Integrales impropias y técnicas de integración

Integrales impropias

1. I ntegrales impropias y técnicas de integración Iriana Pi ñero C.I: 25.787.085 Matemáticas II SAIA B

2. Integrales impropias Es el  límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico , una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones. Carácter y valor de las Integrales Impropia: Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente

3. Son del tipo Presenta una asíntota horizontal Primera especie Segunda especie Son del tipo Y que no esta definida en el intervalo de integración o en cualquier punto del dominio o los extremos e integración Tercera especie Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.   ó  

4. Integración por parte La integración por partes, es una técnica que se utiliza para resolver integrales que no se resuelven inmediatamente o por un sencillo cambio de variable. Por lo general esta técnica se utiliza cuando el integrando contiene productos, funciones Logarítmicas o funciones Trigonométricas. La expresión es la que nos permite resolver integrales que algunas veces son largas y poco sencillas .   la integración por partes se usa cuando : El integrando contiene logaritmos . El integrando contiene productos. El integrando contiene funciones trigonométricas inversas. Si “u” y “v” son funciones diferenciables , entonces : d( u.v ) = v du + u dv despejando , udv = d(u.v) – vdu. Integrando en ambos lados

5. Ejemplo I = sea u = a rccos 2x, du = , d v = dx entonces v = x I = x arcos2x - , resolviendo la segunda integral, sea t = 1- 4x 2 , dt = -8xdx De donde dx = - I = = x arccos 2x -

6. Integración por sustitución trigonométrica Es empleada cuando el integrando contiene funciones con ciertas características dentro de una raíz cuadrada, que mediante algunas sustituciones se pueden convertir en integrales inmediatas o muy sencillas para resolver. Se debe tener en cuenta que los resultados se tienen que expresar en función de la variable original por lo que hay que devolver todos los cambios hechos, igualmente debemos tener presente, que los límites pertenecen a la variable original y es allí donde tenemos que evaluar la integral . Esta  sirve para integrar funciones que tienen la siguiente forma Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

7. Ejemplo

8. Integración de funciones racionales por fracciones parciales Esta técnica de Integración se aplica cuando el integrando contiene fracciones, con el fin de descomponerla en una suma de las mismas en forma sencilla; lo primero que tenemos que determinar es si la fracción es o no propia, cuando es impropia hay que convertirla en propia mediante una división de polinomio y con apoyo de propiedades resolvemos las integrales resultantes. Existen 4 casos: Caso 1 : El denominador solo contiene factores lineales y ninguno se repite Caso 2 : Los factores son lineales pero al menos uno se repite . Caso 3 : Los factores son lineales y cuadráticos y ninguno de los cuadráticos se repite . Caso 4 : Los factores son lineales y cuadráticos pero al menos uno de los cuadráticos se repite.

9. Ejemplo

10. Funciones racionales de seno y coseno: Este tipo de integrales se reduce mediante la sustitución z = tan x/2 y expresando las funciones seno y coseno como una función de z . Una vez expresada en función de z, mediante simplificación se pueden obtener integrales mucho más sencillas y práctica cuando se trata de resolver integrales con integrados que contienen funciones racionales de seno y coseno. Para aplicar esta técnica se expresan las funciones trigonométricas en función de senos y/o cosenos, para luego hacer las respectivas sustituciones de z, sabiendo que z = tang x/2. Teorema: si entonces, se verifican las siguientes igualdades, las cuales pueden ser usadas para la  integración de   funciones racionales de seno y coseno:

11. Ejemplo Sustituimos los respectivos valores de sen x y dx 2 2 haciendo un cambio de variable : u = z –5/3, du =dx

12. Integrados por sustitución diversa Existen integrandos que contienen raíces de diferente índice mayores que 2, para ello es necesario hacer una sustitución adecuada que nos convierta la integral en otra u otras más sencillas . Para ello tomamos el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces y sustituimos. Algunas sustituciones son útiles para evaluar ciertas integrales. Ejemplo el mínimo es que es una fracción impropia, mediante una división de polinomios la convertimos en una suma de dos fracciones propias.

13. Integrales impropias con limites infinitos de integración: Existe un tipo de integral en la que uno o ambos límites es o son infinito (s), este tipo de integral se resuelve mediante la aplicación y resolución de un límite . Si el límite existe, decimos que la integral converge. De lo contrario, diverge. Una integral finita es la que tiene límites finitos (definidos). Si estos límites se convierten en infinitos, entonces la integral es impropia . Dada la integral: se pueden presentar 3 casos : Si el límite superior se convierte en más infinito (b = +  ), nos queda Si el límite inferior se convierte en infinito (a = -  ), nos queda Si ambos límites se convierten en infinito ( b = +  ) y ( a = -  ), debemos recordar que el intervalo de integración son todos los reales, por lo tanto se puede dividir en una serie de intervalos, integrar y luego sumar cada uno de ellos. + , si c = 0, entonces + + SI EN LOS 3 CASOS LOS LIMITES EXISTEN LA INTEGRAL ES CONVERGENTE, DE LO CONTARIO ES DIVERGENTE

14. Ejemplo

15. Integrales impropias con funciones discontinuas en el intervalo de integración En muchas oportunidades, se plantean integrales del tipo : , donde vemos que en el intervalo de integración existe un punto de discontinuidad para la función integrando. Cuando el integrando tiene un punto de discontinuidad en su intervalo de integración, se hace necesario dividir el intervalo justo en donde se encuentra la discontinuidad, para estudiar el límite tanto por la izquierda como por la derecha. Si estos límites existen entonces la integral converge de lo contrario, es divergente. Si uno de los límites no existe, es suficiente para decir que la integral diverge. Asíntotas verticales en los límites de integración Considera Esta integral involucra una función con una asíntota vertical en x = 0 . S e puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entonces tomando el límite como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-derivativa de la anterior función es la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.