Introducción a la física (tomo 1) Alonso / Acosta

CONTENIDO

1. Nociones generales
2. La materia
3. Medida de longitudes y ángulos
4. Movimiento rectilíneo
5. Vectores
6. Movimiento curvilíneo
7. Dinámica
8. Composición de fuerzas
9. Equilibrio

1. INTRODUCCION ALA

FISICA

MECANICA Y CALOR

TOMO

ALONSO / ACOSTA L

(cultural

2. INTRODUCCION
nu FISICA

TOMO 1

MECANICA — CALOR

MARCELO ALONSO R.

3. Fotografía carátle: "Explosiones solaros
(Fob core NASA.

(Queda hecho el depósito que auge la ey
21983 Marcelo Alonso À Virgin Acorn

Primera Ección 1009.

Na Pempraión 1908

Promis a reproducción tea o parcial de
‘ne oro. Ningura parte puede reproduire.
‘Smacenrea un asco de Gatos, rane
Por medio signe, ses mecánico, electrónico,
Fogrfico. de forograbado u io, sn pormisc
Etain gr y Sagamacón ce

¡iio Dr. Luis Antonio Gehe C
melo an Fica y Malemáticas
¿a Universidad Pedogögic Naciona
Magister on Admon. Ed
Promos tla” UPN

impreso en Publicaciones GuturalLida — Bogotá — Colombia

4. -{ PROLOGO

Al realizar esta nueva edición de INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA,
queremos entregar a profesores y alumnos, un texto completamente
revisado, pero que mani
ediciones,enlo que se refiere al enfoque didáctico y a la organización
de las unidades. Sin duda esta metodología, ha hecho del libro, un
verdadero auxiliar del profesor en varios países americanos.

:e los objetivos trazados en las antiguas

Los autores, ampliamente conocidos por el magisterio, han
querido proporcioner a sus colegas unos capítulos modernizados,
acorde a las exigencias de la física de hoy.

El nuevo formato y la diagramación de la obra, permitirán una
más fácil consulta y por lo tanto una más eficaz comprensión de lo
estudiado. Las ilustraciones que apoyan la información del texto, han
sido colocadas en múltiples ocasiones en los márgenes blancos del
formato, dándoles mayor à visual

La acogida que a través de tantas ediciones el profesorado ha
brindado a los dos tomos de INTRODUCCIÓN A LA FISICA, nos ani
mó a mejorar en lo posible la obra. Confiamos que ésta nueva edi-
ción, llene los vacíos de las anteriores, y realice el propósito que auto-
ros y editor han querido proporcionar; un importante auxiliar en la
enseñanza de la Física a nivel medio. )

5. TABLA DE CONSTANTES FUNDAMENTALES

Constante Símbolo

Valor

Velocidad de la luz e
Carga elemental de
Masa en reposo del electrón m.
Masa en reposo del protón m
Mesa en reposo del neutréa m
Constante de Planck k

Carga específica del electron em.

Relación euanto-carga he
Radio de Bohr a
Longitud de onda Compton:
del electrón ee
del protón =
Constante de Rydberg R

Magnetéa de Bohr és
Constante de Avogadro Ne
Constante de Boltzmann k
Constante de los gases R
Volumen normal del gas ideal (a

temperatura y presión normales) — Y,
Constante de Faraday F
te de Coulomb K
Permitividad del vacío e
Constante magnética Ke
Permeabilidad del vacío w
Constante de gravitacién y
Aceleración de la gravedad a nivel
del mar en el ecuador A

29979 x 108 met
16021 x 10% C
9,1091 x 10% kg
1,6725 x 107 kg
16748 x 107 kg
66256 x 10% Ja
1,0545 x 10% Js
1,7588 x 10! kg C
4,1356 x 10% Js C4
52917 x 10% m
24262 x 10% m
13214 x 10% m
10974 x 107 mi
92182 x 10% JT
60225 x 10% mol?
1.3805 x 10 Kt
83143 J K* molt

x 102 m? molt

x 10% C mol

x 10! Nm? C4

x IO BN A macs
x 107 m kg CF
x 104m kgC?

x N mt kg?

Constantes numéricas: +

1416; e

6. Nociones generales

A CIENCIA?

e enla naturaleza, como por

7. Química, Fisica, ete. Cada una de ellas incluye un núcleo central de fenéme-
nos bien definidos, pero en los límites se confunden unas con otras siendo,
por ejemplo, muy difícil precisar dónde termina la Quimica empieza la Física,
ya que hay fenémenos que pueden caer indistintamente dentro del campo de
ambas ciencias

Los fenómenos físicos son aquellos en los cuales no cambia la composi
ción delas substancias que intervienen en los mismos como el movimiento de
un cuerpo olavacorización del agua. Los fenómenos químicos son aquellos en
los cuales hay cambios en lo composición de las substancias como cuando se
quema un pedazo de carbón.

Las ciencias biológicas se ocupan en particular de los fenómenos rela
cionados con los seres animados o dotados de vida, y comprenden varias ra
mas denominadas Botánica, Zoología, Biología ec.

Entre las ciencias biológicas y las físicas existe una estrecha relación,
pues los seres animados de vida están compuestos por los mismos elementos
que los seres inanimados, y muchos de los procesos que ocurren en los seres
vivos corresponden a fenómenos Físicos o

Los fenómenos estudiados en la Fisica se agrupan por conveniencia en
cinco ramas: Mécanica, Calor, Acústica, Óptica y Electricidad, estando todas
ellas íntimamente relacionadas.

2. EL MÉTODO CIENTÍFICO

Para lograr la descripción que requiere toda ciencia ordenada, cohereme
y sistemática de un grupo de fenómenos, el investigador realiza cuidadosa
mente una serie de operaciones que constituyen lo que llamamos el método.
científico. La aplicación continua de este método es lo que diferencia al
hombre de ciencia del hombre de la call, Este último percibe los fenómenos.
al igual que el primero, pero no los analiza. El método científico consiste en
las siguientes operaciones: 1) Observación o experimentación, 2) Organiza:
ción, 3) Hipótesis y Teoría, 4) Verificación.

3. OBSERVACIÓN Y EXPERIMENTACIÓN

El primer paso en toda investigación es la observación o examen cuida:
doso de un fenómeno determinado. Como ejemplo típico de observación po
demos citar la efectuada por los astrónomos siguiendo a ls astros en su mov.
miento, La observación es substituída con ventaja en muchos casos por la ex
Perimentación. Un experimento es un fenómeno que nosotros mismos produ.
cimos y controlamos disponiendo adecuadamente las condiciones necesarias.
El experimento va acompañado de la observación, en el sentido definido an
tes, y el conjunto constituye la experimentación. Una experimentación muy

sencilla sería soltar un cuerpo en medio del aire y analizar lo que ocurre.

Entre la observación yla experimentación hay una diferencia esencial
en la primera el investigador desempeña un papel pasivo; en la segunda un
papel esencial y activo, El método experimental es més propio de la Fisica y
de la Química, aunque muchas veces se emplea la observación, que, por
ejemplo, es el único método que hasta hace poco podía emplearse en Astrono-

8. mía. El rápido progreso científico en los últimos tiempos se ha debido al de
sarrollo de las técnicas experimentales

Una observación o una experimentación están generalmente incom
si no van acompañadas de alguna medida o determinación cuantitativa de los
diversos factores que intervienen en el fenómeno.

miento de un astro no queda completa h

tancia al Sol, su velocidad, ete, mientr
acompañada de la medida de la distancia que ha caído, el tiempo que ha

que la caída de un cuerpo debe ir

empleado, et

lo científico fue introducida en la Fisica
lei a fines del siglo xv1. La observación, sin

La experimentaci
por el investigador Galileo
embargo, ha existido desde el mismo instante en que el hombre apareció
sobre la Tierra,

4. ORGANIZACIÓN. LEYES

Sila Jabor del investigador terminara con la observación ola experimen:
tación la ciencia no habría existido jamás. El investigador debe ade
zar u organizar los resultados cualitaivos y cuantitativos obtenidos, compa

rarlos entre si y con los resultados de observaciones o experim
riores. Como consecuencia de este unlisis y de esta comparación el investiga.
dor obtiene leyes.

Una leyes la expresión de una rutina en la naturaleza, es deci, algo que
se repite siempre diciones sean las mismas. Por ejemplo, en el caso

del cuerpo el aire, cl am Aros
análogos nos conduce a afirmar que "todo cuerpo dejado ibremente, cae ha
cia la superficie de la Tierra”. Este resultado constituye una ley, ya que
expresa algo que siempre ocurre enla naturales

cuando no contiene relación alguna entre las magnitudes que intervienen en
«el fenómeno, como la enunciada en el párrafo anterior. Una ley es cuantitat
sa sel enunciado de la ley expresa además alguna relación entre las magnitu
des que corresponden al fenómen

Las leyes cuamitativ n casi siempre por medio de fármadas,
» símbolos que representan las magni
no. Volviendo a nuestro

0 que soltamos en el aire si medimos la altura À y e

tudes de los factores que intervienen en el fen
ejemplo del cur

tiempo
os expe
ambas magnitudes exist

emos que e
siempre la siguiente relación

donde e es un coeficiente constante, sea, que tiene el mismo valor en todos
los casos. El resultado anterio esla expresión simbólica o algebraica de una
ley cuantitativa.

9. 20 rm cs Em

ley puede también expresarse por medio de palabras. En efecto, ob-
servamos que si £ aumenta, À también aumenta. Además, sit se duplica, como
aparece al cuadrado en la fórmula resulta que À se cuadruplica; si se triplica,
se hace nueve veces mayor, ete. Podemos pues decir que h es directamente
proporcional al cuadrado de t.

Dos magnitudes son directamente proporeioneles cuando su cociente es
constante, de modo que al aumentar una, la otra también aumenta y recípro-
camente; luego six € y son dos magnitudes directamente proporcionales, de
be cumplirse que

o ys

El enunciado de la ley cuantitativa contenida en estas relaciones es: yes
directamente proporcional à x

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando su producto es
«constante, de modo que al aumentar una, la otra disminuye y recíprocamente.
Por tanto, si dos magnitudes x e y son inversamente proporcionales se cumple
la relaci

‘Se ve que al aumentar x el valor de y debe dismi
enunciado de la ley cuantitativa contenida en la relaci
guiente: y es inversamente proporcional a x.

Las leyes se expresan frecuentemente mediante gráficos, Por ejemplo, si
en la descripción de un fenómeno intervienen dos magnitudes x ey. ya

x varíe, la y permanece constante, este resultado puede expresarse gr
camente como en la fig. 2. La ley de proporcionalidad directa y = ex se repre»
senta gráficamente por una línea recta como en la ig. 3. La ley de propor-
cionalidad inversa y = efx e representa por la curva de la ig , quese lama
hiperbola.

La representación gráfica de las leyes es muy importante y permite
comprender fácilmente la forma en que dos magnitudes físicas están rela
cionadas

Las leyes son, en general, corregidas continuamente, pues a medida que
los procedimientos experimentales van siendo perfeccionados y refinados se
van conociendo con más precisión los valores auméricos de las magnitudes
que intervienen en las mismas y algunas veces se descubren nuevos factores
que no se habían tenido en cuenta previamente, Con ello muchas leyes que en
un principio eran muy simples han ido volviéndose más complejes, o a Le in-
versa, con el transcurso de las investigaciones. Sin embargo, lo que se puede
perder en sencillez se gana en exactitud, que tiene mucho más valor para la

10. oy vous us.

5. HIPÓTESIS Y TEORÍA

El investigador no se conforma con la experimentación y las leyes obten:
das. Quiere, además, buscar una explicación a los fenómenos observados y a
las leyes descubiertas

Para ello comienza por establecer una serie de postulados o hipótesis
hipótesis son ideas acerca de la naturaleza o carácter de los elementos
que intervienen en el fenómeno que desea explicar. Estas hipót

ral, no tienen origen experimental: el físico las introduce por su
por. su aparente conveniencia sin que necesariamente pueda justificarlas a
priori. Lo único que puede exigírseles es que no envuelvan contradicción con
ellas mismas. Sin embargo, algunas veces adopta como hipótesis las leyes de
algún fenómeno más simple relacionado con el que está analizando

A partir de su hipótesis y siguiendo un rezonamiento estrictamente lögi-
co, empleando la matemática cai siempre, trata entonces de deducir la leyes
que ha obtenido experimentalmente. El valor de una hipótesis se mide a pos
teriori por la mayor o menor exactitud con que nos permite deducir una le.
El conjunto formado por las hipótesis y los razonamientos lógico matemáticos
asociados a las mismas es lo que se llama una teoria.

‘Ahora bien, se comprende que es posible imaginar hipótesis diferentes
que den lugar a teorías distintas pero que parecen explicar igualment
mismo fenómeno, Es el caso de un detective frente a un crimen complicado:
formula varia teorías del crimen, todas más o menos posibles. Su habilidad
consiste en hallar la verdadera, que algunas veces puede ser que no se en:
cuentre aún entre las que ha propuesto,

Volviendo al ejemplo de la caída de un cuerpo, la hipótesis habría concis.
tido en suponer que la Tierra atra a los cuerpos en ciert forma y aplicando
entonces los principios de la Dinámica, deducir la relación A = ct?

6. PREDICCIÓN Y VERIFICACIÓN

A una teoría se le exige además, que (0) pueda también explicar aquellos
fenómenos que están íntimamente relacionados con aquel que la originó (5)
que sea apta para explicar los nuevos fenómenos que van descubriéndose y (c)
que prosiguiendo la cadena de razonamientos, nos permita predecir resulta
dos experimentales aún no observados y leyes aún no descubiertas

Cuando una teoría va satisfaciendo las condiciones (a) y (5) decimos que
se verifica y ello constituye un índice de su mayor o menor éxito. Cuando no
es capaz de cumplirlas, la teoría es desechada.

El carécter (c) 0 posibilidad de predecir resultados desconocidos es el
que hace que una teoría enga siempre un valor extraordiparo, ya que conti
buye a enriquecer nuestros conocimientos.

Apliquemos lo dicho a nuestro ejemplo de la caída de un cuerpo. Como
indicamos en el epígrafe anterior, la explicación de este fenómeno levó a su
poner la existencia de una atracción entre el cuerpo y la Tietra. Entonces Sir
Isaac Newton (1.642-1.727), formuló la hipótesis de que dicha atracción se

11. pe US come

manifestaba también entre todos los astros y cuerpos del Universo y postuló
la intensidad de dicha atracción creando ast la teoría de la Gravitación Uni-
versal. Mediante dicha teoría y empleando para ello la matemática, logró de
ducir las leyes del movimiento planetario que habían sido descubiertas pre
viamente por Johannes Kepler (1.571-1.630), como resultado de la organiza-
ción por el mismo, delas observaciones de Tycho Brahe (1.546-1.601). Llega
mos, sin embargo, a un momento ertico para la teoría de la Gravitación:
movimiento de Urano, el planeta más exterior de los conocidos en los comien:
208 del siglo XIX, presentaba cie cables dentro de la
ría dela Gravitación, si se tenían en cuenta los planetas hasta entonces cono-
cidos. En ese momento el astrónomo Le Verrier (1811-1.877) concluyó que si
ln teoría de la Cravitación era correcta, dichas anomalías se debían necesa-
riamente a la existencia de un pla ocido y el 30 de agosto de 1.846
en una comunicación a la Academia de Ciencias de Francia indicó el lugar del
cielo donde el planeta podría ser observado. No había trascurrido aún un
‘mes, cuando el astrónomo alemán Galle logró observar el nuevo planeta la-
mado Neptuno, justamente enel lugar calculado por Le Verrier. La teoría de
la Gravitación quedó robustecida y nuestros horizontes se ensancharon. Indu
dablemente que sin l teoría el planeta hubiera sido descubierto más tardo, al
perfeccionarse los instrumentos de observación, pero hubiera sido un hecho
accidental y no hubiera tenido la misma significación.

Las teorías, con su continuo evolucionar, surgir y desaparecer, junto con
la experimentación, han sido las armas más poderosas que ha esgrimido el
hombre en su afán de conocer la naturaleza.

La existencia del método científico y aún dela misma ciencia tiene su
gen en la firme creencia de la uniformidad de la naturaleza, es decir, que su
puestas siempre las mismas circunstancias, la naturaleza evoluciona siempre
en la misma forma. El análisis de esta creencia nos conduce al principio de La
csusaldad, indoprsable pra l ciencia, pero coo estudi no es propio de
este lugar.

7. IMPORTANCIA DE LA FÍSICA

Un solo vistazo las conquistas de nuestra civilización es suficiente para
revelarnos la trascendencia de la ciencia en la cual vamos a penetrar: la luz
eléctrica, el radio, el teléfono, la televisión, el cinematógrafo, el automóvil, el
avión, los motores Diesel, las máquinas vapor, las grandes construcciones, los
reactores nucleares, los satélite artificiales, eto, son todos productos de la F£-
sica, cuyo estudio, por otra parte, es apasionante y de gran interés. À su

PREGUNTAS

1. ¿Qué es un fenómeno? Enuncie cinco fenómenos diferentes

2. ¿Cuál es el objeto de toda ciencia? Cite algunas ciencias que ha es.
tudiado e indique cómo dicha ciencia se construye,

12. 10.

n.

12

15

Enumere las distintas etapas del método científico y apliquelas a un
ejemplo.

¿A qué atribuye el
80 años?

ido progreso científico durante los últimos

¿Qué es una ley? ¿Por qué muchas leyes son modificadas a medi
que progresan las investigaciones?

¿Qué es una ley de proporcionalidad directa? ¿De proporcional

lad

Al hacer un experimento se encontró que los valores de una magni-
tud y eran 14,8, 10,6, 69 y 5,4, mientras que los valores de otra magni-
tud x fueron 29,6, 21,2, 138 y 108. Representar gráficamente la rela-
ción entre yy x. ¿Qué clase de relación hay entre ze y?

Six es directamente proporcional a y, y vale 36 cuando y vale 28,
¿cuál es el valor de y cuando x vale 5,2?

Resolver el problema anterior si x es inversamente proporcional a
Establece ls lees que se derivan de I expresión y =

¿En cuél de las dos expresiónes y es proporcional a x: y = 3.07 =
3, + 2? Explique su respuesta
¿En cud de las dos expresiones y es inversamente proporcional a x:

5 5
Y= 0 y= 2 +7 Explique ou respuesta
Escribir la fórmula que corresponde a la siguiente ley x es directamente
proporcional al cuadrado de x e inversamente proporcional a la raíz
bien de y.

13. La materia

1. LA MATERIA

Cuendo examinamos los cuerpos que nos rodean y que percibimos con
nuestros sentidos, nos vemos siempre impulsados a preguntarnos: ¿de qué es:
tán formados los cuerpos? Ese algo, esa substancia que constituye los cuer.
pos, es lo que llamamos materia,

No todos los cuerpos están constituidos en igual forma y un análisis de
los mismos nos ha conducido a dividilos en dos grupos: cuerpos simples y
cuerpos compuestos. Los cuerpos simples son aquellos constituídos por una
sola substancia o clase de materia, mientras que los cuerpos compuestos son
‘aquellos constituidos por varias substancias o clases de materia diferentes,
Así el hidrógeno y el oxígeno son cuerpos simples, pero el agua es un cuerpo
compuesto de hidrógeno y oxigeno en proporciones aprpidas y bien dee

Existen en la naturaleza 92 cuerpos simples, también llamados elementos
químicos. El más ligero de todos es el hidrógeno y el más pesado el uranio.
Además se han producido artificialmente unos 13 elementos més. En el Apén:
dice 5 se da la lista de todos ellos. Al final aparecen los elementos que han si-
do producidos artificialmente por el hombre utilizando instrumentos como
los reactores nucleares, cclotrones, ete. Cada elemento químico se designa
or un símbolo.

Aunque la materia parece tener a primera vista una estructura continua,
está en realidad formada por un conglomerado de partículas que son los sto
mos y moléculas

2. ATOMOS

Un étomo es la menor cantidad de un cuerpo simple o elemento que
‘puede exstr aislado. Como dijimos antes, el hidrógeno y el oxígeno son cuer-

14. opt Pr
pos simples. Luego la menor cantidad de hidrógeno o de oxígeno que puede
tenerse es un átomo de hidrógeno o un átomo de oxígeno.

Todos los étomos de un mismo elemento químico son esencialmente
idénticos, aunque pueden diferir ligeramente en su masa,

Los átomos son a su vez, estructuras relativamente complejas compues-
de tres clases de partículas llamadas electrones, protones y neutrones. Más
adelante tendremos la oportunidad de estudiar Le forma en que los electrones,
protones y neutrones están dispuestos dentro de un tomo, pero ahora pode:
mos señalar que los protones y neutrones están concentrados en una región
central, llamada núcleo, y los electrones se mueven a su alrededor en forma
semejante a como se mucven los planetas alrededor del Sol. (Fig. 1).

Las propiedades físicas y químicas de un elemento están determinadas
por la estructura o composición de sus átomos.

El más sencillo de los átomos es el de hidrógeno que consta de un protón
‘en el núcleo y un electrón en movimiento a su alrededor (Fig. 2).

La idea de la estructura atónuca de la materia es muy antigua, pero fue
evolucionando con el tiempo hasta que a mediados del siglo XIX fue enun-

más rigurosamente por Dalton y otros como la única teoría satisfactoria
explicar numerosos fenómenos de la Fisica y de la Químico.

pa

3. MOLÉCULAS

Raramente los átomos de un cuerpo simple se encuentran aislados, y
tienden a combinarse entre ellos o con los átomos de otro cuerpo simple for
mando moléculas. Por tanto, una molécula es una agrupeción ordenada de
domos.

La menor cantidad de un cuerpo compuesto que puede existir es una mo-
lécula. Todas las moléculas de un mismo cuerpo compuesto son idénticas, Las
propiedades físicas y químicas de un cuerpo compuesto están determinadas
por la estructura de sus molécula.

Las moléculas pueden variar en tamaño desde les más simples compues.
Las por dos átomos, como las de hidrógeno, oxígeno, monóxido de carbono,
ácido clorhídrico, ete, hasta las más complejas de hormonas, ácidos
nucleicos, proteínas, ete, que pueden tener cientos de átomos. En la Fig. 3 e
ilustran algunas moléculas sencillas.

4. FENÓMENOS FÍSICOS Y QUÍMICOS

Con base

la estructura atómica de la materi, es posible establecer una

distinción más precisa entre los fenómenos físicos y los químicos,

¡bstancias que intervienen en ellos mientras que en los qui.
008 afte producen cambios, Ello en realidad significa que en general en os fe.
ndmenos físicos no se producen cambios en la estructuras moleculares de los
cuerpos que intervienen, mientras que en los fenómenos quími

cen alteraciones en las moléculas.

15. roc AL pan

Por ejemplo, cuando el agua se vaporiza 0 se solidfica, las moléculas siguen
las mismas, con dos átomos de hidrógeno y uno de oxigeno y por ello decimos
que se trata de un fenómeno físico. ero al quemar un pedazo de carbón, ocure
una reacción química y ls átomos de carbono se combinan con las moléculas de
oxigeno del aire dando una nueva substancia, el dióxido de carbono, cuyas meld
culas contienen un tomo de carbono y dos de oxígeno.

Aún las muevas definiciones de fenómenos físicos y químicos no son
completamente excluyentes y hay ciertos fenómenos que participan de ambas
categorías.

5. CONSERVACIÓN DE LA MATERIA Y DE LA ENERGÍA

Hasta comienzos del siglo XX fue una creencia aceptada unánimemente
que la materia era indestructible y no podía transformarse en algo más
simple, proposición que se conoce con el nombre de Principio de Conserva:
ción de la Materia. Actualmente este principio ha sido substituido por uno
más general, el Principio de Conservación de la Energía, al comprobarse la
posibilidad de transformar la materia en algo diferente llamado energía y vi.

6. ESTADOS FÍSICOS DE LOS CUERPOS

Por estado de un cuerpo se entiende el conjunto de propiedades que po-
see en un momento dado, Haciendo abstracción de muchas propiedades parti
eulares de los cuerpos tales como color, forma, temperatura, ec. los estados
de los cuerpos pueden caer dentro de tres grandes categorías llamadas fases,
caracterizadas por la or fase gaseosa, fae líquida
y fases

1) FASE GASEOSA: se caracteriza porque las moléculas de los cuerpos es-
tán animadas de rápidos movimientos sin influirse mutuamente, excepto en
aquellos casos en que chocan entre elas o con las paredes del recipiente que
las contiene. Un gas puede compararse a un gran número de pequeños insec-
tos voladores encerrados en una caja. EI hidrógeno y el oxígeno se presentan
usualmente en este estado. El aire no es més que una mezcla de varios gases
Como consecuencia de estos movimientos un gas carece de forma y volumen
propios tendiendo cada vez a ocupar un espacio mayor, propiedad que recibe

el nombre de expansibilidad.

de los cuerpos en estado líquido también
de rápidos movimientos, pero como entre ellas se ejercen
fuertes atracciones, las distancias que las separan permanecen invariables en
promedio y son mucho menores que las distancias entre las moléculas de un
gas. De ello se deduce que un líquido posee volumen propio pero no forma
propia, adoptando la del recipiente que lo contiene. El agua, el alcohol, ete,
son líquidos en condiciones ordinarias
3) FASE SÓLIDA: en este estado las moléculas solo pueden ejecutar pe
'queños movimientos de vibración a uno y otro lado de una posición fi,
éndose entre ellas cor gran intensidad, y están separadas a dstencias mucho

16. cae

menores que en los gases. Por ello un sólido tiene forma y volumen propios
siendo, en algunos casos, muy difícil deformario o romperlo.

Dentro de la

sólidos amorfos.

En os sólidos cristalinos las moléculas se encuentran

ma muy ordenada y regular como los ladrillos de una pared, constituyendo

“agrupaciones llamadas crisale, algunas veces microscópicos, pero otras ve

es visibles a simple vista y de gran tamaño. Los metales puros presenten casi

siempre estructura cristalina. En la Fig. 4 se ha representado la estructura

ina de la sal común: as esferias blancas representan átomos de loro y

yadas átomos de sodio. Cada par de ellas constituye una molécula de clo
sal común.

En los sólidos amorfos, dicha estractura regular no existe. Como

ejemplo podemos citar la cola, el vidrio, el asalto, la perrubia y el plomo.

Las fronteras entre las distintas fases no están siempre perfectamente de-
finidas, de modo que, por ejemplo, en algunas substancias entre el estado I
quido y el sólido amorfo ocurre el estado pastoso, exhibido por la parafina, el
plomo y otros cuerpos,

7. MACROFÍSICA Y MICROFÍSICA

Uno delos propósitos fundamentales dela Fisica es La explicación delos
fenómenos de I naturaleza en función de las propiedades delos átomos y mo-
léculas. La Física, estudiada a partir de las leyes que rigen la acciones entre
átomos y moléculas, constituye Is Física Atómica o la Miero-Füica (miero =
‘muy pequeño):

Sin embargo, existen muchos fenómenos en Física que pueden explicarse,
sin necesidad de recurri a la estructura atómica de la materia, bastando con
“considerar la materia en la forma que la aprecian nuestros sentidos. Esta esla
Fisica Clävica o Macro-Fisica (macro = muy grande).

PREGUNTAS

¿Qué es meteria?
¿Qué son cuerpos simples y compuestos? DE ejemplos.
Investigue si el azúcar es un cuerpo simple o compuesto.
¿Qué son átomos y moléculas?

Si destruyéramos una molécula de agua ¿qué obtendríamos como re-
sultado de la descomposición?

nop»

6. ¿Cases son las faes-dé los cuerpos? DE una ligera explicación con
ejemplos.

7. ¿Cuáles la diferencia entre un sólido cristalino y un eélido amorfo?

8. Investigue cudl ei la diferencia entre el diamante y el grafito

9. Haga una lista de fenómenos físicos y químicos que le son fami

Fie

Estroctra Craie de
fe al comin

17. Medida de longitudes
y angulos

1. CONCEPTO DE MEDIDA

Magnitud es todo aquello que puede ser medido, como la longitud de una
mesa o la temperatura de un cuerpo,

Medir es comparar una magnitud con otra de su misma especie que ar
bitrariamente se toma como unidad. El resultado de toda medida es siempre
un número que es el valor de la magnitud medida y expresa la relación entre
esta magnitud y la que se toma como unidad.

Las medidas pueden ser directas o indirectos

Si quisiéramos, por ejemplo, medir directamente la distancia entre dos
puntos À y B tomaríamos varia reglas todas de igual longitud, un metro su
pongamos, y veríamos cuántas deberíamos colocar una a continuación de la
otra hasta cubrir la distancia de À hasta B; si necesitáramos 12, diríamos que
la distancia entre A y Bes de 12 m. En la práctica lo que se hace es aplicar la
misma regla varias veces sucesivas. Análogamente, si vamos a medir directa
mente el área del piso de una habitación podríamos tapizar el piso con
cuadrados de cartón, por ejemplo; de 1 m? de área cada uno; el número de
ellos nos da entonces el área del piso en m. Sin embargo, las Áreas se miden
usualmente de modo indirecto; en efecto, en el ejemplo anterior lo que se ha-
ce en a práctica es medir el largo y el ancho y su producto nos da el área. Es
deci a se miden directamente otras
magni 8 reglas o fórmulas se calcula el
valor o medida de la magnitud buscada.

La operación de medir es fundamental para la Física porque la observa
ión o la experimentación quedan incompletas si no van acompañadas de le
medida de las magnitudes que intervienen en los fenómenos.

18. po
2. SISTEMAS DE UNIDADES

ans ei Y os - 19

Toda operación de medida presupone la selección de una unidad conve.
niente, Las magnitudes fundamentales de la Fisica son la longited, la mass y
el tiempo. A estas magnitudes se han añadido, recientemente, la tempera
la intensidad luminosa, la cantidad de partículas en un cuerpo,
de la corriente el

Una ver fijadas las unidades correspondientes a estas mag
unidades de todas las otras magnitudes de la Física, Mamada:
quedan automáticamente fijadas mediante defi
mas de unidades se caracterizan por sus u

des, las
derivadas,
nes y fórmulas. Los siste:
lades fundamentales

SISTEMA INTERNACIONAL (SI)

En este sistema, adoptado en 1972 por un acuerdo internacional, la uni
dad de longitud es el metro (m), la de la masa es el kilogramo (kg). y la de
tiempo es el segundo (3).

El metro se define como la longitud equivalete 1°650:763,73 ondas de
la radiación color naranja del espectro luminoso emitido por los átomos de
Kriptón86.(* kr) Esta definición tiene la ventaja de que es universal y puede
verificarse en cualquier laboratorio (Fig. 1).

LOIS ards

Fg. 2. Sección del mer pate

A los efectos prácticos el metro es igual ala distancia a 0*C entre dos
20s hechos en una barra de platino e iridio que se conserva en la Ofi
ternacional de Pesos y Medidas de Sevres, Francia. Esta barra recibe el
nombre de metro palrón y tiene la forma indicada en la Fig. 2, para darle ma:
yor rigides.

Aproximadamente el metro es igual a la dicemillonésima parte del
cuadrante de un meridiano terrestre (Pig. 3),

La unidad de masa es el kilogramo. El ilogramo esla masa de un bloque
de platino e iidio que se conserva en la misma oficina antes mencionada. Es
te bloque se llama kilogramo patrón. (Fig. 4).

Aproximadamente el kilogramo es igual a la masa de un litro de agua
destilada ala temperatura 4°C. También es igual (el ilogramo) e la masa de
5.018x 10% de átomos de carbono de la variedad denominada carbono -12
ec)

La milésima part de le msn del loramo patín ram. que préc
ticamente es igual a la masa de un em. de agua a 4°C.

Fig A. Kogan pase (Lee,

19. res.
ll de ame À A3, om dei
ns sl ne My NU Smile de ve
Be

po es el segundo. El segundo es la 86.400 ave parte del

solar medio se entiende el tiempo que transcurre
entre dos pasos sucesivos de un punto de la superficie terrestre frente al sol,
promediado a lo largo del año.

La unidad de tiempo definida en este forma está relacionada con un fe»
némeno regular y periódico como es la rotación de la Tierra. Las oscilaciones
de un muelle resorte pueden servir también para establecer un patrón de
tiempo,

dia solar medio. Por

Actualmente se émplean la vibraciones de un cristal de cuarzo excitado
«eléctricamente para medir el tiempo con gran precisión. Más recientemente,
‘eade 1950, se están utilizando la vibraciones delos átomos en una molécula
para medir el tiempo con una precisión extraordinaria en ls llamados.
jes atómicos”. Una de las moléculas más usadas es la de amoníaco que consta
de un átomo de nitrógeno y tres de hidrógeno. Se utilizan las vibraciones del
átomo de nitrógeno. Un segundo se define entonces como el tiempo requerido.
par el átomo de nitrógeno para dar 23,786 millones de oscilaciones entre N y
Ni (Fg. 5)

Además de las tres unidades definidas, el SI incluye otras cuatro unida-
des fundamentales (ampere, Kelvin, candela y mol), que serán definidas opor-
tunamente.

(En el Apéndice 2 se indica cómo se designan los múltiplos y submal-
tiplos de las unidades fundamentales).

4. UNIDAD DE MASA ATÓMICA

Para expresar las masas de los átomos de las diversas sustancias se
emplea una escala relativa en la que se toma como unidad 1/12 de la masa de
tun átomo de carbono-12 y se llama unidad de masa atómico. Su valor es:

Luma. = 1.6606 x 10% kg

(En la tabla del Apéndice 5 se dan las masas de los átomos delos elemen-
tos químicos en uma).

Para obtener la masa en kg. de un átomo de cualquier oro elemento, se
multiplica el valor de la vm.a. por le masa atómica Ma=16.004 uma.) es
(1:66 x 10 kgluma. x 16.004 uma. = 2.657 X 10% kg).

Luego, en general:

masa de un átomo.

66 x10 x Ma k

La masa molecular Mu es la suma de las masas atómicas de los átomos
que componen una molécula expresadas en um.a. Asíla masa molecular de
vna molécula de agua (H,O) e:

Mu(H#0) = 2MA(H) + Ma(O) = 2% 1.008+16.004= 18.020 uma.
La mase de une molécule en kg se calcula también por la regla:
66 x 107 x Mug.

masa de una molécula

20. 5. NÚMERO DE AVOGADRO

Se llama mola una cantidad de una sustancia que contenga el mismo nd
mero de átomos o de moléculas que hay en 12g (6 0.012 kg) de earbono-12. El
nümero de partículas en un mil se lama número de Avogadro, en honor al
científico italiano Amadeo Avogadro (1776- 1856), y e designa Ns. Su valor
Na = 6022x 10%

y se obtiene dividiendo 0.012 kg por la masa de un átomo de carbono, que es
(12 uma.) x (1.6606 x 10 P kg). Luego:

0.012kg 1
602x 10°

(l2u.m.a.)x(1.6606x 10 kg) 1.6606 10°

La masa de un mol de cualquier sustancia, expresada en gramos, es igual
à la masa slómica expresada en uma. 0 sea! E
‘masa de un mol (g)= masa atómica 0 molecular (uma.)

6. MEDIDA DE LONGITUDES

Para medir las longitudes se emplean las reglos graduadas, que consisten
cen varillas rectas, hechas de un material poco deformable, en cuyo borde se
han grabado varios trazos que indican longitudes en algún sistema de unida-
des. Para medir una longitud se observan los trazos de la regla que coinciden
on los extremos del objeto. La distancia entre los trazos, observada en la

regla, nos da la longitud deseada.

Cuando la regla tiene cierto espesor debe tenerse mucho cuidado en e
tar un error muy frecuente denominado paralaje. El error de paralaje se co
mete siempre que al emplear una regla de espesor apreciable no situamos
‘nuestro ojo de modo que la visual sea perpendicular a la regla

al à

Es;
/
WLLL
4
5

pongamos por ejemplo, que queremos medir la distancia entre dos
puntos À y B, (fig. 6). Si disponemos nuestro ojo en las posiciones Cy E de

21. u

visuales CA y EB sean perpendiculares a la regla ob-
tendremos la longitud correcta AB = 4—1 = 3 unidades. Sin embargo, si al
observar A situamos nuestro ojo en D en lugar de en C, de modo que nuestra
visual DA es oblicua a la regle, nuestra lectura en 4 será 1,3 unidades en lu-
ger de 1 como antes y el valor de AB será 4—1.3 = 2,7 unidades cometiéndo-
se un error de observación igual a 0.3 unidades.

Por otra parte, casi nunca ambos extremos del objeto cuinciden con divi
siones de la regla y esto nos obliga a estimar o apreciar a simple vista fra
ciones de división, lo que introduce cierta imprecisión en los resultados. Para
disminufr eta imprecisión, aunque no para eliminarla por completo, lo que es
totalmente imposible, se han ideado diversos accesorios para las reglas

Ejemplo 1 Nomio rectilíneo
Se llama también vernier y consiste en una pequeña regla adicional N
(ig. 7, que puede resbalar sobre la regla principal R Llamemos val valor de
vna división de la regla R. El nomio se construye en ia siguiente forma: 1) se
toma una longitud igual a divisiones de la regla, 2) como y es el valor de ca
da división de la regla, la longitud del nonio resulta ser ne, 3) cl nonio se divi
i tanto la longitud de cada división

del nonio es

‘que es menor que &
La apreciación A del nonio es Ia diferencia entre el valor de una división
de la regla y una división del nonio. Está dada por
Non
=—0 a

En efecto:

A=

N

En la figura 7(0) la distancia entre la primera división del nonio yla pri

mera de la regla es 4, la distancia entre Le segunda de N yla segunda de Res

24, ete. Por tanto para hacer coincidi la primera división del nonio con una

dela regla es necesario moverlo hacia la derecha una distancia igual a4, para
que coincida la segunda hay que moverlo una distancia 24, ee

Casi siempre el nonio se construye de modo que tenga una.
que las que se tomaron de la regla, con lo que N—n = 1 yla apre
salta ser

» valor de una división de regla
Ass
N nümero de divisiones del nonio

El método de hacer la lectura es el siguiente: 1)se coloca cl objeto entre
cl tope de la regla y el tope del noni [fig 7 (6)] se lee la parte entera o dis.

22. cs wo De Om Ans 23

tancia entre el cero de la regle y la división inmediata anterior al cero del no-
io; 2) se observa la división del nonio que queda más próxima o coincide con
tuna de la regla y se multiplica por la apreciación À, 3) se suman los resulta
dos.

En resumen:

Longitud = parte entera + (división del nonio) x 4 10)

El nonio se emplea en los calibradores que sirven, por ejemplo, para me-
dir los diámetros interiores y exteriores de los tubos.

Ejemplo 1: En el nonio de la

igura 7 se observa que:
1) división de la regla: © = I mm
2) divisiones tomadas de la regla: n
3) divisiones del nonio: N = 10,

Non © 10-9 1
v x 1mm =—mm
10 10

4) Apreciación

La división del nonio más próxima a una de la regla es la 5. La división
dela regla inmediata anterior al cero del nonio corresponde a 1 em = 10 mm.
Aplicando (2) tenemos pues que

ani one kn

Ejemplo 2: Tornilo micrométrico

En todo tornillo se llama paso de rosca 0 simplemente paso ala distancia
que avanza al dar una vuelta completa. Un tornilo micrométrico es aquel cu
Jo paso es muy pequeño; del orden de 1 mm o menos. El tornillo mierométri.
0 es de gran importancia. Uno de los instrumentos más simples en que se
emplea es el palmer (fig. 8). Consta de dos topes ¢ y de ls cuales 1° va unido
altornilo micrométrico mientras que £ va unido mediante el arco de acero 4
a la tuerca por donde pasa el tornillo, En la tuerca va grabada una escala E
usualmente graduada en mm.o medios mm. Unido a la cabeza del tornillo va
el cilindro Co tambor, que cubre el cilindro donde está la escala E. El borde
del cilindro C termina en bisel y lleva una escala E" que usualmente consta de
25, 50 6 100 divisiones,

23. ecc A pa

La apreciación del palmer es lo que avanza al tornillo, cuendo una divi-
sión del tambor pasa rente ala escala, E. Sip es el paso del tornillo y Nel mú-
mero de divisiones del tambor, la apreciación es:

aL ®

ya que si el tornillo avanza la distancia p, pasan N divisiones frente ala
‘central de la escala E, luego lo que avanza al pasar una división es p/N

Para obtener el espesor de un cuerpo colocado entre los topes se lee la
parte entera en la regla By se le añade el producto de la apreciación por la di
visión de E" más próxima a le raya central de E O ses:

y.

espesor = parte entera + (división del tambor) x A ®
El palmer se emplea para medir espesores y pequeñas diferencias de
elos.

Por ejemplo: el palmer de la figu
bor tiene SD divisiones. Luego

ene un paso igual a 1 mm y el tam

p_imm

N sodi

=imm N=S0div. 4= 0.02 mm

La parte entera es 8 mm. La división del tambor más próxima a la
central de E esla 15. Luego, aplicando (4) la lectura es
espesor = 8 mmm + 15x 002 mm = 8,50 mm

Otra aplicación del tornillo microméirico es el esferómetro, Consta (fig.
3) de un tornillo E cuya tuerca A lleva tres soportes B, C y D, (By C aparecen
superpuestos en la figura superior) cuyos extremos determinan un plano K
perpendicular al eje del tornill. Perpendicular a este va el limbo graduado
F, que se mueve frente a la escala H paralela al eje del tornillo, Este se hace
girar mediante el botón G. La apreciación se define como en el palmer: valor
de una división del limbo. La lectura se hace en igual forma: la parte entera se
lee en H y se toma la división de F que está més próxima a H de modo que

lectura = porte entera + (divisién del limbo) x A

El esferómetro se emplea casi siempre para determinar los radios delos
asquetes esféricos,

El paso del esferómetro de la fig. 9 es 1 mm y las divisiones de la regla
valen 1 mm. El limbo tiene 50 divisiones Luego

Como la división del limbo que coincide con A es la 25 y la parte ento
leída en H es $ mm tenemos que

lectura = 5 mm + 25 x 0,02 mm = 5,50 mm

24. am on Damon vun 2
1. MEDIDA DE ÁNGULOS

El sistema que con més frecuencia se emplea en la medida de ángulos es
el sexagesimol. En & la unidad fundamental es el grado, La medida de un
ángulo recto es 90°, de uno llano es 180* y el ángulo alrededor de un punto
vale 360°. El grado se divide en 60 minutos y cada uno de éstos a su ver se
divide en 60 segundos
1° =60", V = 60"
El sistema de medida de ángulos més importante para la Fisica es el ci

En el sistema circular un ángulo se mide por la relación entre la longi
tud de un arco cualquiera, cuyo centro es el vértice del ángulo y está
comprendido entre Ios lados de éste y el adio de dicho arco. El vor del án-
gulo se expresa en radianes. Refiriéndonos a la ig. 10.

at =! radianes
R
radio x ángulo en radianes.
La unidad de ángulo en el SI es el radiän. Un radián es un ángulo tal
que cualquier arco comprendido entre sus lados y con centro en su vértice,
tiene una longitud igual a su radio

I= Rav @)

Las medidas de un mismo ángulo en grados y en radianes están relax
cionadas por la siguiente fórmula:

180°

a 0)

donde como siempre 7
57° 17" 44788, Luego:

1416, Haciendo a” = 1 radián se ve que a*

Im

län = 57° 17° 4988 = 57,3 aprox.
Haciendo a = 1° resulta a” = 0,017453 rad. Luego:
1° = 0017453 radianes.

Ejemplo 3: Nonio circalar

En aquéllos instramentos donde debe medirse un ángulo se emplen
siempre un nonio circular cuyo fundamento es el mismo del nonio rectilineo
estudiado anteriormente. Su apreciación viene dada también por la fórmula
(1). En la figura 11 se tiene un limbo o escala circular E (part con
au nonio (parte superior), perteneciente a un instrumento de Fisica. Obser
vando la escala E se ve que el intervalo de 10° comprendido entre los 330° y
los 340° está dividido en 20 partes, de modo que cada división val

N

25. Para construir el nonio N se tomaron 29 divisiones dela escala (n = 29)
y se dividieron en 30 partes (N = 30), ya que no se cuentan la raya que est
antes del cero y la que está después del 30, Por tanto:
30-29 1
x 30° =——x 30° =1
30
de modo que el nonio aprecia 1 minuto de ángulo. La parte entera leída en la
escala E es 325", pues es la división inmediata anterior al cero de N. La divi
sión de N más próxima a una de E es la 18. Luego, aplicando (2)

ángulo = 325° + 18 x I’ = 325° 18

8. ERRORES

Cuando hacemos la medida de una magnitud no podemos asegurar que
el número o valor que resulta es igual al valor verdadero de la magnitud medi
da, de modo que entre ellos existe, en general, una diferencia que se denomi
na error. Las causas del error pueden ser diversas, de modo que el error total
cometido es el resultado de la superposición de varios errores parciales debi
dos a circunstancias diversas. Esto ha motivado que se clasifiquen los errores
en dos grupos.

1) Errores sistemáticos son aquellos que se producen siempre en una
misma dirección o sea, siempre por exceso o siempre por defecto, obedecien
do en general, a una ley bien determinada, Algunas veces pueden determinar.
Le y eliminarse del resultado, Como los errores sistemáticos se acumulan al
hacerse varias lecturas pueden llegar a afectar considerablemente el resulta-
do. En este grupo quedan incluídos los erores instrumentales debidos a las
imperfecciones de su construcción o de sus ajustes.

Por ejemplo, si empleamos para medir la distancia entre dos puntos una
regla métrica uno de cuyos extremos se ha gastado por el uso, cada vez que
colocamos la regla introducimos un error por exceso que resulta multiplicado
por el número de veces que tengamos que poner la regla para medir la longi-
ud

Análogamente, si para medir el volumen de un sólido por desplazamiento
se usa a una temperatura diferente una probeta graduada a 15°C introduci-
mos un error a menos que tengamos en cuenta la dilatación del recipiente.

