Introducción al Álgebra Lineal - Serge Lang - 2ed.pdf

algebra lineal

1. INTRODUCCION AL
ALGEBRA
LINEAL

Serge Lang

iy ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA

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2. INTRODUCCION AL
ALGEBRA LINEAL

Serge Lang

Versión en español de

Miguel Lara Aparicio
Universidad Nacional Autónoma de México

Con la colaboración de

Guillermo Hansen
Universidad de Buenos Aires, Argentina

me
we
Addison-Wesley Iberoamericana

Argentina ¢ Brasil ¢ Chile « Colombia « Ecuador » España
Estados Unidos e México e Perú » Puerto Rico e Venezuela

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3. Versión en español dela obra titulada Imiroduction to Linear Algebra, Second Edition,
de Serge Lang, publicada originalmente en inglés por Springer-Verlag New York
Inc, ©1970, 1986 por Springer-Verlag New York Inc. La primera edición en inglés
fue publicada en 1970 por Addison-Wesley Publishing Company Inc.

Esta edición en español es la única autorizada.

Obra compuesta y formada mediante el sistema TX por el Taller Lima, México.

© 1990 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A.
Wilmington, Delaware, E.U.A.

Impreso en Estados Unidos, Printed in US.

ISBN 0-201-62912-7
6789 10-CRS.99 98 97 96

4. Prefacio

Este libro se ideó como un texto breve para un curso semestral de álgebra lineal.
Excepto por algún ejemplo o ejercicio ocasional, la lógica del texto es indepen
diente del cálculo, y se podría utilizar desde los primeros cursos. En la práctica,
mi intención es que lo utilicen principalmente los estudiantes que hayan cursado
dos o tres semestres de cálculo. También so podría impartic el curso en Forma
simultánea con el primer curso de cálculo, o inmediatamente después de él

He incluido algunos ejemplos de espacios vectoriales de funciones, axmque
quienes deseen concentrarse en forma exclusiva en el estudio del espacio eueli-
iano podrían omitirlos del todo sin afectar la compresión del resto del libro.
Además, si a algün lector le desagrada trabajar con n = n, siempre puede supo-
ner que n =1,2 6 3, y climinar otras interpretaciones. Sin embargo, dicho lector
deberia observar que el uso de n = n simplifica algunas fórmulas, abreviándolas
por ejemplo, y debería tratar de alcanzar este nivel tan pronto como fiera posi-
ble. Por otra parte, como se quiere cubrir los casos n = 2 y n = 3, por lo menos,
al usar n para denotar cualquiera de estos múmeros se evitan repeticiones muy
tedioses.

El primer capítulo persigue varios propésitos. Primero, y ante todo, cata-
blecer la conexión fundamental entre el älgebra lincal y la intuición gcométrica.
Ciertamente, hey cuundo menos dos aspectos del álgebra lineal: la manipulación
formal de los cálculos con matrices y ln interpretación geométrica, No es mi
deseo abogar por uno o por otro, pero sí considero que basar las manipulacio-
nes formales en contextos geométricos proporciona un muy valioso antecedente
a las personas que usan el álgebra lincal. Segundo, este primer capítulo brinda
de inmediato ejemplos concretos, con coordenadas, de combinaciones lineales,
perpendicularidad y otras nociones que se desarrollan més adelante. Además del
contexto geométrico, el estudio de estas nociones suministra ejemplos de subes-
pacios y también proporciona una interpretación fundamental de las ceuaciones
neales. Por tanto, el primer capítulo brinda una rápida visión global de mu-
los temas del libro. EI contenido del primer capítulo también corresponde a los
aspectos fundamentales de los cursos de cálculo en cuanto & funciones de

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5. fa Prefacio

varias variables, lo cual nos perimite desarrollar muchas cosas sin el empleo de
las matrices más generales. Si en algún otro curso los estudiantes han cubierto el
material correspondiente al Capítulo 1, o si el instructor desea trabajar a fondo
con las matrices recurriendo a otros medios, entonces puede omitirse el primer
lo o usarse en forma selectiva para motivar a los alumnos o pare aplicar
ejemplos.

Después de este capítulo introductorio, comenzamos con ecuaciones lincales,
matrices y la eliminación de Gauss. Kiste capítulo hace énfasis en los aspectos
de cómputo del álgebra lineal. Luego trabajamos con espacios vectoriales, apli-
«caciones lineales y productos escalares, y sus relaciones con las matrices. Esto
‘combina el aspecto computacional con el teórico.

Los determinantes se tratan en forma más breve que en la primera edición de
este libro, y se suprimen varias pruebas. Los estudiantes interesudos en la teoría
pueden recurrir a un tratamiento más completo en libros teóricos de álgebra
lineal

Inclu un capítulo sobre valores propios y vectores propios, el cual permite
practicar con nociones que se estudiaron previamente y sirve como introducción
al material que se usa en forma constante eu todas partes de las matemáticas y
sus aplicaciones,

Agradezco elusivamente.a Toby Orloff y Daniel Horn, quienes impartieron
el curso con una versión preliminar de este libro, sus valiosos comentarios y

6. Contenido

CAPÍTULO!

Definición de puntos en el espario . «
. Vectores anclados 2...
. Producto escalar |: 2 ann
. La norma de un vector . . .

Rectas paramétricas

CAPÍTULO!
Matrices y ecuaciones lineales

$1. Matrices 8
$2. Multiplicación de matric= -

Pos see

$3. Ecuaciones lineales homogéneas y eliminación -
St. Operaciones por renglones y eliminación de Gauss -
35. Operaciones por renglones y matrices elementales .

6. Combinaciones lineales . À

12
15
2
ES

a

a
46
si
66
1
19

7. si Contenido

CAPÍTULO nt

32. Combinaciones lincales . -

$5. Conjuntos convexos FERA
Independencia lineal... + ++ .
Dimensión

56. El rango de una mati |

CAPÍTULO IV
Aplicaciones inoales - .
$1. Aplicaciones . » ama

§2. Aplicaciones lineales É
$8. El nice y lnfruggen de una aplicación lineal

54. El rango y las ecuaciones lincales de nuevo . .

$5. Le matriz asociada con una aplicación lineal
Apéndice: Cambio de bases

CAPÍTULO Y

Composición y aplicaciones inversas . 2 2.2 22 >

$1. Composición de aplicaciones lineales . + . ++
$2. Inversas .

CAPÍTULO MI
Productos escalares y ortogonalidad.

SL. Productos escalares

32. Bases ortogonales.

38. Aplicaciones bilineales y matrices... =. +
CAPÍTULO vi
Determinants...

i. Determinantes de orden 2

82

2
a7
os
98

104

108

us
us
17
194
109
10

147

um
1

158
158
186
vs

179

im

8. Contenido

$2. Determinantes de 3 x 3 y denxm ee... 183
$9. El rango de una matrie y subdeterminantes . 2 20.200 sar 198
44. Regla de Cramer... 0 ho os rre 196
$5. Inversa de una matriz 2. Le. 198
6. Interpretaciones de lor determinantes como dre y como volumen 707202
CAPÍTULO VII

Vectores propios yvalores proplos ...... 213
SL. Vectores propios y valores propios e A
$2. El polinomio característico eee ee 28
53. Valores propios y vectores propios de matrices simélricas + no oo 229
$4. Dingonalizaciôn de una aplicación lineal simétrica... « 233
Apéndice. Números complejos an 4 de ar
Respuestas alos ejereicios . . N JB:

halo E Y, + 268

9. CAPÍTULO 1

Vectores

El concepto de vector es bisico para el estudio de las funciones de varias variables
Suministra una motivación geométrica para todo lo que sigue. Por tanto, las
propiedades de los vectores, tanto algebraicas como geométricas, se estudiarán
en detallo.

Una caracteristica significativa de todos los enunciados y las demostraciones
de esta parte es que no son ni más sencillos ni más difíciles de probar en el esp
de 3 dimensiones que lo que resultan ser en el espacio de 2 dimensiones

J, $1. Definición de puntos en el espacio

Sabemos que se puede usar un número para representar un punto sobre una.
recta, una vez que sc ha cscogido una unidad de longitud,

po |

(a) Punto sobre un recta 65) Punto en un plano

Figura 1

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10. 2 Vectores en

Se puede usar un par de mimeros (esto es, una pareja de números) (zy) para.
representar un punto en un plano,
Esto se puede representar como eu la figura 1.

Observemos ahora que se puede usar una terna de números (#,y,2) para
representar un punto en el espacio, esto es, en el espacio tridimensional o espacio
de 3 dimensiones. Simplemente se introduce um eje más. La figura 2 ilustra este
hecho.

des

PA

Figura 2

Podríamos usar también (21,22, #3) en lugar de 2, y, 2. La secta se podría.
lamar espacio de dimensión | y el plano espacio de dimensión 2.

“Así pues, podemos decir que un número representa un punto en el espacio.
de 1 dimensión. Una pareja representa un punto en el espacio de 2 dimensiones.
Una terna representa un punto en el espacio de 3 dimensiones.

Aunque no podamos continuar dibujando diagramas, nada nos impide const.
derar una cuádrupla de números.

Leiria, 25, 24)
y afirmar que ésta es un punto en él espacio de 4 dimensiones. Una quintuple
sería un punto en el espacio de 5 dimensiones, luego vendría una séxtuple, una
séptupla, une óctupla, …
Podemos ir más allá y definir un punto en el espacio de n dimensiones
como la n-tupla de números

man):
si n es un entero positivo. Denotaremos con una, X mayúscula dicha n-tupla
y procuraremos reservar las letras minúsculas para representar mimeros y las

letras mayúsculas para representar puntos. Llemaremos a Jos números 21
coordenadas del punto X. Por ejemplo, en el espacio de 3 dim

11. u Definición de puntos en el espacio 3

es la primera coordenada del punto (2,3,—4) y —4 es la tercera coordenada.
Denotamos el espacio de n-dimensiones con R°.

En su mayoría, nuestros ejemplos ilustrarän el caso en que n = 2 o bien
=3. Ast, el lector podrá encontrar cualquiera de estos dos casos a lo largo del
libro. Sin embargo, es necesario hacer tres comentarios.

Primero, tenemos que manejar n =2 y n= 3, de manera que, con el objeto
de evitar muchas repeticiones, resulta útil contar con una notación que cubra
ambos casos simultáneamente, aun si con frecuencia repetimos la formulación de
ciertos resultados por separado para ambos casos.

Segundo, ningún teorema o fórmula es más simple al suponer que n = 2 0
a=3.
“Tercero, el caso m= 4 sí se presenta en fisica

Fjemplo1. Un ejemplo clásico del espacio de 3 dimensiones es, desde Inego,
el espacio en que vivimos. Después de haber escogido un origen y un sistema
de coordenadas, podemos describir la posición de un punto (cuerpo, particule,
etc.) mediante 3 coordenadas. Además, como cs bien sabido, resulta conveniente
extender este espacio a otro de 4 dimensiones, cn donde la cuarta coordenade.
ds el tiempo, escogiendo el origen de éste en la fecha del nacimiento de Cristo,
por ejemplo, aunque esto es puramente arbitrario (quizá. sería más conveniente
escoger como origen el nacimiento del sistema solar o el nacimiento de la Tierra,
si pudiéramos determinarlos con precisión). Así, un punto con coordenada de
tiempo negativa cs un punto a.C. y un punto con coordenada de tiempo positiva
es un punto d.C.

No obstante, no hay que pensar que “el tiempo es la cuarta dimensión”.
El espacio de 4 dimensiones que acabamos de mencionar es sólo un ejemplo
posible. En economía, pongamos por caso, se usa un espacio muy diferente que
toma como coordenadas, por ejemplo, la cantidad de dólares gastada en cadn
industria, De este modo, podríamos trabajar con un espacio de 7 dimensiones
cuyas coordenadas corzespondieran a las siguientes industrias:

1. Acero 2. Automóviles 3. Productos Agrícolas 4, Pesca

5. Productos químicos 6, Ropa 7. Transportes.
Convengamos en que un megadölar por año es la unidad de medida. Luego, un
punto
(1.000, 800, 550, 300, 700, 200,900)
on esto espacio de 7 dimensiones significaría. que la industria del acero gastó

mil millones de dólazes en el año indicado y que la industria química gastó 700
millones de dólares en ese año.

12. 4 Vectores 051

La idea de considerar el tiempo como una cuarta dimensión es muy antigua.
Ya en la Encyclopédie de Diderot, que data del siglo xvi, d'Alembert escribe
lo siguiente en su artículo sobre “dimensión”:

(Cette manière de considérer les quantité de plus de trois dimensions est ana exacto
que autre, car lo lettres peuvent toujours ¿tre regardées comme représentant des
nombres rationnels ou non, J'ai dit plus haut qu'il x'étui pas possible de conce-
voir plus de tris dimensions. Un homme d'esprit de ma connaissance croit qu'on
pourrait cependant regarder la durée comme une quatrième dimension, et que le
produit temps par Ia solidité serait en quelque manière un produit de quatre
mensions; cette idée peut être contesté, mai ele, ce me semble, quelque mérite,
‘quand ce ne serait que celui de Ia nouveauté

Encyclopédie, Vol. 4 (1754), p. 1010

Lo que, traducido, dice:

Esta manera de considerar cantidades que tienen más de tros dimensiones es tan
correcta como la otra, debido a que siempre se puede considerar que las letras
algebraicas representan números, ya sean racionales o no. Dije con anterioridad.
que no era posible concebir más de tres dimensiones, Sin embargo, un inteligente
caballero que conozco piensa que se podría considerar a la duración como wa.
cuarta dimensión y que el producto tiempo por volumen sería de algún modo un
producto de cuatro dimensiones, Esta idea puede ponerse en tela de juicio pero, a
mi entender, tiene algún mérito, aunque no sea sino el de ser novedosa,

Obsérvese que d'Alembert menciona a un “caballero inteligente” cuando se re-
fiere, evidentemente, a sí sismo. Está proponiendo con cierta cautela lo que en
esa época debe haber sido wna idea incipiente; idea que en el siglo xx llega a ser
bastante común.

D'Alembert también visualizó con claridad espacios de dimensión superior
como “productos” de espacios de menor dimensión. Por ejemplo, podemos con-
siderar un espacio de 3 dimensiones como si pusicramos lado a led las primeras
dos coordenadas (21,22) y luego la tercera 23. Por tanto, escribimos

RES RO.

Usamos el signo del producto, que nd deberá confundiraé con otros “productos”
como el producto de niimeros. La palabra “producto” se emplea en dos contextos.
En forma análoga, podemos escribir

R= NI RE
Hay otras maneras de expresar IR” como un producto, a saber,
Rt = R?x RI

Dato significa que consideramos por separado las dos primeras coordenadas (21,
4) y las dos últimas coordenadas (23,24). Más tarde retomaremos tales pro-

ductos.
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13. oa Definición de puntos en el espacio 5
Ahora definiremos la adic
espacio de 3 dimensiones,
As (a192,03) y B=(bbmbs)
entonces definimos A+ B como el punto cuyas coordenadas son
A+ B= (ai +01, 07 + 02,09 + ba).

de puntos. Si A y B son puntos, digamos en el

Ejemplo 2. En cl plano, si A = (1,2) y B = (-3,5), entonces
A+B=(-2,7).

En el espacio de 3 dimensiones, si À
A+B=(Y2-1,7+7,1)

(-1,x,3) y B = (V2,7,-2), entonces

Al usar una n neutral que cubriera ambos casos de los espacios de 2 y 3 dimen
siones, los puntos se escribirien de la siguiente manere:

AS (Gen) B= (besa
y definimos A+B como el punto cuyas coordenadas son

(61 +B1,-.-,0p +n);

Observemos que se satisfacen las siguientes reglas:

1. (4A+B)+C=A+(B+0).

2, AHB=B+A.

3. Si suponemos que
0=(0,0,...,0)

es el punto cuyas coordenadas son todas 0, entonces
O+A=AtO=A

para todo À

4. Sea A= (ass... an) y 688 —A = (03,4, an); Entonees

A+ (4) =0.
“Todas estas propiedades son muy sencillas, y son ciertas debido a que son

ciertas para números y la adición de n-tuplas se define en términos de la adición
de sus componentes, las cuales son mimeros.

Nota. No se confunda el número 0 con la n-tupla (0,...,0). Usualmente
denotamos esta n-tupla con O, y también la llamamos cero, dado que en la
práctica no puede dificultad alguna.

14. 6 Vectores su

Ahora interpretaremos geométricamente en el plano la adición y la multi
cación por múmeros (en forma simultänen se puede visualizar lo que sucede en el
espacio de 3 dimensiones).

Ejemplo 3. Sean A=(2,3) y B = (1,1). Entonces
A+8=(1,9)
La figura se asemeja a un paralelogramo (Fig. 3).

an
| a

(oy

Figura 3

Ejemplo 4. Sean A= (3,1) y B= (1,2). Entonces
A+ B= (4,3).

Vemos de nuevo que la representación geométrica de nnestra adición se asemeja
» un paralelograme (Fig. 4).

A+B

Figura 4

La razón por la cual la figura se asemeja a un paralelogramo se puede dar en
términos de la geometria del plano de la manera siguiente. Obtenemos B = (1,2)
al comenzar en el origen O = (0,0) y al movernos 1 unidad ala derecha y 2 hacia
arriba. Para obtener A+B, comenzamos en A y nos movemos de nuevo 1 unidad.
a la derecha y 2 hacia arriba. Así, los segmentos de recta que se encuentran entre
O y B yentre À y A+B son las hipotenusas de los triángulos rectángulos cuyos
caletos correspondientes son de la misma longitud y paralelos. Por consiguiente,
los segmentos anteriores son paralelos y de la misma longitud, tal como se ilustra
om la figura 5,

15. Lan) Definición de puntos en el espacio. 7

Figura 5

Ejemplo 5. Si A= (3,1) denuevo, entonces -A = (-3,-1). Si marcamos
este punto, vemos que —A tiene sentido opuesto a A. Podemos considerar que
—A es la reflexión de A con respecto al origen.

Figura 6

“Ahora consideraremos la multiplicación de A por un múmero, Si ¢ es cual-
quier múmero, definimos cA como el punto cuyas coordenadas son

Cancer).
Ejemplo 6. Si A= (2,-1,5) y e = 7, entonces cA = (14, 7,35).
Es fácil

5. (A+ B)=eA+eB.
6. Si cy y cz son múmeros, entonces

(ata)A=adterd y (ed = ar(crA),
‘También nétese que

(1
ae ES a at
Ejemplo 7. Sean A= (1,2) y ¢= 3. Entonces
(6)
como se puede apreciar en la figura 7(a).

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16. 8 Vectores ws

La multiplicación por 3 produce un alargamiento de A en 3 veces. En forma
análoga, LA da por resultado un acortamiento de A en À, es decir, A se reduce
a la mitad de su tamaño, En general, si £ es un mimero, 1 > 0, LA ve interpreta
como un punto en la misma dirección que A desde el origen, aunque a £ veces
la distancia. De hecho, definimos que A y B tienen la misma dirección si
existe un número ¢ > 0 tal que À = eB. Insistimos: esto significa que A y B
tienen la misma dirección con respecto al origen. Para simplificar el lenguaje,
‘omitimos las palabras “con respecto al origen”.

La multiplicación por un número negativo invierte la dirección. Asi, -3A
quedaría representado como en la figura 7(b).

4118.8)

24

34

(a &
Figura 7
Decimos que dos vectores A y B (ninguno de los cuales es nulo) tienen

direcciones opuestas si existe un número ¢ < 0 tal que cA = B. Por lo cual,
cuando B= A, entonces A y B tienen direcciones opuestas.

Ejercicios I, $1

Encuentre A+B, A— B, 3A, ~2B en cada una de los sigulentes caros, Marque los
puntos que aparecen en los ejercicios 1 y 2 en una hoja de papel para graficar

L A= (2-1), B= (11) 2. A=(-1,9), B= (0,4)
3, 42-15, B2(-411) 4, Az (2-23) B=(-1,3,
5. A=(1,3,—1), B=(27,3,7) 6. A=(15,-2,4), D=(ra,

7. Sean A= (1,2) y B= (3,1). En una hoja de papel para graficar marque A+ J,
A+2B, A+3B, AB, A-2B, A-3R.

8. Sean A y B como en el ejercicio 1. En una hoja de papel para graficar marque ls
puntos A422, A+3B, A 21, A-30 A430

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17. ne Vectores anclados 9

9. Considere A y B tal como ve mucstran en la figura 8. Marque el punto A~ B, en
cada caso.

©
Figura 8

1, $2. Vectores anclados

Definimos un vector anclado como una pareja ordenada de punteo que represen-
tamos con AB. (Éste no es un producto.) Podemos representarlo como una
flecha que va de A a B. Designemos a A como punto inicial y a B como
punto final del vector anclado (Fig. 9).

»
wall,
4
Ta >:
a
Figure 9

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18. 10 Vectores. 1.58

Observamos que, en el plano,

b;=a1+(b; —a1).
De manera análoga,

ba = a2 + (be us)
Esto significa que

B=A+(B-A)

Sean AB y CD dos vectores anclados. Decimos que son equivalentes si
B-A= D-C. Todo vector anclado AB es equivalente a uno cuyo punto
inicial es el origen, debido a que AZ es equivalente a O(B— A). Es claro
‘que éste es el único vector anclado cuyo punto inicial se encuentra en el origen
y que es equivalente a AB. Si representamos la ley del paralelogramo en el
plano, entonces es evidente que la equivalencia de dos vectores anclados puede
interpretarse geométricamente diciendo que las longitudes de los segmentos de
recta determinados por la pareja de puntos son iguales y que las “direcciones”
en que apuntan son las mises.

En las siguientes figuras hemos dibujado los vectores anclados OB = A),
AB y O(A—B), BA.

F
Figura 10 Figura 11

Ejomplo 1. Seen P = (1,-1,3) y (Q) = (2,11). Entonces PG es

ivalente a OC, donde C=Q—P=(1,

5) y

entonces PQ es equivalente a AB, ya que
Q-P=B-A=(1,5,-2)

a=(

Dado un vector anclado DC cuyo punto inicial es el origen, decimos que se

+ encuentra anclado en el origen. Dado cualgier vector anclado AB, decimos
que está anclado on À

19. 1.59 Vectores anclados nu

Un vector anclado en el origen se encuentra completamente determinado por
su punto final. Con base en esto, designaremos como n-tupla a un punto o bien
a un vector, dependiendo de la interpretación que tengamos en mente.

Se dice que dos vectores anclados AB y PQ son paralelos si existe un
número e # 0 tal que B- A = e(Q =P). So dico que tienen la misma
dirección si existe un número e > 0 tal que P—A=0(Q — P), y se dice que
tienen diroceiones opuestas si existe un número e < 0 tal que

B-A=4Q-P)

En las siguientes ilustraciones represenlamos dos casos de vectores anclados pa-
ralelos.

(2) Misma dirección (0) Direcsionos opuestas
Figura 12
Ejomplo 2. Sean
PEGTD y Qa (-42).
Sean
A=61D y
Luego,

y

Fn consecuencia PQ es paralelo a AB, debido a que B—A=3(Q — P). Más
aún, como 3 > 0, vemos que PQ y AB tionen la misma direcei

De manera semejante, cualquier definición enunciada para n-tuplas se puede
aplicar a los vectores anclados. Por ejemplo, en la siguente sección definiremos
lo que significa que las n-tuplas sean perpendiculares.

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20. 12 Vectores (1,53)

Figura 13

Entonces podemos decir que dos vectores anclados AB y P son perpendi-
culares entre si, si B — A es perpendicular a Q— P. En la figura 13 hemos
hecho una representación de dichos vectores en el plano.

Ejercicios 1, $2

En cada uno de los siguientes casos determine cuáles vectores anclados PQ y AB son
equivalentes.

1. P=(1=1),0= 1,5), B= (5,2),
5,7), B= (1,8).
4), A= (1,1), B= (0,5,10).
(C5, 3,8)

(43),
3,

4-0, @= (4,3),

6. (1,5), B= (7,1).
6. P=(1,4), Q=(-3,5), A= (5,7), B= (6,8).

T. P=(1,-1,5), Q=(-2,3,-4), (-3,9,-17)
8 P=(2,3,-4), Q=(-1,3,5), À (-11,3,-28).

9. Con el objeto de ilustrarlos, dibuje en una hoja de papel los vectores anclados de
Jos ejercicios 1, 2, 5 y 6. Dibuje también los vectores anclados QP y BA. Marque
los puntos Q—P, B— 4, P-QyA-B

1, $3. Producto escalar

Convendremos en que, a lo largo de nuestro estudio, seleccionaremos vectores
que siempre se encuentren en el mismo espacio n-dimensional, El lector puede
restringise sólo a los casos en que n= 2 y n= 3.
Sean À = (01,01) y B = (b,b;) dos vectores en el espacio de dos dimensio-
nes. Definimos su producto escalar como
A-B= ayb; + azbz.

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21. 0,83) Producto escalar 13

Sean A = (a1,02,05) y B = (61,02, 63) dos vectores en el espacio de tres
dimensiones. Definimos su producto escalar de la siguiente manera:

A: B= ayby + 091 + asbs.

Sean A = (a1,..:40) y B = (01,...:bn) dos vectores en el espacio de
m dimensiones, lo que cubre los dos casos anteriores con una sole notación.
Definimos su producto escalar o producto interior À - como sigue

abs ++ ab.
Este producto es un múmero. Por ejemplo, si
A=(13,-) y B

-1.4,-8),
entonces
A-B=-1+1246=17.

Por el momento no daremos ninguna interpretación geométrica de este producto.
escalar; lo haremos posteriormente. Antes, vamos a deducir algunas propiedades
importantes. Las básicas son:

PE 1. Tenemos que A-B=B-4
PE 2. Si A, B y C son tres vectores, entonces

AUB=C)=A:B+A-C=(B+C)-A

PE 3. Si z es un número, entonces

(2A) B=x(A-B) y A-(2B)=x(A-D).
PE 4. Si À = O es el vector nulo, entonces A:A=0 y, si no los, entonces

A-A>0.

A continuación probamos estas propiedades,
Con respecto a la primera, tenemos que

arbı +++ unbe = bias ++ bats
dado que, para dos números cualesquiera a y b, tenemos que ab = da, lo que
prueba la primera propieded:

Para probar PE 2, sea 0 = (€1,....cn). Entonces

E)

A(BLO) =a. ta) +: anlbs + en)
= abi + ayes +++ nba Hance
Al reordenar los términos se obtiene
ba Heeb and + aux +00 + ann,

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22. ii Vectores 169

que no es otra cosa que A-B+A-C.. Esto prueba lo que queríamos. La propiedad
PE 3 se deja como ejercicio.

Por último, para probar PE 4, observamos que, si una coordenada a; de A
‘no es igual a 0, entonces existe un término a? # 0 y a? > 0 en el producto
escalar

Arazat ta.
Puesto que todo término es > 0, se infiere que la suma es > 0, tal como se
quería demostrar.

En una gran parte del trabajo que realizaremos con los vectores, sólo usa-
remos las propiedades comunes de la adición, de la multiplicación por números
y las cuatro propiedades del producto escalar. Más adelante los estudiaremos
de manera formal. Por el momento, observe que existen otros objetos con los
cuales el lector está familiarizado y que se pueden sumar, restar y multiplicar por
números, por ejemplo, las funciones continuas definidas en un intervalo (a, ].

Será conveniente escribir A? en vez de AA para representar el producto
cscalar de un vector consigo mismo, (Éste cs el único ejemplo en el que nos
permitimos usar tal notación. Así pues, AP no tiene significado alguno) Como
ejercicio, verifique que se cumplen las siguientes identidades:

(A+ BY = 4424 -B4 BR,
(A- BY = A?—24-B + BP.

Un producto interior A- B puede muy bien ser igual a cero sin que ninguno
de los vectores A o B sea el vector mulo. Por ejemplo, sean

A=(12) y B=(21-9

Entonces,
A-B=0
Decimos que dos vectores A y B son perpendiculares entre sí (u ortogo-
nales, como también les llamaremos), si A- 8 = 0. Por ahora no es evidente
que, en el plano, esta definición coincido con nuestra notación geométrica intui-
tiva de perpendicularidad. En la siguiente sección convenceremos al lector de tal
coincidencia; en esta parte sólo veremos un ejemplo, Consideremos en R los
tres vectores unitarios
E,=(1,0,0), — Es=(0,1,0), Es
tal como se muestra en el diagrama (Fig. 14).
Veamos entonces que E1-Ea = 0 y que, en forma análoga, Ej-B; = Osi iz j
Y así, estos vectores se consideran perpendiculares entre sí. Si A = (a; ,a2,as),
entonces observamos que la ¿-ésima componente de A, a saber,
AB
es el producto interior de A con el #-ésimo vector unitario. Advertimos que A
es perpendicular a E; (conforme a nuestra definición de perperdicularidad con
«el producto interior) si, y sólo si, su #-ésima componente es igual a0.

www.elsolucionario.nel

(0,0,1)

23. 0159 La norma de un vector 22

Bs

EN

Figura 14

Fjercicios I, $3

1. Para cada una de las n-tuplas siguiente encuentze A: À

(@) A= 0,-1), B= (1,1) (94
(2, 1,5), (-1,1,1) (a) A
(x, 3,1), B= (2x, -3,7) Wa

2. Encuentre A- B para las n-tuplas del ejercicio anterior.

3, Usando sólo las cuatro propiedades del producto escalar, verifique con detalle las
identidades dadas en el texto para (A+B)? y (AB)

4. ¿Cuáles de las siguientes parejas de vectores son perpendiculares entre sí?
() 04-10: (15 — (9 (10 y 0,30
GEHEN) () (30) y (,-.,0)

5. Sea A un vector perpendicular a todo vector X. Demuestre que A= 0.

1, $4. La norma de un vector
Definimos como norma de ün vector A, que denotamos con [lll al mimero

All =Va-A

Como A- A > 0, podemos extruer la raíz cuadrado. Algunas veces la norma.
también se denomina magnitud de A.

Cuando

=2 y À 2 (ab), entonces
14] = Va? +82,

como se puede apreciar en la siguiente representación (Fig. 15).

24. 16 Vectores 1,59

Figura 15

Ejemplo 1. Si A= (1,2), entonces
114] = VITA = 45.
Cuando n=3 y A= (a;,02,03), entonces

1Al=/4+3593

-1,2,3), entonces
\All= VIRTFT= VE.

es como la de la fignra 16, donde A =

Ejemplo 2. Si A=

Sin = 3, entonces la represcalaci
(us).

Varia VE TS

en
Figura 16

Si nos fijamos primero en las dos componentes (2,4), entonces, como se
dicé, la longitud del segmento que une a (0,0) con (2,4) es igual a w =

VEA
Entonces, de nucvo, la norma de A sería, por el teorema de Pitágoras,
EA
e chy tea or au sor
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25. 0,59 La nora de un vector

Así, cuando n = 3, nuestra definición de norma es compatible con la geometría.
del teorema de Pitágoras.
En términos de coordenadas, À =(41,.. .,an) y vemos que

llAll= ya3+---+a2.

Si À # O, entonces |Al| # 0, debido a que alguna coordenada a, 0, de
manera que a? > 0 y, en consecuencia, af -+----+a > 0, por lo que ||Al| #0.
Observe que, para cualquier vector A, tenemos que

14) = 11 All.

Fato se debe al hecho de que

(an)? eet (a) = af 03,

ya que (-1)? = 1. Por supuesto, esto debe ser as, según Ja figura:
A
|
Y !
Figura 17
Recordemos que A y —A tienen direcciones opuest Ain embargo, tienen

la misma norma (magnitud; como algunas veces se dice cuando se habla de
vectores).

Sean A y B dos puntos. Definimos la distancia entre A y B de la manera
siguiente:

I1A- A = VAT AB).
Esta definición coincide con muestra intuición gcométrica cuando A y B son
puntos en el plano (Fig. 18). Es lo mismo que la longitud del vector anclado
AB o del vector anclado BA

26. 18 Vectores LES

[A= Bl =~ Al

Figura 16

Ejemplo 3.
vector anclado AB es igual a ||B - All. Pero B-
118- AI = V16+4= V2.

En la figura vemos que cl lado horizontal ticne una longitud igual a 4 y el lado
vertical tiene une longitud igual a 2, por lo que nuestras definiciones reflejan.
ión geométrica derivada de Pitágoras.

Sean A = (-1,2) y B = (8,4). Entonces la longitud del
(4,2). Por tonto,

at 5

Figura 19

Sea. P wn punto en el plano y-sen a un número > 0.) El conjunto de los

puntos X tales que

KL Pl <a
será denominado disco abierto de radio a con centro en P. El conjunto de los
puntos X tales que

=P Sa
será denominado disco cerrado de radio a y centro P. El conjunto de los
puntos X tales que

IX PI]
se conoce como círculo de radio a y centro P. En la figura 20 aparecen las
ilustraciones de estos conceptos.

27. I 54] La norma de un vector 19

Cicule Disco
Figura 20

En el espacio de 3 dimensiones, el conjunto de los puntos X tales que
(X= PI <a
se denomina bola abierta de radio a y centro P. Al conjunto de los puntos X
tales que
IX-Pll<e
se le conoce como bola corrada de radio a y centro P. El conjunto de los
puntos X tales que
IX - PI
se llama csfora de radio a y centro P. En espacios de dimensión mayor se
continúa usando la misma terminología de bola y esfera,
En la figura 21 se ilustran una esfera y una bola cn el espacio de 3 dimensiones.

Esters
Figura 21

La esfera cs la cáscara y la bola cs la región que se encuentra dentro de la cáscara.
La bola abierta consiste en la región situada dentro de la cáscara sin incluir la
cáscara en sí. La bola cerrada está formada por la región contenida dentro de la
cáscara y por la cáscara misma.

A partir de la geometría de la situación, también resulta razonable esperar
que, sí © > 0, entonces |AÏ = ellAll, es decir, si alargamos un vector A al
multiplicarlo por un número positivo c, entonces la longitud también se inere-

28. 2 Vectores 0,5

menta en la misma cantidad. Vamos a verificar formalmente lo dicho, usando la
definición de longitud.

Teorema 4.1. Sea x un número. Entonces
Nell = le LAI
(el valor absoluto de 2 por la norma de A).
Demostración. Por definición, tenemos que
lleAl? = (24) (2),

que es igual a
244-4) 4
debido a las propiedades del producto escalar. Al extraer la rafz cuadrada se
obtiene lo que queríamos
Sea Si la esfora de radio 1, con centro en el origen. Sea a un número > 0.
Si 2 cs un punto de le esfera $,, entonces aX es un punto de la esfera de radio
a, debido a que
Tax = allX]
De esta manera, obtenemos todos los puntos de la esfera de radio a. (¿Demos-
tración?) Por tanto, la esfera de radio a se obliene al estirar la esfera de radio
1, mediante la multiplicación por a
Una observación semejante se aplica a las bolas abierta y cerrada de radios
a, las cuales se obtienen a partir de las bolas abierta y cerrada de radios 1,
mediante la multiplicación por a.

Disco de end 1 Disco sleradig a
Figura 22

Decimos que un vector es un vector wnitario si ||| = 1. Dado cualquier
vector A, sea a =|[Alj. Si a 40, entonces

La

es un vector unilario, dado que

29. 1.54 La norma de un vector a

Decimos que dos vectores À y B (ninguno de los cuales es el vector O) tienen
la misma dirección si existe un número € > 0 tal que cA = B. En vista de
esta definición, vemos que el vector

a]
TA

es un vector unitario en la dirección de A (considerando que A # O)

A

Figura 23

Si E es un vector unitario en la dirección de À y ||Al =a, entonces

A=aE.

Ejemplo 4. Sea A = (1,2,-3). Entonces |[AÏ| = VTA. En consecuencia,
el vector unitario en la dirección de A es el vector
E= (ñ a =)
VA va,
Advertencia. Hay tantos vectores unitarios como direcciones. Los tres vec
tores unitarios canónicos en el espacio de 3 dimensiones, a saber,

20,9, 0 Ba = (01,0), Es (00,1)

son simplemente los tres vectores unitarios en las direcciones de los ejes de co-
ordenadas.

‘También nos encontramos en posición de poder justificar nuestra defin
de perpendicularidad. Dados A y B en el plano, la condición

A+ Bi = [A BI

(ilustrada en la figura 24(b)) coincido con la propiedad geométrica de que A
debe sor perpendicular a B.

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30. 2 Vectores. 0,59

(0 w
Figura 24

Probaremos que

[A+ Bll = |A — Bil si, y sólo si, A-B=0

Denotemos con el símbolo <=> la expresión “si, y sólo si”, Entonces,
11A+Bl=114=B]) = [A+ BI" =]lA- BI
SNA BASA BA BO
= 4.B=0
SAB

Esto prueba lo que queríamos.

‘Toorema de Pitágoras generalizado. Si À y B son perpendiculares entre
si, entonces
[A+ BI? = (Al? + (1811
En la figura 25 se ilustra el teorema.
478

Figura 25,

Para probarlo, usamos las definiciones, a saber:
A+ BI? =(A+B)-(A+ B)= 4° 424: B+B?

= al +20,

yAA

yn que, por definición, A: B AIP, BB = 11815.

31. tt, $4) La norma de un vector en

Observación. Si A es perpendicular a B y 7 es cualquier múmero, entonces
A también es perpendicular a 2B, debido a que
A:zB=sA:B=0
Ahora emplearemos la noción de perpendicularidad para deducir la noción de
proyección. Sean A y B dos vectores y B 7 0. Sea P el punto sobre la recta

que contiene a OB, tal que PA es perpendicular a DE, como se muestra en
Ta figura 26(0).

