IntroduccióN A La LóGica Difusa

1. Introducción: de los conjuntos clásicos a
los conjuntos difusos.
2. Conjuntos difusos.
1. Definición.
2. Tipos de funciones de pertenencia.
3. Resumen.
3. Relaciones difusas.
1. De las relaciones clásicas a las difusas.
2. Definición.
4. Propiedades de los conjuntos difusos.
5. Operaciones con conjuntos difusos.
6. De las reglas difusas a las relaciones
difusas.

1. Sistemas Difusos Tema 2
– 1 –
Tema 2.- Introducción a la Lógica
Difusa.
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a
los conjuntos difusos.
2. Conjuntos difusos.
1. Definición.
2. Tipos de funciones de pertenencia.
3. Resumen.
3. Relaciones difusas.
1. De las relaciones clásicas a las difusas.
2. Definición.
4. Propiedades de los conjuntos difusos.
5. Operaciones con conjuntos difusos.
6. De las reglas difusas a las relaciones
difusas.

2. Sistemas Difusos Tema 2
– 2 –

Objetivos:

- Comprender el conjunto de conjunto difuso, relación
difusa y propiedades básicas asociadas: núcleo,
soporte, alfa-corte, normalidad, convexidad y altura.

- Comprender el significado de las funciones de
pertenencia y cómo determinar el tipo de función de
pertenencia en base al tipo de descripción difusa
asociada.

- Conocer y saber utilizar las operaciones teóricas
sobre conjuntos difusos: complemento, intersección y
unión, y propiedades básicas de las mismas.

3. Sistemas Difusos Tema 2
– 3 –
1.- Introducción: de los conjuntos clásicos a los
conjuntos difusos.
¿Por qué es útil la Lógica Difusa en control?
• Muchos aspectos del diseño de un sistema de
control presentan incertidumbre:
o Control de aparcado de un coche.
o Control de un ascensor que minimice el tiempo
de espera.
o Control de un metro.
o Control del frenado de un coche.
o Control de temperatura y grado de humedad.
o Compensación de vibraciones en una cámara.
• Características comunes:
o Procesos complejos y dinámicos.
o Algunos se caracterizan fácilmente de forma
lingüística.

4. Sistemas Difusos Tema 2
– 4 –
1.- Introducción.
Sistemas verdadero / falso frente a sistemas graduales
• Incertidumbre:
o Con información incompleta.
o Por falta de certeza.
o Por ambigüedad.
• Lógica Difusa (“Fuzzy logic”) (Zadeh, 1965)
Fue diseñada para representar y razonar sobre
conocimiento expresado de forma lingüística o verbal.

Conocimientos “vagos”, “borrosos”

5. Sistemas Difusos Tema 2
– 5 –
1.- Introducción.
Conjuntos clásicos
X: Universo de discurso
A: Un conjunto definido en ese universo de discurso
Formas de definir el conjunto A:
• Enumerando elementos.
• Especificando una propiedad.
• Definiendo la función característica,
{}1,0:→X
S
µ
Ejemplo: Conjunto de números reales en el intervalo
[0,10] comprendidos entre 5 y 8.
A = [5,8], X = [0,10]






≤<
≤≤
<≤
=
108,0
85,1
50,0
)(1
x
x
x
x
A

6. Sistemas Difusos Tema 2
– 6 –
2.- Conjuntos difusos.
2.1.- Definición:
Función característica Æ Conjunto nítido (clásico,
“crisp”),
{}1,0:→X
S
µ
Función de pertenencia Æ Conjunto difuso,
[]1,0:→X
Aµ
Para cada elemento x,
)(x
A
µ es el grado de pertenencia
al conjunto difuso A
Ejemplo: Conjunto de gente joven.
B = {gente joven}
⇒ B = [0, 20]
Ejemplos:
• Conjunto de coches de fabricación española.
• Conjunto de números naturales cercanos a 6.
• Conjunto de personas mayores.
• Conjunto de números cercanos a cero.