2) Errores accidentales son aquellos que están fuera del control del ob
servador y se deben a circunstancias que no pueden preverse. Una de sus ca
racteríaticas es que en una misma experiencia pueden ser por exceso 0 por de
fecto. En estos errores está incluído el factor personal del observador,

Por ejemplo, en un fotómetro el resultado depende esencialmente de la
capacidad del observador para determinar cuándo dos superficies tienen
igual iluminación, capacidad que depende del sentido de la vista, de modo
que sería muy difícil que dos observadores obtuvieran el mismo resultado 0
que un mismo observador lograra reproducir un resultado preciso,

No deben confundirse los errores con las equivocaciones cuyo origen está
en el descuido o la impericia del observador en el manejo del instrumen

26. ge on Losas 8-29

Como puede deducirse de lo dicho, es muy difícil determinar a priori to:

dos los errores que uno comete, de modo que del conocimiento del valor me.
ido no puede calcularse nunca el valor verdadero, que por ello jamás puede

ser conocido. Por eso el procedimiento seguido es hacer varias determina
ciones de la magnitud buscada adoptándose como resultado más probable la
‘media aritmética o promedio de las observaciones. Si al medir la magnitud 4
se obtienen los resultados Ay Aa 4.4 el resultado que tiene más probabili
dad de obtenerse como consecuencia de una observación de À con el mismo
aparato es

A+ Ay + Ay + An
À Be En

Los valores Ay Ay Ay ... deben haberse corregido previamente elimi

néndose de los mismos errores sistemáticos cuya naturaleza se conozca.

Debe tenerse bien presente sin embargo, que la media aritmética no

representa el valor más aproximado, o sea, el valor cuyo error es el menor. 6.
lo representa el valor que tiene más probabilidad de ser reproducido con el
mismo instrumento en las mismas condiciones,

PREGUNTAS

¿Qué signigica "medi
¿Qué representa la apreciación de un nonio?

¿Cómo se mide un ángulo de radianes?

Dibuje un ángulo. Con centro en el vértice trace un arco, mida su
longitud y calcule asíla medida del ángulo en radianes. Mida el ángulo
en grados con un semicírculo graduado y aplicando (6) recaleule el valor
del ángulo en radianes. Compare los resultados,

¿Cómo haría la medida directa del volumen de una habitación?

PROBLEMAS

En el nonio de la figura, el valor dela distancia entre las divisiones nu-
meradas es un cm. Hallar su apreciación yla lectura en su segunda posi
ción. R. 1,98 cm.

2 7

ie SAT LL Ly)

Una regla está graduada en medios centímetros. Un nonio para la mis:
ma se ha construído tomando 19 divisiones y diviéndolo sh 20 partes
Calcular su apreciación. R. 0,25 mm.

¿Cómo debe haberse construído el nonio anterior para que aprecie 0.1

27. 4. En una regla cada em se ha dividido en 5 partes iguales. ¿Cómo debe
construíree un nonio para que aprecie 1/5 mm?
Expresar en radianes un ángulo de (a) 32°; (5) 70°20"; (c)100°30" 12"
(d) 50° 18"; R. (a) 0,558; (b) 1,2275; (c) 1,7541; (d) 001462.
Expresar en grados, minutos y segundos sexagesimales un ángulo de (0)
2 (6) US æ (e) + — 3. R. (a) 1143520" (0) 36°; (c) 8*046"
Una circunferencia tiene un radio de 6,8 cm. ¿Cuáles la longitud de un
arco de la misma que corresponde a un ángulo central de (a) 50°40'; (6)
5 rad? R. (a) 6013 cm; (6) 102 cm.
¿Cuál es el valor en grados del ángulo central correspondiente a un arco
de 50.2 cm de longitud si su radio es de 31,8 em? R. 904°.
¿Cuál es el radio de un arco de 50 em si su ángulo central es de (a)
58"25"; (0) 1,217 R. (a) 745 cm; (9) 41,6 cm.
Un poste tiene una altura de 6 m. Las visuales de un observador lejano
dirigidas a sus extremos forman un ángulo de 41°15". Calcular la dis
tancia del observador al poste. R. 500 m.
El diámetro dela Luna se ve desde la Tierra según un ángulo de 31°51".
Si la distancia de la Tierra a la Luna es de 384.400 km, calcular el
diémetro de la Luna. R. 3.561 km.

28. PARTE I

MECANICA

1. MECÁNICA

La Mecánica es el estudio del movimiento de los cuerpos.

Como el movimiento e el fenómeno más común y principal que observa:
mos, resulta que la Mecánica constituye la parte fundamental de la Fisica y
sobre ella se basan en mayor 0 menor grado las otras ramas de la Física. Por
eso es indispensable tener un conocimiento profundo de la Mecánica

La Mecánica se divide en tres secciones;

1) Cinemática, que estudia las características del movimiento de los
cuerpos.
2) Dinámico, que analiza las causas que producen los movimientos

3) Estática, que es

el equilibrio de los cuerpos

2. MECÁNICA CLÁSICA Y MECÁNICA CUÁNTICA

Las leyes de la mecánica que vamos a estudiar en los próximos capítulos
son aplicables a la materia en bulto, es decir, a agregados de gran número de

mos y moléculas. La experiencia nos enseña que todos los cuerpos que
apreciamos con nuestros sentidos e incluso los planetas y demás astros se
mueven de acuerdo con esas eyes, que constituyen la lamada mecánica clái

Sin embargo, esas leyes no son rigurosamente aplicables al movimiento
de los átomos y especialmente de sus componentes los electrones, protones y
neutrones. Las leyes que se aplican en ese caso constituyen la mecánico até
‘mica o micro-mecéniea, también llamada mecánica cuántica. En su oportuni
ded se mencionarán algunas de estas leyes,

29. 3. PARTICULA MATERIAL

En numerosos problemas no es necesario tener en cuenta el tamaño o la
forma del cuerpo, que puede por tanto considerarse reducido a una partícula.

Una partícula es una porción de meteria tan pequeña en relación con las
otras dimensiones de un problema que no es necesario considerar au tamaño.
El poder considerar un cuerpo reducido o no a una partícula, depende de sus
dimensiones relativas a las otras distancias que intervienen en el problema,
Por ejemplo en el movimiento de un satélite artifical alrededor de la Tierra
pademos considerar la cápsula o satélite como si fuera una partícula, pero de:
emos tener en cuenta el tamaño yla forma de la Tierra. Sia embargo, en el
estudio del movimiento de la Tierra alrededor del Sol, podemos considerar a
la Tierra como si fuera una partícula.

4. CUERPO RÍGIDO

Un cuerpo rígido es un conjunto de partículas cuyas distancias pueden
considerarse invariables y no puede por consiguiente deformarse. En la Natu
raleza no existe ningún cuerpo estrictamente rígido y todos son deformables
fen mayor o menor grado. Sin embargo, en muchos casos algunos de elos
pueden considerarse aproximadamente como tales: un bloque de madera o
uno de hierro, ete.

El considerar un cuerpo como rígido o no, es también una cuestión rel
va que depende de las fuerzas a que esté sometido. Por ejemplo, en numero
08 casos, podemos suponer que una viga de acero es un cuerpo rígido; pero
sin embargo, cuando un ingeniero proyecta un edifico, debe tener en cuenta
la elasticidad o deformabilidad de las vigas de acero.

30. Movimiento rectilineo

1. REPOSO Y MOVIMIENTO

Un cuerpo se encuentra en movimiento relativo a otro cuando su pos

respecto a este segundo cuerpo cambia en el transcurso del tiempo. Por
el contrario, un cuerpo se encuentra en reposo relativo a otro, si dicha posi
ción relativa permanece invariable al transcurrir el tiempo.

Así, por ejemplo, la posición de la Luna, observada desde la Tierra, está
variando continuamente y decimos entonces que la Luna se mueve con rela

ina la Tierra. Por el contrario, un árboles un cuerpo que mantiene una po.
sición invariable respecto a la superficie terrestre y por tanto se encuentra en
reposo relativo a la Tierra,

‘Tanto el reposo como el movimiento tienen carácter relativo porque de
penden de las condiciones mutuas entre el cuerpo supuesto en reposo 0 en
movimiento y el cuerpo respecto al cual se refieren estas propiedades. As, el
árbol del ejemplo anterior está en reposo relaivo a la Tierra pero en movi
miento relativo al Sol. Un asiento de un vagón de ferrocarril en movimiento
está en reposo relativo al vagón pero en movimiento relativo a la superficie

Obsérvese que un cuerpo puede encontrarse en reposo relativo a otro y al
mismo tiempo en movimiento relativo a un tercero,

CLASES DE MOVIMIENTO

Siempre que sea posible consideraremos el móvil reducido a una partí:
la porque el movimiento de un cuerpo es más complejo.

Trayectoria es la línea que resulta de unir todas las posiciones sucesivas
por la partícula durante su movimiento.

31. simone re ct

Las trayectorias pueden ser de formas muy variadas pero podemos consi-
rar dos casos generales:

Movimiento rectlineo es aquel cuya trayectoria es una línea recta. Es
por ejemplo, el movimiento de un cuerpo que cae libremente sobre la superf

Movimiento curulineo es aquel cuya trayectoria es una línea curva, Ex
por ejemplo, el movimiento dela Luna alrededor de la Tierra, el de un pro-
yectil lanzado oblicuamente

3. MOVIMIENTO UNIFORME

Es el movimiento de un móvil que recorre espacios iguales en tiempos
iguales cualesquiera. Si ndemäs la trayectoria es una línea recta, se tiene el
movimiento rectilineo uniforme.

Por ejemplo, el móvil de la fig. 1 recorre siempre la distancia de 2 cm ca-
da ver que se observa a intervalos de tiempos iguales a 1s. Siesta igualdad de
espacios recorridos se mantiene para intervalos iguales de tiempo aunque se
fan de magnitud arbitraria podemos asegurar que su movimiento es uniforme.

4. VELOCIDAD

La velocidad en el movimiento uniforme, es el espacio recorrido en la
unidad de tiempo. Luego, sien el tiempo t el móvil recorre la distancia con
movimiento uniforme, su velocidad es:

espacio

velocidad =
tiempo

La unidad SI de velocidad es el metro por segundo (mis) y es la velocidad

de un móvil que recorre con movimiento uniforme un metro en un segundo.

dde

‘También puede expresarse a velocidad combinando cualquier uni
distancia con otra de tiempo, tal como km/h.

Despejando el espacio en (1) se obtiene:
e=u @
elocidad x tiempo

espacio

que nos indica que en el movimiento uniforme el espacio recorrido es propor.
cional al tiempo.

Ejemplo 1: Expresar en mis una velocidad de 180 kmh
km 1.000 m m

» = 10 — = 180 x —— = 50 —
h 3.500 5 s

32. in CET)

Ejemplo 2: Calcular la velocidad de un móvil que recorre con mau. una
distancia de 39 m en 2 minutos

e=30m, ¢=2min
e 30m m 100 cm m

..— 5—=15 = 025 —
t 2min min 608 s

Ejemplo 3: Calcular el espacio recorrido en
vil cuya velocidad es de 8 em.

cuarto de hora por un mó

=-+de hora = 15 min =9005, = Bemis
8 x 900s

7.200cm = 72m

5. MOVIMIENTO VARIADO

Ex el movimiento de un cuerpo que recorre espacios diferentes en tiem.
pos iguales. Por tanto, unas veces se mueve más rápidamente y posiblemente
¿tras veces va más despacio. En este caso se llama velocidad media (6) al co:
ciente que resulta de dividir la distancia total recorrida (e) entre el tiempo
empleado en recorrerla (}

> e=u 6

La velocidad media representa la velocidad con que debería moverse el
móvil para recorrer con m.u.y en el mismo tiempo la distancia que ha recor
do con movimiento variado.

Por ejemplo, si un automóvil ha ido en 5 horas de una ciudad 4 a otra B
ante 400 km, diremos que su velocidad media ha sido de 400 km + 5 ho-
ras = 80 km. No quiere esto indicar que el automóvil se ha movido siempre
2 razón de 80 km/h, sino que si se hubiera desplazado con dicha velocidad con
‘mau, hubiera tardado el mismo tiempo en ir de 4 a B. Evidentemente en cer:
tos momentos habrá ido más rápidamente y en otros más lentamente, llegan:
do quizás hasta detenerse pero, en promedio, su velocidad ha sido de 80 km.

Para obtener la velocidad instantánea, que esla velocidad del móvil en
un instante dado, es necesario medir la distancia recorrida por el móvil du
rante una fracción pequeñísima de tiempo, y dividir el espacio observado
entre la fracción de tiempo, En los automóviles la velocidad instantánea está
indicada por la aguja del velocímetro.

6. MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.U.V)

Es el movimiento de un cuerpo cuya velocidad (instanténea) experimenta
aumentos o disminuciones iguales en tiempos iguales cualesquiera. Si además

33. mou au ck

la wayectoria e una lines recta, se tine el movimiento reciliaeouniforme

‘mente variado, Sila velocidad aumenta el movimiento es acelerado, pero la
ocidad disminuye es retardado.

Por ejemplo, si observamos un móvil a intervalos iguales 2 y encontra.
mos que las velocidades medidas son 4 mis, 7 mis, 10 més. diremos que el
movimiento es uniformemente variado porque la velocidad aumenta 3 m4 ca
dede.

1. ACELERACIÓN

La aceleración en el movimiento uniformemente variado es la variación
que experimenta la velocidad en la unidad de tiempo. Se considera positivo
en el movimiento acelerado y negativa en el retardado,

Seas, la velocidad del móvil en el momento que lo observamos por pri
mera vez (velocidad inicial) y sea ela velocidad que tiene al cabo del tiempo ¢
(velocidad final) La variación de velocidad en el tiempo £ ha sido un. y la
aceleración será

cambio de velocidad
aceleración =
tiempo

En el SI el numerador de (4) está dado en mis y el denominador en s de
nodo que la aceleración deberá expresarse en (mis) o sen en mist. Luego la

idad SI de aceleración es el mi? y esla aceleración de un móvil cuya veloci-
dad aumenta I mis en cada segundo.

FÓRMULAS DEL M.U.V

Despejando y en (4) resulta:

6)

Puede probarse que el espacio recorrido con movimiento uniformemente
variado e:

em that ©

se elimina el tiempo £ entre (5) y (6) se obtiene otra fórmula útil:
e = of + 2ae m

observar el móvil por primera vez se encontraba en reposo, la velo.
ial es nula, », = 0, y las fórmulas del mx. se reducen a:

34. esa, e=to = 2e (8)
que deberán emplearse cuando no haya velocidad inicial

Estas últimas fórmulas nos indican que en un móvil animado de movi-
miento uniformemente variado y que parte del reposo, I)la velocidad adquiri
da es proporcional al tiempo, 2) el espacio recorrido es proporcional al
cuadrado del tiempo.

Demourci del fármala de espacio, Como e el movimieno unfr-
imement variado velocidad ara poparconaimene al emp rra qu
la veocidad media enel intervalo s igual la vend en dl pete st
del interval o sn enel instante Subtuyendo ne valo del lema en
(ren que

ouais)

+ia

‘obtener el espacio, debemos multiplicar» por ¢ de acuerdo con (3)

wea (she) à = ot eee

Ejemplo 4: En 6 sla velocidad de un móvil aumenta de 20 mis a 56 mis.
Calcular la aceleración y el espacio recorrido.

20mis, © = SOmis,

vo, S6mis — 20m

: =
€ = 08 + La = Ci) x (6) 44% (Omi) x (360) = 228m
Ejemplo : ¿Qué vcd tendrá un mi labo de 30 is acer.

ción es de 360 mímin! y su velocidad inicial es de 72 km/h, siendo el movi
miento acelerado?

‘Como el movimiento es acelerado, la aceleración es positiva, y como las
unidades son diversas, deben reducirse a unidades SI.

a = 360mImin* = 360m/3.600s* = 0,10mis?
km/h = 72 x (1.000m/3.600s) = 20mis
3. + at = 20m/s + 0,10mis? x 30s = 23mis

Un móvil parte del reposo con una aceleración igual a 6,5
m/s?. ¿Cuáles serán su velocidad y el tiempo trascurrido cuando hayarecorri
do 200 ms?

‘Como no hay velocidad inicis

se usan las formulas (8)

e = 20m, 9= 65mkl.

35. PR Per pan
2ae = 2% (6,5mis?) x (200m) = 2.600m2%?

Sacando la raíz cuadrada,

SL.Omis. Luego:

Ejemplo 7: Un tren se mueve a razón de 180 kin, La aceleración negati

va que producen sus frenos es de 03 mist. ¿A qué distancia de la estación y
to tiempo antes deberá el maquinista aplicarlos frenos para detenerlo?

omo el movimiento es retardado, la aceleración es negativa:

La velocidad final es cero porque se detiene en la estación ©. à

= 180kmih = 180 x (1.000m:3.6003) = 50m

Sustituyendo en la fórmula +2 = v2 + 2ae,

ds 0 = (SOmis)?—2 x (0,5mist) x e = 2500m

eat 2 0 = 50m

Omi x 4 2 €

». GRÁFICOS DEL MOVIMIENTO

Para obtener una visión rápida de la forma en que varían el espacio, la
velocidad y la aceleración durante el movimiento de un cuerpo, conviene
representar gráficamente estas magnitudes, En los gráficos se toma siempr

i eliempo ao larg del je briana yas ras magnitudes To rg dele
‘et ado

Por ejemplo, en el movimiento uniforme la velocidad es constante y se
representa por una recta horizontal (ig. 2) el espacio, como es proporcional
al tiempo, se representa por una recta cuya inclinación depende del valor de
eig

En el movimiento uniformemente variado, la aceleración es constante y
se representa por una recta horizontal por encima o por debajo del eje hori

in que In aceleración sea positiva (movimiento acelerado)o negati
va (movimiento retardado), fig. 3.

Como el cambio de la velocidad es proporcional al tiempo, su gráfico es
na línea recta cuya inclinación depende de la aceleración (fig. 5)

El gráfico del espacio es algo más complicado, pero si no hay velocidad
inicial, de modo que e = Fat? el gráfico es el representado en la fig. 6.

En general, el movimiento de un cuerpo es más complejo y unas veces es
acelerado, otras es uniforme y oras es retardado, Por ejemplo, enla ig. 7 se
ha ilustrado La variación de la velocidad de un automóvil de una parada de luz
de tráfico hasta la siguiente, En O su velocidad es cero y empieza a moverse

uniformemente acelerado hasta 4. De 4 a Bel movimiento es

36. uniforme. De Ba Ces uniformemente retardado yla velocidad disminuye, De
Ca Del movimiento es uniforme otra vez. Finalmente de Da Ees retardado
hasta detenerse en E

N

Un caso más general es el ilustrado en la ig. 8. De Aa By de Ca Del
movimiento es acelerado, pero no uniformemente. De Ba Ces retardado, y lo
mismo de Da E. En Ela velocidad es cero, pero el móvil prosigue moviéndose
‘con velocidad negativa, lo que significa que se está moviendo en dirección
contraria de modo que de E a F el movimiento es también acelerado.

10. CAÍDA DE LOS CUERPOS

Es un hecho que observamos repetidamente que todos los cuerpos tien
den a ceer sobre la superficie terrestre, Este fenómeno se debe ala atracción
que la Tierra ejerce sobre los cuerpos próximos a su superficie y que recibe el
nombre de gravedad. Esto et solo un caso particular de una propiedad gene-
ral de la materia denominada gravitación universal. La naturaleza de este mo-
vimiento fue descubierte hace poco más de 300 años por el físico italiano Ga-
Tile Galileo (1.564 — 1.642) (Gg. 9).

Como resultado de mumerosos experimentos podemos enunciar la si.
guiente ley de la caída de los cuerpos

En el vecio, todos los cuerpos caen con movimiento uniformemente ace
lerado, siendo la aceleración la misma pora todos los cuerpos en un mismo lu
gar de la Tierra, independientemente de su forma o de la substancia que los
compone.

Una consecuencia inmediata de la igualdad de la aceleración es que en el
acto todos los cuerpos emplean el mismo tiempo en caer una misma distan
cia ai parten en las mismas condiciones

Mo. retardado

Fig 9. Galileo Gata

37. PA EN

Es necesario especificar en el vacío, porque si la caída se verifica en un
medio como el ir, esta substancia se opone al movimiento, y este opoición
© resistencia depende principalmente de la forma del cuerpo.

Por ejemplo, si se dejan caer en el aire una pluma y una moneda, la mo-
neda caerá más pronto que la plums, pero si caen en un tubo donde se ba
hecho el vacío més perfecto poble, ambos cuerpos, la pluma yla moneda,
‘erin juntos. (Fig. 10).

Come ya e dijo, fe Galileo el primero en estudiar sistemáticamente la
cal de los cuerpos descubriendo lan leyes anteriores. Para comprobar la
igualdad de los tiempos de caída Gallo lanzó dende lo ato de la tore nl
mada de Pia varios cuerpos de substancia y esos diferentes bnervendo que
todos llegaban simultáneamente al sueo, (La resistencia del aire puede
despreciarse cuando se trata de cuerpos compactor y atras inferiores a unos
200 m) Para verificar que el movimiento de caída cs uniformemente acelera
do, Galilee procedió indirectamente observando el movimiento de cada alo
largo de un plano incinado, que es mucho más lento y mis fácil de obeevar,
comprobiado que les esp proporcionales 4 los cuadrados de os
tiempos entonces por indución armó que en la caída ibe verbeal ss
‘cumple la mitm ley y el movimiento era uniformemente acelerado

11. ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD

La aceleración con que caen los cuerpos se llama aceleración de la grave.
dod o simplemente gravedad, y se designa por la letra g. Su valor depende de
las condiciones locales de cada lugar de la Tierra; su valor máximo es en el
polo norte, 9.83 mls, y disminuye a medida que nos acercados al Ecuador,
donde vale 9.78 mls. EI valor en París es 9.809 mist. En los problemas se 10.
mará siempre para mayor sencillez:

8-98 me

12, FORMULAS DE LA CAÍDA Y SUBIDA DE LOS CUERPOS

Las fórmulas que se aplican en la caída de los cuerpos son las mismas del
‘muy. aunque se acostumbra representar la altura o espacio por hy a acele-

por g. Entonces para la caída libre de un cuerpo, osea, sin velocidad
inicil, se tiene:

Bh h=i8%, *=2%k 0)
Para la caída con velocidad inicial las fórmulas son:

+at ao)
haus tt an
CCE a2)

Siel cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba el movimiento de subi
dda será retardado, con lo que a = —g, y las fórmulas serán:

38. ome soma mern m

rer as
h= 04 gr (14)
2h as)

‘A medida que el cuerpo sube su velocidad va disminuyendo, alcanzando
su altura máxima cuando su velocidad se haya anulado. La fórmula de a alt
ra máxima es:

ha = as
2%
que se obtiene » = 0 en (15) y despejando À
El tiempo que tarda en subir es:
u an

y se obtiene » = 0 en (13) y despejando 1.

Ejemplo 8: Calcular la velocidad adquirida yla altura recorrid por un
cuerpo que tarda Ss en caer libremente,

5, = 98mht,
gt = (Omi?) x 56 = 49mis
x (9,8mlst) x (Ss)? = 122,5m

Ejemplo 9: Un cuerpo se deja caer desde una altura de 80 m. Calcular
uénto tardará en caer y con qué velocidad llegaré al suelo,

Bm, g=98mí8,

= N
9 Beak?

= Mh = 2x N X (80m) =1.568m"/! . v= 29,6mh

Ejemplo 10: Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una ve-
locidad inicial de 490 mi. Calcular la altura máxima alcanzada y el tiempo
empleado.

= 490m, — g = 90m

39. (Im
A, =— 1,225m
% 196

Ejemplo 11: Un cuerpo se lanza hacia arr
Caleular la velocidad y su altura 2s después,

on una velocidad de 80 ms

».=80ms, g = 98mis, 1 = 2

gt = 80m/s — (9,8mis*) x (2s) = 60,4mis

om) x (2) — (9.8m x (2 = 140.4

1. ¿Qué es la trayectoria en el movimiento de una partícula?

2, ¿En qué se diferencia el movimiento acelerado del retardado?

3. {Por qué en el aire todos los cuerpos no caen con la misma aceleracic

4. ¿Qué se demuestra con el tubo de la fig, 107

5. ¿Cómo podríamos medir la aceleración de un automóvil observ
velocímetro?

6, Si desde un edificio muy alto se deja caer una piedra, ¿cuándo será may
su velocidad: en el primer segundo o en el quinto?

¿Cuándo será mayor su aceleración: en el primer segundo o en el quint

do

1. Un corredor recorre con m.u. una pista recta de 100 m en 10s, Calcular
su velocidad en mis, emis. R. 10 mis, 1.000 emis

2. Un cielista se mueve con m.u.a razón de 5 m/s ¿Qué distancia podrá re
correr en un cuarto de hora? R. 4,5 km.

3. El sonido se propaga en el aire con una velocidad de 340 m/s ¿Quétiem-
po tardará en escucharse el estampido de un cañón situado a 17 km? A.
50.

4. Un trueno se ha oído 50 s después de verse el relámpago. ¿A qué distan
cia se ha producido el fenómeno? R. 17.000 m = 17 km.

5. Para medir la distancia entre dos buques, uno de ellos lanza simutáne-
mente una sehal por radio y un sonido mediante una campana sumer
gida. La señal de radio llega casi instantáneamente al otro buque,
mientras que la sonora llega algo más tarde. Si el sonido se propaga en
el agua a razón de 1.435 mis y el tiempo transcrurrido entre las dos se-
ales fue 12 s, calcular la distancia entre ellos. R. 17,2 km,

40. 5 de largo. ¿Qué velocidad debe imprimirse a

emo para que vaya hasta el otro y regrese en 1052 À.

La velocidad dela luz es de 300.000 km/s. Calcular el tiempo empleado
por un rayo luminoso en recorrer el Ecuador terrestre, cuya longitud es

de 40.000.000 m. R. 0,135

Un euerpo se mueve con una velocidad de 0.2 km/s. Calcular la distan
cia que recorre en 4. À. 800 m.

Dos trenes parten de una misma estación; uno a 60 km/h y otro a 80
kh. ¿A qué distancia se encontrarán al cabo de 50 minutos (a) si

marchan en el mism
16,66 km, 116,66 km
Dos trenes parten de dos ciudades 4 y B distantes entre sí 400 km con
velocidades de 70 km, y 100 kmh, pero el de 4 sale dos

¿Cuándo se encontrarán y a qué distancia de À (a) si ambos se mueven
uno hacia el otro, (6) si ambos se mueven en sentido de B hacia 4? R. 1
h, 32 min, 246 km; 18 h, 1.100 km.

Un automóvil recorre 350 km en
Re 50 km.

Alo largo de una carretera se tienen tres ciudades 4, By C. La distancia
entre dy Bes 120 km y entre By Ces 180 km. Un automóvil sale de À a
las 7 a.m, Pasa por Ba las 9 a.m. y llega a Ca la 1 pm. Calcular su velo
cidad media entre A y B,entre By Cy entre 4 y C-R. 60 km, 45 kl
50 km

Una pelota rueda con mur. por un plano inclinado. Si parte del reposo.
¿suál es su aceleración si al cabo de 10 s ha adquiriddo una velocidad
de BO cm ¿Qué distancia ha recorrido en ese tiempo? R. B em? dm.

nido (6) si marchan en sentido contrario? R.

as. Calcular su velocidad media.

14, Un automóvil arranca y en 3 minutos adquiere una velocidad de 65
km, Calcular su aceleración y el espacio recorrido. R. 9,20 ems
902,5 m

15, Un cuerpo parte del reposo y recorre 50 m con una aceleración de 8
mis, Calcular la velocidad adquirida y el tiempo transcurrido. R. 283

mé, 35,

16. Qué tiempo debe transcurrir para que un cuerpo que parte del rep
fon una aceleración de 0.4 mé adquiera una velocidad de 500 mb?
Calcular el espacio recorrido. A. 1.250 s, 312.500 m,

Un móvil parte del reposo con maux. y cuando ha recorrido 30 m tien
una velocidad de 6 mis. Calcular su aceleración y el tiempo transcurri
do. R. 60 emis, 10:.

18, Un aeroplano para despegar
qué velocidad despega en km/h y cuál es su al
km, 533 mis

ecorre una pista de 600 m en 15 s. ¿Can
ración en mis? R288,

19, Un automóvil parte del reposo y adquiere una velocidad de 60 km/h en
15. Calcular su aceleración en mit, y el espacio recorrido. Sila acele
ión permanece constante calcular el tiempo transcurrido y el espacio
recorrido cuando su velocidad es de 80 km/h. R. 1,11 mis! 1.250 m/20
1,2222 m.
20, ¿En qué tiempo adquirirá un cuerpo una velocidad de 45 km/h ai parte
con una velocidad de 10 emis y se mueve con una aceleración de 2.5
emis?” RB min, 16 5

41. meet au res pm

21. Calcular la aceleración de un móvil euya velocidad aumenta de 20 km/h
a 80 km/h en 10 min. Hallar el espacio recorrido, R. 0,0277 mh},
83333 m
En un mövi la velocidad disminuye de 50 ms a 10 mis en 4. Calcular
Ia aceleración negativa y el espacio recorrido. R. —10 mis, 120 m.
Un móvil animado de mau. tiene una aceleración de 3 em? y una velo
cidad inicial de 2 m/s. Calcular su velocidad y el espacio recorrido
bo de 10, Resolver el problema suponiendo primero que el movimien-
10 es acelerado y después que es retardado. A. 2,3 mis, 21,5 m, 1,7 mis,
185 m.
Un automóvil cambia su velocidad de 18 km/h a 72 kmh a recorrer 200
mm. Calcular su aceleración y el tiempo. R. 0.9375 m/s, 16 s.
Un avión aterriza con una velocidad de 84 kml y se detiene después de
recorrer 120 m. Calcular la aceleración retardatriz producida por los
frenos y el tiempo transcurrido. R. 2,26 mis, 10,28.
El velocímetro de un auto marca 45 m/h cuando se aplican los frenos, Si
«el auto se detiene en 2.84. ¿cuál ha sido la aceleración negativa yla dis
tancia recorrida? R. —446 mi, 17,5 m.

Desde un buque es lanzado un avión mediante una catapulta de 3.5 m.
Si la velocidad adquirida es de 140 km/h, calcular la aceleración. R.
216 mié.

Un elevador arranca con una aceleración de 1 me hasta alcanzar su
máxima velocidad de 20 mi. Va entonces deteniéndose con una acele-
ración retardatriz de 2,5 més, Calcular la distancia recorrida y el tiem-
po empleado. R. 280 m. 28 2
Un tranvía parte del reposo y se mueve durante 15 s con una acele
ción de 1 mis. Se suprime la corriente y continúa moviéndose 10 s con
movimiento retardado a causa de la fricción con una aceleración de 5
emit, Finalmente se aplican los frenos y se detiene en 5s. Calcular la
distancia total recorrida. R. 296,25 m.
‘Un bote motor aumenta su velocidad de 8 km/h a 30 km/h con una ace-
leración de 0,042 ms, Calcular el tiempo empleado y el espacio recori-
do. R 2,44 min. 771,5 m.
(Un cuerpo cuya velocidad es de 3 ms experimenta una aceleración de
40 cm. ¿Cuál será su velocidad cuando haya recorrido 10 m? ¿Qué
tiempo habrá transcurrido? Considerar ambos casos: movimiento acele-
rado y retardado. R. 4,12 mis, 284, 1 mis, 5.
Un cuerpo se mueve durante 3 con m.u.s. recorriendo 81 m. Cesa enton-
ces la aceleración y durante los 3 siguientes recorre con mau. 72 m.
Calcular la velocidad inicial y la aceleración. A. 30 m/s, —2 mi
Un tren va a 60 km/h. ¿Cuánto tiempo y a qué distancia antes de Negar
In estación deberá el maquinista aplicarlos frenos si la aceleración re-
tardatriz que ellos producen es de 1.000 mnin? R. 1 min, 500 m.
Desde un globo en reposo se deja caer un cuerpo. ¿Qué velocidad
tendrá y qué distancia habrá caído al cabo de 10 4? R. 98 mle, 490 m.
Resolver el problema anterior si el globo baja a razón de 12m. R. 110
mh, 610 m.

42. Siel globo del problema 34 se encuentra a una altura de 4.900 m, ¿qué
tiempo tardará el cuerpo en llegar al suelo y con qué velocidad llegará?
R 31,6 5,3098 mis.
Un cuerpo dejado caer libremente llega al suelo con una velocidad de
29,4 mis. Determinar el tiempo empleado en caer y la altura del punto
de partida. R 3, 441 m.
Si un cuerpo cae en 4 s partiendo del reposo, calcula la velocidad con
que llega al suelo y la altura del punto de partida. R. 39,2 mis, 7,4 m.
Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de
20 mis. ¿En qué instante su velocidad será de 6 m/s y a qué altura se en
contrará? R. 143 3,1858 m.
¿Qué velocidad inicial debe därsele a un cuerpo para que caiga 980 m
fen 105? ¿Cuál será su velocidad al cabo de os 1052 R. 49 mis, 147 mi
Una piedra es lanzada en un pozo de una mina con una velocidad inicial
de 32 m/s y llega al fondo en 3 3. Hallar la profundidad del pozo y la ve
Iocidad con que llega. R. 140,1 m, 61,4 mis
Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de
49ms. ¿A qué altura llegará y cuánto tardará en volver al suelo? A.
1225 m, 105.
Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba regresa al cabo de 8 s
la velocidad inicial y la máxima altura alcanzada? À

¿Con qué velocidad inicial fue lanzado un cuerpo que cuando ha subido
$ em posee una velocidad de 2 ms? ¿Qué tiempo ha estado subiendo?
R. 2,23 mis, 0,023 s.

¿Qué altura ha caído y con qué velocidad inicial fue lanzado un cuerpo
que en 10 s adquiere una velocidad de 118 m/s? R. 20 mis, 690 m.
Resolver el problema anterior si el cuerpo es lanzado hacia ariba. R.
216 mis, 1.670 m.

43. Vectores
Composición
de movimientos

1. ESCALARES Y VECTORES

En Física existen dos tipos muy importantes de magnitudes que son los
escalares y los vectores.

Magnitudes escalares, o simplemente escalares, son aquellas deter
das exclusivamente por su medida cuando se toma une unidad convenient
Por ejemplo, para especificar el volumen de un cuerpo basta con indicar
cuantos m? tiene; para conocer la temperatura del ambiente s6lo se requiere
leer en un termömein el tiempo es suficiente tener un reloj.
Las magnitudes es sn completamente mediante un número.

Magnitudes vectoriales, o simplemente vectores, son aquellas que para

su completa determinación requieren que se especifique una dirección ade-

más de conocer su medida. Por ejemplo, para precisar completamente el mo

0 de un barco en alta mar no basta con dar el valor de su velocidad, di-

is, indicar la dirección en que se mueve,

su posición en un instant posterior

velocidad es una magnitud vectorial. También lo e la acelera
ción, ya que está asociada con la dirección en que cambia la velocidad.

Los vectores se representan mediante segmentos que tienen la dirección
del rector y una longitud proporcional a su intensidad; el segmento leva una
saeta para indicar el sentido. En la fig. 1 se han representado dos vectores
que tienen la misma intensidad, pero direcciones opuestas

a y una flecha enci

En las fórmulas un vector se representa por una I

El desplazamiento de un cuerpo es ur
pecifiarlo es necesario indicar no sólo la dis
po sino además la dirección en que se movió.

nit vectorial, pues para es.
cia que se ha movido el.euer-

44. En el movimiento rectlíneo la velocidad se representa por un vector que
tiene la misma dirección que la trayectoria. Si el movimiento es uniforme el
vector velocidad tiene siempre la misma magnitud (fig. 2). S el movimiento
es variado, ol vector velocidad tiene una magnitud variable mumentando o dis
minuyendo según que el movimiento sea acelerado o retardado, En el movi
miento uniformemente acelerado la aceleración es un vector que tiene la mis
ma dirección que la velocidad (ig. 2b), pero si el movimiento es retardado, I
aceleración es negativa y por tanto se representa por un vector que tien la di
rección opuesta a la velocidad (ig. 20),

ge oe
wf —_ E

2. SUMA DE DOS VECTORES

La suma o resultante de dos vectores se obtiene construyendo el parale-
logramo determinado por los segmentos que lor representan, La diagonal
representará entonces el vector résultante o suma À (Fig. 3) Este método se
llama regla del paralelogramo. Se puede escribir que:

E =P, +7,

Estaigualdad es completamente diferente de R =
ral no se cumple en este caso,

y, + a que en gene-

En efecto, la magnitud del vector sume puede ser igual o menor que la
suma de las magnitudes de los vectores componentes, Si los dos vectores
tienen la misma dirección, la magnitud del vector suma o resultante e La su-
ma de las magnitudes de los componentes (ig. 4), pero si tienen direcciones
puestas, la magnitud del vector suma es igual a su diferencia (figura 5}

Silos dos vectores son perpendiculares fig. 3b). la magnitud del vector
résultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:

ETA

En realidad, no es necesario construí el paralelogramo y puede obtener.
sc el vector resultante trazando por el extremo B del segmento que representa
el primer vector un segmento BA igual y paralelo al segundo vector; el seg-
mento OA representará el vector suma. (Fig, 6)

Fi. Reg e prior.

Fi. Sama de vc

45. mecca a ek ones
3. DIFERENCIA DE DOS VECTORES

La diferencia de dos vectores, sea Ty ~ 7 ¿,se obtiene sumando al pr
mero o minuendo el vector opuesto o negativo del segundo o sustracado. (Fig.

2

SUMA DE VARIOS VECTORES

+ Para sumar varios vectores se coloca el rigen del segundo sobre el extre-
mo del primero, el origen del tercero sobre el extremo del segundo y así suce
sivamente hasta el último vector (ig. 8). El segmento OD que va del origen
del primer vector al extremo del último representa el vector suma o resultan:
te. El orden en que se tomen los vectores para sumarlos es indiferente porque

ZO Ji à como ne us vecron
eee. ae
& Un vector puede descomponerse en otros dos que tengan direcciones de-
Fig. 8. Poligono de vectores. terminadas. Por ejemplo, para descomponer el vector R = 04 (fig. 9 en otros

dos según las direcciones y 2e trazan por el extremo de AR as rectas AC y
AB paralelas respectivamente alas direcciones 1 y 2. Los segmentos OB y OC
{epresentan entonces las componentes de Ren ls direciones pedida, Cuan-
do el ángulo entre 1 y 2es recto, se obtienen las componentes rectangulares,
(Gg. 10) tas componentes rectangulares son ls usadas más frecuentemente.

6. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS

Supongamos que un cuerpo se encuentre sometido simultáneamente ala
acción de varios agentes que le imprimen velocidades. La velocidad resultan-
te del movimiento que en definitiva adquiere el cuerpo esla suma vectorial de
las velocidades de los movimientos componentes.

Por ejemplo, supongamos que un bote motor (figura 11) tiende a mover.
se en dirección norte con una velocidad Y, = 72 kmi en un lugar donde la
corriente tiene dirección Este y una velocidad Y, = 20 km/h. Entonces la ve
locidad resultante Pr, del bote es la suma vectorial dela velocidad 7”, del bo-
te sobre el agua más la velocidad P dela corriente.

Como se trata de vectores perpendiculares la magnitud dé la velocidad
resultante se obtiene aplicando (1).

Be AR + 20 = 74,12 kmh

La corriente desvi el bote hacia el Este un ángulo ce
puede determinar en el gräfic hecho a esca
Andlogamente, como ls aceleraciones son vectores, pueden también su.
mare vectorialment para obtener la relación resultan.
Un ejemplo interesante es el de la caída de un cuerpo por un plano inl
do, (65.12) La aceleración de la gravedad 2" es un vector endireeción ver
tical hacia abajo. Determinendo las componentes rectangulares según las di

15°33", que se

46. ces rs corses € mp 0

recciones AP y AN que son paralelas y normales respectivamente al plano re.
sulla que la aceleración de caída del cuerpo a Jo largo del plano es 4° . Esta
aceleración es tanto menor cuanto menos inclinado está el plano.

7. MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Otro ejemplo muy importante de composición de movimientos es el movi-
miento de los proyectiles lanzados horizontal u oblicuamente, (fig, 13) que re-
sulta de combinar un movimiento uniforme con velocidad +, y un movimiento
vertical uniformemente variado con la aceleración g.

En la Fig. 13 tenemos el caso de un proyectil lanzado horizontalmente,
resultando la trayectoria parabólica PABC... Los puntos ABC, indican las
posiciones al cabo des, 2s, 35, ete

En la fig. 14se tiene el caso en que la dirección de la velocidad inicial ve
forma un ángulo à con la horizontal, El ángulo «ee llama éngalo de tiro. Sila
Tierra no ejerciera ninguna acción sobre el proyectil, su trayectoria seria, en
ambos casos la recta PA'B'C”... donde se ha supuesto que las posiciones A ~~ €
BY, C'. son ocupadas al cabo de 1 3,25, 3 s, ..Sin embargo,

aceleración de la gravedad el proyectil al cabo de 1 deberá encontrarse en la

posición 4, directamente debajo de 4”, a La distancia 4'4 = 112g (1), que es

lo qu se en deacuerdo con a femulah = Hg al abode 2 cn |
contrará en B siendo B'B = 12 g (2) y asi sucesivamente. La trayectoria

PABC..descrita por el proyectil es una parábola. La distancia del punto P
donde es lanzado, al punto Q, donde cae el proyectil, se llama alcance. El al:

‘cance máximo se obtiene cuando el ángulo de tro es de 45°.

PREGUNTAS

L. Establezca la diferencia entre un escalar y un vector,

2. ¿Essiempre la medida del vector resltante mayor que las medidas de los €

e

componentes? I \
3. ¿Qué son componentes rectangulares? ¿Es siempre un vector mayor que

sus componentes rectangulares? \
4. ¿Depende la suma de varios vectores del orden en que se tomen éstos? \
5. Haga una lista de magnitudes escalares y vectoriales que le son fami- P12 Tryna de a propel nude

47. PROBLEMAS

(Tados los problemas de este grupo deben resolverse gráficamente con
»

Dos vectores cuyas magnitudes son 6 y 9 unidades forman ángulos de

() 0, (0) 6%) 90%) 140" () 180° Haar su rate RS,

1307, 1081, 34

Hallar el ángulo entre los dos vectores anteriores si su re

una magnitud igual a 12 unidades, R. 75" 30

El vector resultante de otros dos tiene una magnitud igual a 10 unida

des y forma un ángulo de 35" con uno de los vectores componentes cuya

magnitud es 12 unidades, Hallar el otro vector componente y el ángulo

nue ellos. A 6,8, 125",

Hallar el ángulo que forman las direcciones de dos vectores cuyas mag:

nitudes son 8 unidades y 10 unidades si a dirección del vector resultan

te forma un ángulo de 50° con el segundo, Calcula ta

resultante. R. 123°, 87.

regla, compás y semicírculo graduas

Hallar las componentes de un vector de 10 unidades según dos dire
ciones que forman un ángulo de 70° si el vector forma con una de ellas
un ángulo de 40°. R. 5,3, 68.

Hallar la componente de un vector de 10 unidades en una dirección que
forma un ángulo de 45° con la del vector. R.

Se tiene tres vectores Y, = Gunidades, Vz = 5 unidades y Vy = 4 uni
dades. El ángulo entre las direcciones de Y, y Ves de 50° y entre

Vay Ves de 75°. Hallar el vector resultante, R. 99] unidades

Se tienen cuatro vectores Y, = 4 unidades, Y, = 6 unidades
unidades y M, = 3 unidades. Los ángulos que as d

y Fa forman con la de Y, son 70"; 150° y 200°. Hallar el vector resultan:
te R76.

Se tienen cinco veetores V = 7 unidades, Y, = 5 unidades, Vy = 9
vnidades, Ya = 4 unidades, VS = 6unidades. El ángulo entre cada vec
tor y Pres 45", 150°, 250° y 300° respectivamente. Hallar el vector re:
sultante, R. 4468 unidades.

Un nadador va a cruzar un río cuya velocidad es de 3 km/h, Si el nada
dor va a razón de 10 m.min. ¿cuál es su velocidad resultante? R. 51

‘de

Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 40 m/s, y un &
de 30°. Calcular: A) El alcance máximo; B) Su altura máxima; C) Posi
ción al cabo de 2° S. R. A) 141,28 m; B) 20,4 ms; C) 69,28 m y 20,4 m.
Cuál debe ser el ángulo de lanzamiento de un proyectil para que su al
ture máxima corresponda a 15 de su alcance máximo. R. 11*18'5”,

Con qué velocidad fué lanzado un proyectil si al cabo de 3 segundos
se encontraba a una altura de 20 m y su ángulo de inclinación fué de
37. RV = 355 mb.

48. Movimiento curvilineo

1. MOVIMIENTO CURVILINEO

El movimiento cursilineo es aquel cuya trayectoria es una línea curva
Este es el caso más frecuente, pues solo en condiciones muy especiales el mo

Cuando la trayectoria es una curva conocida se le da un nombre específ
co. Por ejemplo, si la trayectoria es un círculo se llama movimiento circula; si
«es una parábola, se tiene el movimiento parabólico; si es una elipse, tenemos
un movimiento eliptico, et.

2. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO
URVILINEO

En el movimiento curvilino la velocidad se representa por un vector cu
ya magnitud es igual al espacio recorrido en la unidad de tiempo y cuya direc
ción es tangente a a trayectoria

En la fig. 1,77" es la trayectoria y el vector velocidad se ha indicado en
cuatro posiciones diferentes 4, B, Cy D.

49. EA En

Obsérvese que en el movimiento curvilíaco In velocidad en general y
en magnitud y en dirección, mientras que en el movimiento rectilíneo es sólo
la magnitud la que vara,

La aceleración en el movimient

curvilíneo se debe al cambio en ma
tud y dirección de la velocidad. Se representa por un vector cuya dirección
‘coincide con la dirección en que cambia la velocidad y por elo esta siempre
del lado cóncavo de la trayectoria como se ha ilustrado en las posiciones 4, B
y D de la fig. 1. La aceleración en el intervalo e calcula por la relación vec:
torial

cambio del vector velocidad
vector aceleración = Re

tiempo

En la fig. 2 se ha ilustrado la traycctoria de un proyectil, También se ha
representado la velocidad en varias posiciones apreciändose los cambios en
magnitud y dirección. También se ha representado la aceleración que en este
‘caso es un vector constante en magnitud y dirección por tratarse de la acele-
ración g de la gravedad.

3. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
DE LA ACELERACIÓN

Como en general la aceleración es oblicua a la velocidad, resulta conve:
niente veces descomponer la aceleración en la dirección tangente a
0 sea paralela ala velocidad, y la dirección perpendicular a
fig, 8 se ha ilueado la descomposición de la aceleración

velocidad. En le

si la tangente
PT y la normal PN. La componente 87 so llama aceleración tangencial yla
componente a, es la aceleración normal o centripeta.

In tangencial está asociada con el cambio enla magnitud de
mientras que la aceleración normal o centripeta se debe al cam
bio en la disección de la velocidad.

50. ET ee core 9
4. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Es el movimiento de una particula que describe un circulo recorriendo
espacios o arcos iguales en tiempos iguales cualesquiera.

