Integrales dobles en coordenadas polares

Integrales dobles, rectangulares, tipo 1, tipo 2, circulares.

1. Integrales dobles
Z b a Z g2(x) g1(x) f(x, y) dydx ó Z d c Z h2(y) h1(y) f(x, y) dxdy
Los límites interiores de integración pueden ser variables respecto a la variable
exterior de integración, pero los límites exteriores de integración han de ser
constantes con respecto a las dos variables de integración.
Una vez realizada la primera integración, se llega a una integral definida ordinaria
y al integrar por segunda vez se obtiene un número real. Los límites de integración
determinan la región de integración. Integrales dobles El concepto de integral
doble Consideramos una función continua
f tal que f(x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ dom(f)
Deseamos hallar el volumen de la región sólida comprendida entre la superficie
z = f(x, y) y el plano XY.
Suponemos que la función f está definida sobre un rectángulo cerrado
R = [a, b] × [c, d] = n (x, y) ∈ R 2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
o Tomamos una partición P de R en subrectángulos que obtenemos realizando el
producto cartesiano de una partición de [a, b] por una de [c, d]:
a = x0 < x1 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xm = b c = y0 < y1 < · · · < yj−1 < yj < · · · <
yn = d
P = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj ], i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n
Denotamos por ∆xi = xi − xi−1, ∆yj = yj − yj−1
Área de cada subrectángulo Rij = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj ]: Aij = ∆xi∆yj
Llamamos mij = mín f(x, y),(x, y) ∈ Rij Mij = máx f(x, y),(x, y) ∈ Rij
Consideramos los prismas que tienen por base un rectángulo de la partición y por
altura o el mínimo o el máximo de f sobre ese rectángulo: V =área de la base ·
altura
Se llama suma inferior de Riemann de f en P a L(f ,P) = s(f ,P) = X 1≤i≤m,1≤j≤n
mij Aij .
Se llama suma superior de Riemann de f en P a U(f ,P) = S(f ,P) = X 1≤i≤m,1≤j≤n
Mij Aij Si se consideran particiones más finas la aproximaciones mejoran. Se
cumple: L(f ,P) ≤ U(f , Q) siendo P, Q dos particiones de R. Si se refina la partición,
las sumas inferior y superior se aproximan. Integrales dobles Definición de integral
doble .

2. Se llama integral inferior de Riemann de f en R a Z R f = sup {L(f ,P),P ∈ P(R)}
DEF. Se llama integral superior de Riemann de f en R a Z R f = ínf {U(f ,P),P ∈
P(R)} DEF. Diremos que f es integrable sobre R si coinciden sus integrales
superior e inferior. A ese valor lo llamamos integral de f y lo representamos por: Z
R f = Z Z R f dx dy Integrales dobles Propiedades de integral doble Teorema. Sea
R un rectángulo de R 2 y f : R → R una función. Si f es continua en R salvo, a lo
sumo, en los puntos que forman una unión finita de líneas, f es integrable. Sea A
una región plana acotada y f : A → R. Por ser A acotada, existe un rectángulo R
que la encierra. Se puede construir la función: F(x, y) = f(x, y) si (x, y) ∈ A 0 si (x,
y) ∈ R − A Si F es integrable sobre R, entonces f es integrable sobre A. Z Z a f = Z
Z R F
Se dice que A ⊂ R 2 es una región regular en la dirección del eje Y si
A = n (x, y) ∈ R 2 /a ≤ x ≤ b,ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) o donde ϕ1,ϕ2 son continuas y ϕ1 ≤
ϕ2 en [a, b].
A es una región regular en la dirección del eje X si A = n (x, y) ∈ R 2 /c ≤ y ≤
d,ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) o donde ψ1,ψ2 son continuas y ψ1 ≤ ψ2 en [c, d]. Si A es una
región regular en la dirección de ambos ejes se dice que es regular.
Cálculo de áreas planas
Te recuerdo que si es una función continua, representamos
por la región del plano comprendida entre la curva , el eje de
abscisas y las rectas , . Como sabes, el área de dicha región viene dada
por (no suponemos que sea positiva). Es interesante
interpretar la integral que proporciona el área de la siguiente forma. Observa
que es la longitud del segmento intersección de con la recta
vertical que pasa por , es decir, es la longitud de la sección
vertical de por el punto , y el área de la región es igual a la
integral de las longitudes de sus secciones. Intuitivamente: integrando longitudes
obtenemos áreas. Como el área es invariante por rotaciones, este resultado es
también válido si consideramos secciones por rectas paralelas a una recta
cualquiera dada. Deducimos así el siguiente resultado.
Principio de Cavalieri. El área de una región plana es igual a la integral de las
longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta dada.
Veamos cómo se aplica este principio en algunos casos concretos.
Área entre dos curvas
Regiones de tipo I