4
£ 3
F
é
“ o
Figura 26
Podemos escribir
P=cB

para algún número e. Queremos encontrar este
términos de A y B. La condici

wera © de forma explicita en

ifica que

À Pes perpendicular a B,
y como P=¢B, esto significa que

(A-eB)-B=0,
cu otras palabras,

A-B=eB-B
Podemos despejar e y eucontramos que AB = eB -B, de manera que

Au
BB

Reefprocamente, si tomamos este valor de € y luego uramas Ia distrbutividad,
al multiplicar escalarmente a A—eB por B se obliene 0, de manera que A eB
es perpendicular a A. Bn consecuencia, hemor visto que existe un nico número
© tal que A—0R es perpendicular a By c está dado por la fórmula anterior.
Definición. La componente de A à lo Largo de B cs el número «= AB

AB

La proyección de A a lo largo de B es el vector eB =

32. 2 Vectores na

Ejemplo 5. Supongamos que
B=E1=(0....,0,1,0,..,0)
es el ¡-ésimo vector unitatio, donde 1 esti en la ¿-ésima componente y O en todas
las otras componentes.

Si A= (ai,...,an), entonces A» Ly
Por lo que A JH; es la ¡-ésima componente ordinaria de A.

En forma más general, si B es un vector unitario, no necesariamente uno de
los Ex, entonces simplemente Lencrnos que

c=A-B
ya que BB = 1, por definición de vector unitario. 4

Ejemplo 6. Sean A= (1,2,-3) y # = (1,1,2). Entonces la componente
de À alo largo de B es el nümero

5
al

En consec

cia, la proyección de A a lo largo de B es el vector
B= (pl):
Nuestra construcción brinda una interpretación geor
ducto escalar, A saber, supongamos que À # O y observemos el ángulo © for-
mado entre Ay -B (Fig. 27). Entonces, según la geometría del plano, vernos

a
BEI
wall”
‘à bien, al sustituir el valor de e obtenido con anterioridad,

A-B=||AJ [18 0059 y cos0= AB

NATHAN

os

Figura 27

En algunos tratados sobre vectores, se considera la relación
AB = ||Al| [Bl] cos 0

come definición del producto escalar, Ésta se encuentra sujela a las siguientes
desventajas, por no decir objeciones:

33. 0,59 La norma de un vector ie

(a) Las cuatro propiedades del producto escalar PE 1 hasta PE 4 de ninguna
‘manera son obvias,

(b) Aun en el espacio de 3 dimensiones, se tiene que confiar en la intuición
geométrica para obtener el coseno del ángulo formado entre À y B, y esta
ntwición resulta menos clara que en el plano. En espacios de dimensión
mayor falla aún més.

(c) Resulta extremadamente dificil trabajar con tal definición para lograr pro-
piedades adicionales del producto escalar.

Por tal motivo preferimos establecer Fundamentos algebraicos obvios y des-
pués recuperar con gran sencillez todas Ins propiedades. Empleamos geometría.
del plano para ver la expresión

A-B=JAI!!1B] cos 8.
Después de estudiar algunos ejemplos, probaremos la desigualdad que nos per-
mite justificar esta fórmula en el espacio de n dimensiones.

Ejemplo 7. Sean A = (1,2,-3) y B = (2,1,5). Encuentre el coseno del
ángulo @ formado entre A y B

Por definición,

a
Va20

Ejomplo 8. Encuentre el coseno del ángulo formado entre los dos vectores
anclados PQ y PR, donde
P=(12-3) Q=(-21,5), Relié)
La representación es como la siguiente:

Figura 28

Magamos
A=Q-P

3,18) y

Entonces el ángulo formado entre PQ y PR ex el mismo que el formado entre
A y B. Por tanto, su coseno es igual a

04+1-8_ -7

A
a pe,
Hal

34. 26 Vectores 1.59

Probaremos propiedades adicionales de la norma y del producto escalar usan-
do nuestros resultados sobre perpendicularidad. Obsérvese primero un caso es-
pecial. Si

Ei=(0,...,0,1,0,,.-,0)
«a el ¿-ésimo vector unitario de RM, y
A= (aura),
entonces
AB =a

ca la i-ésima componente de A, eto e, la componente de A a lo largo de Ei
"Tenemos que
lod = fa? < yar+ a = [All

de manera que el valor absolnto de cada componente de A cs igual, a lo más, a
la longitud de A.

No tenemos que trabajar, como lo acabamos de hacer, solamente con el vector
unitario especial, Sea E cualquier vector unitario, es decir, un vector cuya norma,
sea igual a 1. Sea e ln componente de A a lo largo de E. Vimos que

A-B.
ulara E, y
A=A-cE 20.

Entonces A—cE también es perpendicular a eE y, por el teorema de Pitágoras,
encontramos que

NA? = 114 — eB? + [led = 14 cP +
Ast tenemos las desigualdades 6? < JAI? y lel < [ill

En el siguiente teorema generalizamos esta desigualdad para un producto
escalar A+B para el caso en que B no es necesariamente un vector unitario.

Luego, A~ cE es perpendi

Teorema 4.2. Sean A y B dos vectores en R°. Entonces
14-31 < 111121.
Demostración. Si B = O, tntonees ambos miembros de la desigualdad son
iguales a 0, de modo que muestra afirmación es obvia. Supongamos que B #0

Sea e la componente de A alo largo de B, de manera que ¢= (A-B)/(B-B)
Escribamos

A=A-cB+cB.
Por Pitágoras,
WAI? = 14 —eB + [leB|)? = Ja cal? + lBlP-
Por tanto, "BI? < I]AIP. Pero

ape = A yp = ABE pa = ABP
ea = SO oye = HE ip =

35. ve Ta norma de un vector a

Por consiguiente,
cP > y
Tap EAP.
Para concluir la demostración, multiplicamos por ||] y extraemos la raíz cun-
drada.

Debido al teorema 4.2, vemos que, para los vectores À y B en el espacio de

n dimensiones, el número.
AB

TANI
tiene valor absoluto < 1. Eu consecuencia

4-B
e A eg,
= Tanlal ©

y existe un ángulo 9 único tal que 0< 8 < +, y tal que
EL
2 anal

Definimos este ángulo como cl ángulo formado por À y B.

¿AAA A come ao yA A MA

"Teorema 4.3, Sean A y 8 veclärch Eaionecs

A+ Bll <All 1181).
Demostración. Ambos lados de esta desigualdad son positivos o iguales a 0.

Por tanto, será suficiente probar que sus cuadrados satisfacen la desigualdad
deseada; en otras palabras,

(A+B) (A+B) < (|A + BI).
Para lograrlo, consideremos
(4+B)-(4+B)=A-A+24-B4B-B,
En vista de nuestro resultado previo, esta relación satisface la desigualdad
<a? + 21 All + 121;

donde esta última expresión no es otra cosa que
(All 181).
Nuestro teorema está probado.
El teorema 4.3 se conoce como desigualdad del triángulo. La razón para

esto es que, si dibujamos un triángulo como el de la figura 29, entonces el teorema
4.3 expresa el hecho de que la longitud de un lado es < que la suma de las

36. er Vectores 1,5

Ay

07]

Figura 29

Observación. En ninguna de las demostraciones se hace uso de coordenadas;
sólo se emplean Ins propiedades PE 1 hasta PE 4 del producto escalar. En
consecuencia, alguen siendo válidas en situaciones más generales, Vea el Capítulo
Vi: En el espacio de dimensión n, nos dun desigualdades que de ninguna manera
son obvias cuando se expresan en Lérminos de coordenadas. Por ejemplo, la
desigualdad de Schwarz, en términos de coordenadas, tiens el siguiente aspecto:

ab +++ andal < (at ea) PQ oo + BRM

Sólo trate el lector de probar esta desigualdad directamente, sin usar la intui
“geométrica” de Pitágoras, y vor hasta dönde puede llegar.

Ejercicios 1, $4

1. Encuentre la norma del vector À en los siguientes casos,
(1) 420,8
() 41,3), 8
() A=(2,-15), 8
(d) 4=(-1,-2,3), 8
(© A= (3-0, Da Un
(0 4=(13,-2,4), B=(x,3,-1)

2. En los casos que abarca el ejercicio Ly encuentre la norma del vector B.

3. En los caros que abarca el ejercicio 1, encuentre la proyección de A a lo largo de
B.

4. En los casos que abarca el ejercicio 1, encuentre la proyección de B a lo largo
de A.

5. Encuentze el coseno del ángulo formado entre los vectores À y B.

(3) A=(,-2) y B=65,3
(b) A=(-3,4) y B=(2,-1)
(9 4 ayy B

(a) A=(-2,1,4) y B
(e) A=(-1.1,0)

37. 0,55) Rectas paramétricas 55

5. Determine el coseno de los ángulos del triángulo cuyos vértices son
(a) (2,-1,1), (1,-3,=5), 6,-4,-4)
(9) 6,10, 212,0, (2,-2,5)

7. Sean A1,..., Ar vectores no nulos que son mutuamente perpendiculares, en otras
palabras, A: Aj =0 si 175. Scan 61,-=, 67 números tales que

aAı + teed, =0.

Demuestre que todos los 64

8. Para cualesquiera vectores A y B, pracbe las siguientes relaciones:
(9 Masai la ale all + 2
(o) [A+ Dl -B
€) [A+ BP - 3
Interprete (a) como una “ley del paralelogeatno”

9. Demuestre que, sí es el ángulo comprendido entre A y By entonces
14817 = [AIF + 1181 — 21/41 | Bll cose,

10, Sean A, B y C tres vectores no mulos, Si A-# =A-C, muestre m
ejemplo que no necesariamente resulta que B= C.

1, $5. Rectas paramétricas

Definimos la ecuación paramétrica o representación paramétrica de
una recta que pasa por un punto P en la dirección de un vector À # 0 de la
siguiente manera!

X=P+1A,
donde t recorre todos los números (Fig. 30)

Figura 30

Al dar tal representación paramétrica, podemos imaginarnos un insecto que
parte de un punto P en el tiempo t = 0 y sc muove en la dirección de A.
En el tiempo £, el insecto se encuentra cn la posición P-+1A. Así podemos
interpretar físicamente la representación paramétrica como una descripción del

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38. 30 Vectores us

movimiento, en la.cual A se puede considerar como la velocidad del insecto. En
‘un determinado tiempo £, el insecto se encuentra en el punto
X0=P+14,
que es la posición del insecto en el tiempo €
Esta representación paremétrica también es útil para describir el conjunto
de puntos que están en el segmento de recta determinado por dos puntos dados,

Sean P y Q dos puntos. Entonces el segmento determinado por P y Q consiste
en todos los puntos

st)

En realidad, O(@ = P} es un vector q:
‘como se muestra en la figura 31

4t(Q-P) donde 0£t<1.

iene la mi

ma direcciön que PQ, tal

Figura 31

Cuando 1 = 0, tenemos que $(0) = P, de manera que, eu el tiempo t = 0, el
insecto se encuentra en P. Cuando (=1 Lenernos

S(1) = P+(Q- P)=

de modo que, cuando 1 = 1, el insecto se encuentra en Q. Conforme t va de 0
a 1, el insecto avanza de P a Q'

Ejemplo 1. Sean P= (1,~3,4) y Q = (5,1,-2). Halle las coordenadas
del punto que se encuentra a un tercio del camino de P a Q.

Sea S(t), como se indicó con anterioridad, la representación paran
segmento que une a P con (2. El punto deseado es S(1/3), esto es:

rien del

1 1 1
s(5) =P+ HOP) =(1,-3,4) +41)

És G 3)

39. 01,89] lectas paramétricas N

Advertencia. El punto deseado en el ejemplo que se acaba de ver no está dado

por
P+Q
3

Ejemplo 2. Encuentre una representación paramétrica para la recta que
pasa por los dos puntos P = (1,-3,1) y Q =(-2,4,3).
Primero tenemos que encontrar un vector en la dirección de la recta, Hagamos

A=P-0,

por lo que

3,-7,-4)
Por consiguiente, la representación paramétrica de la recta es
X()=P+14= (13,1) +48, -7,-4).

Observación. También sería correcto dar una representación paramétrien
de la recta de la siguiente manera:

YQ)=P+th donde = B=Q-P.

Sin embargo, interpretadas en términos del movimiento del insecto, una parame-
trización da la posición de un insccto que se mueve cn una dirección a lo largo.
la recta, a partir de P en el tiempo t = 0, mientras que la otra parametrizaci
da la posición de otro insecto que se mueve en la dirección opuesta a lo largo
de la recta, partiendo también de P en el tiempo # = 0.

Ahora estudiaremos la relación que hay entre una re
y la ecuación ordinaria de una recta en el plano.

Suponga que trabajamos en el plano y escriba las coordenadas de un punto
X como (z,y). Sean P = (p,9) y À = (0,5). Entonces, en términos de las
coordenadas, podemos escribi

esentacién paramétrica.

pita, y=qetd.
De modo que podemos eliminar ¢ y obtencr lo ecuación usual que relaciona a 2
yu

Ejemplo 3. Sean P=(2,1) y A =(=1,5). Entonces la representación
paramétrica de la recta que pasa por P en la dirección de A nos da
®) re2-t ys list
Al multiplicar por 5 la primera ecuación y al sumar se obtiene
la

(+) 52+y

ida ecuación de una zecta,

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40. 32 Vectores 10,55)

Esta climinación de £ muestra que toda pareja (2,4) que satisface la repre-
sentación paranétrica (+) para algún valor de t también satisface la ecu
(+). Reciprocamente, suponga que tenemos una pareja de nümeros (2,y) que
satisface (19). Sea (= 2—2. Entonces

1-52 2 11 5(2 24) = 1+ 60

En consecuencia, existe algún valor de t que satisface la ecuacién (+). Por
tanto, liemos probado que las parejas (z,y) que sou soluciones de (++) son
exactamente lus mismas parejas de números que aquellas que se obtienen al
dar valores arbritrarios a £ en (+). Así, la recta se puede describir en forma
paramétrica como en (+) o en términos de su ecuación usual (++). Al comenzar
con la ecuación ordinaria

5+y=11
hacemos 1 = 2— x con el objeto de recuperar la parametrización especifica de
we
Cuando parametrizamos una recta en la forma
X=P+1A,
tenemos, por supuesto, una infinidad de posibilidades para escoger 7 en la
recta y Lambién una infinidad de posibilidades para escoger A, difiriendo en un

núltiplo escalar. Siempre podemos seleccionar al menos uno. A saber, dada una

ertby

donde a, à y e son números, supongamos que a ¢ 0. Usemos y como parámetro
y hagamos

yet

Entonces podemos despejar 2, a saber,

ed

Sean P = (e/a,0) y A
satisfuce la ecuación

(=b/a,1)..Veinos que un punto arbitrario (2,4) que
ar thy
sc puede expresar en forma paramétrica, a saber,

(ey) = Pst

En dimensiones más grandes, al comenzar con una representación paramétrica
X=P+tA,

no podemos eliminar t y, por tanto, la representación paramétrica es la única
disponible para describir una recta.

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41. 1,56] Planos 33
Ejercicios I, 55

1, Encuentre una representación paramétrica para la recta que pasa por las siguientes
parejas de puntos.

= (13,1) y Pe=(4,1,2)

(21,5,9) y Pa =(-2,4,7)

Encuentre una representación paramétrica para la recta que pasa por los siguientes

puntos.

2 0,11) y (3,1, 3 (1,52) y (8,-4,1)

1-1) yQ=

-4,5,2). Determine las coordenadas de los siguientes

(2) El punto medio del segmento de recta que une a P con Qu

(b) Los dos puntos de este segmento de recta que se encuentran a un tercio y a dos
tercios del camino de P a Q

(<) El punto que está a una quinta parte del camino de P a Q

(@) El punto que se encnentra a las dos quintas paxtes del camino de P a Q

3. Si P y Q son dos puntos arbitrarios del espacio de n dimensiones, dé la fórmula
general para el punto medio del segmento de recta determinado por P y Q.

I, 36. Planos

En el espacio de 3 dimensiones podemos describir planos mediante una couación
análoga a la ecuación sencilla de la recta. Procedemos de la sigui

Sea P un punto en el espacio de 3 dimensiones y consideremos un vector
anclado ON . Definimos el plano que pasa por P que es perpendicular a
GW como la colección de todos los puntos X tales que el vector anclado PX

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42. 34 Vectores. 1. 56)

es perpendicular a ON. Conforme a nuestras definiciones, esto equivale a la
(X= Py
que también se puede escribir como

XoN

IN,

‘Taunbién diremos que éste es el plano perpendicular a N y que consta de todos
los vectores X tales que X — P es perpendicular a A. En la figura 32 hemos
dibajado una situación típica en el espacio de 3 dimensiones,

Además de desir que M es perpendicular al plano, también se dice que N
es normal al plano.

Sea 1 un múmero 70. Entonces el conjunto de los puntos X tales que

(X-P)-N=0
coincide con el conjunto de los puntos X tales que
(XP) AN =0.

Por tanto, pademos decir que nuestzo plano es aquel que pasa por P y es per
pendicular a la recta en la d de N. Para hallar la ecnacién del plano,
podríamos usar cualquier vector EN (con £0) cn lugar de N

Ejemplo 1. Sean
P=(jl-l) y N=

12,3)
Soa X = (2, y,2). Entonces
Xe N= (ety 432.

ente, la ecuación del plano que pasa por P y cs perpendicular a N

—a+y+d= 2415,

aby th

Observe que en el espacio de 2 dimensiones, donde X = (2,y), las fórmulas
conducen a la ecuación de la recta en el caso ordinario.

Ejemplo 2. La ecuación de la recta en el plano (ay), que pasa por (4, -3)
y que es perpendicular a (—5,2), es

5e +2

20-6 =—26,

Nos encontramos ahora en posición de interpretar los coeficientes (5,2) de
2 y y que aparecen en esta ecuación. Pstos coeficientes dan origen a un vector
perpendicular a lu recta, En cualquier ecuación

ar+by

43. 150 Plenos 35

el vector (a,0) es perpendicular a la recta determinada por la ecuación.
En forma análoga, en el espacio de 3 dimensiones, el vector (a, 5,c) es perpen-
dicular al plano determinado por la ecuación

az+by+ez=d,

Ejemplo 3. EI plano determinado por la ecuación
Ben y+de=5
es perpendicular al vector (2, 1,3). Por supnesto, si queremos encontrar un
punto en ese plano, tenemos muchas opciones. Podemos dar valores arbitrarios
az yu y y luego despejar z. Para obtener un punto cu concreto, hagamos
+ y = 1. Luego despejemas =, a saber,
de=5-2+1=4,

de manera que z= 4. Así,
(119

& un punto en el plano.

En el espacio de n dimensiones se dien que la eeu esta

que corresponde a un hiperplano, Por ejemplo,
3—y+2+20=5

es la ecuación de un hiperplano en el espacio de 4 dimensiones que es perpendi-

cular a (3,1, 1,2)

Se dice que dos vectores, 4 y B, son paralelos si existe un número € # 0 tal
que cA = B. Se dice que dos rectas son paralelas si, dados dos puntos distintos
entre si Pr, Qı de la primera recta y Py, Qo de la segunda, los vectores

PQ
y

Pa Qu
son paralelos,

Se dice que dos planos son paralelos (en el espacio de-3 dimensiones) si
sus vectores normales son paralelos. Se dice que son perpendiculares si sus
vectores normales son perpendiculares, Se define el ángulo formado entre dos
planos como cl ángulo formado, por sus vectores normales

Ejemplo 4. Encuentre el coseno del ángulo 0 formado entre los planos

2 y+2=0,
24+2y-=2=1
Este coseno es el que corresponde al ángulo formado entre los vectores.
A=(2-1,1) y B=(1,2,-1)

Por consiguiente,

A
aman

e088

44. 36 Vectores. se

Ejemplo 5. Sean
Q=(11) y P=(-1,2,
Sea
N=(23).
Encuentre el punto de interseción de la recta que pasa por P en la dirección de
N „con el plano que pasa por Q y que es perpendicular a N

La representación paramétrica de la recta que pasa por P en la dirección de
Nes

a X=PHN
La ecuación del plano que pasa por Q y que cs perpendicular a N es
10) (4-0) N=0.

Podemos representar la recta y el plano de la manera siguiente:

Figura 23,

Debemos encontrar el valor de £ tal que el vector X de (1) también satisfaga
(2), esto es,

(P+1N—Q)-N=0,
+ bien, después de usar las reglas del producto interior,

(P-Q)-N4e-

Al despejar € se obtiene

ot,

“mW

por lo que el punto de intersección descado es
P+1N =(1,-1,2)4 3(1,2,3) = (3,

wu

45. 50] Planos 37

Ejemplo 6. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los tres puntos
siguientes:
A=

2-1), B=(-hl9, P=(18,-2).
Representamos en forma esquemática los tres puntos de la manera siguiente:

Pe

/ on

Figura 34

Luego encontramos un vector N perpendicular a PP; y PIS o, en otras
palabras, perpendicular a Pa — Pi y Pa=P4. Tenemos que

Pa Pi = (-2.-1,48),
Ps— Py = (0,1,—1).

Sea N = (a,b,c). Debemos resolver
N(-P)=0 y N-(B-P)=0
en otras palabras,
—2a — b+ Be
ha
“Tomemos b = c= 1 y despejemos a; se obtiene a = 2. Entonces
N=(2,1,1)

satisface muestros requerimientos. El plano perpendicular a N que pasa por Pi
es el plano descado. Por consiguiente, su ecuación es XN = Py M, esto es,

À.

Distancia entre un punto y un plano. Considere un plano definido por
la ecuación

B+y+z=242-

(X=P):N=0,
y sea Q un punto arbitrario, Queremos encontrar una fórmula para la distancia
entre Q y el plano; con esto queremos desir la longitud del segmento desde Q
hasta el punto de intersccción de la recta perpendicular al plano que pase por
@ tal como se muestra en la figura. Llamenos Q a este punto de intersección

www.elsolucionario.net

46. 38 Vectores 0,58)

Higura 35

Por geometría, tenemos:

longitud del segmento TQ

Podemos expresar la longitud de esta proyección en términos del producto in-
terior de la manera siguiente, Un vector unitario eu la dirección de 7, que es
perpendicular al plano, está dado por N/|IN]]. Entonces

longitud de la proyección de OP sobre DU

= norms de la proyección de Q—P sobre W/ILWI|

ny. A
el

Ésta también se puede escribir en la forına:

[An IQ-P) 1
| distancia entre Q Fel plano = “Sy

Ejemplo 7. Sean
Q=(1,8,5), P= (-1,1,7)

La ecuación del plano es

etui
Encontramos que NI] = 3,

Q-P=(22-2) y (Q-P)N=-2+24+
Por tanto, la distancia entre Q y el plano es igual a 2/48.

47. se) Planos »
Ejercicios 1, $6

1. Demucstze que las rectas 22 +3y = 1 y 5 = Sy =T no son perpendiculares entre
a

2. Sean y= mz +h y y = m'x + 6 las ccuaciones de dos rectas en cl plano. En-
cuentre vectores perpendiculares a estas rectas. Demuestre que estos vectores son
perpendiculares entre ellos si, y sólo si, mm’ = 1.

Encuentre en el espacio de 2 dimensiones la ecuaciôn de la recta perpendicular a N y
‘que pasa por P, para los siguientes valores de N y 2.

3 N=(L=)P=(25,3) 4 (50), Pr)
5. Demuestre que las rectas
32-3
no som perpendiculares entre sí

1 2e+3p=5

6. ¿Cuáles de las siguientes parejas de rectas son perpendiculares entre af?
(a) Se =1 y 2242

(b) 24 = ls 2-7
(©) 32—5y=1 y ety =
@) -ebystyrty=

7. Encuentre la ecuación del plano perpendicular al vector N dado y que pasa por el

4,21)

Cr 5)

25,7)

8. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los siguientes tres puntos.
() 61D, (1,1), (421)

& (22,3,—1), (2,2,3), (41,1)
© (5-12, (1,2,=1), (1,2)

() N=(1,0,5), P

1,3), y otro vector perpen-
* dicular a (-1,3,2) y a (211)

10, Encuentre un vector paralelo a la recta de interescción de los dos planos
Weiten, rg
11, La misma pregunta que en el ejercicio anterior, pero ahora para los planos
QetytSe = 2, rom

12. Encuentre una representación paramétrica para la recta de intersección de los planos.
de los ejercicios 10 y 11.

12, Encuentre el coseno del ángulo formado entre los siguientes planos:
(1) a+y42=1 (b) 22 +3y—
poy-2=5 pay
CRETE @) 2r+v+

-rtöyte=2 -s-yts

48. 40 Vectores. 10.50]

14. (a) Sean P = (1,3,5) y A=(-2,1,1). Encuentro la intersección de la recta que

pasa por P enla dirección de A y el plano 2x4 3y—2=1.
(b) Sea P= (1,2,—1). Eneuentre el punto de intersección del plano
de dy be 2,

‘con la recta que pasa por P, perpendicular al plano

15. Sean Q = (1,-1,2), P = (1,3,-2) y N = (12,2). Encuentre el punto de
intersección de la recta que pasa por P en la dirección de N y el plano que pasa
por Q perpendicular a À.

16, Encuentre la distancia entre los puntos y los planos que se indican.
(3) (11,2) y dz +y=52
(0) (-1,3,2) y 22 —4y+o=1
(©) (8,-2,1) y el plano yr
(a) (23,-2,1) y el plano yz

49. CAPÍTULO Il

Matrices y
ecuaciones lineales

El lector ya ha trabajado con ecuaciones lineales en sus cursce elementales, Las
ecuaciones lineales simplemente son como las siguientes

2+y+ z=],

Se y+7=0.

El lector aprendió a resolver tales ecuaciones mediante la eliminación sucesiva
de las variables. En este capítulo revisaremos la teoría de dichas ecuaciones,
trabajando con ecuaciones en n variables e interprotando los resultados desde
el punto de vista vectorial. Se darán algunas interpretaciones geométrieus de las
soluciones de las ecuaciones.

El primer capítulo se emplea muy poco en esta parte y se puede omitir por
completo si tan sólo se conoce la definición de producto escalar entre dos n-
tuplas. La multiplicación de matrices será formulada en términos de tal producto.
Sin embargo, una interpretación geométrica de las soluciones de ecuaciones ho-
mogéneas se basará en el hecho de que el producto escalar entre dos vectores
igual a O si, y sölo si, los vectores son perpendiculares entre sí, de manera que, si
«el lector está intercsado en esta interpretación, deberá consultar la sección donde
se explica este hecho en el Capítulo I.

11, $L. Matrices

Consideremos una nueva clase de objetos, las matrices.

50. 2 Matrices y ecuaciones lineales tan

Sean n y m des enteros > 1. Un arreglo de mimeros

OS an
CR
Ant Aner Um mn

se conoce como matriz. Podemos abreviar la notación para esta matriz ex-
presändola como (045), ¿=1,...,m y À 1. Decimos que es una matriz
de m por n, o bien que es una matriz de mx n. La matriz tiene m xenglones
y » columnas. Por ejemplo, la primera columna. es

an

y el segundo renglón es (a2i,a22).--;42n)- Decimos que ayy esla entrada ij
ola componente ij de la matriz.

Vea de nuevo el Capitulo 1, $1. El ejemplo del espacio de 7
tomado de la economía da lugar a una matriz (ais) de 1x7 (5,5
si definimos aj; como la cantidad que la ¿-ósima industria gesta en la j-ésima
industria, De modo que, manteniendo la notación de ese ejemplo, si azs =
50, esto significa que la industria automotria compró a la industria química 50
millones de délares de materias primas durante un año determinado.

Ejemplo 1. Ta siguiente es una matriz de 2 x 3:

1,12
14-5
Tiene dos renglones y tres columnas.
Los renglones son (1,1,=2) y (-1,4,-5). Las columnas son

4) @) ©

Por tanto, los renglones de una matriz se pueden considerar como n-tuplas y les
columnas como m-tuplas verticale. Una m-tapla vertical también se conoce
como vector columna.

Un vector (z1,....an) es una matriz de Lx n. Un vector columna

es una matriz de n x 1

‘Cuando expresamos una matriz en la forma (uss), à denora el renglón y 3 la
columna. De esta manera, en el ejemplo 1 tenemos

51. fu, su Matrices 43

Un número individual (a) sc puede considerar como una matriz de 1 x 1
Sea (aij), #= 1,...,m y 3 = 1,...,n, una matriz. Sim = n, entonces
decimos que es una matriz cuadrada. Así,

DL 5
1 :)
y 1
E & ( 1 3)
son matrices cuadradas.

Definimos la matriz mula como aquella en la que aig = 0 para todos à
y cuyo aspecto se muestra en seguida:

000 0
000-0
000.0

La representaremos con O. Observeines que hasta ahora nos hemos encontrado
con el número cero, con el vector nulo y con la matrix mula.

Ahora vamos a definir la adición de matrices y In multiplicación de matrices
por números.

Definimos la adición de matrices sólo cuando tienen el mismo tamaño. Así
sean m y n enteros fijos > 1. Sean A= (ws) y B= (by) matrices de mx n.
Definimos la matriz A+ como aquella cuya componente en el renglón À y la
columna j ca ay; +65. En otras palabras, sumamos matrices del mismo tamaño,
componente a componente

Ejemplo 2. Sean
„fi -10 „fs -ı\
(3). 13)

A+B= 5 as 3)

Entonces

443

Si tanto A como B son matrices de 1 x n, esto es, n-tuplas, entonces obser-
‘vamos que nustra adición de matrices coincide con la adición que hemos definido
en el Capítulo I para n-tuplas.

Si O es la matriz mula, entonces para cualquier matriz A (del mismo
tamaño, por supuesto), tenemos que O + À = À + O =

Esto se puede verificar en forma trivial, Ahora definiremos la multiplicación
de una matriz por un número. Sean e un número y A = (ai), una matriz.
Definiremos ca como la matris cuya componente 47 es ca,;. Escribimos

A = (ey).

Así pues, multiplicamos cada componente de A por e.

52. 44 Matrices y ecuaciones lineales m

Ejemplo 3. Sean A y E como en el ejemplo 2. Seu e=2. Entonces

(270) 7 (233)

ec sl qu
ay)
eya=-a= (2 à 4)

En general, pura cualquier matriz A = (ai;) representamos con —A (menos A)
la matriz (—a;;). Como tenemos larelacién a,; us; = 0 para números, también
obtenemos la relación

A+(-4)=0

para matrices. Tambión se conoce la matriz -A como inversa aditiva de A.
Definimos otra noción relacionada con una matriz. Sea A = (ag) una matriz

de mxn. La matriz B = (bjs) de n x m tal que by = ay se conoce como,

transpuesta de A, y se denota también con ‘A. FI Lransponer una matriz

equivale a intercambiar renglones por columnas y viceversa. Si A es la matriz

que aparece al principio de esta sección, entonces "A es la matriz

au Ga an © Smt
CR
Gin Gi am am

Consideremos un caso particular:

Bull ams

Si A= (2,1,-4) es un vector renglón, entonces

2
4=| 1
A
es un vector columna.

Una matriz À que es igual a su transpucsta, esto es, À = "A, se conoce como
simétrica. Dicha matris necesariamente es una matriz cuadrada,

SiA

Observación sobre la notación. He escrito el signo de transposición à la.
isquierda debido a que en muchas situaciones se considera la inversa de una ma
Liz y se escribe ATL, y entonces resulta más sencillo escribir ‘471 que (472)! o
que (A!)7! las que, de hecho, son iguales. No ha habido consenso en la comuni-
dad matemática con respecto a dónde se debe colocar el signo de transposición,
si ala derecha o a la iaquierda,

53. ms) Matrices 45
Ejercicios IL, $1
1. Sean

a à 15
eli) 7 (13)

Encuentre A+B, 38, -28, A+2B, 244 B, AB, A-2B, BA.

ed)

Encuentre A+B, 3B, -28, A422, AB, BA

2. Sean

3. (a) Fecriba los vectores renglón y los vectores colımna de las matrices A y B det
ejercicio 1.

(b) Escriba los vectores renglón y los vectores columna de las matrices A y B del
ejercicio 2.

4. (2) En el ejercicio 1, encuentre 1A y *B.
(6) En el ejercicio 2, encuentre ‘À y 1B.

5. Si À y B son matrices arbitraian de m x m, demuestre que
(440) = a+
6. Si ces un mimero, demuestre que (cA) =e'A.

T. Si A = (ay) es una matriz cuadrada, entonces los elementos ay se denominan
elementos diagonales. ¿Eu qué difieren los elementos diagonales de A y “A?

8. En el ejercicio 2, determine (A+B) y ‘A+B.
9. En el ejercicio 2, determine A+ A y B4'B.

10. (2) Demuestre que, para cualquier matriz cuadrada, la matriz A+#*A es simétrica.

(b) Se dice que una matriz A co antisimétrica si A, Dermestre que, para.

cualquier matriz cuadrada. À, la matriz À — ‘A cs antisimétri

(©) Si una matriz es antisimótrica, ¿qué puede usted decir acerca de sus elementos
diagonales?

11. Sean
O) Be. =)

los vectores unitarios canónicos de R°. Sean £5,...,2m números. ¿Qué es
Bi ++ znEn? Demuestre que, sí

Bite al,
entonces 24 = 0 para todo i.

54. 4 Matrices y ecuaciones lineales (ur, 52)

D, $2. Multiplicación de matrices

Definizemos ahora el producto de matrices. Sea À = (ai)
i 1, una matriz de mxn. Sea B= (by), 3
wna mattis de nx:

DIPS

Definimos el producto AB como la matriz de m x s cuya coordenada ik es

Lem y
my sea k= 1.0.48

Y vista = abra + arabar +--+ Ginbnz

Si Ar,..., Am son los vectores renglón de la matriz A, y si B},...,B* son los
vectores columna de la matriz /3, entonces la coordenada ik del producto AB
es iguala Ar- BR. Act,

AB! | Aye Bt
NE )
AmB! Amo BY
La multiplicación de matrices es, por consiguiente, una generalización del pro-
ducto interior,

Ejemplo. Ses

Y
iy 5
2

ta Blan nat 841,2 Ing nme que
“4
(215 (1516
a (145) E 3) = oh

Ejemplo. Sea

wae
e à)
Sean À y B somoen el ejemplo i: Batonces

lie
ana-(t 19):

Calcule (AB)C. ¿Qué encontró?

55. [0,59 Multiplicación de matrices. dr

Si X = (21,....2m) es un vector renglón, es decir, una matriz de 1x m,
entonces podemos formar el producto XA el cual tiene el siguiente aspecto:

au a
(au um : ) +: ct),

CRE
donde

t= 21010 2 Tama
En este caso, XA es una matriz de Lx n, es deci, un vector renglón.
Por otra parte, si X es un vector columna,

=
= ( . )

ahh, AY, Andi vun co ve on age org

Pr

w= Says anal cnt
E
La multiplicación AX = Y tiene el siguiente aspecto:

an am fa u
lA - 2) () in
Ejemplo. Ecuaciones lineales. Las matrices brindan una manera cómoda

de escribir ecuaciones lineales. El lector seguramente ya ha trabajado con siste-
mas de ecuaciones lineales. Por ejemplo, uns ecuación como:

32-243 =1,
con tres incógnitas z, y, z. O bien un sistema de dos ecuaciones con tres
incógnitas

Jas 2y + 3

o 2 +1y-42=-5.
Bn este ejemplo formamos ls matriz de los coeficientes
MARE
er)
Sea B el vector columna de los números que aparecen en el miembro derecho
del sistema, es decir

56. 48 Matrices y ecuaciones lincales ws
Sea el vector de las incógnitas el siguiente vector columna:

=

¡tonces se percibe que el isleitıa de dos ecuaciones simultáneas se puedo escribir
la siguiente forma:

AX=B.

Ejemplo. La primera ecuación de (+) representa la igualdad de las primeras
componentes de AX y de B, mientras que la segunda ecuación de (+) representa
la igualdad de las segundas componentes de AX y de B.

En general, sen A = (ais) una matriz de mx n y sea B un vector columna
de tamaño m. Sea

un vector columns de tamaño n. Entonces el sisteia de ecuaciones lineales

AX=B,

debido a la definición de multiplicación de matrices. Más adelante vere-
mos cómo resolver tales sistemas. Decimos que hay m ecuaciones y m
incógnitas o n variables.

Ejemplo. Matrices de Markov. A menudo se puede emplear una matriz
para representar uuu situación príctica. Consideremos tres ciudades, digamos
Los Ángeles, Chicago y Boston, que denctamos con LA, Ch y Bo. Supongamos
que, en cualquier año dado, algunas personas salen de una de estas ciudades para
ir a alguna de las otras. El porcentaje de las personas que salen y llegan est
dado de la manera siguiente, por años

À LA va à Bo

FLA aa Ch
iChveala y ¿ChwmaBo

FBomalá y FRomuch.

Sean zn, th Y zu las poblaciones de LA, Ch y Bo, respectivamente, en el año n.
Entonces podemos expresar Is población en el año n+ 1 de la siguiente manera

57. (1, $2) 49

En el año n +1, À de la población de LA sale para Boston y 4 sale para
Chicago. La fracción total que sale de LA durante el año es, por consiguiente,

m8

En consecuencia, la fracción total que permanece en LA es

Por tanto, la población de LA en el año n+ 1 es

east = Maat bint im.

En forma análoga, la fracción que sale de Chicago cada año es

de manera que la fracción que permancee en ese lugar es. Por último, la
rección que sale de Boston cada año es

DER T

de manera que la fracción que permanece en Boston es 1. Así

im = Bent Zon den
fast = hen + dy + Ein

He
is
a

Sea A la matriz

%

1
3

A

Baar or

Entonces podemos describir en forma más simple el cambio de población me-
diante la expresión

et oo (=)

El cambio de X, a Xn+ı se conoce como proceso de Markov. Éste se debe a.
la propiedad especial de la matriz A, cuyas componentes son todas > 0 y tales
que la suma de todos los elementos de cada columna es igual a 1. Una matriz
asf recibe el nombre de matriz de Markov.