Si suponemos unido el móvil À (fig. 4, al centro del
radio 04 = R describe también ángulos iguales enti

culo, entonces el
mpos iguales

Sea el tiempo empleado por el móvil en recorrer el arco AB y sea D el
ángulo deserito por el radio, medido usualmente en radianes. Entonicos lave
locidad angular es el ángulo descrito por el radio en Ia unidad de tiempo. De
signándola por tenemos:

8 rad
a (0)

La unidad Sl de velocidad angular es el radiän por segundo, que es la ve
locidad angular de una partícula cuyo radio describe un ángulo de un tadián
cada segundo con movimiento circular uniforme.

Período es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta o revolución
‘completa. Designándolo por T tenemos que sien el tiempo t da a vueltas, el
período serás

T=+ @)

‚Como resulta cn una vuelta completa hay 2x radianes, resulta haciendo 0
= 2x rad, = Teen (1) que:

@)

Frecuencia es el número de revoluciones efectuadas por el móvil en la
unidad de tiempo. Designändola por ftenemos que si en dar n vueltas emplea
el tiempo £ la frecuencia será.

s=+ (4)
Moltplicando (2) y (4) se obtiene
Mato fot 6)

de modo que la frecuencia es el inverso del período.

en el SI es el heriz, abreviado He, que corres
por segundo, Este nombre se escogió para honrar al
científico alemán Heinrich Hertz (1857-1894), descubridor de las ondas
clectromagnéticas.

En el M.C.U. la velocidad es un vector constante en magnitud pero cuya.
dirección está cambiando por ser siempre tangent al círculo.

Como al dar una vuelta completa el móvil recorre el espacio 2x R emple-
ando el tiempo T, su velocidad será, aplicando y = ef:

51. 2 mmc nu eek > pa
25

ve (6)
ri
que, recordando (3), puede escribirse también en la forma
ov =oR m

indicando que la magnitud de la velocidad es proporcional a la velocidad an
gular y al radio

or ejemplo, si tenemos un disco D (Gi. 5) girando alrededor del eje EE”
con velocidad angular todas sus partículas están animadas de M.C.U. con la
misma velocidad angular. Sin embargo, sus velocidades son tanto mayores.
uanto más separadas del centro se encuentren, siendo proporcionales a las
¿distancias 04, OB. lo cual se comprende porque las que están más separa
das del centro tienen que recorrer una distancia mayor en el mismo tiempo
que las otras.

Ejemplo 1: Un móvil animado de M.C.U. deseribe un ángulo de 2.20 rad
en2 ¿Sie radio de la circunferencia descrita es de 40 em calcular (a) su velo.
cidad angular; (6) su velocidad; (c) su período; (d) su frecuencia.

0=2205ad, + R= 40cm
rad
(a) © ==
1 0% s
(6) © = WR = (11 radis) X (40cm) = 440emis
2x 2x 628rad
() o=— T=— 0,57
T © Uradis
1 rev
— = 1,75 —o 1,75H2
05% .

Ejemplo 2: Un disco que está animado de m.c.u. da 120 revoluciones por
minuto (r.pam.) Calcular (a) su período; (D) frecuencia; (c) velocidad angular,
y (2) la velocidad de un punto de periferia si tiene un didmetro de 3 m.

n= 120 vueltas, —¿=1min=60, R=3m+

15m

(o) T

(6) f=

1
E

52. cmt omens ums 5

d
@e = 12,56radis

(d) » = oR = (1256radís) x (15m) = 18,84mis

ACELERACION CENTRIPETA EN EL MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME

Hemos explicado que en el movimiento circular uniforme la velocidad
permanece constante en magnitud pero varía en dirección.

Por tanto, en el mea. no hay aceleración tangencial y sólo hay acelera:
ción normal o cenípreta, o sea la aceleración en el macau. es perpendicular a
la velocidad, (fig. 6). Como la velocidad es tangente al circulo, es perpendieu-
lar al radio. Luego la aceleración en el m.c.u. tiene la dirección del radio y es.
vá dirigida hacia el centro. Por eso se llama "centrípeta

La aceleración centrípeta puede calcularse por una cualquiera delas si
guientes expresiones.

sR
= ? Ra
R Ti

(6)

6. DEMOSTRACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE La
ACELERACIÓN CENTRIPETA

Consideremos dos posiciones A y B muy próximas del móvil, (ig, 7) En
cada una se ha indicado el vector velocidad, Por un punto cualquiera C’ trace
mos dos vectores CA” y CP iguales y paralelos respectivamente a la velocidad
en Ay en B. Entonces notamos que:

cambio del vector velocidad = A
De acuerdo con la definición de aceleración tenemos que:

cambio del vector velocidad.
vector aceleración = EO

tiempo

y por tanto en medida resulta

4B

celeraciôn centrípeta =
7

Pero los triángulos ABC y A°B'C" son semejantes. Luego:

53. sa nc a fra pan
AB’ = AB A'C' x AB_ u x AB

ac AC AC R

Sustituyendo en la expresión de a:

vx4B +
Rxt oR

‘Ahora bien, el espacio recorido por el móvil es el arco AB de modo que:

arco AB

= velocidad linea

Pero si el tiempo transcurrido es muy pequeño, el arco AB es práctica
mente iguala la cuerda AB por lo que:

AB

Sustituyendo en la expresión anterior para a resulta finalmente que:

que es la expresión buscada, Las otras dos expresiones se obtienen a partir de
la anterior, teniendo en cuenta que y = oR yw = 24/7.

Obsérvese que debemos considerar un tiempo muy pequeño porque
queremos la aceleración instantánea. De otro modo resultaría la aceleración
media,

Ejemplo 3: Un automóvil describe una curva cuyo radio es 50 m con una
velocidad de 54 km/h. Calcular su aceleración centripeta

v = Skmh = 54 x 1.000m/3.6008 = 15mis

2 (1S ms)? m
a =— = —— = 4,50 —
R 50m $

Ejemplo 4: Del extremo de un hilo de 40 cm de longitud se amarra una
que se hace girar a razón de 30 revoluciones por minuto. Calcular la
aceleración centrípeta de la piedra,

R=4em, n= 30rev, ¢ = 1m = 605

eo 6s
T=—=
n° 30rev

= 2

54. Qn %
ws —= —= radio
T 2

a = wR = (x radis} x (40 em) = 394,78cm/sz

TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN

El movimiento de rotación puede trasmitirse fácilmente de un cuerpo a
‘otro mediante correas y engranajes, lo que es de gran valor industrial y técni
co. Por ejemplo en las bicicletas ol movimiento de los pedales se transmite a
la rueda trasera mediante una cadena que ajusta perfectamente en dos ruedas fy. Tsuna dl meinen
dentadas. er

En la fig. 8 se tiene la transmisión del movimiento de rotación de la
rueda 4 a la rueda B mediante una correa y enla fig. 9 e tiene el caso de de
ruedas dentadas. Si R, y R, son los radios de las ruedas y y us, us vel
des angulares hay entr ells la siguiente relación

R=uR 0)

© seu, las velocidades angulares de las dos ruedas son inversamente propor
sionales a sus radios respectivos,

En efecto, considerando la fig. 8, la velocidad lineal de os puntos de los
bordes de las dos ruedas es la misma a causa de la correa; luego, apli
«cando (De

v=uR aR

oR = Re

La misma demostración puede hacerse con la fig. 9, pues la velocidad li
nel del punto de contacto debe ser la misma en ambas ruedas.

PREGUNTAS.

1. ¿A qué se debe la aceleración centrípeta en un movimiento curvilínco?

2. ¿A qué se debe la aceleración tangencial en un movimiento curvilínco?

3. ¿Cuál es el valor dela aceleración tangencial en el movimiento circular
uniforme? Explique.

4. ¿Cuál es el valor dela aceleración centrípeta en el movimiento reetilineo?
Explique.

5. En un movimiento circalar uniforme, a) la magnitud, b)la dirección de la

velocidad, ¿permanece constante o es variable?

6. En una hélice de un avión, ¿qué partículas tienen a) mayor velocidad
angular, b) mayor velocidad línea: las que están pröximas al extremo 0
próximas al eje?

7. Silla frecuencia de un m.c.u. aumenta, ¿qué le ocurre al período y a la
velocidad angul

55. smart au ek taint

¿Cuál es la velocidad angular de un disco que gira 13,2 radianes en 6

5? ¿Cuál es su período? ¿Cuál es su frecuencia? R. 22 rad, 2856 +,

0,35 He

‚Que tiempo necesitará el disco anterior (0) para girar un ángulo de

780", (b) para dar 12 revoluciones? R. 62 s, 343 s

Calcular la velocidad angular de cada una de las tres agujas de un

reloj. R. 6,28 radimin, 0,1047 rad/min, 0,0087 radímin.

Una rueda da 120 revoluciones por minuto teniendo un diámetro de

3 m. Calcular (a) su frecuencia; (5) su período; (c) su velocidad angu:

Jar; (d) la velocidad lineal de un punto del borde de la rueda. À. 2

rev, 05 s, 12,56 radh, 18,84 ms

Un disco de $0 cm de radio da 400 revoluciones en $ minutos. Calcular

(a) su frecuencia; (6) su período; () su velocidad angular y (d) la veloc

dad lineal de los puntos de su periferia. R. 1,33 Hz, 0,75 s, 837 radk,

3,18 mi

La velocidad angular de un cuerpo que gira es 4 radi. Calcular (a) el

Angulo girado en 02 s expresado en radianes y en grados; (b) el tiempo

necesario para girar 120°; (c) su período de rotación; (4) su frecuencia.

ROB rad, 45° 51°, 052 6, 157 6, 0530 Ha.

Bajo la acción del viento una puerta gira un ángulo de 90° en 5 s. Cal

cular su velocidad angular yla velocidad lineal de los puntos del Borde

si el ancho de la puerta es de 50 cm. À 0,314 radls, 0,157 ms

Un disco cuyo radio es 30 em recorre rodando una distancia de $ m en

6 s. Calcular (a) el número de vueltas que did (5) su período; (c) su ve

locidad angular. R. 2,65 vueltas, 2,26 s, 237 radk.

Calcular las velocidades angular y lineal de la Luna sabiendo que da
ta alrededor de la Tierra en 28 días aproximadamente

y que la distancia media entre estos dos planetas es 3822 x 10% km. Cs

cular también su aceleración centipeta. R. 2,585 x 10%, rads, 989, ms

255 x 107 més,

Un automóvil describe una curva de 500 m de radio con una velocidad

de 90 km. Calcular su aceleración centripeta. R. 1,25 mis.

Un cuerpo describe un mu. con un radio de 60 cm. Si da 120 vueltas

por minuto, ¿cuál es su aceleración centripeta? R 94,65 mi?

56. Dinámica

1. INTRODUCCIÓN

En los capítulos anteriores solo hemos estudiado diversos tipos de movi
io sin preocuparnos de las causas que los producen. Ahora vamos a estu
diar ls causas que producen los movimientos y los principios generales que
rigen dichos movimiento.

Estos principios generales son tres: Principio dela Inercia, Principio de
lo Fuerza y Principio de la Acción yla Reacción. Fueron enunciados en 1667
por Sir Isaac Newton (1692-1727), (Gig. 1) y no pueden probarse directamen-
Te por medio de experiencias realizadas en el laboratorio, sino solamente a

avés de las consecuencias que de ellos se derivan. No obstante existen expe
Fimentos que pueden considerarse como demostraciones aproximadas de es
tas leyes.

PRINCIPIO DE LA INERCIA

Se llama partícula libre a toda partícula lo suficientemente alejada de to
das lus otras como para no experimentar acción alguna procedente de dichas
partículas

Principio de la Inercia: Toda partícula libre se encuentra en reposo o en

Como corolario importante dl principio de la inercia tenemos que si ins
tantineamente desaparecen las acciones que se ejercen sobre una partícula,
ésta continuará moviéndose con movimiento rectilínco uniforme con la mis.
ma velocidad que tenía en el momento en que cesaron de actuar los agentes
exteriores, Este hecho se comprueba cuando, por ejemplo, vamos en un ve
hiculo que se detiene bruscamente: nos sentimos impulsados hacia adelante
porque tendemos a conservar la velocidad que teníamos.

F

57. Consideramos una bola situada sobre una mesa plana, horizontal y pul
mentada. Puede admitirse que aproximadamente la bola es un cuerpo libre y,
mientra no se ejerza ninguna acción sobre ella, permanecerá en reposo. Sie
amos un golpe, la bola adquiere cierta velocidad. Después del golpe la bola

sente un cuerpo libre y continúa moviéndose con movimiento rec

3. PRINCIPIO DE LA FUERZA

Del principio de la inercia se concluye que para mantener un cuerpo en
movimiento rectilineo uniforme no es necesaria la acción de ningún agente
externo, Por otra parte, para mantener un movimiento curilineo o variado es
necesario aplicar sobre el móvil une acción exterior que se llama fuerza. Co
mo lo característico del movimiento curvlineo o del variado esla existencia
de una aceleración tenemos que:

Fuerza es todo agente, que, actuando sobre un cuerpo, es capaz de pro.
Aucir y mantener una aceleración, modificando por consiguiente la medida
yo la dirección de la velocidad dei cuerpo.

Para completar esta definición de fuerza es necesario determinar la mo.
ido de las fuerzas, Ese es esencialmente el contenido del segundo principio.
Previamente se requiere la introducción del concepto de meso. Es una expe
riencia cotidiana que unos cuerpos son acelerados más fácilmente que otros.
Podemos decir entonces que la masa es un coeficiente característico de cada
cuerpo que determina la forma en que el cuerpo es acelerado al aplicarle una
fuerza, La masa de un cuerpo puede determinarse experimentalmente obser
vando cómo se comporta el cuerpo bajo la acción de una fuerza conocida,

Entonces el enunci
guiente:

lo del segundo principio de la Dinámica es el si

Principio de la Fuerza: la fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual al
producto de la masa del cuerpo por la aceleración producida por la fuerza. O

F=ma
Fuerza = masa X aceleración
donde F es la fuerza, m la masa y a la aceleración
Del enunciado del segundo principio se concluye que la aceleración de

un cuerpo es proporcional a la fuerza que actúa sobre el cuerpo, siendo la ma-
sa del cuerpo el coeficiente de proporcionalidad

La fuerza es una magnitud vectorial porque la aceleración también lo e,
La fuerza yla aceleración tienen la misma dirección (fg. 2). Por tanto, la rela:
ción (1) debe más bien escribirse en la form:

Feng

58. am mic
4. UNIDADES DE FUERZA

La unidad SI de fuerza es el neuton, y es la fuerza que actuando sobre
una masa de un kilogramo le imprime una aceleración de un ms". O seu:

ewton = kg x mis?
El newton se designa por N.

Algunas veces se emplea como unidad de fuerza la dino, que esla fuerza
que actuando sobre una masa de un gramo le imprime una aceleración de un
¿me O sea:

dina = gm x ems?
cumpliéndose que:
1 newton

100.000 dinas = 10° dinas

En efecto:
1 newton = Lkg x mi? = 1.000g x 100cmís* = 100.000 dinas
¡ón de3

Ejemplo 1: Un cuerpo cuya masa es de 24 kg posee una ace
mis? Calcular la fuerza aplicada,

kg, 2=3m

F = ma = 24kg x 3mh? = 72N

Ejemplo 2: Sobre un cuerpo cuya masa es de 20 kg actin una fuerza de
40N. Calcular la aceleración producida

5. PESO

El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción que la Tierra ejerce sobre
el cuerpo. Como todos los cuerpos caen con la aceleración g, debida a esta
fuerza, resulta aplicando (1), que el peso P de un cuerpo de masa m es:

P = mg.
Siendo el peso una fuerza, se mide en newtons
‘Como la aceleración de la gravedad g es la misma para todos los cuerpos.
en un mismo lugar de la Tierra resulta de (2) que el peso de un cuerpo es pro
porcional a su masa. Dado que g = 9,8 mist el peso de un cuerpo expresado
en Nes aproximadamente igual a dier veces su masa expresada en kg,

Por otra parte, la aceleración de la gravedad varía de un lugar a otro de
la Tierra y por tanto el peso de un cuerpo es diferente en lugares distintos de
la Tierra, siendo máximo en el polo y mínimo en el Ecuador. También varía
con la altura

59. La proporcionalidad entre el peso y la masa de un cuerpo ha llevado a
que en el lenguaje corriente se usen los dos conceptos como equivalentes y se
refiera uno al peso kilogramos, p 10, yenlos problemas
de Fisica hay que diferencia claramente el peso yla masa y sus unidades res

6. MOMENTUM

Se llama momentum o cantidad de movimiento de un cuerpo al producto
de su masa por su velocidad. O sea

p=m 0)
‘momentum = masa X velocidad
En el SI el momentum se expresa en kg mA.

El impulso de una fuerza es el producto de su intensidad por el tiempo
que ha estado actuando. O ses

1=R w

1=p- po 6)

Esta manera de definirla fuerza es más general que la expresión F = ma
Imbien a cuerpos cuya masa varía durante el movimiento, Un ca
pérdida de masa se

y se aplica

30 interesante de cuerpo de masa variable es un cohet
debe a la expulsión de los gases de combustión.

Demostración. La fuerza que actin sobre un cuerpo es:

Recordando que

se tiene que:
AA EEE Pc,
1 1 Y

de donde: I = Ft = pp.

Ejemplo 3: El momentum de un cuerpo cambia de 400 kg m/s a 600 kg
nis en 105, moviéndose con aceleración cosntante a lo largo de una linea ree
ta. Calcular a) la fuerza que actún sobre el cuerpo, b) el impulso.

Usando (5)
pp. 60Okg/mis — 400kg mis

F —— =20N
ë 10s

60. one cae

Para el impulso tenemos:

I = pp. = 600 — 400 = 200Ns

7. TERCER PRINCIPIO DE LA ACCIÓN Y LA REACCIÓN

El enunciado de este principio es el siguiente:

Siempre que un cuerpo A ejerce sobre otro B una fuerza. el cuerpo B
ejerce sobre A otra fuerza de igual intensidad pero de dirección contraria.

Es frecuente llamar acción a una de las fuerzas, y reacción a la otra. Es
indiferente especificar cual de las dos fuerzas esla acción y cuál la reacción:
lo esenciales que las dos fuerzas son igu y actian sobre euer
pos diferentes,

ILUSTRACIONES

à hélice de un barco impulsa el agua hacia atrás; el líquido ejerce una
fuerza igual y contraria sobre el barco haciéndolo avanzar. Otro tanto ocurre
con la hélice de un avión y el ai

El avión de propulsión a chorro y la bazooka, se fundan en el principio
de la acción y la reacción, También este es el principio fundamental de las
turbinas de los cohcics que se lanzan con diversos propósitos tales co
ner satélites en órbita. Las turbinas están también basadas en el mismo prin

pio,

Cuando un caballo tra de un carro, ejerce sobre éste una fuerza que esla
que lo hace avanzar; al mismo tiempo el carro ejerce sobre el caballo una
fuerza igual y contraria que se opone a su movimiento.

Más adelante veremos que, en virtud dela ley de la gravitación universal,
el Sol atrae a la Tierra con una fuerza F y al mismo tiempo la Tierra atrac al
Sol con una fuerza igual y contraria — (fig. 3) A pesar de que las fuerzas
sobre ambos astros son iguales, el Sol, debido a su gran masa, experimenta
una aceleración pequeñísima, en comparación con la de la Tierra.

nro interesante ejemplo del principio de la acción y la reacción es el del
surtidor de agua empleado en el regadío de los jardines y técnicamente llama.
de molinete hidráulico (figura 4) El agua moviéndose a gran velocidad por
los brazos del surtidor experimenta al legar a ls recodos los fuerzas Fejere
das por las paredes del tubo y que tienen por objeto acelerarla modificando la
dirección de su velocidad de modo que salga por las aberturas. Ela
«ciona ejerciendo sobre los brazos del molinete las fuerzas iguales y contrarias
=F. Elsuntidor se mueve-entonces bajo In acción de estas fuerzas aplicadas al

Los ejemplos anteriores de acción y reacción son dinámicos. Vamos a
presentar uno en que el cuerpo permanece en reposo: es el caso corriente de
un objeto € colocado sobre una mesa M (fig. 5). Sobre el cuerpo C actúa su
peso P dirigido hacia abajo debido ala atracción dela Tierra, y que se supone.
Aplicada en G. La reacción correspondiente es otra fuerza igual y contraria api

61. mb à cae

cada en el centro de la Tierra y debida a la atracción del cuerpo sobre la
Tierra. El cuerpo además, ejerce sobre la mesa una fuerza P”. La mesa actúa
sobre el cuerpo con una fuerza igual y contraria —P”. El cuerpo está por tan
10 sometido a ls dos fuerzas Py —P”. Como permanece en reposo, estas dos
fuerzas se contrarrestan o equilibran, o sea P = P’

9. COMPOSICIÓN DE FUERZAS

Cuando sobre un cuerpo actúan simultáneamente varias fuerzas, cada
“uña de ellas produce la misma aceleración que sola. Por cons
guiente la aceleración resultante del cuerpo es la suma vectorial de las acele
raciones que producen cada una de las fuerzas, Esta aceleración esla misma.
ue produciría una fuerza resultante igual a la suma vectorial de las fuerzas
Componentes, Por tanto, las fuerzas se suman vectorialmente aplicando la
regla del paralelogramo explicada para los vectores. En la fig. 6 se ilustra el
‘caso de dos fuerzas À y E, que producen las aceleraciones ay y y. La acele-
ración resultante del cuerpo & corresponde a la fuerza resultante R.

10. COHETES

El movimiento de un cohete ofrece un ejemplo interesante de aplicación
del principio de la acción y de la reacción yla definición de fuerza como va
riación del momentum por unidad de tiempo.

El motor de un cohete consta fundamentalmente de una cámara de com:
Dustin en la que se inyectan oxígeno y el combustible. (Fig. 6) Los gases de
la combustión escapan a gran velocidad por un tubo en la parte posterior del
cohete. Los gases al escapar ganan cierto momentum lo que equivale a decir
¿que el cohete ejerce una fuerza sobre ellos. Por el principio de la acción yla
reacción, sobre el cohete se ejerce una fuerza igual y contraria.

a or

N

Sea m, la masa inicial del cohete y m la masa final, una vez que se ha
quemado todo el combustible. La masa de los gases expulsados ha sido m, —
m. Si u es la velocidad de salida de los gases relativa al cohete, el momentum
comunicado a los gases habrá sido (m. —m)u. Designado por 1 el tiempo re

ido para la combustión completa, resulta que el momentum por unidad
de tiempo ganado por los gases expulsados y por tanto, la fuerza promedio.
ejercida sobre ellos habrá sido:

62. (m. = me
pele,

Esto nos da también a fuerza hacia arriba ejereida sobre el cohete 0 sea
el empuje debido a los gases de escape. La masa promedio del cohete durante
el proceso ha sido-b(m + malg, y por tanto, su peso promedio:

Pan + ne

Luego la fuerza resultante hacia arriba sobre el coh

Im. = mu
F-P=

Dividiendo por la ma
media del cohote

promedio. + ml, para la acetraión

F-P %m.- mu

Hm +m) Hm + mi

La velocidad final del cohete, suponiendo que no tenía velocidad inicial,
se calcula por y = at, 0 sea:

©

En general, el último término es despreciable frente al primero.

Este resultado cs sólo aproximado ya que en todo momento se han utiliza
do valores promedios. Un céleulo más detallado basado en los mismos princi
pios indica que la expresión correcta para la velocidad es

v = 2,303 u log —— gt [0)

En general, el movimiento de un proyectil coheie consta de tres fases. La
primera o impulsora persiste mientras dura la combustión y al final de ella se
alcanza la velocidad que hemos calculado en (7). Corresponde a la sección Od
de la fig.7.

La segunda es un movimiento libre bajo la sola acción de la gravedad. El
proyectil describe entonces la parábola ABC. Si el proyectil se emplea con fi
es militares y lo que leva es una carga explosiva, posiblemente continúa esta
trayectoria hasta regresar ala Tierra. Pero si el proyectil se usa para estudiar
ln atmósfera, los rayos cósmicos, et. lleva valiosos instrumentos que es nece:

Entonces a cierta altura Cse abre un paracaídas que frena su

63. ‘movimiento llegando a D con una velocidad lo suficientemente pequeña como
para que el impacto no dañe los i

Algunos cohetes tienen dos o tres etapas, como en el caso delos enviados

à la Luna y alos planetas, o como satélites de la Tierra

Ejemplo 4: Un cohete tiene inicialmente una masa de 15.000 kg y una ver
que ha quemado todo el combustible su masa se reduce a 5.000 kg. la veloc
‚dad de expulsión de los gases relativa al cohete es de 2.000 mis y salen a tazón
de 160 kgs. Caleular: a) el empuje ejercido por los gases sobre el cohete, bla
velocidad del cohete al terminar la combustión, c) la aceleración media del

m =15.000kg, m =5.000kg, u = 2.000 mis

Como los gases salen a razón de 1.600 kgs yla mas
sido m. — m = 10.000 k
ha sido d

total expulsada ha
el tiempo empleado para completar la combustión

10.000 kg
+ E 255
160 kgs

5) Câleulo del empuje

(m

nJu _ 10.000 kg x 2.000 mis
TT” = 320.000 N

\ GH

Esta cifra es muy superior al peso inicial del cohete, que es de unos

150.000 N
b) Velocidad jerminal

Aplicando la fórmula aproximada:

2m, — m)u

em $d
2 x (10.000 kg) x (2.000 mi
= LEONE ER gg x (258)
20.000 kg

= 2,000mis — 612,5 = 1381,5 mis
A

icando la Fórmula exacta, como mim = 15.000 kg/5.000 kg = 3
» = 2.303 u log mn — gt =

2.303 x (2.000 mis) log 3 — (9,8 mis?) x (62,59) =
= 2.180 mis — 612,5 mis = 1567,5 mis

Podemos ver que la diferencia entre los métodos de cáleulo no es muy
importante y que la velocidad terminal es de unos 1.490 mis,

©) Aceleración media del cohete:
v 1490 mis

a = — = 2884 mit
1 625s

64. coo? Er

4 veces la accleracién de la gravedad, lo que suele expresarse
240

que es igual a
escribiendo a

11. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM

Consideremos un sistema formado por des cuerpos de masas m y m so

metidos exclusivamente a sus fuerzas mutuas (ig. 8). Esas fuerzas se llaman

Fuerzas internas del sistema, Cualquiera otra fuerza que se aplique sobre esos
“cuerpos se dice que es una fuerza externo.

Por ejemplo, en el caso del sistema formado por la Tierra y la Luna, las

re estos dos planetas son internas, pero las fuerzas que ejercen el

fuerzas ef
Sol y los otros planetas sobre ellos so

ión del nomentum establece entonces lo sic

El principio de conser
guiente

Cuando sobre un sistema no actúan fuerzas externas, sino solamente las
fuerzas internos, el momentum total del sistema permanece constante.
de CyF = ven el momentum de

Osea: si = Fives el momento
€ debe cumplirse que

momentum total = p + p' = constante

me + me = constante @

Si designamos por v. y 1’ las velocidades iniciales podemos también
expresar el principio de conservación del momentum en la forma:

my + mv = mu, + me, 0)

embros de esta ecuación representa el momentum to
diferente,

Cada uno de los
tal del sistema en un instan

El principio de conservación del momentum es uno de lo principios fun.
damentales de la Física, Es válido tanto enla macro fisica como en la micro.
sica y no se conoce todavía ninguna situación en la que no se cumpla, Es más,
cuando en algún experimento parece que no se cumple, los físicos buscan in
mediatamente alguna nueva partícula, desconocida hasta ese momento, como.
responsable del momentum que falta pura su conservación. De este modo se
han descubierto el netrón, el neutrino, el fotón, ete.

DEMOSTRACIÓN DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN
DEL MOMENTUM

Aplicando (5) del N 6, vemos que las fuerzas Fy F° dela fig. 9 e cale

65. es mos au Hc ES

Luego:

A EA
de donde: p+p=p+p
que nos expresa el principio de conservación del nomentum.

Conviene observar que el principio de conservación del nomentum ha si
do derivado a partir de los principios básicos de la Dinámica. Pero la de
mostración podría también hacerse a la inversa y derivar la expresión:

y el principio de la acción yla reacción a partir del principio de conservación
del momentum. Este segundo camino es más fundamental en vista de la val
dez universal de este último principi.

13. EJEMPLOS DE CONSERVACIÓN DEL MOME!

ruM

Una ilustración sencilla del principio de conservación del momentum es
el retroceso de un arma de fuego al ispararla. Scan m y m las masas del pro
yectl y el arma respectivamente, yv yv" sus velocidades después del disparo
Antes del disparo sus velocidades son nulas.

Por tanto,

o

total antes del disparo

omentum total después del disparo = mo + m'

Aplicando el principio de conservación del momentum:
mo + ms" =0

de donde:

ao)

que nos da la velocidad del arma en función de la velocidad del proyectil EI
signo negativo indica que los vectores Y y u Tienen direcciones opuestas, de
conformidad con la experiencia. Si el arma tiene una masa muy grande, o sea
Im" es mucho mayor que m, la velocidad de retroceso es muy pequ

Como estudiaremos más adelante, algunos átomos son radioactivos y en
ciertas ocasiones emiten de su seno algunas partículas, como electrones, que
salen despedidas a modo de proyectiles, El resto del átomo, que es el equiva:
lente al arma de fuego, retrocede con una velocidad que también e calcula
por (10).

66. Aunque hemos enunciado el principio de conservación del momentum
solo para dos partículas es igualmente válido para un sistema compuesto de
cualquier número de partículas. Por ejemplo, si una bomba explota en el aire,
el momentum total de todos los fragmentos es igual al nomentum del proyec:
til antes de explotar.

El principio de conservación del momentum es de especial aplicación en
el estudio del choque entre dos cuerpos, ya sean estos macroscópicos o atómi
cos. Cuando los cuerpos m y m’ chocan en A (Fig. 9) solo intervienen fuerzas
internas y por tanto debe cumplirse el principio de conservación del momen-
tum permaneciendo el momentum total igual antes y después del choque

Un caso especial es cuando uno de los cuerpos se encuentra en reposo an
tes del choque. La relación entre los diferentes vectores se ha ilustrado en la
Fig. 10.

14, FUERZA CENTRÍPETA

Ya hemos visto que para modificarla velocidad de un móvil, es decir pa-
le una aceleración, se requiere la acción de una fuerza. Si sólo se
desea modificarla mognitud de la velocidad sin alterar su dirección, la fuerza.
debe actuar en la misma dirección que la velocidad, como por ejemplo, en un
automóvil que se desen acelerar sin cambiar de dirección. Por el contrario, si
lo que se quiere es modificarla dirección de la velocidad sin cambiar su ma
nitud la fuerza debe aplicarse perpendiculermente a a dirección de la vlocida

67. Fer cta

mem au fs mr

Sapongamos un móvil animado de la velocidad » en el punto A (ig 11) Si
sobre el móvil no acta fuerza alguna continuará con movimiento reclineo, on
forme con la ley de la inercia, de modo que al cabo de un tiempo se encontrará
en B. Pero sil aplicamos la fuerza F, perpendicular la velocidad obligamos al
móvil a describir el arco AC modificéndcle continuamente la dirección de eu ve-
locidad.

Entonces, fuera centripeta es la fuerza necesaria para producir un mori
miento circalar uniforme; su dirección es perpendicular ala velocidad y está dii-
ida hacia el centro de la circunferencia descrita; su magnitud está dada por las
siguientes expresiones:

F= mai, an

El efecto de la fuerza centripeta es cambiar I disección de la velocidad «
iar su magnitud, produciendo una aceleración centrípeta,

En el movimiento circular uniforme, la aceleración centripeta se calcula
poruna cualquiera de las expresiones:

a a= wR,
R

según se explicó en el N° 5 del Cap. V. Aplicando In relación general F =
obtienen las expresiones (11), para la fuerza centripeta.

RIPETA

EJEMPLOS DE FUERZA CEN

Pueden citarse numerosas experiencias relacionadas con la fuerza cent
peta. Por ejemplo, cuando viajamos en un vehículo y ste describe una trayee-
Joria curva nos sentimos impulsados hacia un costado del vehículo debido a
nuestra tendencia a seguir con movimiento rectilineo uniforme tangenci
mente à la curva descrita por el vehículo. Para seguira éste en su movimiento
debemos sujetarnos de algún objeto interior para producir Ja fuerza cent

Supongamos una piedra Aig. 12) amarrada al extremo de un hilo clés
co CA que se mantiene sujeto por el extremo C. Si sele imprime un movimien+
to circular observaremos que el hilo se estira hasta que su fuerza elástica es

la nueva velocidad. Debemos observar que el hilo se estira no porque la
piedra tienda a escaparse radialmente sino porque tiende a escaparse alo la
o de la tangente,

De lo dicho se desprende que la piedra, como consecuencia de su tenden-
cia a segur tangeneialmente ejerce sobre el hilo una fuerza —F, en dirección
radial hacia afuera, que llamaremos fuerza centrifuga; de acuerdo con el prin-
cipio de la acción yla reacción la fuerza centrífuga es la reacción que corres-

68. Ponde a la fuerza centrípeta aplicada sobre la piedra y tiene por tanto, una
magnitud igual a ella, pero no actúa sobre la piedra sino sobre el hilo.

La inclinación del plano de los rieles de un ferrocarril en ls curvas tiene
por objeto, precisamente, producir la fuerza centrípeta necesaria para que los
vagones describan la curva sin escaparse tangencialmente, En efecto ig. 13)
sobre el vagón actúan la fuerza P hacia abajo, que es su peso, yla fuerza N,
que es la reacción de la vía sobre el vagón y actüa perpendicularmente al ple
no de la vía. Su resultante F,obtenida aplicando la rela del paralelogramo es
la fuerza centípeta. Las curvas en las buenas carreteras están también incl
con este mismo fin

Ejemplo 5: Un automóvil describe una curva cuyo radio es SO m, con una
velocidad de 54 km/h. Calcular la fuerza centripeta necesaria si su m
1200 kg

= 54 kmh

54 x 1000m 3.600 = 15mis

m=1200kg, R=50m

(0.200 kg x (15 mis)
= 5400

50 m

Ejemplo 6: Del extremo de un hilo de 40 em de longitud se amarra una
piedra cuya masa es 0.50 kg. Si se hace girar a razón de 30 revoluciones por
minuto, calcular la fuerza centripeta ejercida por el hilo sobre la piedra.

R=040m, m=050kg, £=1min, n = 30 revoluciones,

1 _ 608 21 2
=2 waa = x radis

ETS E
F = mat R= (0.50 kg) x (x radis)? x 040 m = 1,974 N

16. FUERZAS CENTRALES

La fuerza centrípeta es una fuerza cuya dirección pasa siempre por un
‘mismo punto, que es el centro de la circunferencia descrita por el móvil

xisten otras fuerzas que también tienen esta propiedad de pasar por un
punto fijo.

Entonces, se laman fuerzas centrales a aquellas fuerzas cuya dirección
pasa siempre por un punto fjo. La fuerza centrípeta cs sólo un caso part
cular de fuerza central

Por ejemplo, los planetas en su movimiento alrededor del Sol, deseri
ben unas curvas denominadas elipses (fig. 14). La fuerza F, que mantiene
este movimiento está constantemente dirigida hacia el Sol, y esla atracción
ejercida por éste sobre el planeta P. Esta fuerza es, por tanto, central.

69. 17. DENSIDAD

La densidad de una substancia homogénea esla masa de la unidad de vol
men de dicha substancia. Por tato, si una masa m ocupa un volumen #, la dens:
(dad de la substancia es

d= 0 densidad a
v

La densidad se expresa en el SI en kg/m?. También se emplea el glem?. La
relacin entre ambas unidades es | gem? = 1.000kg/m, Puesto que un 1 em? de
agua destlade a 4°C, tiene una masa de 1 la densidad absoluta del agua es 1
lem? 6 1L000kgim.

La densidad de un cuerpo relativa otro es el cociente entre las densidades
del primer cuerpo y el segundo, Luego si d y d son las densidades de dos cuer
pos, la densidad de 1 relativa a 2 es:

de
dg = as)
de

Obsérvese que como d y d son números dela misma especie, su cociente es
un número abstracto y por consiguiente le densidad relativ no se expresa en nin
guna especie de unidades.

A continuación damos el valor dela densidad de algunas substancias impor.
tantes, en giem?. Los gases se suponen a O*C y presión normal. Para pasarlos a
gin? se multiplica por 1.000.

DENSIDAD DE VARIAS SUBSTANCIAS

Sélidos Líquidos Gases

Alumni 2,65 Mercurio 13,60 Aire mm 0001208
Acero TB2 Alcohol wwe» 019 Hidrôgeno.… 0000089
Hielo 032 Cloroformo 1,49 Oxígeno ..... 0001430
Corch nun O24 Peuréleo… 0,88. Nitrógeno … 0001257
Platine cu. 21,90 Gasolina 070 Helio 0000179
Hierro 7.80 Glicerina cn 126 Diox. Carbó

ico, 0.001974

Ejemplo 7: Se tiene un cuerpo 1 que ocupa un volumen de 20 em? y tiene
tuna masa de 38 g, y otro cuerpo 2 que tiene un volumen de 8 em? y una masa
de 20 g. Calcular sus densidades respectivas y la densidad de 1 relativo a

Vy = 200m? m=38g, V¿=8cml — my = 20g

70. ott? cla

1. ¿Por qué una bola de billar se mueve con movimiento uniforme después
de recibir el impacto del taco?

2. ¿Por qué es más difícil empujar un camión cargado que uno descargado?

3. ¿Por qué sila fuerza con que la Tierra atrae un cuerpo cuya masa es 10 kg,

sel doble dela fuerza con que atrae un cuerpo cuya mata es kg, ambos
caen con la misma aceleración?

4. ¿Podría un avión de chorro o un cohete moverse en el vacío?

5, ¿Puede un hombre sentado en un bote lograr moverlo e
proa? ¿Qué ocurriría si el hombre corriera de proa a pops!

6. Puede lograr moverse un barco de vela disponiendo un gran ventilador
en su popa que produzca un brisa hacia las velas? ¿Por qué?

Un bote se desliza sobre un lago. ¿Qué le ocurre a su velocidad si un hom-

bre corre de proa a popa? ¿Si corre de popa a proa?

8. ¿Qué diferencia hay entre fuerza centrípeta y reacción centrifuga? ¿Ac
{an ambas fuerzas sobre el mismo cuerpo?

jändolo en la

¿Qué ocurriría a los cuerpos en la superficie terrestre si la Tierra dejara
instantáneamente de girar?

PROBLEMAS

1. Sobre un cuerpo cuya masa es de 12 g actúa una fuerza de 72 dinas
¿Qué aceleración experimentará? R. 6 emis

2 ¿Qué fuerza deberá aplicarse sobre un cuerpo cuya masa es 10,8 g para
imprimirle una aceleración de 5 em/?? R. 54 dinas,

3. ¿Cuál es la masa de un cuerpo en el cual una fuerza de 420 newtons pro
duce una aceleración de 8,4 mis"? R. 50 kg.

¿Qué fuerza es necesario ejercer sobre un camión que tiene una masa de

3.200 kg para imprimirle una aceleración de 0,5 mie? R. 1600 N.

5. À un automóvil cuya masa es 1.500 kg y va a 60 km se le aplican los
frenos y se detiene en 1,2 minutos. ¿Cuál fue la fuerza de fricción que el
pavimento ejerció sobre el mismo? A. 347 N.

71. amarok ree ae

6.

10.

¿Qué fuerza ha debido ejercer el motor de un automóvil cuya masa es
1.500 kg para aumentar su velocidad de 4,5 km/h a 40 kmihen 8 3? R.
1549 N

Sobre un cuerpo cuya masa es B kg y que posee una velocidad de 3 m/s

comienza a actuar una fuerza de 30 newtons. ¿Cuál será su velocidad y
cuil el espacio recorrido cuando hayan transcurrido 8 5? R. 33 mis,
14m.
Una bala de 20 g adquiere una velocidad de 400 mis al salir del cañón de
un fusil que tiene 50 em de longitud. Hallar (2)laaceleracin; (bla fuer
za. R. 160.000 mis, 3.200 N,
¿Cuál será a fuerza de fricción ejercida por el aire sobre un cuerpo que
tiene una masa de 0,4 kg si cue con una aceleración de 9 m4? R.
032 N.
Un hombre que pesa 882 N está apoyado sobre el piso de un elevador.
¿Qué fuerza ejerce el elevador sobre el hombre? () si sube con movi
miento uniforme; (5) si baja con mu; (+) si sube con una aceleración de
3 ms; (d)si baja con la misma aceleración; () si se rompe el cable y cae
Üibremente. R. 882 N, 882 N, 1.152 N, 612 N 0.
¿Con qué aceleración subirá un elevador que tiene una masa de 250 kg y
0 interior van tres personas cuyos pesos son: 588 N, 784 N y
ejercida por el motor es de 9800 N? ¿Qué altura subi
rien Ss? R298 mist, 3725 N.
Un jugador de balompié lanza una pelota de 09 kg con una velocidad 12
ris, Stel tiempo que la estuvo empujando con el pie fü 0,1 s ¿qué fur
za ejerció sobre la pelota? R. 108 N.
Un hombre que pesa 735 N va sentado en un automóvil que en un mo:
mento acelera a razón de 0. més. ¿Qué fuerza ejerce el asiento sobre el
hombre? ¿Qué fuerza ejerce el hombre sobre el asiento? R. 67,5 N
Un automóvil cuya masa es 1.200 kg va a 72 km/h. Se le aplican ls fe
nos y cuando ha recorrido 10 m su velocidad es 36 kmh. Halla la fuerza
ejercida por los frenos. R. 1.800 N.
Un muchacho cuya masa es de 60 kg se encuentra sobre u
tanténeamente se impulsa hacia arriba con un
male ¿cuál será la lectura en la pesa? R. 735 N.
¿Qué tiempo deberá actuar una fuerza de 80 N sobre un cuerpo cuya
masa es 125 kg para lograr detenerlo si posee una velocidad de 720
kmh? R312,
Una persona cuya masa es 60 kg va en un automóvil cuya velocidad es
de 54 km. Si el automóvil describe una curva de 30 m de radio y el
hombre se agarra a una de las manillas para seguir en su asiento ¿qué
fuerza y ep qué dirección ejerce el hombre sobre la manila? ¿Cuál es la
aceleración centripeta? R. 450 N, 7,5 ms?
Caleular el radio dela circunferencia descrita por un cuerpo de masa 20
Kg que se mueve con m..u. a razón de 120 rpm, si la fuerza centripeta
es de 7.264 N Hallar también la aceleración centrípeta. R.2,3 m, 363,2

pesa, Si ins
aceleración de 2,35

Una piedra cuya masa es 400 g está atade al extremo de un cordel de 0.8,
m de longitud que de 80 r.p.m. ¿Qué fuerza eentripeta ejerce el cordel
sobre la piedra? Si el cordel se rompe cuando experimenta una tensión

72. 2.

a

2.

23,

2

3

26,

2

3.

superior a 490 N, ¿cuál es el mayor valor posible de la velocidad angular

del cordel? ¿Cuál es la aceleración centrípeta? R. 22,47 N, 39,1 radis,

56,1 mis

Un vaso con agua se hace describir un m..u. en un plano vertical me

diante un hilo de 98 em de longitud. ¿Con qué velocidad angular mini

ma debe girar para que no se derrame el agua? Si el vaso contiene 10

com? de agua ¿cuál esla fuerza centripeta? ¿Cuál es la aceleración centrí

peta? R. 316 radis, 0,098 N, 98 mie.

Un aeroplano desciende en “picada” con una velocidad de 540 km/h

describiendo al nivelarse un arco de 300 m de radio. ¿Cuál es la fuerza

ejercida por el asiento sobre el piloto, cuya masa es 80 kg? ¿Cuál es su
otripeta? R. 6,784 N, 75 mist.

¿Qué tiempo debe actuar una fuersa de 16 N sobre un cuerpo cuya masa

fs 8 kg para duplicar su velocidad si su velocidad inicial es 36 km/h?

RSs

¿Qué distancia debe actuar la fuerza anterior para triplicar la veloci

dad? R 200 m

¿Qué masa tiene un pedazo de hierro que ocupa un volumen de 80 cm"?

R 0624 kg.

¿Qué volumen ha de tener un recipiente destinado a contener 18,6 kg de

gasolina? R. 266 litros.

¿Cuál es la densidad del platino con relación al hierro? ¿Del agua con
relación al alcohol? R. 2,76, 1.26

¿Cuál es la densidad de una substancia, 0,235 kg la cual ocupa un volu:
men de 32,6 cm ? R. 72 glem?

La densidad de un cuerpo relativa al alcoholes 2,3. ¿Cuál es su densidad
relativa ala glicerina? R. 1,

Un cuerpo cuya masa es 0.01 kg se deja caer desde una altura de 3m
sobre un montón de arena. Si el cuerpo penetra 0,3 m antes de detener.
se, ¿ou ha sido la fuerza ejercida por la arena sobre el cuerpo? R.0,98 N.
Un cuerpo cuya masa es 0,3 kg posee una velocidad de 4 mi ¿Qué fuerza
es necesario aplicarle para que recorra con mu. una distancia de 10m
en 28? R.OON

73. Composición de fuerzas

1. CONCEPTOS GENERALES

La fuerza es una magnitud vectorial, siendo por tanto, sus elementos ca
racterístico su intensidad o medida y su dirección (inclayendo en ella el sen.
Lido). Además algunas veces interesa el punto de aplicación, que es el punto
del cuerpo sobre el cual actúa la fuerza.

En lo que sigue supondremos que las fuerzas actúan sobre partículas 0
cuerpos rígidos

Sistema de fuerzas es un conjunto de fuerzas que están aplicadas a un
‘cuerpo. Cada una de las fuerzas que integran el sistema se denomina compo-
ente, En la fig. | se ha representado un sistema integrado por cinco compo:
mentes, Fi, Fis En Fo Fu.

Resultante de un sistema de fuerzas es una fuerza que por sí sola es ca
paz de producir el mismo efecto que todo el sistema.

Es conveniente aclarar que hay muchos sistemas de fuerzas que no
tienen resultante, es decir, que no pueden ser sustituidos por una sola fuerza,

2. DINAMOMETRO

La relación F = mo, sirve para determinar dinámicamente la medida de
una fuerza. Además, del método dinámico, existen otros procedimientos en
los que la fuerza se mide por la deformación que produce en algún cuerpo.
Tal es el caso del dinamémetro, y que explicaremos debido a su uso frecuente,

Existen diversos tipos de dinamómetros, siendo el más corriente el de
muelle (Hg. 2).

