Integral Indefinida E Definida

1. Material elaborado pelo Prof Francisco Leal Moreira - Prof Sérgio p
UTFPR- UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL
PROCESSOS QUÍMICOS
TOLEDO PARANÁ














INTEGRAL INDEFINIDA E DEFINIDA

2. 53
INTEGRAL INDEFINIDA

Em matemática, cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz

o efeito da primeira. Assim, a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação inversa da

multiplicação e a extração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora

interessados na operação inversa da derivação.

DERIVAÇÃO



F F’= f



PRIMITIVAÇÃO

1. PRIMITIVA

Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um intervalo I se F’(x) = f(x),
Ix
∈∀
.


Exemplos:


As funções dadas por F
1
(x) = x
2
, F
2
(x) = x
2
+ 1, F
3
(x) = x
2
– 1 são primitivas da função dada por f(x) = 2x.

A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F(x) + k chamada de primitiva

geral ou integral indefinida da f que é notada por
∫
f(x)dx
ou seja
∫
f(x)dx
= F(x) + k.

2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA

A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em

pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas.

Exemplo:
kxxdx2
2
+=
∫

3. 54

E1)
Determine:

1)
∫
2xdx 2)
∫
5dx 3)
∫
dx3x
2
4)
∫
+)dx4x(5x
34



3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO

1.
∫∫
=f(x)dxccf(x)dx, sendo c uma constante


2.
∫∫∫
±=±g(x)dxf(x)dxg(x)]dx[f(x)


3.
∫
+=kxdx


4.
∫
+= kedxe
xx



5.

∫
+= k|x|ln
x
dx


6.
∫
+−= kxcosxdxsen


7.

∫
+= kxsenxdxcos



E2) Encontre:

1)
∫
dx2 2) dx)e(3
x
∫
+ 3)
dx)
x
2
(1
∫
−

4)
∫
dxe 5) dx)e5(ln2
x
∫
− 6)
dx)
x3
2
5
4
(
∫
−
7)
∫
+− dx)6lne2(π 8) dx)e(3e
x
∫
+ 9) dx)
x
3x2
(
∫
−


10)
∫
− dx)xsenx(cos 11)
∫
+dx)6xcos3( 12)
∫
+ dx)xsen51(

4. 55

8. -1psendo,k
1p
x
dxx
1p
p
≠+
+
=
+
∫



E3)
Encontre:

1)
dx3x
2
∫
2)
∫
++ 2)dxx-3xx-(2x
234
3)
∫
+3)dx -5x2x-(x
35


4)
∫2
3x
dx
5)
∫
dxx 6)
∫
x
dx


7)
∫
dxxx 8)
∫
dx
x
x
3
9)
)dx
x
3
x
2
(
2
+
∫


10) )dx
x
3
2x
5
(
42
−
∫
11) dx
x
1x2x
2
3∫
−+
12)
dx)x
3x
1
(
2
−
∫



9. Se u = f(x) ,
1pse,k
1p
u
dx'uu
1p
p
−≠+
+
=
∫
+



E4) Encontre:

1)
3dx1)(3x
4
∫
− 2) dx1)(3x
4
∫
− 3)dxx)-(1
5
∫



10.
Se u = f(x) , kedx'ue
uu
+=
∫



E5) Encontre:

1)
4dxe
4x
∫
2) dxe
4x
∫
3)dxe
-x
∫



11. Se u = f(x) ,
=
∫
u
dx'u
ln | u | + k


E6) Encontre:

1)
dx
3x
2x
2∫
−
2)
dx
3x
x
2∫
−
3)
dx
25x
1
∫
+

5. 56

12.
Se u = f(x) , kucosdx'u.usen +−=
∫



E7) Encontre:

1)
4dx4x.sen
∫
2) dx.4x sen
∫
3)dxsen(-x).
∫



13. Se u = f(x) , kusendx'u.ucos +=
∫



E8) Encontre:

1)
dxx2).3xcos(
2
∫
− 2) dxx).3xcos(
2
∫
− 3)dx)2x5cos(
∫
+



E9)
Encontre:

1)
2dx1)(2x
3
∫
− 2)
xdx2.1x
2
∫
− 3) xdx)4x3(
52
∫
+

4)
∫
−
2
x5
xdx
5)
∫
−
4
)x1(
dx
6)
∫
+
32
2)(x
xdx


7)
∫
−
3 2
x3
xdx
8)
∫
−12x
dx
9)
∫
+
5
3)(2x
dx


10)
dx
x
3
x2
5
e3
2
x∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+− 11)
∫
−
dxe
1x3
12)
∫
+1x
dxx
3
2


13)
∫−1x
e
dx2
14)
∫
−2x4
dx
15)
∫
+
dxxe3
3
2
x


16)
∫
+10x
xdx20
2
17)
dxe5
2
x
∫
18)
∫x
e
dx


19)
∫
dx.xcosx
2
20)
∫
dx.x3sen 21)
∫
dx.xcos.xsen
5


22)
∫
dx.xsen.e
xcos
23)
∫
dx.xtg 24)
∫
dx.xgcot

6. 57
E10)
Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelo ponto P, sabendo que:

1) P(2,1) e f ’(x)= 2x 2) P(1,5) e f ’(x)= 6x
2
- 2x + 5

3) P(-2,-3) e f ’(x) = 3x
2
+ x – 1

4) P(0,-2) e f ’(x) = e
x
– 2 5) P(1,5) e f ’(x) =
x
2


E11) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelos pontos (0,2) e (-1,8), sabendo que y" = 12x
2
.


Importante:
A taxa de variação de f(x) em relação a x é o mesmo que a derivada de f(x) em relação a x.


E12) O preço de uma máquina desvaloriza-se a uma taxa de -20x mil reais ao ano. Se a máquina durou

quatro anos e seu valor residual foi R$ 40.000,00, qual foi seu preço inicial ?

E13) O preço de uma mercadoria, que atualmente custa R$ 1.000, varia, com a inflação, a uma taxa de 40x

reais ao mês. Quantos custará daqui a cinco meses ?

E14) Uma indústria que tem 225 operários produz 750 unidades de certo produto. A taxa de variação da
produção em relação ao número de operários é dada por
x
25
. Qual será a produção da fábrica, se
forem admitidos mais 31 funcionários ?

E15) Uma empresa estima que o crescimento de sua renda mensal, em milhões, em função do tempo, em

meses, será à taxa de 3(t + 4)
-1/2
, a partir de hoje. Sabendo que a renda atual da empresa é de 12

milhões, calcule a renda daqui a um ano.

E16)
Daqui a x anos, a população de certo país variará a uma taxa estimada de e
0,1x
milhões de

habitantes por ano. Se a população atual é de 120 milhões de habitantes, qual a função P = f(x) que

dá a população em função do tempo? Qual será a população desse país daqui a 20 anos?

E17) Um certo bem desvaloriza-se a uma taxa de –10x reais ao ano. Se o bem durou três anos e seu valor

residual foi R$ 105,00 ; qual foi seu preço inicial ?

E18) Determine uma função Produção P = f(x) que tenha um ponto de máximo para x=2 e que passe pela

origem, sabendo que sua derivada de segunda ordem é P’’= -12x.

7. 58
4. RESPOSTAS


E1)1) x
2
+ k 2) 5x + k 3) x
3
+ k 4) x
5
+ x
4
+ k

E2) 1) 2x + k 2) 3x + e
x
+ k 3) x – 2ln |x| + k 4) ex + k 5) xln 2 - 5e
x
+ k

6)
k|x|ln
3
2
5
x4
+− 7) (π- 2e + ln 6)x + k 8)3ex + e
x
+ k 9) 2x – 3ln |x| + k

10) sen x + cos x + k 11) 3sen x + 6x + k 12) x – 5cos x + k

E3) 1) x
3
+ k 2)
kx2
2
x
x
4
x
5
x2
2
3
45
++−+− 3)
kx3
2
x5
2
x
6
x
246
+−+− 4)
k
x3
1
+−