Si A es una matriz cuadrada, entonces podemos formar el producto AA, que
scrá una matrix cuadrada del mismo tamaño que A. Se denota con A?. En
forma análoga, podemos formar A®, A* y, en gencral, A” para cualquier entero
positivo n. Por tanto, A” es el producto de A conmigo misma n veces,

Podemos definir la matriz unitaria de n x n como la matriz que tiene todas
las componentes diagonales iguales a 1 y todas las demás componentes iguales a

58. 50 Matrices y ceuaciones lineales (1,52)

0. Así, la matriz unitaria de n x n, denotada con Iq, tiene el siguiente aspecto:

100.0
010.0
FAS EN
00010
000 1

Entonces podemos definir AO = 7 (la matriz unitaria del mismo tamaño que A).
Observe que, para cualesquiera dos enteros r y s 2 0, teueınos la relación usual
APA = AMAT = Amt,
Por ejemplo, en of proceso de Markov descrito anteriors
el vector de población en el año n + 1 de la siguiente mane:

e, podernos expresar

donde X es el vector de población en el primer año.

Advertencia. No siempre es ciorto que AB = BA. Por ejemplo, calcule
AD y BA enel siguiente caso:

(3 2 (2-1
a=(53) 05)
Eucontrarä dos valores diferentes, Esto se expresa diciendo que la multiplicación
‘de matrices no necesariamente es conmutativa. Desde Inego, en algunos casos es-
peeiales, sí tenemos que AB = BA. Por ejemplo, las potencias de À conmutan,
es decir, tonemos que 4" A = ATAT, tal como se indicó antes.
Probemos ahora otras propiedades básicas de la multiplicación.

Ley distributiva. Sean A, D y C matrices. Supongamos que À y B se
pueden multiplicar entre sí, que A y C se pueden multiplicar entre sí y que B
y C se pueden sumar. Entonces A y B-+C se pueden multiplicar entre sí, y
tenemos que
A(B+0)=AB+AC.
Si x es un uümero, entonces.
A@B) = 2( AB).

Demostración. Sea A; el i-ésimo zenglön de A y sean B* y C* las k-ésimas
columnas de 8 y C, respectivamente. ... Entonces R-ésima columna de B + C
es B*-+C*. Por definición, la componente ik de A(B + C) es A {BF +C*).
Como

Ay (BE + Ch) = AB Are Ch,
ere nuestra primera afirmación. Con respecto a la segunda, observe que la
¡ma columna de zB es zB*. Como

Ac 2Bt = 2(Ai 8%),
se infiere nuestra segunda afirmacis

ión,

59. u, §2) Multiplicación de matrices Bt

iva. Sean A, B y C matrices tales que A y B se pueden

multiplicar entre sf y que By C so pueden multiplicar entre si. Entonces A y

BC se pueden muitiplicar entre sí. Lo misino sucede con AB y O y tenemos
(AB)C = A(BC)

Demostración. Sea À = (aij) una matriz de mxn; sca B = (62) una matriz
de n xr y sea C = (cu) una motriz de rx s.. El produclo AR es una matriz
de mx r, cuya componente ik es igual a la suma.

Sab + asadas +++ Aine
Abreviaremos este suma mediante el empleo de nuestra notación Y) escribiendo

sudo

Por definición, la componente i de (AB)C ex igual a

La suma que aparcee a la derecha de la igualdad tambien se puede describir
como la suma de todos los términos

Neta?
donde j y E varían sobre todos los enteros 1< j <n y I Sk <r, tompectiva:
mento.

Si hubiéramos comenzado con la componente ¿1 de BC y luego hubiéramos
calculado la componente if de A(BC), habríamos encontrado exactamente la
misma suma, probando de esa manera la propiedad desenda.

Las propiedades anteriores son muy similares a las de la multiplicación de
números, excepto que no se cumple la ley conmutativa.
‘También podemos relucionas la mulliplicaeiön con la transpuesta:
Scan A y B matrices de un tamaño tal que AB está definida. Entonces
HAB) = Ra.
En otras palabras, la transpuesta del producto es igual al producto de las
transpuestas en orden inverso.

Demostración, Sea A = (aij) y B= (bjx). Entonces AB = C = (eu),
donde
rat + tina

buat ++ bakfin
Sean ‘A = (a), 18 = (3) y 'C=(c4:). Entonces

aa, byte, EC"
En consecuencia, poderuos escribir la relación anterior como sigue:
= baie t+ Bin tats
, tal como so descaba,

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lo que muestra que ‘C

60. Pr Matrices y ecuaciones lineales au, $

Ejemplo. En Ingar de escribir el sistema de ecunciones lineales AX = D en
términos de vectores columna, podemos escribirlo considerando las transpucstas,
Jo que da por resultado

tA.
Si X y B son vectores columna, entonces X ÿ *P son vectores renglón. A veces
conviene reescribir ol sistema de esta manera.

A diferencia de la división entre múmeros no nulos, no podemos dividir
entre una matriz, como tampoco podemos dividir entre un vector (n-tupla)
En ciertas circunstancias, podemos definir una inversa de la siguiente manera.
Esto lo hacemos sólo para matrices cuadradas. Sen À una matria de nxn. Una
inversa de A cs una matriz J tal que

AB=BA=1

Puesto que multiplicamos A por B en ambos lados, la única manera de que esto
tenga sentido es que A también sea una matriz de n xm. Algunas matrices 20
tienen inversas. Sin embargo, si existe una inversa, entonces existe sólo
una (decimos que la inversa cs única, o que está determinada en forma
única por A). Esto cs fácil de probar. Supongamos que 3 y C son inversas
de A, de manera que

AB=BA=1 y AC

Multipliquemos la ecuación Bé

L ala derecha por ©. Entonces
BAG =IC=C

y hemos supuesto que AC = I, de manera que BAC = BI = A. Fsto prueba

que B=C. A la luz de lo anterior, denotamos la inversa con

a

Entonces A7! es la única motriz que

43

Más adclante probaremos que, si A y B son matrices cuadradas del mismo
tamaño tal que AB= I, entonces se infiere que también

BA=1.

En obras palabras, si B cs une inversa por la derccha de A, entonces también
ces una inversa por la izquierda. De momento, el lector puede suponer esto. Así,
cuando verifique que una matriz es la inversa de otra, sólo necesita hacerlo por
un lado,

‘También encontraremos más adelante una manera de calculaz la inversa,
cuando exista, lo que puede scr un asunto tedioso,

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61. m Multiplicación de matrices se

Sea ¢ un número. Entonces la matriz

0
que tiene componente e en cada entrada diagonal y 0 en Ins demás entradas, se
conoce como matriz escalar. También la podemos escribir como ef, donde 7
es la matriz unitaria de n x n. Véase el ejercicio 6.

Como una aplicación de la fórmula para Ja transpuesta de un producto, ve-
remos ahora que:

La transpuceta de una inversa es la inversa de la transpucsta, esto es
A) = (Ay
Demostración. Consideremos la transpuesta de la relación AA
Lonces, por la regla para la Lraaspuesta de un producto, obtenemos
ayaa
porque 1 es igual a su propia transpuesta. Del mismo modo, al aplicar la trans!
puesta a la relation 424 = F se obticne
tat(471)= 1 =1
Por tanto, *(4"*) cs una inversa de A, como se quería mostrar:

=1. En

En vista de este resultado, se acostumbra omitir los paréntesis y se escriba
yal
la transpuesta, la que, según hemos visto, es igual

para represente la inveren
a la transpueste de la inversa,

Finalizames esta sección con un ejemplo importante de multiplicación de
matrices.

Ejemplo. Rotaciones. Un tipo especial de matrices de 2 x 2 representa
rotaciones. Para cada número 0, sea J£(0) la matriz

n= (ns =a)

wend c00
Sea X = (G) EPRETRe el che uiftario. Podemos escribir sua
coordenadas 2, y en la forma
Fey, y=senp
para algún número p. Entonces obtenemos, mediante la multiplicación de ma-
trices,

o) (ne ms) (Es)

= (62)

62. 54 Matrices y ecuaciones lineales m]

Esto se infiere de las fórmulas de adición para el seno y el coseno, a saber,
cos(0 + y) = 006 cos — sen sen ip,
sen(0 + ¢) = sen 0 cos y + cosfsen y.
Un punto arbitrario de R? se puede escribir en la forma
En (3 se) y
rung
donde r es un número > 0. Como
RUD) =rH(0)X,

vemos que la multiplicación por R(@) también tiene el efecto de hacer girar a

FX en um ángulo 8. Asi, la rotación en un ángulo 9 se puede representar por la
matriz 10)
RE = este + Len +)

Figura 1

Observe que, por razones tipográficas, hemos escrito el vector “X en forma.
horizontal, aunque hemos puesto una pequeña £ en el superindice superior iz-
quierdo, para denotar la transpuesta, de manera que X es un vector columna.

Ejemplo. La matriz que corresponde a la rotaciôn en un ángulo de 5/3 está
dada por

none (au as)
- (in 6)

63. 11,52 55

Ejemplo S. ea X = ‘(2,5). Giremos a X en un ángulo de 1/8, y encontremos
las coordenadas del vector girado.
Pstas coordenadas son:

O

= (ae)

Advertencia. Observe cómo multiplicamos por la izquierda al vector co-

lumna por la matriz R(9). Si el lector quiere trabajar con vectores renglón,
entonces considere la transpuesta y verifique directamente que

aa MUS) =u- vn var sm,

En este caso se ha transpuesto la matriz R(P) El signo menos ahora aparece en
la esquina inferior izquierda.

Ejercicios II, 12

Los siguientes ejerci

ys ayudan principalmente a mevanivar la multiplicación de matri-
tra algunos aspectos más teóricos de esta multiplicación.

Por consiguiente, deberán resolverse todos. En forma más específica, tenemos que:

Del ejercicio 7 al 12 se ejemplifica la multiplicación por los vectores unitarios

Del ejercicio 14 al 19 se ejemplifica la multiplicación de matrices triangulares.

Del ejercicio 24 al 27 se ejemplifica la transformación de la adición de números en
multiplicación de matrices

Del ejercicio 27 al 32 se ejempliican las rotaciones

Del ejercicio 33 al $7 se ejemplifican las matrices elementales y deberán resolverse
antes de astudiar la sección $5,

1. Sea I la matrio unitaria de nxn, Sea A una matriz de n X 7. ¿A qué es igual
TAT Si A es una matriz de m xn, ¿a qué es igual AI”

2, Sea O la matriz cuyas coordenadas son todas iguales a 0. Sea A una matriz de un
tamaño tal que esté definido el producto AQ. ¿A qué es igual AO?

3. En cada tmo de los siguientes casos, encuentre (AMC !y A(BC),
A ehe
au (89 03) mE > ex (3)

© aa (3

D
>
w
1
<>
1
a
1
En

64. 56 Matrices y ecuaciones lineales DI, 92)

4. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño y suponga que AB = BA.
Demuestre que

(AHBP=R42n4 8, y (AF BYA-B)= AE,
sand la ey ditributiva,
5. Sean

PSA
rs
0-6‘)

Sean A y U como en el ejercicio 5. Encuentre CA, AC, GB y BC. Establezca
la regla general incluyendo este ejercicio como caso especial

7. Sean X = (1,0,0) y
315
a=f201).
1 af
Qué es XA?

8. Sea X =(0,1,0) y sea A una matriz arbitraria de 3x3. ¿Do qué manera se podría.
describir XA? ¿Y si X = (0,0,1)? Generalice obteniendo envnciados similares
referidos a matrices de n x m y a mus productos con vectores unitarios.

9. Sea

Encuentre AX para cada uno de los si

1 0 : o
wm x=(s) ® x-(') CFE (*)
1 H

10, Sea
sree
134
2 As.

Encuentre AX para cada uno de los valores de X dados en el ejercicio 9.

il Sean
pe an + a
: :
6 nn ( < )
¿Quées AX?
12 Son X un vector clu con oa ses componentes iguales 0 excepto I com

ponente 3, que es igual a 1. Sea A nna matriz arbitraria, cuyo tamaño es tal que
podemos formar el producto AX. ¿A qué es igual. AX?

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65. m 57

15, Sean X el vector columna y A la matriz indicados en cada caso. Encuentre AX
como vector columna.

at) 461 1] el) 63)
a (2), a(t ° > wm (2). am ft o )

sue A= (9 5). Encontre al producto 45 pan cada ma de Ir

os (3) wel‘)

15. De muevo, ss A= (2 À). Pneu predio SA pasa cada un delas

siguientes matrices 5. Describa con palabras el electo de esto producto sabre A.

ws) ws-( 4)

ie. () Sea Aa wate
a
( ° D]
000

Encuentec A? y AT. Gencralice a matrices de 4 x 4.

(6) Sea A la matrio
111

(: i D
vo

Calcule 47, 4° y At
17. Sea

Encuentre 4°, A y At

18, Sea À una matriz diagonal, cuyos elementos diagonales son a
iguales A?, 4° y 4% para cualquier entero positivo A?

016
a={o ua).
000

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19. Sen

Encuentre 4%.

66. 58 Matrices y ccuaciones lineales qu, sa]

a 0
o 1
(b) Determine todas las matrices A de 2 x 2 tales que A? = 0.
21. Sea A una matriz cuadrada.
(2) Si A? =O, demuestre que 1- A es invertible.
(b) Si A = 0, demuestro que 1 — A es invertible.
(e) En general, si A” =O para algún entero positivo n, demuestre que I~ A es
invertible, (Sugerencia: Considere la serie geométrica.
(a) Suponga que A + 24+ = O. Demuestre que A en invertible.
(e) Suponga que 4° A+I=0. Demuestre que A es invertible

20. (a) Encuentre nna matriz À de 2x2 tal que A?

22, Scan A y B dos matrices cundradus del mismo tamaño. Decimos que A cs seme-
Jonte a B si existe una mato invertible T tal que B = TAT, Suponga que
ésto cs el caso. Pruebe que:

(a) B es semejante a A.

(6) A es invertible à, y sólo si, B es inve

(6) A en semejante a "2

(2) Suponga que A" = O y que B es una matris invertible del mismo tamaño que
A. Demuestre que (BAU? = 0.

28. Sea A una matriz cuadrado de la forma

0 on + *
o 0 m

Ta notación significa que todos los elementos que se encuentran por debajo de la
Aiagonal son iguales à 0 y que los elementos que se encuentran arriba de la diagonal
son arbitrarios. Se puede expresar esta propiedad diciendo que

i>).
Una matriz así se conoce como superiomente triangular. Si A y H son matrices
superiormente triangulares (del mismo tamaño), ¿qué puede decirse de los elementos.
iagonales de AB?
En los ejercicios 24 a 27 sedan ejemplos en los que la adición de mimeros se
‘transforma en multiplicacin de matrices.

24. Sean a y b mimeros, y sean

enfria).
¿A qué es igual AB? ¿A qué son iguales A? y AT ¿Qué es A”, donde m es un

entero positivo?

25. Demuestre que la matris A del ejercicio 24

iene una inversa. ¿Cuál e esta invers

26. Demuestre que, si À y B son matrices de m x n que tienen inversas, entonces AB
tiene uni

67. 01,52] Mallplicación de matsices 5

27. Rotaciones. Sea R(9) la matriz
ood seno
ner (2):
(a) Demuestre que, para cualesquiera dos mümeros 8: y a, tenemos que
R(B)R(:) = Rs + 02).
[El lector tendrá que usar las fórmulas de adición para el seno y el coseno,)

(b) Demuestre que la matrio R(9) tiene una inversa y describala.
(©) Sea À = RD). Demnentre que

5 (02008 uni
e (aaa)

(8) Determine A” pare cualgui

28. Encuentre la matriz A = R(0) asociada con la rotación para cada uno de los
siguientes valores de 0
Dal Ot Ox rl 3
Od Rn

20. En general, sa 6 > 0. ¿Cuál es la matriz asociada con la rotación en un ángulo
=# (es decir, una rotación en un ángulo 8 en sentido dextrógio)?

30, Sea X = (1,2) un punto del plano. Si usted gira à X en un ángulo de 7/4, ¿cuáles
ton las coordenadas del nuevo punto?

entero positivo m. Use inducción.

81. La misına pregunta que en el ejercicio anterior, pero ahora cuando X = "(=1,3) y
2e gira en un ángulo de 7/2

32, Para cualquier vector X de R?, sea Y = R(O)X su rotación en un ángulo 0.
Demuestre que |Y] = I

Los siguientes ejercicios sobre matrices elementales deberán realizarse antes de es-
tndiar la sección 55.

33. Matrices clementales. Sea

231 1
14 202
Alas =
ee‘
Sea U la matriz que se muestra en cada inciso. Bn cada caso encuentro UA.
0100 0000
0.000 1000
Oloooo] 40000
9 0 0 © 90 0 0,
0000 0.0.0.0
00.00 0.010
@ [0100] Úloooo
o 0 0 0 5000
oo 0 0 0000
9000 fonc
Oloooo] ®loooı
1010 0000

68. 60 Matrices y eenaciones lineales (0, 82]

Encuentre. FA, donde A es la
‘misma matriz que se mencionó en el ejercicio anterior,

0100
000
Mose} o
0001
1000
0100
olla
0503

35. Sea E la matıia mostrada en cada inciso. Encuentre BA, donde A es la misma
matriz que se mencionó en el ejercicio anterior y en el ejercicio 33.

HA) (ii
DR
A ttt
Didi
Je bit

o
@ a
o

o
1
mn
o

36. Sex A= (ni) una matriz de m xn,

(2.2)

Sean 1 € r € m y 1€ 4 € m. Sea Ira la matriz enya componente ra es igual a 1

y tal que todas las otras componentes son iguales a 0.

(a) ¿A qué es igual 7,47

(b) Suponga que r # 3. ¿A qué es igual (Ip. + Jar)?

(e) Suponga que r fs. Sea Jj; la matriz cuya componete j) e igual a 1 y tal que
las otras componentes son iguales a 0. Sea

Er = loa Hor + suma de todas las [yy para der de

31. De nuevo, wars.
(a) Sea E= 14 Urs. ¿A quées igual BA?
(b) Sea € cualquier número, Sea E= 14 cles. LA qué es

El resto del capítulo estará relacionado principalmente con ecuaciones lineales y,
en especial, con las homogéneas. Encontraremos tres maneras de interpretar tales
cuaciones, lo que brindará tres maneras diferentes de considerar las matrices y los
vectores.

69. im, 59) Ecuaciones lineales homogéneas y eliminación a

11, 43. Ecuaciones lineales homogéneas y eliminación

En esta sección tonsideraremos las ecuaciones lineales mediante un método de
eliminación. En la siguiente, analizaremos otro método.
Nos interesará el caso en que el número de incégaites cs mayor que el número
de ecuaciones y veremos que, en ese caso, siempre existe una solución no trivial
‘Antes de (ratar cl caso general, estudiaremos ejemplos.

Ejemplo 1. Suponga que Leacinos una sola ecuación, como la siguiente:
de+y-42=0,
Deseamos encontrar una solución tal que z, y y 2 no sean simultáneamente
iguales a cero. Una ecuación equivalente es
Qe sy $e.
Para encontrar una solución'no trivial, damos a todas las variables, excepto la
primera, un valor especial # 0, digamos y= 1 y 2 = 1. Entonces despejamos
2. Encontramos que

2 -y+ér

por lo que # = à

Ejemplo 2. Consideremos una pareja de ecuaciones, digumos
® Qe + By —2=0,
a e+ yrz=0

Mediante la eliminación de una variable, reducimos el problema de resclver estas
ecuaciones simultáneas al caso anterior de una ecuación. Así, multiplicamos
la segunda ccuación por 2 y la restamos de la primera ecuación, con lo que
obtenemos

@ ys =0.

Ahora nos encontramos con una ecuación con más de ıma variable, Damos a +
cualquier valor # 0, digamos z= 1, y despejamos y, a saber, y = 8. Luego
despejamon 2 a partir de Insegunda couación, a saber, 2 = —y= > y obtenemos
x=-4. Los valores que hemo obtenido para 2, y Y + también son soluciones
de la primera ecuación, debido a que la primera ecunción es (en un sentido obvio)
la suma de la ecuación (2) multiplienda por 2 y la ecuación (8)

Ejemplo 8. Descamos encontrar una solución para el sistema de ecuaciones

Jody +=

etyorow
22 2y 482

70. mn Matrices y ecuaciones lineales qu, 53)

nuevo empleamos el método de eliminación. Multiplicamos la segunda ecna-
in por 2 y la restamos de la tercera. Encontramos que

Ay be +

Multiplicamos la segunda ecuación por 3 y La restamos de la primera.
mos que

Sy + 42 + Sw
Ahora hemos eliminado x de nuestras ecuaciones y encontramos dos ecuaciones

con tres incógnitas, y, 2 y w. Eliminamos y de estas dos ecuaciones de la
manera siguiente: multiplicamos la superior por 5, multiplicamos la inferior por
4 y les restamos. Obtenemos
92 — 1Ow = 0.
Ahora demos u w un valor arbitrario #0, digamos w = 1. Entonces podemos.
despejar z, a saber,
+= 10/9.
Regresando a las ecuaciones inmediatamente anteriores, despejemos y usando
dy = 24 2w.
Fsto da como resultado
y= 68/9.

Por último, despejemos 2 empleando, por ejemplo, la segunda ccuacién del con-
junto original de tres, de manera que

2=-vistu,
+, en forina numérica,
2= 49/9.
De modo que hemos encontrado:
wel, :=10/9 y=08/9 >=-49/9
Observemos que teníamos tres ecuaciones con cuatro incógnitas. Mediante una

eliminación sucesiva de variables, redujimos estas ccuaciones a dos ecuaciones
con tres incógnitas y luego a una ecuación con dos incógnitas.

Usando precisamente el mismo método, suponga que comenzamos con tres
ecuaciones con cinco incógnitas. Al eliminar una variable se obtendrán dos ecua-
ciones con cuatro incógnitas. La eliminación de otra variable dará por resultado
una ecuación con tres incógnitas. Entonces podemos resolver esta ecuación y vol}
ver hacia atrás para obtener valores para las variables provias, tal como hemos
mostrado en los ejemplos.

En general, suponga que comenzamos con m ecuaciones con n incógnitas y
1 > m. Bliminamos una de las variables, digamos 21, y obtenemos un sistema
de m= 1 ecuaciones con n — 1 incógnitas. Eliminamos una segunda variable,

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71. (0, $3) Beunciones incales homogéueas y li a 63

digamos 23, y obtenemos un sistema de m—2 ceuaciones con n —2 incógnitas.
Mediante In repetición de este proceso eliminamos m—1 variables, y terminamos
con 1 ecuación con n= m + 1 incóguilas.. Entonces damos valores arbitrarios
no triviales a todas las variables restantes excepto una, despejamos esta última
variable y luego procedemos hacia atrás a fin de despejar en forma sucesiva cada
una de las variables eliminadas, como hicimos en nnestros ejemplos. De este
modo hemos obtenido una mancra eficaz para encontrar una solución no trivial
del sistema original,

Podemos decir todo eslo de manera precisa cn términos de inducción.

Sea A= (03), = Dem y j= L,...n, una matriz. Sean d;,...;óm
números. Beuaciones como

ayas ++ ata =O,

15) E

Amir +24 nn = dm

e conocen como ecuaciones lineales. También decimos que (+) es un sistema de
ecuaciones lineales, Se dice que el sistema es homogéneo si todos los mimeros
br. dm son iguales a 0. El número 2 se conoce como el número de incógnitas
y m es el nfimero de ecnaciones.

El sistema de ecuaciones
ane, +++ anda =0

(e)
mith 4:04 Omata =0

se llamará sistema homogéneo asociado con (+). En esta sección estudiare-

‘mos el sistema homogéneo (+8)...

El sistema (++) siempre tiene una solución, a saber, la solución obtenida al
hacer todo 2, = 0. Esta solución se denominará solución trivial. Una solución
(is. fn) tal que algún 2; es #0 se conoce como mo trivial

Consideremos nuestro sistema de ernaciones homogéneas (++). Scan Ais...
Am los vectores renglón de la matriz (aig). Entonces podemos escribir nuestras
ecuaciones (vs) cn la siguiente forma:
AX

ow :
Am X= 0,

Por consiguiente, una solución del sistema de ecuaciones lineales se puede inter-
pretar como el conjunto de todas las n-tuplas X quelson perpendiculares a los
vectores renglón de la matriz A. Geomútricamente, encontrar una solución de
(++) equivale a encontrar un vector que es perpendicular a A1,...,4%. Al usar
la notación del producto interior se hará más fácil formular la demostración de
estro teorema principal, a saber

Teorema 3.1. Sea

auzı 4 + aint, =0
(rr)

i214 + Gan =0

72. 5 Maris y ecuaciones lincalos qu 53]

un sistema de m ecuaciones lincales con no incógnitas y supongamos que
n> m. Entonces el sistema tiene una solución no trivial

Demostración. La demostración se llevará a cabo por inducción.

Primero consideremos el caso de una ecuación con n incógnitas, n > 1;

a + + ana = 0.

Si todos los coeficientes a1, ...@q son iguales a 0. entonces cualquier valor de
las variables será una solución y, ciertamente, existe una solución no trivial, Su
pongamos que algún eoeficiente a; es 0. Después de recmumerar las variables
y los coeficientes, podemos suponer que este coeficiente es a; . Entonces damos
A 22,....2n valores arbitrarios, por ejemplo, 22 = ++: = zu = 1, y despjamos
21; obteniendo

aa lett on)

A E A do ea
cones

pa A ave + PA PP
ccuaciones con más de ml incógnitas. Probaremas que es cierto para mm
ecuaciones con n incógnitas cuando n > m. Consideremos el sistema (++),
todos les coeficientes (a,j) son iguales a D, podemos dar a muestras variables
eunlquigfhloe no nulo con el beto de obtener ane solución. Sthlgin Cecieada
no eefetal a 0, entoncs, luego de reenumerar lus ecuncioncs Y la variables,
Podemos euponer-que es an. Para eliminar 2y restamos un múltiplo de la
acceso las otras echnclonen, A aa ccnabderamos el satel

(4.242) x=0

(# = a) -X=0

que también se puede escribir en la forma

Ar X AX

(+)

Am X = thay X= 0,

En este sistema, los coeficientes de zı son iguales a 0. Por tanto, podemos

considerar (+ +») como un sistema de m = 1 ecuaciones con n ~ 1 incógnitas, y
tenemos que n= 1 > m1.

Conforme a nuestra suposición, podemos hallar una solución no trivial {2

an) para este sistema. Entonces podemos despejar zı en la primera ecuación,

73. ms] Ecuaciones lincales homogencas y elininaciön os

De esta manera, hallamos una solución de A, + X = 0 pero, de acuerdo con
(+), tenemos

AX = ELA xX
au
,...,m. Por tanto, Aj-X = 0 para ¿=2,...,m y, por consigui
encontrado una solución no trivial de nuestro sistema original (++).
El argumento que acabamos de dar nos permite proceder por pasos de una

ecuación a dos ecuaciones, luego de dos a tres, y así sucesivamente, Esto concluye
la prueba.

Ejercicios TI, $3

1. Scan
Bl.

(04150,

los vectores nnitarios canénicos de R°. Sea X una w-tupla, Si X Ei = 0 para
todo à, demuestre que X = 0.
2, Sean A5, Am vectores de R”. Sean X y Y soluciones del sistema de ecuaciones.

x:A=0 y Y-Ai=0 pan

Demuestre que X +Y también es una solución. Si € es un número, demuestre que
eX es una solución.

3, En el ejercicio 2, suponga que X es perpendicular a cada uno de los vectores
Are Ama Sean 63,104 né

os. Se dice que un vector
aAı test eee

es una combinación lineal de Ay,

Am. Demuestre que X es perpendicular a
dicho vector.

4. Considere el sistema no homogéneo (+) que consiste en todos los X tales que
XA, =bi para ¿=1,...,m. Si X y X” son dos soluciones de este sistema,
demuestre que existe una solución Y del sistema homogénco (++) tal que X’ =
X+Y. Recíprocamente, si X es cualquier solución de (+) y Y es una solución de
ee), demuestre que X + Y es/una solución de (+)

Halle al menos una solución no trivial para cada tno de los siguientes sistemas de
ecuaciones. Como hay muchas posibilidades, no damos respuestas.

(a) de+y4==0 (0) 2e+y+
Etyten0
@) ttytitw=0
24-3 twa 0
r4y+:=0
(0) 24294400 (D 2243942 +4w0=0

mAh u

2444243
Betyte—2w
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74. 66 Matrices y ecuaciones lineales (1,94

6, Demuestre que las únicas soluciones de los siguientes sistemas de ecnaciones son las
triviales.

(a) 2e+3y=0
my

(©) 372 4y- 2520
sty+:s0

139452
Le) Te ty 45e4u
pe: or)

IL, $4. Operaciones por renglones y eliminación de Gauss

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales
ay + c+

ay ru
te- ytd |=4
La matriz de coeficientes es

1-2
ı 1-14
E cl

Liamaremos matriz aumentada u lu que obtenemos al insertar la columna.

E)

como última columna, por lo que la matriz aumentada es

e ie
1 11-12).
2-30 4

En general, sea AX = B un sistema de m ecnaciones lineales con n incég-
nitas, que se escribe en detalle como sigue:
apa +++ anzu = bry

OS

Gna 2a 0-04 tinta = bp,
Entonces definimos la matriz aumentada como la matriz de m por n+ 1

an an Mn by
an am am da
mi dm amo bn

75. 10, $4) Operaciones por renglones y oliminación de Gauss 67

En los ejemplos de ecuaciones lineales homogéneas de la sección anterior,
observado que efectuamos las siguientes operaciones, conocidas como ope-
raciones elementales por renglones:

Multiplicar una ecuación por un nümero no nulo.
Sumar una ecuación a otra.
Intercambiar dos ecuaciones.

Estas operaciones se reflejan en operaciones sobre la matriz de coeficientes au-
mentada, que también se conocen como operaciones elementales por ren-
glones:

Multiplicar un renglón por un mimero no mo.

Sumar un renglón a otro.

Intercambiar dos renglones.

Supongamos que se cambia un sistema de ecuaciones lineales mediante una
operación elemental por renglones. Entonces las soluciones del nuevo sistema.
son exactamente las mismas que las soluciones del sistema original. Al hacer
operaciones por renglones se espera simplificar la forma del sistema, de manera
que sea más fácil encontrar las soluciones.

Decimos que dos matrices son equivalentes por renglones sí una de ellas
se puede obtener de la otra mediante una sucesión de operaciones elementales.
por renglones. Si A es la matriz de coeficientes de un sistema de eewaciones
lineales y B es cl vector columna, como antes, de manera que

A)

es la matriz aumentada, y si (41,4) es equivalente por renglones a (A,B),
entonces las soluciones del sistema.

AX=R
son las mismas que las soluciones del sistema
AIX = Bl

Con el objeto de obtener un sistema equivalente (4, B') tan sencillo como sea
posible, usamos un método que primero ilustraremos cn un caso concreto,

Ejemplo. Considere la matriz aumentada del ejemplo anterior. Tenemos las
siguientes equivalencias por renglones:

cr mer
1 1-1 1 -2
queria Loi

Reste 3 veces el segundo renglón del primero.

0-5 4 5 7
1 1-11 -2
2-1 3 0 4

76. 68 Matrices y ecnaciones lineales (1,51

Reste 2 veces el segundo renglón del tercero.

0-5 45 7
1 1-1 1-2
0-3 5 2 8

Intercambie el primer renglón con el segundo; multiplique el segundo por -1

1 1 1 -1-2
0 5 -41-5 -7
oe 5 à 8.

Multiplique el sengundo renglón por 3; multiplique el tercer renglón por 5.

1 ı a -1 2
0 -12 15 -21
0-53 2 10 40

Sumo el segundo renglón al tercero,

1 1 1 -Ù 4
0 15 -12 -15 -2l
0 0 13 -5 41%

Lo que hemos logrado es que cada renglón sucesivo lenga su primera componente.
no nula en al menos un lugar posterior con respecto al renglón anterior. Esto
hace que sea muy sencillo resolver las ecuaciones. El nuevo sistema, cuya matriz
aumentada es la última que obtuvimos, se puede escribir en la forma:

nty- 2- w=-2,
159 = 127 — 15w=-21,
13: — bw = 19.

Éste se encuentra ahora en una forma tal que podemos resciveño dando a w
un valor arbitraio en la tercera ecuación y derpejar 2 a- pair de la tercera
esuación. Luego despejamos y « partir de la segunda ccuación y 2 a partir de
la primera, Con las fórmulas, esto de:

194 bw

mutes.

Pare comenzar, podemos dar a w cualquier valor y después determinar los
valores de 2, y y 2. Por tanto, vemos que las solic den de un
parámetro libre. Mäs adelante expresaremos esta propiedad dic

unto de soluciones tiene dimensión 1.

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77. 1, $4] Operaciones por renglones y eliminación de Gansa 69

Por el momento, damos un nombre general al procedimiento anterior. Sea
M una matriz. Decimos que M está en forma oscalonada por renglones si
tiene ln siguiente propiedad:

Siempre que dos renglones succsivos no contengan sólo ceros, entonces el se-
gundo renglón comienza con una componcate no mula al menos en un Jugar
posterior con respecto al primer renglón. Todos los renglones que sólo con-
tengan ceros se encuentran en la parte inferior de la matriz.

En el ejemplo anterior transformamos una matriz en otra qu
forma escalonada por renglones. Los primeros coeficientes no nulos que aparecen
a la izquierda en cada renglón se conocen como cocticientes principales. En
ipules son 1, 15, 13. Se puede efec-
lón entre el coeficiente principal
Entonces la matriz anterior es equivalente por renglones a

vr >

o1¢ 1

00 1 5 #

En esta última matrs, el coeficiente principal de cada renglón es igual u 1. Se
podria hacer más operaciones por renglón para hacer aparecer más coros; por
jermplo, estar el segundo renglon del primero y luego restar 2 por el tercer
renglón del segundo. Esto produce:

10-4
01.07
00 1

me
A menos que en la matriz resultante las fracciones no se vean tan horribles,
por lo regular resulta engorroso hacer esta equivalencia adicional por renglón
manualmente, aunque a una máquina no le importaría.

Ejemplo. La siguiente matris se encuentra en una forma escalonada por
renglones
OF -3 4 17
00 05 2 4
00 00-3 1
0-00 0 00
Supongamos que esta matriz es la matriz aumentada de un sistema de ecnacio-
nes lineales; entonces podemos resolver las ecuaciones lineales dando un valor
arbitrario a algunas variables, tal como hicimos. En realidad, las ecuaciones son:
Qy Bz = dwt À
EE]

78. 10 Mi

y ccnaciones lineales uns

Entonces las soluciones son

1/3,

snalquier valor arbitrario dado,

ATEN
# E

2 = cualquier valor arbitrario dado.

El método de cambiar una matriz mediante equivalencias por renglones para
llevarla a una forma escalonada funciona en general,

Teorema 4.1. Toda matriz es equivalente por renglones a una matriz en
forma escalonada por renglones.

Demostración. Seleceionemos la primera componente no nula que aparezca a
la izquierda en la matriz. Si esta componente no está en la primera columna,
significa que la motriz sólo contiene ceros ala izquierda de esta componente y nos
podemos olvidar de ellos. Por tanto, supongamos que esta componente no mule.
se encuentra en la primera columns. Después de un intercambio de zenglones
podemos encontrar una matriz equivalente tal que la esquina superior jequierda.
no sen 0. Digamos que la matriz es

au a ain
an am aon
Amt On Gm.

y que au # 0. Multipliquemos el primer renglón por azi/ayy y restémoslo
“del segundo. En forma análoga, mullipliquemos el primer renglón por ası/anı
y restémoslo del ¿-ésimo renglón. Entonces obtenemos una matriz que tiene
ceros en la primera columna excepto en ay1. Por tento, la matriz original es
equivalente por renglones a una macris de la forına

as
0 dh
CS
Luego repetimos el procedimiento con la siguiente matriz de menor tamaño
de tt dag
Ama" An

Podemos continuar así hasta que la matriz esté en forma escalonada por renglones
(formalmente mediante inducción). Esto concluye la demostración.

79. 10, $4) Operaciones por renglones y climinación de Gauss n

Observe que la demostración es sólo otra manera de formular el argumento
de eliminación de la sección $3.
A continuación damos otra demostración del teorema fundamental:

Teorema 4.2. Sea

auzı ++ Gen

Ami ++ Am

un sistema de m ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas, donde n > m.
Entonces existe una solución no trivial.

Demostración. Soa À = (043) la matriz de coeficientes. Fntonces À es equi-
valente A", que se encuentra en forma escalonada por renglones:

ae, te, +84, (2)
21,2%, + Si, (2)

AO]

donde ay, # 0,...,as, # 0 son los coeficientes no nulos de las variables que
aparecen al principio a la isquierda en cada renglón sucesivo, y 53, (2), Sr.(2)
indican sumas de variables con ciertos coeficientes, pero tales que, si una
variable 2; aparece en Su, (2), entonces 5 > ki, y lo mismo sucede con las otras
sumas. Si zg aparece en Sh,, entonces ¿ > ki. Como, por hipótesis, el número
total de variables m cs estrictamente mayor que el número de ecuaciones, debe-
mos tener r < n. En consecuencia, hay n—r variables distintas de 75,,...,21,
y n=r > 0. Damos a estas variables valores arbitrarios y, por supuesto, los
podemos seleccionar de manera que no todos sean iguales a 0. Luego despe-
jamos las variables 22,,2%,_,.=:-,2%,, Comenzando con la ecuación inferior y
prosiguiendo hacia arriba, por ejemplo,

te, =S1,(2)/02,,
The.) = 54, (2)/@r,_,, Y así sucesivamente.

Esto nos da la solnción no trivial y así el teorema queda probado.

Observe que el palrón se ajusta exactamente al de los ejemplos, aunque con
ión que se refiere al caso general.

una not

80. n Matrices y ecuaciones lineales 1. $5)

Ejercicios II, $4

En cada uno los siguientes casos, encuentre una matriz equivalente por renglones que
se encuentre en la forma escalonada por renglones.

pest 1 02
so e 3) ol :)
123 is

1223 E
2a (2 4372) o (21-4
1193 23%
1 5 1 2
as
CIDRE w (pase
Ana as 31

4. Escriba las matrices de cocficiontes de las ecuaciones lineales del ejercicio 5 de la
sección $3, y en cada caso muestro una matriz equivalente por renglones que se
encuentre en forma escalonada. En cada caso, resuclva las ecuaciones. por este
método.