74. set caret RUS

Este dinamémetro consta de un muelle en cuyo extremo A se aplica
fuerza que se desea medir. Como el muelle es elástico el efecto de la fuerza
sobre el muelle es'una deformación. Ahora bien, más adelante veremos que,
dentro de ciertos límites, las deformaciones son proporcionales las fuer
aplicadas, de modo que si la fuerza se duplica, triplica, etc.
también se duplica, triplica, ete. Disponiendo pues una escala E conveniente:
mente graduada y una aguja indicadora, se puede determinar fácilmente la
intensidad de la fuerza aplicada en función de la deformación del muelle.

La composición de fuerzas tiene por objeto,
hallar su resultante, Examinaremos

un sistema de fuerzas,
rentes casos particulares,

3. COMPOSICIÓN DE DOS FUERZAS DE IGUAL
DIRECCIÓN

Si sobre el cuerpo C (fig. 3) actúan las dos fuerzas F y Fs, que están
cadas al mismo punto A, y actúan en la misma dirección, a resultante R actúa
cn la misma dirección y su intensidad es iguala la suma de ls intensidades de
las dos componentes. Es decir que:

REE

4. COMPOSICIÓN DE DOS FUERZAS DE DIRECCIONES
CONTRARIAS

Si sobre el cuerpo C (ig. 4) action las dos fuerzas F, y F, que están apli
cadas al mismo punto pero que actúan en direcciones contrarias, su resultan:
te R actúen la dirección de la mayor y su inte la diferencia
de las intensidades de las componentes. Es de

R=R-B

5, COMPOSICION DE DOS FUERZAS CONCURRENTES

Silas dos fuerzas Fy F están aplicadas al mismo punto 4 (fig. 5), la re.
sultante R, está representada en magnitud y dirección por la diagonal AD del
paralelogramo ABDE construído sobre los vectores o segmentos que repre-
sentan las fuerzas components, de acuerdo con la regla del paralelogramo
para sumar dos vectores.

Silas dos fuerza F, y Fy están aplicadas a puntos diferentes A y B de un
cuerpo, pero sus líneas de acción te encuentran en C (ig. 6), e trasladan las
dos fuerzas de modo que actúen en C y allí se componen de acuerdo con la
regle del parelelogramo,

En realidad no es necesario completar el paralelogramo y para hallar la
resultante R de dos fuerzas angulares F,y F, aplicadas al punto A de un cuer-
po, (fig. 7) basta con trazar por el extremo B del vector AB que representa la

75. ESO!

nec a ca Ce

fuerza E un vector BD igual
cierra el triángulo ABD. rey

a Fi ent
à fuerza result

es el segmento AD que

Al mismo resultado se lega
las fuerzas como puede verse en la fi.

den en que se toman
Tb. La operación es para conmatarire.

6. COMPOSICIÓN DE VARIAS FUERZAS CONCURRENTES

Si al punto À del cuerpo. se aplican vacias (uerzas By Fa FF ie 8)
la resultante se obtiene en la sigui a: por el extremo H del segmento
que representa ala fuerza Fi traza un vector HC pal la fuerza Es por el
extremo Cun vector CD iguala És y ast sucesion re on poll
{gone ABCDE. La resultante R quests representada en magnitud y dirección
por el segmento AE, que cierra el polígono micro su origen À con el care.
mo E.

Si las fuerzas actúan sobre puntos diferentes de un cuerpo se halla pri
mero la resultante de dos de ellas como se indico en la figura 0; esta resaltan:
te se combina con la tercera fuerza por el mismo método y así sucesivamente
hasta la última fuerza. El procedimiento sc ha ilustrado gráficamente en la
fig. 9 en el caso de tres fuerzas, Siempre es vlido si las fuerzas son coplana-
res, o sea que todas actúan en un mismo plano

COMPONENTES DE UNA FUERZA

Determinar las componentes de una tuerza en dos direcciones dadas,
consiste en obtener dos fuerzas que actúen en esas direcciones y cuya resul
tante ses la fuerza dada.

Asi si queremos hallar las componentes de la fuerza Fig, 10) según las
direcciones AC y AD, trazamos por el punto B, las paralelas DE y BG «las di
recciones dadas, obteniéndose el paralelogramo ABEG. Los segmentos AE y
AG representan las fuerzas componentes F, y E, de F en las direcciones pe
didas.

Las componentes más importantes de una fuerza son sus componentes
rectangulares. es decir, sus componentes según dos direcciones perpendicula:
res, (fig. 11).

Así, por ejemplo, cuando un automóvil desciende por una calle inclinada
(Gig. 12), su peso P, que actúa verticalmente hacia abajo, se puede descompo-
ner en las dos componentes F, y E cuyas direcciones son perpendiculares La
‘componente Fs. que es perpendicular à la calle, comprime al automóvil canıra
ella y la componente Fy, paralela à la call, es la que lo hace descender

8. TORQUE DE UNA FUERZA

Se llama torque de una fuerza e
censidad de la fuerza por la dis

lación a un punto, al y

76. Asien la fig. 13 s Pes la fuerza, O el punto (llamado centro de torque) y
bla distancia del punto ala línea de acción de la fuerza y que se llama bra
el torque de F respecto al punto O vendrá expresado por:

MF w
‘Torque = Fuerza x brazo

que es el torque de una fuerza de una

9. INTERPRETACIÓN FÍSICA DEL TORQUE

El torque de una fuerza respecto a un punto es una magnitud que mide el
efecto rotativo sobre el cuerpo alrededor de dicho punto. En efecto, sal euer
po C representado en la ig. 13 y que tiene el punto fijo 0, se aplica la fuerza
E, el cuerpo girará alrededor de O en el sentido indicado por la flecha y el
efecto rotativo de la fuerza dependerá de su intensidad F y de la distancia o
brazo 5 de la fuerza respecto al punto O, siendo ete efecto proporcional a los
valores de Fy b.

Así, para abrir cerrar una puerta, lo mejor es empujarla por un punto lo
más alejado de las bisagras porque de ese modo el brazo de la fuerza que ejer Pa
cemos nosotros es mayor y nos es más fácil hacerla gira

Obsérvese que si la directriz de la fuerza pasa por el punto O, el efecto
rotativo es nulo y también lo es el torque respecto a ese punto por ser b = 0.

10. SIGNOS DEL TORQUE

Como alrededor de un punto se puede girar en dos sentidos opuestos, es
conveniente distinguir los torques correspondientes. Consideremos pues las
dos fuerzas E, y Fa actuando sobre el plano del papel (ig. 14) La fuerza F,
tiende a hacer girar el plano alrededor de O en sentido contrario ale rotación ven
de las agujas de un reloj, mientras que F, tiende a hacerlo girar en el mismo

sentido. En el primer caso diremos que e) torque de F, es positivo y en el se

ando caso que es negativo. De modo que:

M,=Fby y= —Fby

Este criterio es convencional, pudiéndose si se quiere adoptar el con-

11. REPRESENTACIÓN VECTORIAL DEL TORQUE t

Resulta conveniente en muchos casos representar el torque de una fuerza
Por un vector cuya medida está dada por M = Fb (Gg. 16). La dirección del
vector Mes perpendicular al plano determinado por la fuerza Fy el punto Oy
está dada por el dedo pulgar de la mano derecha cuando los otros dedos indie
can el sentido de la fuerza.

77. we a Hc 7

Pe

12. TEOREMA DE VARIGNON

Cuando sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, el torque resultonte e la
“suma de los torques de cada una de las fuerzas. Por ejemplo, en la fig. 16 el
torque resultante será:

My + Mi + Ma = Fiby — Faby

Es lógico pensar que entre el torque resultante de un sistema de tuerzas
y la fuerza resultante del sistema exista alguna relación, ya que la fuerza re-
Sultante debe producir el mismo efecto que el sistema de fuerzas no solo en lo
referente a la traslación sino también a la rotación.

Esta relación está dada por el Teorema de Varignon, enunciado por el
matemático francés Pierre Varignon (1654-1722), que se expresa en la si-
guiente forma:

En todo sistema de fuerzas coplanares (situadas en el mismo plano)
que tenga resultante, la suma algebraica de los torques de los fuerzas com.
Ponentes con relación a un punto de su plano, es igual al torque de la resul
tante respecto al mismo punto.

El teorema también es válido en otros casos más generales remplazando
a suma algebraica por una suma vectorial.

Por ejemplo, en el caso de les fuerzas concurrentes dela fig. 16, si Des el
centro de momentos, todos los torques son positivos y se cumple que:

lap

M=M+M 0 Rb=Fb+ Fabs

En la composición de fuerzas concurrentes el teorema de Varignon no es
necesario porque se sabe que la fuerza resultante debe estar aplicada en el
mismo punto que las fuerzas componentes. Pero cuando las fuerzas no son
concurrentes, el teorema de Varignon es de gran utilidad para determinar la
posición en que debe situarse la fuerza resultante de modo que su torque sea
igual la suma de los torques de las fuerzas componentes.

Vamos a ilustrar la aplicación de este teorema a la composición de fuer
zus paralelas.

78. Em] cores e ena

13. COMPOSICIÓN DE DOS FUERZAS PARALELAS
DE LA MISMA DIRECCIÓN

La resultante de dos fuerzas paralelas con la misma dirección,
intensidad igual a la sumo de las intensidades de ls componente, la misma
dirección que ellas y su linea de acción est situada de modo que el torque de
Ta resultante ea igual ala suma de los torques de las dos fuerzas componen:
tes respecto a cualquier punto

Así, en la fig. 17, £, y F son las fuerzas dadas, R su resultante y O un
punto cualquiera

Como las dos fuerzas tienen la misma dirección es natural que

R=R+R @

para producir la misma traslación del cuerpo.

Para tener equivalencia en la rotación es necesario, además, que se
cumpla el teorema de Varignon, o sea M = M, + Mf, Escogiendo un punto
arbitrario O y trazando la perpendicular AB comin alas tres fuerzas tenemos.
que

M.=Rx0OC M

1x04, M

x OB

Como debe cumplirse que Ma = My + Mp resulta que:
Rx OC = F, x 04 + F, x OB

de donde: (F, +R) x 0

EX 04 +F x OB
Multiplicando:
Fx OC +P x OC = Fi x 04 + Fx OB
Teansponiendo términos:
Bx OC ~ x 0B =F x 04- Fx OC
o Rx (OC — OB) = F, x (04 - 00)
vee: F, x BC = Fi x AC

que puede escribirse

Sumando antecedentes y consecuentes
RF, RAR
BC AC BC+AC

79. Fee

AAN cons

=== @)

que es una relación muy útil

14. COMPOSICIÓN DE DOS FUERZAS PARALELAS
DESIGUALES DE DIRECCIONES CONTRARIAS

La resultante de dos fuerzas paralela desiguales con direcciones contrarias,
tiene una intensidad igual a la diferencia de las intensidades de las componentes.
actúa en la dirección de la mayor y su línea de acción está situada de modo
que su torque es igual a la suma de los torques de las dos componentes.

> By Reslare:

As (fig. 18) si F y F son las dos fuerza

sultante, se tiene:

R 6)

5

relaciones se hace en la misma forma que para
0 de dos fuerzas en la misma direc

Obsérvese que cuando las fuerzas son paralelas con la misma dirección,

la línea de acción de la resultante está situada entre las de las componentes y

próxima ala fuerza mayor y cuando son paralelas con direcciones contra

y alas líneas de acción delas componentes y del lado de la fuer

2a major.
Ejemplo 1: Refiriéndose ala ig. 18, Fy = 20N,Fj = 12N y AB = SOem,
calcular À y los segmentos BC y AC que determinan la posición de la resultan:

R= Fy + = 20N + 12N =32N

Por (1),
Sustituzendo valores en la fórmula 2 tendremos:
20N 12N 32N
BC AC 50em
20N x 50em 12N + 50cm
BC == 3125 em, AC == 18,75em
32N 32N

puede comprobarse que:
BC + AC

125 em + 18,75 cm = 50cm

80. cop : sc nun

Ejemplo 2: Resolver el problema anterior si las dos fuerzas son paralelas
de dirección contraria. (Pig. 19).

En este caso R= 20N — 12N

EN. Sustituyendo en la fórmula 4:
20N 12N 8N
BC AC 50em

20N x 50em 12N x 50cm
125em, 4G =—
BN BN

puede

BC ~ AC = 125cm - Tem = 50cm = AB

COMPOSICIÓN I

/ARIAS FUERZAS

PARALELAS

Si se trata de varias fuerzas paralelas, y se toman ccimo positivas ls fur
zas que actian en una dirección y como negativas las que actúan en dirección
«contraria, la resultante es igual aia suma algébrica de las fuerzas componen.
tes, Así, en la fig. 19 la resultante es:

R=E+E-=E-=F

La fuerza resultante se aplica en un punto tal que su torque sea igual ala
suma de los torques de las fuerzas componentes. El punto G donde se aplica
la resultante R se llama centro de fuerzas parolelos

Ejemplo 3: Determinar la resultante del sistema de fuerzas aplicadas a
la barra AD, (Gig. 20).

Fa 20

R=R+R-B+R

determinar su posic

plicamos el teorema de Varignon:
My = M + My + My + Mi

Tomando como centro de momentos el punto A:

Ru-Firfi

Fe

81. camote
M, = 0, My = Fy X AB, My = =F, x AC Ma

Designando por X el punto de aplicación de R.
Mu = RX AX
Luego:
FX AB — Py x AC + Fi X AD

R

16. PAR DE FUERZAS

Se llama par de fuerzas a un sistema de dos fuerzas F, y Fs: para:
las, de igual intensidad y de direcciones contrarias aplicadas a un mismo cuer
po. (Gig. 22).

El brazo del par es la distancia AB = b que separa ls directrices de las
dos fuerzas, Se comprende que el efecto de un par es producir rotación. Así
en la figura 21, el efecto que produce el par (Fy, Fs) aplicado al cuerpo Ces
luna rotación cuyo sentido es el indicado por las let

El torque de un par, es el producto de una de las fuerzas por el brazo del
siendo positivo o negativo según que la rotación que tienda a producir sea
fn el sentido contrario de las agujas de un reloj o en el mismo sentido. El tor-
‘que del par correspondiente a la fig. 24 es positivo y su valor es:

M = Fb 6)

Un par de fuerzas es un ejemplo de un sistema que no tiene resultante, es
decir, que no puede subsitufree por una sola fuerza que produzca el mismo
efecto.

El torque de un par es independiente del centro de torques. En efecto, 1
mando el punto O (Fig. 22) se ve que, como F,

M

Fy

M + M = FX 04 + F, x OB
F, x 04 + F, x OB
F, x (04 + OB) = F, x AB

de acuerdo con (6) y la posición del punto O no aparece en el resultado.

17. CENTRO DE MASA

e cada una de sus partículas con une
zu masa. Aun cuando las directrices de estas fuerzas se
intereeptan en el centro de la Tierra, se pueden considerar prácticamente pa
raleles si las dimensiones del cuerpo no son muy grandes. La fuerza resultan.
te P= Mg de atracción ejercida por la Tierra sobre el cuerpo se llama peso del
cuerpo

fuerza proporcional

82. El centro de masa (CM) es el punto de aplicación del peso del cuerpo. En
la figura 22 es 6.
El CM no varía porque se cambie la posición del cuerpo o porque se
desplace el cuerpo de un lugar a otro de la superficie terrestre.
A continuación indicamos la posición del centro de masa de algunos
cuerpos homogéneos muy simples (Hg. 25%
2) barra delgada: es el punto medio.
b) lámina triangular: el punto de intersección de sus media
©) lámina paralelográmics
4) lámina circular: au centro,
©) cilindro y prisma: punto medio de la recta que une los centros de sus
bases.
2 cono y pirámide: sobre la recta que une
vértice ya un cuarto de su longitud medida a partir de a base (ig. 23)

el punto de intersección de sus diagons

PREGUNTAS

¿Cómo debe medirse una fuerza dinámicamente?

¿Cuántos datos son necesarios para especlicar completamente una fuerza?
¿Es indiferente que una locomotora se enganche al principio del tren o se
disponga detrás de todos los vagones a entre ellos? ¿Por qué?

Se tiene un cuerpo que pesa IN, un saco de azicat de peso desconocido, una

regla y un muelle que no está calibrado. ¿Cómo puede obtenerse el peso del

saco de anicar?

5. Un euerpo está colgado del centro de un cable cuyos otros extremos están
fijos. ¿Cuando es mayor la tensión en el cable: cuando ambas pa
casi en línea recta o cuendo forman un ángulo mu

6. Trace un polígono abierto de tes lados
CM

Dos fuerzas concurrentes de BN y ÓN forman un éngulo de 60°. Deter.

minar gráficamente su resultante. Escogiendo un punto cualquiera del

papel, trace y mida los brazos de las fuerzas y comprucbe el teorema de

Varignon.

(Todos los problemas de este grupo deben resolrerse en general, gräf
mente),

1. Calcular la resultante de dos fuerzas concurrentes de 40N y 30N cuyas
‘irecciones forman un ángulo de 6) 0°; 6) 70°; ) 90% a) 130" e) 180°. R.
TON, 57,62 N, SON, 3094 N, ION.

2. Para hacer avanzar un bote en un río emaplean dos caballos, uno en ca-
da orilla, iraodo de sendas cuerdas unidas « a pros del bote. Si el ángulo
enire las cuerdas es de 40° y las fuerzas ejercidas por cada caballo son de
200N y 250N ¿euél esla fuerza resultante sobre el boto? Si el bote avanza
con movimiento uniforme zeuil es la resistencia del agua? R. 423N.

83. 3. Sobre un cuerpo cuya masa es 10 kg actúan fuerzas de 30 newtons, 40
newtons, 20 newtons y 50 newtons. Los ángulos entre cada dos de ellas
son 50°, 30°, 60°. Calcular la fuerza resultante, ¿Cuál esla aceleración
del cuerpo? ¿Qué fuerza adicional es necesario aplicar ala partícula para
que esté en equilibrio? R. 85.07 N, BON.

Paralelamente a los lados de un triángulo equilätero actúan fuerzas de
200N, 80N y 120N. Determinar la resultante y su línea de acción. Las
fuerzas se toman en el mismo orden que los lados. A. 105,8N
Paralelamente alos lados de un cuadrado de 5 em. de lado actúan fuerzas
de 10N, BN, 20N y 12N. Determinar la resultante y su linea de acción
Las fuerzas se toman en el mismo orden que los lados. R. 103N,
En el vértice 4 de un rectángulo ABCD cuyos lados son AB = 4 cm y
BC = 6 em actúan tres fuerzas: una de 6 newions según AB, otra de 4
newtons según AC y otra de 3 newtons según AD. En el vértice € actian
fuerzas: una de 5 newtons según CD y otra de 4 nevions según BC
Hallar la fuerza resultante. R. 3,68 newtone,
Un automóvil que pesa 10.000N desciende por una calle cuya inclinación
es 30°. Determinar la fuerza que ejerce el automóvil contra la calle y la
fuerza que lo hace descender. R. 8.660N, 5.000N
Para sostener verticalmente un poste de teléfonos, se emplea un cable
uno de cuyos extremos va unido al poste en un punto a 10 m de altura
mientras que el otro extremo está fijo en el suelo en un punto a 7m de la
hase del poste. Sila tensión en el cable es de SOON ¿cuáles son la fuerza
horizontal y la fuerza vertical ejercidas sobre el poste? R. 410N, 287N,
Un plano inelinado tiene 2 m de altura y 5m de longitud. Sobre el plano
se encuentra un bloque de piedra que posa ION el cual no resbala porque
tropieza con un obstáculo jo en el plano. Hallar In fuerza ejercida por el
bloque sobre el plano y sobre el obstáculo. R. AN, 92N.
Un bloque que pesa 6ON descansa sobre una superficie horizontal pul
mentada. Se le empuja mediante una varilla que forma un ángulo de 30°
con la horizontal, en el extremo de la cua se ejerce una fuerza de GON (a)
¿Cuál es la fuerza total perpendicular la superficie? (b) ¿Cunl es la fuer
2a paralela a la superficie? R. 90N, S2N.
Resolver el problema anterior suponiendo que en lugar de empujar el
cuerpo, se tira de él mediante una cuerda que tiene la misma inclinación
R.30N, 52N,
Hallar la resultante de dos fuerzas paralelas de 40N y 20N cuyas líneas de
acción están separadas 60 cm (a) cuando tienen el mismo sentido, (8)
cuando tienen sentidos opuestos. Solución analítica también. R. (a) ON.
20 em, (b) 20N, 60 cm
Dos fuerzas paralelas del mismo sentido de 6 y BN están situadas de mo:
do que la distancia entre sus líneas de acción es 7 cm. Hallar la magnitud
y posición de la resultante, R. LAN, 3 em,
La resultante de dos fuerzas paralelas y del mismo sentido es de 1ON y las
distancias de su línea de acción a las de las componentes son de 12 em y
18 cm. Hallar las componentes. R. 6N, AN
Una regla de un metro de longitud tiene un peso de 3N y en aus extremos
se han suspendido dos cuerpos que pesan 2N y 4N. Determinar la magni
ud yla posición dela fuerza resultante sobre la regla (soluciones gráfica
y analítica aplicando el T. de Varignon). R. 9N, 61 cm.

84. 16, Sobre una regla graduada a 2 m de longitud y cuyo peso es despreciable
actéan hacia abajo fuerzas de 30N, 20N y 15N a 0 cm, 50 em y 200 em de
lun extremo y hacia arriba fuerzas de SON y BON a 20 cm y 100 em del
mismo extremo, Determinar la magnitud y la posición de la resultante,
¿Qué intensidad debe tener y dónde debe situarse la equilbrante del is
tema? (Soluciones gráfica y analítica). R. 65N, 77 em.

Una de las componentes de dos fuerzas paralela y del mismo sentido es
de 13 newtons. La distancia entre lis componentes es de 20 cm y la distan-
cia de la resultante ala otra componente es de 8 em. Hallar la resultante y
la otra componente. R. 195N, 325N.

Las dos componentes de un sistema de fuerzas paralelas y del mismo sen
tido son de 20 y 30 newtons yla distancia entre la resultante y la mayor es
de 8 em. Hallar la resultante y la distancia ente las fuerzas. R. 50 new:
tons, 20 em.

Resolver los problemas 13 y 18 suponiendo que las fuerzas son parae
las y de sentido contrario. À. 2N, 21 em; 10N, dem

85. Equilibrio

1. REPOSO Y EQUILIBRIO

Una partícula está en reposo cuando su velocidad es nula. Una partícula
está en equilibrio cuando su aceleración es mula. Una partícula en equilibrio
se encuentra en reposo o en movimiento rectilineo uniforme: En resumen:

reposo: velocidad = 0
equilibrio: aceleración =

Por ejemplo, un libro colocado sobre una inesa se encuentra a la vez en
reposo y en equilibrio porque tanto su velocidad como su aceleración son nu:
las. Un cuerpo animado de movimiento rectlineo uniforme no está en reposo
pero sien equilibrio porque su aceleración es cero. Finalmente, se lanza un
cuerpo verticalmente hacia arriba, a llegar al punto más alto de su trayecto:
ria su velocidad es cero y en esa posición se encuentra momentáneamente en
reposo; sin embargo, no está en equilibrio porque posee una aceleración, la
de la gravedad, producida por su peso,

En el caso de un cuerpo que puede girar alrededor de un eje, está en re
poso si las velocidades de todos sus puntos son nulas y en equilibrio si las ace
leraciones tangenciales de sus puntos son cero.

Para que una partícula esté en equilibrio es necesario que la resultante
de todas las fuerzos que actúan sobre ella sea cero. En efecto, de acuerdo con
el segundo principio de la Dinámica, F = ma, y como a = O si hay equilibro
resulta que F = 0.

Si se trata de un cuerpo, las fuerzas no están en general, aplicadas a un
mismo punto yla condición de que la resultante sea cero no es suficiente para

asegurar el equilibrio porque el cuerpo puede estar girando. Paro que un
cuerpo esté en equilibrio es necesario que: 1) la resultante de todas las Juerzas
aplicadas al cuerpo sea nula, y2) la suma de los torques de todas las fu

con relación a cualquier punto sea cero

86. cm an

2. EJEMPLOS DE FUERZAS EN EQUILIBRIO

1) Dos fuerzas iguales y directamente contrarias aplicadas a un mismo +,
punto o a dos puntos de un cuerpo forman un sistema en equilibrio, :
{las dos uerzas F, y Fs iguales y directamente contrarias aplicadas al cuerpo
€. tienen una resultante nula y por tanto la aceleración resultante también es
nula. Fat

Además, los torques de las dos fuerzas respecto a cualquier punto como
0 son iguales pero de signos contrarios de modo que el torque resultante es nu
lo, Luego el cuerpo está en equilibrio.

2) En todo sistema de fuerzas en equilibrio, una cualquiera de tas fuer
zas es igual y directamente contraria a la resultante de las demás,
sobre el cuer

Por ejemplos el sistema de tree fuerzas Es. a, F que act >
po C (ig. 2) está en equilibrio, una cualquiera de las fuerzas al como Fl, es
igual y directamente contraria a la resultante R, de as otras dos. Por eso ca
da una de las fuerzas e la equilibrante de las demás. Este resultado es válido
si son más de tres fuerza. En el caso particular de tres fuerzas se ve en la
ura que tienen que ser concurrentes y estar en un mismp plano.

Pez

3) Cuando un cuerpo que tiene un punto fijo está sometido a una fuerza
el equilibrio requiere que la dirección de la fuerza pase por el punto fijo, por.
que solo así el torque de la fuerza respecto al punto es cero.

Ejemplo 1: Estudio de las fuerzas que mantienen un papalote en
equilibrio. Estas fuerzas son (fig. 3) su peso P dirigido hacia abajo, In ten- Fe Pure bre laa e un ai,
sión T de la cuerda que tiene la dirección de ésta yla fuerza F debida al vien.
to Vy que es perpendicular al papalote. Si ése se encuentra en equilibrio, la
fuerza F debe ser igual y contraria ala resultante F, de T y 2. Si es menor el
papalote desciende y si es mayor se eleva

Ejemplo 2: Estudio de las fuerzas que mantiene un avión en equilibrio. El
movimiento del ariön de derecha a izquierda, de lugar al mismo efecto que si
el avión estuviera quieto y el viento soplara de izquigada a derecha, de modo
que este problema es del todo semejante al anterior: Fes la fuerza debida al
viento. Esta fuerza debe ser igual y contraria ala resultante Fy del peso P del
avión y la fuerza H debida a ls hélices, (ig. 9)

Ejemplo 3: Un cuerpo está suspendido mediante dos cuerdas delos puntos
A y B del techo, de modo que forman ángulos de 40° y $0° con el mismo. Sie
cuerpo posa 13N calcular las tensiones en las cuerdas (Gg. 5). Fes

87. Las tres fuerzas que intervienen en el problema son el peso P = 13N del
cuerpo y las tensiones 7; y 73. Como la resultante de 7, y 7 debe ser igual y
contraria a Pse dibuja una fuerza P” igual y contraria a P. Sus componentes
paralelas a DA y DB son T,y T, respectivamente, Midiendo en la figura
result:

T,=10N T=85N

Ejemplo 4: Calcular las fuerzas F, y Es que.se ejercen en los apoyos A y
D para equilibrar la barra de la figura 6. AB = 2 m, AD = 1,60 m

Para que la resultante sea nula debe cumplirse que

+E-P=0

E += 40N

Para que el torque resultante sea mulo se requiere que M, + M, + M,
0. Tomando: torques respecto a A, My = 0, M = Fy x AD, M,
AC. Luego,

Fx AD~ P x 4C = 0.
40-F=15N

3. EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS SUSPENDIDOS Y APOYADOS

Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio en tres condiciones diferentes:

1) equilibrio estable: si al separarló ligeramente de su posición de equi
libri tiende a recuperar

2) equilibrio inestable: si al separarlo ligeramente de su posición de
equilibrio tiende a alejarse cada vez más de ell;

3) eguilbrio indiferente: si al separarlo ligeramente de su posición
de equilibrio, la nueva posición alcanzada es también de e =
dándose en ella

libri

nsideremos primero el caso delos cuerpos apoyados.
en la posición a está en equilibrio stable, po

on de la ig.
ue silo desviamos ligeramente de

88. esta posición tiende a recuperarla; en b su equilibrio es ine
iamos ligeramente de esta posición, tiende a alejarse c
equilibrio es indiferente porque si lo desviamos ligeramente de su posición, per

Consideremos ahora el caso de un cuerpo suspendido en equilibrio (ig. 8a,
b y €} En cualquiera de los tres casos P es el peso del cuerpo aplicado en su
tro de masa Gy Ces el centro o eje de suspensión.

Cuando un cuerpo suspendido se encuentra en equilibrio, la vertical que pa
sa por el centro de masa pasa también por el centro de suspensión.

Este requisito es necesario para que el torque del peso con relación al centro
de suspensión sea nulo. Además, el peso queda contrarretado por una fuerza
igual y contraria producida por el centro de suspensión

El equilibrio es estable sel centro de masa está por debajo del centro o eje
de suspensión C (ig. 8 a), porque si se desvía ligeramente el cuerpo de su pos
ción de equilibrio, el cuerpo tiende a recuperar esta posición.

El equilibrio es inestable si el centro de masa está por encima del centro ©
eje de suspensión (Gig. 8 6) porque si se desvía ligeramente el cuerpo de su
posición de equilibrio e aleja cada vez más de ella

El equilibrio es indiferente si el centro de masa coincide con el cetro o eje
de suspensión (ig. 6<) porque si se desía el cuerpo de suposición de equilibrio
y no hay tendencia a recuperar su posición primitiva

89. Problems 9

so. menorca 4 a mas

1. Indique varios ejemplos de cuerpos en equilibrio pero no en reposo,

2. Indique algún ejemplo de un cuerpo en reposo pero no en equilibrio.

3. Dé varios ejemplos de cuerpos en reposo y a la vez también en equilibrio.

4. Senale algunos ejemplos de cuerpos que no cetán en reposo ni en equilibrio.

5. Investigue cómo seria posible determinar experimentalmente el centro de
masa de una lámina suspendiéndola en dos posiciones diferentes.

1. Un avión que pesa 10.000N avanza horizontalmente con M. U. siendo la
fuerza debida a las hélices igual a SOOON ¿Qué fuerza ejerce el viento sobre
las las del avión? (Caicularla rte también). R. 11.180N.

2, Tres cuerdas 4, By Ctienen un extremo común D. Si en las cuerdas À y He
ejercen fuerzas de 300 newtons y 400 newions, ¿qué fuerza debe ejercerse en

C para que Desté en equilibrio («Js las cuerdas A y Btienen la misma dire
ción; (0) si tienen direcciones opuestas; (c)si son perpendiculares. (a) 700
rnewtoas, (6) 100 newtons en la dirección de A, (c) 500 newtons.

3. Determinar las tensiones de los hilos AC y BC si el peso de M es de 40N R.
(a) 26,1N, 26,1N, (6) 40N, 40N, (c) 20N, 346
SN

(4) 40N, SGAN, (e) 40N,

4. Un muchacho se sostiene con ambos brazos de una barra horizontal. Si el
muchaho pesa 240N ¿qué fuerza ejerce cada brazo (0) si son paralelos;(b)
si cada uno forma un ángulo de 30° con la vertical? R. (a) 120N, (b)
1386N

5. Determinar las fuerzas que La viga BA y el cable AC ejercen sobre A supo:
iendo que M tiene un peso de SON y que la cuerda y a viga tienen pesos.
despreciables. R (a) SON, 70,7N, (b) SON, 86,6N; (c) 39N.

6. Calcular la tensión en BC yla reacción en AB si M pesa 200 newtons y AB
carece de peso. R. 200N, 346N,

7. Calcular el ángulo 8 y la tensión en el hilo AB si M, pesa 300N y M, pesa
400N R. 53°, SON.

8. Calcular ls fuerzas ejercidas en A por las barras AB y ACsi AB = AC

2m, BC = 13m yM = 200N R.150N.

9. Si el automóvil pesa 10.000N y todos los miembros del puente tienen una
longitud de 30 pies, ¿cudles son las reacciones en À y en C cuando se en:
cuentra en la posición indicada. Resolverlo también s el automóvil está a
20m de 4. R.5.00N, 3.333,N, 6.666,7N.

90. 10. Un puente tiene 100 m de longitud y pesa 100.000N. Estando sostenido.
por dos columnas en sus extremos. ¿Cuáles son las reacciones en dichas.
columnas cuando sobre el puente se encuentran tres automóviles a 30m,
60 m y 80 m de un extremo siendo sus pesos respectivos 15.000N,
10.000N y 12.000N? A. 66900N, 70.100N.

Entre dos hombres llevan mediante una vara un cuerpo que posa BON Si
el de adelante soporta un peso de 50 Ibs, ¿qué fuerza soporta el de atrás y
cuál es la posición del cuerpo si la vara iene 1,50 m de largo? R. SON,
0562 m.

Un muchaho que pesa 300N está sentado en un columpio. Calcular la

fuerza horizontal que es necesario ejer ho y la tens
en las cuerdas que sostienen el columpio si forman un ángulo de 30° con
la vertical. R. 346N, 1

las tienen un extremo común y los otros están empo

4. La primera es horizontal y la segunda está por deba
primera y forma un ángulo de 40° con la pared. Del extremo común pen:
de una lámpara que pesa GON. Calcular la fuerza ejercida por cada va

ria. R. T83N, SON

Compare ambas fotografias. ¿Qué concluye?

91. Fricción

1. FRICCIÓN

Es un hecho experimental bien conocido que siempre que tratamos de
mover un cuerpo en contacto con otro encontramos cierta resistencia. Por
ejemplo, si tenemos un lil lo empujamos, vemos que se
detiene después de recorrer cierta distancia, indicio que ha estado sometido a
ma fuerza que se opuso al movimiento,

Por tanto, fricción es la fuerza que aparece en la superficie de contacto
de dos cuerpos diferentes en movimiento relutivo, oponiéndose siempre a
dicho movimiento

La fricción puede ser por deslizamiento, por rodadura y por viscosidad

2. FRICCIÓN POR DESLIZAMIENTO

Si se trata de dos cuerpos sólidos y uno se desliza sobre el tro, se tiene la
Fricción por deslizamiento. Este es el caso de un libro que e desliza sobre una
meca. Si e desea que el libro continúe deslizandose es necesario ejercer sobre
libro una fuerza para vencer la fuerza de fricción. Como la superficie de os
cuerpos, aún cuendo parezcan muy pulimentadas, presentan muchas rugosi
“dades o irregularidades ise las examina miscroscópicamente, la ficción por
deslizamiento se debe en parte, a que al reposar un cuerpo sobre otro (fig. 1)
irregularidades de la superficie del primero se entrelazan otraban con las
del segundo dificultandose así el movimiento relativo de ambos, lo que dins
micamente equivale a una fuerza opuesta a dicho movimiento, Lafrición de
pende, además, de la fuerza de adhesión que se produce e
¿delas superficies en contacto

Para que el cuerpo se deslice con movimiento uniforme es necesario api
carle una fuerza igual y contraria ala de fricción. Este es el modo experimen
tal de medir la fricción por deslizamiento,

92. 3. PROPIEDADES DE LA FRICCIÓN POR DESLIZAMIENTO

Las propiedades de la fricción por dlelizamiento san:

1) la fricción por deslizamiento dnde delas substancias en contacto

2) la fricción por deslizamiento epernde del estado en que se encuentren
las superficies (pulimentación, barnizado, grasa, ete).

3) la fricción por deslizamiento ex independiente dela forma y el rea de
la superficie de contacto. O sea la fuerza de fricción de la fig, 2a es la misma
que en la fig, 26 aunque la superficie ex el doble porque la fuerza normal esla
‘misma en ambos casos.

Pig?

4) la frieiön por deslizamiento es proporcional a la fuerza que se ejerce
perpendicularmente alas superficies de contacto. O sea, si Nes la fuerza nor
mal alas superficies y Fla fuerza de frei

Foun

donde x (mu) es el coeficiente de fricción.
Por ejemplo, en el caso de la fig. 35, la fricción es el doble que en la fig,
3a porque la fuerza normal es el doble, y en la fig. Se es el triple
El coeficiente de frieión es muy variable y en general es inferior a la uni
dad. Para cedro sobre cedro oscila entre 04 y 05 para un metal sobre otro
está comprendido entre 0,15 y 03.
Además, la fricción por deslizamiento disminuye al aumentar la veloc
dad relativa de los cuerpos en contacto, lo cual se comprende porque enton.
tienen menos oportunidad de trabarse las irregularidades

b

a * Le, 9
ti ln

FRICCION POR KODADURA

Cuando un cuerpo rueda sobre otro se tiene fricción por rodadura, Este
aso de una esfera o de un cilindro que ruedan sobre una superficie pla
periencia enseña que si no se ejerce ninguna fuerza sobre ellos se de

93. Fig. 4 often de bols.

mes.

tendrán después de recorre una distancia més o menos larga y est e debe a
afición por rodadura. El origen de la fricción por rodadura está en la po.
queña deformación que sulren la esfera 0 el cilindro y el plano en la zone de
contacto.

La fricción por rodadura es siempre mucho más pequeña que la ficción
por deslizamiento. Por ello, siempre que sea posible, debe sustituirse en
los mecanismos la fricción por deslizamiento por una de rodadura, Ya los
egipcios, hace 3.000 años, se habían percatado de ello y enla construcción de
sus pirámides movían los bloques de piedra sobre rodillos o cilindros.

Para atenuar la fricción en los ejes de las máquinas que están animados
dé rotación, se emplean los cojinetes de bolas o cilindros, sustituyendo la
fricción por deslizamiento de los ejes con las chumaceras por la fricción por
rodadura de las bolas o los cilindros, (fig. 4).

5. VISCOSIDAD

Si uno de los cuerpos o ambos son líquidos o gases lafrición recibe el
"ombre de tiscosidad. Este caso se presenta cuando, por ejemplo, un bote se
mueve sobre el agua o un globo en el aire; también si un líquido se mueve en
un tubo.

La viseos os líquidos se debe fundamentalmente a las fuerzas de
adhesión o de cohesion que tratan de oponerse al movimiento relativo del só
lido y el líquido. En los gases, sin embargo, es más bien una consecuencia de
la agitación molecular. Además la fuerza de viscosidad aumenta al aumentar
la velocidad del cuerpo relativa al fido.

Debido ala viscosidad cuando un cuerpo car en un Auido (fig. 5) ya sea

u líquido, como el agua, o un gas, como el aire, eventualmente alcanza una
velocidad constante y adquiere un a to uniforme cuando la fuerza de
viscosidad del luido contrarresta el peso del cuerpo.

6. OBSERVACIONES

La ride ai siempre un elemente negativo en todo mecanlumo ya

exiencia require a invoducin de eras adicionales pate ven
cera relacion sa ecc del mismo, in embar, siempre I
Cin es prjdical sino que algunas veces e hata ndlopeneable Sn la nes
sr pane comia y un atm a podr ana ku Din
Conocido que cuado el pavimento et húmedo los atoms "paliar à
realm debio simplmene «la damien ela Mean vs une po
lg por flan al rigen. Sin ick tambien sra más las
der

que

El sistema de trasmisión automática usado en los automóviles emplea le
viscosidad de un líquido para trasmitir la fuerza del motor a las ruedas.

Para atenuar la fricción por deslizamiento se emplean los lubricantes
que son generalmente, aceites o grasas, algunas veces mezclados con gr

94. que se interponen entre las superficies en contacto. La viscosidad del abri
cante es un factor muy importante en los mecanismos.
Ejemplo 1: Se tiene una caja de cedro que pesa 20N descansando sobre
una mesa también de cedro Determinar la fuerza que es preciso ejerce p
en movimiento. Coef. de fricción = Os

P=N=20N, #=04,
F=4N=04x 20N =8N

Ejemplo 2: En el ejemplo anterior calcular la aceleración del cuerpo si
se le aplica una fuerza de 12N.

La fuerza resultante aplicada sobre el cuerpo es ahora la
la fuerza aplicada, que es de 12N, y la de fricción que calculamos anterior
mente que es igual a 8N. Luego:

F= 12N — 8N =4N

20N
La masa delcuernoes m =
98 mi?

Luego la aceleración será:

Fo AN

m 204 kg

1,95 mis?

es la característica fundamental de la fuerza de frioción?
2.—Cite varios ejemplos en los cuales la fricción es útil y otros ejemplos en

La

los que es perjudicial y debe evita
3.—¿De qué factores depende la frición por deslizamiento?

4.—¿Por qué la fricción dinámica es algo menor que la fricción estática?

1. Sobre un plano horizontal se tiene un cuerpo que pesa 100N ¿Qué fuer
za es necesario aplicarle para que se mueva (a) con MU, (b) con un
leración de 3 m2. Coef. de fricción: 0,6 R. ON, 90,6 N.

2. Un rineo pesa 1.500N y es arrastrado por una calle horizontal cubierta
con una capa de hielo, Sila fuerza aplicada es de 90N, ¿cuáles el coef

«ción? R. 006,

3. Un bloque que pesa SON es comprimido contra una pared vertical me.
diante una fuerza perpendicular a la misma. ¿Qué valor ha de tener esa
fuerza para que el cuerpo no caiga si el coeficiente de fricción es 0,30?
R. 100N,

jente de

95. 4. Un bloque de madera de 20 kg se lanza con una velocidad inicial de 12

rm sobre un piso horizontal, Si se detiene después de recorrer 10m, cal

fricción y el coeficiente de fricción AL 144N, 0,73,

5. Un cuerpo cuya masa es de 10 kg se desliza sobre una superficie hoi

zontal. Su velocidad es de 20 mí y el coeficiente de fricción es 02. Cal
¡dad después de recorrer 30 m. R. 168 m

cular la fuerza

96. Trabajo y energia

1. TRABAJO

Además del concepto de fucrza, otros conceptos fundamentales de Ia di.
némiea son los de trabajo, potencia y energía

1 fuerza es el producto de la intensidad de la fuerza por
la distancia recorrida en su dirección. O sea:

trabajo = fuerza X distancia

Por ejemplo, si tenemos una fuerza Fhorizontal actuando sobre un cuer

po A que puede moverse en un plano horizontal (fig. 1), el trabajo realizado
por la fuerza al desplazar el cuerpo la distancia e = Ad’ es:
T= Fe (Oy

En este ejemplo las direcciones de la Fuerza y del desplazamiento coinei-

den. Cuando la dirección de la fuerza forma un ángulo con la dirección del
iento (ig 2) hay que multiplicar la fuerza F por la componente del

desplazamiento A” en la dirección de F, en este caso All; luego:

Fx AB a

ivamente, para calcula el trabajo cuando la fuer
miento no tienen la misma dirección, se puede muhiplicar el
por la componente / de la fuerza en la dizección del despla

T

y el desplaza
plazamiento

x 4d’

La equivalencia de los dos casos se comprucba porque lo

galos AF
y ABA” son semejanes y por tan

97. Fig À Trabajo motor y resiente

once un

AF Ad
= FX AB = SX AA’
47 AB

pues AF = Fy Af =f.

Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento (ig. 3)¢l trabajo es
nulo porque en este caso el desplazamiento no tiene componente en la dice
ción de la fuerza, o lo que es igual la fuerza no tiene componente a lo largo
del desplazamiento. Por ejemplo, cuando una bola rueda sobre una mesa ho
rizontal, el trabajo de su peso esc

La expresión T = Fe da el trabajo cuando la fuerza es constante y actúa
en la misma dirección del desplazamiento. Si la fuerza es variable, entonces
es necesario usar para F su valor medio durante el recorrido

2. TRABAJO MOTOR Y RESISTENTE

Si el cuerpo se mueve en el mismo sentido en que actin la fuerza, el tra
bajo es motor, pero si el cuerpo se mueve en sentido contrario a la fuerza el
trabajo es resistente. El trabajo motor se considera positivo y el trabajo resis
tente negativo.

Consideremos, por ejemplo, un cuerpo A (fig. 4), en movimiento sobre
tun plano bajo la acción de la fuerza F. El trabajo de Fes motor (positivo) pero
el trabajo de la fuerza F”, que representa la ficción entre el cuerpo y el pla
o, es resistente (negativo), Análogamente la fuerza F (Gig. 4), empleada, pa
ra subir un cuerpo, realiza trabajo motor, pero el peso P del cuerpo hace tra
bajo resistente. Lo contrario ocurriría si el cuerpo descendiera.

3. UNIDADES DE TRABAJO

La unidad SI de trabajo es el joule, abreviado J, que es el trabajo efee
twado por un newton al mover su punto de aplicación un metro en su propi
dirección. O sea

joule = newton x metro
Recordando que newton = kg X mie? se comprueba que

at
fii =

erg = dina X em

98. En OS
Puede probarse que:

En efecto, como 1 newton = 100.000 dinas y 1 m
«el joule = 100.000 dinas x 100 em = 10.000.000 erg
El nombre de joule se adoptó en honor del físico inglés James P. Joule

(1.81841.869) quien hizo notables investigaciones en la Fisica, especialmente
en relación con el calor y la energía.

100 em resulta que
107 ergs

Ejemplo 1: Calcular el trabajo efectuado por una fuerza de 20N al mo
ver su punto de aplicación 3 m en su propia dirección.

F=20N e=3m
T= Fe = 20N x 3m = 6]

Ejemplo 2: Calcula a dista
una fuerza de 45 newtons si el

a por el punto de aplicación de
ajo efectuado es de 13,5 joules,

T=135) F=45N

4. TRABAJO DE LA GRAVEDAD

Un caso importante de trabajo es el de la fuerza de la gravedad. Supon-
‘gamos que un cuerpo de masa m (fig. 5) se mueve bajo la acción de la gr

dad y posiblemente otras fuerzas, desde A hasta B. La fuerza de la gravedad
es P = mg y el desplazamiento en la de la fuerza, que esla vertical,
es AC = h = hy = hy Luego el trabajo de la gravedad es:

T

Px AC = mgh = mg (hy — h) 0)

Obsérvese que el trabajo depende exclusivamente del desnivel o dista
cia vertical entre el punto de partida y el de llegada, siendo independiente de
la trayectoria seguida. Si el cuerpo describe una trayectoria cerrada regresan:
do al punto de partida el trabajo es nulo por serlo el desnivel h. Las fuerzas
que tienen esta propiedad se llaman fuerzas conservetivas.

