Integrali definiti

1. INTEGRALI DEFINITI 
 
Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per 
affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell’integrale definito. 
Vi  sono  infatti  svariati  problemi  geometrici,  meccanici,  fisici….  in  cui  riveste  un 
notevole  significato  la  misura  dell’area  della  superficie  delimitata  dal  grafico  di 
una funzione e dall’asse delle ascisse in un certo intervallo. 
Tale  superficie  viene  detta  “trapezoide”  e  la  misura  della  sua  area  si  ottiene 
utilizzando il calcolo di un integrale definito. 
Definizione: 
Si chiama trapezoide una figura piana delimitata del grafico di una funzione f(x) 
continua in un intervallo chiuso  , dall’asse delle ascisse e dalle rette parallele 
all’asse delle ordinate di equazioni  x = a e x = b. 
                                                 y 
 
                                                                      T 
                                                0                                         x                        
                                   
Per calcolare l’area di un trapezoide  occorre dividere l’intervallo   in un certo 
numero  n  di parti uguali di ampiezza       e considerare il plurirettangolo 
inscritto ( costituito, come in Fig. 1 , dagli insiemi dei rettangoli aventi per base  e 
per  altezza  rispettivamente      ….  ,  dove       è  il minimo  valore  assunto 
dalla  funzione    f(x)  nell’  i  –  esimo  intervallino)  e  il  plurirettangolo  circoscritto   
(costituito  ,  come  in  Fig.  2,  dai  rettangoli  aventi  per  base       e  per  altezza 

2. rispettivamente   , ,…..  dove     rappresenta  il  massimo  valore  assunto 
dalla funzione f(x) nell’ i-esimo intervallino). 
                                Fig. 1                                                                                              Fig. 2 
y  y  
   
                                                                                                                                      
 
      
  0  a  b  x  0  a    b  x   
Indicate  con       e       rispettivamente  le  aree  del  plurirettangolo  inscritto  e  di 
quello circoscritto, le successioni: 
                                ,    ,…….        e          ,  ,…….. 
delle  aree  corrispondenti  ai  diversi  numeri    n    in cui  è  stato  diviso       sono 
convergenti e convergono verso uno stesso numero,  si ha cioè: 
                                                     
lim lim
n n
n n
s S S
→+∞ →+∞
= =  
Tale limite comune   S  rappresenta l’area del Trapezoide. Pertanto segue la  
Definizione di  :  INTEGRALE DEFINITO 
Data  una  funzione    f(x)  continua  in     ,  si  chiama   integrale  definito    esteso 
all’intervallo  il valore comune del limite per      delle due successioni  
, per difetto, e   , per eccesso.  Tale valore viene indicato con la scritta                            
                                                   
Il numero   si dice estremo inferiore , il numero   estremo superiore . 
La funzione  f(x) è detta  funzione integranda.  

3. Il simbolo  che indica l’integrale rappresenta una  S  allungata per ricordare che , 
nella rappresentazione grafica, ad un integrale corrisponde una somma di aree. 
N.B.  L’integrale definito è un valore numerico mentre l’ integrale indefinito è un 
insieme di funzioni. 
PROPRIETA’ DEGLI INTEGRALI DEFINITI  
a)  
 
b)   

c)     con    punti di   e   
 
d)  Date due funzioni definite e continue in  
                  
e)       dove  k  è una costante 
 
f)  
Un’altra  importante  proprietà    degli  integrali  definiti  è  espressa  dal  seguente 
teorema: 
TEOREMA DELLA MEDIA 
L’integrale definito di una funzione f(x) continua in un intervallo  è uguale al 
prodotto dell’ampiezza dell’intervallo di integrazione per il valore che la funzione 
assume in un particolare punto   dell’intervallo , ossia : 
                                              

4. o, in forma equivalente :         
Il valore  prende il nome di “ valor medio” della funzione  nell’intervallo  e 
si scrive  . 
Il valor medio rappresenta , dal punto di vista geometrico, l’altezza del rettangolo 
equivalente al trapezoide e avente per base l’intervallo  
                                     Y                            
                                                                                  
 
                                                0        a            c      b              x 
Per  poter  enunciare  il  Teorema  che  mette  in  relazione  integrale  indefinito  e 
integrale definito è necessario introdurre il significato di funzione integrale.                                   
Sia  f(x)  una  funzione  continua  nell’intervallo   chiuso  e  limitato,  e  sia  x  un 
qualsiasi punto di tale intervallo , si chiama  funzione integrale della funzione f(x) in 
tale intervallo la funzione così definita:  
                                                  
che associa ad ogni  x  di   il valore numerico     ( si dice “funzione 
integranda”). La variabile indipendente per la funzione  F(x) è l’estremo superiore  
x  dell’integrale definito   . 
La funzione integrale  F(x) rappresenta l’area del trapezoide che varia al variare di  
x in .                     F(x) 
 