3. Supongamos que son funciones continuas y llamemos Ω a la
región del plano comprendida entre las curvas e para . Se
dice que Ω es una región de tipo I. Puedes representar gráficamente dicha región
con la orden "tipo1[{f,g},{x,a,b},opts]" (que admite opciones como "Plot").
Experimenta con distintas funciones. Aquí tienes unos ejemplos.


Es evidente que las longitudes de las secciones verticales de Ω son iguales
a por lo que su área viene dada por . Observa que
esta integral expresa el área de Ω como límite de las sumas de
Riemann , lo que tiene una sencilla interpretación que
puedes visualizar con la orden "tipo1sup[{f,g},{x,a,b,n},opts]" (admite opciones
como "Plot") que representa aproximaciones superiores al área de Ω
dividiendo en subintervalos y eligiendo en cada uno de ellos el
punto en el que la función alcanza su máximo absoluto en dicho
subintervalo. Significado análogo tiene el comando "tipo1inf[{f,g},{x,a,b,n},opts]".
Prueba con distintas funciones. Los siguientes ejemplos son ilustrativos.

4. En la práctica, es frecuente describir una región de tipo I como "la región
comprendida entre las curvas e " sin precisar el intervalo de la
variable . En estos casos, se entiende que se trata de la región
acotadacomprendidad entre las dos gráficas; la cual debe determinarse calculando
los puntos de intersección de las mismas, es decir, resolviendo la
ecuación lo que también nos proporciona los límites de integración y .
Cuando la función no tiene signo constante en el intervalo , para calcular
la integral se descompone dicho intervalo en intervalos en los que
la función es siempre positiva o siempre negativa, lo que permite quitar el
valor absoluto en el integrando.
A veces interesa expresar una región de tipo I como unión de dos o más regiones
de tipo I disjuntas y más sencillas, entonces su área es la suma de las áreas de
cada una de dichas regiones.
Ejemplo 1
Calcular el área de la region Ω comprendida entre la parábola y la
recta .
Calculamos primero las intersecciones de la parábola con la recta lo que nos
proporcionará los límites de integración.


Representaremos ahora la región Ω. Puedes usar para ello la orden "Plot" o mejor,
si conoces los límites de integración, el comando "FilledPlot".

5. Es claro que para la parábola está por encima de la recta.
Por tanto, el área de Ω viene dada por

Regiones de tipo II
Supongamos que son funciones continuas y llamemos Ω a la
región del plano comprendida entre las curvas y para . Se
dice que Ω es una región de tipo II. Puedes representar gráficamente una región
de tipo II con la orden "tipo2[{f,g},{y,a,b},opts]" (que admite opciones como
"Show"). Experimenta con distintas funciones. Observa que las regiones de tipo II
son las simétricas de las regiones de tipo I respecto de la recta . Es decir, una
región de tipo II es una región de tipo I vista desde el eje de ordenadas. Aquí
tienes unos ejemplos.


Es evidente que las longitudes de las secciones horizontales de Ω son iguales
a por lo que su área viene dada por . Observa que
esta integral expresa el área de Ω como límite de las sumas de
Riemann , lo que tiene una sencilla interpretación que
puedes visualizar con la orden "tipo2sup[{f,g},{y,a,b,n},opts]" (admite opciones
como "Show") que representa aproximaciones superiores al área de Ω dividiendo
el intervalo del eje de ordenadas en subintervalos y eligiendo en
cada uno de ellos el punto en el que la función alcanza su
máximo absoluto en dicho subintervalo. Significado análogo tiene el comando
"tipo1inf[{f,g},{y,a,b,n},opts]". Prueba con distintas funciones. Los siguientes
ejemplos son ilustrativos.