LL, $5. Operaciones por renglones y matrices elementales

“Antes de leer esta sección, resuelva los ejemplos numéricos que apareéen en
los ejorcicios 33 a 37 de la sección $2.

Las operaciones por renglones que usamos para resolver ecuaciones lineales
se pueden representar mediante operaciones con matrices. Scan L< r < my
1<s<m. Sea I, la matriz cuadrada de m x m que Liene por componente a
Len el Ingar rs y 0 en los demás:

Besen)
I | 0-20

p.20
Sea À = (aij) cualquier matriz de m xn. ¿Cuál es el efecto de la multiplicación:

LA?
0) (eurem yan

81. Operaciones por renglones y matrices elementales 13

de multiplicación de matrices muestra que J,, A es la matriz obte-
nida al poner el renglón s de A en el renglón » y ceros en los demás lugares.
Si r = s, entonces Ire tiene una componente 1 sobre el logar de la diagonal y
cero en los demás sitios, La multiplicación por Ipr deja fijo entonces al renglón
r y reemplaza todos los demás renglones por ceros,
Sir és, sea

E

Ir
Entonces

IAS LA + lard.
Luego, IrsA pone al renglón s de À en el lugar r « I,rA pone el ren
A en el lugar #. Todos los otros renglones se reemplazan por ceros, Así, Je,
intercambia al renglón r con el s y reemplaza todos los demás renglones por

Ejemplo, Sean

o 10 321
J=|1.0 0) y Mafia
0.0.0 2 el

Si el lector efectúa la multiplicación de matrices, verá directamente que JA
intercambia los renglones primero y segundo de A y reemplaza al tercer renglón

por ceros.
0o.10
100
0.01

Tor otro lado, sea
Entonces EA es la matriz obtenida de A al intercambiar el primer renglón con
el segundo y al dejar fijo el tercer renglón. Podemos expresar E como tna suma:

Es hatin + La

donde Ir, es la matriz que tiene 1 en la componente rs y, como antes, 0 en las
demás componentes. Observe que E se obtiene a partir de la matriz unitaria
intercambiando los dos primeros renglones y dejando fijo el tercer renglón. Así,
a operación de intercambiar los dos primeros renglones de A se lleva a cabo
mediante la multiplicación con la matriz Æ obtenida al hacer esta operación
sobre la matriz unitaria,

Éste cs un caso especial del siguiente hecho general.

E

Teorema 5.1, Sea E la matriz obtenida a partir de la matriz unitaria de
mx n al intercambiar dos renglones. Sea A una matriz de n x n. Entonces
EA es la matriz obtenida a partir de A al intercambiar estos dos renglones.

Demostración. La demostración se lleva a cabo de acuerdo al patrón del ejem-
plo; sólo es cuestión de determinar cuáles son los símbolos que se van a usar.

82. za Matrices y ecuaciones lineales (0, 55)

Suponga que intercambiamos el renglón y con el renglón s. Entonces podemos

B= los + lar + sua de las matrices I con j# FHS.
Así, E difiere de la matriz unitaria en que se intercambiaron los renglones r y
+. Entonces

EA= A4 LA suma de las matrices Ly A,
donde j # r, 5 # s. Como consecuencia de muestro análisis anterior, ésta es
precisamente la matriz obtenida al intercambiar los renglones r y s de A y al
dejar fijas todas las demas componentes.
El mi
Toorema 5.2. ea E la matriz obtenida de la matriz wnitaría de n x n al
multiplicar el renglón r por un número ¢ y sumarlo al renglón a, r # s. Soa
A una matris de nxn. Entonces L'A se obtiene a partir de A al multiplicar
el renglón y de A por ¢ y al sumario al renglón s de A.

uo tipo de análisis se aplica al siguiente resultado,

Demostración, Podemos escribir

E+1+clr.
Entonces BA = At ely A. Sabemos que IA pone el renglón r de A en
‘el lugar a y, al multiplicar por e, se multiplica este renglón por e. Todos los
renglones, aparte del renglón + de c/,r A, son iguales a O. Por consiguiente, la
suma A+ el,,A equivale a sumer e veces el renglón r de A al renglón s de A,
como so queria: mostrar.

Ejemplo, Sea

Entonces E se obtiene de la matrix unilaria sumando 4 veces el tercer renglón al
primero. Considere cualquier matriz À de 4 x n y calcule RA: Encontrará que
EA se obtiene al multiplicar el tercer renglón de A por 4 y sumarlo al primer
renglón de A.
En forma m
clemental.

general, podemos Suponer que Era(c)!para r #8 es la matriz

Erle) = T+ eles

83. m) Operaciones por renglones y matrices domentales 15

Difiere de la matriz unitaria en que
de multiplicar por la
5 al renglón r.
Una matriz elemental será una matriz de cualquiera de los siguientes tres
tipos:
(a) Una matriz que se obtiene de la matriz unitaria al multiplicar la r-
componente de la diagonal por un número € 7 0
(b) Una matriz que se obtiene de la matriz unitaria. al intercambiar dos ren-
glones (digamos el renglón r con el renglón s, r £6).
(©) Una matriz Fra(c) = T+ cla, con r # 5, y que tiene a e como su
componente rs cuando r £ 4. y a todas las demás componentes iguales a
0, excepto las componentes diagonales que son iguales a 1.

la componente rs igual a e. El efecto
réa por Ej.(c) consisto en sumar e veces el renglón

En estos tres tipos se reflejan las operaciones por renglones que estudiamos en
In sección anterior.

por una matriz del tipo (a) multiplica el renglón r por el

La multiplicación por una matriz del tipo (b) intercambia el renglón y
con el s
La multiplicaciôn por una matriz del tipo (e) suma ¢ veces el renglón » al r.

Proposición 5.3. Una matriz elemental es invertible,

Demostración. Con respecto al tipo (a), la matriz inversa tiene por r-ésima
componente diagonal a e"*, debido a que, al multiplicar un renglón primero por
e y luego por c!, el renglón no cambia,

Con respecto al tipo (b), observamos que, al intercambiar el renglón y con el
5 dos veces, se vuelve a la misma matriz con la que eomenzamos.

Con respecto al tipo (c), igual que en el teorema 5.2, sea E la matris que
suma. ¢ veces el renglón s al y de la matriz unitaria, Sea D la matriz que suma
=e veces el renglón 5 al r de In matris unitaria (para r # 5). Entonces DE
es la matriz unitaria, y por lo tanto, también lo es ED, de manera que E es
invertible.

Ejemplo. Las siguientes matrices elementales son inversas entre sí

1040 1,0 1-4 0
0100 ı_[odı 00
0010 A = | oMo__1 0
9001! oo 01

Mostraremos una manera efectiva de encontrar la inversa de una matriz cua-
drada, si es que tiene, Esto se basará en las siguientes propiedades.

Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño y tienen inversas, en-
tonces también tiene inversa AB y

(aay

84. 6 Mátrices y ecuaciones lineales ms)

Esto es inmediato, pues
ABBA"! = AIAT = AA = I.
En forma análoga, para cualquier cantidad de factores, se tiene:
Proposición 5.4. Si Ay,...,Ax son matrices invertibles del mismo tama
io, entonces su producto tiene una inversa y
Gus A) SAPD Ant

Observe que, en el miembro derecho de la igualdad, tomamos el producto de las
inversas en orden inverso. Entonces

Ay Angle A =

debido a que podemos reducir A; AG! a I, luego Aer, a I, y así sucesi
vamente.

‘Como una matrin elemental tiene inversa, concluimos que cualquier producto
de matrices elementales tiene una inversa.

Proposición 5.5. Sea A una matris cuadrada y sca A‘ cquivalente por
renglones a A. Entonces A tiene una inversa si, y sólo sí, A” tiene una
Demostración. Existen matrices elementales Ep, .., Fa tales que

A = By Bea.

Suponga que A tiene inversa. Entonces el miembro derecho de la igualdad tiene

tuna inversa debido a la Proposición 5.4, puesto que el miembro derecho de la.

igualdad es un producto de matrices invertibles. En consecuencia, À! tiene una.
inversa. Esto prueba la proposición.

Ahora estamos en posibilidades de encontrar una inversa para una matris
cuadrada A, si es que tiene. Por el Teorema 4.1 sabemos que A es equivalente
por renglones a una matriz, A’ en forma escalonada, Si un renglón de A’ es igual
a cero, entonces, por la definición desforma escalonado, el último renglón debe
ser igual a cero y A’ no es invertible; en consecuencia, A no es invertible, Si
todos los renglones de A’ son no nulos, entonces A’ es una matriz triangular con
sus componentes diagonales no nulas, Ahora cs suficiente encontrar una inversa
para dicha matriz. En efecto, probamos:

Teorema 5.6. Una matriz cuadrada A es invertible si, y sólosi, A es equi-
valente por renglones a la matris unitaria. Cualquier matriz superiormente
triangular cuyos elementos no son mulos es invertible,

Demostración. Snpongamos que A es equivalente por zenglones a la matriz

unitaria. Entonces A es invertible debido a la Proposición 5.5. Suponga que A

es invertible; acabamos de ver que A es equivalente por renglones a una matriz

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85. (1, 55] Operaciones por renglones y matrices elementales a

superiormente triangular cuyos elementos diagonales son no nulos. Suponga que
A es dicha matriz:

CRT
0 a sam
0 0 am

Por suposición tenemos que au «2m. À 0. Multipliquemos el renglón i por
ai, Obtenemos una mates triangular tal que todas las componentes diagonales
son iguales a 1. Asi, para probar el teorems, ce suficiente hacerlo para este ceso
y podemos suponer que A tiene la forma

1 a2 © aim
oa as

nl
pliquemos el último renglón por ain y restémoslo del renglón + para
1,...,n= 1. Esto hace que todos los elementos de la última columna sean
iguales a Dexcepto el que se encuentra en la esquina inferior de la izquierda y que
es 1. Repitamos este procedimiento con el que se encuentra próximo al último
reaglón y continuemos hacia arriba. Bsto signilica que, mediante equivalencies
por renglones, podemos reemplazar por cero todas las componentes que sc et-
cuentran estrictamente arriba de la diagonal, Luego terminamos con la mubriz
unitaria que, por consiguiente, es equivalente por renglones a la matriz original
Esto prucba el teorema,

Corolario 5.7. Sen A una matriz invertible. Entonces A se puede expresar
como producto de matrices elementales,
Demostración. Esto se debe a que A es equivalente por renglones a la ma-
triz wmitaria y à que las operaciones por renglones se representan mediante la

multiplicación por matrices elementales, de manera que existen Ex, +, Ex tales
que

Ey BAST
Entonces A= Ej" --- Be", con lo que se prucba el corolario.

Cuando A queda expresada de caa manera, también obtenemos una expresión
para la inversa de A, a saber,

AUS Bye By
Las matrices elementales Ej ...Ex son aquellas que se usan para convertir À en

la matriz unitaria.
Ejemplo, Sean
100
o 10).
001

86. 18 Matrices y ecuaciones lineales [1 55]

Queremos encontrar una inversa para A. Efectuamos las siguientes operacio-
nes por renglones, las cuales corresponden a la multiplicación por las matrices
«elementales que se muestran

Intercambio los primeros dos renglones.

1 1 010
ye 1}, 100).
pho 1 9.0.1

Reste 2 veces el primer renglón del segundo.
Reste 2 veces el primer renglón del tercero.

1 1 vo 10
0-5 3), 1-20
0 3 o 21

Reste el segundo renglón, multiplicado por 2/5, del tercero.

1 1 1 o 1 0
0-5 3), 1-20).
0 0 9/5 2/5 6/5 1

el tercer renglón, multiplicado por 5/3, del segundo.
Sume al primer renglón el tercero multiplicado por 3/9.

( 1 0 ) (Es ys 5/9 )
0-5 0), 5/3 0-5/3).
o 0 9%. 2/5 -6/5 1

Sume al primer renglón el segundo multiplicado por 1/5.

( o :) ( yo 18
0-5 0 |, 58 0
0 0 5 =2f5 -6/5 1

Multiplique el segundo renglón por —1/5.
Multiplique el tercer renglón por 5/9.

( 0 ) ( 18 1/3 ip)
010 1810 18].
001 2/9 2/3 5/9,

Entonces AT! es la matriz de la derecha, esto es,
1/9 1/3 2/9

At={-1/3 0 1/3).
2/9 2/3 5/9

El lector puede verificar esta afirmación multiplicando directamente por A con
el objeto de hallar la matriz unitari

87. On, $6) Combinaciones lineales a

Si A es une matriz cuadrada y consideramos un sistema no homogéneo de
ceuaciones lineales
AX=B,
entonces, si A es invertible, podemos usar la inversa para resolver el sistema,
En efecto, en este caso, multiplicamos por la inquierda ambos miembros de la
igualdad por AL y hallamos que
X=47B

Esto también prueba lo siguiente:

Proposición 5.8. Sea AX = B un sistema de n ecuaciones lineales con n
incógnitas. Suponga que In matriz de coeficientes A es invertible. Entonces
existe una solución tinica X del sistema y

Ejercicios 11, £S

1. Mediante el uso de operaciones elementales por renglones, halle inversas para las
siguientes matrices

21 2 5 15
(a) (3 3 =) (>) e 2 1)
an SPITS,

ad Te
@ (4:5) @ (ui 1)
DE 027
qa 1
o (499) os 3)
Dts 1 3 à

Nota: En el capítulo sobre determinantes se encontrará otra manera de hallar in-
2. Sen rs. Demuestre que 72, = 0.
3, Sea r #0. Sea Eru(e) tal como aparece on el texto. Demuestre que

EMO Ente) Andere).

Il, $6. Combinaciones lineales

Sean Al,
que

AP m-tuplas de R”. Sean 71, ...,&n números. Entonces decimos

mA ay”
es una combinación lineal de 4',...,A"; 21,... 47 se denominan cocficien-
tes de la combinación lincal. Se aplica unz definición similar a una combinación
lineal de vectores renglón.

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88. so Matrices y cenaciones lineales [1 $6)

Se dice que la combinación lineal es mo trivial si no todos los coeficientes
21-099 von iguales a 0)
Una vez más, consideremos un sistema de ecuaciones lineales homogénens
ayer +++ inky

er

amity +++ Gn
Nuestro sistema de ecuaciones homogéneas también se puede escribir en la forma
siguiente:

an a an 0
azı ax an 0

a +2 peter =e].
ami Ama 0

+, en forma más concisa:

RATE RAT = 0,
donde A},...,A" son los vectores columna de la matriz de cooficientes A —
(ass). Así, el problema de hallar una solución no trivial del sistema de ervaciones
lineales homogéneas es equivalente a hallar una combinación lineal no trivial de
AB... AM que sea igual a O.

Se dice que los vectores A}, .., A" son linealmente dependientes si exis
ton mimeros 21, .., 2, 10 lodos iguales a 0, tales que
Alte +24" =O.

De este modo, una solución no trivial (25, ...,2m) es uno n-tupla que da una
combinación lincal de 4... A" igual a O, co decir, una relación de dependen
cia lineal entre las columnas de A. Así pues, podemos resumir la descripción
del conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneas en una
tabla

(a) Consiste en aquellos vectores X que dan relaciones lineales
mALA tana" =O
entre las columnas de À

(b) Consiste en aquellos vectores X que son perpendienlares a las |
renglones de A, esto es, X > Ai = 0 para todo à

(6) Consiste en aquellos vectores X tales que AX = O.

Se dice que los vectores A!,..., A” son linealmente independientes si,
dada cualquier combinación lineal de ellos que sea igual a O, esto es,

mA + dan

89. m se] Combinaciones lineales a

entonces necesariamente debemos tener que 2 = 0 para lodo j = 1,...,0.
Esto significa que no hay relaciones no tciviales de dependencia lineal entre los
vectores A,..., AP.

Ejemplo. Los vectores unitarios canónicos

Es = (1,0,...,0)1:--» Ln =(0,.--,0,1)
de R” son lincalmente independientes, Ba efecto, sean 21,...,29 números tales
que

A = 0.
El miembro de la izquierda de la igualdad es, precisamente, la n-tupla (215...,
Zn). Siesta n-tupla es O, entonces todas las componentes son 0, de manera que
25 = 0 para todo i. Esto prueba que £},..., E, son linealmente independientes.

En el siguiente capítulo estudiaremos las nociones de dependencia e indepen-
dencia lineales en forma más sistemática. Se mencionaron en esta parte sólo para.
tener una tabla completa para las tres interpretaciones básicas de un sistema de
ecuaciones lineales, y para introducir la noción en un caso concreto especial antes
de dar las definiciones generales en espacios vectoriales

Ejercicio IL, $6

1 (3) Sean = (ais) y US; yon ADS (eis). Sea Ch a
A-Gima columna de O. Expreso O* como una combinación lineal de Isis coluranes
de A. Describa con precisión cuáles son los coeficientes que provienen de la

donde X es alguna columna de 1. ¿De qué columna se trata

90. CAPITULO Ill

Espacios vectoriales

Igual que siempre, una colctción de objetos se llamará conjunto, Un miembro
del conjunto también se conoce como elemento del conjunto. En la práctica
resulta útil emplear símbolos breves para denotar ciertos conjuntos. Por ejemplo,
denotamos con R el conjunto de todos los números. Decir que “2 es un número”
fo que “z es un elemento de R” es lo mismo. Con R” se denotará el conjunto
de n-tuplas de números. Así, “2 es um elemento de R°? y “z es una n-tupla”
significan lo mismo, En vez de decir que u es un elemento de un conjunto S, con
frecuencia decimos que u pertenece a S, y escribimos u € S. Si S y
dos conjuntos y si todo elemento de 8° es un elemento de $, entonces de
que S' es un subconjunto de $. Así, el conjunto de números racionales es un
subconjunto del conjunto de números (reales). Decir que S es un subconjunto
de S' es decir que $ es parte de 87. Para denotar el hecho de que $ es un
subconjunto de 5’, escribimos $C 5"

Si S, y Sz son conjuntos, entonces la intersección de Sy y Se, que se
denota con $ NS), es el conjunto deelementos que pertenecen tantoa Sy como
a Sp. La unión de S; y Sp, que se denota con S; U Sz, es el conjunto de
elementos que pertenecen a Si 0.3 Sr.

‘Uf, $1. Definiciones

En matemáticas nos encontramos con varios tipos de objetos que se pueden
sumar y mulliplicar por números. Entre éstos se encuentran los vectores (de la
misma dimensión) y las funciones. Ahora resulta conveniente definir en general
una noción que los incluya como un caso especial

91. (uu, 51) Definiciones. 83

Un espacio vectorial V es un conjunto de objetos que se pueden sumar y
multiplicar por números, de tal manera que la suma de dos elementos de Y cs
de muevo un elemento de Y , el producto de un elemento de V por un nümero
es un elemento de V, y se satisfacen las siguientes propiedades:

EV 1. Dados los elementos u, v y w de Y, tenemos

CECECEPETE

EV 2. Existe un elemento de V, que se denota con O, tal que

O+u=u+O=u

para todos los elementos u de Y

EV 3. Dado un clemento u de V, el elemento (=1)u es tal que

ut (lu =o.
EV 4. Para todos los elementos u y v de V, tenemos

utvsvbn
EY 5. Sic es un múmero, entonces eu + v)= cu + cv.

EV 6. Sia y b son dos ntimeros, entonces (a + 8)v = av + be:

EV 7. Si a y b son dos'númoros, entonces (ab)o = a(bu).

EV 8, Para todos los elementos u de V, tenemos que 1-u= (en este

caso Les al mimero uno).

Memos empleado todas estas reglas al trabajar con vectores c con funciones,
pero descamos scr más sistemáticos a partir de ahora, por lo que hemos hecho
una lista de talcs reglas. En los ejercicios aparecen más propiedades, las cuales
se pueden deducir fácilmente de las que apareten en esta lista y de ahora en
adelante se darán por conocidas

Las propiedades algebraicas de los elementos de un espacio vectorial arbitrario
son muy semejantes a las de los elementos de R?, R? o R”. En consecuencia, se
acostumbra denominar vectores también a los elementos de un espacio vectorial
arbitrario

Si u y y son vectores (esto es, elementos del espacio vectorial arbitrario ¥),
entonces la suma

u+(-Dv
usualmente se escribe u = u. Tarnbién escribimos —e en Jugar de (—1}v

92. 84 Espacios vectoriales (05,51)

Ejemplo 1. Fije dos enteros positivos m y rn. Sea V el conjunto de todas
las matrices de m x n. También denotamos V con Mat(m x n). Entonces ¥
es un espacio vectorial. Es fácil verificar que mediante nuestras reglas para la
adición de matrices y para la multipli “de matrices por números se satisfacen
todas las propiedades de la EV 1 a la EV 8. El hecho principal que hay que
“observar en este caso es que la adición de matrices esti definida en términos de las
componentes, y que para la adición de componentes se satisfacen las condiciones
análogas a las EV 1.2 BV 4. Son propiedades eständar de los números. Del
"mismo modo, las propiedades EV 5 a EV 8 son ciertas para la multiplicación de
matrices por mimeros, debido a que son ciertas las correspondientes propiedades
para la multiplicación de números.

Ejemplo 2. Sea Y el conjunto de todas las funciones definidas para todos
los números. Si f y y son dos funciones, eutonces sabemos cómo formar su
suma f + 9. Es la función cuyo valor en un número £ cs f(t) + 9(1). Tambi
sabemos cómo multiplicar f por un número e. Fs la función ef cuyo valor en
un número £ es ef{t). Al trabajar con funciones, hemos usado repetidas veces
las propiedades EV 1 3 EV 8. Alora nos hemos dado cuenta de que el conjunto
de funciones es un espacio vectorial

La función f tal que f(t) =0 para todo ¿es la función mula. Insistimos
en que la condición es para Lodo £. Si una función tiene algunos de sus valores
re sro pr ote velos n= iguales a 0, entonces no es la función

la práctica, cierto número de propiedades elementales concernientes a la
adición de elementos en un espacio vectorial resulta evidente, debido a la forma
concreta en que está dado el espacio vectorial en términos de núsncros, tal como,
se aprecia en los dos ejemplos anteriores. Ahora veremos en forma brove cómo
probar tales propicdades a partir de los axiomas.

Es posible sumar varios elementos de un espacio vectorial. Suponga que
queremos sumar cuatro elementos, digamos u, u, to y z. Primero sumamos.
dos cualesquiera de ellos, Juego un tercero y finalmente un cuarto elemento. Al
usar ls reglas EV 1 a BV 4 vemos que no importa en qué orden efect uemos las
sumas. Esta es exactamente la misma situación que teníamos con los vectores
Por ejemplo, tenemos

(sm) +u) +22 (ute) +2
(0+w)+u) +2
S@Hu)t us, ote

Por ello se acostumbra eliminar los paréntesis y simplemente se escribo
utebwes.
Se aplica la misma observación a la suma de cualquier número n de elementos
de Y.
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93. u, $1)

Usamos 0 para denotar el múmero cero y O para denotar el elemento de
cualquier espacio vectorial V que satisfaga la propiedad BV 2. También lo
llamanos cero, pero no hay posibilidad alguna de confusión, Observemos que el
elemento cero O queda determinado en forma ónica por la condición BV 2. En
efecto, si

entonces, al sumar —v en ambos lados, se obtiene
u+vo=0,

y el miembro de lajzquierda de la igualdad es O-+w = w, de manera que w =O.
Observe que para cualquier elemento » de Y, tenemos

ov= 0.

hou

Demostración.
OS + (=I = — v= 00,
En forma analogs, si ¢ es un número, entonces
«0 = 0.

Demostración. Tenemos que cO = e(O 4 O) = cO + 20% Si sumamos ~cO
a embos miembros de la igualdad obtenemos cO = O

Subespacios

Sea V un espacio vectorial y sea W un subconjunto de Y. Suponga que W
satisface las siguientes condiciones.

(©) Si y w son elementos de IV, su suma v-+w también es un elemento de
w.
Gil) Si v es un elemento de W y e es un número, entonces cv es un elemento
de 1.
(iii) El elemento O de V tambiön es un elemento de W.

Entonces el propio W es un espacio vectorial. En efecto, las propiedades EV
12 EV 8, al ser satistechas por todos los elementos de Y, también lo son por
los elementos de HW’. Decimos que IV es un subespacio de V

Ejemplo 3. Sea Y = R” y sea IM el conjunto de vectores de Y cuya
última coordenada es igual a 0: Entonces IV es un subespacio de Y, al que
podríamos identificar con RP.

Ejemplo 4. Sen A un vector de RE. Son W el coniumto de todos las
elementos B de TE tales que B-A= 0, esto-cs, tales que B os perpendicular a
A. Entonces IV es un subespacio de RS. Para ver esto observe que O- À = 0,
de manera que O está en WV, Luego, suponga que By C son perpendiculares
a A. Entonces

(B4+C)-A=8B-A4C-A
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94. 6 Espacios vectoriales (a, $1)

por lo que B+C también es perpendicular a A. Por último, si z cs un número,
entonces

(2B)-4==(B-4)=0,
de manera que zB es perpendicular a A. Esto prueba que W es un subespacio
de RS.

En forma más general, si A es un vertor de R”, entonces el conjunto de
todos los elementos Bde TR” tales que B À = 0 es un subespacio de R°. La
prueba es la misma que en el caso en que n = 3

Ejemplo 5. Sea Sim(n x n) el conjunto de todas las matrices simétricas de
nxn, Entonces Sim(n xn) es un subespacio del espacio de todas las matrices
de nxn, En efecto, Si A y B son simétricas y c es un número, entonces A+B
y cA son simétricas. La matriz nula también es sirítrica,

Ejemplo 6. Si f y y son dos funciones continuas, entonces f + 0 es
continua, Si ¢ es un múmero, entonces ef cs continua. La función mula es
continma. En consecuencia, las funciones continuas forman un subespacio del
espacio vectorial de todas las funciones.

Si 5 y g son dos funciones diferenciables, entonces su suma f +9 es dife-
‚nciable. Si e ex un número, entonces ef es diferenciable. La función nula es
Giferenciable. Por (ante, las funciones diferenciables forınan un subespacio del
espacio vectorial de todas lus funciones. Adermús, toda función diferenciable ea
continua. Por consiguiente, las funciones diferenciables forman un subespacio
del espacio vectorial de las funciones continuas.

Ejemplo 7. Sea V un espacio vectorial y sean U y W subespacios. Deno-
tamos con U MW la intersección de U y W, esto es, el conjunto de elementos
que pertenceen tanto a U como W. Entonces U NW es nn subespacio. Por
ejemplo, si U y W son dos planos'en el espacio de 3 dimensiones que pusan por
‘cl origen, entonces su intersección, en general, será una recta que pasa por el
origen, tal como se muestra en la figura 1

Ejemplo 8. Sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. Denota-

usw
el conjunto de todos los clementos a+ w, donde u € U y w € W. Dejamos
“que el lector verifique que U + W es un subespacio de Y, el que se dice está

genorado por U+ W } que we fongre romo asp de O y W

95. mr, 52) Combinaciones lineales 87

Figurs 1

Ejercicios MI, $1

1. Sean A3,.., Ar vectores de R”. Sea W el conjunto de los vectores B de R™
ales que B-A:=0 para todo ¿=L,....r. Muestre que W œun subespacio de
Ro.

2. Muestre que los siguientes conjuntos de elementos de R? forman subespacion
(a) El conjunto de todas las (2,4) tales que 2 =.
€) El conjunto de todas las (1,9) tales que # =
(6) El conjunto de todas las (2,9) tales que + Ay

3. Muestre que los siguientes conjuntos de elementos de TR? forman subespacios,
(a) El conjunto de todas las (2, y, 2) tales que 2+y+==0.
(b) El conjunto de todas las (2,9, 2) tales que x= 9 y 2y
(e) El conjunto de todas las (£,y, +) tales que x+y = 82.

o

4. Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V, entonces muestre que UW
y UW son subespacios,

5. Sea V un subespacio de RPG) Sea W el conjunto de elementos de R” que son
perpendiculares a todo elemento de V. Demnestre que W es un enbespacio de
RM, Este subespacio W a menudo se denota con V4 y se conoce como V perp,
o también como complemento ortogonal de Y

Ul, $2. Combinaciones lineales

Sen V un espacio vectorial y sean t,...,ta elementos de Y. Diremos que
11, ==» ba generan V si, dado cualquier elemento u € Y, existen números
Bises 20 bales que

am bee bat

96. 88 Espacios vectoriales pm, 59)

Ejemplo 1. Sea Ej,..., Fu el vector unitario en R” de manera que Es
tiene la componente 1 en el lugar ¿y la componente en todos los demás lugares
Entonces Fi. En generan R°. Prueba dado X = (23,-.-:20) € R°
entonces

x

de manera que existen números que sutisfacen la condición de la definición.
Sea V un espacio vectorial arbitrario y scan v1,..., tn elementos de V. Sean
&1...,2u números. A una expresión del tipo
Bay test eatin

sele conoce como combinación linoal de %,...,ta. A los nümeros 21... 2%
se les llama entonces coeficientes de la combinación lineal.

El conjunto de todas las combinaciones lineales de 1, ,..., 1 es un subespacio
de Y

Demostración, Sea W el conjunto de todas las combinaciones lineales iten-
cionadas, Sean %,...;Um mimeros. Entonces

(2101 + +2) + (9101 ++ date)
= (e +) + +len + men

‘Asi, la suma de dos elementos de W de nuevo es un elemento de W, csto es,
una combinación lineal de uy,...,t. Además, si e es nn número, entonces

COTES EE TESTER

es una combinaci
W. Por último,

al de v15..=;Un, y, en consecuencia, es un elemento de

O= Oui +40

es un elemento de W.. Esto prueba que WW es un subespacio de Y.

Se dice que el subespacio W qué consiste en todas las combinaciones lineales
de tu... es el subespacio Rencrado por %1,-..

Ejemplo 2. Sea vy un elemento no nulo de un espacio vectorial V, y sea
w cualquier elemento de V. Al conjunto de clementos
win, donde t€R,
se conoce como la xecta que pasa por w en la dirección de vy. Ya hemos
trabajado con dichas rectas en el Capitulo L, $5. Si w = O, entonces la recta
«que consiste en todos los múltiplos escalares tv, donde ¢ € RL, es un subespacio
generado por vı
Sean v1 y v2 elementos de un espacio vectorial Y y supongamos que ninguno
de ellos es un múltiplo escalar del otro. Fl subespacio generado por v y 2 se

97. pr, 92) Combinaciones lineales 89

conoce como el plano generado por uy y vz. Consiste en todas las combinaciones
lineales

tm + tar, donde ty y dz son nümeros arbitrarios.

Este plano pasa por el origen, tal como se api o.

da al poner 4 =

/
L
ES

A. Plane que pasa

a por el origen
Figura 2
Obtenemos la noción más general de un plano mediante la siguiente ope-

ración. Sea S un subconjunto arbitrario de V. Sen P un elemento de V. Si
sumamos P a todos los elementos de S, entonces obtenemos lo que se conoce
como traslación de 5 determinada por P. Consiste en todos los elementos
P+v, donde v está en $.

Ejemplo 3. Sean v y vz elementos de un espacio vectorial Y tales que
ninguno de ellos es múltiplo escalar del otro. Sea P un elemento de V.. Definimos
el plano que pasa por P, paralelo a 1.04, como el conjunto de Lodos los
eleinentos
P+ tiny Han,

donde t, y tz son mimeros arbitrarios. Este noción de plano es análoga, con
dos elementos m, m, % In noción de recta parametrizada considerada en el
Capítulo L

Advertencia. Usualmente dicho plano no pasa por el origen, como se aprecia
en In figura 3, Por tanto, ese plano no es un subespacio de Y. Sin embargo, si
consideramos P = O, entonces el plano es un subespacio.

98. 50 Espacios vectoriales ut, 99

|

AN

Pro pro 7

ae
Plano que mo pass
por el origen

Pigura 3

Algunas veces es interesante restringir. los coeficientes de una combinación
lineal, Eu scguida damos algunos ejemplos.

Ejemplo 4. Sen V un espacio vectorial y sean v y u clementos de V.
Definimos el segmento de recta comprendido entre v y 9-+-u como el conjunto
de todos los puntos

vt, 0St<L

En la siguiente figura aparece ilustrado cste segmento de recta.

ote

Figura 4

Por ejemplo, si t = +, entonces v-+ Ju es el punto medio entre vy » + u.
En forma análoga, si #= 4, v-+ Ju es el punto que se encuentra a un tercio de
la distancia que hay entre y y u bu (Fig. 5),

AA SNS

99. (ur, §2] Combinaciones lineales a

veu or
EN
oh
bu
(0 w
Figura 5
Si + y w son elementos de V, sea u = ww. Entonces el segmento de

recta comprendido entre v y w es el conjunto de todos los puntos » + tu, 0
v+tw—=") 0StS1

hue)

Piguea 6

Observe que podemos volver a escribirla expresión para estos puntos en la forma.
siguiente:

Q (Orta asızı,

y al hacer y

—1, £=1=s, también la podemos escribir como
so+(l— sw, 0<s<lL

Por último podemos escribir los puntos de muestro segmento de recta en la
guiente forma:

(2) hu+taw donde 4h20 y ttt
Ciertamente, al hacer £ = tz vemos que todo, punto que se puede escribir en la.
forma (2) satisface (1). Recíprocamente, hacemos ty = 1—t y ta = y vemos
que todo punto de la forma (1) se puede escribir en la forma (2).

Ejemplo 5. Sean v y w elementos de un espacio vectorial V . Supongamos
que ninguno es múltiplo escalar del otro. Definamos el paralogramo generado
por u y w como el conjunto de todos los puntos
hvttuw 0S4<1 pare

100. a Fopacis vectorial 01,9

Esta definición está claramente justificada, puesto que (1%, es um punto del seg-
mento comprendido entre O y » (Fig. 7) y law cs un punto del segmento
comprendido entre O y ww. Para todos los valores de ty y à que varían en
forma independiente entre 0 y 1, vemos geométricamente que 1,4 +£200 describe
todos los puntos del paralelogramo.

Figura 7

[Al considerar la traslación del paralelogramo que se acaba de describir obte-
senos cl paralelogramo más general (Fig. 8). Así, si u es un elemento de V la
traslación mediante u del paralelogramo generado por u y u consiste en todos
los puntos

uthritum, 0S4<1 para ¿=1,2

quote

4

Figura $

En forma similar, en dimensiones superiores, sean 1: , vy y vg elementos de
un espacio vectorial V. Definamos la caja gencrada por estos elementos
‘como el conjunto de combinaciones lineales

tutos donde OSH <1
Hagamos un dibujo en el que 11, vy y #3 se encuentren en posición general:

101. im, $3) Conjuntos convezos a

Figura 9

Puede huber casos degenerados que, un poco más adelante, nos cond
noción de dependencia lineal

Ejercicios III, $2

¿Ay generadores de un subespacio V de IR". Sea W el conjunto de
todos los elementos de R° que son perpendiculares a Aj,...,dr. Muestre que los
vectores de W son perpendienlares a tado elemento de V.

2. Dibuje el pacallogramo generado por los vectores (1,2) y (=1,1) en R?
3. Dibaje el paralelogramo generado por los vectores (2,1) y (1:3) en R?

TIL, $3. Conjuntos convexos

Sea $ un subconjunto de un espacio vectorial V. Ditemos que $ es convexo si
dados los puntos P y Q en S, el segmento de recta comprendido entre P y Q
está contenido en S. En la figura 10, el conjunto de la izquierda es convexo. EI
conjunto de la derecha no es convexo porque el segmento de recta comprendido
entre P y Q no está completamente contenido en 5.

Recordemos que el segmento de recta comprendido entre P y Q consiste en
todos los puntos

(1-0P41Q donde Ost 1,

102. A Lspacion vectoriales un, $3)

Esto os da un rio simple para determinar si un conjunto es convexo o no
Ejemplo 1. Sea 5 el paralelogramo generado por dos vectores m y v2, de
manera que $ es el conjunto de combinaciones lineales
use donde OS <1.
Deseamos probar que $ es convexo. Sean
P=euntun y) Q=antan
puntos de S. Entonces
(= DP +102 (1 - Yen + tas) + nie + sat
= (= Dhs 4 0 Dtos + tare sata

erin try

donde
neû-iem y n=(l-üßtte

Además tenemos que
Su +i < (94

y

<(-htte < (104
En consecuencia,
U-DP+Q=
sto prueba que (1-4) P +10 está en el paralelogramo, el cual, por consiguiente,
es convexo.
Ejemplo 2. Semiplanos. Considere una ec
Dry = 8.
Ésta es la ccuación de una recta como se muestra en la figura 11.

vitae donde Der;

à lineal como la siguientes

23726

Figura 11

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103. un, $8) Conjuntos convexos os

Las desigualdades
d=3YS6 y 22-326

determinan dos semiplanos; uno de ellos'se encuentra por debajo de In recta y
el otro por arriba, como se muestra en la figura 12.

Figura 12
Sen A = (2,3). Podemos —y deberíamos— escribir las ecuaciones lineales
en la forma
y AX 6,
donde X = (z,y). Como ejercicio 2, pruebe que todo semiplano es convexo.

Esto es intuitivamente claro a partir de la figura, al menos en R?, aunque su
demostración doberá ser válida para la situación análoga en R”

Teorema 3.1. Sean M... ln puntos de un espacio vectorial V. Soa $
el conjunto de todas las combinaciones lineales

CT A
donde 0 £ 4 y ++ ta = 1. Entonces S es convexo.

P=uPı ta + ta

LEN AAA Pa
donde 0< 4. 0< 8, y
4 ST

a tb sy sl
Sea 0 £ 4 < 1. Entonces:

(OP 419 = (1-0) tt Pa
+Hts P +--+ ten Pa
Sad +ts]P, 42 4 (Oty + En] Poo

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104. 6 Espacios vectoriales ms)

“Tenemos que O < (1-1); + ts; para todo i, y
(A) +++ EN ET
= Hatten)
=(-t+t
=1

Esto prueba nuestro leorema.

En el siguiente teorema probaremos que el conjunto de todas las combinacio-
nes lineales.