5. POTENCIA

Es el trabajo realizado por una fuerza en la unidad de tiempo, 0 sex:

trabajo

potencia ®
tiempo A
donde Tes el trabajo realizado en el tiempo 4

99. Recordando que T = Fe resulta, substituyendo en (4)

F

y como ef es a velocidad media del cuerpo sobre el cual actin la fuerza resul

la finalmente:

Fo potencia = fuerza x velocidad medi:

Si se tiene un mecanismo cuya potencia es determinada, la Fúrmula (5)
indica que la fuerza ejercida será tanto mayor cuanto menor sea ln velocidad
Por eso en los automóviles la máxima fuerza posible se ejeree cu
embrague en “primera”, que es cuando la velocidad es pes

La potencia de un mecanismo es un concepto muy importante pues en un
motor, por ejemplo, lo que interesa no es tanto la cantidad total de trabajo
que puede hacer hasta que se descomponga, cuanto la rapidez con que pu
Entregar el trabajo, o se el trabajo que puede hacer en cada unidad de tiem
po, que es precisamente la potencia.

6. UNIDADES DE POTENCIA

La unidad SI de potencia es ei watt y es la potencia de una máquina que
realiza un trabajo de un joule en un segundo. Se abrevia W. O sea:

joule

segundo
A veces se usa el kilowatt (KW), que se define por

1 kilowatt = 1.000 watts

Otra unidad de potencia usada frecuentemente es el Horse-Power (HP
0 valor es

LHP. =

watts

El nombre de watt fue dado en honor del ingeniero mecánico inglés Ja
mes Watt (1736-1819) quien perfeccionó la máquina de vapor. El fue además
quien introdujo la unidad ""horse-power” observando que

promedio de los caballos empleados en las m

ala potencia
de carbon de Gales

Despejando T en (4)

T=
Esta relación permite definir una nueva unidad de trabajo, el ilo-watt
hora
Un hilowatt hora (kWh) es el trabajo realizado en una hora por una más
quina cuya potencia es un kilowatt

100. in moy e 10

1 Kilowatt-hora = 1.000 watts X 1 hora = 3.600.000 joules
36 x 10° joules
joule y 1 hora = 3.600

de 1.800.000 J en un cuarto de
hora. Calcular su pote

T = 1.800.000} à = 15min =900s

T _ 1,800,000)
P=—= — = 2.000 W= 268 HP.
1 900s

Ejemplo 4: Calcular la potencia del motor de un automóvil que desarrolla
una fuerza de 5.000N cuando su velocidad es 72 km/h

F=5000N, —v=72km/h = 72 x 1,000m/3.600s = 20m/s

P = Fo = 5000N x 20mís = 1.000 W = 134H.P.

La última reducción se efectúa dividiendo por 7457.

7. ENERGÍA

Et la capacidad o aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo
Por consiguiente la energía igual al trabajo que puede realizar el cuerpo. Pe:
ro si sobre el cuerpo se realiza un trabajo, su energía aumenta en una cant
dad igual al trabajo recibido. Por tanto:

Si un cuerpo realiza un trabajo, su energía disminuye porque utiliza una
cantidad de energía igual al trabajo realizado. Pero si sobre el cuerpo
2a un trabajo, su energía aumenta en una cantidad igual al trabajo n
Ösen

Cambio de energia = trabajo realizado

El concepto de energia es probablemente el concepto més importante de
la Fisica, aun más importante que el de fuerza, pues resulta en general, más
cómodo y simple describir los procesos que ocurren en la naturaleza mediante
los cambios de energía que se producen que sus términos de las fuerzas que
se aplican al cuerpo.

Conviene distinguir dos clases de energía: energía cinética y energía po
tencial

8. ENERGÍA CINETICA

Es la aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su
velocidad. Luego un cuerpo pasee energía cinética cuando se encuentra en

movimiento, como un automóvil en una cárretera o una molécula en un gas.

101. emo au rs

La energía cinética está dada por la expresión:

donde m es la masa y v la velocidad del cuerpo.

La energía cinética se obtiene calculando el trabajo que debe hacerse
sobre un cuerpo que parte del reposo para que adquiera la velocidad +. En
efecto, sea Fla fuerza aplicada, eel espacio recorrido por el cuerpo y asu ace-
Jeración; el trabajo realizado por la fuerza es:

T= Fe = mae = mv

porque F = ma y o? = 2as, de donde, ac = 19?

La energía se mide en las mismas unidades que el trabajo porque es una
magnitud de la misma especie. Luego se expresa en joules si la masa está en
kg y le velocidad en mis.

Los átomos y moléculas de los cuerpos están en continuo estado de agita-
ción y por tanto, poseen energía cinética. Esta energía cinética está
da con dos conceptos muy importantes: temperatura y calor.

9. ENERGÍA POTENCIAL

La energía potenciales la aptitud que tiene un cuerpo para realizar un
jo vid des pasión configaracin acu e sers que a
Por ejemplo, un muelle comprimido AB (Ki. 0) posee energie potencial
porque sie deje actuar libremente sobre un cuerpo B realiza un trabajo ales
Uirarse hasta su longitud normal,
La fuerza media par
ha sido estirado, o sea:

estirar un muelle es proporcional ala longitud que

Fake m

La fuerza media para etc

longitudes por tanto Fx. Y el taba
jo requerido para estrarl será

(fuerza media) X (alargamiento)
= Fes hors lt

Esto trabajo deberá ser igual ala energía potencial. Por tanto, la energía
potencial de un muelle estirado la distancia x seré:

E,-

la @

Análogamente un cuerpo a a altura À = AB (fig. 7) tiene energía poten-
cial porque puede realizar un trabajo al cae. El valor de su energía potencial

‘gh [0]

102. En efecto, su peso P=mg realiza al eaer el cuerpo el trabajo

T= Ph = mgh

Existen diversas formas de energía potencial según la naturaleza de la
fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Así, (9) puede considerarse como la
energía gravitatoria de un cuerpo. La energía eléctrica es simplemente la
energía potencial debida a las fuerzas eléctricas entre cuerpos cargados
eléctricamente, La energía química esla energía potencial de las moléculas
de un cuerpo debida alas fuerzas entre sus átomos, La energía nuclear esla
energía debida a las fuerzas nucleares que actúan en los núcleos atómicos.

10. ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO

En el N° 4 del Cap. IX examinamos diversos casos de equilibrio estable
inestable e indiferente. Si examinamos las figs. 7 y 8 observamos que ej
equilibrio estable se produce cuando el centro de gravedad se encuentra
o más bajo posible. Recordando que la energía potencial debida a la
gravedad depende de la altura concluimos que para que un cuerpo esté en
equilibrio estable, su energía potencial tiene que ser un mínimo

Del mismo modo, el equilibrio inestable se produce cuando el centro de
gravedad está lo más alto posible y por tanto, su energía potenciales un máxi
mo. Finalmente, en los ejemplos de equilibrio indiferente el centro de grave.
dad permanece à la misma altura y por tanto, la energía potencial no varía al
moverse el cuerp

Estos resultados son completamente generales y se aplican no solo a la
energía potencial gravitatoria, sino a cualquier clase de energía potencial,

11. ENERGÍA TOTAL

Un cuerpo puede poseer a la vez energía cinética y potencial. Por
ejemplo, un avión que se mueve a cierta altura, posee energía cinética y ener
gía potencial gravitatoria. La energé total de un cuerpo esla sum:

las formas de energía que posee

En el caso de un cuerpo de masa m que se mueve con velocidad va la al
tura h, como un avión, su energía total es

E=E +E, = mot + mgh ao)

Ejemplo 5: Un cuerpo ti

Calcular su energía cinética

me una masa de 2 kg y una velocidad de 3 m

Ejemplo 6: Un cuerpo posee una energía de 50 joules. Si sobre se hace
trabajo de 18 joules, ¿cuál será su energía? ¿cuál será ies el cuerpo el que
fectún el trabajo sobre otro?

103. En el primer caso su energía aumenta en una cantidad igual al trabajo.
recibido. Luego:

E = 50) + 18J = 68)

el segundo caso disminuirá en una cantidad igual al trabajo efec
Luego:

E

50) - 18) = 32)

Ejemplo 7: Cale

energía potencial de un farol que pesa 40N y está
olgado a 5 m del suelo,

Como el peso del farol es de 40 N tenemos que

E, = Ph = (40N) x (5m) = 2003

12, ENERGIA INTERNA DE UN CUERPO

Hemos estudiado que sobre un sistema de partículas, tal como las molé
culas de un cuerpo, actan fuerzas internas y externas, Por tanto, en general,
tun agregado de partículas posee dos clases de energía potencial: La energía
potencial interna, está asociada con las fuerzas internas, mientras que la ener
ía potencial externa, corresponde a las fuerzas exteriores

Por ejemplo, si consideramos el sistema Tierra-Luna, la energía poten
cial debida a las fuerzas entre estos dos cuerpos es interna mientras que la
energía potencial debida a la atracción del Sol y los oros planetas es externa.

En el caso de una molécul
tencial debida a las fuer
potencial debida a las fu

-ompuesta de varios átomos, la energía po
¡eratómicas es interna mientras que la energía
as ejercidas por otras moléculas próximas es ex

En el caso de un cuerpo compuesto de moléculas, la energía potencia es
debida alas fuerzas intermoleculares, Además las moléculas de un cuerpo es

en continuo movimiento, y por tanto los cuerpos tienen energia cinética
interna debido a la agitación molecular

La energía interna (E de un cuerpo, esla suma de la energía cinética de
sus moléculas y dela energía potencial interna asociada con las fuerses inter

energía interna = energía cinética molecular + energía potencial interna
E. = E (mol) + E, (int) a

Este concepto es de gran importanci
como veremos más adelante,

13. TRANSFORMACIÓN Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA

En el universo, como consecuencia de los innumerables fenómenos que
ocurren continuamente, se está produciendo sin cesar una transform

105. 14. ANÁLISIS DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN
DE LA ENERGÍA

Si designamos por E, la energía cinética que hay en el universo y por su
E, su energía potencial interna, el principio de conservación de la energía se
expresa escribiendo:

+ E, = const.

Un ejemplo de la conservación de la energía es el análisis delos cambios
de energía que experimenta un cuerpo que cae. Inicialmente su velocidad es
cero y carece de energía cinética. Toda su energía es potencial e igual a:

E, = mgh

A medida que cae, su altura disminuye y su velocidad aumenta, de
modo que pierde energía potencial y gana energía cinética. Al llegar a
Ja superficie terrestre su velocidad es +? = 2gh. Luego su energía ciné.

1m (2gh) = mph = E,

lo que nos prueba que la energía cinética que ganó es igual a a energía poten
cial que perdió y por tanto, no ha cambiado la energía total del universo, y en

éste caso tampoco la del cuerpo considerado.

El principio de conservación de a energía es uno delos principios funda.
mentales de la Física, al igual que el principio de conservación del momen-
tum. Hasta el presente no se conoce ningún caso en que no se cumpla y por
tanto su aplicación es una regla usada siempre por los físicos al examinar un

fenóment

En realidad, el principio de conservación de la energía en la forma que lo
hemos enunciado, es un caso particular de otro principio más general que es
Iablece que todo cambio de energía interna de un cuerpo es igual al trabajo
realizado sobre el cuerpo por las fuerzas externas, o sea

( aumento de ) ( bajo sobre el cuerpo. =)
¿Energía interna, a las fuerzas externas
a2)

Es claro que si es el cuerpo el que realiza un trabajo externo, su ene
interna debe disminuír. Estos resultados se han expresado esquemáticamente
en la fig. 9.

Evidentemente, en todo sistema aislado, como es el caso del universo, no
hay fuerzas externas y por tanto, el cambio de la energía interna es también
cero, lo que equivale a afirmar que su energía permanece constante.

106. uae y 10

wabajo de las | [Aumento de Disminución de] [trabajo externo
fuerzas externas | | energía interna | | energía interna | [realizado por
sobre el cuerpo | | del cuerpo del cuerpo el cuerpo

Fe

Ejemplo 8: Una bomba cuya masa es de 20 kg se lanza desde un avión cu-
a velocidad es de 200 km/h y se encuentra a 800 m de altura. Calcular la
energía total de la bomba y la velocidad con que llegará al suelo.

En este problema no se tiene en cuenta la energía química de la bomba
debida a los explosivos que contiene.

200 km/h = 55,5 mis, À = 800 m.
2 met + mgh
+ (20kg) X (55,Smis)? + (20kg) x (9,8m/s*) x (800m)

Esta energía se ha transformado toda en cinética al llegar al suelo, de
modo que si Y es su velocidad en ese momento debe tenerse en virtud del
principio de conservación de la energia, suponiendo que la bomba no ha
transmitido energía al aire que la rodea, lo que siempre ocurre, que:

Fx (kg) x Y? = 187666) 2. Y= 13m

15. MASA Y ENERGÍA

Aunque a primera vista los conceptos de masa y energía parecen ser
completamente independientes, están estrechamente ligados. La masa m de
‘un cuerpo está ligada con su energía interna por la relació.

E=mt o m

as)

donde e es la velocidad de la luz, cuyo valor es

€=3 x 10' ml

La formula anterior, obtenida por Einstein, expresa que siempre que un
cuerpo gana o pierde energía su masa aumenta o disminuye.

Por ejemplo, al acelerar un cuerpo y aumentar su velocidad y por tanto,
su energía cinética, también se aumenta su masa. En las
y nucleares en las que hay absorción o emisión de ener
cuerpos que resultan no es exactamente igual ala masa de los cuerpos que ha
bia inicialmente. Debido al gran valor numérico del factor ¢, los cambios de
masa son prócticamente imperceptibles para la mayoría de los procesos que
ocurren en la Tierra. Por ello por mucho tiempo se pensó que l principio de
conservación de la masa era independiente del principio de conservación de

107. un cn a He Pr

la energía, pero actualmente sabemos que el único principio general es el de
la conservación de la energía

La relación (13) ve hace más patente en los procesos que ocurren en los
núcleos de los átomos. En estos casos, ls cambios d
que las variaciones de masa so
proviene de un proceso en el cual
formar uno de helo, con pérdida ap
energía radiante

‘energia son tan grandes,
Por ejemplo, la energía solar
stro átomos de hidrógeno se juntan para

le en la masa, que se convierte en

preciable

Ejemplo 9: Calcular la variación de masa de un cuerpo cuya energía va
rin en a) 107 J; b) 1 dic) 10" J; 9) 10" J

Abandon
a = 111 10 Mg
O may 5
b) u LIL x 10g

m= ai x 108
(8 x 10° ms? il
Ww 1,11 1090
oe “Ex 10 mat E
1007
a = 1,11 10%

MT x 10 ma}

Se comprueba así que se requieren energías extr
des para producir un cambio apreciable en la masa. Estas energías solo se
producen en el laboratorio en máquinas especiales aceleradoras de partículas.
También se producen en la fisión del uranio. Por ejemplo, cuando se fisiona I
kg de uranio, se desprenden 8,25 x 10% J, que corresponden a una pérdida
de masa 0.92 X 10 kg. Por el contrario, en la combustión de 1 kg de gasol
ha se desprenden 48 X_ 10° J que corresponden a una pérdida de masa de
623 x 10" kg, que es imperceptible

ordinariamente gran:

16. CHOQUE ELÁSTICO

Hemos explicado anteriormente que en el choque entre dos cuerpos
siempre hay conservación del momentum. También hay conservación de la
energía total, pero no necesariamente de la energía cinética. Designando por
ty ty las velocidades antes del choque y % y las velocidades después, resul
ta que:

nentum total antes

‘momentum total después: myo, + mits

con lo que la conservación del momentum nos da:

108. En sun Dee 18

ims + man = ma + ma as
Análogamente:

energía cinética antes = 2-mug +4 may?

energía cinética después: = 1 mo? + mat

com lo que la conservación de la energía nos da

bmp? + Emo? = mur + ima 00
donde Q representa vaicón de energía interna de sitema. Si Q es pos
hy conservación de energía cnéicay se die quel choque er las E

3 mint tmnt bint à La 06)

Esta ecuación combinada con (14), nos permite determinar
des después del choque si conocemos las velocidades antes.

velocida

Las ecuaciones que hemos expuesto son de gran aplicación en
nuclear

Ejemplo 10: Dos cuerpos cuyas masas son 6 kg y 8 kg se mueven en la
misma dirección con velocidades de 0,20 mis y 0,04 ms. Calcular sus velocida
des después del choque si este es elástico

m,=6kg m=8kg 4 =020ms, ty = 0,04mis

8) comservación del momentum,

6y +8
3u +4

6 x 0,20 + 8 x 0,04
0,76;

52

conservación de la energía (Q = 0),

x (6kg) x nt + Ex hg)?
x (6 he) x (020 mis)? +2 (B kg) x (00m) = 0,1264
Su + 4x4 = 01268

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones result:

m = 0,017 m/s — 0¿=0,177 m/s

PREGUNTAS

¿Qué alteración sufre el valor del trabajo si la distancia se duplica yla in-
sidad de la fuerza (a) se reduce ala mitad, (5) se duplica?

109. DETTE

2. Dé un ejemplo de fuerza que actúa sobre un cuerpo en movimiento si
hacer trabajo.

3. Un hombre sube una escalera y baja después. ¿Qué trabajo han hecho los
músculos del hombre?

4. ¿Cómo debe medirse en general la energía que posee un cuerpo?

5. ¿Cómo debe medirse la energía cinética?

6. ¿Qué quiere decir que un motor tiene una potencia de 4 kW?

2. Explique el significado del principio de conservación de la energía. Cite
algunos ejemplos.

8: ¿Qué magnitud puede medirse en kilowatts y cuál en kilowatt-hora?

9. El perfil de una carretera tiene la forma ilustrada enla figura. Indicar los
lugares donde un cuerpo puede encontrarse en equilibrio estable, ines:

ble, indiferente.

PROBLEMAS

1. ¿Qué trabajo hace una fuerza de 12 newtons cuando mueve su punto de
aplicación 7 m en su propia dirección? R 84 joules.

2. ¿Qué trabajo hace una fuerza de 87 dinas cuando mueve su punto de apli-
cación 14 em en su propia dirección? R 1.218 ergs.

3. ¿Qué fuerza realiza un trabajo de 150 joules al mover su punto de aplica:
ción 30 m en su propia dirección R SN.

4. Entre varios hombres suben un piano que pesa 500 N hasta un tercer pi
so de una casa que está a une altura de 8 m respecto a la calle. ¿Qué tra:
bajo harán? R 4,000.

5. ¿Qué distancia se debe mover el punto de aplicación de una fuerza de
100 N para que el trabajo realizado sea de 400 joules? R 4 m.

6. ¿Qué trabajo es necesario efectuar para sacar de un pozo un cubo que
contiene 10 dm? de agua, si la superficie del líquido se encuentra a ur
profundidad de 3m? R 294, joules.

7. ¿Qué trabajo por km debe hacer el motor de un camión que tiene una
masa de 12 toneladas si ejerce una fuerza de propulsión igual a 5.000 N?
RS X 108 joules

8. ¿Qué trabajo ha realizado un hombre que arrastra un saco de harina que
pesa 650 N alo largo del piso una distancia de 10m, ejerciendo una fuer-

za de tracción de 250 N y después lo sube a un camión cuya plataforma
está a 75 em del suelo? À 2987,5J.

9. ¿Qué potencia han desarrollado los hombres del problema 4 si han subi
do el piano en 3 minutos? À 22,2 W.

10. ¿Cuál es la potencia del motor del camión del problema 7 si su velocidad
ts de 54 kmh? R 75 kW.

LL. ¿Qué potencia desarrolló el hombre del problema 8 si efectuó su trabajo
en 6 minutos? À 83 W.

12. Un caballo enganchado de un caro tira del mismo con una fuerza de 500
N, recorriendo una pista circular de 6 m de radio. Si da 5 vueltas cada 6
minutos y trabajo 8 horas diarias calcular (a) su potencia (5) su trabajo
diario. R 261,8 W, 7,54 x 10 J.

110. 13. Sobre un cuerpo que describe con movimiento uniforme una cireunferen
de 40 cm de radio a razón de 120 rpm. actún una fuerza de 50 N.

Calcular la potencia y el trabajo efectuado en 20s. 251,3 W, 50265 J.
Un motor tiene una potencia de 25 kW ¿Con qué velocidad subirá un ele:
vador que pesa 10.000 N? R 2,5 mis
Un aeroplano, cuya masa es de 3.200 kg necesita una potencia de 448 kW
cuando vuela horizontalmente a una velocidad de 300 km/h ¿Cuál será la
potencia total requerida si además asciende con una velocidad de 30
kh R 108,3 KW.
¿Cuál esla potencia de un motor que eleva SOlitos de agua por minuto a
‘una altura de 6 m? R 49 watts
Un elevador ha subido 10 pasajeros, cada uno de los cuales pesa 800 N,
tuna altura de 300.m en 3 minutos, Si el peso del elevador es 10.000 N
cuál esla potencia del motor que lo mueve? R 30 kW

Si el kilowatt-hora de energía eléctrica cuesta $ 0,10, ¿cuánto costará ha:
cer funcionar durante tres horas un motor cuya potencia es 9 KW? A
$270.

¿Cuál es la energía cinética de un automóvil cuya masa es 1.600 kg si po:
fee una velocidad de 72 km/h? R 3,2 x 1053

Un cuerpo cae en 5 partiendo del reposo. ¿Cuál será su energía cinética
al llegar al suelo, si tiene una masa de 0,01 kg? R. 12 joules.

¿Qué trabajo debe hacerse para elevar un cuerpo que pesa 100N desde
un punto de 2 m del suelo a un punto a 8m? ¿Cuál ha sido el aumento de
energía potencia? R. 600 J
Desde un avión cuya velocidad es de 270 km se deja caer una bomba de
10 kg, Si el avión se encuentra a una altura de 1.000 m calcular (a) su
energía cinética inicial (5) su energía potencia inicial; (c)su energía total
(d) la velocidad con que llegará al suelo. R. 28.125 joules, 98.000 joules,
126.125 joules, 1588 má
En el problema anterior calcular la velocidad de la bomba cuando se en
cuentra a 500 m de altura. R. 124,2 ms
¿Cuál será la altura de la bomba cuando su energía cinética haya aumen:
tado en un 30% de su valor inicial? Hallar también su altura cuando su
velocidad es de 100 mis R. 913,9 m, 7168 m.
¿Cuál es la velocidad de un móvil cuya energía cinética es 1.800 ergs. si
tiene una masa de 4 g? R 30 emis
Sobre un cuerpo cuya masa es 10 kg acta una fuerza de GON durante 12
Si la velocidad inicial del cuerpo era de 6 mis calcular (a) el trabajo
efectuado por la fuerza; (5) la potencia desarrollada; (c) la energía cinéti
ca final (d) el aumento de energía cinética, R. 30.240 J, 2517 W, 30420
J, 30240 J.
Un cuerpo cuya masa es de 20 kg es lanzado verticalmente hacia arriba
con una velocidad inicial de 50 mis. Calcular (a) sus E.C, E.P.y ET in
ciales; (bus E.C. y E.P. a los 3 de estar subiendo; (c) sus E.C. y EP.
‘cuando está a 100 m de altura; (d) su altura cuando su E.C. se ha reduci.
do a un 80% de su valor inicial. R. (a) 25.000 joules, o, 25.000 joules, (6)
4.243,6 joules, 20.756, joules, (c) 5.400 joules, 19.600 joules, (d) 253 m.
Un trineo pesa SOON y es arrastrado por una calle horizontal cubierta
con una capa de hielo. Calcule el trabajo necesario para arrastrarlo una

111. namen au ica ott

distancia de 200 m. Coef. de fricción: 0,03. ¿Qué potencia se ha de
sarrollado si el trineo se movió con una velocidad de 60 em/s R. 3000 3,9.
w
Un cuerpo cuya masa es de 10 kg se desliza sobre una superficie horizon:
tal, Su velocidad inicial es de 20 mis y el coeficiente de frieción es 0,2.
Calcular su velocidad después de recorrer 30 m. R. 16,8 mis.
36. Se sabe que a temperaturas muy altas es posible que cuatro átomos de
hidrógeno se reúnan formando uno de helio. La masa de un átomo de
hidrogeno es 1,6735 X 10 kg, y la de uno de helio es 6,6459 x 107
ig. Estimar la pérdida de masa yla energía total desprendida cuando to
dls los átomos en 1 g de hidrógeno se unen para formar helo.

112. Gravitación universal

© LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Uno de los problemas que h do al hombre desde que
estudiar la naturaleza ha sido el movimiento de los astros y en particular de
los planetas que integran el sistema solar. Por mucho tiempo esta cuestión fue
de interés solo para los astrónomos, pero actualmente con el lanzamiento de
satélites artificiales y los viajes interplanctarios, este asunto ha cobrado de
nuevo interés para los físicos,

Las fuerzas entre el So y los planetas o entre la Tierra y los cuerpos prö
ximos a su superficie son simplemente manifestaciones de una propiedad ge
neral de la materia, descubierta en 1.666 por Newton con el objeto precisa
mente de explicar el movimiento plauctari, y llamada gravitación (o atrac
ción) universal, cuyo enunciado es el siguiente:

Ley de le Gravitación Universal: Todos los cuerpos se atraen con una
fuerza directamente proporcional al producto de sus masas ¢ inversamente
roporcional al cuadrado de la distancia que las separa,

O sea, sim y my son las masas de dos cuerpos separados la distancia y
fig. 1) la magnitud de la fuerza F con que cada una de ellos trae al otro es

F=6 Mm

donde G es una constante de proporcionalidad, la misma para todos los cuer-

pos, lamada constante de Cavendish en honor al físico inglés Henry Caven
ish (1731-1810), a quien se debe la primera determinación precisa de la

misma. Cuando F se mide en N, m, ymyen kg y ren m, el valor de Ges

113. AÑ

ig. 2 Tapco de on par sl

4a ae man

xm

N
G = 667 x 10%

kg

La fuerza de gravitación solo es sensible cuando se trata de masas muy
grandes o de distancias muy pequeñas.

Ejemplo 1: Calcular la fuerza de atracción entre dos masas de 200 kg y
300 g, separadas 5 cm.

m,=200g=02kg, m,=3g=03kg d=Scm = 005m.
(02 kg) x (0,3 kg)

F = (661 x 101) x= = 1,604 x 10%
(6,67 x 10) 0,00: 10%N

Como se ve, la fuerza de atracción es muy pequeña.
Ejemplo 2: Calcular la atracción que se ejerce entre la Tierra yla Luna

masa de ests es 75 x 10% kg y la de la Tiera es 59,7 X 109 kg, siendo.
tancia entre ambas de 3822 x 10° m.

la

m=75X 10% kg, my = 59,7 x 10% kg, d= 3,822 x 10'm

(75 x 107g) x (59.7 x 10% kg)
rn rien
: ? (9822 x 10m?

2. LEYES DEL MOVIMIENTO PLANETARIO

Los astrónomos antiguos estudiaron el movimiento de los plenetas y el
Sol con relación a la Tierra, utilizando a esta última como sistema de referen
is. La consecuencia fue que obtuvieron resultados muy complejos que dif.
ultaron describir leyes generales. (Fig. 2). À principios del siglo xv, el asırd-
nomo polaco Nicolás Copérnico (1.473.543) sugirió que podrían obtenerse
resultados muy sencillos y generales si se referían los movimientos delos pla-
netas yla Tierra con relación al Sol, sea si se usaba el Sol como sistema de
referencia

Como consecuencia de la hipótesis de Copérnico y las observaciones
astronómicas de Tycho Brahe (1.546-1.601) y otros, el astrónomo Johannes
Kepler (1.571-1.630) quien vivió en Praga, formuló las leyes del movimiento
planetario, que son las siguientes:

1. Los plonetas describen órbits elípticas ocupando el so! uno de los
Focos.
IL. La recta que une un planet con el Sl (radio vector) describe áreos
iguales en tiempos iguales
III. Los cuadrados de los períodos e resolución son proporcionales a
los cubos de sus distancias medios al Sol
La clipe Gig. 3) es un curva muy parecida a un óvalo cuyas propieda
(des se estudian en cursos de Matemática. Posee un centro Cy dos focos F 1

114. co avira mea - 1

FF’ en uno de los cuales se supone sxtuado el Sol. El círculo es un caso parti
cular de elipse que se presenta cuando los dos focos coinciden con el centro
En lo sucesivo, y para mayor sencillez, supondremos que la örbita es un

Para aclarar la segunda ley supongamos al planeta en À y que al cabo de

un tiempo dado, un mes por ejemplo, se encuentra en B El área descrita por

una recta imaginaria que lo une al Sol, o radio vector, es el sector AFB. Si

‘a observar el planeta durante el mismo tiempo a partir de

'C comprobaremos que el rea descrita CFD es igual a

Áreas descritas en tiempos iguales son iguales. Usan:

do razonamientos matemáticos algo complejos, puede demostrarse que esta

ley es equivalente a afirmar que la fuerza ejercida sobre cada planeta es
central y dirigido siempre hacia el Sol.

Designado por Tel período d+ revolución de un planeta y por D su dis
tancia media al Sol, ya que, como puede verse dela ig. 3, el planeta está unas
veces más cerca y otras más lejos del Sol, la tercera ley puede expresarse ma.
temáticamente en le forma:

T= kD @

donde k es una constante de proporcionalidad común para todos los planetas
que giran alrededor del Sol

En la tabla a continuación, se dan los períodos de revolución y las distan
cias medias de los planetas al Sol, así como el valor de k = 7/0? para cada
planeta, verficándose que se cumple la tercera ley

PLANETA Tsegs,) Dim) k= rm
760.x 10% 2901 x 10”
194x107 2388 x 107
3316 > 10" 981 x 107
510 2981 x 10°97

Júpiter ST x 10" 2980 x 107

Saturno 92010 2982 IO
266 x 10 2981 x 107
520 x 107 10%

ES CANE ES Bo 10

115. DERIVACIÓN DE LA LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL

La contribución principal de Newton fue demostrar que La única fuerza
capaz de producir un movimiento que siga las leyes de Kepler tiene que ser de
la forma dada por (1), o sea inversamente proporcional al cuadrado dela dis.
tancia y directamente proporcional a las masas

Considerando para mayor sencillez una órbita circular de radio r tene
mos que sila fuerza es central, es necesariamente perpendicular a la veloc
ad, con lo que el movimiento será circular uniforme, lo que concuerda con la
ley de las áreas. En este caso la única aceleración es centrípeta yla fuerza es
tard dada por una cualquiera de las fórmulas señaladas en (11) del cap. vn
Usando la tercera fórmula y designando por m, la masa del cuerpo tenemos
que:

3

Fe

La distancia media D al Sol es ahora igual al radio r com lo que In tercera
ley de Kepler es entonces:

r

tn

que substituida enla ecuación anterior nos da
Artmr _ Axim,

kr kr?

Si mes la masa de la partícula que hemos supuesto en el centro, resulta
que el mismo razonamiento puede aplicarse para calcular la fuerza que m;
ejerce sobre m; resultando:

rm,

Wr

Por el principio de la ación y reacción F = F’. Luego:
4xim, _ Axim,

eke

de donde

116. mn ein wo 11

habiéndose designado por 41"/G el valor común de ambos términos, siendo @
‘una nueva constante, Luego:

4 4

Gm Gm

da en las expresiones (3)y (4) para Fy F' nos dan a ley de New.
Gmym fr}. Con el valor anterior de k la relación entre Ty re.

nm

Esta fórmula, por ejemplo, permite calcular la masa m; de un planeta
ue tiene un satélite pues basta con medir Tyr.

Ejemplo 3: Calcular le masa del Sol. La distancia del Sol ala Tierra es

= 1,5 X 10% m, y el período de revolución de la Tierra es T = 365 dias =
3,15 x 107 . Luego, despejando m;

ar 4 x 3,147 x (15 x 10%mP
= (6,67 x 108) x (3,15 x 1075)?

2,0 x 10%kg

Ejemplo 4: Calcular la masa de la Tierra. Podemos utilizar ahora dos
ocedimientos diferentes. La distancia de la Tierra a la Luna es de
532 x 10%, y el período de revolución de la Luna es 27,32 días = 236 x
x 10° s. Luego aplicando la misma fórmula:

drt? 43,14% x (3,82 x 10'm)P

GP 6,67 x 10 x (2,36 x 10552

98 x 102g

Comparando este resultado con el del ejemplo anterior, vemos que la ma
a del Sol es 300.000 veces mayor que la de la Tierra.

0 método es el siguien

Un segun Consideremos un cuerpo de masa m,
en la superficie terrestre. La fuerza de atracción de la Tierra es

CEA

Pero por otra parte, esta fuerza debe ser igual al peso del cuerpo P =
imag. Luego haciendo F = P:

Gmym,
= mg

0. como el radio de la tierra es 6,34 x 10m,

117. e

amen à at
gr? (981 mie?) x (6,37 x 10° m)?

€ 667 x 10%

98 x 10%kg

en concordancia con el resultado anterior. Esta concordancia es una de las
mejores verificaciones de las ideas de Newton de que las fuerzas con que la
Tierra atrae a los cuerpos en su superficie y ala Lune, son de la misma natu
raza.

4. VARIACIÓN DEL PESO DE UN CUERPO

El peoo de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra lo atrae. Por consi-
guiente el peso varía con su distancia al centro de la Tier

Por tanto, el peso de los cuerpos disminuye al elevarnos sobre la superfi-

cie terrestre, debido al aumento dela distancia, según se ilustra enla fig. 4. El

"uerpos también disminuye al penetrar en el interior de la Tierra,

iustrado en le fig. 4. A primers vista podria pensarse que

«peso del cuerpo debía aumnentar por disminufr la distancia del centro. Pero

‘como al acercarse al centro disminuye la masa efectiva de la Tierra que pro-

duce la atracción, resulta que, en definitiva, se produce una disminución en el
peso,

5. SATÉLITES ARTIFICIALES

Los satélites artificiales son cuerpos lenzados desde la superficie
terrestre, de modo que en algún momento tengan una velocidad tal en magni
ud y dirección, que describan una trayectoria cerrada alrededor dela Tierra,
la Luna o algún otro planeta. Considerando el caso de un satélite terrestre
(Gg. 5), el movimiento se calcula de modo que desde A hasta B su velocidad
“aumenta por consumo del combustible. Al propio tiempo, va cambiando de di
rección y todo se arregla para que allegar al punto B tenga la velocidad nece-
‘aria para describir la trayectoria elíptica o circular que previsto. A
partir de eve momento y siel movimiento es fuera de la atmósfera terrestre de
mode que no hay resistencia debida al aire, no es necesario consumir más
combustible, pues el movimiento prosigue bajo la acción combinada de le
fuerza gravitatoria y la velocidad impresa en B.

En el caso de una órbita circular la fuerza centrípeta sobre el satélite es:

118. Igualando la fuer

de donde:

Por tanto la velocidad y

determinada por el radio r de I

La velocidad en una órbita circular está relacionada con el período T por
v = Zur/T. Luego el período del satélite se calcula por:

dar

y depende exclusivamente del radio de la órbita.

Comúnmente se dice que en el interior de un satélite artifical el peso de
un cuerpo es nulo. Esto no significa en realidad, que la atracción dela Tierra
sea nula a esa distancia, como algunos piensan erróneamente, Lo que sucede
es que en un sale, toda la atracción de la Tierra se emplea en producir la
fuerza centripeta requerida para que describa la trayectoria circular,
mientras que en el caso de los cuerpos terrestres, solo una pequeñísima frac:
ción de la atracción terrestre se emplea en producir la fuerza centrfpeta re.
querida por la rotación de la Tierra. La fuerza en exceso esla que produce la
caída de los cuerpos con la aceleración g.

Ejemplo 5: Calcular la altura y la velocidad de un satélite que describe
‘une órbita circular con un período igual a un día.

Aplicando (5) con T = 1 día = 8,6 X 10% s y m igual a la masa de la
Tierra,

Gm,P _ (667 x 10) x (5,98 x 10% kg) x (8,6 x 10%)?
a TS

4.80 x 103m?

121 x 107 m

2.000 km,

que nos da el radio de la órbita del satélite terrestre, Luego el satélite se en
cuentra a 31.200 km de altura sobre la superficie terrestre. Su veloc

dar

2 x 3,14 x (42 x 10%m)
T 86 x 1088

3,07 x 10° mis

119. Estos satdlites se llaman también plataformas espaciales porque como
tienen el mismo período de revolución que la Tierra, permanecen ios frente
al mismo lugar de la Terra. Se considera que una red de estos satélites puede
desempeñar un papel importante en las telecomunicaciones y en la predicción
del tiempo.

Ejemplo 6: Comparar el peso de un
centripeta necesaria para que el mismo cuerpo situado en el ecuador gire con
la Tierra,

uerpo de masa m kg con la fuerza

Como el período de revolución es T = 1 dia = 8,6 x 10*s, resulta que:

2x _ 2 x (8,14 rad)

= 3 X 10° radis
T 86x 108s

x 103 rad)? x (6,37 X 106m) = 3,40 X 10m N

El peso del mismo cuerpo es P = mg = 9.8mN, que es alrededor de 300
veces mayor que la fuerza centrípet,
perficie terrestre tienen una acelerac
en un satélite P = F. y por ello, la única a
como resultado que el peso aparente es cero,

ello los cuerpos próximos a la su
e hacia abajo. Sin embargo,
eracién es la centrípeta dando.

6. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA

Todo cuerpo sometido a la acción de la gravitación universal posee ener
sia potencial gravitatoria. Si consideramos dos cuerpos de masa m, y m sc
parados la distancia r puede demostrarse que la energía potencial debida ala
tracción gra

m a

Por tanto, sity y 4, son las velocidades respectivas de los dos cuerpos la

ere vol dl lema sn
eta ihe Oe m

Esta suma permanece constante durante el movimiento.

En algunos casos uno de los cuerpos, m; por ejemplo, tiene unn masa
mucho mayor que el otro y su velocidad es mucho menor, de modo que puede
ignorarse su movimiento. Este es, por ejemplo, el caso de un satélite artificial
alrededor de la Tierra. Luego, eliminando el término correspondiente a la
energía cinética de m, queda:

Etna, = Ce

que es la forma usval para las aplicaciones.

120. Demostración de la fórmula: Consideremos un cuerpo de masa my ala
distancia r de otro de masa m; (ig. 6). La fuerza sobre m; (que es igual a la
fuerza sobre m) es

PS

Si el cuerpo m, se mueve desde À hasta 4”, la fuerza Frealiza
T y la energía potencial de m, disminuye cumpliéndose que:

trabajo

Pera calcular el trabajo T no podemos multiplicar F por la distancia

* Puesto que F varía durante el movimient

hay que usar el valor
medio de F Este se obtiene substituyendo #2 por rr en el denominador de F.
Luego,

er = Me gt

=T= Fe = (C

a omy (gM)

que nos indica que E,

st dada por (7

Ejemplo 7: Calcular la energía total de un sat
ta circular.

e que describe una órbi

Aplicando (6), la energía cinética es:

mg? ad (02

sérvese que el resultado es negativo y depende solo del radio de la ór
bita, Por tanto, cuanto mayor es el radio de la órbita, mayor cs la energía

121. Ejemplo 8: Calcular la velocidad de escape de un cuerpo lanzado desde
la superficie terrestre.

Por velocidad de escape se entiende la velocidad mínima con que hay
que lanzarlo para que no vuelva a caer sobre la superficie terrestre. La ener
ía total es

y por permanecer constante resulta que al aumentar y disminuye e. Para que
El cuerpo se escape es necesario que 4 se anule a una distancia muy grande
(r = ©), pues si se anula antes, el cuerpo vuelve a caer sobre la Tierra igual
que una piedra que lanzamos con la mano. Haciendo y = Oy r = «en Eve-
mos que resulta E = const. = 0. Luego la energía total minima para poder
escapar es cero, Esto puede parecer extraño, pero se debe a que siendo la
energía potencial negativa, debe estar compensada por una cantidad igual de
energía cinética, que siempre es positiva. Luego haciendo cero la expresión
para E,

2 pret = CU

de donde, simplificando:

3 _ 26m

que nos da
substituciones correspondientes result

velocidad del escape, siendo rel radio de la Tierra. Haciendo las
ln velocidad de escape u = 11,2 kms.

PREGUNTAS

Cómo varía la fuerza de atracción entre dos masas si la
cilas (a) se duplica, (b) se reduce a la mitad?

Sila Luna está continuamente atraída y acelerada hacia la Tierra ¿por qué
no se precipita sobre este planeta?

¿Cómo varía la masa y el peso de un cuerpo cuando se mueve desde el
entro de la Tierra hasta una gran distancia de ela?

¿Serán la masa y el peso de un cuerpo iguales en la Tierra, en la Luna y en
1 Sol? Si son diferentes, ¿en qué lugar serán mayores?

¿Qué factores hacen que la gravedad no sea la misma en toda la superficie

de la Tierra?

5. El signo negativo en la fórmula (7) indica que la energía potencial gravi.
tatoria aumenta o disminuye al aumentarla distancia?
El signo menos en la fórmula de la energía total de un planeta moviéndose
alrededor del Sol, o un satélite moviéndose alrededor de la Tierra gindica
¿que en valor absoluto la energía cinética es mayor o menor que la energí
potencial?

122. ET Frac seras - 25

8. ¿Cuáles son los elementos que determinan la velocidad de escape de un
cohete lanzado desde la Tierra

¿Con qué fuerza se atraen dos masas de S kg y 10 kg separadas una distan
cia de 2 em? R 8,34 x 10%N.
La masa del Sol es 330.000 veces la de la Tierra y su distancia a a Tierra
1,404 X 104m, Calcular la atracción entre dos astros, si la masa de la
Tierra es 59 X 10% kg. R. 2,46 x 102N,
¿A qué distancia se encuentran dos masas de 10 kg y 20 kgs se atraen con
tina fuerza de 5 dinas? R 1,63 em.
Calcular la constante de Cavendish en el sistema eggs. de unidades. R 6,67
x 10 dina cm?’
5. Los grandes barcos ingleses Queen Mary y Queen Elizabeth tenían masas
iguales a 75.000 toneladas (1 tonelada 1.000 kg) ¿Cuál sería la atracción
entre ellos cuando están separados una distancia de 300 m, suponiendo
sus masas concentradas en sus centros? R 4,17,
¿Cuál será el peso de un hombre si se eleva (a) una altura de 3.000 km
Sobre la superficie terrestre; (5) a una altura igual al radio dela Tierra, si
su peso al nivel del mar es 800N? À 370N,, 200 N
¿Cuál sería el peso de un hombre que pesa 100N si el radio dela Tierra se
‘uplicara (a) permaneciendo constante la masa de la Tierra (b) permane
ciendo constante su densidad media? R 175N, 350N.
Se tienen tres masas de 45kg, y BÜkg situadas en línea recta. La distancia
entre las dos primeras es de 2 em y entre la segunda y la tercera es de 1
fem, Caleular la fuerza resultante sobre la tercera masa debida a las dos
primeras. R. 2,93 x 10%N.
En el problema anterior calcular la fuerza resultante sobre la segunda ma
sa debida a la primera y la tercera. R. 2,29 x 107N

123. Máquinas

1. DEFINICIONES GENERALE

Una máquina es todo mecanismo que es capaz de trasmitir la acción de
tuna fuerza de un lugar a otro, modificando en general la magnitud dela fuer
za, su dirección o ambas características. Así en el motor de un automóvil, la
fuerza debida ala explosión dela gasolina en los cilindros, se transmite alas
ruedas traseras a las que hace girar.

Entre las distintas fuerzas que actúan sobre una máquina, las más impor.
tantes son: la fuerza aplicada o motriz F, que algunos llaman potencia, yla
carga Q llamada también resistencia,

La fuerza aplicada F es aquella cuya acción va a transmitir la máquina.
modificando, en general, su intensidad y dirección

La carga o resistencia @ es la fuerza ejercida sobre la máquina por el
‘cuerpo que la máquina trata de mover, deformar, etc. Esta fuerza es igual y
directamente contraria a La fuerza ejercida por la máquina sobre el cuerpo y
que es la fuerza efectiva o transmitida por la máquina. La fuerza efectiva es
en general distinta en intensidad y dirección a la fuerza aplicada

En el ejemplo citado del motor del automóvil, la fuerza aplicada esla de:
bida ala expansión del vapor en los cilindros, la fuerza efectiva o transmitida
es la que se ejerce sobre el eje de las ruedas traseras para hacerlo gira,
mientras que la carga o resistencia esla reacción del je.

2. RELACIÓN DE EQUILIBRIO

Se llama relación de equilibrio de una máquina a la expresión que rela
ciona la fuerza aplicada con la carga o resistencia cuando la máquina e

equilibrio, En ella aparecen en general, ciertos elementos geométricos de la
máquina, Esta relación se puede obtener aplicando al sistema de fuerzas que

124. los 12

a las condiciones generales aplicables al equilibrio de
ss que se estudiaron en el capitulo 9.

los sistemas de fuer

En nuestro estudio sobre las máquinas supondremos que: 1) los diferen
tes miembros que componen la máquina son cuerpos rígidos cuyo pe
despreciable y 2) no existe ficción o razonamiento entre la diferente p
que componen la máquine

3. VENTAJA MECÁNICA

Se llama ventaja mecánica de una máquina a la relación que existe entre
la carga o resistencia Q y la fuerza aplicada F, cuando la máquina se en
cuentra en equilibrio. De modo que:

0 resistencia
YM == ————_
F fuerza aplicada

La ventaja mecánica obtenida supuestas las condiciones ideales antes
mencionadas (miembros rígidos desprovistos de peso, ausencia de frición,
ete) se lama teórica (VMT) y se puede deducir a partir de la ley de equilibrio
de le máquina. La ventaja mecánica que exist en la realidad se llama prácti
ca (VMP), es inferior a la teórica y sólo puede determinarse experimental.
mente después de construída la máquina, dependiendo de muchos factores.

Se llama eficiencie 0 rendimiento de una máquina a la relación entre su
YMP y su VMT, de modo que:

274
MT

Esta eficiencia es siempre menor que la unidad y por esta razón suele expre
sarse en forma de porcentaje, definiéndose entonces por la frmul

vMP
E=10—_%
7

Ejemplo 1: Una máquina tiene una VM de 15, Calcular la carga o resis
tencia si la fuerza aplicada es de 200 N.

PM=15 F=20N
Q

m=£ 15 de donde Q = 3.000N

F 200N

4. TRABAJOS MOTOR Y RESISTENTE EN UNA MAQUINA
En toda máquina desprovista de fricción, el trabajo Tr efectuado por
fuerza aplicada F para cualquier desplazamiento de la máquina, iene que ser

igual, pero de signo contrario al trabajo To, efectuado por la carga o reisten
cia Q ya que una máquina no puede creat ni destruir energía. De modo que:

125. mamma a coma is
T,=-To a

por tanto:

T,+T.=0 a

Es decir, que para cualquier desplazamiento de la máquina, sucede que:
Trabojo de la fuerza aplicado + Trabajo de la resistencia = 0

Este principio se puede utilizar
cualquier máquina desprovista de frice

obtener la relación de equilibrio de

5. PALANCA

una barra rígida que puede girar alrededor de un pr
eje jo llamado punto de apoyo o fulero.
En la fig. 1 la palanca esla barra AOB y O es el fulero o apoyo. Las fur
tan sobre ella son: la fuerza aplicada F, que actia en B, la carga o
resistencia Q que ejerce en A y que es el peso del cuerpo suspendido; además
actúa la reacción R del apoyo.

Pet

(brazo de la fuerza aplicada) y OC :
cias del fulero alas directrices de las fuerzas Fy Q, la rela
cién de equilibrio de la palance se

= 0 (5)

= resistencia X por su brazo

10 mayor sea el brazo de la fuerza aplicada en relación con
más ventajosa será la palanes,

Demostración: Cuando la palanca está en equilibrio, la suma de los tor-
ques de todas las fuerzas con relación a un punto cualquiera debe ser cero.
Escogiendo como centro de torques el punto O tendremos

MF + MQ + MR = 0 @
pero: MF=-f MQ=00. MR=0
Sustituyendo en (4)

aplique rar el tra dl di

slate meee nce —Fp+09=0 : Fr=Q

126. Er _ sms 19
6. CLASIFICACIÓN DE LAS PALANCAS

"Teniendo en cuenta la posición reltiva que ocupa el punto de apoyo,
pesto ala fuerza aplicada yla resistencia, las planchas pueden ser de primero,
Segundo y tercer género.

En las palancas de primer género, el punto de apoyo está entre la fuerza
¡cada y la resistencia, fig. 2 (1); en las de segundo género la resistencia está
oyo y la fuerza aplicada, fig. 2 (1) y en las de tercer gene.

)

entre el punto de
Fo, la fuerza aplicada está ente el punto de apoyo y la resistencia, fig. 2 (1

‚ar

Ejemplo 1: En una palanca el brazo de la fuerza aplicada es de 12 em y
el de a resistencia es de 3 cm. Calcular el valor de la fuerza necesaria para
equilibrar un cuerpo que pesa BON,

p=lzem g=3em Q=80N
(BON) x (Bem)
(EN) x Gem) _ ayy

p=
m 12cm

Ejemplo 2: De todas las aplicaciones de la palanca, la más importante es
la determinación del peso de los cuerpos, constituyendo as Ias balonzos. Un
tipo muy sencillo esla llamada romena, (ig. 3). Consiste en una barra llama»
da auto cruz, en uno de cuyos extremos se ha dispuesto un cuerpo M de mo-
de que el centro de masa del conjunto esté situado en O. Si suspendemos la
barra por O estará en equilibrio,

En A se dispone una cuchilla y un gancho para que se pueda suspender el
cuerpo cuyo peso se desea conocer. A la derecha de O se puede deslizar a lo
largo de la barra el cuerpo B cuyo peso F es conocido. El cuerpo B se corre
hasta que la palanca está en equilibrio, cuando el cuerpo C está suspendido
de A. Entonces:

Fx0B
04

PXOA=FxOB + P

ren bet
>

127. ic Balanza de plataforma.

mota nu fea ce

Como F y OA son fijos, el peso P es proporcional a OB. Usualmente le
barra está graduada, de modo que se puede leer directamente el peso del
cuerpo.

También se utiliza la balanza analitica que fundamentalmente es una
palanca del primer género con los brazos iguales (fig. 4). Consta de una barra

te una cuchilla que descan-
sa sobre una superficie plana. En sus extremos están suspendidos sendos pl
tillos en los que se colocan los cuerpos cuyos pesos se descan comparar. Sila
balanza está bien construída la cruz debe encontrarse en posición horizontal
cuando se colocan pesos iguales en los plails. La posición de la cruz se indi
ca mediante una aguja larga llamada fiel,

7. TORNO

EI torno (fig. 5) está constituido esencialmente po
puede girar alrededor de un eje horizontal XX” mediante la acción de una
fuerza F que se ejerce en el manubrio, actuando tangencialmente a la circun-
ferencia descrita por el extremo del manubrio. El torno se apoya por su eje en
dos chumaceras situadas en À y B respectivamente.

mn cilindro C, que

La resistencia Q, que es la
mente ala superficie del eii
reacciones de las chumacen

que se desea elevar, actúa tangencial»
iro del torno. Además, sobre el torno actúan las
que se ejercen a través de los puntos À y B.

Si Res el radio del manubrio y rel del cilindro, cuando la máquina se en
‘cuentra en equilibrio, se eri

FR=Qr 0}

Fuerza aplicada x radio del manubrio
= resistencia’ radio del cilindro.
que es la ley del equilibrio del torno

Demostración: Si ve da al torno una vuelta completa en el sentido indica:
do y recordamos que trabajo = fuerza X espacio, tenemos que Tr = F
X 2x R, donde 2 x Res la longitud dela circunferencia descrita por el punto
de aplicación de F; así mismo TQ = Q x 2 x r. Substituyendo estos resulta»
dos en (2) tenemos:

128. an logs 12

FX2rR-Qx2#-0 FR=Qr

que es la relación de equilibrio.

Ejemplo 3: El cilindro de un torno tiene un radio de 2 em y el radio del
manubrio es de 40 em. Calcular la carga que se puede equilibrar con una fuer-
za de 25N.

R=40em r

em 25N

FR _ (25N) x (40cm)

em

FR=Qr e 500N

7. POLEA

La polea es uns rueda que puede girar libremente alrededor de su
je, que es una recta perpendicular a la rueda y que pasa por su centro.
Por el borde de la rueda pasa una correa o cuerda, En este último caso.
el borde está acenalado para cvitar que se resbale. Les poleas pueden
ser fijas o móviles según que su eje sea fijo o móvil,

A) Polea fija

La polea representada en le fig. 6 es fija porque su eje está inmóvil, Las
fuerzas que intervienen en el equilibrio de la polea son: la fuerza aplicada F,
la resistencia Q que es el peso que se quere equilibrar y la reacción R sobre el
eje de la poles y que actón a través del punto O.

Cuando la polea fija está en equilibrio se tiene que

F=Q 0)

es decir:
fuerza úplicada = resistencia
En otras palabras, con la poles fija solo se puede equilibrar una fuerza
de igual intensidad que la fuerza aplicada; luego lo único que se gana es co
modidad al aplicar la fuerza.

Demostración: Como la polea está en equilibrio, la suma de los torques
de todas las fuerzas con relación a cualquier punto debe ser cero. Si O es el
centro de torques:

MF +MQ+MR = 0 (a)

Si res el radio de la polea y el sentido positivo de rotación es el indicado
en la fig. 6.

MF=-F MQ=Qr MR=0
substituyendo en (7:
-Fr+Q=0 .F=Q

que es la relación de equilibrio,

Compare ls lectura del di.
máis en ls ftegratas
(Oy) ¿Qué emeluret

129. 9 noc à ra
B) Polea móvil

CE

En la polea móvil (fig. 70), la resistencia Q es el peso que se quiere
equilibrar y se aplica directamente al ee de la poles. La fuerza aplicada Fac:
a tangencialmente a la polea en B y se ejerce en el cordón que pasa por su
garganta. Además actúa la tensión T que se ejerce en la rama BC del cordón
Suponiendo que las ramas del cordón son paralelas, cuando la polea está en
equilibrio se verifica que:

(e)

que es la relación de equilibrio.
Para mayor comodidad al aplicarla fuerza F se puede utilizar el es
quema representado en la fig. 7b combinando la poles ja con una mini.

Demostración: Aplicando el teorema de los torques con relación al punto
A tendremos:

ME + MQ + MT = 0 @)

Si es el radio dela polea y el sentido psiio para los torques es el
opuesto a la rotación de ls agujas de un reloj, tendremos

MF =Fx2 MQ=-Q MT=0

Substituyendo en (9) y efectuando operaciones se obtiene (8)

9. PLANO INCLINADO

Sea el cuerpo de peso Q situado sobre el plano inclinado AB (ig. 8). El
cuerpo se sostiene en equilibrio sobre el plano mediante la acción de un siste-
ma de fuerzas formado por el peso del cuerpo, que esla resistencia Q, la reac-
ción N del plano sobre el cuerpo, la cual se ejerce normalmente al plano por.
que suponemos este liso, y la fuerza aplicada F, que eupondremos se ejerce
lelamente al plano.

Si AB = Lesa longitud del plano, AC = bessu base y BC = hla altura,
cuando el cuerpo se encuentra en equilibrio sobre el plano se vefica que

Fl= Qh (10)

fuerza aplicada X longitud = resistencia X altura

que es a relación de equilibrio del plano inclinado cuando la fuerza aplicada
Fes paralela al plano. Cuando la fuerza se aplica en otra dirección la relación
de equilibrio es diferente.

Demostración: Si movemos el cuerpo desde 4 a B, (fig. 8), tendremos que
T. = Fly TQ = Oh. El trabajo de N es nulo porque es perpendicular al
desplazamiento. Substituyendo en (2) resultas

130. Fi-Qh=0

que es la relación de equilibrio.

En algunos casos la fuerza aplicáda es paralela ala base del plano. Cus
do el cuerpo está en equilibrio sobre él plano, se veifica que:

Fo. =Qh

que esla ley de equilibrio

PREGUNTAS m

1. ¿Puede una máquina dar más energía de la que se le suministra? ¿Puede
dar menos? ¿Por qué?

2, Mencione los diversos tipos de palanca de primero, segundo y tercer gé.
neros que Ud. usualmente encuentra en su actividad diaria

3. Explique por qué la polea fija es útil pesar de que la fuerza aplicada es
igual & su resistenc

4. ¿Cómo es más fácil subir un cuerpo: usando un plano inclinado con la
fuerza paralela al plano o a la base?

PROBLEMAS w

1. Una barra de peso despreciable y de 2 m de longitud está apoyada en un
punto a 0,60 m de un extremo en el cual hay colgado un cuerpo que pesa.
200 N ¿Qué fuerza es necesario ejercer en el otro extremo para equilibrar
Jn palanca? R. 85,8 N.

2. Para mover una piedra que pesa 180 N emplea un hombre una tabla de 3
mm de longitud apoyada en un punto a 30 em del extremo donde está apo-
yada la piedra ¿Qué fuerza debe ejercer el hombre? R. 20 N

Proben 2

paro las rs fotografi y

3. ¿Dónde debesituaree el punto de apoyo de una palenca de primer género — San at dieser te»
que tiene 2m de longitud para equlibrar una resistencia de 400 Neonun van

131. oblea 15

Problems 16

13.

„Dos

Los radios de un torno son de 15 cm y 3 em respectivam

5. En un sistema de cuatro poleas movil

peso de 100 N? ¿Cuáles la fuerza ejercida sobre el punto de apoyo si las
os fuerzas son paralelas? R. a 40 cn de la primera fuerza, 500 N

Un hombre mueve una piedra de 100 N de peso mediante una barra que
tiene 2,80 m de longitud apoyada en un punto a 0,8 m del extremo corres
pondiente a la piedra. ¿Qué fuerza ejerce el hombre? Si el extremo donde
el hombre actúa desciende 30 em, ¿qué altura sube la piedra? R. 400 N,
12cm

Se tiene una palanca sin peso de 0,70 m de longitud en cuyos extremos
actúan fuerzas de 60 N y 80 N ¿Dónde debe situarse el punto de apoyo?
¿De quélado se inclinará la palanca si cada fuerza aumenta en 10 N? R.
4.0.3 m de In segunda fuerza; dl lado de la primer
muchachos que pesan 600 N y 800 N están sentados sobre un:
de 3m de longitud apoyade en su centro. Si el primer muchaho e
lado en un extremo ¿dónde debe sentarse el segundo? A. 1,125 m
Un campesino saca agua de un pozo mediante un torno cuyo ej tiene un
diámetro de 20 em y cuyo manubrio tiene 80 em de longitud, ¿Qué fuerza.
“be ejercer si el agua contenida en el cubo pesa 150 N? A. 18,75 N
de, ¿Qué resis
tencia puede equilibrarse con una fuerza aplicada igual a 100 newtons?
R 300 N
Mediante un torno puede equilibrarse una resistencia de 150 N con una
fuerza aplicada de 20 N. Si el radio del je es de Sem ¿cuáles el radio del
manubrio? R. 37,5 centímetros
En un torno puede equilibrarse una fuerza de 800 N con otra de 300 N
¿Cuál es el radio del cilindro si el del manubrio es 40 cm? A. 15 cm.
Un plano inclinado tiene 9 m de longitud y 3m de altura. ¿Qué fuerza es
necesario ejercer paralelamente al plano para equilibrar un cuerpo que
pesa 2.400 N? A. 800 N.
La base de un plano inclinado es de 12 m yla altur
es necesario aplicar paralelamente a la base pa
que pesa 1000 N? ¿Qué fuerza hari
RAIN, 3840 N.
abre es capaz de ejercer una fuerza de 500 N ¿Qué longitud debe
I tabla más corta que él puede emplear para subir con seguridad
tun barril que pesa 1.500 N hasta un camión cuya plataforma está a 1,20
m sobre la calle? R.3,6m
Dos planos inclinados que tienen la misma altura están dispuestos de mo.
do que sus alturas coinciden. El primero tiene una longitud de 22 m y el
segundo de 1,6m. En cada plano se encuentra un cuerpo estando ambos
únidos por un hilo que pasa sobre una polea fija sin fricción situada en el
vértice común de los dos planos. Si los cuerpos están en equilibrio y el
primero pesa 120 N ¿cuánto pesa el segundo? À 87,3 N
. análogo al dela igu
aplicada es de 40 N. ¿Cuál ex el peso del cuerpo equilibrado?
En un sistema tal como el represontado en la figura, calcular
fuerza para equilibrar una carga Q = 600 N. R. 100 N,

le 5 m ¿Qué fuerza
equilibrar un cuerpo
ars paralela al plan

Unh

„la fuerza
R640 N

132. Movimiento armónico
simple.

1. MOVIMIENTO VIBRATORIO

Un móvil está animado de motimiento vibratorio u osclatori cuando se

desplaza a uno y otro lado de una posición Ha. el émbolo de uns locomotor 1
por ejemplo, está animado de movimiento oscilatorio. Entre los ipos de movi Lo hos
mientos vibratorios que existen en la paturaleza, el más importante es el mo. toto
vimiento armónico simple ‘

Pet

2. PROYECCION DE UN PUNTO

Consideremos un punto Q y una recta AB (fig. 1). La proyección de Q
¡bre AB es el pie Pde la perpendicular QP trazada desde el punto a la recta
Es claro que si Q se mueve siguiendo una trayectoria cualquiera ocupando las
posiciones Q”, Q's tc. su proyección P se desplaza sobre AB ocupando las
posiciones Pr. Pete

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.

El moximiento armónico simple (MAS es el movimiento oscilatorio de
la proyección sobre un didmetro de un punto que se mueve con movimiento
circular uniforme.

Así. por ejemplo, en la figura 2 el móvil Q recorre la circunferencia con
me. ocupando sucesivamente las posiciones 1,2", 12” mientras que
Sn proyección P recorre el diámetro AB con mas. pasando por las posiciones
1, 2,2 ou 12, Q se llama móvil de referencia.

133. mc arca ET
4. ELEMENTOS DE UN MAS.

A continuación definiremos los elementos més importantes de un M.A.S.

Oscilación sencilla es el movimiento de un extremo al otro de la trayecto:
ria. Por ejemplo, en una oscilación sencilla el móvil va desde À hasta B 0 des.
de 8 hasta 4, (Fig. 2)

Oscilación completa es el movimiento de un extremo al otro dela trayec
toria y regreso hasta el punto de partida. Mientras P describe una oscilación
‘completa, el móvil de referencia da una vuelta completa.
+... Período es el tiempo que tarda el móvil en dar una oscilación completa
Este período es igual al del móvil de referencia. El m.a. es periódico porque
se reproduce exactamente cada vez que se describe una oscilación completa.

Frecuencia es el nümero de oscilaciones completas descritas en In unidad
de tiempo. Si f es la frecuencia y Tel período, estas magnitudes están rela
cionadas por las mismas fórmulas explicadas en el movimiento circular uni-
forme

f= 0 r=

Recuérdese que en el SI la frecuencia se mide en hert (Hz), que corres-
ponde a una oscilación por segundo.

0)

El punto O (fg. 3) que es el centro de Ia trayectoria se lama posición de

equilibrio porque si se estudia el movimiento dinámicamente se puede probar
que la fuerza que produce el ma. es mula en ese punto.

Fase es el tiempo transcurrido desde la última vez que el móvil pasó por

su posición de equilibrio moviéndose en sentido positivo, o sea, de izquierda à

derecha en la figura 3.

Blongocién es la distancia que separa al móvil de su posición de

ro. La elongación se considera positiva o negativa según que el móvil

3

equil
se encuentre a uno u otto lado de la posición de equilibrio. En la fig
cuando el móvil se encuentra en P su elongación es x = OP y es pos

5. CARACTERÍSTICAS DE

Amplitud es el mayor valor dela elongación. En la figura 3a amplitud es
04 = OB. Se designa por À y como se ve es igual al radio del círculo descrito
por el móvil de referencia.

Volviendo a la figura 2 observamos que aun cuando P emplea el mismo
tiempo en ir de 1 a 2 que en ir de 2 a 3 0 de 3a 4, ete los espacios recorridos
en estos tiempos iguales son tanto mayores cuanto más próximo a su posición
de equilibrio se encuentra el móvil. Concluimos pues que en el m.a.s. a velo.
cidad del móvil es tanto mayor cuanto más cerco se encuentra el móvil del
centro de la trayectoria siendo nula en los extremos y máxima en el centro.

Por consiguiente, mientras el móvil va de Ba O (fig. 3)su movimiento es
acelerado ya que su velocidad va en aumento por acercarse al centro, es reta

lado mientras va de O a À por alejarse del centro, vuelve a ser acelerado
mientras va de A a O y de nuevo retardado desde O a B. Resumiendo, pues,

134. Co men mcs ns 13

en el m.as. el movimiento es acelerado siempre que el móvil se dirige hacia el
Centro o posición de equilibrio y retardado siempre que se alejo del centro.
En la naturaleza encontramos muy frecuentemente aproximaciones muy
cercanas al m.as. Si por ejemplo, tenemos una lámina delgada de acero con
un extremo C fj (ig. 4) y enel otro extremo un cuerpo O, y desplazamos es-
‘cuerpo hasta una posición B solténdolo después, observaremos que comien-
za a vibrar con m.a.. entre B y una posición A simétrica con relación a O. En
este ceso la amplitud OB depende del desplazamiento inicial.

6. ELONGACIÓN, VELOCIDAD, ACELERACIÓN, FUERZA
Y ENERGÍA EN EL MAS.

Ex posible expresar el valor de La elongación en el m.a.s. en función del

tiempo mediante as expresiones:

Asenwt (2

donde A es la amplitud, 4 el tiempo transcurrido desde que el móvil pasó por
O en sentido positivo, o sea la fase, Tel período y = 2a/T la velocidad anzu.
lar del móvil de referencia.

YN

o

Fig 4 MAS.
de ns vaa lea

135. een con

La velocidad y la aceleración en el m.as. estén dadas por las expresiones:

v = à Acos wt 6)
= A sen ur (0)
Ejercicio: Escribir las relaciones anteriores remplazando « por 2x/7.

La elongación, la velocidad yla aceleración se han representado gráfica
mente en la ig. .

Comparando (4) con (2) e observa que @ = — ux, Luego la fuer
produce el mas. es

F = ma = mur = lx dondek = ma? (5)

Luego, para producir un m.as. se requiere una fuerza propo
elongación y dirigida siempre hacia la posición de equilibrio, como lo indica
el signo menos, Este resultado es tan importante que sirve también para def
ir dinámicamente el ma.

La energía está dada por:

Emo eta
Puede probarse que la enga peter
Ente mat! sentir

de modo que la energía total del mass. es

E

Eu + E, mal? (constante)

y por consiguiente, el sistema es conservativo, ya que la energía total perm:
rece constante durante el movimiento. Obsérvese que la energia es propor.
cional al cuadrado de la amplitud.

DEMOSTRACIÓN DE LAS FÓRMULAS

A continuación indicaremos cómo obtener las fórmulas anteriores.
Elongación, Para obtener la expresión de la elongación consideramos el

triángulo OPQ (ig. 3) donde x = OP. En el tiempo que Precorre la distancia
OP, el móvil de referencia Q describe el areo DQ y por t

0 = ut. Luego, como 09 =

sults que:

x= OP = OQsend

Velocidad. La velocidad v de P (ig. 6)se obtiene hallando la componente
paralela ala dirección AB de la velocidad v” de Q. Por tratarse de un movi
miento circular se tiene que v’ = wx OQ = wd, pues OQ = OB = A.
Luego:

Asonwt

D = 0° 0000 = wA coset

136. Aceleración, Para 0 € sigue el mismo proce»
dimiento, La aceleración a’ de Q (Gig. 7), es su aceleración centrípeta.
Luego a =u x 00 = wt. Luego:

«=—a send — ot senor

donde el signo negativo se debe a la dirección de a

Energia potencial. La energia potencial en un punto P de elongación x se

‘trabajo requerido para llevar la partícula desde la posición de
«equilibrio O hasta P. Este trabajo ex T = Fx, donde F es la fuerza media y x
«espacio recorrido, La fuerea en D es

a

0 yla fuerza en Pes max, como se
5). Lurgo la fuerza media es:

y por tanto: E, = T= Ke =

tambien E =

8. PENDULO SIMPLE

El péndulo simple consiste en un cuerpo de di
suspendido de un punto fijo mediante un hilo inextensible
ciable (fig. 8)

EI péndulo se encuentra en equilibrio cuando el hilo CO está vertical. Si
«el péndulo se desplaza hasta, de modo que el hilo forme el ángulo a con la
Vertical y se deja libre, comienza 2 oscilar entre By una posición simétrica 4,
al otro lado de la vertical Bajo la acción combinada de su peso Py la tensión 7
del hilo, que producen una resultante £

La clengacién en el péndulo simple se mide por el ängulo que el hilo del

péndulo forma con la vertical en un momento cualquiera. La amplitud del

péndulo es el mayor ángulo ‘uno u otro lado dela vertical. Es

91 ängulo a en le ig. 8. Puede probarse que el péndulo está animado de ma.
decir inferior a unos 5°

9, FÓRMULA Y LEYES DEL PÉNDULO SIMPLE

Si Les la longitud del pi
ciones de pequeña amplitud

viulo, se demuestra que en el caso de oscila
período T está dado por la formula:

ms Ve

=2 + (6)

donde g designa la aceleración de la gravedad

De Ia fórmula anterior se desprenden las siguientes leyes

El periodo del péndulo simple es:

1) directamente proporcional a la raft cuadrada de su longitud, p- me

2) inv
gravedad, Fie Pda mt

‚mente proporcional à la raíz cuadrada de la aceleraci

137. Fes

Tas mec a rc En

3) independiente de la masa del péndulo,

4) independiente de la amplitud mientras sea pequeña

La primera ley se comprueba comparando los períodos de varios péndu:
los de longitudes diferentes por ejemplo L, AL, 9L, etc. (fig. 9% se encuentra
entonces que los períodos respectivos resultan ser 7. 27, 37, ec

La segunda ley es más difícil de verificar porque es necesario transportar
el péndulo de un lugar a otro de la Tierra donde la gravedad sea diferente
puesto que uno no puede modificar a voluntad la gravedad. Fue descubierta
en 1.671 por Richtier al observar que el período de un péndulo cambiaba al
transportarlo de París a Cayena oa la inversa,

La tercera
Ia (6).

La cuarta ley es también consecuencia de la ausencia de la amplitud en la
fórmula del período y suele llamarse ley del isocronismo (Griego, isos igual,
cronoë: tiempo). Fue descubierta en 1.583 por Galileo al observar que el pe
riodo de las oscilaciones de las lámparas de la Catedral de Pisa, cuando osei-
Jahan al encenderlas, no cambiaba al ir disminuyendo su amplitud a medida
que se amortiguaba su movimiento. Galileo descubrió también la primera y la
tercera ley años más tarde.

de la ausencia de la masa en la förmu-

Un péndulo bete segundos cuando tarda un segundo en dar una oscila
ción sencilla y por tanto, tiene un período de dos segundos

Ejemplo 1: Caleular el periodo de oscilación de un péndulo de 2 m de
largo en un lugar de la Tierra donde la gravedad es 980 mist

2m, g=9,80mst

Ejemplo 2: Calcular la longitud del péndulo que bate segundos en
Bogotá.

g=9,78 mit, T=2s
\ft

Tear\i— or
Ve

eT? (9,78 mls?) x (2s)?

4? pe

0,982m

10. DEDUCCIÓN DE LA FORMULA DEL PÉNDULO SIMPLE.

En el N° 5 vimos que la fuerza que produce el movimiento armónico
simple es:

F = mar

138. En el caso de un péndulo la fuerza responsable del movimiento oxcilato-
rio es, (fig. 10):
F = ~mgsend
Ahora bien; sla amplitud es pequeña podemos substituf sen 0 por $ me

dido en radianes, o ven

seno ==
1

Por tanto:

Luego

11. PÉNDULO FÍSICO

Es un cuerpo cualquiera que puede oscilar libremente alrededor de un
eje horizontal, bajo la acción de la gravedad. Los péndulos físicos son los que
existen en la realidad porque el péndulo simple es una simplificación difícil
de realizar en la práctica por las condiciones supuestas.

El eje C fig. 11) alrededor del cual gira el péndulo se
pensión. En la ig. 11, Ges el centro de masa del péndulo, El período de un
péndulo compuesto depende de su forma geométrica pero no de su masa.

Fig, 11 Péndlo compuesto

12, APLICACIONES DEL PÉNDULO

Citaremos solamente las más importantes:
1) Para la medida del tiempo en los relojes ya que la constancia de su pe
riodo permite controlar el movimiento de las agujas. En la mayoría de los re
lojes modernos, el péndulo ha sido substituido por un muelle o resorte, o más
recientemente por un oscilador eléctrico
2) Para la medida de lo aceleración de la
obtenemos:

ded. Despejando g en (6)

Aral a
de

139. etc au ta Pr

de modo que midiendo la longitud / de un péndulo y determinando expe
mentalmente su período, puede calcularse fácilmente la gravedad 2.

3) Para demostrar la rotación de tn Tierra. Cuando un péndulo oscila lo
hace siempre en un plano fijo llamado plano de oscilación, Luego si la Tierra
0 girara, un péndulo suspendido en cualquier lugar de su superficie oscilaría
cn un plano fijo. Sin embargo, si hacemos la experiencia observamos que su
plano de oscilación gira con relación a la Tierra en el sentido N a E en el he
misferio Norte y de E a N en el Sur, Esto se esplica solamente sila Tierra gira
en sentido contrario, permaneciendo fjo en el espacio el plano de oscilación
del péndulo.

Es famosa la experiencia realizada por Foucault en 1.851 con el objeto
de verifica lo dicho anteriormente, Para ello suspendió del centro de a cüpu-
la del Panteôn de los Inválidos de París un péndulo de 67 m de longitud ob.
servando que su plano de oscilación giraba con relación a la Tierra un ángulo
de 11*15" cada hora, (ig. 12.

13. VIBRACIONES DE UN MUELLE ELÁSTICO

Consideremos un cuerpo de masa m, que puede moverse sobre un plano
horizontal DE (fig. 13) y está unido al punto jo À mediante el muelle AB.
desplazamos el cuerpo hasta C estirando el muelle la longitud BC = x, este
ejerce sobre el cuerpo una fuerza F opuesta al desplazamiento y proporcional
a la deformación x de modo que si lo dejamos libre comienza a oscilar con
mas. El período de su movimiento está dado por:

\
T=22\/" (8)

donde k representa la fuerza que es necesario ejercer para estirar el
muelle la unidad de longitud y se llama constante elástica del muelle,

Demostración de la fórmula: De (5) vemos que la fuerza que pro.
duce el mas. está dada por:

Luego:

Por tento:

PREGUNTAS

1. ¿En qué parte de la trayectoria la velocidad es mayor en un mas?
2 ¿En qué parte la aceleración es mayor?

140. 3.

4
5
6

¿Qué tipo de fuerza se requiere para producir un m.a..?
¿Permanece constante la energía total en un m.as.?
¿Dónde es mayor la energía

inétiea en un mas? ¿La energía potencial?
Un péndulo está ajustado para dar correctamente el tiempo en un reloj
¿Se atrasard o adelantará e relo si el péndulo (a) se alargara, (9) se acor
¿Qué le ocurirá al péndulo anterior si habiendo sido ajustado al nivel del
ar en un lugar a 45* de latitud se lleva (a) alo alto de una montaña, (0)
a lo bajo de una mina, (c) al Ecuador, (d) al polo norte o sur?

PROBLEMAS

Una rueda de 30 cm de radio provista de un manubrio en su borde gira
con su eje horizontal a razón de 0,5 revs Suponiendo que los rayos del
Sol caen verticalmente sobre la Tierra, la sombra del manubrio está ani-
mada de mas. Hallar (a) el período del movimiento de dicha sombra, (8)
su frecuencia, (e) su amplitud. R. 2 9, 05 Hs, 0,3 m.

Una partícula está animada de m... con una amplitud de 10 cm y un pe:
iodo de 2s. Construír una tabla indicando los valores dela elongación
la velocidad yla aceleración en los instantes siga

3718, 7/2, 5118, 3714, 7118 y T. Construir después los grá
elongación, la velocidad y Ia aceleración.

Calcular en cada uno de los instantes señalados en el problema anterior
los valores de la E.C. y de la E.P. si tiene una masa de 5 g. Observar que
su suma permanece constante. Representar gráficamente la E.C. y la
E.P. del móvil en cada instante y comparar los gráficos resultantes con el
de la elongación en el problema anterior. ¿Qué conclusión saca?

Una partícula de masa 10 g. animada de mas. con una ampltud igual a
1,5 cm vibra 100 veces por segundo. Calcular (a) su elongación, (8) su ve
locidad, (e) su aceleración, (d) su fase, (e) la fuerza cuando el tiempo es
TAZ. R 075 x 10% m, 8162 mis, 20609 mist, 30°, 29.609 N.

Una partícula situada en el extremo de una dispasón pasa por in posición
de equilibrio con una velocidad de 1884 em. Sila amplitud es 1 mm,
¿cuál es la frecuencia y el período del diapasón? R. 300 Hz, 0,0033 s
Una partícula de una cuerda vibrante vibra con un mas. de 2 mm de
“amplitud, Su aceleración en los extremos de la trayectoria es de 7896
mi. Calcular la frecuencia de su movimiento y au velocidad cuando atra
vies la posición de equilibrio y cuando su elongación es 12 tam, R. 100
Hz, 1,26 ns, 1,01 mis

Un cuerpo vibra con una frecuencia de 100 Hz y una amplitud de 3 mm.
Calcular su velocidad y su aceleración en

su trayectoria. RL 1,88 mis, 1184,35 mi

La aguja de una máquina de coser está animada prácticamente de mas
con una amplitud de 0,3 em y una frecuencia de 600 vibraciones por mi
nuto. ¿Cuáles su elongación, su velocidad y su aceleración 1160» después
de pasar por el centro de su trayectoria (a) en sentido positivo, (6) en sen
tido negativo? R. 2,598 em, 9,525 cm, 10,26 mid

el centro y en los extremos de

141. emo A seh ET

9. Un péndulo tiene una longitud de 2 m ¿Cuál es su período en un lugar
donde g = 9,80 milf R 288 +.

10. ¿Qué longitud debe tener un péndulo para que su período ses igual a 05
y si g = 980 mis? R 6,1 cm.

11. ¿Cuál es la longitud de un péndulo que bate segundos (a) en el Polo Nor-
te, (b) en el Ecuador? El valor de g en el Polo Norte es 9,83 misty en el
Ecuador 9,78 mis? R. a) 0,9660 m; b) 0,9909 m.

12. Un péndulo tiene un período de 3 s. ¿Cuál será su período si su longitud
aumenta en un 60%? R. 3,79 «

13. ¿Cuánto debe variase la longitud de un péndulo para que su período se
haga 20% menor? R. 36% menor

14. Si un péndulo diseñado para batir segundos en un lugar donde g = 9,80
ml se hace 1 mm más largo de lo debido, ¿qué atraso experimentará en
un día el reloj al cual está unido? R. 43,6 s.

15. El reloj de péndulo de Jean Richter experimentó u
tos por día en Guayana. Si en Paris g = 9,81 mis?
gravedad en Guayana? R. 9,78 mi

16. ¿Cuál es el valor de la gravedad en un lugar donde el péndulo que bate
Segundos tiene una longitud de 1 m? À. 9,87 mi

17. ¿Qué atraso experimentará en un día un reloj que empleara el péndulo ante
Fior en un lugar donde la gravedad es 9,79 m2? ¿Cuál debería ser la longi
tud del péndulo en ese lugar para que e reloj marcara el tiempo correcta
mente? R. 345 s, 09919 m.

péndulo da 100 oscilaciones en 2 minutos. Sila aceleración de la gra:

vedad es 9,80 em, calcular su longitud. R. 035 m

19. ¿Cuántas oscilaciones dará en 10 minutos un péndulo de 1,2 m de largo,
tolocado en un lugar donde la gravedad es 9,8 mis*?.R. 273,

atraso de 25 minu:
dl es el valor de la

142. Fuerzas intermoleculares

1. ADHESION Y COHESIÓN

El hecho de que todos los cuerpos sean agregados de moléculas indica
que entre las moléculas se ejercen fuerzas que las mantienen unidas. En los
sólidos, esa fuerzas son muy intenses y las moléculas están en posiciones casi
pero
restadas en parte, por la mayor energía cinética de las molécu-
las, que les confiere más movilidad. En los gases, por el contrario, las fuerzas
intermoleculares son muy débiles y predomina la agitación molecular.

La interacción molecular producida entre moléculas de una misma clase
recibe el nombre genérico de cohesión. Además, existen fuerzas entre molteu
las químicamente diferentes, como lo indica el hecho de que al mojar un ever-
po con agua, esta queda en parte adherida a su superficie. Igualmente los
adhesivos o substancias usadas para unir dos superficies, como las colas y re
sinas, se caracterizan por las intensas fuerzas entre sus moléculas y ls de los
cuerpos alos cuales se adhieren. Las fuerzas entro moléculas de distinta clase
reciben el nombre genérico de adhesión.

La adhesión puede ponerse de mu
simples, Dos laminas de vidrio puestas en contacto de modo que sus superfi-
cies comunes se hayan humedecido previamente requieren la aplicación de
vna fuerza para separarlas,

ifiesto mediante experiencias muy

Igualmente s se suspende un disco de vidrie de un dinamémetro (ig. 1)
y se pone su superficie inferior en contacto con agua se observa que es necesa
rio ejercer una fuerza mayor que el peso del disco para separarlo del agua y
que al elevarlo, el agua se queda adherida al disco. Una gota de agua puede
estar en equilibrio en la parte inferior de una superficie horizontal pintada o
barnizada desafiando aparentemente la gravedad. Igualmente la adhesión de-
sempeña el papel principal en las soldaduras, enla unión de ladrillos median
te el cemento, de piezas de madera mediante cola, etc.

143. CULARES

Los átomos y moléculas son estructuras complicadas, formadas por part.
culas cargadas eléctricamente y por tanto entre ellos se ejercen fuerzas inten
sas, como acabamos de explica. Estas fuerzas son las que dan lugar a que va
rios átomos se unan para formar una molécula o varias moléculas se junten.
para formas un cuerpo,

Las fuerzas intermoleculares son de corto alcance, es decir, solo son
apreciables cuando las moléculas (o los átomos) están muy próximos. A una
separación mayor de unas 10 veces el tamaño de Ins moléculas ae fuerzas in
termoleculares son prácticamente nulas. A medida que las moléculas se apro.
ximan, la fuerza de atracción aumenta, adquiriendo su valor máximo a una
distancia del orden de 10° m, que se llama radio de acción molecular.

Si las moléculas continúan aproximándose, la fuerza de tracción dismi
nue, anulándose a cierta distancia llamada posición de equilibrio. Sila dis.
tancia entre las moléculas disminuye aún más, la fuerza se hace repulsiva. Por
tanto, las moléculas tienden a quedar separadas a una distancia ja. De este
modo, se explica que toda la materia no se condense en una masa eorapecta,
como sucedería st las fuerzas fueran siempre atractivas

En la fig. 2 se ha ilustrado cualitativamente la forma en que varían la
fuerza y la energía potencial entre dos s a medida que la distancia r

144. centre ellas varía. Una fuerza negativa significa atracción y una positiva repul

La separación de las molécula en los sólidos y líquidos es del orden de la
separación de equilibrio 04, pero en los gases es mucho mayor, del orden de
10 veces la separación de equilibrio y corresponde a la región de la extrema
derecha, en la que la fuerza es insignificant.

3. SÓLIDOS Y LÍQUIDOS

Hemos indicado que las fuerzas intermoleculares son especialmente

tensas en los sólidos, Consideremos un eólido con una estructura cristalina ci

ica, 0 sea que les moléculas ocupan respectivamente los centros de un cubo,

y para mayor sencillez representemos el sólido por las moléculas en un plano,

(Gg. 3). Concentrando nuestra atenc

el centro, representada por un cfreulo negro, sus vecinas más próximas se en

Guentran sobre la esfera 1. Las siguientes sobre la 2 y as sucesivamente. Dade

Te característica de las fuerzas intermoleculares, la mayor inter

las moléculas situadas en la esfera 1, disminuyendo para las moléculas en las
eres sucesivas. Debido a la distribución simétrica regular de

la fuerza resultante sobre la molécule en el centro es nula y por tanto, está en

equilibrio,

Si por algún motivo la molécula se desplaza de su posición de equilibrio
‘una distancia pequeña, la simetría desaparece y la molécula queda sometida a
luna fuerza F que trata de llevarla nuevamente a la posición de equilibrio. Pa
ra desplazamientos pequeños In fuerza es proporcional al desplazamiento.
Luego la molécula estaré animada de movimiento oscilatorio armónico
simple.

Las moléculas de todos los cuerpos poseen cierta energía cinética y por
‚no, en un solido las moléculas no están fijas sin que estén continuamente
ribrando alrededor de mus posiciones de equilibrio

La situación es del todo similar en los líquidos, pero en este caso debido ala
movilidad de las moléculas, ne hay una estructura regular. El equilibrio se produ.
‘ce más bien como un resultado estadístico, o sea, calculando el promedio delas
teciones ejercidas por las moléculas circundames. Trazando alrededor de una
molécula, como 1 en la ig, 4, una esfera de radio igual al radio de acción mo-
Jecular, (ig. 4), vemos que la molécula está atraída por igual en todas direc
cones y par tanto se encuentra en equilibrio.

4. ENERGÍA SUP!

FICIAL,

La situación es diferente para las moléculas situadas a una distancia de
la superficie inferior al radio de scción molecular, (ig. 4). Como se observa
en la figura, moléculas como 2 y 3 no están en condiciones simétricas predo-

minado las fuerzas de stracción que tienden a arrastrar la molécula hacia el
interior del cuerpo. En el caso de un sólido, en el que las moléculas forman
uns estructura más o menos rígida, la única consecuencia es que el slide
tiene una superficie bien definida.

sobre la molécula que se encuenta en O

Radio de acción

Es]

145. et emit oca cu rs

Pero en el caso de un líquido, en el que las moléculas tienen gran movil
dad, el resultado es que el número de moléculas próximas a la superficie ten
de a ser el menor posible

Por consiguiente, todo líquido tiende a que su superficie libre seo lo más
pequeña posible. En otras palabras, la superficie de un líquido tiende a.
contraerse presentando así la misma tendencia que una membrana clásica en

Todas las moléculas que se encuentran a un distancia de la superficie
libre inferior al radio de acción, poseen cierta energía potencial adicional.
Esa energía potencial se adquiere en la siguiente forma: una molécula que
procedente del interior del líquido llega a esta zona animada de cierta veloci-
dad, queda instantáneamente sometida a una fuerza que va disminuyendo
gradualmente su velocidad en dirección perpendicular a la superficie, lo que
trae consigo una pérdida de energía cinética que se va convirtiendo en ener:
gía potencial. La energía potencial superficial de un líquido es proporcional
al área de su superficie y como todo sistema en equilibrio tiende a que su
energía potencial sea un mínimo, concluimos que el líquido tiende a que su
superficie sea la menor posible.

Como para un volumen determinado la figura geométrica que tiene me-
mor área es la esfera, un líquido tiende siempre a que su superficie libre sea
esférica. Por ejemplo, si en una solución de alcohol en agua que tenga la mi
ma densidad que el aceite de oliva se introduce mediante una pipeta una gota
de este líquido, se observa que adopta la forma esférica.

5. TENSIÓN SUPERFICIAL

Ex la energía potencial de lo superficie del liquid por unidad de érea.
Para medirla basta con determinar el trabajo que es necesario realizar para
aumentar en una unidad el área de la superficie libre del liquido.

La tensión superficial tiene además otra interpretación de gran impor
tancia. Supongamos que se traza un plano vertical VV’, perpendicular a le
superficie libre de un líquido en equilibrio (ig. S()}

Dicho plano intersecta la superficie libre alo largo de una línea 44” (Gig,
SW} Debido a la tendencia de la superficie a contraerse, la perte de la misme
que queda a la derecha de PP” ejerce sobre la que está a la izquierda una
fuerza de tracción: Fl tangente a la superficie, y recíprocamente, la parte que
queda a la izquierda, ejerce sobre la que está a la derecha una fuerza igual y
contraria F. Resalta claro de lo dicho que sien la superficie de un líquido se
traza una linea imaginaria, todos los puntos de la misma están sometidos 2
dos fuerzas tangentes a la Superficie, iguales y contrarias y debidas a la atrac-
ción ejercida por la superficie Iquida que queda a cada lado de la linen.

La fuerza de tracción por unidad de longitud sobre un segmento rect
eo situado en la superficie del líquido es igual a la tensión superficial.

Si sobre un segmento tal como A’, de longitud I, se ejerce hacia la de
echa o hacia la inquierda la fuerza F la tensión superficial es:

(0)

146. | Dimersionalmente puede verifcarse que las dos definiciones de
tensión superficial son equivalentes. En efecto

fuerza oN Nxm_J

longitud m m! m

Una experiencia que prueba que la tensión superficial se puede conside-
rar como una fuerza, es la siguiente: se dobla un alambre en forma de aro y sc
introduce en una solución jabonosa, hasta formar una película de la solución
If. a). Se dispone un hilo que Note en a película y se rompe esta en el in
terior del lazo formado por el hilo observándose que adquiere inmediat
te la forma circula al contraerse la superficie líquida. Esto revela

ice ejerce sobre el hilo fuerzas perpendiculares a este e iguales en todas
direcciones, pues solo así puede quedar en equilibrio con una configuración
«circular. (La fuerza perpendicular al hilo medida por unidad de longitud da el
valor de la tensión superficial). Así mismo una aguja engrasada flota en agua,
a pesar de ser más densa (Fig. 7) porque al deprimir ligeramente la superficie,
da logar a dos fuerzas tangentes a la superficie, oblicuas e iguales a F = 77
es la longitud de la aguja) La resultante de exis dos fuerzas que es vertical
hacia arriba sumada con el empuje, contraresta el peso de la aguja,

La tensión superficial del agus es 12,75 dinaiem o 72.75 x 10Nóm.

Ejemplo: En un experimento se empleó un alambre de platino de 15em
de longitud para determinar la tención superficial del agua 8 25°C. Cua f
el valor de F?

ISem, 7 = 72,75 dinalem = 72,15 x 10°°Nim.

F=2T =2 x (127

x 10%Nim) (0,15) = 2,185 x 102N

Obsérvese que se ha usado como un factor 2 porque la pelicula líquida
tiene dos superficies, una a cada lado del alambre.

6. FENÓMENOS CAPILARES

Son los fenómenos que ocurren en las regiones donde un líquido está en
contacto con un sólido y se deben a la acción combinada de la cohesión y la
adhesión. Estos fenómenos se denominan capilares (latin, pelas; cabello)
porque se hacen más patentes en los tubos de muy pequeño diámetro, llama:
dos tubos capilares (diámetro inferior a 2 mm).

Por ejemplo, cuendo un líquido moja las paredes del recipiente que lo
contiene como ocurre con el agua y el vidrio, e observa que la superficie libre
del líquido en ls regiones en contacto con ls paredes presenta una elevación
(fa. 8(0), mientras que sino se moja las paredes, que es el caso del mercurio
y el vidrio, se observa una depresión [6g. (0).

Esta elevación o depresión es aún más marcada cuando se tata de tubos
capilares. Si uno de estos tubos eapilares se introduce en la superficie de un
líquido que lo moje, como el agua con el vidrio se observa que el liquide se
eleva por el interior del mismo hasta alcanzar una altura de equilibrio tanto

147. Fie 9

ent au ca = as

mayor cuanto menor e el radio del tubo, Si el líquido no moje al tubo como
ocurre con el mercurio y el vidrio, el líquido desciende en el interior del tubo
una profundidad tanto mayor cuanto más delgado es el tubo (figura 9)

La superficie libre del líquido en el interior de tubo recibe el nombre de
menisco. Cuando el liquid asciende el menisco es cóncavo y cuando descien

Suponiendo que la superficie del menisco sea tangente a las paredes del
tubo puede probarse que la distancia que asciende o desciende el líquido es:

„ar
vag

donde Tes la tensión superficial rel radio del tubo, y dla densidad de I
guido.