6. Es importante advertir que la distinción entre regiones de tipo I y de tipo II es tan
sólo una cuestión de conveniencia. No son conjuntos de distinta naturaleza sino
formas distintas de describir un conjunto. En la prática te vas a encontrar siempre
con regiones que puedes considerar tanto de tipo I como de tipo II y deberás elegir
la descripción que más facilite el cálculo de la correspondiente integral. De todas
formas, no debes olvidar que basta cambiar la variable por la variable para
convertir una región de tipo II en otra de tipo I; por tanto, si en un ejercicio resulta
conveniente considerar la región cuya área quieres calcular como una región de
tipo II y te encuentras más cómodo trabajando con regiones de tipo I, ya sabes lo
que tienes que hacer.
Integrales dobles en coordenadas polares
integrales dobles las cuales se van a evaluar en regiones circulares o regiones
comprendidas entre dos círculos o una parte de estos círculos.
Cuando se calcula una integral doble:
∬R f dA
sí deseas expresar la función f y los límites de integración de la región R en
coordenadas polares (r,θ), la forma de desarrollar el pequeño pedazo de área es
dA=rdθdr
(Presta atención al hecho de que la variable r es parte de esta expresión).
Más allá de esta única regla, trabajar con estas integrales dobles implica en mayor
medida cuidar que los límites de integración describan apropiadamente la
región R.
Integrar por medio de coordenadas polares es útil siempre que tu función o tu
región cuenten con alguna clase de simetría radial. Por ejemplo, las coordenadas

7. polares son adecuadas para integrar sobre discos o para integrar funciones que
incluyen la expresión x^2 + y^2.
Ejemplo:
Supongamos que tenemos una función multivariable definida en las coordenadas
polares r y θ
f(r,θ) = r^2
Y digamos que queremos encontrar la integral doble de esta función en la región
donde
r ≤2
Este es un disco de radio 2, centrado en el origen.














Escrita de forma abstracta, así es como podría verse la integral:
∬r≤2r2dA

Podrías interpretarla como el volumen bajo un paraboloide (el análogo
tridimensional de una parábola), como se muestra a continuación:

8. La pregunta es, ¿qué hacer con el término dA?
Recuerda lo que hace la integral doble: corta la región que queremos integrar en
pedacitos, y dA representa el área de cada uno de estos pedacitos. Por ejemplo,
cortar nuestro disco de radio 2 podría verse así:

9. ¿Por qué escogí cortarlo en un patrón de telaraña, en vez de usar rectas verticales
y horizontales? Puesto que estamos en coordenadas polares, será más sencillo
pensar en los pedacitos si sus fronteras están dadas por valores constantes de r o
valores constantes de θ.
Concentrémonos en uno de estos pedacitos:

Aún cuando este pedacito está curvado, si hacemos cortes más y más pequeños,
básicamente podemos tratarlo como un rectángulo. Podemos pensar la longitud
de un lado de este "rectángulo" como dr,, un pequeño cambio en la coordenada r.

10. Usar la diferencial dr para describir esta longitud enfatiza el hecho de que no
estamos considerando un pedacito específico, sino que lo que nos importa es qué
pasa conforme su tamaño se aproxima a 0.
¿Pero qué tan largo es el otro lado?
No es dθ un pequeño cambio en el ángulo, pues los radianes no son unidades de
longitud. Para transformar los radianes en segmentos de longitud de arco,
debemos multiplicarlos por r.

11. Por lo tanto, si tratamos este pequeño pedazo como un rectángulo, y dado que el
pedacito básicamente es un rectángulo conforme dr y dθ se aproximan a 0 su área
es:
dA=(rdθ)(dr)
Al sustituir este resultado en nuestra integral original, obtenemos
∬r≤2r2dA=∬r≤2r2(rdθ)(dr)=∬r≤2r3dθdr

Colocar límites en esta región es relativamente sencillo en este ejemplo, pues las
coordenadas polares describen los círculos de forma natural. Ya que
escribimos dθ antes de dr la integral interior es con respecto a θ Los límites de
integración de esta integral reflejarán el rango completo de θ conforme recorre una
vez el círculo mientras va de 0 a 2π . La integral exterior es con respecto a r que
va de 0 a 2.

Ejemplo: evalúa esta integral doble.

12. Bibliografica
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-
functions/double-integrals-a/a/double-integrals-in-polar-coordinates
https://sites.google.com/site/pesqueriagrupocal/5-calculo-de-varias-
variables/integrales-dobles-en-coordenadas-polares
https://matematica.laguia2000.com/general/integrales-dobles

13. TRABAJO REALIZADO POR:

FELIPE ALFONSO CRUZ GONZALEZ
MARIA CAMILA VARGAS
ESTEBAN TIGREROS