PLE +tnPa donde D<t

yá
es el mínimo conjunto convexo que contiene a 7%)... Pa. Por ejemplo, su-
ponga que P:, Pa y Pa son tres puntos del plano que no están alineados
Goomätricamente es claro entonces que el mínimo conjunto convexo que con-
tiene a estos tres puntos es el triángulo que tiene estos puntos como vértices.

Figura 19

Por ello es natural considerar como definición de trigngulo la siguiente propiedad,
válida en cualquier espacio vectorial

Sean P;, Pa y Py teca puntos de un espacio vectorial V. que no están

ces el triángulo generado por estos puntos es el conjunto de
todas las combinaciones

UP +tPs=tPs donde Ok y ttt tte

Cuando trabajamos con más de tres puntos, el conjunto de combinaciones
lineales, como en el teorema 3.1, tiene el aspecto de la siguiente figura.

105. un, sa) Conjuntos convezos o7

Figura 14

Diremos que el conjunto convexo del teorema 2.1 es el conjunto convexo
generado por Py,...,P,. Aunque no lo necesitaremos, el siguiente resultado
nuestra que este conjunto convexo es el mínimo conjunto convexo que contiene.
todos los puntos Pi,...,Py. El lector deberá omitir la prueba si no puede
manejar el argumento por inducción.

Teorema 3.2. Scan P,..., Pa puntos de un espacio vectorial V. Gual-
quier conjunto convexo que contiene a Pı,...,P, también contiene todas las
combinaciones lineales

EP hot
donde 0S; para todo iy ++,

Demostración. Se hará la prucba por inducción. Si x = 1, entonces t
1 y nuestro aserto es obvio. Supongamos que el teorema está probado para
algún entero n — 1 > 1. Lo probaremos para n. Sean tı,...,t Números que
satisfacen las condiciones del teorema, Sea S' un conjunto convexo que contiene
a Pise. Pa» Debemos demostrar que S contiene todas las combinaciones
lineales

Pitt la Pa
Si ta = 1, entonces nuestro aserto es trivial porque tı = a)
Supongamos que 4, 1. Entonces la combinación lineal 4 Py+===+ ly Pa es
igual a

para f= Lo m1

Entonces 5 20 y si",
ue el punto

‚de manera que, por inducción, conclnimos
Q=s Pd tn
está en $'. Pero entonces

(0 + Un Pa = Pi toot ta Pa

106. 98 Espacios vectoriales Ou, 54
está en S', por definición de conjunto convexo, tal como se quería probar
Ejercicios 111, $3

1. Sea $ el paralelogramo que consiste en todas las combinaciones lineales fes 1 es,
donde 054 51 y 02 (2 <1. Pruebe que $ es convexo.

2, Sea A un vector no mulo de R” y sea € un número fijo, Muestre que el conjunto
de todos los elementos X de R” tales que A-X 20 es convexo.

3. Sea S un conjunto convexo de un espacio vectorial. Si € es un múmero, denote con
eS el conjunto de todos los elementos cu, donde v está en S. Demuestre que 65

4. Sean Sy y Sa conjuntos convexos. Demnestre que la intersección SiNSa es conveza.

$5. Sea S un conjunto convexo en un espacio vectorial Y. Sea u un elemento arbitrario

de V. Sea w+S el conjunto de todos los elementos «+, con w en 5. Demuestre
que w+ 5 es convexo.

TIL, $4. Independencia lineal

Sea V un espacio vectorial y sean vj,...4% elementos de Y. Diremos que
%....,tn son linealmente dependientes si existen nümeros d1,...,an, 10
todos iguales a0, tales que

ayer bet ant =O.
Si no existen tales números, entonces decimos que
independientes. En otras palabras, los vectores
independientes si, y sólo si, se satisface la sig
Sean 01,.:- Un mimeros tales que

ty son linealmente
„m son linealmente
te condición

aros bes bats

entonces us = 0 para todo i

Ejemplo 1. Sea V =R” y considere los vectores
Er 0)

En Ns
Entonces £1,..., En son linealmente independientes. En efecto, sean hy..-+0n
meros tales que a:B'. +++: a E, = O. Como
Bit Og Ea = (014-050)
se infiere que todo a; = D.
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107. (ur, $4) Independencia lineal 99

Ejemplo 2. Muestre que los vectores (1,1) y (—:
independientes

Scan a y b dos múmeros tales que

all, +K-3,2) =0.
Al escribir esta ecuación en términos de componentes, encontramos que
a-=0, a+2%=0

Éste es un sistema de dos ecuaciones que resolvemos para a y b. Al restar
la segunda ecuación de la primera obtcnemos —56 = 0, por lo que 6 = 0.
Sustituyendo en cualquier ecuación emcontramos que a = 0. En consecuencia,
@ y b son iguales a 0 y así nuestros vectores son linealmente independientes.

Si los elementos e1,...,% de V generan V y además son linealmente ine
dependientes, entonces se dico que {v1,-.-yUn} cs una base de V. También
decimos que los elementos 43,..., 1. constitnyen o forman una base de. V

Ejemplo 3. Los vectores Er,..., E del Ejemplo 1 forman una base de R”
Para probar esto tenemos que comprobar que son linealmente independientes,
lo cual ya se hizo en el Rjemplo 1, y que generan R”. Dado un elemento

A= (01)-..,4p) de R", podemos expresar A como una combinación lineal
A=aBı += Hon En,

de manera quo, por definición, Ei,-.., En generan RM, por lo que forman una

base.

Sin embargo, hay muchas bases más. Consideremos n = 2. Iallamos que
cualesquiera dos vectores que no sean paralelos forman una base de R?. Primero
consideremos un ejemplo,

Si vs y va son como aparscen en la
representación, forman una base de R2.

Figura 15

Ejemplo 4, Muesire que los vectores (1,1) y (-1,2) forman una base de
rR.

“Tenemos que demostrar que son lincalmente independientes y que generan
R®. Para probar la independencia lineal, suponga que a y 6 son números tales
que

a(1, 1) +5(=1,2) = (0,0)

108. 100 Espacios vectoriales qu,

Entonces
a-5=0, 0+B=0

Al restar la primera ecuación de la segunda se obtiene 36 = 0, de manera que
Da. Pero entonces, de la primera ecuación, a = 0, lo que prueba que nuestros
vectores son linealmente independientes,

Luego, debemos mostrar que (1,1) y (1,2) generan R?. Sea (6,2) un
elomento arbitrario de R°. Tenemos que mostrar que existen números = y Y
tales que

20,1) +12) = (6.9.
bin otras palabras, debemos resolver el sistema de ecuaciones

=- y=5
stat

De nuevo reste la primera ecuación de la segunda, Encontramos que
wats)

y en consecner

y por último,

sto prueba que (1,1) y (-1,2) generan R?, y concluyela prucba de que forınam
sana base de 1?

El resultado general para IR? se expresa en el siguiente teorema.

"Teorema 4.1, Sean (0,8) y (64d) dos vectores de R?
, y sólos, ad — be = 0.

i) Son linealmente dependientes si
i son linealmente independientes, entonces forman una base de R?.

i)

Demostración. Primero efectúcla como ejercicio (vea el Fiercicio 4). Si el
lector no puede hacerlo, encontrará la prueba en la sección de respuestas. Se
asemeja mucho al procedimiento del Ejemplo 4

Sea V un espacio vectorial y se (11,.--¿0n) una base de Y. Los elementos
de V se pueden representar mediante n-tuplas con respecto a esta base, de la
manera siguiente. Si un clemento v de V se escribe como combinación lineal

OS

de los elementos de la base, entonces se conoce a (£,---,2m) como coorde-
adas de v con respecto a muestra base y u 7; se le conoce como la ¿si
coordenada. Las coordenadas con respecte a la base usual Ei, ..., En de R°
Simplemente son las coordenadas tal como se definieron en el Capitulo 1, $1

El siguiente teorema muestra que sólo puede haber un conjunto de coordena-

das para un vector dado,

109. ltr, $4] Independencia lineal 101

Teorema 4.2. Sea V un espacio vectorial, Scan v,....,t elementos
Jinealmente independientes de V . Sean 21,-.-,n Y hy---+Uhe mimeros tales
que

au bob Bt = Yavi bot Tate
Entonces debemos toner que x = y para todo ¿=1,...,n.

,. Restemos el miembro derecho de la igualdad, del izquierdo.

PAUL JADE 00H Fat — Yun =O.
‘También podemos escribir esta relack

(9) + + (en — Ye)
Por definición, debemos tener 2, —

ha probado nuestro aserto
Bl teorema expresa el hecho de que, cuendo un elemento se escribe como

en la fo

0 para todo i= 1,...,m, com lo que se

combinación lineal de vı,...,un, entonces sus coeficientes 21, ,7n están de-
terminados cn forma única. Esto es cierto sólo cuando %,...,%» son linealmente
independientes.

Ejemplo 5. Encuentre las coordenadas de (1,0) con respecto a los dos
vectores (1,1) y (1,2).
Debemos encontrar números a y 6 tales que
a(1,1)+9=1,2) = (1,0)
ión en términos de coordenadas, encontramos
b=1, u+%-0
A resolver para a y) de la manera usual se obtiene b= —b y 0 = 2. Por
tanto las coordenadas de (1,0) con respecto a (1,1) y (1.2) son (2,—})
Ejemplo 6. Las dos funciones e! y e* son linealmente independientes.
Para probar esto, suponga que existen números a y 6 tales que
ae + be! = 0
(pare todos los valores de 1). Derive esta relación. Obtenemos
act + et = 0.
Restemos la primera relación de Ja segunda, Obtenemos be‘ = 0 y, por tanto,

0. A partir de la primera relación, se infiere que ae” = 0 y en consecuencia,
0, por lo que €* y e*! son linealmente independientes.

Al escribir esta ecu:

Ejemplo 7. Sen Vel espacio vectorial de todas las funciones de una variable
4. Sean fs... Jn, n funciones, Decir que son linealmente dependientes ex decir
que existen n múmeros az, ...0,, no todos iguales a 0, Lales que

arfilt) ++ @nfalt) =0
para todos los valores de +.

110. 102 Espacios vectoriales im, 9

Advertencia. Queremos hacer énfasis en que la dependencia lineal para
funciones significa que se cumple la relación anterior para todos los valores de L.
Por ejemplo, considero la lación
asent + boost =

donde a y b son dos mimeros fijos que no son nulos simultáneamente, Puede
haber algunos valores de t para los cuales se satisfaga la ecuación anterior. Por
ciemplo, si a £ 0, entonces podemos resolver

sent _ à

o, en otras palabras, tant = b/a para obtener al menos una solución. Sin

embargo, la relación anterior no se puede cumplir para todos los valores de € y,
en consecuencia, sent y cost son linenlenente independientes como funciones,

Ejemplo 8. Sea V el espacio vectorial de funciones generado por las dos
jones el y e*!, Entonces las coordenadas de la función
Bet He
con respecto a la base {ef,e%} son (3,5)
Existe otra forma conveniente para expresar la independencia lineal al trabar
jar con dos vectores u y u.

Teorema 4.3... Sean v y u elementos de un espacio vectorial V. Son
linealmente dependientes si, y sólo si, uno de elles es ua múltiplo escalar del
‘tro, esto es, existe un número ¢% 0 tal que tenemos u = cw o bien w = eu

Demostración. Se deja como ejercicio; refiérase al Ejercicio 5.

En vista de este teorema, la condición impuesta en varios ejemplos de la
sección anterior se podria formular en términos de dos vectores que sean lineal-
‘mente independientes.

Ejercicios UL, $4

1. Demnestre que los siguientes vectores sou linealmente independientes.

(2) (1,11) y (0.1.2) (6) (1,0) y 0,1)

© (21,0) y (12) (6-0 y (0)

€) (50) y (0,0) (6) (19) y (2,3)

(0 51,0) (4452), 0) (0:1,1),(0,2,1)
y (0,1,-1) y (15,8)

2. Exprese el vector X dado, como combinación lineal de los vectores A y B dados
y encuentre las coordenadas de X con respecto a A y Ml

111. (it, 59) Independencia lineal 103

3. Bncuentre las coordenadas del vector X con respecto a los vectores À, B y O.
(a) 1,00), A=(1,1,1), 1,0,-1)
& X=(.1D, A= (01,0),

(©) X= (0,1), A= 01,9),

4. Sean (a, b) y (c, d) dos vectores de R°.
©) Si ad def 0, demuestre que son linealmente independientes.
(ii) Si son lincalmente independientes, mucstre que ad be #0.

(li) Si ad — de 2 0, entonces demnestre que forman una base de R?.

5. (a) Sean u y w elementos de un eopaci 1. Si» y w som linealmente

dependientes, muestre que existe un número € tal que w= co, o bien, v= cw.

(6) Rociprocamente, sean 2 y w elementos de wn espacio vectorial y anponga que

existe un múmero ¢ tal que w = ev. Demuestre que y y w sou Linealmente
dependientes.

8. Scan Ass...) Ae vectores de R” y suponga que sou mutuamente perpendiculares;
en otras palabras, A, L Ay si 2:43. Suponga además que ninguno de ellos es O.
Prucbe que son lincalmente independiente.

1. Considere el espacio vectorial de todas las funciones de una variable 1. Muestre
que las siguientes parejas de funciones son Uncamente independientes.
(9 Ut Bit (O Ltt (A) et (©) teje (0) senken
(6) sent (1) sent, sen2t () cost, cost

8. Considera el espacio vectorial de las funciones definidas para 1 > 0. Demuestre que

las siguientes parejas de funciones son
(9) 61/6 (b) log

9. ¿Cuáles son las coordenadas de la función Asen £-+ cost = f(t) con respecto ala.
base (sen cost}?

10, Sea 1) la derivada d/dt. Sea f(8) tal como aparece en el Ejercicio 9. ¿Cuáles
son las coordenadas de la función DJ(!) con respecto a la base que aparece en el
Ejercicio 97

yealmente independientes.

En cada uno de los siguientes casos, exläba una base para el espacio indicado y
pruebe que es una base.

11. El espacio de las matrices de 2 x 2.

12. El espacio de las matrices de mx n.

18. El espacio de las matrices de m x n cuyas componentes ton todas iguales a 0,
exceptuando, posiblemente, las componentes diagonales.

14. Las matrices superiormente triangulares, esto cs, matrices del siguiente tipo:

a a Mn
© am um
AAN AA

(a) El espacio de las matrices simétricas de 2 x 2
(b) El espacio de las matrices simétricas de 3 x 3.
16. El espacio de las matrices simétricas de n xm.

112. 104 Fepacios vectoriales (nt, 65]

UL, $5. Dimensión

Nos planteamos la siguiente pregunta: ¿podemos encontrar tres elementos lineal-
ente independiente en R?? Por ejemplo, ¿los elementos

A=(1)) B=(-57), O=(10,4)
son linealmente independientes? Si el lector desarrolla las ecuaciones lineales que
expresan la relación.

zA+yB420=0,
encontrará que puede resolverlas para 2, y y x no iguales a0. A saber, estas
ecuaciones son: mate

2e+ 4 4 =0

Tinte es un sisterna de dos ecuaciones homogéneas con tres incógnitas y sabemos,
por el Teorema 2.1 del Capítulo II, que podernos encontrar una solución no
trivial (2, y, 2) distinta de cero. En consecuencia, A, B y C son linealmente
dependientes.

En un momento veremos que éste es un fenómeno general. En R” no podernos
encontrar mis de 7: vectores lincalmente independientes. Más aún, veremos que
cualesquiera n clementos de R” linealmente independientes deben generar a
RY y, en consecuencia, deben formar una base. Por último, veremos también
que, sí una base de un espacio vectorial tiene n elementos y otra base tiene m
elementos; entonces, m =n. En pocas palabras, dos bases deben tener el mismo
número de elementos. Psta propiedad nos permitirá definir la dimensión de
un espacio vectorial como el número de elementos de cualquier base. Alora
desarrollaremos estas ideas en forma sistemática.

Teorema 5.1. Sea V un espacio vectorial y supongamos que {v1,.. un}
generan V. Sean ü,...,ım elementos de Y y supongamos que n > m
Entonces 14,...,W son linealmente dependientes.

Demostración. Como {u:.
podemos escribir

tí) genera Y existen números (23) tales que

wy = ayy Ho Ot

Wn = Mra) ++ ni
Si 21,...,2n son números, entonces,

ETES
Crau + oot rage) + 22224 (Atom: ++ Fann)

(basta sumar los coeficientes de %,...,%m verticalmente hacia abajo), Conforme
al Teorema 2.1 del Capitulo TI, el sistema de ecuaciones
ri ++ yn = 0

Bid) +224 Ena = 0

113. (aL, 55) Dimensión 105

tiene una solución no trivial, debido a que n > m. En vista de la observación
anterior, dicha solución (71, .…, #4) es tal que

ON

‘como se deseaba.

Teorema 5.2. Sea V un espacio vectorial y supongamos que una hase tiene
tm elementos y que otra tiene m elementos. Entonces m = n

Demostración, Apliquemos el Teorema. 5.1 a las dos bases. El Teorema 5.1
implica que tanto n > m como m > n son imposibles y, en consecuencia, m = n

Sea Y un espacio vectorial que tiene una base consistente en n elementos.
Diremos que n es la dimensión de V. Si V consta sólo del O, entonces Y no
tiene base y diremos que V tiene dimensión 0.

‘Ahora podemos reformular las definiciones de recta y plano en wn espacio
vectorial arbitrario V. Una recta que pasa por cl origen simplemente es un
subespacio de una dimensión, Un plano que pasa por el origen simplerente

dimer

Una recta arbitraria se obtiene como la traslación de un subespacio de una
dimensión, Un plano arbitrario se obtiene como la traslación de un subespacio
de dos dimensiones. Cuando una base {vi} ha sido seleccionada para un espacio
de una dimensión, entonces los puntos de tina recta se expresan en la forma usual

P + tj: con todos los mimeras posibles 1

Cuando se lia seleccionado una base {vı, v2} para un espacio de dos dimensiones,
los puntos de un plano se expresen en la forma

P+ titi + tare com todos los mimeros posibles sto.

Sea (41,... ,Ua) un conjunto de elementos de un espacio vectorial Y. Sea r
in entero positivo <n. Diremos que (Uy, +) es un subconjunto maximal
de elementos linealmente independientes si u... tr son lincaltuento indepen-

dientes y si, además, dado cualquier %, donde à > r, los elementos v,.++ 0-5
vs son linealmente dependientes.

El siguiente teorema nos.da un útil criterio para determinar enändo un con
junto de elementos de un espacio vectorial es una base.

Teorema 5.3. Sen (11=.-,wn) un conjunto de generadores de un espacio
vectorial V. Sea (15,-..,%,) un subconjunto maximal de clementos lineal-
‚mente independientes. Entonces (11,.. .,0,) es una base de V.

"Demostración. Debemos probar que t1,..., te generan V. Primero proba-
emos que cada 4; (para i > 1) es una combinación lineal de 13,0. Por
hipótesis, dado 1, existen números 2:,...,Z+, y, no todos iguales a 0, tales que

A =O.

114. 108 Espacios vectoriales wm, $5)

Además y 7 0, porque de otro modo tendríamos una relación de dependen
lineal para +, ..., 1, De manera que podemos despejar vi, à saber,

on lo que se demuestra que vy es una combinación lineal de vy, ..., te
Luego, sea y cualquier clemento de V. Existen números €... „cn tales que
vee Hoi tenus
En esta relación podemos reemplazar cada 1(i> r) por una combinación lineal
de vr,...,%e. Si hacemos esto y Inego agrupamos términos, encontraremos que
hemos expresado u como una combinación lineal de v,..., 1, - Esto prueba que
arte generan Y y, por tanto, forman una base de Y

Daremos ahora criterios que nos permitan decir cuándo los elementos de un
espacio vectorial constituyen una base

Sean v1, -.,2% elementos linealmente independientes de un espacio vectorial
Y. Diremos que forman un conjunto maximal de elementos de V lineal-
mente independientes si, dado cualquier elemento w de V, los elementos
10,04, --: Ya son linealmente dependientes,

Teorema 5.4. Sea V un espacio vectorial y sca (01,.>.,u) un con-
junto maximal de clomentas de Y linealmente independientes. - Entonces
Huısccsun} en una base de Y.

Demostcación. Ahora debemos demostrar que viy.--,% gener
que todo elemento de V se puede expresar como una combina
M,:--stn- Sea 10 un elemento de Y. Los elementos 1,15, de V deben
ser linealmente dependientes, por hipótesis, de modo que existen números ze,
21,:=:>%n, nO todos iguales a 0, tales que

aoû + zn ++ anim =O.
No podemos tener zo = 0, ya que, si és fuera el caso, obtendríamos una relación

de dependencia lineal entre u:,...,v,. Por consiguiente, podemos despejar w
en términos de %,..., Un ‚a saber,
Esto prueba que w es una combinación lineal de bi... Un, y que {ons}
es una base,
Teorema 3.5. Sea V un espacio vectorialde dimensión n ÿ scan vy... %
elementos de V lincalmente independientes. Entonces vı,..., 1 constituyen

una base de V.

Demostración. Conforme al Teorema 5.1, (91, ..-,0x) es un conjunto maxi-
mal de elementos de Y linenlmente independientes. En consecuencia, es una
base por el Teorema 5.4,

115. qu, 55] Dimensién 107

“Teorema 5.6, Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sea W un
subespacio, también de dimensión n. Fntonces W = V.

Demostración. Una base para W también debe ser una base para Y.
Teorema 5.7. Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Sea r un
entero positivo, donde r < n, y sean un,....ur elementos de V linealmente

independientes. Entonces se pueden encontrar elementos Mx, ..-,%a tales
que

Win}
es una base de Y.

Demostración. Como » < n, sabemos que (v1,...,4r) no puede formar una
base de Y y, por tanto, no puede ser un conjunto maximal de elementos de V
linealmente independientes. En particular, podemos encontrar trey en V tal
que

A
son linealmente independientes. Si r+ 1 <n, cutoncos podemos repetir el argu
mento, Así podemos proceder paso a paso (por inducción) hasta que obtenemos
m elementos linealmente independientes (ny, «.., #5}. stos deben ser une base
por el Teorema 5.4, y nuestro corolario queda probado.

Teorema.5.8. Sea V un espacio vectorial que tiene una hase que consta
de n elementos. Sea W um subespacio que no consta sólo del O. Eutonces
W tiene una base y la dimensión de W es < m.

Demostración. Sea w un elemento no nulo de W. Si {ur} no es un conjunto
maximal de elementos de W linealmente independientes, entonces podemos en-
contrar un elemento w de W tal que wı y w son linealmente independientes,
Procediendo de esta manera, un elemento cada vez, debe haber un entero m <m
tal que podemos encontrar elementos 13,147, .. sum linealmente independientes
y tales que

{ue tn)
«sun conjunto maximal de elementos de HW linealmente independientes (por el
“Teorema 5.1 no podernos continuar encontrando en forma indefinida elementos
linealmente independientes, y el número de tales elementos es, a lo más, n). Si
ahora usamos el Teorema 5.4, concluimos que (uy/..-,%%m) es una base pars
w.

Ejercicios Il, $8

1. ¿Cuál es la dimensión de los siguientes espacios? (Consulte los ejercicios 11 16 de
la sección anterior)
(a) Las matrices de 2 x 2. (b) Las matrices de mx n.

116. 108 Enpacios vectoriales pur, 56]

(€) Las matrices de n x n cuyas componentes son todas iguales a 0, excepinando
posiblemente las de la diagonal.
(2) Las matrices superiormente triangulares de n x

(&) Las matrices simétricas de n x.

2, Sex V un subespacio de R?. ¿Cuáles son las posibles dimensiones de V? Muestre
que, si V # RY, entonces o bien V = (0), o V es una recta que pasa por el origen.

3. Sex V un subespacio de R°. ¿Cuáles son las posibles dimensiones de V? Muestre
que, si Y # R°, entonces, o bien V = (0), 0 V es una recta que pasa por el
origen, o V es un plano que pasa por el origen.

ma matriz de m xn. Las columnas de A generan un especio vectorial, que
es un subespacio de R’*. La dimensión de ese subespacio se lluna rongo por
columnas de A. En vista del Teorema 5.4, el rango por columnas es ignal al
número máximo de columnas linealmente independientes. En forman análoga,
los renglones de A generan un subespacio de R” y la dimensión de este subes-
pacio se conoce como rango por renglones. De nuevo por el Teorema 5.1, el
rango por renglones es igual al mimero máximo de renglones lincalmente inde-
pendientes. Más adelante probaremos que estos dos rangos son iguales entre sf
Daremos dos pruebas; la primera, de esta sección, depende de ciertas operacio-
nes por renglones y por columnas de una matriz. Posteriormente daremos una
prueba más geométrica empleando la noción de perpendicularidad.

Definimos el espacio de renglones de A como el subespacio generado por
los renglones de A. Definimos el espacio de columnas de À comoel subespacio.
generado por las columnas.

Considere las siguientes operaciones por renglones de una matria

LDL, $6. El rango de una matriz

Sea

Renglén 1. Sumar un múltiplo escalar de un renglón a otro.
Renglin 2. Intercambiar renglones.
Renglón 3. Multiplicar un renglón por un escalar no nulo.

Éstas se conocen como operaciones por renglones (algunas veces como opera-
«iones elementales por renglones). “Tenemos operaciones semejantes para las
«columnas, las que se denotarán con Col 1, Col 2 y Col 3, respectivamente,
Estudiaremos el efecto de estas operaciones sobre los rangos.

117. (01, se] El rango de una matzie ane

Observe primero que cada una de las operaciones anteriores tiene una ope
ración inversa en el sentido de que, efectuando operaciones similares, podemos
regresar a la matriz original. Por ejemplo, cambiemos una matriz A sumando
© veces el segundo renglón al primero. Oblenemos una nueva matriz B cuyos
renglones son
By = Aveda An oe

Si ahora sumamos —cAz al primer rongión de B, obtenemos otra vez A1. Se
puede aplicar un argumento semejante a dos renglones cualesquiera,

Si intercambiamos dos renglones y luego los intercambios de nuevo, volvemos
a oblener la matriz original

Si multiplicamos un renglón por un múmero ¢ À 0, entonces, al multiplicar
de nuevo por e”}, se obtiene el renglón original.

Teorema 6.1. Las operaciones por renglones y columnas no cambian el
rango por renglones de una matriz, así como tampoco el rango por columnas.

Demostración. Observemnos primero que al intercambiar renglones de uno ma-
trig no se afecta el rango por renglones, puesto que cl subespacio generado por
los renglones es el mismo, sin importar en qué orden consideramos los renglones.

Luego suponga que sumamos un múltiplo escalar de un renglón u otro. Man-
tendremos la notación que usamos antes del teorerna, de manera que los nuevos
zenglones son

By = Ay + eda, An; Am

Cualquier combinación lineal de los renglones de 8, a saber, cualquier combi-
zación de

Bis Aus Am
también es una combinación lineal de A,,Az,...,Am. En consecuencia, el es

pacio de los renglones de B está contenido en el espacio de los renglones de A
Por tanto, por el Teorema 5.8 tenemos

rango por renglones de B < rango por renglones de A.

Como A también se obtiene de B mediante una operación similar, obtenemos
la desigualdad inversa.

rango por renglones de A < rango por renglones de B.

Por tanto, estos des rangos por renglones son iguales

"Tercero, si multiplicamos un renglón Ai por € £ 0, obtenemos el nuevo
renglón cA;. Peto Ai =c"XcA,), de manera que los espacios de renglones de la
matriz A y los de la nueva matriz obtenida al multiplicer el renglón por ¢ son
iguales, Así, la tercera operación tempoco cambia el rango por renglones.

118. Ar Espacios vectoriales pur, 0)

Podríamos haber dado el argumento anterior para cualquier par de renglones
A, AjG 3), de mancra que hemos probado que las operaciones por renglones
no cambian el rango por renglones,

Ahora probaremos que no cambia cl rango por columnas.
Considere de nuevo la matriz obtenida al sumar un múltiplo escalar del segundo
renglón al primero:

an toa atea) ce Gin ea
an on am

B a
am Ona Am

Sean BY,...,.B” las columnas de esta nueva matriz 2. Veremos que la relación
de dependencia lineal entre les columnas de 4 es precisamente la misma que la
ión de dependencia lineal entre las coluwuas de A. En otras palabras:

Un vector X = (21,-.-+%n) da una relación de dependencia lineal
AB +2 P"=0

‘entre las columnas de Y si, y sélo si, X da una relación de dependencia lineal
Alte + an" SO

entre Ins columnas de A.
Demostración. A partir del Capítulo 11, sección $2, sabemos que nna relación
de dependencia lineal entre Ins columnas se puede escribir en términos del pro-
ducto interior con los renglones de la matriz. Asi, suponga que tenemos una
relación
ambl4 4 = 0.
Esto es equivalente ul hecho de que
XB=0 para ¿1

Por consiguiente,
X (A: + An)
La primera ccuacié

0, X:41=0, XA

se puede escribir de la siguiente maner
X: Aj eX Aa = 0.

Como X + Ay = 0, concluimos que X - Ay = 0. En consecuencia, X es per-

pendicular a los renglones de À y, por tanto, X du uua relación lineal entre las

columnas de A. El recíproco se prueba de manera sernejante.

El enunciado anterior prueba que, si r columnas de B son linealmente inde-
pendientes, entonces y columnas de A también son linealmente independientes,
y rexíprocamente. Por consiguiente, A y B tiewen el mismo rango por colnmnas.

Dejamos que el lector verifique que las otras dos operaciones por renglones
o cambian los rangos por columnas.

Del inisino modo se prueba que las operaciones por columuas no cambian el
rango por renglones. La situación es simétrica entre renglones y columnas, Esto
concluye la prueba del teorema.

119. m, $6) E rango de una matriz siti

Teorema 6.2. Sea A una matriz de rango por renglones igual a r. Me-

i ión de operaciones por renglones y por columnas, la matriz se
puede transformar en la matriz que tiene por componentes a 1 en la diagonal
de los primeros r renglones y columnas y 0 en las demás componentes

vo

0
00.01
9 0 + 0 0 0

En particular, el rango por renglones cs igual al rango por columnas.

Demostración. Suponga que r À 0, de manera que la matriz no es la matriz
mula. Alguna componente no es igual a cero. Después de intercambiar renglo-
es y colummmas, de ser necesario, podemos suponer que esta componente está.
eu la esquina superior izquierda, esto es, esta componente es igual a ay: #0
Ahora descendemos por la primera columna; multipliquemes el primer renglón
por afau y restémoslo del segundo renglón. Entonces obtenemos una matriz
que tiene 0 en el primer lugar del segundo renglón. Luego multipliquemos el
primer renglón por as1/au y restémoslo del torcer renglón. Entonces nuestra
nueva matriz ticue la primera componente igual a 0 en el tercer renglón. Proce
diendo de la misma manera, podemos transformar la malriz de manera que sea
de la forma

u u = tin
0 on ce üm
0 ma 000 On

Después, restemos múltiplos apropiados de la primera columna, de la segunda,
dela tercera,..., de la n-ésima columna para obtener ceros en el primer renglón.
Esto transforma a la matriz en una matriz del signiente tipo:

a 0 + 0
0 an am
0 m2 CA

Ahora tenemos una matris de (ra — 1) x (n — 1) en la parte inferior de la
derecha. Si efectuamos operaciones por renglones y columnas en todas partes
excepto en el primer renglón y en la primera columna, entonces, primero, no
modificamos laprimeracomponente ay, ;ysegundo, podemos repetirel argumento,

120. 12 Espacios vectoriales Eu, 56]

con elobjeto de obtener una matriz de la forma siguiente:

as 0 0 + 0
0 a 0 0
0 O0 où à: am
0 O0 ang Gm.
Procediendo paso a paso mediante inducción llegamos a una matriz de la forma.
an 0 0 0
0 a 0
oo an
0 0 0 0

cuyos elementos diagonales @:1,..,8,, son 7 0. Dividamos el primer renglón
entre a,1, el segundo entre arz, ete. Entonces obtendremos una matriz

10-00
ot. 0g
00 100
00-00

Por tanto, tenemos la ¿matriz unitaria de $ x 6 en la esquina superior de la,
izquierda y ceros en todo lo demás. Como las operaciones por renglones y por
columnas no cambian el rango por renglones o por columnas, se infiere que r = 8
y también que el rango por renglones es igual al rango por columnas. Esto prueba
el teorema,

Puesto que hemos probado que el rango por renglones es igual ul rango por
columnas, podemos ahora omilir “renglones” o “columnas” y solo hablar del
rango de una matriz. Así, por definición, el rango de una matriz es igual a la
dimensión del espacio generado por los renglones,

Observación. Aunque el procedimiento sistemético suministra un método
efectivo pare encontrar el rango, en la práctica nsualmente se buscan atajos para
obtener tantos ceros como sea posible al efectuar las operaciones por renglones
¥ por cohmnas, de manera que en algún punto sea obvio cuál es el rango de la
matris,

Por supuesto, también se puede emplear el simple mecanismo de las eeuasios
nes lineales para encontrar el rango.

Ejemplo. Encuentre el rango de la matriz
ad
011
www.elsolucionario.net

121. OU, 56] El cango de una matriz 118

Sólo hay dos renglones, de manera que el rango es a lo más igual a 2. Por otro

lado, las dos columnas
2 1
of À 1

Sou liuealruente independientes ya que si a y b son números tales que
2 1) _ fo
De):

2a+b=0,
b=0,

entonces

de manera que a = 0. Por consiguiente, las dos columnas son linealmente
independientes y el rango es igual a 2.

Más adelante también veremos que los determinantes dan una formo de com-
putación para determinar cuándo los vectores son lincalmente independientes y,
por tanto, se pueden usar para determinar el rango.

Ejemplo. Encuentre el rango de la siguiente matriz,

102-8
2 1 0
aot À
1 4 2

Restemos dos voces la primera columne de la segunda y sumermas 3 veces la
primera columma a la tercera, Esto da

Data matriz está escrita en la forma escalonada por columnas y se ve de inme-
«into que los primeros tres renglones o columnas son linealmente independientes.
{Como sólo hay tres columnas, se infiere que el rango cs igual a3.

122. 14 Espacios vectoriales pu. se]

Ejercicios 111, $6

A M
E NT
q) da)

oO) E
1 hrs
12 af
e (3 CET TR
5
ñ
2
(e) (f) ©
oz E
20 E
E 1 m
38
va
5 (: 2
3423
2. Sex A si mat triangular

© am um

E:
agonalos es igual a 0. ¿Cuál es od

Suponga que ninguno de los elementos
rango de A?
3. Ses A una matriz de m xn y sea B una matriz de n xr, de manera que podemos

formar el producto AB.
(a) Demucstre que las columnas de A son com!

pruebe que

ones lineales de A: Por tanto,

zango de AB < rango de À
(b) Pruebe que rango de AB <orango de B. [Sugerencias Use el hecho de que.
rango de AB = rango de“(A2), y que rango de B

rango de *B.]

123. CAPÍTULO IV

Aplicaciones lineales

Primero definiremos el conceplo general de aplicación, que a su vez generaliza el
concepto de función. Entre las aplicaciones, las lineales son las más importan-
les. Una buena parte de las matemáticas se dedica a reducir problemas sobre
aplicaciones arbitrarias a aplicaciones lincalcs, ya que éstas resultan interesantes
por sí mismas, además de que muchas aplicaciones son lineales, Por otra parte,
a menudo es posible aproximar una aplicación arbitraria mediante una lineal,
cuyo estudio es mucho más sencillo que el estudio de la aplicación original. Esto
se hace en el cálculo de vacias variables.

IM SL. Aplicaciones

Sean $ y S' dos conjuntos. Ungmplicación de S en S' es una asociación tal
‘que a todo elemento de $ le-asocin nn elemento de 5”. En lugar de decir que F
es una aplicación de $ en 5’, a menndo escribiremos los símbolos 2:5 —+ 5"
A una aplicación también se le conoce como transformación.

‘Una función es un tipo especial de aplicación, a saber, cs una aplicación de
un conjunto en el conjunto de números, es decir, en R.

Fxtendemos a las aplicaciones algunos de los términos que hemos usado para
funciones. Por ejemplo, si 7: 5 — 8’ es una aplicación, y si u es un elemento
de $, entonces denotamos con T{u), o Tu, el elemento de 5’ asociado a u
mediante T, Decimos que T{u) es el valor de T ea u, o también que es la
agen de u bajo T. Los simbolos T(u) se leen como “T de u”. Al conjunto
de todos los elementos T(u), cuando u varia sobre todos los elementos de S,

124. 16 Aplicaciones lineales iv,

se le conoce como la imagen de T. Si W cs un subconjunto de S, entonces el
conjunto de elementos {u), cuando w varía sobre Lodos los elementos de W,
recibe cl nombre de imagen de W bajo T y se denota con T(V).

Sea F:S — 5° una aplicación de un conjunto S en un conjunto $”. Si x es
un elemento de S, con frecuencia escribimos

2 F(z)

con una flecha especial ++ para denotar la imagon de z bajo F. Así, por ejemplo,
kablaríamos de la aplicación F tal que F(=) = 2” como la aplicación = 2%.

Ejemplo 1. Para cuslquier conjunto $ tenemos la aplicación identidad
1:8 +S. Se define mediante I(z) = para todo 2

Ejemplo 2. Sean 5 y 5 iguales a R. Sea FR R la función f(2) = 2?
(es decir, la función cuyo valor en un número 2 es 27). Entonces f es una
aplicación de R. en R. Su imagen es el conjunto de números > 0,

Ejemplo 3. Sea S el conjunto de múmeros > 0 y sea S' = M. Sea
9: S— $' la función tal que g(2) = 22, Entonces y cs una aplicación de Sen
R.

Ejemplo 4. Sea $ el conjunto de funciones que tienen derivadas de todos
los órdenes en el intervalo O < t < 1 y sea S' = S. Fnionces lu derivada
D= dat es una aplicación de S en S. En realidad, nuestra aplicación D
“socia la función df/2t = Df a la función $. Conforme a nuestra terminología,

Df es el valor de la aplicación D en f.