Demostración de la fórmula: Si res el radio del tubo, la longitud del bor
de del menisco es 2 y por tanto, la fuerza hacia ariba actuando sobre ell
quido en el tubo capilar es

@

fuerza hacia arriba = T x (27 1) = 2917

El volumen del líquido en el tubo es 72h y su peso o fuerza ha

fuerza hacia abajo = volumen x densidad x g = (7 77h) dg

El equilibrio resulta cuando las dos furrzas son gules, o sx:
27
da
jemplo 2 ¿Qué altura subirá el agus en un tubo capilar de 0,8 mm de
radio? Temperatura del agun 20°C

Ph =2mT 0h

T= 7275 x 10? Nim, r=08mm =8 x 104m, d= 10 kgim
ar 2 x (72,15 x 10°Nim)
vg (8 x 109m) x (10%kgim?) x (9,8mis*)

1,86 x 10%

PARACION INTERMOLECULAR

'STIMADO DE LA

AI comienzo de este capítulo indicamos el orden de magnitud del alcance
de las fuerzas intermoleculares, que debe ser del mismo orden que la separa
«ción entre las molécula, Ese orden de magnitud se obtiene de la siguien
forma: Consideremos nuevamente las moléculas ordenadas en una estructura
cúbica. Podemos asignarle a cada molécula un espacio cúbico o celda de lado
igual a la separación intermolecular (ig. 10). Entonces el volumen asociado
con cada molécula es 7? y el volumen total será NP. Si m es la masa de una
molécula, la masa total es Nm. Luego la densidad del cuerpo es:

volumen APP

148. Si My es la masa molecular en u.ma., Entonces recordamos que
m = 1,66 X 10% Mu kg.

Luego:
mo 16x10
a

Para el agua, por ejemplo, Mu

18.020 uma. y d = 10? gl. Luego:
(1,66 x 107) x (18,0:

ke)
— = 29,90 x 10°%m?

10° kgim?

de donde r = 3,1 x 10° m, o sea, entre 10"! m y 10% para la mayoría de
los sólidos y los líquidos.

En los gases, cuya densidad es unas mil veces menor, la separación
molecular es unas 10 veces mayor, o sea de 10% m a 10%m

8. MAGNITUD DE LA INTERACCIÓN MOLECULAR

Vamos a explorar ahora hasta qué punto la interacción gravitatoria es
responsable de la unión de los átomos para formar las moléculas y de las mo:
Téculas para formar los cuerpos.

Consideremos primero una molécula sencilla tal como la de hidrógeno.
Se sabe que la energía para separar los dos átomos de hidrógeno que constitu:
yen la molécula es igual a 4,24 % 10° J, Se determina, por ejemplo, midien-
do la energía que se desprende cuando se forma un mol de hidrógeno y divi
diendo por el número de Avogadro. Esta energía nos indica el orden de mag.
nitud de la energía potencial de interacción entre los dos átomos.

Ahora bien, la separación de los dos átomos de hidrógeno es r = 0845
x 10:% m y la masa de cada átomo, aplicando (4) con Ma = 1.008 u.ma. es

m = 1,673 X 10% kg. Luego, In energía potencial de interacción debida ala
gravitación. aplicando (7) del Cap. XII ser
ms 1,673 107%
B, (grav) = CU = 667 x 10-8 x Os
7 0845 x 10m

= 222 x 10%)

strando que la energía potencial gravitatoria tiene un valor insignificante
fen comparación con la energía de interacción entre los dos átomos de hidró
eno. En consecuencia, la gravitación universal no puede ser la responsable
de la formación de la molécula de hidrógeno,

Se obtiene un resultado similar si se calcula la energía de interacción de
dos moléculas. Por ejemplo, en el caso del agua (ode cualquier otro líquido),
es posible obtener un estimado midiendo la energía necesaria para vaporiza
tan mol de agua y dividiendo entre el número de Avogadro.

149. Concluimos pues, que les Juerzas intermoleculares (e interetémicas) no
son de origen gravitatorio. Como estudiaremos más adelante, esas fuerzas son
principalmente de origen eléctrico,

1. ¿Cuáles a diferencia entre adhesión y cohesión? Cite algunos fenómenos
En que estas fuerzas se ponen de manifiesto

2. ¿Por qué cuando una lámina de vidrio se extrae del agua sale mojada, pe
fo si se extrae el mercurio sale seca?

3. Cuando un pincel se introduce en agua los pelos se separan. Sin embargo,
cuando el pincel se extrae forman un conjunto compacto. Explique ese (e

4. ¿Cómo puede explicarse que ciertos insectos, más densos que el agua
pueden caminar sobre la superficie libre de este líquido sin hundirse?

(Para el agua T = 73 x 10° Nim)

¿Qué fuerza ejerce la superficie del agua sobre cada lado de un palillo de

4 em de longitud que Mota en este líquido? R. 2,9 x 10° N

2. Un palillo de 4 em de longitud Mota en el agua. La tensión superficial en
un lado es de 73 x 10 Nim, pero en el otro lado la adición de alcanfor
ha reducido la tensión superficial a 50 X 10° Nin. Hallar la fuerza real
tante obre el palilo. R. 092 x 107 N

3. La tensión superficial de un líquido es de 65 x 10% Nim ¿Qué fuerza se
rá necesaria para extraer del mismo un alambre en forma de U de 10 em
de longitud? R. 1,3 x 102 N.

4. ¿Cuál es la tensión superficial de un líquido en el cual para extraer un
Slambre de 8 em de longitud hace falta una fuerza de 1,2 x 107N R.
15 x 10° Nim,

5. En el interior de un tubo de ensayo cuyo diámelro exterior es igual a 1,5
em se introducen varias municiones para que el tubo flote vertical en
“agua. ¿Qué fuerza hacia abajo ejerce la tensión superficial del agua sobre
el tubo? R 3428 x 10° N,

6, En la superficie libre de un estanque se forma una burbuja hemisérica
que tiene 0,8 em de diámetro. Sila tensión superficial es de 75 x

Nim ¿cuál es la fuerza que impide que la burbuja se desprenda? R. 3,770

x 10 N

¿Qué fuerza se requiere para extraer del agua un aro de Platino de 1,5 em

{de radio dispuesto horizontalmente? Tensión superficial: 73 x 10 Nim

R. 1376 x 102N.

8. Un aro tiene una circunferencia de 4 em y pesa 1,5 x 10° N ¿Cuál esla
tensión superficial de un líquido en el que es necesario ejercer una fuerza

hacia arriba de 2,2 x 107 N para extraer el aro? R. 875 x 10 Nim.

150. jabonosa

9. ¿Qué trabajo es necesario efectuar para extraer de una solución
‘an alambre de platino de 10cm de lontigud, de modo que se forme una pelí
¿ula de 2em de altura? Tensión superficial: 45 x 10 Nim. R 18 x 1047

A qué altura subirá el agua en un tubo capilar cuyo diámetro interior es
mm? R. 0
¿Cuál es la tensión superficial de un líquido cuya densidad es 0,9 x 10°
kgim? si asciende 2,4 em en un tubo cuyo diámetro es 0,6 mm? R. 31,75
x 102 Nim,
Suponiendo que el ascenso de In savia en un árbol se debs enteramente a
la capilaridad, lo que no es completamente correcto, ¿cuál debe ser el
digmetro de los capilares de un árbol de $ m de altura sila savia tiene
una densidad de 1,2 X 10? kg/m? y una tensión superficial igual a 60 x
x 10° Nim R. 408 x 10% m
¿Cuál es el peso de una columna de agua en wn tubo capilar cuyo radio es
(a) 1 mm, (6) 05 mm? R. a) 04587 x 10° N, 5)0,2293 x 10 N,
¿Cuál es la densidad de un líquido que asciende 12 mm en un tubo capi
far de I mm de radio si su tensión superficial es igual a 50 x 10 Nim?
R.085 x 10 Keim
La fórmula molecular del dióxido de carbono es CO, ¿Cuál es la molecu
lar expresa en um. y en kg? ¿Cuántas moléculas de CO, hay en 2 kg de
ese gas? R. 44,009 uma, 7,305 x 10 kg.
La densidad del hierro es 7,80 x 10° kg/m? ¿Cuáles la separación entre
dos átomos de hierro? ¿Cuántos átomos de hierro hay en un m’? R
2,282 x 10%m; 8,414 x 102 átomos.

151. Fg

Elasticidad

1. ELASTICIDAD

los precedentes, siempre que hemos hablado de un cuerpo o
agregado de partícula, o más bien de moléculas, lo hemos supuesto rígido o
indeformable. Sin embargo, ningún cuerpo en la naturaleza es perfectamente
rígido y todos se deforman en mayor o menor grado bajo la acción de las fuer
zas aplicadas a los mismos. En ciertas condiciones los cuerpos deformados re.
tornan a su forma y dimensiones originales al suprimirse d
piedad fundamentalisima llamada elasticidad. Otras veces, s las fuerzas apli
ido suficientemente intensas, subsiste una deformación permanen
les, Se dice entonces que se ha sobrepasado el límite elástico del
ial. Esto ocurre fácilmente en las substancias pastosas cuyo limite de
idad es tan bajo que basta una fuerza pequeñísima para producir una
deformación permanente,
La clasticidad es una propiedad íntimamente relacionada con la disposi
el material y la naturaleza de las fuerzas que se ejr.

ción de las molécul
en entre ells,

2. ESPUERZOS

Se llama esfuerzo alo fuerza aplicada sobre un cuerpo medida por uni
dad de érea Si por ejemplo, sobre un rea A de un cuerpo ación una fuerza,
cl esfuerzo es: (63.1)

F

a

4

Los esfuerzos deben mediree en newtonim?, unidad que se denomina pas
cal y se abrevia Pa. Luego.

152. Cuando la fuerza es perpendicular a la superficie sobre la cual acta se
tiene un esfuerzo normal y si es tangente a la superficie se tiene un esfuerzo
tengencial.

Los esfuerzos normales pueden ser de dos clases: presión si actúan de
modo que tienden a reducir las dimensiones del cuerpo en la dirección en que
“actúan; tensión si tienden a sumentarls,

Una columna de un edificio está sometida a una presión, un submarino
sumergido est bajo la ncrión de la presión del agua. En el caso de un farol
del alumbrado público (ig. 1) el hilo cable está sometido a una tensión Ty
la viga a una presión F. Para obtener los esfuerzos es necesario dividir las
fuerzas por las áreas transversales de hilo y la viga respectivamente, Todos
los cuerpos en la superficiexerrestro están sometidos sin excepción a una pre.
sión que es la atmosférica.

Los esfuerzos tangenciales suelen llamarse también esfuerzos cortantes 0

Un roblón o remache de los que se emplean para unir firmenente dos
planchas o dos vigas de acero en las rucciones (ig. 2) c+
In acción del esfuerzo cortante producido por las fuerzas Fy — F ejercidas
por cada una de las planchas y que tratan de separarlo por su sección media
Si tenemos un libro grueso ial como un volumninoso diccionario (fig. 3 ()}
Y le aplicamos en una de sus tapas una fuerza F, paralela a ell, ejerciendo la

a sobre la cual reposa la fuerza —F sobre la otra tapa en virtud dela frie-
ción, observamos que pasa al forma (5) bajo la acción del call apli
‘cade, transformando su secciön, que sensiblemente es un rectángulo, en un
paralelogramo.

Obsérvese que no obstante, el volumen del cuerpo no ha cambiado, ya
que las áreas del rectángulo y el paralelogramo son iguales por tener la mis-
tha base y la misma altra. Esta es una característica de los cizallamientos: los
esfuerzos tongenciales no modifican el volumen de un cuerpo; solo alteran au
formo geométrica. Por el contrario, los esfuerzos normales siempre modifican
los dimensiones del cuerpo.

3. DEFORMACIONES

Examinemos ahora las deformaciones producidas por los esfuerzos ante
riores, Consideremos el alambre AB (fig. 4) cuyo extremo 4 está jo mientras
que en Besta aplicada la fuerza F. Bajo la acción de esta fuerza, que produce
tina tensión, el alambre se alarga la longitud BC = Al (muy exagerada en la
figura). Al mismo tiempo el diámetro del alambre sufre una pequeña contrac-
ción. En el caso de una columna sometida a una compresión su longitud dis-
minuye mientras que su espesor aumenta ligerames

El aumento o disminución de longitud por unidad de longitud que expe:
rimenta un cuerpo bajo la acción de una tensión o una compresión paralela à
la longitud considerada se llama deformación lineal unitaria, y se calcula por
la relación

14 Fa Y
ENST
nes

153. Fes

150 sonó ea ce

@

donde Al es el cambio de longitud experimentado por un cuerpo de longi
tud L

La deformación lineal es positiva si hay alargamiento, negativa si hay
contracción. Es un número abstracto porque es el cociente de dos números
concretos de la misma especie.

Anélogamente pueden definirse la deformación superficial y la deforme:
ción cúbica.

En el caso del cizallamiento ya indicamos que no hay variación en las di
menciones del cuerpo y solo modificación enla forma geométrica experimen
tando corrimientos laterales las distintas superficies paralelas a aquellas
sobre las que actin los esfuerzos tangenciales (ig. 5)

La deformación por cizallamiento se mide por la relación entre el despl
zamiento relativo de dos superficies paralelas y la distancia que la separa. Es
la figura, la superficie EFGH se ha desplazado la distancia EE” con relaci
ABCD. Luego, como la distancia entre las dos superficies es AE, la deform:
ción por eiallamiento es:

e 0 a
un

4. LEY DE HOOKE

Entre los esfuerzos y las deformaciones existe una relación fundamental
sima que se conoce con el nombre de ley de Hooke: porque fue enunciada por
«científica inglés Robert Hooke (1.635.1.703), contemporáneo de Newton.

Los esfuerzos son siempre proporcionales alas deformaciones mientras
no se alcance el límite elástico del material.

esfuerzo = k x deformación 4)

onalidad l se lama módulo de elasticidad.

Existen distintos módulos de elasticidad según la clase particular de de-
formación que consideremos.

En un alambre o en una varilla el esfuerzo es F/A y la deformación es
‘AIA, de modo que la ley de Hooke toma la forme

©)

au

donde Y es el módulo de Young, que se expresa en Nim? 6 Pa. Su concepto
fue introducido por el científico inglés Thomas Young (1.773-1.829), quien es.
tudié en gran detalle Ia elasticidad de los cuerpos.

A continuación damos el valor del módulo de Young de algunos mate
rides:

154. Aluminio
Cobre >

Acero ee lm ”
Cuarzo er “rn

Ejemplo 1: Se tiene un alambre de acero de 5 m de longitud y 2 mm de
diámetro. Calcular cuánto se alarga bajo la acción de una fuerza de 15.000 N.

10m, F = 15.000N.

d=2mm=2x10%m ır

=e Xx (10%m) Y=22x 10 Nim?

(15.000N) x (Sm)
YA (22 x 10Nim#) x 3,14 x (10 4m?)

0,1085m

Y MATERIAL

TICAS DE UN

5. CARACTERÍSTICAS E

Como se indicó ya en su enunciado, la ley de Hooke es válida solamente
cuando los esfuerzos y deformaciones son inferiores a ciertos valores que dei
nen el límite de elasticidad del material. Así por ejemplo, si una substanci
digamos un alambre, se somete cada vez a esfuerzos mayores, las deforma
ciones correspondientes se ajustan a la ley de Hooke hasta llegar al limite de
elasticidad. A partic de ese punto, el cuerpo se hace más fácilmente defor

155. 15 moe Aa es

mable volviéndose plástico, Si en esas condiciones se suprimen los esfuerzos

el cuerpo no recobra su forma primitiva quedando una deformación remanen.

ecisamente de los llamados materiales plásticos, que

moldearse fécilmente por comprensión o tensión hasta que adquieran

la forma deseada, Si los esfuerzos continúan aumentando llega un momento
que el material se rompe; ese es el punto de ruptura

Las características elásticas de un material suclen representarse gráfica:

mente tomando como abscisas las deformaciones y como ordenadas los es
fuerzos, resultando las curvos de elasticidad, (ig. 6. La primera parte es recta
y corresponde a la zona de validez de la ley de Hooke. El punto A representa
el límite de elasticidad.

El conocimiento de las propiedades elásticas de un material es muy im-
portante para el ingeniero, quien, cuando diseña un edificio, un puente, una
estructura cualquiera, debe calcular previamente cuáles serán los esfuerzos a
que estarán sometidas cada una de sus partes para utilizar solo la cantidad
necesaria de material para que la estructura sea segura sin resultar muy

6. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

Para deformar un cuerpo es necesario aplicar fuerzas, que consecuente:
mente realizan un trabajo durante el proceso de deformación. En consecuen-
cia la energía interna de un cuerpo aumenta al deformarlo,

Consideremos, por ejemplo, el caso de una varilla sometida a una tensión
o una compresión longitudinal. La fuerza cuando la deformación lineal es
(AM se obtiene de (5),

La fuerza media durante la deformación es

ai
YA
eS

Como el espacio recorido es Al, el tr
po es

ajo realizado al deformar el euer

ag he ao, je
rara Sarat ra (2)

Pero Al = Y, es el volumen del cu

po. Luego:

rire

156. codo

Por tanto, el aumento de energi in

el ejemplo 1 del N° 4.

Y =22x 10%Nim?, Al = 1,06 x 10%m, 1

ieee : le
O

= 494 x 107Jim?

7, ELASTICIDAD Y FUERZAS INTERMOLECULARES

Las propiedades elisticas de un material están estrechamente ligadas
termoleculares del mismo, La teoría que relaciona ambas ca:
icas físicas es relativamente compleja, pero aquí trataremos de de

En el Cap. XV estudiamos las fuerzas intermoleculares y vimos que en
un sólido para desplazar una molécula de su posición de equilibrio, se re-
quiere una fuerza proporcional al desplazamiento. Si en Jugar de desplazar
ana sola molécula se desplazan varias ei una fila se produce un efecto acumu.
lativo, requiriéndose una fuerza total proporcional al desplazamiento total,
que es en esencia la ley de Hooke. Lógicamente, si la deformación es muy
grande, resulta una dislocación tal en la distribución espacial delas moléculas
que se hace imposible restablecer las condiciones originales
‘una deformación permanente o aún una fractura.

roduciéndose

En el caso de los materiale lamados comúnmente plásticos la situación
es ligeramente diferente. En general, están formados por cadenas atómicas en
las que las fuerzas en una dirección son intensas, (fig. , líneas sólidas), pero
en las direcciones perpendiculares son débiles, (fig. 7, líneas punteadas). Por
anto, es relaticamente fácil deformarlo en esas direcciones. Sin embargo, si
por algún procedimiento se refuerzan las fuerzas intermoleculares, en algu
os lugares en dirección transversal se aumenta notablemente la rigidez, Esto
se logra usualmente por acción de las es, tales como rayos.

PREGUNTAS

a hay entre fuerza y esfuerzo?
2. ¿Cuál es la característica dela deformación por cizllamiento? ¿Qué clase
de esfuerzo la produce?

157. sto à ct come

3. ¿Cómo variará el esfuerzo en un alambre empleado para sostener una car
Eu determinada sie untye por otr cuya sección es (a) mayor, (me

Una varilla de 4 m de longitud y 0,6 em? de sección se alarga 0,8 em cuan:
do se suspende de un extremo de ella un cuerpo que pesa 9.000 N estando
fijo su otro extremo, Hallar (0) el esfuerzo, (5) la deformación lineal unita
ria, (c) el módulo de Young del material. Ra) 1,5 x 10% Nim, b) 2,0 x
x 10% €) 7,5 x 10% Nm.

¿Qué alargamiento experimentará un alambre de cobre de 140 m de longi
tud y 04 cm de radio sometido a una tensión de 5.000 N? A. 13,9 em.
¿Qué radio mínimo deberá därsele a un alambre de alumminio de 4m de
longitud destinado a experimentar una tensión de 50 N sila máxima elon
gación permisible es de 04 cm? R. 0,18 mm.

¿Qué fuerza se requiere para estirar 0,5 mm un alambre de acero de 2m
de largo y 2 mm? de sección. R 110 N

Un candelabro que pesa 2100 N está sostenido por un cable de 12 m com:
puesto por sis alambres de acero, cada uno de 1,6 mm de radio. ¿Qué al
gamiento experimentará el cable? R. 0,24 cm.

>. Una columna hueca de acero tiene una longitud de 20 m, su radio exterior

es de 30 cm y el interior es de 26 cm ¿Qué acortamiento experimentará
exando soporte una carga de 6 x 10° N? R. 0,775 em,
Cierta cuerda de 08 cm de diámetro se rompe cuando se la somete a una
tensión de 3.000 N. Calcular el esfuerzo de ruptura. ¿Qué sección minima
debe tener una cuerda del mismo material destinada a soportar una ten
sión máxima de 2000 N? R. 59 x 107 Nim? 0,338 em.

158. MECANICA
DE FLUIDOS

La hidromecónica es el estudio de los fluidos: liquidos y gases. Aunque
los líquidos y gases poseen diferencias lo bastante esenciales como

querir que se les estudie separadamente, tienen varias propieda

que permiten reunirlos bajo el nombre general de uidos.

Algunas características de los fluidos son

1) Forma. Los sólidos se caracterizan porque poseen no solo volumen si
no además forma propia. Los cuerpos fluidos son por el contrario, aquellos
que carecen de forma propia acomodándose siempre a la del recipiente
empleado para contenerlos. Como ya se ha dicho anteriormente, los cuerpos
Muidos son líquidos y gases.

2) Volumen. Los líquidos se distinguen por poseer un volumen d
nado, Por ello si un líquido se introduce en una cavidad cuya capacidad es
mayor que el volumen del líquido, este presenta una superficie libre que lol
mita naturalmente. Por el contrario, los gases carecen de volumen determina.
do ocupando completamente el recipiente que los contiene cualquiera que sea
u capacidad, propiedad que se denomina expansibilidad.

) Viscosidad. Los Muidos se llaman ideales si su frieción interna o visco-
sidad es despreciable de modo que adoptan instantáneamente la forma del re
cipiente que los contiene y poseen además gran movilidad siendo perturbados
por la más mínima acción ejercida sobre ellos. En caso contrario reciben el
nombre de fluidos viscosos. Todos los Nuidos existentes en la naturaleza son
viscosos en mayor o menor grado. Sin embargo, algunos fluidos como el agua,
el bisulfuro de carbono (líquido) y el hidrógeno (gas), poseen una viscosidad
tan reducida que pueden considerarse como ideales. Otros como la miel y el
alquitrán son extraordinariamente viscosos. En nuestro estudio de la mecäni
ca de los Auidos supondremos, en general, que se trata de Nuidos ideales

4) Compresibilidad. Los líquidos se dice que son incompresibles porque ofre
cen una gran resistencia a toda disminución de su volumen, Esta propiedad es
de gran importancia técnica, pues unida a otra que más adelante veremos

159. (Principio de Pascal), ha hecho que los líquidos sean de gran utilidad en la
prensa, los frenos y los elevadores hidráulicos, Por el contrario, los gases son
muy compresibles ofreciendo una resistencia relativamente débil a toda dis
minución de su volumen, Por esta razón es relativamente sencillo forzar el
aire en los neumáticos de una bicicleta 9 un automóvil,

5) Elasticidad. Tanto los líquidos como los gases poseen una gran elasti
recobrando su volumen primitivo tan pronto como cesa de actuar sobre
ellos el agente que modificó su volumen.

6) Cohesión, Así como el estado sólido se debe a la gran cohesión entre
las moléculas de los cuerpos, que se mantienen por ello en posiciones easi fi
jas estando solo animadas de movimiento de vibración de muy pequeñe
amplitud, el estado fluido se debe a la poca cohesión entre las moléculas, las
que por esta causa poseen una gran movilidad pudiendo las unas deslizarse
entre las otras. Sin embargo, en los líquidos esa cohesión es aun lo suficiente
para mantener las moléculas separadas una distancia media invariable. Por
‘tra parte, en los gases la cohesión puede suponerse cai nula y cada molécula
es prácticamente independiente delas otras, estando todas animadas de rápi
dos movimientos que, por su complejidad, presentan aspecto caótico.

160. Fluidos en equilibrio

1. CONCEPTO DE PRESIÓN

Supongamos una superficie de área A (figura 1) que consideraremos divi
dida en superficies muy pequeñas, como lo indica el cuadriculado, y que
sobre cada una de dichas superficies actúa una fuerza F perpendicular a la su

ile. La resultante de todas esas fuerzas es una fuerza F también perpen-
Bcular a la superficie, cuya magnitud es F = Ef. (El signo E que selec
fhe, indica suma). La fuerza F representa, or tanto, la fuerza {tal ejercida
sobre toda la superficie.

En este caso se llama presión
rea de la superficie. Por consigui

la fuerza normal ejercida por unidad de
te la presión es:

fuerza
p =F presiéa = to)
F= pA 0)

La presión exis
ma de fuerzas dis

¿nicamente cuando sobre una superficie actéa un site
ibuidas por todos los puntos de la misma.

2. UNIDADES DE PRESIÓN

Como la presión es el cociente de una fuerza entre un área, corresponde
a un esfuerzo normal y su medida debe expresarse por el cociente de las unir
‘dudes empleadas para medic estas magnitudes. Recordemos que en el SI la
presión viene dada en Nim?, recibiendo este cociente el nombre de pascal,
abreviado Pa.

1Pa = 1 Nim?

161. amont A se an

w
Fe?

También se emplea el bar, que es igual a 10* Pa y el milibar, que esla mic
lésima parte del bar e igual por tanto a 10% Pa,

Ejemplo 1: Consideremos el bloque representado en la fig. 22. Suponien-
do que pesa 80 N la presión ejercida en su base es:

80N

Pp 8 x 10°Nim?

Tem? em?

Por el contrario, cuando descansa sobre una de las caras mayores (ig. 2b) le
presión ejercida sobre ella es

SON

4 x 10°Nim?

2em?

3. PRESIÓN HIDROSTATICA

Cuando un recipiente contiene un líquido en equilibrio, todos los puntos

‘en el interior del líquido están sometidos a una presión cuyo valor depende

exclusivamente de u profundidad o distancia vertical ala euperfici libre del

Líquido. Supongamos un punto a la profundidad h en un líquido cuya dens

dad es d (Gg. 3) Puede probarse entonces que (descontando la presión en la
ie libre) la presión hidrostática en P es:

p= hdg (3)
indicéndonos que la presión es proporcional a la profundidad. Si en la férmu:

la (3), hse mide en m, den kg/m? y se toma g = 980 ms, p vendrá dada en
Nim? o sea en Pa.

La fórmula (3) es valida aun cuando la superficie tenga orientación, es
decir, esté horizontal, vertical o inclinada, Por tanto, la presión hidrostática
solo depende de la profundidad y es independiente de la orientación de la su
Perf,

Para calcula la presión totalen cualquier punto del interior del líquido,
es necesario añadir a la presión hidrostática cualquier presión P que se ejerza.
sobre la superficie del líquido. O sea:

Ptotal) = P + hdg w

Demostración de la fórmula: Consideremos en un líquido en equilibrio
una pequeña superficie horizontal de área A, a la profundidad A, (fig. 4).
Sobre dicha superficie descansa una cantidad de líquido cuyo volumen es
Y = hd. La masa del Auido encerrado en dicho volumen es M = Vd = hdd y
su peso es por tanto Mg = hAdg. Luego la presión en 4 es:

162. a alos orton 10

Ejemplo 2: Un tanque está lleno de gasoline (densidad
07 x 10°kgin?®). Calcular la presión hidrostática en un punto a 20 cm de
profundidad.

x 10 kgin?’,, h= 20em = 0,20m

Utilizando la fórmula (3),

p = hdg = (0.7 x 10%kgim?) x (9.80mís") x (020)
1,372 x 10 Pa

'RESIÓN ENTRE DOS PUNTOS

ido en equilibrio y sean P y P° (fig. 3), dos puntos
e profandidades hy A”. Las presiones hidrostétiens en
ide yp’ = kde, Luego la diferencia entre las pre

estos puntos serán p
siones de ambos puntos seré:

pi =p =Hdg 6

siendo H = h’ — hel desnivel entre ambos puntos. Este resultado se enuncia
en a siguiente forma: La diferencia de presión entre dos puntos de un líquido
en equilibrio es proporcional 1) la densidad del líquido, 2)al desnivel entre
los dos puntos

Por esta razón, cuando se tienen varios recipientes o vasos comunicados
entre ello, el nivel del líquido debe ser el mismo en todos los rasos ya que pa:
ra que haya equilibrio, todos los puntos en un mismo plano horizontal deben
estar sometidos a una misma presión

5. PRINCIPIO DE PASCAL

Una consecuencia del enunciado anterior que es de gran importancia y la
cual se conoce con el nombre de Principio de Pascal, porque fue dado a cono
cer por primera vez en 1618, por Blas Pascal (1.623-1.662), notable Glósofo,
físico y geómetra francés:

Toda variación de presión en un punto de un líquido en equilibrio se
trasmite integramente a todos los otros puntos del liquid.

Consideremos por ejemplo un recipiente como el representado en la figu
rá 5 en cuyas paredes se supone que son dy, da, dy, ete. Para mantener estos
émbolos fijos es necesario ejercer sobre ellos fuerzas iguales y contrarias alas
ejercidas por el líquido y que se deben ala presión hidrostática Estas fuerzas
no se han representado en la figura. Supongamos ahora que sobre 4, se ejer
ce la fuerza adicional Fy que trata de introducir el émbolo. Esta fuerza trae
como resultado que la presión del líquido en la proximidad de A aumenta en
el valor py = Fy/4,. Se observa entonces que como consecuencia los émbolos.
zy Ay tratan de moverse hacia afuera. Para impedir este movimiento se re

uiere aplicar sobre ellos las fuerzas acidionales F y F cuyas magnitudes son
des que se cumple que:

163. uen ue EN

ARA
A A Ay

La primera razón sabemos que ropresenta el aumento de presión ocurrido en
Ay. Las otras dos relaciones indican análogamente los aumentos de presión
«experimentados en 42 y 4y de modo que la expresión anterior nos muestra la
igualdad de los tres aumentos de presión permitiéndonos comprobar de este
modo el citado principio de Pascal

Ejemplo 3: Prensa hidräulica

La aplicación más importante del principio de Pascal es la prensa
hidráulica, ideada por el propio Pascal (ig. 6). Consta de dos cilindros, cuyas
secciones tienen las áreas 4; y Ay, comunicados interiormente de modo que
en realidad se tiene un solo recipiente, En el interior de cada cilindro se colo
ca un émbolo. Supongemos que sobre Ay se ejerce una fuerza F. Esta fuerza
de lugar a un aumento de presión en dicha región igual a:
Fr
A
Esta presión se trasmite a través del líquido de modo que al actuar sobre 43
produce una fuerza resultante hacia ariba igual a:

p

Por consiguiente, haciendo la relación 4/4, igual a un número muy
grande pueden producirse enormes fuerzas de compresión

Ejemplo 4: En una prensa hidráulica sus cilindros tienen radios iguales
a 5 em y 50 em, respectivamente, ¿Por qué factor se multiplica la fuerza enel
émbolo más pequeño? ¿Cuáles el peso del cuerpo que puede elevarse con ella
ejerciendo una fuerza de 100 N en el clindro més pequeño?

Ri

Sem, Ry = 50cm
Entonces:

de FRE _ (S0em}
A FR Gen}

de modo que esta prensa hidráulica se multiplica por 100 Ia fuerza aplicada.
„Aa

Luego: 8 100N) x 100 = 10.000N

A
es el peso del cuerpo que puede elevarse aplicando una fuerza de 100 N.

6. FUERZA TOTAL SOBRE UNA SUPERFICIE

Sea 4 el área de una superficie pequeña sumergida en el seno de un li
quido en equilibrio y Ala profundidad a que se encuentra situada la super
ie. Como es pequeña, en todos sus puntos exi icamente la misma pre-

164. sión p = hdg, Si Fes la fuerza total que ejerce el ig
se tiene que F = pa; luego:

F

dg 6

Esta fórmula también se aplica cuando la sup
siempre que sea plana y horizontal.

Si la superficie plana es grande y no es horizontal, a fuerza total que el
líquido ejerce sobre ella viene dada por la misma expresión, pero entonces À
es la profundidad a que está situado el centro de masa del área sumergida.

Es la fórmula (6) la fuerza F viene dada en N sila densidad d se mide en
kg”, la profundidad A en m y el área A en m?

Como aplicación de lo estudiado consideremos el caso de la fig. 7, en que
se tiene el sistema de tres recipientes distintos 4, By C, limitados en el fondo
por diafragmas elisticos que tienen la misa área en los tres casos y cuyas de
formaciones pueden registrarse fácilmente por medio de las agujas que se
mueven frente a las escalas. Si se vierte en los tres recipientes el mismo Ii
quido de modo que en los tres casos su superficie libre queda tura
respecto al fondo, observaremos que en los tres casos los fondos experimen:
La misma deformación, indicándonos que la fuerza ejercida sobre el fondo
es igual en los tres recipientes, siendo independiente de la forma del recipien-
te y por consiguiente del peso del líquido contenido. mer
Dicha fuerza en unos casos es igual al peso del líquido, en otros menor y
en otros mayor.
Ejemplo 5: Se tiene un recipiente cilíndrico de 22 cm de altura y 6 em de
radio que contiene alcobol, estando su superficie libre a 2 cm del borde de la
vasija. Calcular (0) a presión en un punto a 10 em de profundidad; (5) la pre-
sión en el fondo; (c) la fuerza total sobre el fondo.

La densidad del alcohol es d
4) Para un punto a 10 cm de profundidad à

79 x 10° kim?
Om

Luego,
p = hdg = (0.10m) x (0,79 x 10'kgim?) x (98m?)

115 Pa

b) En el fondo à = 20 em. Luego, la presión sería el doble del resultado.
anterior, o sea: 15,50 Pa

©) Como el fondo está horizontal, la presión es la misma en todos sus
puntos y la fuerza total está dada por F = pd, siendo A = xr”. Luego

F = pA = (15,50 Pa) x 3,14 x (0,06 m} = 17,52N

1. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

El descubrimiento de este principio se debe a Arquímedes, el gran mate
mético de Si La historia nos refiere que habiendo ordenado el rey
Hierón, la confección de una corona de oro puro, le pidió a Arquímedes que

in destrurl, s la corona contenía algún

165. CRT mn

‘tro metal como plata, además del oro. Parece que Arquímedes preocupado
con el problema se hallaba un día tomando el baño en In piscina de su casa
cuando dió con la clave del problema. Fue talla emoción que experimentó al
‘obtener la solución que salió del baño gritando: ¡eureka!¡cureka!, es decir: lo
he hallado.

Principio de Arquímedes: Todo cuerpo en contacto con un líquido en
equilibrio experimenta una fuerza vertical dirigida de abajo het e arribo
igual al peso del volumen de líquido desplazado, 0 sea

empuje = peso del líquido desplazado

Esta fuerza recibe el nombre de empuje y se supone aplicada en un punto
llamado centro de empuje, que coincide con el CM. del liquido desplazado

El empuje se calcula por la fórmula:

E

Vag @

donde Y, es el volumen del cuerpo sumergido y d la densidad del líquido

En efecto, al multiplicar el volumen del cuerpo por la densidad dell;
¿ido se obtiene la masa del líquido desplazado, y al multiplicar por g resulta
su peso, que es igual al empuje, de acuerdo con el principio de Arquímedes.

8. PESO APARENT

Todo cuerpo en contacto con un líquido está sometido ala acción de dos
fuerzas que tienen direcciones opuestas (fg. BJ su peso P hacia abajo y el em
puje E del líquido. El peso aparente del cuerpo cuando se encuentra total
mente sumergido es la fuerza resultante hacia abajo sobre el cuerpo, ¢ sea

R=P-E 0)

Un cuerpo en el interior de un líquido irá al fondo (R > 0)si su peso es
mayor que el empuje (P> E), lo cual ocurre siempre que el cuerpo tiene una
densidad mayor que el líquido. Quedará en equilibrio en el interior del lí
quido (R = 0) a su peso e igual al empuje (P = E) lo cual ocurre cuando la
densidad del cuerpo es iguel la del líquido. Finalmente el cuerpo tenderá a
moverse hacia arriba, acercéndose a la superficie libre (R<0), si su peso es
Explique difresissquens menor que el empuje (P< E)Io cual ocurre cuando el cuerpo tiene una dens!

pul en ndo Ver ad menos que ld.

La dependencia del empuje con la densidad del líquido se hace patente
con un sencillo experimento: los huevos se van al fondo en agua pura. Si se
añade sl al agua se observa que llega un momento en que el huevo comienza
a ascender, hasta que finalmente flota, La adición de sal lo único que ha
hecho ha sido aumentar la densidad del líquido. El resultado ha sido un
“aumento correspondiente en el empuje.

Consideremos ahora (fig. 9) un cuerpo sumergido en un líquido más den
so que él. Comp acabamos de ver, la fuerza resultante À es hacia arriba y el
cuerpo se moverá hacia la superficie. Cuando llegue a este, a medida que va

166. emergiendo va disminuyendo el volumen del líquido desplazado y por cons
guiente, también disminuye el empuje hasta que se hace igual al peso quedan
de el cuerpo flotando en equilib

En los cuerpos Motantes el empuje debido a la porción sumergida es
igual al peso del cuerpo (P = E)y por tanto, el peso aparente es cero, Asi, por
ejemplo, como la densidad del hielo es menor que la del agua, Mota en ella de
manera que en un témpano de helo los 9/10 de su volumen están sumergidos
y solo emerge 1/10 del mismo lo cual hace que sea tan extremadamente pe
¡grosa la navegación en las regiones donde hay témpanos,

9. DEMOSTRACIONES DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

1. Demostración cualitativa. Cualitaivamente puede comprenderse por
qué un líquido ejerce un empuje sobre los cuerpos en contacto con él. Consi-
deremos en efecto, un cuerpo sumergido Cy (fig. 10), Como sabemos, el lí
‘auido ejerce presiones sobre todos los puntos de la superficie del cuerpo. Pe
ro las presiones hacia arriba a abajo ejercidas sobre la parte superior del
‘cuerpo son menores que las presiones de abajo hacia arriba ejercidas sobre la
parte inferior del cuerpo ya que ex a ona profundidad
mayor. Por consiguiente, el resultado de las acciones ejercidas por el liquide
sobre el cuerpo debe ser una fuerza hacia arriba, [déntico andlisis puede ha
un cuerpo Motante tal como Cy

11. Demostración analítica, Consideremos, (ig. 11) un clindro sumergi
do en posición vertical en el interior de un Ruido, 5 su altura es Ha diferen-
cia de presión entre sus dos bases está dada por (3), o sea p’ — p = Hg
Multiplicando esta expresión por el área 4 de la bese:

pid ~ pA = Maga

pero pd = F es la fuerza hacia abajo, p'4 = F° la fuerza hacia arriba y
HA = V es el volumen del líquido. Luego:

Fl —F=Vdg

E? = Fes la fuerza resultante hacia arriba o empuje y Vdg es el peso del
Mado desplazado por el cuerpo, comprobándose que el empuje es igual al pe
so del líquido desplazado.

IIL. Demostración experimentel.Experimentalmente se demuestra, en el
cato de los cuerpos sumergidos, en la siguiente forma, De un brazo de una ba:
lanza se suspende un cilindro hueco y abierto superiormente. De este cilindro
se suspende un segundo cilindro metálico y macizo cuyo volumen es exacta:
mente igual al de la cavidad del primero. La balanza se equilibra suspendien:
do pesos adecuados del otro brazo, (fig. 12)

Si ahora se introduce el cilindro macizo en un líquido cualquiera de mo
do que lo cubra totalmente, se observa inmediatamente que la balanza se

Jina del lado opuesto a causa del empuje, Llenando entonces la cavidad del
cilindro hueec con el mismo líquido se observa que el equilibrio se restablece.
Se comprueba asi que el empuje es igual al peso del líquido desalojado.

Feo

Fig

167. et moncôn ct En

Fig. 12 Demonraión del principio de Arquímedes.

Ejemplo 6: Un cuerpo tiene una mass de 40 kg y un volumen de 120 em.
Calcular el empuje y su peso sparente cuando se sumerge en glicerina (densi
dad 1,26 gem’),

P = (40 kg) x Omi) = 392N, Fe = 1,20 x 104m,
di = 1,26 glem? = 1,26 X 10 kn?
Aplicando (7) para calcular el empuje

B = Vedg = (120 x 10% m?) x (1,26 x 10° kein?)
x (9,80 ms?) = 1,4876N = 1,482N

El peso del cuerpo es:

P= mg = (40 kg) x (9,8 mi?) = 392 N

El peso aparente será
R = P ~ E = 392N - 1,482N = 390,5184 N

10. EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS FLOTANTES

Ya hemos dicho anteriormente que todo cuerpo en el interior de un I
quido en equilibrio está sometido a dos fuerzas, su peso y el empuje, que
tienen direcciones opuestas. Para que el cuerpo esté en equilibrio sabemos
que las dos fuerzas deben ser iguales y directamente opuestas (E = P)lo cual
requiere que el centro de empuje C y el centro de masa G se encuentren en
une misma vertical (ig. 13) Si el centro de empuje está más alto que el de
maso, el equilibrio es estable, si ambos coinciden es indiferente y si está más
bajo es inestable.

‘Aun cuando en los cuerpos flotantes también es necesario para el
équilibrio que ambos centros estén en la micma vertical, la estabilidad no re-
Fes quiere a veces que el centro de empuje esté más alto que el de masa. En la fi

168. a PTS

‘gure 14 (a) se ha representado un buque en equilibrio siendo G su centro de
masa y Cel de empuje. Se observará que el centro de masa está más alto que
‘lide empuje, lo cual és común a todos los buques en os que la superestructu
Fa u obra muerta eleva extraordinariamente el CM. No obstame el equilibrio
ts estable. Supongamos en efecto, que el buque se inclina con relación a la
vertical. [ig 14(0)]. Como la forma geométrica de la porción sumergida he
Variado, el centro de empuje se ha desplazado a la posición C”. En estas con-
diciones el barco está sometido a un por de fuerzas (P, E) que tiende a poner
su eje de simetría nuevamente vertical llevándolo a su posición de equilibrio.

Se llama metacentro al punto de intersección, cuando el cuerpo es!
inclinado, dela vertical que pasa por el centro de empuje con una recta que
pasando por el CM. del cuerpo es vertical cuando está en equlibrio. En la fi
ura 1446) es M. Vemos entonces que el par (P, E) tiende a enderezar el bu-

amente porque M está más alto que G. Si M estuviera más bajo que G
¿par (P, EJ haría que el barco se inclinara más aún hasta que diera una vuel-
1a complet

que

Concluimos pues que un cuerpo flotante, tal como un barco, está en
equilibrio estable s el metacentro está más alto que el centro de gravedad. En
un barco la distancia entre el metacentro y el centro de masa debe tener el
menor valor posible para que cl balanceo sea lento, obteniéndose a el máxi
mum de comodidad.

PREGUNTAS

1. ¿En qué caso puede romperse más fácilmente una botella al tratar de ta:
parla ciudadosamente si está medio llenar o si está completamente llena
de un líquido? ¿Por qué?

2. ¿Toda presión origina una fuerza? ¿Toda fuerza origina una presión?
Ilustre su respuesta con ejemplos.

3. ¿Por qué un pez acostumbrado a vivir a grandes profundidas en el océx-

ho, se muere si e le lleva a poca profundidad?

¿En qué posición (1, 2 6 3) experimentará un pez una presión mayor?

¿Por qué? (Ver figura)

¿Por qué una presa se hace más gruesa en la base?

¿Cómo se sumerge un submarino y cómo regresa a la superficie?

En uno de ls platillos de una balanza de plataforma en equilibrio se en-
‘cuentra un recipiente conteniendo un líquido. ¿Qué ocurrirá si en el Ii
‘auido se sumerge un cuerpo sostenido mediante un hilo de modo que no
toque el fondo?

8. De un diamömetro de muelle está suspendido un recipiente conteniendo
un líquido, En este se introduce un cuerpo, suspendido de un segundo di
namômetro de modo que quede cubierto por el líquido, pero sin toca
fondo, ¿Qué cambios ocurrirán en las lecturas de los dinamómetros?
¿Qué relaciones habrá entro ellos

9. Cuando un buque pasa de un rio al océano ¿se sumerge más o emerge al

80? ¿Por qué?

10. ¿Cuáles la máxima densidad que puede tener un cuerpo para poder flo-

tar en alcohol?

5.
6

Fas

re 4

169. meet atk ‘aii

12

PROBLEMAS

(Par

las densidades consültese la tabla de la pág. 70)

Sobre una superficie de 40 em? actúa una fuerza uniformemente di
buída a 806 N. Hallar la presión en Pa. R. 2015 x 10'Pa

Sobre una superficie rectangular de 30 em de largo y 12.em de ancho ac
tie una fuerza uniformemente distribuida que produce una presión de
425 x 10* Pa. Calcular la fuerza. R. 15.300 N. >
Un hombre que pesa 820 N se encuentra en pie. Las suelas de sus zapatos
cubren cada una un área igual a 196 em? ¿Qué fuerza ejerce el hombre
sobre el piso? ¿Qué presión ejerce sobre el piro? ¿Cuál será la presi
se para sobre un solo pie? R. 820 N, 209 x 10* Pa, 418 x 10* Pa.
La punta de un lápiz tiene un área de 0,001 em? Si con el dedo se compri-
me contra un papel con una fuerza de 12 N, ¿cuál es la presión sobre el
papel? R,12 x 10° Pa.

. Un tapón de gome cilíndrico cuya base tiene 1.2 cm de radio se introduce

en una botella llena de agua ejerciendo sobre él una fuerza de 300 N. Cal
«cular la presión en las paredes de la botella. R 6,63 X 10° Pa.

¿Cuál es la presión a una profundidad de 1.200 m bajo el agua? ¿Cuál es
la fuerza ejercida sobre una superficie de 4 om situada a esa profundi
dad? R. 1,176 x 10° Pa, 4.708 N.

¿Cuál es la diferencia de presión en las tuberías del agua en dos pisos de
lin edifico s el desnivel entre ambos es 15 m? R. 1,87 x 105 Pa.

Una probeta de 90 em de altura está lens de acto, (d = 09 x 10
kgim?). Calcular la presión en el fondo y la fuerza sobre el mismo si la
probeta tiene un radio interior iguala 15cm. R. 7.056 x 10° Pa, 49%

N

El último piso de un edificio se encuentra a 90 m sobre el nivel de las tu-
berías de agua que llegan de la calle. La presión del agua en las mismas
es 4,25 x 10° Pa ¿Será necesario instlar una bomba para que el agua
llegue a exe piso? ¿hasta qué altura subirá el agua bajo la presión sin ne
cesidad de bomba? A. Si, 43,37 m.

>. Un hombre que pesa 750 N está parado sobre una plataforma que tiene

900 cm? de área y está colocada sobre un fuelle con agua (figura). ¿Cuál
esión que el hombre ejerce sobre la plataforma? ¿A qué altura su
be el líquido en el tubo vertical? R. a) 8,33 x 10° Pa, b) 0.85 m.
Un tanque rectangular leno de agua tiene 6 m de largo, 4 m de ancho y 5
mm de profundidad, Calcular la fuerza total sobre el fondo y sobre cada pa:
red. À. 1,176 x 105 N, 588 x 105 N, 49 x 10° N.
El tanque del problema anterior está tapado herméticamente. En su tapa
se ha hecho un orificio y se ha ajustado en el mismo un tubo vertical de 6
m de largo, de modo que el tanque y el tubo están llenos de agua. Calcu-
lar la fuerza total sobre el fondo y sobre cada pared y sobre la tapa. À.
2,5872 x 10* N, 1,666 x 10° N, 2,499 x 10*N, 1,411 x 10*N.