5) k
3
x2
3
+ 6)
kx2+ 7) k
5
x2
5
+ 8)
kx3
3
+ 9) k
x
3
|x|ln2 +−

10) k
x
1
x2
5
3
++− 11)
k
x
1
|x|ln2
2
x
2
+++ 12)
k
3
x2
x3
1
3
+−−

E4) 1)
k
5
)1x3(
5
+
− 2)
k
15
)1x3(
5
+
− 3)
k
6
)x1(
6
+
−
−

E5) 1)
ke
x4
+ 2)
k
4
e
x4
+ 3)
k
e
1
x
+−

E6) 1)
k|3x|ln
2
+− 2)
k|3x|ln
2
1
2
+− 3)
k|2x5|ln
5
1
++

E7) 1) –cos 4x + k 2) kx4cos
4
1
+− 3) cos (-x) +k

E8) 1)
k)3xsen(
2
+− 2)
k)3xsen(
2
1
2
+− 3)
k)2x5sen(
5
1
++

E9) 1) k
4
)1x2(
4
+
− 2)
k
3
)1x(2
32
+
− 3)
k
36
)4x3(
62
+
+ 4) –
kx5
2
+−
5) k
)x1(3
1
3
+
− 6)
k
)2x(4
1
22
+
+− 7)
k
4
)x3(3
3 22
+
−− 8)
k1x2 +−

9) k
)3x2(8
1
4
+
+
−
10)
k
x
3
|x|ln
2
5
e3
x
+−− 11) k
3
e
1x3
+
−
12)
k|1x|ln
3
1
3
++

13)
k
e
2
1x
+
−
−
14)
k|2x4|ln
4
1
+− 15) k
2
e3
3x
2
+
+
16)10ln(x
2
+10) + k

8. 59
17) 10ke
2
x
+ 18)
k
e
1
x
+− 19)
kxsen
2
1
2
+ 20)
kx3cos
3
1
+−

21) k
6
xsen
6
+ 22) ke
xcos
+− 23) k|xcos|ln
+− 24) k|xsen|ln +

E10) 1) y = x
2
– 3 2) y = 2 x
3
– x
2
+ 5x – 1 3) y = x
3
+
2
x
2
– x + 1

4) y = e
x
– 2x –3 5) y = 2ln x + 5

E11) x
4
– 5x + 2

E12) V = 200.000

E13) R$ 1.500,00

E14) P(256) = 800

E15) R(12) = 24 milhões

E16) Aproximadamente 183,8 milhões de habitantes

E17) 150

E18) P = – 2x
3
+ 24x

9. 60
INTEGRAL DEFINIDA


Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real

representado por
∫
b
a
f(x)dx e calculado por F(b) - F(a).


∫
b
a
f(x)dx =
b
a
[F(x)] = F(b) - F(a)


E1) Calcule:

1)
dxx
3
0
2
∫
2) dxx)(1
4
1
1
∫
−
−


1. PROPRIEDADES BÁSICAS

a)
∫
a
a
f(x)dx = 0

b)
∫
b
a
f(x)dx = -
∫
a
b
f(x)dx

c)
∫
b
a
c.f(x)dx = c.
∫
b
a
f(x)dx, sendo c uma constante

d)
∫
±
b
a
g(x)]dx[f(x) =
∫
b
a
f(x)dx±
∫
b
a
g(x)dx

e)
∫
b
a
f(x)dx =
∫
c
a
f(x)dx +
∫
b
c
f(x)dx, com a < c < b

f)
∫
b
a
f(x)dx≥ 0, se f(x) ≥0, ∈∀x [a,b]


E2)Calcule:

1)
∫
+−
1
0
34
dx)1x3x( 2)
∫
−
−+−
0
1
25
dx)1x2x3x3( 3)
∫
++
5
2
2
du)u3u22(

4)
dt
t
1
t
9
1
∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
5)
∫
2
0
2
1)dx -(x x 6)
∫
+1
22
t
1t
dt

