
�,�→∞
σ
�
�
σ
�
�
��
��
∗
,�
��
∗
Δ??????=׭
??????
��,��??????

11. Definição: A integral dupla de f sobre o retângulo R é:
ඵ
??????
��,��??????=lim
�,�→∞
෍
�
�
෍
�
�
��
��
∗
,�
��
∗
Δ??????
�=�,�×�,����={�≤�≤���≤�≤�}

12. ??????ඵ
??????
��,�±��,��??????=ඵ
??????
�(�,�)�??????±ඵ
??????
�(�,�)�??????
(????????????)ඵ
??????
��(�,�)�??????=�ඵ
??????
�(�,�)�??????
??????????????????����,�≥��,�,∀�,�∈����ã�ඵ
??????
��,��??????≥ඵ
??????
�(�,�)�??????

13. න
�
�
න
�
�
��,�����=න
�
�
න
�
�
��,�����

14. Se f for contínua em �=�,��≤�≤�,�≤�≤�,
então
ඵ
??????
��,��??????=න
�
�
න
�
�
��,�����=න
�
�
න
�
�
��,�����

15. Ex. 1) Calcule o valor das integrais:
a)׬
0
1
׬
1
3
�
2
�����
b)׬
−1
1
׬
0
2
3�+5�
2
����

16. Ex. 2) Calcule a integral dupla ׭
??????
�−3�
2
�??????onde �=
{�,�∣0≤�≤2,1≤�≤2}.
Ex. 3) Calcule ׭
??????
�sin���??????, onde �=1,2×0,??????.
Ex.4)Calculeaáreadaregiãoretangular�=1,2×
[3,4]usandointegraldupla

17. Ex.5)DetermineovolumedosólidoSqueélimitadopelo
parabolóideelíptico�
2
+�
2
+�=16,pelosplanos�=
2,�=2epelos3planoscoordenados.
Ex.6)Calcule׭
??????
��
2
�
2
+1
�??????,onde�={�,�∣0≤�≤1,−3≤
�≤3}
Ex.7)Calcule׭
??????
�
1+��
�??????,�����=0,1×[0,1]

19. Se�for uma função contínua em uma região D do Tipo I, tal que
??????={�,�∈�
2
∣�≤�≤�,�
1�≤�≤�
2(�)}
Então,
ඵ
??????
��,��??????=න
�
�
න
??????
1(�)
??????
2(�)
��,�����
Analogamente, se D é do Tipo II
??????={�,�∈�
2
∣�≤�≤�,ℎ
1�≤�≤ℎ
2(�)}
Então,
ඵ
??????
��,��??????=න
�
�
න
ℎ1(�)
ℎ
2(�)
��,�����

20. Ex.8)Calcule׭
??????
�+2��??????,ondeDéaregiãolimitada
pelasparábolas�=2�
2
e�=1+�
2
.
Ex.9)Calcule׭
??????
���??????,ondeDéaregiãolimitadapela
reta�=�−1epelaparábola�
2
=2�+6.

21. Lembre-se que:

22. Através de uma mudança de variáveis
umaintegralduplasobreumaregião??????doplano��podeser
transformada numa integral dupla sobre uma região ??????´do plano
��
A correspondência entre as regiões D´e D é Bijetora, e podemos
retornar D para D´através de uma transformação inversa:
Considerando que as funções são contínuas, com derivadas parciais
contínuas em D´e D, temos

23. ??????(�,�)
??????(�,�)
Onde é o determinante jacobiano de ���em relação a ���,
dado por
Válido se:
-f é contínua;
-As regiões D e D´são formadas por um número finito de sub-regiões;
-OjacobianoénãonuloemD´ouseanulanumnúmerofinitode
pontosemD´.

24. A transformação que leva pontos (??????,??????)do plano ????????????a pontos (�,�)
do plano ��é dada por
E seu jacobiano é dado por:
Portanto, a fórmula pode ser expressa por:
ඵ
??????
��,��??????=නන�??????cos??????,??????sin????????????�??????�??????

25. Se �é contínua no retângulo polar �dado por 0≤�≤??????≤�e
�≤??????≤�onde 0≤�−�≤2??????então
ඵ
??????
��,��??????=න
�
�
න
�
�
�??????cos??????,??????sin????????????�??????�??????

26. Ex.10)Calcule׭
??????
3�+4�
2
�??????,ondeRéaregiãodo
semiplenosuperiorlimitadapeloscírculos�
2
+�
2
=1e
�
2
+�
2
=4.
Ex.11)Determineovolumedosólidoqueestásobo
parabolóide�=�
2
+�
2
,acimadoplano��edentrodo
cilindro�
2
+�
2
=2�.

29. Aáreadasuperfíciecomequação�=��,�,
emque�,�∈??????onde�
���
�sãocontínuasédadapor:
??????�=ඵ
??????
�
��,�
2
+�
�(�,�)
2
+1��

30. Ex.12)Determineaáreadasuperfície�=�
2
+2�que
ficaacimadaregiãotriangular�noplano��comvértices
(0,0),(1,0)�(1,1).
Ex.13)Determineaáreadoparabolóide�=�
2
+�
2
abaixodoplano�=9.