Ejemplo 5. Sea $ cl conjunto RS, esto es, el conjunto de ternas, Sea À =
(2,3,-1). Sea BR? R la aplicación euyo valor en un vector X = (2,43)
es A-X, Entonces L(X) = A-X. Si X(1,1,—1), entonces el valor de £ en X,
es 6

Al igual que con las funciones, describimos una aplicación al dar sus valores
Ast, en lugar de hacer el enunciado que aparece en el Ejemplo 5 para describir la
aplicación L, también diremos: sen L:R +R la aplicación L(X) = A-X. Esto
‘es un tanto incorrecto, pero es máx breve, y usualmente no se presta a confusión.
En forma más correcta podemos escribir X ++ L(X) o bien X A+X, con la
fiecha especial + para denotar el efecto de la aplicación Len el elemento X

Ejemplo 6. Sen P:R? — R? la aplicación dada por
Fey) = (22,2%).

Describa la imagen bajo F de los puntos que están en el círculo 2? + y" = 1
‘Sea (2,9) un punto del círculo de radio 1.
Sean u = 27 y y= 2y. Entonces u y y satisfacen la relación

AN

125. LAN] Aplicaciones u

o, en otras palabras,

En consecuencia, (u,0) es un punto del ci
gen bajo F del círculo de radio 1 es un subconjuto del círculo de radio 2.
Reciprocamente, dado un punto (u,v) tal que

ea,
sean 2 =u/2 y y = 0/2. Entonces el punto (2,1) satisface la ecuación
Bays

y, en consecuencia, es un punto del círculo de radio 1. Adi
Fa) = (ue).
Por tanto, todo punto del circulo de radio-2 es la imagen de algún punto del

círculo de radio 1. Concluimos que la imagen del círculo de radio 1 bajo F es
precisamente el círculo de radio 2,

Nota, En general, sean S y 8° dos conjuntos. Para probar que 5 = 5", con
frecuencia se prueba que $ «s un subconjunto de 5” y que S” es un anbconjunto,
de $. Esto es lo que hicimos en el argnmento anterior.

Ejemplo 7. Este ejemplo cs particularmente importante en las aplieacio-
nes geométricas. Sea V un espacio vectorial y sea u un elemento fijo de Y.
Supongamos que

TeV Vv
es la aplicación tal que Zu(v) = tu. A Ty se le conoce como traslación
determinada por u. Si $ cs cualquier subconjunto de V, entonces se conoce
a T(S) como ln traslación de $ determinada por u y consta de todos los
vectores y + u, donde u € S. Solemos denotarla con S| u. En la siguiente
figura dibujamos un conjunto S y su traslación delerminada por nn vector

126. 118 Aplicaciones lineales (ay, si]

Ejemplo 8. Ta rotación levógira alrededor del origen determinada por
un ángulo 0 es una aplicación, que podemos denotar con Ra. Sea 9 = 7/2
La imagen del punto (1,0) bajo la rotación Raja es el punto (0,1). Podemos

Expa(1,0)= (0,1)

Ejemplo 9. Sea $ un conjunto. Una aplicación de S en Te será denar
nada función y el conjunto de tales funciones se llamará conjunto de funciones
definidas en S. Sean f y g dos funciones definidas en S. Podemos definir su
suma de la misma manera que para las funciones de niimeros, a saber, f + 9 es
Ja función cuyo valor en un elemento t de S es f(t) + alt). También podemos
definir el producto de f por un múmero c. Bs la función cuyo valor en t es
‘ef(t). Entonces el conjunto de aplicaciones de S en IR es un espacio vectorial.

Ejemplo 10. Sea $ un conjunto y sea V un espacio vectorial, Sean F y G!
dos aplicaciones de $ en Y... Podemos definir su suma de la misma manera en
que definimos la suma de funciones, a saber, la suma F+G es la aplicación enyo
valor en un elemento £ de $ cs FÜ!) + Gt. También definimos el producto!
de F por un número c como la aplicación cuyo valor en un elemento t de $ es
GP. Bs fácil verificar que se satisfacen las condiciones EV 1 hasta la BV 8.

Ejercicios IV, 51
1. En el Ejemplo 4, muestre Df como función de =
@ ft)

2, Sean P=(0,1) y E la rota
imagen de P bajo R, es deciz, dé MP).

¡ando f es la función:
"(0 fle) = hoe

jada por 1/4. Dé las coordenadas de la

3. En el Ejemplo 5, dé L{X) cuando X es el vector:
(3023-39 CN (© (LD)
4, Sea FER RY la aplicación tal que

y F(-1)?

= (est), ¿A qué von iguales F(1), F(0)

5, Sen GM KO ta aplicación talque Gt) = (1,20. Sea F como cn el Ejercicio 4
LA qué von iguales (F-+ GE), (FAG) y (F4 GMO?

6. Sea # como el Fiercicio 4. ¿A qué son iguales (2F)(0), (RFI)?

(111,24) y FR! — Ra aplicación tal que, paca cualquier vector
Gares 24), tenemos que F(X) = X À 42. ¿Cuál es el valor de F(X)
cundo (1) X= (1,1.0,=1) vib) X

7. Sean

En los ejercicios 8 a 12, consulte el Ejemplo 6. En cada caso, para probar que la
imagen es igual a cierto conjunto S, el lector debe probar que la imagen está contenida.
en 5 y también que todo elemento de $ está en la imagen

127. Oy, $2] Aplicaciones Hnesles RO)

8, Sea FR? HR? la aplicación defnida por F(z, y) =
de los puntos que pertenecen al círenlo 22492 = 1

(22,39). Describe la imagen

9. Sea P:R? — R? la aplicación defnida por F(z, y) = (29,9). Describa la imagen
bajo F de la recto 2 = 2.

10, Sea F la aplicación definida por F(z,y) = (+ con, #7 en y). Deseri
bajo F dela recta 7 = 1. Describa en form
recla 2 =c, donde € es una constante.

11. Sea F la aplicación definida por F
mente la imagen del plano (£,u) bajo F.

12. Sea F la splicación definida por F(z,y) = (2/5,4/4). ¿Cuál es la imagen bajo F
de la elipse.

la imagen
general la imagen bajo F de una

(cost,cent,m). Describa geométrica.

TY, $2. Aplicaciones lineales

Sean V y W dos espacios vectoriales. Una aplicación lineal
LV W
1 que satisface las siguientes dos propiedades, Primero, para
nontos u y v de Y, y cualquier escalar e, tenemos
Lu+1)=L(u) + Lo)

AL 2 Meu) = eb{u).

Ejemplo 1. La aplicación lineal más importante de este curso queda des-

erita de la manera siguiente. Sea A una matriz dada de m x n. Defina
LR" +R”

‘mediante la fórmula

resumida de expresas las propiedades
AXEV)=AX FAY y \A(eX) =0AX
para cualesquiera X y Y vericäles en RP y cualquie

Ejemplo 2. EI producto interior es, esencialmente, un caso especial del
ue ejemplo. Sea A = (a, an) un vector fijo, y defina
LA) = A-X.,

Entonces La es nna aplicación lineal de A” en It, debido a que

A(X4Y)SAX4AY y A(X) = (4-2).
Observe que el producto interior también se puede considerar como una muli-
plicación de matrices si se considera A como un vector renglón y X como un
vector columna.

128. 120 Aplicaciones lineales ww

Ejemplo 3. Sea V cualquier espacio vectorial. La aplicación que asocia a
cualquier elemento u de V este mismo elemento es, obviamente, una aplicación
lineal que se luna aplicación identidad, Denotémosla con I. Asi, J(u) = u

Ejemplo 4. Scan V y W cualesquiera espacios vectoriales. La aplicación
que asocia el elemento O de W a todo elemento u de V se conoce como apli-
cación mula y, obviamente, es lineal.

Ejemplo 5. Sca V el conjunto de fimeiones que ticnen derivadas de todos.
los órdenes. Entonces la derivada D: Y — Y es una aplicación lineal. Esto no
es sino una manera breve de resumir las propiedades estándar de la derivada, a
saber,

Df +9) = Df + Da,
D(cf) = eD(f).

Ejemplo 6. Sean VER? y V/=R* el espacio vectorial de los vectores
en el espacio de 3 dimensiones y de 2 dimensiones, respectivamente. Podemos
definir ma aplicación
rr
mediante la proyección, a saber, P(2,9,2) = (2,1). Dejamos que el lector
compruebe que se sarisfacen las condiciones AL 1 y AL 2

En forma más general, suponga que n = r + se expresa como una suma
de dos enteros positivos. Podemos separar las evordcnadas (z1,...,2n) en dos
partes (ivi. 0s2r,Zrat,-- 01240), à saber, las primeras r coordenadas y las
últimas 2 coordenadas. Sea

PROS RO

ln aplicación tal que Fler...) = (æ...,#v). Entonces el lector puede,
verificar fácilmente que F cs lineal. Se conoce a F como la proyección sobre
las primeras r coordenadas. En forma análoga, tendríamos una proyccción
sobre las últimas $ coordenadas por medio de la aplicación lineal 7, tal que

Llar Bn) = (er. Bn)

$

Ejemplo 7, En el cálculo de'varius variables se define el gradiente de una
función f de la siguiente manera:

Entonces, para dos funciones Jy 9, tenemos
wrad(f +9) = grad f + grady

y para cualquier mimero ¢,
srad(ef)

Por tanto, grad es una aplicación lineal

send f.

129. fay, 52] Aplicaciones líncalos m

Sea L:V > W una aplicación lineal. Sean u, v y w elementos de Y.
Entonces
uv +) = Li) + L(0) + Lu)
Eslo se puede ver por pasos, usando la definición de aplicaciones lineales. Así,
LG 040) = Lute) + Lu) = Du) + Lu) + Lu),

De la misma manera, dada una suma de más de tres elementos, se satisface una
propiedad análoga. Por ejemplo, sean un, .., un elementos de Y. Entonces

Huy +++ tin) = Els) + + L(us).
La suma de la derecha se puede efectuar en cualquier orden. Se puede dar
fácilmente una prueba formal mediante inducción, la cual omitimos.
Si a1,....an son números, entonces
Lars doch) = ar (1) ++ ap L(Un).
Mostremos este hecho para tres elementos:

Lays + age + a0) = Last) + Las») + L(asu)
= E(u) + av) + a3L(w).

Empleando la notación de suma escribitiamos
L (Se) art)
En la práctica, ls siguientes propiedades se satisfardn de mancra obvia, aun-

que resulta que se pueden probar a partir de los axiomas de aplicaciones lineales
y espacios vectoriales,

AL 3. Sea L:V — W una aplicación lineal. Entonces L(O) =

Demostración. “Tenemos que
1(0)=4(0 + 0) = 1(0)+ HO).

Al restar L{O) en ambos m
como se deseaba,

xñbros de la igualdad fe obtiene O =

(0), tal

AL 4. Sen L:V = W una aplicación lineal. Entonces 1(-v) ==1(p)

Demostración. Tenemos que
0= L(O) = Lv) = Lu) + L-v).
Al sumar —5{v) a ambos lados de la igualdad obtenemos el aserto deseado.
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130. 122 Aplicacioncs lineales wv, 51

Podemos observar que los valores de una aplicación lineal quedan determina-
dos si conocemos los valores de los elementos de una base.

Ejemplo 8. Sea L:R?—R? una aplicación lineal. Suponga que
11,0=(.) y L@-D=C
Encuentre L(8,—1).

Para hacer esto, escribamos (3,—1) como combinación lineal de (1,1) y
(2,-1), de ahí que hemos tenido que resolver

(8,1) = 2(1,1) +06

Esto equivale a resolver el sistema.

1)

2+0y=

2 y

1, u= $ En consecuencia,

194 dead = E *).

Ejemplo 9. Sea V un espacio vectorial y sen L: Y —» R una aplicación
lineal. Afirmamos que el conjunto $ de todos los elementos v de Y, tales que
iv) < 0, es convexo.

Demostraci

La solución es

13,1) ==1(1,1) +yLQ,-1

m L{u) < 0 y Eu) <0. Sead <t < 1. Entonces
(to + (1 Du) =11(v) + (1-90).

Entonces Lv) <0 y (1,-t)L(u) < 0, de manera que th(v) + (1,—t)L(w) <0;
por lo que tu-+(1—?)w estáen S. Sit=0 o t=1, entonces (v4 (1 — t}u es
igual a u 0a w y ésto también está en S. Esto prueba nuestro aserto

Consulte el Fjercicio 14 para ver una generalización de este ejemplo.
Las coordenadas de una aplicación lineal
Primero, sea
EVORA"
‘una aplicación cualquiera, de manera que cada valor F(v) es un elemento de Te”
y por tanto, tiene coordenadas. Así, podemos escribir

FO) = (Al) 0 PP M)
Cada F; es una función de Y en R, que escribimos
RVoR
Ejemplo 10. Sea F:R* + RP la aplicación
Jedayz

y).

131. Aplicaciones lincales 193

F(z, =%-y, Fele,y)=32+4y, — Fole,y) aby.
Observe que cada función coordenada se puede expresar en términos de un pro-

ducto interior. Por ejemplo, sea
A=@-), 4=04 4=(,-5.
Entonces
By) =4:- (ey) pe ¿=1,2,3.
Cada función

Xe AEX
es lineal, En forma bastante más general
Proposición 2.1. Sea F:V — RM una aplicación de un espacio vectorial V

en R". Entonces # es lineal si, y sólo si, cada función coordenada Fi: V — R
es lineal, para # = 1,...,n.

Demostración. Para v y w € V, tenemos
F(v + w) = (Fo + w),...,Falv +0),
PO) = (AG)... Fa),
Fo) = (Bo). nC),
por tanto, F(e-+1) = F(n)+ Fu) si, y sólo si, ifu+ 1) = lu) + Filu) para

todo ¿=,....,n por la definición de adición de n-tuplas. El mismo argumento
demuestra que, si c € R, entonces P(ce) = eF(u) si, sólo si,
Rice) =cFdt) paratodo i=l,...,n
Esto prueba la proposición.
Ejemplo 10 (continúa). La aplicación del Ejemplo 10 es lineal debido a que
todas las funciones coordenadas son lineales. En efecto, si ol lector escribe el

vector (2,y) en forma vertical, se dará cuenta de que la aplicación F es, de
hecho, igual a Za pera alguna matriz A. ¿Cuál es esta matriz A?

El espacio vectorial de las aplicaciones linénles

Sean V y W dos espacios vectoriales. Consideremos el conjunto de todas las
aplicaciones lineales de V. en W y denotemos este conjunto con £(V,W), o
simplemente £ si ln referencia a V y W es clara. Definiremos la adición de
aplicaciones lineales y su multiplicación por números de tal manera que £ se
convierta en un espacio vectorial,

Scan L:V — W y F:V — W dos aplicaciones lincales. Definimos su suma
+ F como la aplicación cuyo valor en un elemento u de V es E(u) + Fu)
Por tanto, podemos escribir

(24 Fu) = Lu) + Fu),

132. las Aplicaciones lineal av, $3

Entonces la aplicación L + # es lineal. Ciertamente, es fácil verificar que se
cumplen las dos condiciones que definen una aplicación lineal. Para cualesquiera
elementos u y v de Y, tenemos

(14 Pluto) = Mute) + Pluto)

Au) +10) + Flo) + FC)

(u) + Fw) + Lo) + Flo)
= (L4 FW + (E+ PQ),

Además, si € es un número, entonces

(L+ Pleu)

Leu) + Flew)
Lu) + el)
= du) + Fu)
= dL + Fu).
En consecuencia, L + F es una aplicación lineal
Si a es un número y L:V — W es una aplicación lineal, entonces definimos

una aplicación al de V en W dando su valor en un clemento w de Y, 2 saber,
.a con facilidad que aL es una aplicación

Bneal; dejamos esto como ejercicio.
“Acabamos de definir operaciones de adición y multiplicación por números en

muestro conjunto £. Además, si L:V —= W es una aplicación lineal, ie, un
elemento de £, entonces podemos definir —£ como (—1)Z, es decir, el producto
del número —1 por L. Por último, tenemos la aplicación nula, que a cada
elemento de V le asocia el elemento O de Y . Entonces £ es un espacio vectorial.
En otras palabras, el conjunto de aplicaciones lineales de Y en W es él mismo,
un espacio vectorial. La verificación de que se satisfacen las rexlas EV 1 a EV
8 para un espacio vectorial es sencilla y se deja para el lector,

Ejemplo 11. Sea V = W {el espacio vectorial de funciones que
derivadas de todos los órdenes. Sea D la derivada y sen I la identidad.
está en V, entonces

(D+ Df = DI+S.

Asi, cuando f(z) = e*, entonces (D+ Df es la función cuyo valor en z es
eee.

Si f(z) = sen, entonces (D-+30)f es la función tal que

(D + 3D P)() = (DIN) + 31/(2) = cosz + Bsen 2.

Se observa que 3: / es una aplicación lineal, cuyo valor en f es 3f- Así,
(D+3-1)f = D +31. En cualquier número 2, el valor de (D+3-1)/ es
Dfte) + 3f(2). También podemos escribir (D 4-31) = DS +3/

133. Oy, #2] Aplicaciones lineales 195

Rjercicios IV, $2

1. Determine enâles de las siguientes aplicaciones F son lineales.
(a) F:R? — R? determinada por F(x, ,) = (2,2)
(2) FR! RE determinada por F(X)
(6) P:R? —+ Ri determinada por F(X) = X + (0,-1,0).
(a) P:R?— RE determinada por F(e,») = (22 +9)
(e) FRE R? determinada por F(z, y) = (2,9 2).
(0 FER? +R determinada por P(z,9) = (9,2)
(6) FR? — R determinada por F(x, 9) = zu.

2. ¿Cuáles de las aplicaciones que aparecen en los Ejercicios 4, 7, 8, 9 de la sección $1,
son lineales?

3. Sean V y W dus espacios vectoriales y sea P:V —+ W una aplicación lineal. Sea.
U el subconjunto de V que consta de todos los elementos » tales que F(y) = O.
Pruebe que U es un subespacio de V.

4. Sea J: V —» W una aplicación lineal. Pruebe que la imagen de Z ex un anbespacio

de W. [Esto se efectuará cn la siguiente sección, pero inténtelo ahora el lector, para.
‘que adquiera práctica]

5, Sean A y B dos matrices de mx. Suponga que
AX = BX

X. Muestre que A= B. Esto también se puede enunciar
si La= Lo, entonces A = B.

6. Sea Tu:V — V la traslación determinada por un vector u. ¿Para qué vectores u
es una aplicación lineal Ty?

1, Sea LV — WF una aplicación tinea.
(2) SS es una recta en V, muestro que la imagen /(5) es, o bien una recta en
W, o bien un punto.
(©) SES es un segmento de recta en Y entre los puntos P y Q, demuestre que la
imagen (5) es, o bien un pont, o bien un segmento de recia en 1. ¿Entre
cuáles ponton de W?
(© Sean a y vz elementos de Y linealmente independientes. Suponga que £(o1)
y Les) son lucalmente independientes en W. Sex P un elemento de Y y en
$ el paralogramo

P+omthe donde O<4<1 para à

Muestre que la imagen 1(«) es un paralelograme en W.

(@) Sean u y w elementos incalinente independientes de un espacio vectorial Y. Sea
F:V — W una aplicación lineal. Suponga que F(0) y Fw) son linealmente
dependientes. Demuestre que la imagen bajo Y del paralelogramo generado por
vy w es un punto, o bien un segmento de recta.

12

134. 126 Aplicaciones lineales OV, #2]

8. Sean By = (1,0) y Ea
RE en af mismo, tal que
FUR)= (D y P(Fa) = (-1,2)-
Sea S el cuadrado con vértices en (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1). Muestre que la
Imagen de este cuadrado bajo P es un paralelogramo.

(0,1) como de costumbre. Sea F una aplicación lineal de

9. Sean À y B dos vectores no nulos en el plano tales que no hay ninguna constante
cf 0 tal que B—cA. Sea L una aplicación lineal del plano en sí mismo tal que
LE) = À y L(Es) = B. Describa la imagen bajo L del rectángulo cuyos vértices

se encuentran en (0,1), (3,0), (0,0) y (9,1)
10. Sea LER? — R? una aplicación lineal, que tiene el siguiente efecto sobre los vectores
indicados

(3) 3,3) = (1,2) y M
@) 24,1) = (1,0) y £01) =
(©) 10,2)= 21) y UD
En cada uno de los casos calculo Z(1,0)

11. Sea L como en (a), (b} y (6) del ejercicio 10. Encwentze Z(0,1).

12, Sean Y y W dos espacios vectoriales y F:¥ — W una aplicación lineal, Sean
wat elementos de W, los que son lincaltuente independientes, y sean 01
9. elementos de V tales que F(ui) = wi para i = 1,...,n. Demuestre que
ee fom linealmente independientes,

13. (a) Sea V un espacio vectorial y F:V — R una aplicación lineal, Sea W el
«subconjunto de Y que consta de todos los elementos v tales que F(x) = 0.
Suponga que W 7 V y sea me un elemento de Y que no está en W. Demuestre.
“que todo clemento de V se puede escribir como una gurna u + ers, con algún.
wen W y algún número €.

(6) Muestre que W es un subespacio de V. Sea (t5,....cx) una base de HP.
Muestre que (00,91, 09) es una base de Y

Conjuntos convexos

14. Demuestre que la imagen de un conjunto convexo bajo una aplica

lineal es

15. Sen Li —= W una aplicación lineal. Sea T un conjunto convexo en W y sea S el
conjunto de elementos 9 € Y tales que J(2) € T. Demuestre que $ es convexo.

Observación. ¿Por qué estos ejercicios dan una prueba más general que la que
el lector debería haber desarrollado con anterioridad? Por ejemplo: sea A € R” y
Sea c un asimero, Entonces el conjunto de todos las X € A” tales que XA > c
ea convexo. Además, si 3 es un conjunto convexo y € cs un número, entonces eS es
Convexo, ¿Cómo se interpretan estos enunciados como casos especiales de los Ejercicios
14 y 157

16. Sea S un conjunto convexo en V y sea u € V. Sea Tu — V la traslación
“determinada por st, Muestre que la imagen de Tu(S) es convexa.

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135. ftv, $3] EI núcico yla imagen de una aplicación lineal 197

Vectores prapios y valores propios. Sea V un espacio vectorial y sea LV — Y.
una aplicación lineal. Un vector propio + para L es un elemento de V tal que existe
tun escalar € con la propiedad siguientes

Ue) = en
El escalar e $e conoce como valor propio de v con respecto a L. Si v 20, entances
© está determinado en forma única. Cuando Y es un espacio vectorial enyos clementos
son funciones, entonces a un vector propio también sele conote como función propia.

17. (a) Sea V el espacio de Las funciones diferenciables en R. Sea f(1) = e*, donde
© es algún número. Sea L la derivada d/dt. Demuestre que f es una función
propia para L. ¿Cuál es el valor propio?

(b) Sex Z segunda derivada, esto es,

es
a

para cualquier fanción $. Demuestre que Is funciones sent y cost son funciones
propias de Y. ¿Cuáles don los valores propios?

n=

16, Sea L:V — Y una aplicación lineal, y sen YY el subconjunto de elementos de Y
formado por todos los vectores propios de L con un valor propio e dado, Muestre
que We un subespacio,

19, Ses L:V + V una aplicación lineal. Sean P1,..., a vectores propios para L, con
valores propios £1,...,cn, respectivamente. Suponga que c1,..., €, son distintos
cure sí. Pruebe que 05,.-.; tn son linealmente independientes. (Sugerencia: Use
inducción]

TY, $3. Fl núclco y la imagen de una aplicación lineal

Sea F:V — W una aplicación lineal. La imagen de Pes el conjunto de

elementos w de W para los cuales existe un elemento y de Y tal que F(v) = w.
La imagen de 4 es un subespacio de W

Demostración. Observe primero que F(O) =O y, en consecuencia, que O
«ati en la imagen. Luego suponga que w: y w2 están on la imagen. Entonces
existen elementos ny y vp de V tales que 401) = un y Flv) = wa. Por tanto,

Foo Fey) = Fle) + Flos) = tr,

con lo que se prueba que 12; + us está eu laimagen. $i ¢ es un número, entonces

Flen) = ern) = eu

Por tanto, eux está en la imagen. Esto prucba que la imagen es un subespacio
de W.

Sean Y y W espacios vectoriales y sca F:V — IV una aplicación lineal. El
conjunto de clementos » € V Lales que F(x) = 0 se conoce como múcleo de F.

El núcleo de P es un subespacio de Y.

136. 128 Aplicaciones lineales

Demostración. Como F(Q) = O, vemos que O está en el
amos que vy w están en el mícleo. Entonces F{u +) = F(e) + F(w) =
O40 = 0, de manera que v + está en el núcleo. Si e es un número, entonces
F(ce) = eF(v) = 0, por lo que cv también está en el núcleo, En consecuencia,
el núcleo es un subespacio.

Ejemplo 1. Sea L:R° — la aplicación tal que
Líejyi2) = 32 Byte

Así, si A=(3,-2,1), podemos escribir
L(X)=X-A=4-X.
Entonces el núcleo de L es el conjunto de soluciones de la ecuación

32 2y+2=0.

Por supuesto, esto se generaliza. al espacio de dimensión n. Si À es un vector
arbitrario de R°, podemos definir la aplicación lineal

LaR oR

tal que La(X) = A+ X. Su núcleo se puede interpretar como el conjunto de
todos los X que son perpendiculares a A

Ejemplo 2... Sex P:R? — R? la proyección, tal que
Pra) = (a)

Entouces P es una aplicación lineal euyo núcleo consta. de todos los vectores de
IR? cuyas primeras dos coordenadas son iguales a 0, i., todos los vectores

(0,0,=),

donde 2 es una componente arbitraria.

Ejemplo 3. Sea A una matriz de nex n y sea
Las RO RA

la aplicación lineal tal que PACX) = AX . Entonces e] núcleo de La es, preci
sumente, el subespacio de soluciones X de las ecuacioncs lineales

AX=0.

Ejemplo 4. Ecuaciones diferenciales. Sea D la detivada, Si la variable
real se denota con 2, entonces también podemos escribir D = d/dr. La deri-
vada se puedo iterar, de manera que la segunda derivada se denota con D* (0
(4/ds)®). Cuando se aplica a ma función, escribimos D°f, de manera que

137. A] El núcleo y le imagen de una aplicación lineal 129

Se procede en forma análoga para DP, D*,...,D para la derivada de orden n

Ahora sea V el espacio vectorial de funciones que admiten derivadas de todos
los órdenes. Scan ay)... HÚmeros, y sea 9 un elemento de V, esto es, una
función infinitamente diferenciable. Considere el problema de hallar una solución
J de la ecuación diferencial

Podemos reescribir esta ecuación sin la variable 2, en la forma
am" 4 am tar = 9:
Cada derivada D* es una aplicación lineal de V en sí mismo. Sea
LE an D + an Detail.
Entonces L es una suma de aplicaciones lineales y es ella misma una aplicación
lineal. Así, la ecuación diferencial se puede escribir en la forma siguiente:
un=g

Esta se enenentra ahora en una notación similar a la que se usó para resolver
ecuaciones lineales. Además, esta ecuación está en forma “no homogénea”. La
ecuación homogénea asociada es la ceuación

1) =0,

donde el miembro de la derecha de la igualdad es la función mula. Sea W el
úcleo de I, Entonces W es el conjunto (espacio) de soluciones de la ecuación
homogénea

ag D™f ++ af =.
Si existe una solución fy para la ecuación no homogénea. L(f) = 9, entonces
todas las soluciones se obtienen mediante la traslación

La + W = conjunto de todas Ins f
Vea el Ejercicio 5.

jones fot f; donde f está en W.

En varios ejercicios anteriores buscamos la imagen de las rectas, de los planos
y de los paralelogramos bajo una aplicación lineal, Por ejemplo, si consideramos
el plano generado por dos vectores linealmente independientes v y uz de Y, y

LY W
3 una aplicación lineal, entonces la imagen de ese plano será un plano, siempre
que Ty) y Lu) también sean linealmente independientes. Podemos dar un

«riterio para esto en términos del múcleo y el criterio es válido en forma bastante
general de la manera siguiente.

Teorema 3.1. Sea F:V -+ W una aplicación lineal cuyo núcleo es (0). Si
Usa son elementos lincalmente independientes de V, entonces
Fu). Fon) son elementos de W linealmente independientes.

138. 190 Aplicaciones lineales fy, $3)

Demostración. Sean 21,.--,2n mitneros tales que
FC) ++ zn ton) = 0.
Debido a la lincalidad, tenemos que
Faim + tum) 0,
En consecuencia, 2101 +--+ ath =O. Puesto que %1)--.tn son linealmente
independientes, se infere que 2 = 0 pare i= 1,...,n. Falo prueba nucstro
teorema,

A menudo abreviamos múcleo e imagen escribiendo Ker e Im, respectiva:
mente. El siguiente teorema relaciona las dimensiones del núcleo y de la imagen
de una aplicación lineal, con la dimensión del espacio en el cual está definida la
aplicación.

Teorema 3.2. Sea V un espacio vectorial, Sex L: V — W una aplicación

lineal de V cu otro espacio W. Seu n-la dimensión de V, q la dimensión

del múcleo de L y s In dimensión de la imagen de L. Entonces n = q+s.

En otras palabras,

dim Y = dimKer L + dimIn L.

Demostración. Si la imagen de L consta sélo del O, entonces nuestro aserto
es trivial, Por consiguiente, podemos suponer que & > 0. Sea {1M,.-.,w.) Wa.
ase de lacimagen de L. Sean vyy---%, elementos de V tales que L(vi
para ¿=1,...,8. Si el núcleo no cs (0), sea (41, ,u,} una base del núcleo,
Brel núcleo ds {O}, deberá quedar entendido que en lo que sigue será omitida
toda referencia a {u1,.--.tg)- Afırmamos que

nt)

es una base de Y. Pato será suficiente para probar nuestro aserto. Sen y
cualquier elemento de Y . Entonces existen números 2... tales que

Te) = zum +b et,
debido a que (ur, --,17,) es una base de la imagen de L. Por lincalidad,
Le) = Days +--+ au),
y, de nuevo por lincalidad, al restar el miembro derecho del miembro izquierdo
se infire que
Ur = am -
En consecuencia, u 7141 =
Vij. «8 tales que

Fats) =O.
zu, está en el núcleo de L y existen números

PCT nut tl
Por tanto,
vere be tu tum tt
cs una combinación lineal de #,-.+, U, un, Ms lo cual pruebá que estos 944)
ddementon de V generan Y.
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139. m El núcleo y la imagen de una aplicación lineal 131

Ahora mostramos que son linealmente independientes y, en consecuencia, que
constituyen una basc. Suponga que existe una relación lineal

sine bat byte
Al aplicar L a esta relación y al usar el hecho de que Z(u,) = O para j =
1,...,9; oblenemos

O)
Pero Z(v1),.... Lu) no son obra cosa más que ws,
que son linealmente independientes. De modo que 2.
por ello,

1, Jos cuales se supone
O para i= 1,8, Y

Mut.
Pero %,...,üp constituye nna base del núelco de L y, en particular, son li-
nealmente independientes, por lo que todos los yj = 0 para j= 1,...,q. Psto
concluye la demostración de nuestro aserto.
Ejemplo 1 (continúa). La aplicación lineal L:R° —+R del Ejemplo 1 está
dada mediante le fórmula

Lena) = 3e By +2.
Su núcleo consta de todas las soluciones de lu ecuación
3e y+s=0

Su imagen es un subespacio de R, no es (0) y, por tanto, es todo R. Así pues,
su imagen tiene dimensión 1 y, en consecuencia, su núcleo tiene dimensión 2.

Ejemplo 2 (continúa). La imagen de la proyección
PR Re?
del Ejemplo 2 es igual a todo R? y el micleo tiene dimensión igual a 1.

Ejercicios IV, 13

Sea L:V — W una aplicación lineal
1. (a) Si S es un subespacio de V de una dimensión, demuestra que la imagen L(S)
es, o bien un punto, o bien una recta.
(0) Si $ es un subespacio de Y de dos dimensiones, demuestre que la imagen (5)
puede ser un plano, una recta o un punto.

2. (a) Si S es una recta arbitraria de V (consúltese el Capítulo II, sección $2), muestre
‘que la imagen de $ es, o bien un punto, o bien una recta.
(b) Si $ es un plano arbitrario de V, demuestre que la imagen de S puede ser un

plano, una recta o un punto.

5. (a) Sea F:V — W una aplicación lineal cuyo nécleo es (0) . Suponge que V y 1%
tienen la misma dimensión n. Derauestre que la imagen de F' es todo W.

(0) Sea P:V — W una aplicación lineal y suponga que In imagen de F es todo W.
Suponga que V y W tieuen la misma dimensión n. Muestre que el nicleo de
Pes (0).

140. 132 Aplicaciones nales wol

4. Sea L:V — W ane aplicación lineal. Suponga que dim > dim W. Muestre que
el núcleo de L no es 0.

5. Sea L:V — W una aplicación lineal, Sea w un elemento de W. Sea ny un
elemento de Y tal que L(vo) = 10. Muestre que cualquier solución de la ecuación
TCX) = w es del tipo vo À u, donde u es un elemento del núcleo de £.

6. Sea Y el espacio vectorial delas funciones que tienen derivadas de todos los órdenes,
y sea DiV — V la derivada, ¿Cuál es el núcleo de DT

7. Sea DF la segunda deivado (ie, laiteración de D tomada dos veces). ¿Cuál es el

nifcleo de D*? En general, ¿cuáles el núcleo de 1" (la n-ésima derivada)?

8. (a) Sean V y D como en el Ejercicio 6. Sea = D—T, donde T es la aplicación
identidad de V. ¿Cuál es el núcleo de 1?
(2) La misma pregunta para L = D — al, donde a es un ni

del subespacio de R” que consta de aquellos vectores.
1) tales que ai + ran =07
'nsiön del subespacio del espacio de las matrices (a,;) de nen.

(0) ¿Cuál es la
{ales que

aut tan a

10. Se dice que una matriz A de u x es antisimétrica si "A = A. Demuestre que
cualquier matriz À de n x n se puede cacribir como wna suma.

A=B4+0,

à B

donde B es simétrica y C es antisimétrica. [Sugercnci (sad
Demuestre que, si A = Bs + Ci, donde By es simétrica y Ch es antisimérrica,
entonces B= By y C = Ci

11. Sen AF el espacio de todas las matrices de n x n. Sea
PM M

1a aplica

tal que
A) =

(2) Demuestre que P es lineal.

(b) Demuestre que el núcleo de P consta del espacio de las matrices antisimétrieas

fe) Demuestre que la imagen de 1? consta. de todas las matrices simétricas. [Cui-
dado. Se tiene que probar dos cosas: para cualquier matriz A, P(A) e
simétrica. Reciprocamente, dada una matriz simétrica B, existe nna matr
‘A tal que B= P(A). ¿Cuál es la posibilidad más simple para tal A?)

(a) Fl lector debió habez determinado con anterioridad la dimensión del espacio.
de las matrices simétricas y seguramente cucontró que era igual a n(n + 1)/2:
Gul es entonces la dimensión del espacio de las matrices antisimétricas?

(e) Exhiba una base para el espacio de las matrices antisimétricas.

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141. Oy, $3] nich

la imagen de una aplicación lineal 133

12. Sea M el espacio de todas lax matrices de nx m, Sea
GM-M
Ja aplicación tal que

aa

(a) Demuestre que Q es lineal.
(b) Describa el múcico de Q y determine su dimensión
(©) ¿Cuál es la imagen de Q?

13. Se dice que nna función (evaluada en los reales, de una variable zeal) es par si
J(-2) = ff). Se dice que es impar si Ce) =—/(2)
(a) Verifique que sen x es una función impar y que cosz es una fención par
(b) Sea V el espacio vectorial de todas las funciones. Defna la aplicación

Bvov

como (Pf)E)= (Ste) + J(—2)}/2. Demuestre que P es una apli
(6) ¿Cnál esol nicteo de PT
(3) ¿Cuál cola image de P? Pruche sus aserto.

¡ón lineal.

14. De muevo, sea V el espacio vectorial de todas las funciones. Defina la aplicación
avov
como (AN) = (f(z) f(-2))/2
(a) Demuestre que Q es una aplicación lineal.

(b) ¿Cuál es el núcleo de Q?
(©) ¿Cuál ex la imagen de QY Pruebe su aserto,

Observación. Los Ejercicios 11, 12, 13 y 14 tienen ciertos elementos formales
en común. Estas características comunes se discutirán más adelante. Consnlie los
Ejercicios 4 à 7 del Capítulo V, sceción $1

15. El espacio producto. Sean U y W espacios vectoriales. Fl producto directo,
U x W que simplemente llamaremos producto, es el conjunto de todas las parejas
(wu) con u GU y w € W. No deberá confundirse con el producto de números,

el producto escalar ni con el producto vectorial, que algunas veces se usa en
fisica para denotar un tipo diferente de operación. Es un hecho histórico desafortu-

“nado que la palabra producto se use en dos diferentes contextos, y el lector deberá

acostumbrarse a clio, Por ejemplo, podemos considerar Rt tom un producto,

PRT = RR

tomando una tetrada (21,22, 13,74) como el resultado de colocar juntas a la terna
(21,22,25) y al número sencillo 24. En forma análoga,

RRA,

considerando (21,21, 22,24) como el resultado de colocar juntos a (21,22) y (#3,

a).

Si (usa) y (uz, 5) son elementos de U x W, de manera que
Mel y wwe,

142. = Aplicaciones lineales iv, $4

definimos su suma componente a componente, esto es, definimos

nun +) = (u tan tw).

Si e es un nimero, defnimos alu) = (eu cu).

(a) Demuestre que U7 x W es un espacio vectorial con estas dehnicones. ¿Cuál es
al demento cero?

