Interpolación de newton.pdf

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1. INTERPOLACIÓN
DE NEWTON
Realizado por:
Ing. Blanca Campos
Ing. SidneyCastro
Facilitador:
MSC. Williams Medina
Universidad de Oriente
Núcleo de Monagas
Centro de estudio de postgrado
Maestría de Ingeniería de Gas
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
6 de Febrero 2023

2. GAS LICUADO DEL
PETRÓLEO
Agregar un pie de página 2
Elgasdepetróleolicuadooelgasde
petróleolíquido(GLPogasLP),esuna
mezclainflamabledegasesde
hidrocarburosutilizadoscomocombustible
enaparatosdecalefacción,equiposde
cocinayvehículos.
Presión a la que el GLP se
convierte en líquido
aproximadamente220kilopascales
(32psi)paraButanopuroa20°C
(68°F)yaproximadamente2,200
kilopascales(320psi)paraGas
LPpuroa55°C(131°F).

3. GAS NATURAL
El gas natural es una mezcla de gases entre los que se encuentra en
mayor proporción el metano.
Puntos importantes del Gas Natural
•Utilidad
•Red de Distribución
•Objetivo
3

4. 4
PREDICCIÓN DE DEMANDA
DE GAS
La aplicación de técnicas de analítica descriptiva y predictiva
permiten obtener predicciones anuales y mensuales de la
demanda de gas.
En el mercado del gas, conocer en detalle el consumo futuro que
van a tener los clientes es vital para la continuidad del negocio.

5. DEMANDA DE GAS
5
La demanda de gas natural se puede segmentar en base al uso de
esta energía:
Industrial
Comercial y servicios
Domestico y residencial
Generación de electricidad y ciclos combinados
Materia prima
Vehículos a gas
Uso maritimo

6. 6
Beneficios de la predicción de demanda de gas
Proyecciones anuales
Ahorro de Costes
Plan de previsión de demanda
Equipo de trabajo

7. INTERPOLACIÓN DE
NEWTON
Esunmétododeinterpolaciónpolinómica.Aunque
sóloexisteunúnicopolinomioqueinterpolaunaserie
depuntos,existendiferentesformasdecalcularlo.
Estemétodoesútilparasituacionesquerequieranun
númerobajodepuntosparainterpolar,yaquea
medidaquecreceelnúmerodepuntos,tambiénlo
haceelgradodelpolinomio.
7

8. FORMA CONSTRUCTIVA DEL POLINOMIO DE NEWTON
8
Paradeterminarlosvalores??????
0,??????
1,??????
2,??????
??????,utilizaremosun
recursoquedefinelospolinomiosinterpolanteyesla
exigenciadequeelpolinomiodebepasarporlospuntos
dado
Sielpolinomiopasaporelpunto(x0,f(x0))
EntoncesP(x)=f(x0);??????_0=f(x0)
Sielpolinomiopasaporelpunto(x1,f(x1));
EntoncesP(x1)=f(x1);f(x1)=f(x0)+??????_1(X−X_0)
Aldespejarseconcluyeque:
Es por eso que se utiliza
METODO DE
DIFERENCIAS DIVIDIDAS

9. 9
DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
9
Esunrecurso,muyimportantedesdeelpuntodevistamatemáticoparalafacilidaddegeneracióndepolinomios,es
unafunciónrecursivaquepermitecalcularseparavariosvaloresdeunaformamenoscompleja.
Diferencia dividida de 1 valor:
f{Xi} = f(Xi)
Diferencia dividida de 2 valores:
�??????0,??????1=
�(??????
1)−�(??????
0)
??????
1−??????
0
Diferencia dividida de 3 valores:
�??????
0,??????
1,??????
2=
�??????
1,??????
2−�??????
0,??????
1
??????
2−??????
0
Diferencia dividida de 4 valores:
�??????
0,??????
1,??????
2,??????
3=
�??????
1,??????
2,??????
3−�??????
0,??????
1,??????
2
??????
3−??????
0
Diferencia dividida de n valores:
�??????
0,??????
1…??????
??????,??????
??????+1=
�??????
1,??????
??????,??????
??????+1−�??????
0,??????
1,??????
??????
??????
??????−??????
0

