INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS

1. Integrales Impropias Ángel Paredes C.I. 26.572.449 Ingeniería en Mantenimiento Mecánico Matemática II

2. El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos cerrados [a, b], con a, b ∈ R. Este concepto se puede extender eliminando estas restricciones. Ello da lugar a las integrales impropias. Llamaremos integral impropia de primera especie aquella cuyo intervalo de integración es infinito, ya sea de la forma (a,∞), (−∞, b) o bien (−∞,∞), pero la función está acotada.

3. Se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el límite existe y es finito y divergente en caso contrario. Funciones definidas en intervalos no acotados: integrales impropias de primera especie. Funciones no acotadas: integrales impropias de segunda especie.

4. Integrales impropias de primera especie: Las integrales de este tipo son de la forma siendo f acotada en el intervalo correspondiente.

5. PROPIEDADES Impropias de primera especie (1) La convergencia de la integral no depende del límite de integración real . Es decir, (2) Homogénea. Si es convergente, entonces es convergente, para todo λ ∈ R y se cumple:

6. PROPIEDADES Impropias de primera especie (3) Aditiva . Si convergen , entonces converge y además

7. PROPIEDADES Impropias de primera especie (4) Integración por partes. Si f y g tienen derivadas de primer orden continuas en [a,∞) y dos de los tres limites existen, entonces el tercero también existe y se tiene que

8. PROPIEDADES (5) Si converge , entonces converge . Esta ultima propiedad permite definir el concepto de convergencia absoluta para el caso en que la función integrando no tenga signo constante en [a,∞).

9. Ejercicio #1:

10. Ejercicio #2:

11. Integrales impropias de segunda especie: Si una función y = f(x) no está acotada en un intervalo [a, b], no tiene sentido el concepto de integral definida de f en [a, b]. Esta situación da lugar a las integrales impropias de segunda especie; para ello, se distinguen los siguientes criterios:

12. CRITERIOS Impropias de segunda especie (1) Criterio de comparaci´on . Si f y g son funciones continuas en [a, r ], ∀ r < b y 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, r], entonces: (2) Comparación por paso al límite. Sean f y g continuas y no negativas en [a, r], ∀r < b .

13. CRITERIOS Impropias de segunda especie Si λ finito , entonces converge converge b ) Si entonces converge converge

14. CRITERIOS Impropias de segunda especie (3) Sea f una función continua y no negativa en [ a, r], ∀r < b Si finito, entonces b) Si entonces converge c) Si entonces diverge

15. EJERCICIO #1:

16. EJERCICIO #2: Solución: El integrando presenta una discontinuidad esencial en x = 3. Resulta entonces:

17. MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN Ángel Paredes C.I. 26.572.449 Ingeniería en Mantenimiento Mecánico Matemática II