≤≤
≤≤
−
≤≤
=
10030,0
3020,
10
30
200,1
)(
x
x
x
x
x
Bµ

7. Sistemas Difusos Tema 2
– 7 –
2.2.- Tipos de funciones de pertenencia.
• Funciones triangulares:









>
≤≤
−
−
≤≤
−
−
<
=
cx
cxb
bc
xc
bxa
ab
ax
ax
cbaxf
,0
,
,
,0
),,;(

• Funciones trapezoidales:















>
≤≤
−
−
≤≤
≤≤
−
−
<
=
dx
dxc
cd
xd
cxb
bxa
ab
ax
ax
cbaxf
,0
,
,1
,
,0
),,;(
a b c
a b c d

8. Sistemas Difusos Tema 2
– 8 –
2.2.- Tipos de funciones de pertenencia.
• Funciones gaussianas:





• Otras: campana, S, Z, etc.


• Funciones descritas mediante polígonos:
o Generalizan cualquier otro tipo de
representación.
o Nivel de aproximación ajustable.

9. Sistemas Difusos Tema 2
– 9 –
2.3.- Conjuntos Difusos: Resumen.
Aspectos importantes de los conjuntos difusos:
• Representan propiedades difusas pero una vez
definida la función de pertenencia, nada es difuso.
• La representación de un conjunto difuso depende
del concepto a representar y del contexto en el
que se va a utilizar.
• ¿Cómo determinar las funciones de pertenencia?
o A través de conocimiento experto.
o A través de conjuntos de datos y procesos de
aprendizaje.
• Se pueden utilizar distintas funciones de
pertenencia para caracterizar la misma
descripción.

10. Sistemas Difusos Tema 2
– 10 –
3.- Relaciones Difusas.
3.1.- De las Relaciones Clásicas a las Difusas.
• Las relaciones determinan interacciones entre
conjuntos y se especifican de igual forma que los
conjuntos nítidos.
• Una relación (clásica) se puede considerar como un
conjunto de tuplas que cumplen una determinada
condición. Por ejemplo: La relación binaria “menor o
igual”:
{} nmyBnAmquetalnmR ≤∈∈=
≤ ,),(
• Se pueden describir mediante funciones
características:


}1,0{:),( →×
≤
NNnmf


 ≤
=
≤
casootroen
nmsi
nmf
,0
,1
),(

11. Sistemas Difusos Tema 2
– 11 –
3.- Relaciones Difusas.
3.2.- Definición.
Una relación difusa que relaciona dos conjuntos difusos A y
B (cada uno de ellos incluido en su universo de discurso U y V
respectivamente) es un subconjunto difuso del producto
cartesiano U × V, caracterizado:
• Por una enumeración:





 ×∈∈
=α
ααgradoenPcondiciónlacumpleyx
quetalVUyxyx
R
),(
),(],1,0[),,/(

• O por su función de pertenencia
o Caso continuo,
∫
=
VU
R
vuvuR
*
),/(),(µ
o Caso discreto,
∑=
VU
R
yxyxR
*
),/(),(µ

12. Sistemas Difusos Tema 2
– 12 –
3.- Relaciones Difusas.
3.3. Ejemplo de relación difusa.
igualmenteaproximadaR=
}3,2,1{=U
)1,3/(3.0)3,1/(3.0
)2,3/(8.0)1,2/(8.0)3,2/(8.0)2,1/(8.0
)3,3/(1)2,2/(1)1,1/(1
+
+++
+++=R





=−
=−
=
=
2||3,0
1||8,0
1
),(
yx
yx
yx
yx
R
µ
1 0,8 0,3 3
0,8 1 0,8 2
0,3 0,8 1 1
X
3 2 1
R
y
]1,0[: →×UUR

13. Sistemas Difusos Tema 2
– 13 –
4.- Propiedades de los Conjuntos Difusos.
• Soporte: Es el conjunto de elementos cuyo grado de
pertenencia es distinto de cero,
{ }XxxxASop
A
∈>= ,0)()(µ

• Altura: Es el grado de pertenencia más grande de los
elementos del conjunto,
{ }XxxhhAAltura
A
∈== ),(max)(µ