(6) Demuestre que dim (U x W) = dim + dimW. En efecto, sca tus) (=
Joven) una base de U y (83) G = 22m) una base de W. Demuestre
ave los elementos {(us,0)) y 10, w;)} forman una base de U x W.

e 8 0 un subespacio de un espacio vectorial V. Denwatre que el subconjunto
de V x V que consta de todos los elementos (u, u) con 1 EU, eu un subespacio
de Vx.

(&) Sea {ui} una base de U. Demuestre que el conjunto de elementos (Hi
una base del subespacio que aparece en (6). En consccurneia, la dime
este subespacio es la mismo que la dimensión de (

16. (Debe hacerse después de realizar el Ejercicio 15.) Sean U y W subespacios de un
espacio vectorial Y. Demuestre mediante el método indicado que

W = dim(U + #7) + ml NW

dim +

(2) Demuestre que la aplicación

LU Y

dada por

es na aplicación lineal

(6) Demuestre que la imagen de E es U + W.

le) Demuestre que el mícleo de Z es cl subespacio de Ux W que consta de todos
Jos elementos (u,u) donde u está en UMW, ¿Cuál es una base para cste
subespacio? ¿Cuál es su dimension?

(a) Aplique la fórmula: de la dimensión que aparece en el texto para concluir la
demostración

1%, $4. El rango y las ecuaclones lineales de nuevo

Sea A una matriz dem xn,

are aim
4-5 )
Ama 000 On
Soa La:R” — R la aplicación lineal que se definió antes, a saber,
La(X) = AX.

Como ya hemos mencionado, el núcleo de La cs el espacio de soluciones del
sistema de ecuaciones lineales cscrito en forma abreviada como

143. ty, 59 El rango y las ecuaciones nca de nuevo 135

Analicemos ahora su imagen.

Sean EN, ...,E” los vectores unitarios canónicos de R”, escritos como vee-
tores columna dé la siguiente manera:
1 0
0 0
Pl: ls A E
0 1
Entonces la multiplicación ordinaria de matrices muestra que

AD = 48
es la j-ésima columna de A. En consecuencia, para cualquier vector
Xam tete,
cncontramos que
AX = La(X) = mA + 42040.

Así, vemos que:

Tooroma 41. Laimagen de La es lsubepaco generado po las clumnas

A.

En el Capítulo 111 dimos un nombre a la dimensión de ese espacio, a saber,
rango por columns, y vimos que es igual al rango por renglones y que se
conoce simplemente como rango de A. Ahora podemos interpretar este rango
también de la siguiente manera:

El rango de A es la dimensión de la imagen de Ls

Teorema 4.2. Sear el rango de A. Entonces la dimensión del espacio de
soluciones de AX =O es igual a nr.

Demostración. Por el Teorema 3.2 tenemos que
dimln La + dimKer La =

Pero dimlm L4 = y KerZ, es el espacio de soluciones de las ecuaciones
tales homogéneas, de manera que nuestro aserto ahora es claro.

Ejemplo 1... Encuentre la dimensión del espacio de soluciones del sistema
de ecuaciones siguiente:

de+y+ +20
2+y=2- wen
En este caso, la matris A cs

Ama)
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144. 136 Aplicaciones linesles

#4]

Tiene rango 2 debido a que los dos vectores

2 -1
1 $ 1
sou linealmente independientes, como se puede ver con facilidad. [Use operacio-

es por renglón y por columna, o bien, hágalo mediante eruncioneslincales] En.
consecuencia, la dimensión del espacio de soluciones es 4—2= 2.

Recordemos que el sistema de ecuaciones lineales también se podría escribir
en la siguiente forma

XA,

0 para i

donde A; son los renglones de In mutriz A. Esto significa que X es perpen-
dicular a cada renglón de A. Entonces X también es perpendicular al espacio
de renglones de A, ie. al espacio generado por los renglones. Ahora resulta
conveniente introducir alguna terminología.

Sea U un subespacio de R°. Sea

U+ = conjunto de todos los elementos X de R” tal que X-Y =O
para todo Y en U

Decimos que Ul es el complemento ortogonal de U. Es el conjunto de
Jos vectores que son perpendienlares a lodos los elementos de 17 o Lieu, come
también diremos, perpendicular al propio U. Entonces se verifica con facilidad
que LL es un subespacio (Ejercicio 8).

Sea U el subespacio generado por los vectores reiglön de la matriz A =
(ais). Entonces su complemento ortogonal Ul es precisesente el conjunto de
soluciones de las ecuaciones homogéneas

XAÿ=0 para todo i

En otras palabras, tenemos que

(espacio de renglones de”A)2 = Ker La = espacio de soluciones de
AX =0.

Teorema 4.3. Sea U un subespacio de R". Entonces
dimU + dimU* = n.

Demostración. Sea r = dimU. Si r = 0, entonces el aserto es obvio. Si
+ £0, entonces I/ tiene una base y, en particular, está generada por un número.
finito de vectores App... 4,, que se pueden considerar como los renglones de
‘ana matriz. Entonces la fórmula de la dimensión es un caso especial del Tborema.
42.

145. tv, 59 El rango y las ecuaciones lineales de nuevo 187

En el espacio de tres dimensiones, por ejemplo, el Teorema 1.3 prucba el
hecho de que el complemento ortogonal de una recta es un plano y viceversa, tal
como se muestra en la figura.

Figura 2

En el espacio de 4 dimensiones, el complemento ortogonal de un subespacio
de dimensión 1 tiene dimensiön 3. El complemento ortogonal de un espacio de
dimensiön 2 también tiene dimensión 2.

Estudiemos ahora brevemente las ecuaciones no Ioınogeneas, esto es, un sis-
tema de la forma

AX=B,
donde B cs un vector dado (m-tupla). Dicho sistema quizás no tenga una
solución; cn otras palabras, las ecuacioncs pueden ser lo que se llama “inconsis-
tentes”.

Ejemplo 2, Considere el sistema
de y+ z
d+ y= x
a -Wy+lr=s,
Resulta que el tercer renglón de la matriz de coeficientes

3 111
2 Mi
ques M7

ve obtiene al sustraer el segundo renglón del primero. En consecuencia, se infiere
de inmediato que el rango de In matriz es 2, Por otro lado, 54 1-2, de manera,
«que no puede huber una solución del sistema de ecuaciones anterior.

Teorema 4.4... Considere un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales
AX =B.

146. 138 Aplicaciones lineales Lv, 5

Suponga que existe al monos una solución Xo. Entonces el conjunto de
soluciones es precisamente
Xo+Ker La.

En otras palabras, todas Jus soluciones son de la forma
Xo+Y, donde Y es una solución de AY =O.

Demostración, Sea Y € Ker La. Esto significa que AY = O. Entonces,
A(Xo+Y)= AN + AY = B+0= 8,
de manera que Xo-+Ker La está contenido en el conjunto de soluciones. Recipro-
camente, sea X cualquier solución de AX = B. Entonces,
A(X = Xo) = AX - AXe = B-B=O.
En consecuencia, X = Xo + (X= Xo); donde X — Xy =Y y AY =O. Psto,
prueba el teorema.

Cuando existe al menos una solución del sistema AX = B, entonces dimKer
La se conoce como dimensión del conjunto de soluciones. Es la dimensión:
del espacio de soluciones del sistema homogéneo.

Ejemplo 3. | Encuentre la dimensión del conjunto de solu
sten de ecuaciones y determine este conjunto de TÚ

Qetyte=l
y-z=0

ones del siguiente

Vemos por inspección que hay al menos una solución, a saber, 2 = 4,
- Bl rango de la matin
fit
01

es igual a 2. Por tanto, la dimefisidn del conjunto de soluciones cs
pacio vectorial de las soluciones del sistema homogéneo tiene dimensi
encuentra fácilmente que una solución es

El es
aly se

1

ypire

y
En consecuencia, el conjunto de soluciones del sistema no homogineo es el com.

junto de todos los vectores.

(6,00) +11,1,D,

donde 1 varía sobre todos los números reales. Vemos que nuestro conjunto de
soluciones es una linea recta,

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147. iz asociada con una aplicación lineal 139

(Lv, 55]
Fjerciclos IV, $4

1. Sea A un vector no nulo en TR". ¿Cuál cs la dimensión del espacio de soluciones
de la ecuación A-X =07

2. ¿Cuál es la dimensión del subespacio de R® perpendicular a los dos vectores
(1,1,-2,3,4,5) y (0,0,1,1,0,7)2

3. Sea A un vector no nulo del espacio de n dimensiones. Sea P un punto en di
espacio de n dimensiones, ¿Cuál es la dimensién del conjunto de soluciones de la
ecuación.

XeA=P-at

4. ¿Cuál es la dimensión del espacio de soluciones de los siguientes sistemas de ecus-
«iones lineales? En cada caso, encuentre una base para el espacio de soluciones.

(2) 2+y-2=0 (by) z-ytz=0
mg
[CRE @ ahy
Qeoyte—0 r-
y+r=0

3
E
2
i
A
8
E
E
&
E
&
&
3
>

ciones lineales?

(2) 22 39+ et
my a+
(9 r=3g42=0 ett
miyos=0 24420
3e+4y= 0
segir
6, Sea L:V — W una aplicación lineal. Use un problema que aparece en el texto para.

probar que

ia L < dira Y

7. Sean A y B dus matrices que se pueden multiplicar entre sí, ie, tales que AU
existe. Pruche que.

Tanga de AB < rangode 4 y rango de AB < rango de B.

8. Sea U un subespacio de R”. Prucbe que U> también es un subespacio.

1% $5. La matriz asociada con una aplicación lineal

A cada matriz A le hemos asociado una aplicación lineal La. Recíprocamente,
dada una aplicación lineal

LRM RP,
probaremos ahora que existe alguna matriz asociada A tal que I

La

148. m0 Aplicaciones lineales LAS

„E® los vectores columna unitarios de R". Para cada j =
45, donde A} es un vector columna en R™. Por tanto,

sr)

Entonces, para cada elemento X en R”, podemos escribir
E )

10) =P") ++ za ME")

X= ab 4e tan

y, por consigniente,

Sma bebe”
= AX,

donde A esa matriz cuyos vectores columna son AY, ..., A". En consecuencis,
L = La, lo cual prueba el teorema.

Observación. Al trabajar con R” y R™ estamos en posi
bir vectores column; cs por eso que se pudo obtener en forma sencilla la matriz
A que se acaba de derivar. Más adelante, en esta sección, trabajaremos com
<spacios vectoriales mis generales, en términos de bases, y podremos escribir
horizontalmente los vectores de coordenadas, La notación horizontal dará lugar
à una transpuesta.

La matriz A anterior se denomina matriz asociada con la aplicación lineal
jr

Tal como vimos al estudiar ellespacio de columnas de A, podemos expresar
los columnas de A cn términos de los vectores unitari

© ue ( } uey-("")
an a

Ejemplo 1. Seu F:R® — K? la proyección o, en otras palabras, la apli
cación tal que F'(21,22,23) = (21,22). Fntonces la matriz asociada con A)

2 fu)

149. HAS La matriz asociada con una aplicación lineal 11

Ejemplo 2. Sea 7:R" — R" la matriz identidad. Entonces la matriz asociada
con I es la mat

100-0
010.0
000 1

que tiene componentes iguales a 1 en la diagonal y D en los demás Ingares.
Ejemplo 3. Sea L:R* — R? la aplicación lineal tal que

LE (i). EN (633 ue = (75). LE" =(5)-

Conforme a las relaciones (+), vemos que la matriz asociada con L es la matriz
2 93-51
1-1 47

Observación. Si en lugar de vectores columua usamos vectores renglón, ens
tonces para hallar la matriz asociada daríamos origen a una Lranspuesta.

Sea V un espacio vectorial de dimensión m. Si escogemos alguna base
{issu} de V, entonces cada, elemento de V se puede escribir en términos
de coordenadas de la siguiente manera:

VER ++ zu
Así, a cada elemento u de Y le podemos asociar el vector de coordenadas

we gros bet me
de manera que Y es el vector de coordenadas de w, entonces:
vows (ex eyo bot (an + Un ms

por lo que X+Y es el verlor de coordenadas de u +. Sea e un
entonces.

eX = enu+ beats
de manera que eX es el vector de coordenadas de eu. Por tanto, luego de escoger
ma base, podemos identificar Y con IR" a través de los vectores de coordenadas,

Sea L: V = V una aplicación lineal. Entonces, después de cscoger una baso
que nos dé una identificación de V cou R”, podernos representar L mediante
vna matriz. Distintas lecciones de bases darán origen a menudo a distintas xt
trices asociadas. Algunas de las bases que se eligen suelen proporcionar matrices
especialmente sencillas.

150. 142 Aplicaciones lineales vs

Ejemplo. Suponga que existe una base (11,..-,t) y que existen números
Green tales que

Ly sey para os
Entonces, con respecto a esta base, la matriz, de L es la matriz diagonal
a 0 0
0. 0
0 0 + 0,

Si escogiéramos otra base, la matriz L podría no ser tan simple.

El principio general para hallas la matriz asociada de una aplicación lineal
con respecto a una base se puede encontrar de la manera siguiente,

Sen (03,...,0a) la base dada de Y . Entonces existen números «4; tales que
Loy = m +++ Cant
Loa = Corr ++ Cont

¿Cuál es el efecto de E sobre el vector de coordenadas X de un clomento y EV?
Dicho elemento es de la forma

ven +44 Ent

Entonces.

ziL(u)

En consecuencia, hallamos que

Si C = (cy) es la matriz tal que E(w) = jee y X es el
vector de coordenadas de v, entonces el vector de coordenadas de
In es *CX. En otras palabras, on vectores de coordenadas, L se
representa mediante *C (transpuesta de C).

Observemos que trabajamos con la transpuesta de C en lugar de la propia
G. Esto se debe a que, al escribir ZV; como combinación lineal de vı,... Un ‚la
emos escrito en forma horizontal, mientras que antes la escribimos verticalmente
en términos de los vectores unitarios verticales E},..., 2"

151. ay, $5] 1a matriz asociada con una aplicación lineal ie

Ejemplo. Sea 1: Y — V una aplicación lineal. Sea v4, 2,5} una base de
V tal que

va) = u te = dos,
Dita) = Sey + Ae + us.
Entonces la matriz asociada con Z sobre los vectores de coordenadas es la matriz

2-15
Sa |,
0-4 2

que es la transpuesta de la matriz

2-1 0
i dit
re,

Quizá el lector se pregante cómo cambia la matriz que representa una apli-
«cación lineal cuando cambiamos una base de V. Podemos encontrar le respuesta
fácilmente de la manera siguiente. Primero veamos cômo cambian les coordenae

Apéndice: Cambio de hases

Va} una base y (11, ..., 10m) otra base de Y.

Denótense con X las coordenadas de un vector con respocto a (u...) ¥
dendtense con Y les coordenadas del mismo vector con respecto a (wn,
un}.

¿Dn qué difieren X y Y? Ahora daremos le respuesta. Sea v el elemento de
Y que tiene coordenadas X, considerado como un vector columna, Asi,

ve an titania,

Esto se asemeja aun producto interior y será conveniente usar la siguiente no-

donde % es ahore una n-tupla renglón. En forma análoga,

Jo

152. ii Aplicaciones lineales LA

Podemos expresar cada w como combinación lineal de ls elementos de La base
‘tos st, de manera que existe una mali 4 = (bj) tal que, para cada i,

= Dyes bist

‘Sin embargo, podemos escribir estas relaciones en forma más eficiente en forma,

OO

Por consiguiente, la relación para 1 en Lórminos de los eleznentos de las bases se
puede expresar en la siguiente forma:

el

Por tanto, debemos tener 8 = X. Tomar la iranspuesta nos da la relación
deseada

Note-de-tuevo ta transpuesta, El cambio de coordenadas de una base a otra,
está dado en términos de la transpuesta de la mutriz que expresa cuda uy como,
combinación lineal de #1... Um»

Observación. La matriz B os invertible.

Demostración. Hay varins maneras de ver esto. Por ejemplo, con los :nismos
argumentos que heınos dado, yendo de una base 8 otra, existe una matrix C tal
que

Y ="0X.
Pato es cierto para todas las n-tuplas coordenadas Xy Y Así, obtenemos
KEWICx ="(0B)X. |

para todas las n-tuplas X. En(gonsecuencia, CB £ I es In matriz identidad:
En forma análoga, BC = 7, de manera que B es invertible,

Ahora sea E: V — Y wna aplicación lineal. Sea M la matris que representa
a L con respecto a la base (t1,..-,tr) y seo Mla matriz que representa à Jy
con respecto a la baso (11, .-, 05) + Por definición,

MX con respecto a (us: +9),
MUY con respecto a (wi... 2th)

Por lo que acabamos de ver, tenemos necesariamente que

las coordenadas de L{x) son {

153. av, $5) La matriz asociada con una aplicación lineal 145

Sustituya X = "BY y mulliplique por la izquierda ambos lados de la igualdad
por 'B””. Entonces encontramos que
‘BM BY =MY.
Esto es cierto para todo Y. Si hacemos que N= , entonces obtenemos la
M en términos de M, a saber,

M=NIMN | donde W='B.

Por tanto, la matriz que representa a la aplicación lineal cambia mediante una
transformación de semejanza. También podemos decir que Mi y M son somo
Jantes. En general, dos matrices M y M° son semejantes si existe una matriz
invertible W tal que Mf! = NM"

En la práctica, no conviene escoger bases demasiado pronto. Para muchos
problemas se debe seleccionar una base para la cual la matriz que representa. a.
la aplicación lineal sea la más simple, y trabajar con esta base.

Ejemplo. Suponga que, con respecto a alguna base, la matriz Af que repré
senta a L es diagonal, digamos

2 0
64)
Entonces a matrir que representa Léon respecto a otra ba srá de a forma

NIMN,

la que puede parccer un terrible revoltijo. Cambiar Nex forma arbitraria co
rresponde a escoger una base arbitraria (por supuesto, N debe ser invertible).
Más adelante, cuando estudiemos vectores propios, encontraremos condiciones
en las cuales una matriz que representa una aplicación lineal es diagonal con
respecto a una conveniente clección de base.

Ejercicios IV, 55

1. Encuentre Ia matriz asociada cogílas siguientes aplicacgnes ineals
(a) FR! RE, dada por Prusse) = (23,75) (a provección)
(b) La proyección de Rt en R°.
(2) F:R? + R? dado por F(e,9) = (8x, 39)
eo e dele RUE

(e): FR” = RP dado por FIX) A.
(D FER* RI dado por F(s1,22,23, #4

='2,2,0,0)

2, Sea e un número y sea LER” +R” la aplicación lineal tal que L(X) = eX. ¿Cuál
vs la matriz asociada con esta aplicación lineal?

154. ie Aplicaciones Nineles nv, sl

3. Sen P:R! + I? la aplicación lineal indicada. ¿Cuál es la matriz asociada de #7

(0 FE) = (3) FE) = CH FR) = ()

vera) - (ama).

ee dimmers re Sa N.
(a) Flo) = 302 es,

1

Flos) = 2004405 + Son
(9) E(u) 30, Fo) = Ten Fl) = Su.
(6) Fl) = 201 403,

Fe) = 0%,

Fla) =o.

5. En el texto dimos una descripción de una matriz asociada con una aplicación
de un espacio vectorial en af mismo, con respecto a una base. En forma más
neral, sean Y y W dos espacios vectoriales. Scan {v1,...,va} una base de V |
Yun... um} una base de W. Sea LiV — W una aplicación lincal. Describa e
lector cómo podría asociar una matriz con esta aplicación lineal à
sobre los vectores de coordenadas.

6, Sex 1: V = wna aplicación lineal. Sea e € Y. Decimos que v es un vector propi
para L si existe un número € tal que £(o) = ev. Suponga que V tieac una bi
a) que consta de vectores propios, donde L{n:) = civ para.
8 la matriz que representa a L con respecto a esta base?

155. CAPITULO v

Composición y
aplicaciones inversas

Y, 1. Composición de aplicaciones lineales.

Sean U, Y y W conjuntos. Sean

PUSV y GV-W
aplicaciones, Entonces podernos formar la aplicación compuesta de U en W
denotada con Go À. Por definición, es la aplicación tal que

(GoF)(u) = ELF) para todo u en D

Ejemplo 1. Sea A une matriz de mx n y sea A una matriz de 9 x m.
Entonces podemos formar el producto BA. Sea

TAB? +R” la aplicación lineal tal que LAK) = AX

y sea
Lp:R” + RE la aplicación lineal tal que L(V) = BY.
Untonces podemos formar la aplicación lineal compuesta Ly o Za tal que
(Lp o La XX) = Lo(La(X)) = ba(AX) = BAX.
Así tenemos que

LpoLa= Loa

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156. 148 Composición y aplicaciones inversas. mw

Vemos que la composición de aplicaciones lineales corresponden a la multipli
cación de matrices.
Ejemplo 2. Sea A una matriz de m x n y sea
Loro Ro
la aplicación lineal usual tal que La(X) = AX
E oR”

a O un vector de R™ y sea

Ja traslación determinada por C esto es, To(¥) = Y + C. Entonces, la apli
cación compuesta Ye o La se obtiene al aplicar primero La a un vector X y
Juego al trasladar mediante C. Ast,

Teo La(X) = Te(La(X)) = Te(AX) = AX +C.

Ejemplo 3 Sea V un espacio vectorial y sea w un clemento de Y. Sea
TV > Y

la traslación determinada por w, esto es, la aplicación tal que Tu(v) =0-++.

Entonces tenemos que
Fo, (Twa)

04 Wp) 6 + + te

Por tanto,
Tay © Tes = Tate.

Podemos expresar este hecho diciendo que la composición de dos traslaciones de
nuevo es una traslación, Por supuesto, la traslación 1, no es una aplicación.
lineal si w # 0, debido a que

T(0)=0+u=w£0,
ja aplicación lineal tiene que mandar al O en el O,

y sabemos que

Ejemplo 4. Rotaciones. Sch @ un número y sea A(0) la matriz
cos —senó
ln tae)
Entonces A(9) representa una rotación que podemos denotar con Ra. La ro-

tación compuesta Ro, o Ro, se obtiene de In mulliplicaciön de matrices y para
cualquier vector X de R®, Leneraos que

Ro, o Ra,(X) = AO) A9IX.

Rata rolación compuesta es tan sólo la rolución determinada por la.
ángulos, a saber, 9, +92. Esto corresponde ala fórmula A(81)A(G2) =

El siguiente enunciado ‚ropiedad importante de las aplicaciones.

157. wa Composición de aplicaciones nca 149

Sean U,V, W y $ conjuntos. Sean
FU=V GV=-W y mwas
aplicaciones. Fntonces
Ho(GoF)

We G)or

Demostración. De nuevo en este caso, la prueba es muy sencilla. Por defi-
nición, tenemos que, para cualquier elemento u de U

(1 060 Pd = (Ge Yu) = H(G(F(u)}).
Por otro lado,

(G¥ 0G) oP)\(u) = (Ho 0XF(u)) = F(G(F(u)))
Por definición, esto significa que (i 0G) oF = He(GoF)

Teorema 1.1. Sean U, V y W esparias vectorinles. Sean las aplicaciones
lineales
FUZV y GVW,
entonces la aplicación compnesta Ge P también es una aplicación lineal
Demostración. Pato es my fácil de probar. Sean u y u elementos de U.
Como J es lineal, tenemos que 4(u +1) = F(u) + F(v). En consecuencia,
(Go Fu + v) = G(F(u +0) = EUW) + FO).
Como G es lineal, obtenemos
G(F(u) + FL) = G(F(u)) +6 (F(o))
Por tanto,
(GoP)(u+v) = (Go Fu) + (Go Fo).
Luego, sea ¢ un número. Entonces.
(Go Fileu) = G(F(eu))
= G(eF(u)) (debido a que F és lineal)
G(F() — (debido a que G es lineal)
Esto prueba que Go F es una aplicación lineal

XI siguiente teorema establece que algunas de las reglas de la aritmética con-
tenientes al producto y ala suma de múmetos también se aplica ala composición
y suma de aplicaciones lincaks.

Teorema 1.2. Sean U, Y y W espacios vectoriales, Sea

ASA

158. 150 Composición y aplicaciones inversas. mm

una aplicación lineal y sean G y H dos aplicaciones lineales de Y en W.
Bntonces,
(G+ H)oF=Gok+ HoF.
Si © es un número, entonces
(cG) oF = (GoF).
Si TU — V es una aplicación lineal de U en V, entonces
Go(F+T)=GoF+Gor.

Todas las pruebas son sencillas. Sólo probaremos el primer aserto y dejamos.
los demás como ejercicios.

Sea u un elemento de U. ‘Lenemos que

(6 +) Fu) = (0+ ME) = (Fw) + HCFC)
=(Go Fu) +(H o Flu).
Por definición, se infiere que (G+ H)ol" =GoF +HoF.

Al igual que con las matrices, vemos que la composie y la adición de apli:
caciones lineales ve comportan como la multiplicación y la adición de wimeros
Sin embargo, la misma observación que hicimos con res}
aplica en este caso. Primero, podemos no tener conmutatividad, y segundo, ı
tenemos “división”, excepto, como se analizará en la siguiente sección para las
inversas, cuando cxistan

Ejemplo 3. Sea

pene RP
la aplicación lineal dada por

Fa)
y sea G la aplicación lineal dada por
Gens) = (2,230)
(2,0,0), pero (Fo G)(2,9,2) = (212,0):

(2,4,0)

Entonces (Go P)(2.9,2
Por otro lado, sea
LY ov
‘una aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo. Podemos ilerar
varias veces de manera que, como es usual, obtencmos
I2=LoL, L=LoLol, y asísucesivamente.

Convengamos ademés que

gr aplicación identidad.
Por tanto L* cs la iteración de Z consigo misma E veces. Para dichas potencian
de L sí tenemos conmutatividad, a saber,

w

= Lol".

159. vn Composición de aplicaciones lineales 151
Ejercicios Y $L

1. Sean À y B dos matrices de m x n. Suponga que
AX = BX
para todas las m-taplas X. Muestre que A It
2. Sean F y L aplicaciones lucas de V en sí mismo. Saponga que 2° y £ conmutan,
so es, que Pol = Lo F. Pruche las congidas rola guientes
(PLP =F +2F oL +2,
(P-L? = -2P oh +0,
(F+L)0(F-L)= F*-2?.
3. Pruebe la conocida regla para una aplicación lineal F:V — V:
(= Pot PR += 1 Pt
4. Sean V un espacio vectorial y T:V — V una aplicación lineal tal que 7% = J.
(+1) Q= HT =).
(a) Demuestre que P? = P y que
(b) Demuestre que P+Q
(e) Demuestre que Ker P
5. Sea P:V — V una aplica
(2) Demuestre que @ = Q.
() Demuestre que Im P = KerQ y que Ker P= In Q
Una aplicación lineal P tal que P? = P se conoce como proyección y generaliza
la noción de proyección en el sentido usual.

Im Q y que In P = KerQ.
Leal tal que P2 = P. Defina Q =1-F.

6, Sea P:V —+ V una proyección, esto es, nna aplicación lineal tal que P? =P.
(a) Demuestre que V = Ker P+ImP.
(b) Demuestre que la intercección de Im P con Ker P es (0). En otras palabras,
si velmP y e € KerP, entonces v =O.

Sea V un espacio vectorial y scan U y W subespacios. Se dice que V es una suma.
directa de Uy W si se satisfacen las siguientes condiciones:

4W y UnW={0}.

el ejercicio 6, el lector acaba deiprobar que V es la suma directa de KerP €
InP.

1. Sea V la sume directa de los subespacios U y W. Sea b € V y suponga que hemos.
expresado © como una suma u=u +w con u EU y w € W. Demuestre que u y
w están determinados en forma única por v. Esto es, si v= u + us con m EU
y un CW, entonces u= u y w=

8 Sean Uy W dor espacios vectoriales, y sea V = U x W dl conjunto de todas las
parejas (uw) con u € U y w € W. Entonces Y es un espacio vectorial como el
que se describe en el Fjercicio 18 del Capítulo IV, sección $3. Sea

mvov

la aplicación tal que Pfu,w)

(1,0). Muestre que P es una proyección.

160. 152 Composición y aplicaciones inversas vs

lector identifica U con el conjunto de todos los clementos (u, 0), donde u € U,
identifica W con el conjunto de todos los elementos (0, u) donde w € HY, entonces
V enla suma directa de U y W.

or ejemplo, sea n = + s, donde r y s son enteros positivos. Entonces.

Fx

Observe que RM es el conjunto de todas las n-tuplas de números reales, que se pueden
considerar como

R'=

(cate meet) donde zum ER.
Por tanto, R se puede considerar como la suma directa de RY y R*. La proyección
de RP sobre las primeras y componentes está dada por la aplicaciin P tal que
Planen me) O)
Bata aplicación es una aplicación lineal y P? = P. Algunas veces, a la aplicación tal
que
E) 1

también sc Je lama proyección, aunque aplica IR" en R”, de manera que no podemos
Aplicar nuevamente P à (21,..., 20), Puesto que P esta definida en todo R

Observe que también se puede consideras la proyección sobre el segundo conjunto
de coordenadas, esto es hace

Mensa me) A)

Ésta se llama propscciön sobre el segundo factor de R”, considerado como R° x RE

9. Sean À y B dos matrices tales que está definido el producto AB. Pruebe que
rango de ABS rangode Ay rangode ABS tango B.

[Sugerencin: Comsidere las aplicaciones lineales Las, La y Zn.)

En efecto, defina el rango de nna aplicación lineal Z como diia Z. Si L:V
W y F:W U son aplicaciones lineales de espacios de dimensiön Anita, demuestre
que

rango de PoL< rangode P y rengode Pol € rango de b.

10, Sea À una mats dem x à y ses O um vector de I”, Ses Te la traslación,
“determinada por G, como en el Ejemplo 2. Escriba con detalle las formulas pasa.

LaoTe(X) y Tesla
donde X cstácn R". Dé un ejemplo de A y C tal que

LaoTe #Teo La

161. ve Inversas 153

aw

¡ón (usualmente se considera lincal). Decimos que F tiene una in-
xiste una aplicación

ows

tal que

GoF=h y FoG=lw

Con esto queremos decir que las aplicaciones compuestas Go F y F0 G son
las aplicaciones identidad de V y W, respectivemente. Si F ticuc una inversa,
también decimos que F es invertible

Ejemplo 1. La aplicación inversa de la traslación Ty es la traslación T_y.
debido a que

TaoTa(e)=Tas(v+ 0) 04 uz

Así,

Er

oy

En forma análoga, Y 0 Ly =

Ejemplo 2. Sea A una matriz cuadrada de n x n, y sea
Lai" = R"

la aplicación lineal nsual tal que La(X) = AX. Sup
inverse A7}, de manera que AA! = ATI

¡gu que À tiene una matriz
T. Bntonces la fórmula

Laon = Lan
de la sección anterior muestra que
Laolyn ==

En consecuencia, La tien una aplicación inversa, que es precisamente la multi
plicación por 472.

Teorema 2.1. Sea F:U —+ Y una aplicación lineal y supongamos que
esta aplicación tiene una aplicación inversa G:V — U. Entonces G es una
aplicación lineal.

Demostración. Sean +1, v2 € V. Primero debemos demostrar que
Gui + 12) = Glu) + En).
Sean tt =G(u1) y ur = (v2). Por definición, esto signifier que
Flu) =0 Fu)

162. 154 Composición y aplicaciones inversas. NA

Como F es lineal, halleunos que
Flu +2) = Fu) + Fin) =0 +89.
Por definición de aplicación inversa, esto significa que Ga +13) = us + ua, con

lo que se prueba lo que se quería. Dejamos como ejercicio la comprobación de
que G{cv) = eG(v) (Ejercicio 2).

Ejemplo 3. Sea L:V — V una aplicación lineal tal que Z? = 0. Entonces
1-+1 es invertible, debido a que

(f+ DT-1)=P - 1
y en forma análoga, por otra parte, (1— EXT + 2)
(ent stab.

Asi tenemos

Ahora expresaremos las aplicaciones inversas con una terminología un poco
diferente.

Sea

FVaW -
una aplicación. Decimos que F es inyectiva (uno a uno en terminología
antigua) si, dados elementos un y vz de V tales que w # 12, entonces F(vs) À
Fu)

Nos interesa especialmente esta noción para las aplicaciones lineales.

Ejemplo 4. — Suponga que F es una aplicación lineal cuyo núcleo no es
(0). Entonces existe un elemento v O en el núcleo, y tenemos

+10) =F) = 0.
Por tanto, F no es inyectiva. Ahora probaremos el recíproco.

Teorema 2.2. Una aplicación lineal F:V = W es inyectiva si, y sólo si,
su micleo es (O).

Demostración. Ya hemos demostrado vna implicación, Reciprocamente, su-
pongamos que el núcleo es (0). Dehemos probar que: F «s inyectiva, Scan
a # vz elementos de V distintos entre sí. Debemos mostrar que Fu) # F(v2).
Pero

Fui) = Flex) = Flu — ta) debido a que F es lineal.
Como el núcleo de F es {0} y v1 —u» # O, se infiere que F(t; — 2) £ O. En
consecuencia, F(e1) — F(x) # O, por lo que F(e1) À #(t2). Esto prueba el |
teorema.

Sea F:V —+ W una aplicación, Si la imagen de F es todo W, entonces
decimos que F es euprayectiva. Las dos nociones de aplicación inyectiva 0
se combinan para dar un criterio básico para que F tenga una

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163. RAI Inversas 155

Teorema 2.3. Una aplicación F:V — W tiene una inversa si, y sólo si, es
inyectiva y suprayectiva.

Demostración. Supogamos que F es inyectiva y suprayoctiva. Dado un ele-
mento w de W, existe un elemento v de V tal que F(v) = w (debido a que
F es suprayectiva). Existe sólo uno de tales elementos v (debido a que F es
inyectiva). Así, podemos definir

Gu)
Por la manera en que hemos definido G, resulta claro que
GF) =" y r(G()=w.

Por tanto, G es la aplicación inversa de F

Reciprocamente, suponga que P tiene una aplicación inversa. G. Sean vy y
va elementos de V tales que F(u;) = F(v»). Al aplicar G se obtiene
GoF(m)=GoF(w)=w,

de manera que F es inyectiva. Luego consideramos un elemento w de W la
ccuación

nico elemento » tal que F4)

w=P(G(w))
muestra que w = Fo) para algún v, a saber, v
suprayectiva, Dato prueba el teorema

G(w), por lo que F es

En el caso de las aplicaciones lineales, tenemos ciertos criterios para ver
ficar la inyectividad o la suprayectividad, lo que nos permite verificar menos
condiciones cuando desenmos probar que una aplicación lineal es invertible

Teorema 2.4. Sea F:V > W una aplicación lineal. Suponga que
dimV = dim W.

(i) Si Ker F = (0), entonces F es invertible.
(i) Si F es suprayectiva, entonces F es invertible,

Demostración. Supongamos primero que Ker F = (0). Entonces F es in-
yoctiva, por el Teorema 2.2. Pero

dim

dim Ker F + dimimF,

de manera que dimV = dimlm PF, y la imagen de F es un subespacio de W
que tiene la misma dimensión que W. Por tanto, ImF =W, por el Teorema
5.5 del Capítulo TIL. En consecuencia, F co suprayectiva, Esto prueba (i), al
tsar el Teorema 2.3

Se deja como ejercicio la prueba de (ii).

Ejemplo 5. Sea F:R" + R® una aplicación lineal tal que
P(e.) = Gr 42 + im).

164. 156 Composición y aplicaciones inversas ve

Deseamos mostrar que F tiene inversa. Primero observamos que el núcleo de F
es {O}, debido a que, si

32- y=0

42 + 20 =0,
entonces podemos resolver para z y y de la manera usual: mullipliquemos la
primera ecuación por 2 y sumémosla a la segunda ecuación. Encontramos que
102 = 0, por lo que z= 0 y, así, y =0 debido a que y= 32. En consecuencia,
F es inyectiva, ya que su núcleo es (0).

Por tanto, F ex iuvertible, por el Teorema 2.4(3).

Una aplicación lineal F:1/ — V que tiene una inversa G:Y — 7 (también
decimos que es invertible) se conoce como isomorfismo.

Ejemplo 6. Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Sea
mm}

una base de V. Sea
LR

la aplicación tal que
Uran) = Baby #2 + End.

Fatonees L es un isomorfismo.
Demostración. El núcleo de E es (0), debido a que, si

eu bet tate = Où
entonces todo 2, = 0 (puesto que v1,...,% son Imealmente independientes).
La imagen de Les todo Y, ya que tı,...,9m generan a V. Por el Teorema 2.4,
se infiere que L es un isomorfisino.

Fjercicios Y $2

1. Sea Ro la rotación levógira enün ángulo 9. ¿Cómo expresaría de una manera
sencilla la inversa Rz" como Ro pare algún p? Si

a (a 6)

es la matriz asociada con Re, ¿cuál es la matriz asociada con R¿*?

2. (a) Termine la demostración del Teorema 2.1.
(b) Dé la demostración del Teorema 2:4(i).

3. Sean F y G aplicaciones lineales invertibles de un es ctorial V en sí mismos

Demuestre que

165. Nav Inversas 157

4. Sea L:R? — R® la aplicación lineal definida por
Hey) = (@+m2-1).

Demuestre que Z es invertible

5. Sea L:R? — R? la aplicación lineal definida por

Heyy) = (22 + 9,3769)

Demvestre que Les invrtibl.

6. Sea L:R? — R? cada una de las aplicaciones lineales indicadas. Demuestre que L
cx invertible e cada caso
(2) Man) = G=mr+sr+v4 3e)
© La) = Qe— ph set y3e tut)

Y. Sen ZaY —V una aplicación linea! tal que 2° = O. Demuevise que I~ Les
invertible, (I os la aplicación ¡detidad sobre V.)

3. Sea L:V — V una aplicación lineal tal que 1? +21 +1 =O. Demuestre que L es
invertible

9. Sea L:V — V una aplicación lineal tal que /% = O. Demuestre que 1-1 es
inverble

10. Sex LV — V una aplicación lineal tal que 2 = O. Demuestre que 1 L es
invertible

11, Sea Y un espacio vectorial de dos dimensiones y sex L:V — V una aplicación
lineal tal que 12 — O, pero LF O. Sen v un elemento de V ta que Lie) # ©
Sea w= Lie). Pruebe que {nu} es wa bare de V.