.. Una represa tiene un muro de contención de 50 m de altura estando el ni

vel del agua a 1 m del borde. En la base del muro hay una compuerta rec-
tangular de 4 m de altura y 5 m de ancho. ¿Qué fuerza ejerce el agua
sobre la compuerta para que el agua no la abra? R. 9.212 x 10°N.

170. te ero ee 12

14. Un vaso cónico tiene por bases dos círculos de radios iguales a dem y 7
em. Su altura es de 10 cm. Contiene un líquido cuya densidad es
1,5 x ¡0'g/m. Calcular la fuerza ejercida sobre la base si descansa sobre
la base (a) mayor, (5) menor. R. (a) 226 N, (6) 7.38 N,

Un tubo doblado en U contiene (d= 10 kg?) y aceite
(d= 09 x 10°kgim®). La altura del agua respecto a a superficie de separa
ción es de 8 cm. Calcular Ia altura de la columna de aceite, R 889 em,
En un tubo doblado en U hay mercurio (d = 13,6 x 10° kg/m) y coro:
formo. La altura de la columna de mercurio es de 2 cm yla del clorofor-
mo es 408 em. Calcular la densidad del cloroformo. R. 0,667 x 10° kim
. En un edificio la presión del agua en la planta baja es de 70 Nin? y en el
tercer piso es de 58 x 101 Nim! ¿Cuál es la distancia entre ambos pisos?
R.122m.
En una prensa hidráulica (fig. 12)la fuerza hacia arriba enla plataforma.
P, que tiene un área de 5 dim, es de 10.000 N. El émbolo p tiene un éres
de 50 cm. ¿Qué fuerza se está ejerciendo en P? R. 1.000 N,

Un cuerpo tiene un volumen de 25crn? ¿Qué empuje experimentará si se

sumerge (a) en alcohol (0,82 x 10° kg/m?) (1) en agua, (een ácido ni
co (1522 x 10'kgmá)? R a) 2009 N, b) 2452 N, ©) 3729 N.

Un pedazo de metal pesa 1,8 Nen el aire y 1,4N cuando se le sumerge en
el agua. ¿Cuál es el volumen yla densidad del metal? À 4,08 x 10° m?,
45 x 10 kim

Un cuerpo cuyo volumen es 900 cm? tiene un peso aparente de 18 N cuan-
do sele sumerge (a) en agua, (8) en alcohol, (d = 0,8). Calcula su peso en
el aire y su densidad. R. 26,82 N, 3,04 glem?, 25,056 N, 2,84 glem

Un anillo de oro pesa 0,1 N enel sie y 0,094 N en el agua. ¿Cuál es su vo:
lumen y la densidad del oro? À 6,12 x 10°"m?, 1667 10°kgin?,

Un bloque de aluminio (d = 2,75) tiene 4 cm de arista. ¿Cuáles su peso
aparente en el agua? ¿Qué fuerza sería necesario aplicarle para extraerlo
del agua? R. 1,0976 N, 1,0976 N.

Un cuerpo experimenta un empuje de 2,5 N sie sumerge en agua, de 23
N si se sumerge en aceite. Hallar la densidad del aceite. R. 0,92 x 10°
kg

Una esfera de platino pesa 3,30 N en el ire, 3,15 N en el agua y 3,03 N
en el ácido sulfürico. Hallar (a)el volumen de la esfera, (Ba densidad del
cido. R. 153 x 10% m}, 1,8 x 10’kgim?

Un bloque de piedra cuya densidad es 2,6 gem? posa 48 N en el agua.
Hallar su peso en el aire, R. 7,8 N.

Un bloque de madera tiene un volumen de 150 cm?. Para mantenerlo su:
mergido en agua hace falta ejercer sobre él una fuerza hacia abajo de 0,6
N. Hallar su densidad. R. 0,59 x 10° kg.

Una caja de acero de 10 cm de lado está en el aire suspendida de un dina
mömetro que indica un peso de 75 N ¿Cuál será la lectura del dinamé-
metro si la caja se introduce en alcohol? (d = 0.82 gm?) R. 66,96 N.

171. 29. Un bloque de madera cuyas aristas son de 15 cm, 10 cm y 4 em Nota en
aga, con su rita más cara vertical, de modo que emerge 1 em dela
misma. Hallar el peso del bloque, yla densidad dela madera. R 441 N,
025 x 10° kg?

Una esfera de hierro que pesa 1,56 N y tiene una densidad igual a 7,8 x

x 10 gin? Mota en mercurio, Calcular el volumen del casquete emer

gente. ¿Qué fuerza sería necesario ejercer sobre la esfera para sumer

fila? À. 0863 x 10° m, 1158 N

Un cilindro de madera de 10 em de altura flota en agua de modo que

emerge 3 cm ¿Cuál es su densidad? R. 07 x 10 kg/m

Un tapón cilíndrico de corcho tiene una densidad de 03 x 10° kgm? y

una altra de 25 em ¿Qué longitud emerge cuando Mota en agua? À

125 cm

Un bloque de madera cuyas dimensiones son 20 cm, 10 cm, y 6 em Nota

en el agus con au superficie mayor horizontal. S au densidad ex 0,7 X

% 10° Kg ¿cuánto se hunde? ¿Cuénto e hundiri s se le empujara

con el dedo con una fuerza de 2 N. R. (a) 42 em, (5) 52 em.
ando un hombre que pesa 800 N penetra en una canoa, sta se hunde 4

em. Hallar el área de la seción de la canos al nivel dela superficie dl

agua. R 204 mi

Una caja de 20 em de largo, 10 em de ancho y 8 em de altura flota en

agua salada (d = 1,2 x 10 gi) con su base mayor horizontal. ¿Cuál

ts el peso del cuerpo que debe colocarse en su interior para hundicla 3

cm más? R. 7056 N

¿Cuál ha de se la densidad de un líquido para que un cuerpo cuya dens

dad es 08 X 10° km fot con solo la mitad de su volumen sumergido

RE 16 x 10 kel

Un pedazo de aluminio (d = 2,7 x 10°kgm?) pesa 0,10 N en el air,

Cull será su peso aparente en un líquido cuya densidad e 1,35 x 10°

Keim’? R. 0082 N

En un tubo doblado en U hay dos líquidos no miscbles en equilibrio. Ha

ciendo uso del hecho de que a lo largo de la superficie 44 la presión

hidrostática debe ser la misma en las dos ramas y 2, probar que dy hy
de ha donde d y da son las densidades de los dos líquidos.

172. Fluidos en movimiento

1. MOVIMIENTO DE UN FLUIDO

En un Auido en movimiento cada una de sus partículas o moléculas
describe una trayectoria en general diferente ula de la otras moléculas. Su
pongamos que en un instante determinado trazamos en el fido líneas imagi
arias tales que las velocidades de las moléculas por donde pasa cada lines
son tangentes a ela en ese instante. Estas curvas reciben el nombre de líneas
de corriente (g. 1).

En general, la configuración de las líneas de corriente en un instante pos-
terior será diferente. En este caso de dice que el movimiento del Mido es tur
bulento. Por el contrario si observamos que la configuración de las líneas de
Corriente permanece invariable al trascurir el tiempo decimos que el movi
miento del fido es estacionar

En estas circunstancias la velocidad en un mismo punto de fluido perma:
nece constante en magnitud y dirección y las trayectorias de us diversas par.
Yeulas coinciden con las líneas de corriente que pasan por elas, de modo que
cada partícula sigue a la que la precede situada sobre la misma línea de
corriente. Esta última característica se puede observar espolvoreando alguna
substancia en un líquido animado de un movimiento estacionario y observan:
de su trayectoria,

Se dice que una corriente es uniforme cuando la velocidad es la misma
en magnitud y dirección en todos los puntos del fuido, de modo que las líneas
de corriente son rectas paralelas. En la fig. 2(0) se tienen las líneas de orrien:
te debidas a una fuente en el interior del líquido, en (9) las debidas a un sui.
dero y en (e) las líneas de corriente cuando se tiene un obstáculo cilíndrico,
tal como un poste, en medio de una corriente uniforme.

173. Fig. Teorema de Terie

Fes

2. SALIDA DE UN FLUIDO POR UN ORIFICIO.

Haremos ahora el estudio de la velocidad con que sale un fluido por un
orificio abierto en la pared del recipiente que lo contiene. El primer estudio
de este fenómeno, en el caso de un liquide, se debe al italiano Evangelista
Torricelli (1.608-.647), el cual enunció en el año 1.643 el siguiente resultado:

Si en un recipiente se abre un orficio pequeño, la velocidad con que sale
el líquido por el mismo es igual ala velocidad que adquirirío un cuerpo sica
era libremente en el vacío desde una altura igual ala distancia vertical entre
la superficie libre del líquido en el recipiente y el orificio.

Designando por À esta altura tenemos que Ia velocidad de salida del It
guido ser

» 28h a

Por consiguiente la velocidad de salida es proporcional a la raiz cundra-
dda de le profundidad a que se encuentre el orificio.

Torriellirelat va irven de comprobación a teore-
jente como el de la figura 3, se

ma. Supongamos por ejemplo, que en un reci
practice un orficio en B, manteniendo fjo el nivel del líquido en 45 e obser.
va entonces que el chorro que se produce describe una trayectoria práctica
mente parabólica, igual que para los proyectiles de modo que su punto més
alto se halla en un mismo plano horizontal que A (en la práctica stá algo més
bajo), Ahora bien, la velocidad que tiene el líquido al salir por B, es igual a la
que tiene cuando al caer pasa por Cy esta corresponde ala velocidad de una
caída desde una altura A. Esta experiencia es pues una comprobación del
enunciado de Torricelli, que puede demostrarse también analíticamente apli
cando el principio de conservación de la ener

El enunciado de Torricelli no es rigurosamente exacto, pues la velocidad
de salida del Auido depende, además, de actores geométricos, tales como el
grueso de las paredes del recipiente yla forma del orificio.

3. GASTO TEÓRICO Y GASTO EFECTIVO

Como la velocidad » con que sale el líquido por B representa la distancia
que avanza en la unidad de tiempo, tendremos que si À es el roa del orificio,
el volumen del líquido que sale por él, enla unidad de tiempo será Av. Este
producto recibe el nombre de gasto y como v =/2gf tendremos:

RUN o

Esta fórmula no da el gasto efectivo o verdadero, porque no tiene en

‘cuenta los factores geométricos que hemos mencionado.

obtener el gasto efectivo o verdadero es necesario entonces mul-
plicar por un coeficiente e, lamado coeficiente de descarga, que depende de
la forma del orificio, y que se obtiene experimentalmento. Luego el gasto ver.

dadero es:
G=cd Var

174. En ras una - 13

En el caso de un orificio circular € = 0.62

La presencia de tubos adicionales en el crificio de salida del líquido
puede modificar el valor de e, facilitando asf la salida del líquido.

Ejemplo 1: En un tanque de paredes delgadas conteniendo agua se abre
un orificio circular de 0,8 cm de radio a una profundidad de 3 m. Calcular la
cantidad de líquido que sale en dos minutos suponiendo que el nivel dela su-
perficie libre permanece fijo

7 = 08m =8 x 10%mn h= 3m,

mi

20 €

2

A= FR = 31416 x (8 x 10m) = 201 X 104m?
6 = 0624 Vaz
= 062 x (201 x 104m?) x \/2 x 9800
955 x 10m

x 3=

Este es el volumen de líquido que sale en un segundo. Para obtener e vo
lumen descargado en 2 minutos multiplicamos el valor anterior por el tiempo.

veo

9,55 x 10°¢mis x 1208 = 0,1146m? = 114,6 litros

4. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Consideremos un fluide que se muere por una tubería de sección va:
ble, (ig. 5). En la sección A, la velocidad es +, y el volumen de fluido que
pasa por ella en la unidad de tiempo es Aye. Si dy es la densidad del fuido en
masa que pasa por unidad de tiempo es:
dex (A
Análogamente la masa que pasa por 4; en la unidad de tiempo es dit
Saponiendo que entre dy y Aa no hay absorción o producción de materia y que el
movimiento es estacionario, las dos masas deben ser iguales, en virtud del princi
pio de conservación de la materia. Luego:

lensidad x volumer

IAs

des = data @

resultado que se llama ecuación de continuidad. Si el fluido es incompren:
sible su densidad es la misma en todas partes (d, = 4), resultando:

Aro = Aa CG]

lo que indi

que donde la sección es menor la velocidad es mayor

5. ENERGÍA DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO

Consideremos la unidad de volumen de un lquido en movimiento, Si su
densidad es d y su velocidad es y su energía cinética será:

Fes

175. energía cinética: de?
pues la masa dela unidad de volumen es 4.

Andlogamente, s está la altura À su energía potencia gravitatoria por
unidad de volumen es:

energía potencial gravitatoria: Adg

La presión también puede considerarse como una energía potencial. En
efect, dimensionalmente:

o fuera N _Nxm
PR ren m

Consideremos un volumen de fuido de sección 4. La fuerza que sctúa
sobre A es F = pA. Si A es desplazada la distancia ¢, el trabajo realizado es
T =F xe = pd Xe = pP, donde Y es el volumen del fluido desplazado.
Luego p = TV que indica que p es una energía por unidad de volumen.
Luego

energía potencial debida a la presión =p

Por tanto, la energía total por unidad de volumen de un líquido en movi
miento es la suma de los tres resultados anteriores,

San) = 240 + hie + p

El principio de conservación de la energie requiere que esta cantidad
permanezca constante durante el movimiento si este es estacionario. Este im.
portante resultado se lama también teorema de Bernoulli, y fue enunciado
por el ciemtfico suizo Daniel Bernoulli (1.700-1.782)

6. APLICACIONES

El teorema de Bernoulli tiene numerosas aplicaciones prácticas, Consi
deremos un tubo de sección variable como el de la fig 7, dispuesto horizontal.

Siel líquido estuviera en reposo, la presión sería la misma en todas par-
la altura del líquido sería igual en los tubos 4, B, Cy D. Pero a el liquide

, la altura en À y Cserá la misma porque teniendo la mie
sección en a y en c, la velocidad es la misma. Luego la presión también se.

ré la misma. En b sin embargo, por ser la secciôn menor, la velocidad es me
yor con lo que la presión deberá ser menor. En D la presión P es mayor por.
que debe

contrarrestar la presión p y la energía cinética del Muido, o sea
Hae. Este último resultado se usa en los motores o turbinas

176. El principio de Bernoulli permite demostrar la fórmula para la velocidad
de salida de un líquido por un orificio. En efecto (fig. 4) en A la velocidad es

nula y la presión es la atmosférica. Luego:

energía en À = dg + Pam

Bila altura es mula yla presión es otra vez la atmosférica. Luego

energía en B = +de? + p.

Igualando ambos resultados

Lav + hg + am

Luego

Lav det SET

El principio de sustentación de un avión se basa también en (6). En efec
to, el peri del ala, (ig. 8), se diseña de tal modo que la velocidad del aire sea

yor por encima que por debajo, con lo que la presión será mayor por deba.
Jo que por encima produciendo una fuerza resultante hacia arriba.

emplo 2: En una tubería horizontal por la que Muye agua, las sec
ciones trasversales en dos puntos miden 3 em? y 6 cm? respectivamente. La ve
locidad del líquido en el primer punto es de 4 mis y la presión es 100 Nin?
Calcular la velocidad y la presión en el segundo punto.

177. 4

10° gim?, la presión pz

1. ¿Qué es una lin

moon à isa ont

Camels an end
P
a= ot

Se tiene además que

M=3em, Ar=6em, u = 4m

Aplica

lola ecuación de continuidad Aye, = Ay

(3 em?) x (4 mls) = (6 om?) oz

la velocidad en el segundo punto será

Para calcular la presión en el segundo punto, podemos usar la ecuación
Bernoulli, que como la tubería es horizontal puede escribi

dt =p, hdd

Substituyendo valores y
if

niendo en cuenta que py = 100 Ni
yundo punto será

pa = 100 Nim? + À (10 im) x (4 mé

— 3 (10 Wim?) x (2m/s¥ = 6.100 Nim?

de corriente? Haga esquemas de algunos tipos de I

¿Qué significado físico tiene la ecuación de continuidad?
¿Qué significado físico tiene el teorema de Bernoulli?

imo varia la velocidad de un líquido con la sección del tubo?

¿Cómo varía la presión de un fluido con la velocidad?

Cite algunos ejemplos que lustren las preguntas anteriores.

¿Qué efecto tiene sobre la presión In fricción del líquido con las paredes
del tubo por donde Auye?

¿Cómo depende la velocidad de salida de un orificio dela profundidad de
Un recipiente de 60 em de altura tiene un orificio en el fondo. ¿En qué ca
so la velocidad del líquido será mayor: si está lleno de agua 0 de mere

178. 6

Una tubería horizontal tiene una sección uniforme cuyo radio es de 3 em.
La velocidad del agua es de 4 m/s yla presión es igual a 10° Pa. Calcular
(a) la cantidad de líquido que pasa en un minuto por cualquier sección de
Ta tubería, (b)Ia energía total por unidad de volumen. R. a) 1,131 x 10
m’, b) 2 x 10 Jim

Una tubería horizontal tiene un área de 10 cm? en una región y de 5 cm?
en otra, La velocidad del agua enla primera es de 5 mis yla presión enla
segunda 2 x 10° Pa. Calcular la presión en la primera yla velocidad en
la segunda. R. 422 X 10° Pa, 8,33 mis

Una tubería tiene sección uniforme pero tiene una inclinación de 30° con
la horizontal. La velocidad en un punto a 8 m del suelo es de 40 emis y la
presión es la atmosférica. ¿Cuál será la velocidad y la pres
punto más bajo situado a 6 m del primero? A. 1,08 x 105 Pa.

Un tubo tiene 6 em de diámetro aunque en una parte del mismo, su sec
ción se contrae teniendo solo 4 cm de diámetro, Cuando por el mismo fu
ye un líquido cuya densidad es 0.9 X 10° kgim? la presión en el primer lu
ar excede a la presión en el segundo en 1.620 Pa. Determinar la veloc
dad del líquido en cada punto. A. 2.188 mis, 0941 mis,

Resolver el problema anterior si el tubo tiene una inclinación de 40° con
la horizontal y la distancia entre las dos regiones es de 10 m, estando la
segunda más baja que la primera. R. 13,693 m/s, 6,062 mi.

En un tanque la presión del agua en un orificio practicado en su pared es
49.000 Pa. ¿Cuál esla profundidad del orificio? ¿Cuál es la velocidad de
salida del agua? ¿Cuál e la velocidad del líquido en un punto del chorro
que está 50 em por debajo del orificio? R. 9,9 mis, 10.46 mis,

En un punto de un buque a 4,5 m de profundidad se abre accidentalmen-
te un boquete circular de 1 m de diámetro, ¿Cuántos litros de agua por
minuto penetran en el buque? À. 442,56 mi

En un tanque se abre un orfiio circular de 10 em de diámetro a 20 m de
profundidad. Calcular la cantidad de agua que sale por minuto yla velo
cidad con que sale el líquido. R. 1,866 m min, 17,21 mi.

En un tanque con agua herméticamente cerrado se inyecta aire por una
tubería acoplada a su tapa, siendo su presión de 2 x 10 Pa. La superficie
del agua está a 4,9 m del fondo. Si en este lugar se practica un orificio de
2em de radio, calcular la velocidad de salida del agua suponiendo que no
hay contracción. Calcular también el gasto. A. 17,21 mis, 2,162 x
10% ms

179. Presión Atmosférica

1. PRESIÓN Y EMPUJE EN UN GAS

La casi totalidad delos resultados expuestos en el Capítulo xvi para los
líquidos, pueden extenderse sin alteración a los gases. Así, si en un gas en
«quilibrio se tienen dos puntos cuyo desniveles A, a diferencia entre las pre
siones en ambos puntos es

Pia pa = hdg m

donde des la densidad del gas. Como la densidad de los gases en condiciones
normales es muy pequeña, es necesario que el desnivel h sea muy grande para
que la diferencia de presión se haga apreciable. Por ejemplo, la densidad del
aire es d = 1,293 kg/m”. Luego, para que ps — ps = 100 Pa es necesario
que:

Pe 100 Pa
enr 7190 m
de 1,293 kgim? x 9,80 mis?

En el agua, ese desnivel habría correspondido a una diferencia de presión de
72 x 10% Pa, o sea, casi 1.000 veces mayor.

Por esta razón un gas encerrado en un recipiente de poco volumen ejerce
prácticamente la misma presión en todos los puntos del mismo.

La expresión (1) debe ser aplicada, sin embargo, con cuidado. En efecto,
como los gases son muy compresible, su densidad varía con la presión 2
igualdad de otras circunstancias, Por tanto, si el desnivel hes muy grande, la
densidad no es exactamente la misma en la parte inferior y en la superior.
Luego la fórmula (1) es aplicable solamente en tanto cuanto el desnivel h es

que la densidad no varía apreciablemente

180. Er res none 83

Del mismo modo podemos enunciar el principio de Arquímedes

Todo cuerpo en el interior de un gat experimenta una fuerza vert? ha
cia arriba o empuje igual al peso del volumen de gas desalojado.

Este principio se pone en evidencia mediante el experimento ilustrado en
la figura 1. En los extremos de una balanza van suspendidos el cuerpo C, de
metal, yla esfera de vidrio Y, de volumen mucho mayor, graduados de modo
que la balanza está en equilibrio cuendo se encuentran en el aire, Se coloca
entonces la balanza bajo la campana N y mediante una bomba se extras el
sire por B. Se observa entonces que a medida que sale el aire, la balanza se
inclina del lado de la esfera Y.

La explicación es la siguiente: en el vacío la balanza se inclina del lado de
Y, ya que en realidad pesa más, pero en el aire se mantiene en equilibrio, por:

siendo Y de mayor volumen que C, experimenta un empuje mayor siendo
iguales las fuerzas resultantes sobre ambos cuerpos. De no existir el empuje
la extracción del aire no habría slterado el equilibrio de la balanza,

2. PESO VERDADERO Y APARENTE EN UN GAS

El ejemplo anterior nos pone de manifiesto además un detalle muy im-
portante. Cuando un cuerpo se pesa en la atmósfera no se obliene su peso ver
dedero, 0 sea la atracción que la Tierra ejerce sobre él, sino esta atracción dis
minuida en el empuje debido a la atmósfera, lo que se llama peso aparente o
sea su peso en el aire. Si designamos por Pel peso real o verdadero del cuer-
po, por Pa su peso aparente y por E el empuje, se tiene que:

R=P-E

Evidentemente el peso aparente de un cuerpo es siempre menor que su
peso real. Como es muy dificil determinar experimentalmente el peso real de
un cuerpo ya que habría que proceder en el vacío, lo que se hace es halla el
peso aparente y por medio de fórmulas se calcula entonces el peso real

Si el cuerpo tiene una densidad mayor que el gas, entonces P > Ey su
peso aparente es positivo.
Si el cuerpo tiene la misma densidad que el gas (
tees nulo y queda flotando en el del gas Si tiene menos densidad que
es P<E y su, peso aparente es negativo, con lo que el cuerpo
bajo la acción de una fuerza £ — P que recibe el nombre de
ascensional
Este resultado es de gran importancia en los globos y dirigibles, Estos
son aparatos que llevan vs ues llenos de un gas como el hidrógeno o
el helio que son mucho más ligeros que el aire de modo que el conjunto tiene
vna densidad inferior a la del are, lo que hace que tienda a ascender. Aunque
el hidrógeno produce mayor fuerza ascensional que el helio se prefiere este
Bas por no ser inflamable.

Ejemplo 1: Calcular la fuerza ascensional de un balón que tiene un volu-
‘men de 500 m? leno de hidrógeno y una barquilla cuyo peso más el delas per-
sonas y objetos que leva es de 300 N.

Fil Brosopin

181. PTAS

Como el volumen es Y = 500 m3, la masa de aire desalojado será
M = Va = (5 x 10%?) x (1,293 kpl?) = 6465 kg
El empuje será

E = Mg = (616,5 kg) x (0,80 ms?) = 63

Para obtener el peso hay que añadirle al peso del balón el peso del hides
geno contenido en el balón:

Pasen = (5 X 102m?) X (0,009k gim?) x (9,80m4#) = 44,10

Luego el peso del conjunto es:
P=300N + 44,1 N = 3441 N
La fuerza ascensional es, por consiguiente:

E ~ P = 6335,7 N — 344,1 N = 5951.6N

3. PRESIÓN ATMOSFÉRICA

Sobre la superficie dela Tierra se extiendo una capa gascosa, llamada ar.
mésfers que tiene una altura aproximada de unos 40 km. La atmósfera es una
mezcla de varios gases que se denomina aire: nitrógeno (78%), oxígeno
(20%), argón (1%), dióxido carbónico (0,03%), hidrógeno (0,001%) y trazas
de algunos otros gases como el neón, el helo, ec. Aunque en la proximidad
de la superficie terrestre predominan el nitrógeno y el oxígeno, las propor:
ciones relaivas de los distintos gases varían con la altura.

Esta masa guscosa al descansar sobre la superficie terrestre ejerce en ca
de los cuerpos que se encuentran sobre la misma una presión llama
¿ón atmosférica.
Los seres vivientes no nos percatamos de la presión atmosférica más que
cuando se producen cambios en la misma. Basta, por ejemplo, elevarnos a
grandes alturas, donde la presión es menor, para experimentar sensaciones.
nuevas (molestias en los oídos, dificultad en respirar, ec.) que nos revelan la
variación de alguna circunstancia física, en este caso la presión atmosférica.
Otros experimentos nos indican también su existencia y además nos sugieren
cómo medir

Si por ejemplo, de un recipiente como el dela ig. 2, cuyo extremo supe

cerrado por una membrana de goma o una vejiga, se extrae el aire
por su extremo inferior, se observa que gradualmente la membrana se defor
ma deprimiéndose, pudiendo llegar a romperse. Igualmente si de una vasija
de latón (fig. 3), se extrae el aire lega un momento durante el proceso de
extracción en que la vasija es deformada y aplastada quedendo en la forma in
dicada a la derecha. En ambos experimentos, al extraerse el are del interior
solo queda la presión atmosférica exterior que en un caso deforma la
membrana y en el otro la vasija.

Uno de los experimentos más espectaculares fue el realizado en 1.650
por Otto von Guericke (1.602-1.636), alcalde de Magdeburgo, (Alemania), en

182. om sen wort

presencia del emperador Fernando Ill. Guericke preparó dos hemisferios de
metal, cuyas bases podían ponerse en contacto perfectamente resultando así
tina esfera cuya cavidad tenía un diámetro de 55 cm (fig. 4). Extrajo después
tl aire del interior de los hemisferios empleando para ello una bomba de su
invención. Entonces demostró públicamente que ocho caballos tirando de ca
da hemisferio no los podian separar y, sin embargo, se separaban fácilmente
el aire en su interior. La explicación esla misma

si primero se dejaba pene
que en los ejemplos anteriores.

+. EXPERIMENTO DE TORRICELLI

De todos los experimentos realizados para probarla existencia dela pr.
sión atmosférica, el més importante fue el realizado en 1.644 por Evangelista
Torricelli(1.608-1.647). Tomó un tubo de vidrio, cerrado por un extremo y de
uma longitud aproximadamente igual a un metro. Lo llenó de mercurio y
cerrando con su dedo el extremo abierto lo invirtió en una cubeta contenien:
¿o mercurio (fig. 3 Ay B) Observö entonces que en lugar de salir todo el mer:
curio, quedó en el interior del tubo una columna de líquido de altura A con re.
lación a la superficie del mereurio en la cubeta. La altura À era alrededor de
vanos 76 em. Pudo, además, comprobar que la altura À es independiente del
diámetro del tubo. de su inclinación y de su forma (fig. 5.0).

Fig: Eapvimente de Tore

En la región entre la superficie del mercurio y el resto del tubo hay un
vacío casi perfecto y solo hay trazas de vapor de mercurio

La explicación, suponiendo la existencia de la presión atomosferica, es
simple: en un líquido en equilibrio la presión en todos los puntos de una su
perfice horizontal trazada en el mismo es la misma. Luego todos los puntos
de la superficie horizontal que coinciden con la superficie libre deben estar a
a misma presión. Los que están fuera del tubo se hallan bajo la presión at
mosférica P. Luego los que están en la base del tubo deben encontrarse bajo
la acción de una presión hidrostática Adg igual a P, o ses:

Fa lems

183. P=hdg @

siendo d la densidad del líquido, en nuestro caso el mercurio. Se ve asi que el
líquido en el tbo no puede descender a una altura inferior a 4 = Pld

Para verificar que la altura del mercurio en el tubo se debe a la presión
atmosférica, puede realizarse el experimento de la fig. 6. La cubeta con mer:
curio se coloce debajo de una campana neumática y se extrae el ire, lo que
equivale disminuir la presión sobre el mercurio. Se ve entonces que el mer
Curio desciende por el tubo. Si se permite al aire penctrar nuevamente en la
campana, restablecióndose la presión inicial, el mercurio asciende de nuevo.

Igualmente si se introduce un tubo abierto por ambos extremos en un re
cipiente con mercurio se observa que este asciende por el tubo al extraerse el
del mismo por el extremo superior, (ig. 7). El hecho se debe a que al
el aire del tubo disminuye la presión en cl mismo; como afuera
gue actuando la presión atmosférica, es necesario que ascienda cierta can
dad de líquido para establecer el equilibrio. En este principio se fundan las
bombas hidráulicas, los tubitos de cartón o de plástico para beber los refres
cos, el proceso empleado para llenar una jeringuilla con el líquido que se va a

Por tanto, la atmósfera ejerce sobre todos los cuerpos de la superficie
terrestre una presión equivalente a la presión en le base de una columna de
mercurio cuya altura está alrededor de 16 em pero cuyo valor exacto depende
de las circunstancias locales.

5. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA
CON LA ALTURA

Blas Pascal, que se habia enterado de la experiencia de Torricelli supuso
que si altura de la columna de mercurio se debía a la presión atmosférica, la
longitud de dicha columna debía disminuir con la altura. Con la finalidad de
comprobar esta hipótesis realizó una serie de experiencias en París comps:
rando las alturas de la columna de mercurio en lo alto y en lo bajo de la torre
de la igesia de Saint-Jacques-de-la Boucheric, que tiene una altura de unos
50 m observando que la columna descendía unos 5 mm, lo que le hizo concluir
que por cada 10 m de altura el mercurio debía descender 1 mm. El cálcul
concuerda aproximadamente con este resultado indicando que para pequeñas
alturas el mercurio desciende 1 mm por codo ascenso de 10, m.

Sila densidad del aie fuera la misma a todas las alturas podría calcular»
se la altura de la atmósfera multiplicando 10,5 m, que es la distancia que hay
que elevarse para que el mercurio descienda 1 mm, por 760 mm resultando
7.980 metros, o sea 8 km aproximadamente lo que en realidad representa
menos de la cuarta parte de la verdadera altura de la atmósfera. Sin embargo,
la densidad del aire es tanto menor cuanto mayor es la altura, lo cual hace
que la presión no disminuya uniformemente con la altura, y cada vez es nece-
sario elevarse una distancia mayor para que el mercurio descienda un mm.
Para alturas pequeñas, de unos cuantos cientos de metros, sin embargo,
puede seguirse considerando la atmósfera como homogénea.

184. 6. VALORES DE LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA

Se llama presión normal a la presión atmosférica que al nivel del mar y a
0°C de temperatura equilibra una columna de mercurio de 76 cm de altura
Esta presión recibe también el nombre de atmósfera, abreviada atm.
Un gas cuya presión es normal (1 atm) y cuya temperatura es igual a 0°C
se dice que se encuentra en condiciones normales

Es conveniente calcular el valor de una atmésfera en otras unidades.
Empleando (2) y teniendo en cuenta que d = 13,6 x 10? kg para el mer.
curio y A = 0,16 m resulta:

Imösfera = (13,6 x 10° kgm?) x (0,76 m) x (9,80 mis!) =
101.300 Pa

0 sea que una atmésfera es aproximadamente igual a 100.000 Pa, de modo
que cuando la presión es normal cada em? de nuestro cuerpo está bajo In ac
ción de una fuerza igual a 10 N prácticamente, o sea el equivalente del peso
‘Como la presión atmosférica es proporcional a la longitud de la columna
de mercurio que equilibra, suele también expresarse en

ud. Así se dice usualmente que

1 atmósfera = 76 cm de Hg

lo cual significa que una presión de una atmósfera equilibra una columna de
mercurio de 76 cm. Asi por ejemplo, dada una presión en em de Hg, se ob
tiene su valor en atmósferas dividiendo por 76.

em de Hg

atmósfera

Ejemplo 1: Calcular a qué altura debemos elevarnos para que el mercu:
rio descienda 2 em.

20 mm, resulta que

= (20 mm de Hg) + (10,5 mimm de Hg) = 210m

Ejemplo 2: Calcular en atmósferas yen Pa,
1 una altura de 80 em.
h = 80cm
p = 80 em de Hg
(80/76) atm = 1,052 atm = (1.0
106.567,5 Pa

la presión atmosférica cuan
do el mercurio

x 101.300) Pa

Ejemplo 3: Suponiendo la presión normal, calcular la fuerza con que la

primié los hemisferios de Guericke

base de cada hemisferio es un círculo de radio igual a 27 cm
m. Luego su área es:

À = ar = 3,14 x (0.27 mP = 0,2290 m?
F = pA = (101.300 Pa) x (0,2290 m?) = 23.197,7 N

ses equivalente al peso de un cuerpo cuya masa es 2.367 kg.

185. Fi 8 Barómetro

nf.
we rt
NS pe

Fig. 10 Mander

7. BARÓMETROS

Los barámetros som aparatos destinados

medir la presión atmosférico
El tipo más usual es el de mercurio. Consise esencialmente en un tubo
que después de llenarse de mercurio se ha invertido en una cubeta (experi
mento de Torriceli) determinándose por cualquier procedimiento la distan
cia vertical entre la superficie libre del mercurio en la cubeta y en el tubo (fig.
8), Este es el tipo más simple, lamado barómetro de cubeta.

También son muy usados los barómetros metálicos o aneroides (Griego;
anceros: seco), de los cuales el tipo más frecuente es el ilustrado en la figura
9. Consta de una cápsula metálica cilíndrica B, en la que se ha hecho un vacío
parcial y cuya base superior es ondulada para darie más flexibilidad. Los mo:
vimientos de esta superficie se trasmiten mediante el sistema EO ala palanca.
AC cuyo punto fijo es C y que se mueve frente a una escala que se ha gra
duado por comparación con un barómetro de mercurio. Como AC es mucho
mayor que OC, las oscilacionos verticales de B se trasforman en un movimien:
to de À de mucha más amplitud, aumentändose as Ia sens

8 MANÓMETROS

Son aparatos destinados a medir la presión de los gases y delos líquidos
(Griego: manos: delgado, entarecido).

En la figura 10 se ilustra un mandmetro, que consiste en un tubo de
vidrio doblado en U, abierto por ambos extremos, conteniendo un líquido
(mercurio, por ejemplo), y una de cuyas ramas se he conectado al recipiente
enel cual se desea determinar la presión. Supongamos que la presión P en el
recipiente C es mayor que la atmosférica p. Entonces el gas encerrado en
empujará el líquido hasta que la presión hidrostática hdg debida al desi
entre los meniscos À y D en ambas ramas, sumada con la presión atmosférica
1 actuando en D, ven igual ala presión P del gas actuando en A. El equilibrio
ocurre pues cuando:

P=p + hdg @

Basta por tanto, con determinar la presión atmosférica mediante un ba-
rémetro y medir el desnivel A, mediante una regla graduada que al efecto lle.
va el instrumento, para calcular P.

Sila presión en Ces menor que la atmosférica ocurrirá lo contrario: el
menisco À se encontrará más elevado que D, y en lugar de (3) se tendrá que:

— hdg “

P

PREGUNTAS

1. ¿Cómo influye la presión atmosférica sobre el peso delos cuerpos?

186. cede su arenes 107

2. ¿Cómo varía la densidad del aire con la altura? ¿Qué ley nos da la expli
cación de esta variación?

3. Explicar en qué razones se funda el vuelo de un globo aerosttico o zepe
lin

¿Dónde es menor la presión atmosférica: en la base o en la cima de una
montaña? ¿Por qué?

1. ¿Cuál será a diferencia de presión entre la base y la azotea de un edificio
de 100 m de altura? (Densidad del aire d = 1,293 kim’). R. 1.267,14 Pa,

¿Cuál es la profundidad de un pozo en una mina de carbón ai la presión

fen el fondo es 16.500 Pa más que en la superficie? R. 1.302 m.

3. ¿Cuál es el empuje ejercido por el are sobre un hombre que pesa 750 N si
su densidad media es igual a la del agua? ¿Cuál es el peso aparente del
hombre? R. 9,5, 740.5 N

4. Un balón tiene un volumen de

1.700 m y está lleno de hidrógeno, Elba
on pesa 10.000 N, el equipo y los pasajeros pesan 3.000 N. ¿Cuél es (a) el
peso total incluyendo el del gas, (bel peso del air desplazado por el ba
ln, () la fuerza que debe ejercerse sobre el balón para mantenerlo enla
superficie dela tierra. R. 14.482,7 N, 21.541,4 N, 7.058,7 N

Un balón pesa 15.000 N, incluyendo el gas y leva una carga de 2.500 N,
¿Cuántos m de helio debe contener para que esté en equilibrio? R. 1.381

6. Calcular la fuerza ejercida por la atmósfera sobre una lámina plana rec
tangular cuyas dimensiones son 2 m y 3 m () si la presión es normal, (5)
el Barómetro indica una presión de 70 em de Hg R. a) 607.800 N, b)
59.816 N

7. ¿A qué profundidad bajo el agus de un lago la presión es de 2 atmósferas
si en la superficie del mismo barómetro indica 74 cm de Hg? R
10,6 m.

8. En un barómetro de mercurio la columna líquida tiene
¿Cuál será la altura en un barómetro de glicerina, (d
R 8,09 m.

9. La columna de un barómetro tiene una longitud de 75 em. Mediante un
gotero se introduce en la misma cierta cantidad de aceite no volátil, (4
0,9 x 10° #3), de modo que forma sobre el mercurio una columına de
20 cm ¿Cuál es entonces la altura del mercurio? R. 73,6 em,

10. ¿A qué altura se encuentra un aeroplano sila presión es 10cm de Hg me:
nor que en la superficie de la terra? (densidad media del aire: 1,2 kg/m?)
R 1133 m.

11. La densidad media del aire para los primeros 300 m de altura a cierta
temperatura es 1,20 kglm?, Si el mercurio india a nivel de la cale 75 em

em de altura
26 x 10° kgm?)

187. ¿cuál será la lectura en el último piso de un rascacielos que tiene la altura
anterior? ¿Cuál será la variación de la fuerza ejercida por la atmósfera
sobre la membrana del oído si tiene un área de 0,3 cm?? R, 72,35 cm de

Hg, 0,056 N.
Al aproximarse un ciclón la presión baja d 3 em de
mercurio ¿Cuál ha sido la disminución de presión en atmósferas y en Pa?
R.0.0395 atm, 3.990.

¿Cuál es la presión total en atm

em de mercurio

feras y en Pa a 80 m de profundidad en

‘en la superficie indica 75 cm de Hg? Densidad del

agua del mar: 1,026 x 10%kg/m? A. 904,344 Pa, 8,93 atm

Un gas está en un cilindro vertical cerrado por un émbolo que pesa 40 N
à de 25 cr? Si el barómetro señala 75 em de Mg ¿cuál esla

presión del gas? R. 115,967 Pa.

El diámetro interior de dos hemi le Magdeburgo es de 18 cm. La

presión atmosférica es normal. La presión en el interior es de 8 cm de

Hg. Calcular la fuerza que es necesario ejercer sobre cada uno de ellos

vara separarlos. R. 2306.26 N

188. ( TERMODINAMICA |

Mediante nuestro sentido del tacto y otras circunstancias fisiológicas ca
racterítica del hombre, y en general de los seres animados, experimentamos
ciertas sensaciones por las que afiemamos que un cuerpo está fro o caliente
Estas sensaciones tienen exclusivamente carácter cualitaivo y subjetivo no
existiendo procedimiento alguno por el cual podamos decidir sí una sensación
de caliente es doble o triple que otra dependiendo además dicha sensación de
aquellas que hayamos experimentado con anterioridad.

La experiencia sugerida por el filósofo John Locke (1.632-1.704) ilustra
muy claramente lo expuesto. Introduzcamos nuestra mano derecho en un re
«ipiente leno de agua y que se ha mantenido por un tiempo sobre el fuego:
nuestra mano izquierda en otro recipiente, también con agua pero que ha es
tado largo tiempo en un refrigerador: la sensación experimentada será de
frío. Cambiemos entonces rápidamente ambas manos a un tercer recipiente
que contiene agua a temperatura ambiente. La sensación que se experimenta
fen la mano derecha es de frio mientras que la sensación en la mano izquierda
es de caliente. Vemos aquí que una misma cireunstanci

estímulo, produce en nosotros sensaciones diferentes según las circunstan
anteriores en que se encontraban nuestros sentidos, Concluimos de aquí qu
no podemos tomar nuestras experiencias sensoriales como base única para la
Física.

Sin embargo, ese estímulo que en nosotros produce las sensaciones de
caliente o fro produce también en otros cuerpos modificaciones observables,
Por ejemplo, puede comprobarse que una varilla metálica tiene mayor longi
tud cuando al tocarla la sentimos caliente que cuando la senti
estos fenómenos se deben a determinadas cireunstan
pos caracterizadas por dos conceptos importantísimos: temper.
asociados con la energía de las moléculas de los cuerpos.

El estudio de la relaciones entre estos tres conceptos energía molecular
temperatura y calor, ha dado lugar a una importante rama de la física deno.
minada Termodinámica. Una aplicación práctica de la termodinámica son las
máquinas térmicas.

En los próximos capítulos examinaremos los aspectos más relevantes de
la termodinámica.

189. Temperatura

LIN

TRODUCCION

En este capitulo haremos un breve examen de los principales métodos
usados para medir la temperatura de un cuerpo, sin entra a considerar en de
talle la relación entre esta importante magnitud física y la energía molecular.

ERGIA INTERNA Y TEMPERATURA

Hemos indicado anteriormente, que las moléculas de los cuerpos están
en continuo estado de agitación, lo que hace que posean cierta energía. Por
tanto, todo cuerpo o agregado de moléculas posee cierta energía interna que
es la suma de las energías cinética y potencial de cada una de sus moléculas.

Todas las moléculas de un cuerpo no tienen exactamente la misma ener
es unas se mueven más rápidamente que otras y unas tienen más y
tras menos energía potencial por interacción con el resto de las moléculas.
Por ello es conveniente definir la energie media delas moléculas, que es el va:
lor medio de la energía para todas las moléculas

La temperatura de un cuerpo es una magnitud que depende de la energía
de las moléculas que lo constituyen,

La temperatura de un cuerpo es independiente de su masa porque solo
depende de la velocidad y la masa de cada una de sus moléculas, y no del
número de moléculas 2
Comparemos, por ejemplo, el estado de un alfiler que está al rojo vivo
con el de un gran témpano de hielo. Las moléculas del alfiler vibren mucho
más rápidamente que las del témpano. Por elo el alfiler tiene una tempera
ra muy superior a la del témpano, ya que la energía de cada una de las mol
culas del afiler es mayor que la de las moléculas del témpano. Sin embargo,

como en el témpano hay un número de moléculas mucho mayor que el núme:

190. um

ro de moléculas en el alfiler la energía interna del témpano puede ser mayor
que la del alfiler,

Para ilutra lo dicho consideremos tres cuerpos A, B y C. (ig. 1} que
tienen la misma temperatura 1 y energías internas Ej, E, Ey. Silos tres cue.
pos se reúmen formando un solo cuerpo M la energía interna de M esla suma
El + Ey + Ey de las energías de 4, de By de C. La temperatura de M, sin
‘embargo, es también £ pues la energía de cada molécula en promedio no ha
variado como consecuencia de la reuni

3. MEDIDA DE LA TEMPERATURA

Asicomo para definir ura unidad de distancia, para poder medir as lon
gitudes, se le asigna uh valor arbitrario ala distancia entre dos puntos jos ta
Jes como los trazos en los extremos de una barr de platino e riio, es necesa
rio también definir arhtariamente la diferencia entre las temperaturas de
dos fenómenos que se producen siempre a una misma temperatura cada uno
Los fenómenos escogidos usualmente son el de fasión y el de ebullición del
agua cuando la presión atmosférica es normal, 76 cm de mercurio". Las tem.
peraturas correspondientes estos dos fenómenos se denominan temperata
ras de referencia o puntos fos. Según los valores numérico que se les si
men a los puntos fos se obtienen diferentes escalas termomérias, de las
‘cuales la más usada esla escala Celsius, propuesta en 1.742 por el astrónomo
sueco Anders Chi.

En la escala Celius se le asigna el valo cero (0) a la temperatura de fu.
sión del agua a la presión normal, y el valor cen (100) la temperatura de
cbullición del agua ala presión normal. El intervalo ente dichas temperato
ra se divide en 100 partes, cada una de las cuales reihe el nombre de grado
Celsius (°C) Las temperaturas inferiores a la de fusión del agua resaltan ne
gativas en esta escala.

Puntos fijos Temperatura

oC

En trabajos científicos, sin embargo, es de más utilidad la escale absoluta
de Kelvin. La experimentación y los razonamientos teóricos han indicado que
o es posible lograr temperaturas inferiores a cierta temperatura mínima que
recibe el nombre de cero absoluto. À esta temperatura la energía de las molé
‘ulas de los cuerpos tienen su menor valor posible, y por tanto no es posible
<disminuirla más. El cero absoluto corresponde en la escala Celsius a una tem.
peratura de — 273°C., más exactamente — 273.15°C,

Cero absoluto = — 273°C.

Por este rarón, y otras que indicaremos más adelante, Lord Kelvin (Sir
William Thomson, 1824-1907) propuso medir las temperaturas desde el cero

LEY Para ser mis precios debe además epocas à 45 de Ini,

Fie 2. Panos to.