10. 10
SE COMPRUEBA LO SIGUIENTE
10Xf(x)
1 era diferencia
dividida
2da diferencia dividida3era diferencia dividida
X0f(X0)
X1f(X1)
X2f(X2)
X3f(X3)
�??????0,??????1=
�(??????
1)−�(??????
0)
??????1−??????0
�??????1,??????2=
�(??????
2)−�(??????
1)
??????2−??????1
�??????
2,??????
3=
�(??????3)−�(??????2)
??????3−??????2
�??????0,??????1,??????2=
�??????
1,??????
2−�??????
0,??????
1
??????2−??????0
�??????1,??????2,??????3=
�??????
2,??????
3−�??????
1,??????
2
??????3−??????1
�??????
0,??????
1,??????
2,??????
3=
�??????1,??????2,??????3−�??????0,??????1,??????2
??????3−??????0 X f(x)
1 era diferencia
dividida
2da diferencia dividida3era diferencia dividida
X0
X1 f(X1)
X2 f(X2)
X3 f(X3)
�??????
0,??????
1=??????
1
�??????1,??????2=
�(??????
2)−�(??????
1)
??????2−??????1
�??????
2,??????
3=
�(??????3)−�(??????2)
??????3−??????2
�??????
0,??????
1,??????
2=??????
2
�??????1,??????2,??????3=
�??????
2,??????
3−�??????
1,??????
2
??????3−??????1
�??????
0,??????
1,??????
2,??????
3=??????
3
�??????
0=??????
0
Px=??????
0+??????
1X−X
0+??????
2X−X
0X−X
1+??????
3X−X
0X−X
1X−X
2

11. 11
EL PROBLEMA
UngrupodeingenierosdePRODUCCION, conelfindeobtenerdatos
específicoscomopuedesereltiempodeconsumo,lacantidaddeGLP
consumidoalcabodeciertosaños.Enestecaso,losingenieroshantomado
datosdelconsumodeGLPcada2añosysehallevadounregistrode
cuantosMPCNdeGLPsehaconsumido,peroahoraquierendeterminar
cuántasMPCNdGLPsehanconsumidoenelaño2016.Asuvez,desean
predecircualserialacantidaddeGLPenMPCNquesepuedellegara
consumirenel2023.Determinarelvolumenconsumidoyporconsumirde
GLPenlosaños2016y2023respectivamente,mediantelainterpolación
polinómicadeNewton.
11

12. 12
EL PROBLEMA
12T MPCN
2015 469
2017 479
2019 483
2021 490 X f(x)
x0 f(x0)
x1 f(x1)
x2 f(x2)
x3 f(x3)
Px=??????
0+??????
1X−X
0+??????
2X−X
0X−X
1+??????
3X−X
0X−X
1X−X
2

13. Xf(x)
1 era diferencia
dividida
2da diferencia dividida3era diferencia dividida
X0f(X0)
X1f(X1)
X2f(X2)
X3f(X3)
�??????0,??????1=
�(??????
1)−�(??????
0)
??????1−??????0
�??????1,??????2=
�(??????
2)−�(??????
1)
??????2−??????1
�??????
2,??????
3=
�(??????3)−�(??????2)
??????3−??????2
�??????0,??????1,??????2=
�??????
1,??????
2−�??????
0,??????
1
??????2−??????0
�??????1,??????2,??????3=
�??????
2,??????
3−�??????
1,??????
2
??????3−??????1
�??????
0,??????
1,??????
2,??????
3=
�??????1,??????2,??????3−�??????0,??????1,??????2
??????3−??????0 X f(x)
1 era diferencia
dividida
2da diferencia dividida3era diferencia dividida
X0
X1 f(X1)
X2 f(X2)
X3 f(X3)
�??????
0,??????
1=??????
1
�??????1,??????2=
�(??????
2)−�(??????
1)
??????2−??????1
�??????
2,??????
3=
�(??????3)−�(??????2)
??????3−??????2
�??????
0,??????
1,??????
2=??????
2
�??????1,??????2,??????3=
�??????
2,??????
3−�??????
1,??????
2
??????3−??????1
�??????
0,??????
1,??????
2,??????
3=??????
3
�??????
0=??????
0 Tabla de diferencias
Divididas

14. 14
EL PROBLEMA
1401
01
10
][][
],[
xx
xfxf
xxf


 12
12
21
][][
],[
xx
xfxf
xxf


 23
23
32
][][
],[
xx
xfxf
xxf



1eras diferencias divididas
=
479−469
2017−2015
= 5
=
483−479
2019−2017
= 2
=
490−483
2021−2019
= 3,5T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2015 469
5
2017 479
2
2019 483
3,5
2021 490
2das diferencias divididas02
1021
210
],[],[
],,[
xx
xxfxxf
xxxf


 13
2132
321
],[],[
],,[
xx
xxfxxf
xxxf



=
2−5
2019−2015
= -0,75
=
3,5−2
2021−2017
= 0,375T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
2015 469
5
2017 479 -0,75
2
2019 483 0,375
3,5
2021 490

