Integrales - Guadalupe Maldonado y Luis Yanez.pptx

Explicación de integrales definidas e indefinidas - T2- T1

1. …Integrales Definidas e Indefinidas… Por: Guadalupe Maldonado Y Luis Yánez Matemática II – T2-T1

2. …¿Qué son las integrales indefinidas?... La integral indefinida de una función se puede ver exactamente como eso, la familia de anti derivadas de una función.

3. … ¿Qué son las integrales?... Es una función que se obtiene por una operación a partir de la derivada, en otras palabras, integral es lo inverso a derivar.

4. …¿Cuáles son los tipos de integrales indefinidas?... Integración por partes. Integración por sustitución o cambio de variable. Integración de potencias de funciones trigonométricas Integración de racionales (Propias e impropias)

5. …Integrales por tabla Formulas fundamentales de integración…

6. …Ejemplos según la tabla y formulas… Diferencia de una K => x+c Ejemplo: x +c Constante => kdx = kx+c Ejemplo= 3dx = 3x+ c Logarítmica -L. Simple => -L. Compuesta =>

7. …Método de sustitución … Se usa para convertir una función en otra mas fácil de integral. …Pasos del método de sustitución… Elige una expresión para U Calcular “du” Reemplazar todo por “u“ Calcular la integral Reemplazar todo nuevamente

8. …Ejemplo 1… Luego calculamos la derivada de u => du: u = U es igual al denominador de dicha función. du= 4x dx Para eso se multiplica el cociente por el exponente de u x y se le añade dx. En esta expresión, tenemos que elegir quien va ser “u”, Por lo general cuando es una división lo mas recomendado es elegir casi siempre el elemento de abajo, es decir, el denominador. Entonces usando la sustitución transformamos la expresión y decimos que u =

9. Despejamos el 4 de la división sacándolo de la integral, este pasa a multiplicar. Por lo tanto se escribe la formula con su logaritmo natural, reemplazando todo nuevamente. Se reemplaza todo por u, es decir, se sustituye la x por u, escribiendo la misma división. Si observamos bien, nuestra formula de du = son los mismos valores que nos quedaron arriba, en el numerador, así que eso también lo sustituimos y decimos entonces: Finalmente, Logaritmo natural de “u” y “u” es 2x2-5 , finalmente se la agrega + C.

10. …Ejemplo 2… U= Du= 12xdx => 4.3xdx Du/4= 3xdx      

11. …Integración por partes… Se da cuando el integrando esta formado por un producto es decir, una multiplicación, o una división que puede escribirse como un producto. …Pasos de integración por partes… Usar la frase “ILATE” Para encontrar a u y a dv. Encontrar a V y a Du, derivando a v e integrando a du. Usar la formula para sustituir valores, resolver y ordenar.

12. Ejercicio 1 Debemos encontrar quien es u y dv dentro de nuestro ejercicio y para eso se usa la frase “ILATE”. Donde: I => Significa expresión inversa L => Significa expresión logarítmica A => Significa expresión algebraica T => Significa función trigonométrica E=> Significa función exponencial Si vemos nuestro ejercicio, tenemos 2 funciones. La primera es algebraica y la segunda es trigonométrica, la primera de las 2 funciones que aparezca en la palabra “ILATE” es la que se selecciona como u y la segunda seria dv.

13. Por lo tanto: Se construye y resuelve : xSenxdx = x (- Cos x ) - - Cosx .dx “ Coseno de X multiplicado xSenxdx = - xCosx + Cosx .dx por dx = Senx ” xSenxdx = - xCosx + Senx + C “ Finalmente se organiza todo ”. u = x Du/dx = 1 => du= dx dv = Senxdx V= - Cos x

14. …Integrales Racionales… Es una expresión de la forma P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. Estas integrales pueden ser: Integrales Propias Integrales Impropias. Las integrales propias, son aquellas cuyos limites son finitos, es decir, tienen un limite mientras que en las impropias al menos uno de sus limites son infinitos, así es como podemos diferenciarlas,

15. 4x = - 4 -1 x Se sustituye el infinito por cualquier letra de nuestra preferencia y afuera de la integral se escribe el limite, de la letra cuando es infinito …Ejercicio de una integral impropia… Lim B => oo 1 2 Se obtiene la antiderivada, reescribiéndola, como la integral de 4x-2 dx (Se esta despejando) “Resultado de la anti derivada”

16. 0 +2 = 2 - = Se escribe la anti derivada y se anotan los limites de integración, que son la letra seleccionada “b” y el “2”, para posteriormente aplicar el teorema fundamental de calculo. Para simplificar el teorema fundamental de calculo, se procede a 2 funciones de -4/x donde en la primera la x es reemplazada por la letra b y en la segunda la x se reemplaza por 2. Finalmente, se reemplazan los valores y se calcula, siguiendo detalladamente cada paso, donde en derivadas se vio que todo numero divido entre un infinito es igual a 0, y a su vez -4 entre 2 es igual a 2, ese es el resultado . 3 4 5

17. -1 3 …Ejercicio 1 de integral propia… 8t dt 2(3) - 2(-1) = 2(81) – 2 (1) = 162 – 2 = 2 Sacamos la anti derivada, donde siempre se le suma 1 al exponente y ese mismo numero se repite en el denominador, para posteriormente ubicar los limites de integración. Podemos notar que la expresión puede darse de una forma mas sencilla, dividiendo 4 entre 4 es = 2 -1 3 La respuesta a eso es 2, y procedemos a calcular el teorema fundamental de calculo. Donde la t es reemplazada por nuestro limites, el primero es 3 y el segundo es -1. Finalmente calculamos las potencias, el 2 es el resultado.

18. …Integrales definidas… Es un caso de la integral utilizado para determinar el valor de las áreas delimitadas por una gráfica dentro de un intervalo y el eje horizontal.

19. a b …Propiedades de la integral definida… K f(x) dx = K f(x) dx + g (x))dx= f(x)dx+ g(x)dx 4 1 2 3 5

20. …Ejercicio 1… Sabiendo que: f(x)dx= 12 calcule g(x)dx + f(x)dx 0 + = 0 + 12 = 12 En la primera integral ambos limites tanto superior como inferior son dos, por lo tanto esa integral da “0”. En la segunda integral tenemos la integral de 5 hasta 2 por lo tanto aplicamos la propiedad inversa, es decir cambiamos la posición de los limites superior e inferior y expresamos la integral con un signo negativo. Esto con el fin de ajustar nuestro problema a la condición que nos dieron. Dicho resultado es 12.

21. …Formula del teorema fundamental del calculo integral … F (x) = f(x) También encontramos esta formula:

22. Otra forma de resolverla a través de otra formula ...Ejercicio del teorema fundamental de calculo… g’(x) = ? En el lado izquierdo tenemos a la “g” prima y en el lado derecho, tenemos el teorema que hay que aplicar según la formula.