Interés compuesto continuo

Explicación sobre el Interés compuesto continuo y el aplicado común mente en los bancos, también con los programas en Matlab para su verificación

1. Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales de primer orden en Economía Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Interés Compuesto

2. Interés compuesto Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Los bancos pagan interés en una cuenta de este modo: al término de cada día, la institución determina la tasa de interés para ese día, comprueba el capital C (o P, por sus siglas en inglés) de la cuenta y luego deposita un adicional. Por lo tanto, al día siguiente el capital de esta cuenta es: . Los bancos no pagan el interés por día si no por año, trimestre o mes, o incluso, en algunos casos, hasta por semana.  

3. Interés compuesto Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Cuando mayor sea la frecuencia con que se paga el interés, más dinero se gana, Por ejemplo, si se paga sólo una vez al finalizar un año, el dinero de la cuenta al término del año es: Pero si el interés se paga dos veces al año, el capital es:  

4. Interés compuesto Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Entonces hay más dinero en una cuenta al finalizar el año si el interés se capitaliza cada seis meses, en lugar de anualmente. Una pregunta muy común ¿cuánta es la diferencia y cuál es el máximo potencial ganador? Para realizar el modelo del interés compuestos y contestar a esta interrogante se realizan varias suposiciones para simplificarlo.

5. Modelo Interés Compuesto Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez En particular, supusimos que: Se deposita un capital inicial en el banco, el 1 de enero. El dinero no se retira durante un año. No se deposita dinero nuevo en esa cuenta durante el año. La tasa de interés anual “r” permanece constante durante el año. El interés se agrega a la cuenta N veces durante el año.  

6. Modelo Interés Compuesto Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez La tasa de interés en cada periodo es r/N, la tasa de interés r dividida entre el número de periodos N. Se establece una tasa de interés constante durante el año. Después de dos unidades de tiempo, el capital es:  

7. Modelo interés Compuesto Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Aquí hemos supuesto que no se deposita ni se retira dinero de la cuenta. Note que es la cantidad en el banco después de un año, suponiendo que se haya capitalizado interés N veces (igualmente espaciadas) durante ese año, y la tase de interés efectiva cuando se capitaliza N veces es:    

8. Modelo Interés compuesto Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Para hallar el máximo interés efectivo, pedimos al banco que capitalice continuamente el interés; esto es: Calculamos este límite usando ecuaciones diferenciales, se tiene la ecuación diferencial:  

9. Ecuación Diferencial Interés Compuesto Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Ecuación Diferencial: Como , condición inicial (Depósito inicial) y desarrollando el la solución con el valor inicial se muestra que: Nota: Desarrollar el método conveniente de la ECD lineal para llegar a esta solución.  

10. Ejemplo: Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Tomando las siguientes condiciones: Datos: ¿Cuánto dinero habrá en esta cuenta después de 5 años con un interés compuesto continuamente? Fórmula ECD Interés Compuesto.  

11. Ejemplo Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Paso 1: Solución de la ECD (se deja al estudiante este desarrollo) se tiene: Sustituir condición inicial, Monto inicial También podemos verificar si P(0), nos da: Podemos observar que nos da el monto inicial  

12. Programa de Matlab Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Podemos hacer un programa en Matlab para calcular el monto final a los 5 años.

13. Ejecución del Archivo M Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Lo cual tenemos la cantidad de $6,665.50 a los 5 años con un interés anual continuo. Al ejecutar nuestro programa:

14. Interés trimestral Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez El calculo anterior no se aplica en los bancos, ya que ellos utilizan por común un interés trimestral, vamos a ver cuál es la diferencia: Utilizamos la fórmula del interés compuesto, con las condiciones iniciales y de acuerdo al periodo trimestral, tenemos  

15. Segundo Programa Matlab Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Igual realizamos un segundo programa para calcular el interés y ver la diferencia:

16. Comparación tasas de interés Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Al ejecutar el programa, se tiene la diferencia: Interés compuesto anual $ 6,665.50 Interés compuesto trimestral real $6,651.80

17. Comparación interés Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Podemos hacer otro comparación si el interés es anual, modifico el anterior programa su periodo.

18. Bibliografía Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Libro: Algebra lineal y ecuacines diferenciales, con uso de Matlab Martin Golubitsky , Michale Dellnitz Editorial International Thomson Capitulo 4.1 Una sola ecuación Diferencial, paginas 91-93 Video: TareasPlus , Problema de Interés continuo, www.tareasplus.com

19. Comparación de interés Casos de estudio Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez Aplicando un Interés continuo con el Modelo de la ECD se tiene un interés más alto, pero esto no se aplica en los bancos: $6,665.50 Cuanto aplicamos un interés trimestral, que esto es lo real, se tiene: $6,651.80 Cuanto aplicamos un interés anual, se tiene cada ves menos por que la frecuencia es menor. $6,612.60