Interpolación lagrange[1]

Polinomio de Interpolación de Lagrange

1. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN
DE LAGRANGE
MÉTODOS NUMÉRICOS
FACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERIAS
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
REGRESIÓN E INTERPOLACIÓN

2. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE
El polinomio de interpolación de Lagrange es en esencia una
reformulación de polinomio de interpolación de Newton, que
permite una presentación más más sintética.
La forma general del polinomio de interpolación de Lagrange de
grado n es:

ni
n
1ii
1i
1ii
1i
1i
1
0i
0
n
ij
0j ji
j
i
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xL




















   
i
n
0i
in xfxLxP


Donde:

3. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE
Siguiendo el planteamiento anterior el polinomio
de grado 3, se expresaría como      
3
j3
j
2
j2
j
1
j1
j
0
j0
j
i
3
0i
i3
xf
xx
x-x
xf
xx
x-x
xf
xx
x-x
xf
xx
x-x
xfxLxP 







 







3
3j
0j
3
2j
0j
3
1j
0j
3
0j
0j     
3
23
2
13
1
03
0
2
32
3
12
1
02
0
1
31
3
21
2
01
0
0
30
3
20
2
10
1
3 xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xP







  
33221100i
3
0i
i3 xfxLxfxLxfxLxfxLxfxLxP 


4. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE
Siguiendo el planteamiento anterior el polinomio
de grado 3, se expresaría como:      
3
j3
j
2
j2
j
1
j1
j
0
j0
j
i
3
0i
i3
xf
xx
x-x
xf
xx
x-x
xf
xx
x-x
xf
xx
x-x
xfxLxP 







 







3
3j
0j
3
2j
0j
3
1j
0j
3
0j
0j     
3
23
2
13
1
03
0
2
32
3
12
1
02
0
1
31
3
21
2
01
0
0
30
3
20
2
10
1
3 xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xP







  
33221100i
3
0i
i3 xfxLxfxLxfxLxfxLxfxLxP 


5. EJEMPLO
Halle el polinomio de interpolación de Lagrange
para el siguiente conjunto de puntos, y estime
el valor de la función para x=3.5 , utilizando este
polinomio
i xi f(xi)
0 1.5 -5
1 2.7 2
2 5.6 -2
3 7.2 10

6. -10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL CON POLINOMIOS DE
LAGRANGE-PUNTOS A INTERPOLAR
Puntos Originales POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE
Inicialmente se grafican los puntos a interpolar, con el fin de tener una idea más
clara acerca de la distribución de los mismos y anticipar dificultades:
Se observa que
los puntos no son
colineales, y no
existen puntos
alineados
verticamente. Por
lo tanto, el
procedimiento de
interpolación se
puede aplicar sin
problemas

7. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE     
32103 xf
5.6-x2.7-x1.5-x
xf
7
7.2-x2.7-x1.5-x
xf
7
7.2-x
5
5.6-x1.5-x
xf
71
7.2-x
51
5.6-x
21
2.7-x
xP 




















































































6.52.77.22.75.12.72.6.57.26.55.16.52.7.26.7.25.17.22.5.6.5.7.5.     10
6.52.77.22.75.12.7
2
2.6.57.26.55.16.5
2
2.7.26.7.25.17.2
5
2.5.6.5.7.5.





















































































5.6-x2.7-x1.5-x
7
7.2-x2.7-x1.5-x
7
7.2-x
5
5.6-x1.5-x
71
7.2-x
51
5.6-x
21
2.7-x
xP
3     
3
23
2
13
1
03
0
2
32
3
12
1
02
0
1
31
3
21
2
01
0
0
30
3
20
2
10
1
3 xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xP








En este caso hay cuatro puntos no colineales, por lo tanto es posible hallar un
polinomio de grado 3 que pase por ellos o los contenga. Este polinomio, siguiendo
el procedimiento de Lagrange, se puede expresar así:

8. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE     
32103 xf
5.6-x2.7-x1.5-x
xf
7
7.2-x2.7-x1.5-x
xf
7
7.2-x
5
5.6-x1.5-x
xf
71
7.2-x
51
5.6-x
21
2.7-x
xP 




















































































6.52.77.22.75.12.72.6.57.26.55.16.52.7.26.7.25.17.22.5.6.5.7.5.     
3
23
2
13
1
03
0
2
32
3
12
1
02
0
1
31
3
21
2
01
0
0
30
3
20
2
10
1
3 xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-x
xP








En este caso hay cuatro puntos no colineales, por lo tanto es posible hallar un
polinomio de grado 3 que pase por ellos o los contenga. Este polinomio, siguiendo
el procedimiento de Lagrange, se puede expresar así:

Reemplazando los valores x
0=1.5, x
1=2.7, x
2=5.6 y x
3=7.2, se obtiene:

9. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE 
            
104.4512.983.76088.5
5.6-x2.7-x1.5-x7.2-x2.7-x1.5-x7.2-x5.6-x1.5-x7.2-x5.6-x2.7-x
xP
3
     10
6.52.77.22.75.12.7
2
2.6.57.26.55.16.5
2
2.7.26.7.25.17.2
5
2.5.6.5.7.5.





















































































5.6-x2.7-x1.5-x
7
7.2-x2.7-x1.5-x
7
7.2-x
5
5.6-x1.5-x
71
7.2-x
51
5.6-x
21
2.7-x
xP
3

Reemplazando los valores f(x
0)=-5, f(x
1)=2, f(x
2)=-2 y f(x
3)=10, se obtiene:


Finalmente, el polinomio de interpolación de Lagrange para el problema
planteado es:

10. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE 
            
104.4512.983.76088.5
5.6-3.52.7-3.51.5-3.57.2-3.52.7-3.51.5-3.57.2-3.55.6-3.51.5-3.57.2-3.55.6-3.52.7-3.5
3.5P
3
 65184759.13.5P
3
Para hallar el valor de la función, a través del polinomio de interpolación obtenido,
simplemente se reemplaza el valor de x=3.5, con lo cual resulta:
La siguiente gráfica permite observar el polinomio de interpolación junto con los
datos originales

11. -10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL CON POLINOMIOS DE
LAGRANGE-POLINOMIO INTERPOLANTE
P3(x)
Puntos Originales POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE

12. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE
Cada término L
i(x) toma el valor de 1 en x
i, 0 en
los demás puntos a interpolar. De esta forma, el
producto L
i(x)f(x
i) es igual a f(x
i) en el punto xi.
Esto se comprueba gráficamente a través
de las siguientes figuras:
COMPORTAMIENTO DE LOS TÉRMINOS Li(x)

13. -6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
Lo
L1
L2
L3
Lo(x)toma el valor de 1
en xo. Todos los demás
Li(x), toman en valor de
cero en este punto
L1(x)toma el valor de 1 en
x1.Todos los demás Li(x),
toman en valor de cero en
este punto
L2(x)toma el valor de 1 en x2
Todos los demás Li(x), toman
en valor de cero en este punto
L3(x)toma el valor de 1
en x3. Todos los demás
Li(x), toman en valor de
cero en este punto
x0 x3x1 x2 POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE

14. -10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
Lo*f(xo)
L1*f(x1)
L2*f(x2)
L3*f(x3)
P3(x)
Puntos Originales
Lo*f(xo)
El polinomio de interpolación
de Lagrange obtenido, es la
suma de 4 polinomios de grado
3. En el punto de interpolación
xi, el polinomio Li(x)f(xi)=f(xi),
los demás polinomios toman el
valor de cero
El polinomio de interpolación
de Lagrange obtenido, es la
suma de 4 polinomios de grado
3. En el punto de interpolación
xi, el polinomio Li(x)f(xi)=f(xi),
los demás polinomios toman el
valor de cero POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE