Integral por sustitución

UNEFM, Ingeniería Biomédica, Matemática II, Integral por sustitución

1. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 1
Integrales no Inmediatas
A menudo nos encontramos con integrales que no son inmediatas o no es posible
transformalas en una de ellas con los recursos convencionales como los utilizados hasta ahora;
por lo tanto, es necesario aprender tecnicas para transformar una integral dada en otra que sea
conocida o en una que aparezca en la tabla. Recuerda que en clases pasadas se presento una
lista reducida con unas 16 formulas de integrales; sin embargo, se podra formar un listado
con mas de ellas, incluso hay publicaciones de manuales con mas de 700. En todo caso sera
impractica poseer un listado muy grande de ellas, es mas sensato imprimir o memorizar una
una tabla corta de integrales.
Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable
Cuando se presenta funciones compuestas, en las que no es posible una integracion directa,
pudiera ser que la tecnica de integracion por sustitucion o cambio de variable transforme la
integral dada, en otra inmediata o mas sencilla de integrar.
Consideremos la integral
Z
f(g(x))g
0
(x)dx"no inmediata"que representa una funcion
compuesta, entonces:
1.
u=g(x))du=g
0
(x)dx
El secreto de este recurso es visualizar la composicionf(g(x)) en el integrando dado.
Para que este integrando pueda convertirse en una funcion solo deu, el factor restante
debe ser un multiplo constante de la derivadag
0
(x) de la "funcion interior"g(x).
2. f(g(x)) conf(u) mas sencilla yg
0
(x)dxcondumas sencilla
Z
f(g(x))g
0
(x)dx=
Z
f(u)du
Esta nueva integral se relaciona con una ya conocida.
3.
la variablexy la respuesta obtenida viene en funcion de la variableu, la respuesta
denitiva se ha de presentar en funcion de la variable original.
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2. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 2
Ejemplo 1: Calcular
Z
2x
p
x
2
1dx
Solucion: Sea
u=x
2
1)du= 2xdx
como se puede observar se encuentra todo en el integrando
Z
2x
p
x
2
1dx=
Z
p
x
2
12x dx
Haciendo la sustitucion se obtiene la siguiente integral mas sencilla
Z
p
x
2
12x dx=
Z
p
u du
Recuerda que
p
a=a
1=2
Z
p
u du=
Z
u
1=2
du
Aplicando la formula
Z
u
n
du=
u
n+1
n+ 1
+C
Sustituyendo el valor den= 1=2 en la formula
Z
u
1=2
du=
u
1=2+1
1=2 + 1
+C
Por otro lado,
1
2
+ 1 =
1 + 2
2
=
3
2
Z
u
1=2
du=
u
1=2+1
1=2 + 1
+C=
u
3=2
3=2
+C
Finalmente al regresar el cambio realizado resulta:
Z
2x
p
x
2
1dx=
2
3
(x
2
1)
3=2
+C=
2
3
p
(x
2
1)
3
+C
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3. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 3
Ejemplo 2: Calcular
Z
cos(4x1)dx
Solucion: Seau= 4x1)
8
<
:
du= 4dx
du
4
=dx
Se puede visualizar que se tiene todo en el integrando
Z
cos(4x1)dx=
Z
p
cos(4x1)dx
Haciendo la sustitucion se obtiene la siguiente integral mas sencilla
Z
p
cos(4x1)dx=
Z
cosu
du
4
Aplicando la propiedad de integrales
R
Kf(x)dx=K
R
f(x)dx,8K2R
Z
cosu
du
4
=
1
4
Z
cosu du
Aplicando la formula
Z
cosu du=senu+C
1
4
Z
cosu du=
1
4
senu+C
Finalmente al regresar el cambio realizado resulta:
Z
cos(4x1)dx=
1
4
sen(4x1) +C
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4. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 4
Ejemplo 3: Calcular
Z
e
tgx
sec
2
x dx
Solucion: Sea
u=tgx)du=sec
2
xdx
Se puede mirar que se encuentra todo en el integrando
Z
e
tgx
sec
2
x dx=
Z
e
tgx
sec
2
dx
Haciendo la sustitucion se obtiene la siguiente integral mas sencilla
Z
e
tgx
sec
2
dx=
Z
e
u
du
Aplicando la formula
Z
e
u
du=e
u
+C
Z
e
u
du=e
u
+C
Finalmente al regresar el cambio realizado resulta:
Z
e
tgx
sec
2
x dx=e
tgx
+C
Ejemplo 4: Calcular
Z
1
x(2 +lnx)
dx
Solucion: Sea
u= 2 +lnx)du=
dx
x
Al detallar el integrando se determina que esta completo
Z
1
x(2 +lnx)
dx=
Z
1
2 +lnx