7)
∫
2
1
5
dx4) -(2x 8)
∫
2
4
4
dx6) -(2x 9)
∫
+
1
0
32
dx 1) 8x(x

10. 61
10)
∫
+
4
0
16u
1
du 11)
∫
+
2
1 23
2
)1x(
x
dx 12)
du12uu)uu(
24
1
0
3
+++∫


13)
∫
−
−
3
2
dx|1x| 14)
∫
+−
2
02
96xx
dx
15)
∫
0
1-
x-1
dx


16) dx
2
|x|
x
1
1
∫
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− 17) ∫
−
−
5
2
dt|42t| 18)
∫
−3
1
34
x
xx
dx


2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA


Seja f uma função continua em [a,b] com f(x)
≥ 0,
∈∀x [a,b].

Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b.
y f

f(x+
Δx)
A
1 A2
f(x)
A
3

A
ΔA

0 a x x +
Δx b x

A é a área da região hachurada,
ΔAé o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo Δx.

A
3 ≤ ( A2 + A3 )≤ (A1 + A2 + A3 )⇔ f(x).Δx
≤ΔA≤ f(x + x).Δx ⇒ f(x) ≤
Δx
ΔA
≤
f(x +Δx)


0x
lim
→Δ
f(x) ≤
0
lim
→Δx
Δx
ΔA
≤

0x
lim
→Δ
f(x +Δx )
⇔ f(x) ≤
0
lim
→Δx Δx
ΔA
≤ f(x ) ⇒
0
lim
→Δx Δx
ΔA
= f(x) ⇔ A’ = f(x)

Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k.

Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a)

Para calcular a área de a até b basta tomar x = b.

Para x = b, A = F(b) - F(a) =
∫
b
a
f(x)dx


Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número
∫
b
a
f(x)dx representa a área da região
limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.

11. 62
y

f



R


0 a b x

A
R =
∫
b
a
f(x)dx



3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS

Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x)
≥ g(x) ,
∈∀x [a,b]. Se R é a região limitada pelos

gráficos de f, g, x=a e x=b então A
R =
∫
b
a
g(x)]dx-[f(x)

y

f

R
g


0 a b x


E3)Calcule a área da região limitada por:

1) y=-x
2
+ 4 e y=0
2) y=x
2
– 4, y=0, x=-1 e x=2
3) y=x, y=0, x=-2 e x=1
4) y=x
2
– 1 e y=3
5) y=x
2
+ 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2
6) y=x
3
, y=-x + 2 e y=0
7) y=
x e y=x
2

8) y=x e y=x
3


4. RESPOSTAS

E1) 1) 9 2)
5
32
E2) 1)
20
9
2)
2
7
−
3) 144 4)
3
40
5)
3
4
6) 2ln
2
1
−− 7)
3
16
− 8)
5
32
−
9) 15 10)
3 4
11)
54
7
12)
6
7
13)
2
13
14)
3 2
15)
222− 16)
2
1
−
17) 25 18)
3
34

E3) 1)
3
32
2) 9 3)
2
5
4)
3
32
5) 9 6)
4
3
7)
3
1
8)
2
1

12. 63
BIBLIOGRAFIA:

ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1 e v.2.

BOULOS, Paulo. Introdução ao cálculo. São Paulo : Edgar Blücher, 1973. v.1.

FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. 5.ed. São Paulo: Makron, 1992.

FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo B. São Paulo: Makron, 1999.

HOFFMANN, Laurence D,BRADLEY, Gerald L. Cálculo, um curso moderno e suas aplicações. Rio
de Janeiro: L.T.C., 2002.

MAIA, L. P. M. Cálculo 1. Rio de Janeiro : UFRJ, 1978.

NETO, Cesar Dacorso. Elementos de cálculo infinitesimal. São Paulo : Nacional, 1966.

MUNEM, Mustafa A., FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois,
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