• Núcleo: Es el conjunto de elementos cuyo grado de
pertenencia es igual a 1,
{} 1)(/)( =∈= xXxANúcleo
A
µ
• Conjunto Difuso Normal: Es un conjunto difuso cuya altura
es igual a 1,
1)(=AAltura
• Conjunto Difuso Convexo: Intuitivamente es un conjunto
difuso creciente, decreciente o con forma de campana,
[] ))(),(min())1((;1,0,, yxyxXyx
AAA
µµλλµλ≥⋅−+⋅∈∀∈∀

Convexo No Convexo

14. Sistemas Difusos Tema 2
– 14 –
5.- Operaciones con Conjuntos Difusos.
Extienden las operaciones con conjuntos clásicos:
• Igualdad, XxxxBA
BA
∈∀=⇔= )()(µµ
• Inclusión, XxxxBA
BA ∈∀≤⇔⊆ )()(µµ
• Unión, )}(),(max{)( xxx
BABAµµµ=
∪
• Intersección, )}(),(min{)( xxx
BABA
µµµ=
∩
• Complemento, )(1)( xx
AAµµ−=
• Alfa-corte,
},)({ XxxxA
A ∈==αµ
α
Existen generalizaciones de estas operaciones, ya que
tanto las funciones de pertenencia de los conjuntos
difusos como sus operaciones dependen del contexto.
• T-normas.
• T-conormas.

15. Sistemas Difusos Tema 2
– 15 –
5.- Operaciones con Conjuntos Difusos.
T-norma: Generaliza el concepto de intersección, ⊗



• Conmutativa: T(a,b) = T(b,a)
• Asociativa: T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)
• Monotonía: T(a,b) ≥T(c,d), si a≥c y b≥d
• Condiciones frontera: T(a,1) = a
Ejemplos de t-normas:
• Intersección estándar: T(a,b) = min (a,b)
• Producto algebraico: T(a,b) = a · b
• Diferencia acotada: T(a,b) = max (0, a+b-1)
• Intersección drástica: T(a,b) = a, si b=1
= b, si a=1
= 0, e.o.c.
]1,0[]1,0[]1,0[: →×T
)](),([)( xxTx
BABA µµµ =
∩

16. Sistemas Difusos Tema 2
– 16 –
5.- Operaciones con Conjuntos Difusos.
T-conorma: Generaliza el concepto de unión, ⊕



• Conmutativa: S(a,b) = S(b,a)
• Asociativa: S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)
• Monotonía: S(a,b) ≥S(c,d), si a≥c y b≥d
• Condiciones frontera: S(a,0) = a
Ejemplos de t-conormas:
• Unión estándar: S(a,b) = max(a,b)
• Suma algebraica: S(a,b) = a+b-a·b
• Suma acotada: S(a,b) = min (1, a+b)
• Unión drástica: S(a,b) = a, si b=0
= b, si a=0
= 1, e.o.c.
]1,0[]1,0[]1,0[: →×S
)](),([)( xxSx
BABA
µµµ=
∪

17. Sistemas Difusos Tema 2
– 17 –
5.- Operaciones con Conjuntos Difusos.
Complemento difuso:

• C(0) = 1, C(1)=0
• Si a≤b, C(a)≥C(b)
• C(C(a))=a

Definición de Sugeno:
]1,0[]1,0[:→C
)]([)( xCx
AA
µµ=
),1(,
1
1
)( ∞−∈
⋅+
−
=λ
λ
λ
a
a
aC

18. Sistemas Difusos Tema 2
– 18 –
6.- De las reglas difusas a las relaciones
difusas.
• La regla difusa de la forma
SI X es A y Y es B ENTONCES Z es C
nos indica una dependencia del conjunto difuso de
salida C respecto a los conjuntos difusos A y B

• Por tanto, esta dependencia la podemos
representar mediante una relación difusa
∫
××
=
WVU
CBA
zyxzyxR ),,/())(),(),(min(µµµ

(se ha considerado la t-norma mínimo como
operador de conjunción e implicación).