dx
x
Haciendo la sustitucion se obtiene la siguiente integral mas sencilla
Z
1
2 +lnx

dx
x
=
Z
1
u
du
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5. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 5
Aplicando la formula
Z
1
u
du=lnjuj+C
Z
1
u
du=lnjuj+C
Finalmente al regresar el cambio realizado resulta:
Z
1
x(2 +lnx)
dx=lnj2 +lnxj+C
Ejemplo 5: Calcular
Z
1
sen
2
x
3
p
ctgx
dx
Solucion: Sea
u=ctgx)du=csc
2
xdx
Realizando un arreglo en la integral dada se puede observar que esta completo el
integrando, sabemos quecsc
2
x=
1
sen
2
x
Z
1
sen
2
x
3
p
ctgx
dx=
Z
1
3
p
ctgx
csc
2
xdx
Efectuamos el cambio respectivo y obtenemos una integral mas sencilla
Z
1
3
p
ctgx
csc
2
xdx=
Z
1
3
p
u
du
Sabemos que
3
p
u=u
1=3
, ademas
1
u
1=3
=u
1=3
Z
1
3
p
u
du=
Z
u
1=3
du
Aplicando la formula
Z
u
n
du=
u
n+1
n+ 1
+C
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6. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 6
Sustituyendo el valor den=1=3 en la formula
Z
u
1=3
du=
u
1=3+1
1=3 + 1
+C
Por otro lado,
1
3
+ 1 =
1 + 3
3
=
2
3
Z
u
1=3
du=
u
1=3+1
1=3 + 1
+C=
u
2=3
2=3
+C
Finalmente al regresar el cambio realizado resulta:
Z
1
sen
2
x
3
p
ctgx
dx=
3
2
(ctgx)
2=3
+C=
3
2
3
p
(ctgx)
2
+C
Ejemplo 6: Calcular
Z
x
p
x+ 2dx
Solucion: Sea
u
2
=x+ 2)x=u
2
2)dx= 2udu
Sustituyendo el cambio de variable en la integral resulta:
Z
x
p
x+ 2dx=
Z
(u
2
2)
p
u
2
2udu
Sabemos que
p
a
2
=a, entonces
Z
(u
2
2)
p
u
2
2udu=
Z
(u
2
2)u2udu
Apoyandonos en una de las propiedades de la integral sacamos la constante 2 de la integral,
ademasa
m
:a
n
=a
m+n
. sustituyendo el valor dem= 1 yn= 1 se obtienea:a=a
2
Z
(u
2
2)u2udu= 2
Z
(u
2
2)u
2
du
Aplicando la propiedad distributivaa(b+c) =ab+ac
2
Z
(u
2
2)u
2
du= 2
Z
(u
2
u
2
2u
2
)du
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7. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 7
Nuevamente nos apoyamos en las propiedades de la integral, ademasa
m
:a
n
=a
m+n
2
Z
(u
2
u
2
2u
2
)du= 2
Z
u
4
du2
Z
u
2
du

