Integral indefinida

1. INTEGRAL INDEFINIDA


UConcepto de antiderivada U:

Una pregunta inicial para hacerse. ¿ Cuál es una función F(x) , que al
haber sido derivada se obtuvo
B xxf 2)(
=
B?.
La repuesta es:
B
2
)(xxF=
B.
Una nueva pregunta. ¿Es la única función?, ¿existen otras
funciones?, cuales?
La respuesta es:
No es la única, observe que existen funciones tales como:
B
5)(
2
+=xxF
B, o B
2)(
2
−=xxF
B, o B
2
3
)(
2
+=xxF
B, en general, esto quiere
decir que a la función
B
2
)(xxF=
B, se le puede sumar cualquier
constante. Entonces podemos expresar lo siguiente. La antiderivada
(también llamada primitiva) de
B xxf 2)(
=
B es una función de la forma
B
cxxF +=
2
)(
B, donde c es una constante ya que la derivada de ella es
siempre cero.

La integral Indefinida:

Como vimos la Antiderivada de
B
xxF 2)(
=
B, es la función
B
cxxf +=
2
)(
B, ya que al derivar B
)(xf
B, obtenemos B
)(xF
B.
Esto lo podemos denotar de la siguiente forma:
B∫
+= cxxdx
2
2
B


En forma general hablamos de la antiderivada como
integral indefinida, con la siguiente notación:

2. Entonces al proceso de calcular una integral se llama
Integración. El término dx identifica a x como la variable
de integración.

REGLA DE POTENCIAS

El siguiente teorema expresa que para integrar una potencia de x (distinta de
B
1−
x
B) simplemente se aumenta el exponente en 1 y se divide por el numero
que indica el nuevo exponente. Observe que esta regla no funciona para
B 1−=n
B, ya que esto produciría una división entre cero. Más adelante se
desarrollara para este caso.

Teorema 1. Regla de potencias

B
∫
+
+
=
+
c
n
x
dxx
n
n
1
1
B

A continuación se resolverá algunas integrales utilizando la anterior regla.



Regla general que combina sumas y productos de
constantes:

3. Teorema 2.
Supóngase que
B
)()( xgyxf
Btienen antiderivadas. Entonces, para constantes
cualquiera a y b,

B
∫ ∫ ∫
+=+ dxxgbdxxfadxxbgxaf )()()()(
B



UEjemplo Resuelto:


Calcular
B∫
−
+ dxxx )23(
54
B
Solución: Utilizando el teorema 2. Separando la integrales y sacando las
constantes tenemos:

B
∫ ∫
−
+ dxxdxx
54
23
B

Y hallando las antiderivadas correspondientes:

B
c
xx
+
−
+
−
4
2
5
3
45
B
Simplificando la solución:
B
c
x
x +−
4
5
2
1
5
3
B.



Interpretación Geométrica de la Integral Indefinida.

Al calcular la integral de
B∫
xdx2
Bobtenemos la función B
cxxF +=
2
)(
B, que
como vimos es la antiderivada de
B
xxf 2)(
=
B. Entonces realicemos la gráfica
de
B
cxxF +=
2
)(
B. Debemos tener diferentes valores para la constante de
integración c. En la animación se puede ver que se realiza la grafica
correspondiente para la función cuadrática con diferentes valores para c.

4. Luego al hallar la antiderivada
B
cxF
+)(
B esta representa una familia de la
misma curva.

Método de Sustitución

El método de sustitución es una de las herramientas más fuertes para hallar
integrales que no se pueden realizar en forma inmediata utilizando la fórmula
general.
Primero veamos un ejemplo, para luego generalizar el método.

UEjemplo
U: Evaluar la siguiente Integral
B∫
+ dxxx
52
)1(
B

Solución: Para resolver con la fórmula general de la integración, primero
tendríamos que resolver el binomio
B
52
)1(x+
B. Pero si usamos un cambio de
variable podemos reducir la integral, esto es
B
2
1xu+=
B

Derivando
B
x
dx
du
2=
B

Despejando
Bdx
B, tenemos B
x
du
dx
2
=
B.
Cambiando este resultado en la integral

5. B
∫
x
du
ux
2
)(
5
B

Simplificando la x nos queda:
B
duu∫
5
2
1
B

Aplicando la fórmula general de la integral

B
c
u
+
62
1
6
B

Y cambiando nuevamente de variable para u, nos queda

B∫
+ dxxx
52
)1(
B = B
cx++
62
)1(
12
1
B



Integrales de la funciones trigonométricas y otras

Como la integración es el proceso inverso de la derivación, entonces podemos
definir las integrales de las funciones trigonométricas en forma inmediata. Así
mismo de la función exponencial y la relacionada con el logaritmo natural.

Derivadas Integrales
B
CosxSenx
dx
d
=)(
B
B
cSenxCosxdx +=∫
B
B
SenxCosx
dx
d
−=)(
B
B ∫
+−= cCosxSenxdx
B
B
xSecTanx
dx
d
2
)( =
B
B
∫
+= cTanxxdxSec
2
B
B
TanxSecxSecx
dx
d
.)( =
B
B∫
+= cSecxTanxdxSecx.
B
B
CotxCscxCscx
dx
d
.)( −=
B
B ∫
+−= cCotxCotxdxCscx.
B

xx
ee
dx
d
=)(

cedxe
xx
+=
∫

x
x
dx
d 1
)(ln= ∫
+= cxdx
x
ln
1

6. Problemas de valor inicial

También llamados problemas con condiciones iniciales


Se llama una ecuación diferencial a la igualdad que tiene una derivada, tal de la
forma
B
)(tf
dt
dy
=
B. Resolver tal ecuación implica hallar la función B
)(ty
B bajo
unas condiciones iniciales dadas. El procedimiento para resolverla, se llama
separación de variables, de la siguiente forma:

Separar variables
B
dttfdy )(
=
B

Integrar a ambos lados
B
∫∫
= dttfdy )(
B

Hallar la antiderivada
B
ctFty
+=)()(
B

Aplicar las condiciones iniciales para hallar la constante c, de tal forma que la
solución es
B
).(ty
B

UEjemplo 1
U:
Resolver el problema
B
t
dt
dy
3=
B, bajo la condición inicial B
1)0( =y
B.
Solución:
Separando variables
B
tdtdy3
=
B

Integrando a ambos lados
B
∫∫
=tdtdy3
B

Hallando las antiderivadas
B
c
t
ty +=
2
3)(
2
B

Aplicando la condición inicial, en
B0
=t
B, B
1=y
B y sustituyendo en la ecuación
anterior,


B
c+=
2
0
2
3
1
B,
Por tanto
B1=c
B. Luego la solución de la ecuación diferencial es B
1
2
3
)(
2
+=tty
B

UEjemplo 2
U:

7. Resolver el problema B
TantSectCost
dt
dy
.5 +=
B, la condición inicial es B
3)
4
(=
π
y
B.
Solución:

Separando variables e integrando
B
∫∫ ∫
+= TantdtSectCostdtdy .5
B


B
cTantSentty
++=5)(
B

Aplicando las condiciones iniciales
B
cTanSen ++= )
4
()
4
(53
ππ
B

Calculando
B
c++= 1
2
2
.53
B

Despejando c
B
2
25
2−=c
B

Luego la solución es:
B
2
2
525)( −++= TantSentty
B