15. 15
EL PROBLEMA
15
3eras diferencias divididas03
210321
3210
],,[],,[
],,,[
xx
xxxfxxxf
xxxxf



=
0,375−(−0,75)
2021−2015
= 0,187T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
2015 469
5
2017 479 -0,75
2 1,87E-01
2019 483 0,375
3,5
2021 490

16. 16
EL PROBLEMA
16T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
X0 b0
b1
X1 fx1 b2
b3
X2 fx2
X3 fx3
Px=??????
0+??????
1X−X
0+??????
2X−X
0X−X
1+??????
3X−X
0X−X
1X−X
2
Px=469+5X−2015+(−0,75)X−2015X−2017+(1,87�−1)X−2015X−2017X−2019
Determinar el volumen consumido y por consumir de GLP en los años
2016 y 2023 respectivamente, mediante la interpolación polinómica de
Newton. T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
2015 469
5
2017 479 -0,75
2 1,87E-01
2019 483 0,375
3,5
2021 490

17. 17
EL PROBLEMA
17
Px=??????
0+??????
1X−X
0+??????
2X−X
0X−X
1+??????
3X−X
0X−X
1X−X
2
Px=2016
P2016=469+5+0,75+0,562
P2016=475,312
Px=469+5X−2015+(−0,75)X−2015X−2017+(1,87�−1)X−2015X−2017X−2019
Px=2023
P2023=469+40−36+35,904
P2023=508,904T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
2015 469
2016 475,312 5
2017 479 -0,75
2 1,87E-01
2019 483 0,375
3,5
2021 490
2023 508,904

18. 18
EL PROBLEMA
18
Sibienelpolinomiodenewtonconelusode
diferenciasdivididassepuedeusarparan
grados,newtontambiénpresentalaposibilidad
deevaluarelpuntointermedioenbasea
polinomiodegrado1,grado2,grado3,grado
n+1.
Este se presenta en una modalidad en la que evalúa el punto
dentro de 2 valores, usando el mismo polinomio de newton, el
mismo cuadro de diferencias divididas pero el grado del
polinomio es a conveniencia
Px=??????
0+??????
1X−X
0
Px=??????
0+??????
1X−X
0+??????
2X−X
0X−X
1
Px=??????
0+??????
1X−X
0+??????
2X−X
0X−X
1+??????
3X−X
0X−X
1X−X
2
Grado 2
Grado 3
Grado 1

19. 19
EL PROBLEMA
19
Px=??????
0+??????
1X−X
0+??????
2X−X
0X−X
1+??????
3X−X
0X−X
1X−X
2
Px=469+5X−2015+(−0,75)X−2015X−2017+(1,87�−1)X−2015X−2017X−2019
Px=2016T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
2015 469
5
2017 479 -0,75
2 1,87E-01
2019 483 0,375
3,5
2021 490
Px=??????
0+??????
1X−X
0
P2016=469+52016−2015
P2016=479+52016−2017
P2016=469+5
P2016=474
P2016=479−5
P2016=474
Diferencia dividida
Progresiva de Newton
Diferencia dividida
Regresiva de Newton
Polinomio de Grado 1

20. 20
EL PROBLEMA
20
Px=??????
0+??????
1X−X
0+??????
2X−X
0X−X
1+??????
3X−X
0X−X
1X−X
2
Px=469+5X−2015+(−0,75)X−2015X−2017+(1,87�−1)X−2015X−2017X−2019
Px=2016
P2016=469+52016−2015+(−0,75)2016−20152016−2017
P2016=469+5+0,75
P2016=474,75
Diferencia dividida
Progresiva de Newton
Diferencia dividida
Regresiva de Newton
Polinomio de Grado 2
Px=??????
0+??????
1X−X
0+??????
2X−X
0X−X
1T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
2015 469
5
2017 479 -0,75
2 1,87E-01
2019 483 0,375
3,5
2021 490
P2016=483+22016−2019+(−0,75)2016−20192016−2017
P2016=483−6−2,25
P2016=474,75Polinomio Grado2016
1 474
2 474,75
3 475,312

21. 21
CONCLUSIONES
21
• Lainterpolaciónpolinómicadenewtonseriaútilomasútilparafuncionesdeprimergradoyaqueesdeesta
formaenlaqueestamassimplellegaraelresultadoperoalirsubiendodegradoalpolinomioestasevuelvecada
vesmaslargaytediosalocualcomplicasuutilización.
• Mientrasmastérminosdelasseriesetomenmayorserálaexactitud.
• Mientrasmenostérminosdelasseriesetomenmenorseráelmargendeerror.

22. GRACIAS
22