Aplicando la formula
Z
u
n
du=
u
n+1
n+ 1
+C
2
Z
u
4
du2
Z
u
2
du

= 2

u
5
5
2
u
3
3

+C
Regresando el cambio variableu
2
=x+ 2)u=
p
x+ 2
2

u
5
5
2
u
3
3

+C=
2
5
p
(x+ 2)
5

4
3
p
(x+ 2)
3
+C
Finalmente se tiene:
Z
x
p
x+ 2dx=
2
5
p
(x+ 2)
5

4
3
p
(x+ 2)
3
+C
Ejemplo 7: Calcular
Z
lnx
x
p
1 +lnx
dx
Solucion: Sea
u=lnx)du=
dx
x
Sustituyendo el cambio en la integral resulta:
Z
lnx
p
1 +lnx
dx
x
=
Z
u
p
1 +u
du
En este caso es necesario un nuevo cambio de variable, puesto que esta integral no esta
directa en tabla. Sea
v
2
= 1 +u)u=v
2
1)du= 2vdv
Sustituyendo este nuevo cambio en la integral se obtiene:
Z
u
p
1 +u
du=
Z
v
2
1
p
v
2
2vdv
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8. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 8
SE extrae la constante 2 de la integral, ademas
p
a
2
=a
Z
v
2
1
p
v
2
2vdv= 2
Z
v
2
1
v
vdv
Simplicando lasvy aplicando propiedad de la integral:
2
Z
v
2
1
v
vdv= 2
Z
v
2
dv
Z
dv

Aplicando la formula
Z
u
n
du=
u
n+1
n+ 1
+C
2
Z
v
2
dv
Z
dv

= 2
v
3
3
2v+C
Regresamos el cambio dev, para lo cual se despeja de la ecuacionv
2
= 1+u)v=
p
1 +u
2
v
3
3
2v+C=
2
3
p
(1 +u)
3
2
p
1 +u+C
Ahora regresamos el cambio deu, dondeu=lnx
2
3
p
(1 +u)
3
2
p
1 +u+C=
2
3
p
(1 +lnx)
3
2
p
1 +lnx+C
Finalmente se tiene:
Z
lnx
x
p
1 +lnx
dx=
2
3
p
(1 +lnx)
3
2
p
1 +lnx+C
Ejemplo 8: Calcular
Z
sen
2
xcos
3
x dx
Solucion: En este caso antes de realizar un cambio de variable, es necesario recurrir
a algunos recursos matematicos. Esto es debido a que no es posible utilizar un cambio de
variable directamente.
Primeramente descomponemoscos
3
x=cos
2
xcosx
Z
sen
2
xcos
3
x dx=
Z
sen
2
xcos
2
xcosx dx
Luego aplicamos la identidad trigonometricasen
2
x+cos
2
x= 1)cos
2
x= 1sen
2
x
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9. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 9
Z
sen
2
xcos
2
xcosx dx=
Z
sen
2
x

1sen
2
x

cosxdx
Ahora se puede visualizar un cambio de variable, el cual sera
u=senx)du=cosxdx
Como se puede ver esta todo en el integrando
Z
(senx)
2

1(senx)
2

cosxdx=
Z
u
2

1u
2

du
Aplicando la propiedad distributivaa(b+c) =ab+ac
Z
u
2

1u
2

du=
Z
(u
2
u
2
u
2
)du
Nuevamente nos apoyamos en las propiedades de la integral, ademasa
m
:a
n
=a
m+n
Z
(u
2
u
2
u
2
)du=
Z
u
2
du
Z
u
4
du
Aplicando la formula
Z
u
n
du=
u
n+1
n+ 1
+C
Z
u
2
du
Z
u
4
du=
u
3
3

u
5
5
+C
Ahora regresamos el cambio deu=senx
u
3
3

u
5
5
+C=
1
3
sen
3
x
1
5
sen
5
x+C
Finalmente se tiene:
Z
sen
2
xcos
3
x dx=
1
3
sen
3
x
1
5
sen
5
x+C
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10. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 10
Ejemplo 9: Calcular
Z
p
1sen2x dx
Solucion: En este caso tambien antes de realizar un cambio de variable, es necesario
recurrir a algunos recursos matematicos. Puesto que no es posible utilizar un cambio de
variable directamente.
Primeramente vamos a multiplicar y a dividir por la conjugada del integrando, la
conjugada en este caso es:
p
1 +sen2x
Z
p
1sen2x dx=
Z
p
1sen2x
p
1 +sen2x
p
1 +sen2x
dx
Recordemos que
p
a
p
b=
p
a:b
Entonces
Z
p
1sen2x
p
1 +sen2x
p
1 +sen2x
dx=
Zp
(1sen2x)(1 +sen2x)
p
1 +sen2x
dx
Aplicando el produccto de la suma por la diferencia(a+b)(ab) =a
2
b
2
Zp
(1sen2x)(1 +sen2x)
p
1 +sen2x
dx=
Zp
(1sen
2
2x)
p
1 +sen2x
dx
Luego aplicamos la identidad trigonometricasen
2
2x+cos
2
2x= 1)cos2x=
p
1sen
2
2x
Zp
(1sen
2
2x)
p
1 +sen2x
dx=
Z
cos2x
p
1 +sen2x
dx
Ahora se puede visualizar un cambio de variable, el cual sera
u= 1 +sen2x)
8
<
:
du= 2cos2xdx
du
2
=cos2xdx
Se puede observar que esta todo en el integrando
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11. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 11
Z
cos2x
p
1 +sen2x
dx=
Z
1
p
1 +sen2x
cos2xdx
Sustituyendo el cambio se obtine una integral mas sencilla
Z
1
p
1 +sen2x
cos2xdx=
Z
1
p
u
du
2
Sacando la constante
1
2
del integral, por otro lado sabemos que
p
u=u
1=2
, ademas
1
u
1=2
=u
1=2
Z
1
p
u
du
2
=
1
2
Z
u
1=2
du
Aplicando la formula
Z
u
n
du=
u
n+1
n+ 1
+C
1
2
Z
u
1=2
du=
1
2