 
                                        0           a               x     b              

5. E’ ora possibile enunciare il 
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 
Se la funzione f(x) è continua in  la corrispondente Funzione integrale  F(x) è 
derivabile e per tutte le  x  di    si dimostra che : 
                                                            F’ (x) = f(x) 
Significa che la derivata prima della funzione  F(x) è proprio la funzione  f(x) cioè la 
funzione integranda. 
Si comprende quindi che l’operatore integrale è l’inverso dell’operatore derivata. 
Dal teorema fondamentale del Calcolo Integrale è possibile dedurre la  
FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE: 
L’integrale definito di una funzione f(x) continua in un intervallo  è uguale alla 
differenza  dei  valori  assunti  da  una  qualsiasi  primitiva       di  tale  funzione 
rispettivamente nell’estremo superiore di integrazione e nell’estremo inferiore. 
                                                
 
APPLICAZIONI DELL’INTEGRALE DEFINITO 
Come già visto in precedenza , assegnata una funzione  f(x) l’area del trapezoide 
definito dalla funzione nell’intervallo   è data dal valore dell’integrale definito  
. 
Ora , per mezzo della formula fondamentale del calcolo integrale, siamo in grado 
di calcolare il valore che rappresenta la misura di tale area. 
Esempio : 
 

6. Ricorda che : 
 
• Se la funzione è negativa in   sono negative anche le somme integrali  
superiori e inferiori quindi anche il limite comune a cui tendono per    e 
che , in valore assoluto rappresenta l’area del trapezoide. 
Pertanto , nell’intervallo in cui la funzione è negativa occorre fa precedere 
l’integrale definito dal segno meno. 
                               y 
                                      a                 b 
                                                          T                 x 
 
 
                                                       
                             
 
• Nel caso in cui la funzione nell’intervallo  assuma sia valori positivi che 
valori  negativi,occorre  calcolare  l’integrale  come somma  degli    integrali 
calcolati sugli intervalli aventi per estremi, oltre ad  a  e  b , i punti in cui la 
funzione  interseca  l’asse  delle  ascisse,  passando  da  positiva  a  negativa  e 
viceversa; ricordando che gli integrali relativi agli intervalli in cui la funzione 
è negativa devono essere preceduti dal segno meno. 
Esempio: 
                                          y                                                      
 
                                0          a                  c              b 
                                                                                             x 
         
 

7.  
• Calcolo dell’area della superficie delimitata da due funzioni : 
 
Siano    f(x)    e    g(x)    due  funzioni  definite  nello  stesso  intervallo      ,  con                   
, i cui grafici racchiudano una superficie T 
 
                               Y                       f(x) 
                                                                T     g(x) 
                                                          
                                                                        
                                0             a                       b             x  
 
Allora l’area T di tale superficie è data da : 
 
 
 
• Calcolo del volume di solidi di rotazione: 
 
Sia  f(x) una funzione continua in un intervallo    con     , 
se  facciamo  ruotare  di    360°  attorno  all’asse  delle  ascisse  il  trapezoide  
definito da f(x) in  otteniamo un solido di rotazione il cui volume  V  è 
dato da : 
 
                                             
 
 
 
 
 
 

8.               ESERCIZI 
 
1)  Calcola i seguenti integrali definiti : 
                                                                                                                                                                     
 
      
                    
                   
                   
                    
                    
                    
                    
                    
                     
                    
                     
                     
 

9.  
2)  Determina  il  Valor  Medio  delle  seguenti  funzioni  nell’intervallo  indicato                                                       
e  ,  successivamente  ,determina  il  valore  di      x    appartenente  a  tale 
intervallo in cui la funzione assume tale valore. 
 
a)                                     
b)                                      
c)                              
 
3)  Disegna i Trapezoidi definiti dalle seguenti funzioni negli intervalli indicati 
e calcolane l’area. 
 
a)                                  
b)                                     
c)                          
d)                             
e)                             
4) Per  ciascuna  delle  seguenti  coppie  di  curve  ,  di  cui  sono  date  le 
equazioni ,determina le coordinate dei punti comuni e calcola la misura 
dell’area  della  parte  di  piano  limitata  dagli  archi  delle  due  curve 
considerate  aventi per estremi i punti prima determinati. 
 
a)                               
 
b)                                  
5) Calcola  il  volume  del  solido  di  rotazione  ottenuto ruotando  di  360° 
attorno  all’asse  delle  ascisse  il  trapezoide  definito  da  ciascuna  delle 
seguenti funzioni negli intervalli indicati 
a)                              in   
b)                                 in