Interpolação - Parte I - @professorenan

1. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Interpolação

2. Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição Interpolação Linear Interpolação Polinomial Aplicações Interpolação Quadrática

3. Definição Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Interpolar é construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos . Consiste em determinar uma função (iremos considerar polinômios ), que assume valores conhecidos em certos pontos ( nós de interpolação ). A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua.

4. Definição Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Interpolação é o processo de estimar valores de uma função para valores de diferentes de , para , sabendo‐se apenas os valores de nos pontos   Qual o valor de para   x y ) ) ) ) x y

5. Definição Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Qual o valor de para   x y ) ) ) ) x y

6. Definição Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Aplicações Obtenção de valores intermediários em tabelas (crescimento de bactérias, consumo de água, energia , etc.); Solução de Equações Diferencias Ordinárias ( EDO´s ); Integração numérica; Cálculo de raízes de equação;

7. Definição Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Aplicações Em Engenharia, dispõe-se habitualmente de dados pontuais obtidos a partir de uma amostragem ou de um experimento. Tal conjunto de dados pontuais (também denominado conjunto degenerado ) não possui continuidade e isto muitas vezes torna demasiado irreal a representação teórica de um fenômeno real empiricamente observado. Através da interpolação, pode-se construir uma função que aproximadamente se "encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-lhes, então, a continuidade desejada.

8. Definição Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Outra aplicação da interpolação é a aproximação de funções complexas por funções mais simples. Suponha que tenhamos uma função, mas que seja complicada demais para que seja possível avaliá-la de forma eficiente. Podemos , então, escolher alguns dados pontuais da função complicada e tentar interpolá-los com uma função mais simples. Aplicações

9. Definição Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Claramente, quando se utiliza de uma função mais simples para calcular novos dados, naturalmente não se obtém o mesmo resultado da função original, porém dependendo do domínio do problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode compensar o erro. A interpolação permite fazer a reconstituição (aproximada) de uma função, bastando para tanto conhecer apenas algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas. Aplicações

10. Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Interpolação Linear

11. Interpolação Linear Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares O principal problema é que se os pontos forem poucos ou muito afastados entre si, a representação gráfica para uma determinada função não seria muito bem representada por tal método. Neste caso, costuma-se utilizar polinômios de graus mais elevados ou aplicar outros métodos. Um deles é o Método de Lagrange , que veremos mais a frente. É o método de interpolação que se utiliza de uma função linear ( um polinômio de primeiro grau) para representar, por aproximação, uma suposta função que originalmente representaria as imagens de um intervalo descontínuo (ou degenerado ) contido no domínio de  

12. Interpolação Linear Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo:

13. Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Interpolação Quadrática

14. Interpolação Quadrática Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares É o método de interpolação que se utiliza de uma função quadrátca ( um polinômio de segundo grau ) para representar, por aproximação, uma suposta função que originalmente representaria as imagens de um intervalo descontínuo (ou degenerado ) contido no domínio de  

15. Interpolação Quadrática Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo:

16. Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Interpolação Polinomial

17. Interpolação Polinomial. Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares É o processo matemático de interpolação em que a função interpoladora é um polinômio de grau . A função interpoladora é a função de grau .   Na fase de escolha do processo matemático de interpolação, frequentemente são escolhidos polinômios . Isto porque os polinômios apresentam relativa simplicidade e também porque permitem representar satisfatoriamente a generalidade das funções que surgem no cotidiano.

18. Interpolação Polinomial Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo:

19. Diferença entre os métodos de interpolação lineares, quadráticas e polinomiais ( Lagrange )? Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Linear: Polinômio (função linear) de 1º Grau Quadrática: Polinômio (função quadrática) de 2º Grau Lagrange: Polinômio (função polinomial) de Grau  

20. Interpolação Polinomial: métodos. Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos de Interpolação Polinomial são utilizados para aproximar uma função quando:   é desconhecida. Tem‐se apenas valores de f em um conjunto de pontos;   é conhecida, mas é de difícil manipulação;  

21. Interpolação Polinomial: métodos. Interpolação Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Os métodos de interpolação polinomial diferem, uns dos outros, quanto à técnica de determinação do polinômio interpolador. Os erros de arredondamento diferem em cada caso, pois as operações aritméticas são conduzidas de formas distintas, em cada método. Alguns dos métodos existentes, são: Método de Newton; Método de Lagrange ; Método de Gregory;

22. Trabalho Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

23. Trabalho Trabalho Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Equações Diferenciais Ordinárias : Método de Runge-Kutta ; Método de Adams; Resolução de Equações diferenciais de Ordem Superior; e Sistemas de Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Entregar no dia da avaliação. Vale 30% da nota.

24. Referências Bibliográficas Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com apoio de Software . São Paulo: Cengage Learning. 2007. BARROSO , L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo Numérico com aplicações . São Paulo: Harbras 1987 . CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers . 2 a ed.. Mc. Graw -Hill. 1990. CLÁUDIO , D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional . 2ª Ed.. São Paulo: Atlas. 2001. SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos . Editora Universitária da UFPE, 2006 .

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