u
1=2+1
1=2 + 1

+C
Por otro lado,
1
2
+ 1 =
1 + 2
2
=
1
2
1
2

u
1=2+1
1=2 + 1

+C=
1
2

u
1=2
1=2

+C
Simpicando los 2 y retornando el cambio de variable dondeu= 1 +sen2x
1
2

u
1=2
1=2

+C= (1 +sen2x)
1=2
+C
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12. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 12
Finalmente se tiene:
Z
p
1sen2x dx= (1 +sen2x)
1=2
+C
Ejemplo 10: Calcular
Z
sen2x
senx(1 +sen
2
x)dx
Solucion: Al detallar la integral dada se puede observar que el integrando esta compuesto
por funciones trigonometrcas, pero no todos tienen igual angulo; esto indica que se debe
colocar todas las funciones trigonometricas con un mismo ngulo. Para resolver esta situacion
recurrimos a la identidad trigonometricasen2x= 2senxcosx
Z
sen2x
cosx(1 +cos
2
x)
dx=
Z
2senxcosx
cosx(1 +cos
2
x)
dx
Ahora se puede simplicarcosxdel numerador con elcosxdel denominador
Z
2senxcosx
cosx(1 +cos
2
x)
dx=
Z
2senx
1 +cos
2
x
dx
Seau=cosx)
(
du=senxdx
du=senxdx
como se puede observar se encuentra todo en el integrando
Z
2senx
1 +cos
2
x
dx=2
Z
senxdx
1 + (cosx)
2
Haciendo la sustitucion se obtiene la siguiente integral mas sencilla
2
Z
senxdx
1 + (cosx)
2
=2
Z
du
1 +u
2
Aplicando la formula
Z
du
1 +u
2
=arctgu+C
2
Z
du
1 +u
2
=2arctgu+C
Regresando el cambiou=cosxse tiene
2arctgu+C=2arctg(cosx) +C
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13. Integracion por Sustitucion o Cambio de Variable 13
Finalmente se tiene:
Z
sen2x
senx(1 +sen
2
x)dx
=2arctg(cosx) +C
Ejercicios Propuestos
01)
Z
e
lnx
2
x
3
2
dx 02)
Z
(x2)cos

x
2
4x+ 3

dx
03)
Z
x
2
p
1 +x
3
dx 04)
Zp
arcsenx
x
2
1

dx
05)
Z
0
B
B
@
r
arctg
x
2
x
2
+ 4
1
C
C
A
dx 06)
Z
1
xln
2
x

dx
07)
Z
e
1=x
x
2
dx 08)
Z
1
e
x
+ 1
)dx
09)
Z
x+ 3
x+ 2

dx 10)
Z
sec
3
2x
1 +tg2x
dx
11)
Z
sen2x
p
1 + 2cos
2
x dx 12)
Z
sec
3
x
cosecx
dx
13
Z
e
x+e
e
x
dx 14)
Z
1
x
p
14ln
2
x

dx
15)
Z
1
p
e
x
1

dx 16)
Z
(cos3x+sen3x)
2
dx
17)
Z
senxcosx
x
p
cos
2
xsen
2
x

dx
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