12. Sex Y el conjunto de tadas las morsione infinitas de mámeros reales

CES

Éste podría llamarse espacio de dimensión infnita. La adición y le multiplicación
por némerca se defino componente a component, de manera que Vos vn espacio
vectorial. Deba la aplicación P:V = Y como

Fans. )= 01280)
Por razones obvias, F se conoce como cl uperador de traslación y £ es Incl.
(a) ¿Eningeciva FY ¿Cuáles el mécle de F?
(6) ¿bs supravectva Fr
(c) Demuestre que hay uni aplicación tinal G:V L V tal que Go P
(4) La aplicación G que aparece en (c) ¿tiene la propiaad 7 0 6 = 17

13. Sea V un espacio vectorial y sean U y W dos subespacios. Suponga que V es la
suna directa de U y W, esto es,

V=U4W y UnW=10}
Sea L:U x W — V la aplicación tal que

Lua) ate.
Demuestre que L es una aplicación lineal biyectiva. (Que una aplicación lineal sea
biyectiva significa que es inyectiva y suprayectiva.)

166. CAPÍTULO VI

Productos escalares
y ortogonalidad

VI, $1. Productos escalares

Sea V un espacio vectorial. Un producto escalar sobre V es una asociación
que a cualquier par de elementos (v,w) de V le asocia un nümero, denotado
con (9,10), que satisface las siguientes propiedades:

PE 1. Tenemos que (0,1) = (w,») para todos los y y w en V.
PE 2. Siu,» y w son elementos de Y, entonces
(uo +) = (u,0) + Guru).
PE 3. Si x es un número; éntonces
eu) = 2(uy0) = (4,20).
‘También supondremos que el producto escalar satisface la siguiente condición:
PE 4. Para todo u en V tenemos que (9,0) 20 y (vv) > 0 si v #0.

Un producto escalar que satisface esta condición se conoce como dofinitiva:
mente positivo.

En lo que resta de esta sección supondremos que V es un espacio vectorial
‘con un producto escalar definitivamente positivo.

167. vt, 80] Productos escalares 150

Ejemplo 1. Sea V= RX, y defina
(Xx, Y)

para los elementos X y Y de R", Entonces éste es un producto escalar defini-
tivamente posi

Ejemplo 2. Sen V el espacio de funciones continuas con valores reales en
el intervalo [=x, 1]. Si f y g están en Y, definimos

u. = [soma

Algunas propiedades sencillas de la integral muestran que éste es un producto
escalar, que es, en efecto, definitivamente positivo,

En cálculo estudiamos el segundo ejemplo, que da origen a la teoría de las
serics de Fourier. En este libro sólo estudiamos las propiedades generales de,
los productos escalates y sus aplicaciones a espacios euclidianos. Se emplea la
notación (.. ) porque, al trabajar con espacios vectoriales de funciones, el usar
un punto fg se puede confundir con el producto ordinario de funciones,

Igual que en el caso de producto interior, definimos los elementos u, w de W
como ortogonales o perpendiculares entre sí, y escribimos v.Lu,si (v,w) =
0. Si $ ca un subconjunto de V, denotamos con S* el conjunto de todos los
elementos w de Y que son perpendiculares a todos los elementos de S, i
tales que (u,v) = 0 para todo e en S. Lucgo, usando PE 1, PE 2 y PE 3
se verifica fácilmente que 52 es un subespacio de V, conocido como el espacio
ortogonal de $. Si w es perpendicular a $, escribimos también w.LS. Sea U
el subespacio de Y generado por los elementos de $. Si w es perpendicular a
$ y si vs y uz están en S, entonces

(au +2) = (wo) + (una) =0.
Si e es un número, entonces
(uo, co) = es) = ©

En consecuencia, w es perpendicular a las combinaciones lineales de elementos
de $ y, por tanto, w es perpendicular a U.

Ejemplo 3. Sea (aij) una matriz de mxn y sean Ay)... Am sus vectores
renglón. Sea X = (21,-.-42q) como de costumbre. El sistema de ecuaciones
lineales homogéneas

auzı ++ ann =0

(es)

168. 160 Productos escalares y ortogonalidad (vn)

también se puede escribir en forma abroviada usando el producto interior de la

AVX =0, Am X
El conjunto de soluciones X de este sistema homogéneo es, por consiguiente,
el conjunto de todos los vectores perpendicalares a Ay... ‚Am. Por tanto,
él subespacio de R” que es el subespacio oringonal al espacio generado por
A1-:: Am. Si U es el espacio de soluciones, y si W denota el espacio generado
por Ans. Am, tenemos

U= Wi.
Decimos que dim 17 es la dimonsión del espaci
de ecuaciones lineales.

de soluciones del sistema

Igual que en el Capítulo 1, definimos la longitud o norma de un elemento
ve V como

Si e es cualquier número, entonces de inmediato obtencinos

tell = lel tell,
leah = ven eo) = VA = lll

Así, vemos que el sismo tipo de argumentos usados en el Capitulo se puede
emplear en.esta parte. De hecho, cualquier argumento dado en el Capítulo T que
fo use coordenades se aplica Muestra sltuación más general. Al avanzar en el
tema veremos más ejemplos.

Tenal que antes, decimos que un elemento v € V es un vector unitaria ei
jo = 1. Si v € V y v 7 0, entonces nl! es un vector unitario. q

Las siguientes dos identidades se infieren en forma directa de la definición de
longitud.

El teorema de Pitágoras. Si v, w son perpendiculares entre sí, entonces

los ef? = He = heli
La ley del paralelogeamo. Pera cualesquicra y y w tenemos que
(oa ale 2

Las prucbas son triviales. Damos la primera y dejamos la segunda como ejercicio,
Para la primera, Uenemos que

debido a que

+ wl = (eto,

denn) + u, w) + (1, w)
= el + Ll? !
Sea w un elemento de Y tal que [iv] # 0. Para cualquier y existe un único

wero e tal que y = eu es perpendicular a w. Ciertamente, para que u — cu
sea perpendicular a w, debemos tener

(ecw, w)

169. (vr, $ Productos escalares 161

de ahí que (0,1) = (cu, 10) = 0, y (vu) = e(w,w). Por tanto,

(0,1)

wu)

Reciprocamente, al hacer que € tome este valor se muestra que y — cw es per-

pendicular a w. Decimos que c es la componente de y a lo largo de w.
En particular, si w es un vector unitario, entonces la componente de y a lo

largo de w es simplemente
tu).

Ejemplo 4. Sea V = R” con el producto escalar usual, i.e., el producto |
interior. Si Ei es el i-ésimo vector unitario y X = (21,-..,2q), entonces la
componente de X a lo largo de E, es sencillamente

X-E=es,

esto es, la i-ésima componente de X"

Ejemplo 5. Sea V el espacio de funciones continuas sobre [—x, =]. Seaif
le función dada por f(z) = sen kz, donde & cs algún entero > 0. Entonces, |

Wil= VOB = (se ke ae) a |
vi.

Si g es cualquier función continua sobre [—m,], entonces la componente de 9
a lo largo de f también se conoce como cocficiente de Fourier de g con
respecto a fy es igual a

si
Dea} formats

Como en el caso del espacio de n dimensiones, definimos la proyección de
pee ee

Figura 1

Ahora se pueden usar exactamente los mismos argumentos que dimos en el
Capitulo I para obtener la dosigualdad de Schwarz, a saber,

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170. 162 Productos escalazes y ortogonalidad [Vs

Teorema 1.1. Para todos los v y w € V tenemos
Kool] < llolliiell-

Demostración. Si w = O, entonces ambos lados son iguales a 0 y nuestra,
desigualdad es obvia. Ahora bien, suponga que w £ O. Sea c la componente
de v a lo largo de w. Escribimos

eu teo,

Entonces v ~ ew es perpendicular a ew, de manera que, por Pitágoras,
Aol? = loco]? + llevo

eu? + Jl? Ih

Por consiguiente, Je]? ull? < il? y al extraer raíces cuadradas se obtiene

hell < Hell.

Pero e = (r,u)/llwl®. Entonces un factor [lui] se cancela y, al muliplicar M
ambos miembros de lu desigualdad por tl], se obtiene

Kv, < Tol ell,

lo que prueba el teorema.

“Teorema 1.2. Si v y wEV, entonces
lle + wll < Hel] + Hell.
Demostración: Fs exsctumente la misma que la del teorema añálogo que apar
rece on el Capítulo T, sección $4.
Sean ti... tn elementos no nulos de V y mutuamente perpendiculares, sto
es, (99) =0 si ¿7 j. Sea cs la componente de » a lo largo de wy. Batonees

Pet ntm
es perpendicular a 23,...,ths Para ver esto, todo lo que tenemos que hacer es

considerar el producto con v pará'enalquier j. Todos los términos que incluyen
(us. 05) darán O si # 3, y tendremos dos términos restantes

Wut)
que se cancelan. Así, al restar combinaciones linealee como antes, se ortogonaliza

con respecto at... Un. Fl siguiente toorema muestra que er +--+ Cuba
da la mejor aproximación a» como combinación lincal de 1, tn N

Teorema 1.3. Sean ti... vs vectores mutuamente perpendiculares y
dales que Ill # 0 para todo i. Sea u un elemento de V y sea ci in
componente de + a lo largo %. Sean ay,...,4, números. Entonces

llo Exa, caval < lle = D:

171. Iv, sy Productos escalares. 163

Demostración. Sabemos que

Tha ceve

1,...,n. En consecuencia, es perpendicular a
cualquier combinación lineal de u1,.… ;vn. Ahora tenemos:

Ip - Daneel? = llo — eve + Dir - ax vel?
= lle = Ceevall? + |] Llc = a)?
por el teorema de Pitágoras. Esto prueba que
lle ~ Deval? < llo Daven,

con lo que nuestro teorema está probado.

Ejemplo 6. Considere el espacio vectorial V de todas las funciones conti-
muas sobre el intervalo [0,2]. Sea

Ha) =coskz, para £=0,1,2,

Usemos el producto escalar

= [resi

Entonces se verifica fácilmente que
llgoll=V27 y ni=vr para k>0
El coeficiente de Fourier de f con respecto a ge es

es A Ha)coskz,de, para k>0
7%
Si tomamos me = 94 para E=1,....n, entonces el Teorema 1. nos dice que le

combinación lineal
cot 61 cos x + cz con 22 + hen CORE

da la mejor aproximación a la función f entre todas las posibles combinaciones
lineales
ay + ai 605 += Hancosnz

donde ap, a1, ...,&n son números reales arbitrarios. Dicha suma se conoce como
suma parcial de la serie de Fourier.

En forma análoga, podríamos tomar combinaciones lincales de las funciones
sen kr. Esto conduce à la teoría de Ins series de Fourier. En este libro no vamos |
a profundizar més, Solamente quisimos señalar la analogía. y la utilidad del
lenguaje geométrico y el formalismo al trabajar con estos objetos.

El siguiente teorema se conoce como la desigualdad de Bessel,

172. 164 Productos escalares y ortogonalidad (vs, 51]

Teorema 1.4. Si »,..., tn son vectores unitarios mutuamente perpendi-
culares, y si es es el coeficiente de Fourier de v con respecto a vi, entonces

ten < ll
Demostración, Tenemos que
0 Dante)
=(0,)- Zinn) + De
(Ed

A partir de esto se infiere nuesira desigualdad.

Ejercicios VI, $1

Sea Y un espacio vectorial con un producto escalar definitivamente positivo. Sean
9. elementos de V, distintos de cero, que son mutuamente perpendiculares,
Jo que significa que (vi, 6) = si ¿e y. Demuestre que 3, M. son linealmente
independientes,

El siguiente ejercicio proporciona un ejemplo importante de un producto escalar.

2. Sea À una motriz simétrica de n x n. Dados dos vectores columna X y Y CR",
defina
(Gy ex ar.
(8) Muestre que este sírabolo satisface las primeras tres propiedades de un producto
escalar.

(6) Dé un ejemplo de una matrix de 151 y una matriz no nula de 2 X 2 tales
que no se sstisfaga la cuarta propiedad. Si esta cusıta propiedad se satisface,
esto es, XAX > 0 para todo X # O, entonces la matriz A se denomina.
definitivamente positiva.

(e) Dé un ejemplo de una matriz de 2 x 2 que sea simétrica y definitivamente.
positiva.

(d) Sea a > 0, y sea

Prnebe que A es definitivamente positiva si, y sólo fi, ed > 0. [Sugerencias
Sea X = '(2,y) y complete el cuadrado en la expresión X AX]
(9 Si a < 0, muestre que A no es definitivamente positiva.

3. Determine ai las siguientes matrices son def

DU) © (73)
w (43) @ (13)
(in)

173. m Productos escalares. 165

La traza de una matrix

4. Sea A una matris de n x n. Defina la truza de A como la suma de los elementos
diagonales. Así, si À = (m,), entonces

a) = Es
(0
6 = )
a 13),
1-47

entonces f(A) =9. Cael a tar de ls innen mates:
via a. Fi
(4:2) w (à ii (32)
315 + + À aie
5. (6) Mae que (4) = A) par ner ab end.
{8} Diane quel rsa evans apices ea

Por ejemplo, si

A

entonces (A) = 1 +4 = 5.

A

6. Si A es una matriz cuadrada simétrica, dempestre que tx(AA) > 0,

7. Scan A y B las matrices indicadas. Muestre que

(AB) =t:(BA).
aa 1 313

@ a=(2 ii) »-( ii ‘)
3 01 121
173 324

wa-(s 43) DE 1)
234 ae

8. (a) Prucb en general que, si A y

1 son matrices cuadradas de 7 x n, entonces
(4B) = (BA).

(b) Si C es una matriz de n x que tiene une inversa; entonces ( 2"! AC) =
(4).

9. Sea V el espacio vectorial de las matrices simétricas de n x m. Para Ay BEY,
defina el simbolo.

donde tr es la traza (suma de los elementos diagonales). Demuestre que las pro-

piedades anteriores, en particular, implican que ésta define nn producto escalar
def

174. 168 Productos escalares y ortogonalidad mm

10, Sen Y el espacio de las funciones continuas sobre [0,2x] y suponga que el producto,
escalar está dado por la integral sobre este intervalo como aparece en el texto, esto

TS

Sea gu(x) =cosnz para n >0, y hm(z) ¡mz para m > 1
(2) Muestre que Joel = 2%, lg = Pll = VF para n 21.
(6) Muestre que 9a L pe si mn, y 5 fm pres todos los m, n. Sugerencia
Une fómalas coto las siguientes:
sen Acos B= Seen +B) + scald = B)}

cos A cos B= Hons(A + B) + cos(A— BY).

11. Sea f(z) = x en elintervalo [0,2]. Encuentro ($, 0m) y (f,ln) para las funciones
Im ¥ An del Fiereicio 10, Encuentro los cocficieates de Fourier de f con respecto a.
In y do

12. La misma pregunta que en el Ejercicio 11 pero con f(x) = 27. (Los Ejercicios 10 y
11 brindan al lector un repaso de algunas integrales elementales del cálculo)

13. (a) Sea f(s) = 2 en el intervalo (0,25). Encuentro |]
(0) Ses Se) el ism intervalo. Encuentre ||.

VI, $2. Bases ortogonales

‘A todo lo largo de esta sección consideramos que V..cs un espacio vectorial eon
‘un producto escalar definitivamente positivo. Se dice que una base (03)... 1)
de V cs ortogonal si sus elementos son mutuamente perpendiculares, Ls a
ui 15) =0, siempre que ¿2 3. Si además cada elemento de le beso tiene norma!
igual a I, entonces la base se [lama ortonormal.

Ejemplo 1. Los vectores unitarios canónicos
Em En en URN

forman una base ortonormal de R”. Ciertamente, cada uno tiene norma igual.
à y son muluainente ortogonales, esto es,

BoB=0 si id

Por supuesto, hay muchas otras bases ortonormales de TR”

En el siguiente sentido, este ejemplo es representativo.
Sea {ere} una base ortonormal de V. Cualquier vector w € V se
puede escribir en términos de coordenadas de la manera siguiente:

=neatet+me donde ACER
Denotemos con w otro elemento de Y y escribamos
w=neatctimen donde meR

175. IV, $] Bases ortogonales 167

Entonces
Cu = pete tm tn tm)

= Eje fait 1563)

= Ela rita
debido a que (ei, es) = 0 para ¿$ j. En consecuencia, si X ca la n-tupla de
coordenadas de u y Y es la n-tupla de coordenadas de w, entonces

(ea) =X 0 Y

de manera que el producto escalar está dado precisamente como el producto

interior de las coordenadas. Éste es uno de los usos de las bases ortonormales:
identificar el producto escalar con el conocido producto interior.

Fjemplo 2. Considere R?. Sean
Az) y B= (1,1).
Entonces A-B =0, de manera que A cs ortogonal a B, y À y B son linealmente
independientes. Por tanto, forınan una base de R? y, de hecho, forman una base

ortogonal de R*. Para obtener de ellos una base ortonormal, dividimos a cada
uno entre su norma, de manera que una base ortonormal está dada por

(61 ) > G 3)
BVA. = V2 V2,

En general, suponga que tenemos un subespacio W de R", y sen A1,.…, 4,
cualquier base de W. Queremos obtener una base ortogonal de W, para lo
cual aplicamos un proceso de ortogonalización paso a paso. Comenzamos con
Ay = By. Luego tomainos Az y restamos su proyección a lo largo de A, para
obtener un vector By. Luego tomamos Ag y restamos su proyecciones a lo largo
de Bi y Ba para obtener un vector Ba. Después tomamos As y restamos sus
proyecciones a lo largo de 1, Be y Ba para obtener un vector 84. Continnamos
de esta manera, lo que finalmente nos llevará a una base ortogonal de W

Enunciamos este hecho como un teorema y lo probamos en el contexto de
espacios vectorinles con un producto escalar

Teorema 2.1. Sea Youn espacio vectorial de dimensión Anita, con un

producto escalar definitivamente positivo, Sea Wun subespacio de V y

sea (u1,...,m) una base ortogonal de W. Si W 4 V, entonces existen

elementos Umti,...„ün de V tales que (w,...,Un) es una hase ortogonal

dev

Demostración. Fl método usado en la demostración es tan importante como el
teorema, y se conoce como proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt,
Sabemos por el Capitulo III, sección $3, que podemos encontrar elementos

Un de V tales que

Um
{Why e+ Mims mtr rund

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176. 168 Productos escalares y ortogonalidad v2

‘es una base de Y. Por supuesto, no es una base ortogonal. Ser Wmyı el espacio
gencrado por ty... in,tm4i- Primero obtendremos una base ortogonal de
Wrgi- La idea consiste en considerar tm+ı y restarle su proyección a lo largo.

de ie te - Ast, hagamos
Loc) ep = (nato)
CRT (Wins Um)
Sea
Wy = Pimp Ten = — Cn
Entonces wings cs perpendicular a un... ln. Además, ns 7 O (en caso
contrario Ug) sería linealmente dependiente de w1,. sm), Y m1 Perlenece

al espacio generado por 141,...,Wn+1 debido a que
Ting = Winds Form ++ Gee
En consecuencia, {wy,..-4tmai} es una base ortogonal de Wm41- Podemos
proceder ahora por inducción, mostrando que el espacio Wins generado por
Wyss mt Epa
tiene una base ortogonal 4

Lo Wnty rate

donde s=1,...,n—m. Esto concluye la prueba.

Corolario 2.2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con un
producto escalar definitivamente positive. Suponga que V # {0}. Entonces

Y tiene una base ortogonal.

Demostración, Por hipótesis, existe un elemento w, de V tal que 11 # Of
Supongamos que W es el subespacio generado por vı y, apliquemos el teoreti
para obtener la. base deseada,

Resumamos el procedimiento del ’Teorema 2.1 uma vez más. Suponga que
se nos da una base arbitraria (91,...,tn) de V. Deseamos orlogonalizara,
Procedamos de la manera siguiente. Hagamos

usa,

ay
jp So) y _ (ut)
ey he

Entonces {v(,...,vf} es una base ortogonal.
Dada una base ortogonal, siempre podemos obtener una base ortonormal
dividiendo cada vector entre su norma.

177. (v1, $] Bases ortogonales 160

Ejemplo 3. Encuentre una base ortonormal para el espacio vectori
tado por los vectores (1,1,0,1), (1,-2,0,0) y (I,
Denotemos estos vectores con A, B y C. Sea

gene

En otras palabras, restamos de B su proyección a lo largo de A. Entonces BY
es perpendicular a A. Encontramos que

Bi = K(4,-5,0,1).
Ahora restemos de C su proyección a lo largo de A y BY, así que hacemos
CA
BB
Como A y BY son perpendiculares entre si, al considerar el producto escalar
de C con A y BY se muestra que C* es perpendicular tanto a A como a BY
Encontramos que

Los vectores A, B' y C' son no nulos y mutuamente perpendienlares. Pertene-
cen al espacio generado por A, B y ©. En consecuencia, constituyen una base
ortogonal para ese espacio. Si deseamos una base ortonormal, dividimos estos
vectores entre su norma, y así obtenemos

AT
Tan,
B _ 1

D er

e 1
Te

como una base ortonormal.

Ejemplo 4. Encuentre una base ortogonal para el espacio de soluciones de
la ecuación lineal

de Wy +220.

Pritnero encontramos una base, no neresariamente ortogonal. Por ejemplo,

demos a z un valor arbitrario, digamos z = 1. Por tanto, tenemos que satisfacer
322

A simple vista, hacemos 2=1, y=2 0 bien 2=3, y=5,esto es,
22,1) y 5,1).

Entonces se puede verificar fácilmente que A y B son linealmente independien-
les, Por el Teorema 4.3 del Capitulo 4, el espacio de soluciones tiene dimensión

178. 170 Productos escalares y ortogonalidad vt, $2)

de manera que A y B forman una base de ese espacio de solnciones. Para
‘obtener una base ortogonal, comensamos con A. Entonces hacemos

C'=B = proyección de Bra lo largo de A

Ai!
(Bee
Entonces {A,C} es una base ortogonal del expacio de soluciones, Algunas veces
es conveniente eliminar el denominador. Podemos usar
A=(12,1) y D=(1,-4)
en forma satisfactoria como una base ortogonal de ese espacio. Como compro-

sustituya en la ecuación original para ver que estos vectores dan solu
también verifique que A D = D, de manera que son perpendiculares

entre si.

Ejemplo 5. Encuentro uma base ortogonal para el espacio de soluciones de
lus ecuaciones homogéncas

Be— y+ et w=0,
toy + Wet.
Sea W el eapacio de soluciones de R*. Entonces W es el espacio ortogonal

à los dos vectores
(8,-2,1,1) y (1102)

Éstos, por supuesto, son lincalmente independientes. (Por ejemplo, mediante:
distintos argumentos el lector puede probar fácilmente que la matriz

tiene rango igual a 2). En consceuenci
dim
A continuación hallamos una base para el espacio de soluciones. Pongamos
1 y resolvamos el sistema
32-242 =,
zty =
mediante minación dina, ponemos y = (0 obtenemos una solución con.
2y

13042
; obtenemos una solución con

3242
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Si ponemos y =

179. (VI, 52) Bases ortogonales m

Así, obtenemos las dos soluciones siguientes:
A=(-2,0,5,1) y RB

(-3,1,10,1).

(Para comprobar, sustituya en el sistema de ecuaciones original para ver que no
se ha cometido ningún error de cómputo.) Estas dos soluciones son linealmente
independientes, debidó a que, por ejemplo, la matriz

20
31
tiene rango 2. En conseuencia, (4, B} es una base para el espacio de soluciones.
Para encontrar una base ortogonal, ortogonalizamos B, para obtener
VBA, y 1
B=B- Anu TA
“También podemos eliminar denominadores y hacemos C = 102”, de manera que

© = (~80, 10, 100,10) - (-98,0,95, 19)
= (8, 10,5,-9)

Entonces {4,C} es una base ortogonal para el espacio de soluciones: (Gom-
pruebe de nuevo sustituyendo cn el sistema de ecuaciones, y también v
la perpendicularidad viendo directamente que À: C = 0.)

“Lambión se puede encontrar una baso ortogonal sin adivinar sol
simple vista o por eliminación desde el comienzo; de la si

Ejemplo 6. Encuentre una base para el espacio de soluciones de la ee
32 2y+2=0.

El espacio de soluciones es el espacio ortogonal al vector (3,-2,1) y, por
tanto, tiene dimensión ignal a 2. Por supuesto, hay muchas bases para este
espacio, Para encontrar una, primero extendemos 1)=4 a una base de
R°. Hacemos esto seleccionando vectores By C de manera que A, B y C
sean linealmente independientes, Por ejemplo, tome

B=(0,1,0)

y
C=(0,0.1)

Entonces A, B y C son linealmente independientes, Para ver.esto, procedemos
como de costumbre. Si a, b y e son números tales que

aA+bB +eC =0,

entonces.

180. ım Productos cscalares y ortogonalidad IV, 2)

Esto se resuelve fácilmente para ver que a =b=c=0, de modo que A, By O
son linealmente independientes. Ahora debemos ortogonalizar estos vectores.

“ (8,4)
. Aa (830
rs)
3 “BY
eat er

= (0,0,1)— 4@,-2,1) ~ 35(8,5,1).

Entonces {B',C’} es una base para el espacio de soluciones de la ecuación
dada. Como el lector puede ver, este procedimiento es ligeramente más largo
que el de adivinar primero, © incluye una ortogonalización más que el
Ejemplo 4.

En el Teorema 2.1 obtuvisos una base ortogonal para V al comenzar con una
base ortogonal para un subespucio. Ahora observemos la situación de manera
más simétrica.

Teorema 2.3. Sea V un espacio vectorial de dimensión n, con un pro-
ducto escalar definitivamente positivo, Sea (10... We, irs.) una base
ortogonal para Y . Sea W el subespacio generado por un, sur y sea U el
subespacio generado por un, Entonces U = Wo bien, por simet
W=UL. En consecuencia, para cualquier subespacio W de V tenemos la
siguiente relación:

dim W + dim WE = dim Vo

Demostracién. Probaremos que WA CU y UCW4, de manera que
wi=0.
Primero sea v € W*. Existen números a; (# +8)

tales que

v= Thy ait Din bu.
Como u es perpendicular a todos los elementos de W, tenemos, para cualquier
kalt

"yb

Eaux wet Déjujiur
un eux
sii k, y uj-we = 0 para todo ¿. Como wi £0, se
infiere que a = 0 para todo k= 1,...,7, de manete que v es una combinación |
lineal de wj,...,u, y v EU. Así, Wi CU

Reciprocamente, sea, u € U, de manera que 1 es una combinación lineal de
uen. Como (tn, ¿+ a...) es una base ortogonal de V, se infiere
que cada u; es perpendicular a W, por lo que el propio » es perpendicular a
W, de modo que U C W+. Por consiguiente, hemos probado que U = WI

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debido a que uw =

181. A] Bases ortogonales in

Por ültimo, el Teoremo 2.1 muestra que la situación anterior se aplica a
cualquier subespacio W de V y, por la definición de dien

dim W + dim,

dimV=r+

concluyendo así la prueba del teorema.

Ejemplo 7. Considere R°. Scan A y B dos vectores lineal
dientes en RP. Entonces el espacio de vectores que son perpendiculares tanto
a À como a Bes um espacio de dimensión 1. Si {N} es una base para este
espacio, cualquier otra base para este espacio es del tipo {tN}, donde £ es un
mimero #0.

De nuevo en RS, sea
diculares a N cs un espaci
origen O

Observación. El Teorema 2.3 brinda una nueva prueba del hecho de que
el rango por renglones de una matriz es igual a su rango por columnas. En
efecto, sea À = (aij) una matriz de mx. Sea S el espacio de soluciones de la.
ecuación AX = O, de manera que S = Ker La. Por el Teorema 3.2 del Capítulo
IV, tenemos que

un vector no nulo. El espacio de vectores perpen-
de dimensión 2, es decir, un plano que pasa por el

dim $+ rango por columnas = n,
dado que la imagen de La es el espacio generado por las columnas de A
Por otro lado, S es el espacio de vectores en R” perpendiculares a los ren.
ælones de A, de manera que, si W es el espacio renglón, entonces S = W+. Por
consiguiente, por el Teorema 2.3 obtenemos
dim $ = rango por renglones = n.

Esto prueba que rango por renglones = rango por colurnnas. De alguna manera,
ésta es una prueba conceptual más satisfactoria de la relación que la que se higo
con anterioridad empleando operaciones por renglones y por columnas,

Pare concluir esta sección señalaremos cierta notación útil. Sean X y Y €
RR" y consideremos X y Y como vectores columna. Denotemos con { , ) el
producto escalar canónico sobre R”. Asi, por definición,

Rx,r) tx.
En forma análoga, sea A una matriz de mx n. Entonces

AX, AV) = IX AV = HARDY = (AX, Y).
Por tanto, obtenemos la fórmula.

(AY)

IX, Y)

La transpuesta de la matriz A corresponde a transponcr A a ‘A de un lado del
producto escalar al otro, Esta notación se usa con frecuencia en aplicaciones, lo
cual es una de las razones de que se mencione en esta parte.

182. 14 Productos escalares y ortogonalidad (vt, 92)
Ejercicios VI, $2

1. Encuentre bases ortonormales para los subespacios de R* generados por los siguien-
tea vectores:

€) (1-1) y (10,1),

(o) (21,1) y (1,31).

. Encuentre una base ortonormal para el subespacio de RX generado por los vectores
(1,2,1,0) y (2,3,

3. Encuentre una base ortonormal para el subespacio de R* generado por (1,1,0,0),
(1,-1,1,1) y (-1,0,2,1).

à. Encuentre una hase ortogonal para el espacio de soluciones de las siguientes cena

CEE CEE
yee
(©) det Ty me CET
dem yt #20 a =

y+r=0

En los siguientes ejercicios, consideremos el espacio vectorial de las funciones con
tinuas sobre el intervalo [0,1]. Definamos el producto de dos de dichas funciones, fy
9, mediante la regla siguientes

Gaz [sona

5. Sen V el subespacio de funciones generado por las dos funcionen J() = 4 y g(t) =
2 Halle una base ortonormal para V

6. Sea V el subespacio generado por lt res funciones 1, +, # (donde 1 es la función
constante). alle una base ortonormal para V.

7. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con un producto escalar definitiva
mente positivo. Sex W. . Demuestre que

AOS

En la terminología del capítulo anterior, esto significa que Y esa suma directa de

W y eu complemento octogonal. [Use el Teorema 2.3,

4. En el ejcccio 7, demuentre que (WA)! =
partir del Teorema 2.3?

«Por qué resulta esto inmediato a

9. (a) Sea V el espacio de las matrices simótricas de m x m. Con respecto a A y

BEY, defina
(A,B) = (Ap),
donde tr esIn traza (stm de los elementos de la diagonal), Demuestra que esto,
satisface todas las propiedades de un producto escalar definitivamente positivo.
(El lector quizás haya hecho esto como ejercicio en una sección anterior.)
(6) Sea W el subespacio de las matrices A tales que tr(A) = 0. ¿Cuál es la

dimensión del complemento ortogonal de W, relativo al producto escalar qu
aparece en el inciso (a)? Proporcione una base explícita para este complemento.

ortogonal.
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183. (v1, $3] Aplicaciones bilineales y matrices 175

10, Sea A una matris simétrica de n xn. Sean X y Y € RM valores propios para
A, esto es, suponga que existen números a y 6 tales que AX = aX y AY = BY.
Suponga que u %b, y prucbe que X y Y son perpendiculares entre

VI, $3. Aplicaciones bilineales y matrices

Sean U, V y W espacios vectoriales, y sea
wuxvow
una aplicación. Decimos que es bilineal si, para cada u € 17 fija, la aplicación
e (yu)
es lineal y, para cada v € V fija, la aplicación
u pl)
es lineal. La primera condición desarrollada cs la siguiente:
Alu + ve) = pluses) + pl ur),
elu, ev) = ep(u,e),
y del mismo modo para la segunda condición en cl otro lado.

Ejemplo, Sea A una matriz de mx n, À = (aij). Podemos definir una
aplicación
PART xR" R
al hacer
Pa(X,Y) = XAY,
la cual, desnrrollada, tiene el siguiente aspecto:

Se supone que nuestros vectores X y Y son vectotes columna, de manera que X
es un vector renglón, tal como se muestra. Entonces {X A cs un vector renglón
y 'XAY es una matriz de 1 x 1, ie, un nümero. Así, pa aplica parejas de
vectores en los reales. Dich aplicación pa satisface propiedades similares a las
de un producto escalar. Si fijamos X, entonces la aplicación Y ++ 'X AY es
lineal, y si fjamos Y, entonces la aplicación X ++ XAY también es lincal. En
otras palabras, al fjar X tenemos

PAX. V+") AK Y) +pa(X, Y),
PARK) =cpa(X,Y),

184. 176 Productos escalares y ortogonalidad ir, $3)
y en forına análoga si fijamos Y . Esto sólo es una reformulaciön de las propie-
dades de la multiplicación de matrices, a saber,
IXA(Y + Y’) ="XAY + XAY”,
XACY) = eX AY.
En conveniente desarrollar la multiplicación X AY como suma. Observe que
¿sima componente de A = Ey 2504,

DR rita = Ear Li van

a=(3 3)
2 (1) entonces

"XAY = ap + De ya + Seay: = wath

Dada una aplicación bilineal g: RU" x RP + R, existe una
matriz única À tal que g = pa, ic tal que
X,Y) = AY.
Demostración. Ll enunciado del Teorema 3.1'es similar al enunciado para
representar aplicaciones mediante matrices, y su prueba cs una extensión de los
pruebas anteriores. Recucrde que usamos las bases canónicas para 1” a fin
de probar estos resultados anteriores, y que usamos coordenadas. En este caso.
hacernos lo misrao. Sean Fl... E los vectores unitarios canónicos para TU
y sean U,,..,U los vectores unitarios canónicos para IV". Entonces podamos

expresar ennlquier X CR” como
x=2
y cualquier Y ER” como
==),
Entonces,

PUGY)= pa EM gl")
Al usar la lineulidad por la izquierda, encontramos que
ARNET MA e ve)
Al usar la lincalidad por la derecha, encontramos que
XV) = Eta Eos easel)

ay = (ES)

185. vu)

wales y matrices 17

Entonces vemos que

ARI) = Li jas apa,
¿que cs precisamente In expresión que obtuvimos para el producto
EXAY,

donde A es la matriz (6). Esto prueba que = pa para la elección de ais
dada anteriormente.

También es fécil probar la unicidad, que se puede formular de la manera
siguiente.

Unicidad. $i À y B son matrices de mx tales que, para todos los vectores
X y Y (de la dimensión apropiada) tenemos

‘NAY ="XDY,

B

Demostración. Como la relación anterior es válida para todos los vectores X
y Y , cs válida en particular para los vectores unitarios, así que apliquemuos la
Telación cuando X = Bf y Y =U, Entonces la regla para la multiplicacién de
matrices muestra. que

"BLAU?

entonces 4

my RU =

En consecuencia, ai = bj; para todos los indices i,j. Esto demuestra que
A=B.

Observación. Las aplicaciones bilineales se pueden cumar y multiplicar por
escalares. La suma de dos aplicaciones bilincales cs, de nuevo, bilincal, y el
producto por un escalar también es bilineal. Por tanto, las aplicaciones bilincales
forman un espacio vectorial. Verifique las reglas siguientes

Fass Paton Peas a
Entonces el Teorema 3.1 se puede expresar diciendo que la asociación
An pa
es un isomorfismo entro el espacio de las matrices de m x n y el espacio de las:
aplicaciones bilineales de R" x R” en R.

Aplicación al cálculo. Sid lector ha estudiado cálculo de varias variables,
entonces ha asociado con una función f de n variables la matriz de las segundas
derivadas parciales siguientes:

(5%)
Bd)

Se puede considerar esta matriz como la matriz asociada con una aplicación
Dilineal conocida como hessiano. Observe que esta. matriz es simétrica, puesto

www.elsolucionario.net

186. tie Product sclaes y ortogonaidad vu

que se puede probar que, para funciones suficientemente suaves, las parciales
conmutan, esto es
Ps e

Dadr; ” 82,021

Ejercicios VI, $3

1. Sea A une matriz de n x m y suponga que es simétrica, ed, À = ‘A. Sea
ear” x RY — R su aplicación bilimeal asociada. Demuestre que

AN) =pa(Y,X)

para todos los X y Y ER" y, por tanto, que pa es un producto escalar, esto es,
‘que satisface las condiciones PE 1, PE 2 y PE 3.

2. Reciprocamente, suponga que A es una matriz de n x n tal que
WARNEN)
para todos los X y Y. Demuestre que A es simétrica.

3. Desarrolle completamente en términos de coordenadas la expresión para AY)
cuando A es la siguiente matrix y X y Y son vectores de la correspondiente

187. CAPÍTULO VII

Determinantes

Durante algún tiempo hemos trabajado con vectores y a menudo hemos sentido
la necesidad de contar con un método para determinar cuándo los vectores son
linealmente independientes. Hasta ahora, el único método disponible para noso-
tros consistía en resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método
de eliminación. En este capítulo mostraremos un método computacional muy
eficiente para resolver couaciones lineales y para determina: cuándo los vectores
son lincalmento independientes.

Los casos correspondientes a los determinantes de 2x2 y 3x3 se desarrollarán
por separado y con todo detalle, debido a que el caso general de determinantes de
n x n implica una notación que hace aun más difícil entender los determinantes,
Se omilirán algunes pruebas en el caso den x 2,

VI, $1. Determinantes de orden 2

Antes de establecer las propiedades generales de un determinante arbitrario,
consideremos un caso especial
a à
ED

Sea

una matriz de 2 x 2. Definimos su determinante como ad — be. Por tanto, el

determinante es un número, que denotumos como

ab
al

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ad ~be

188. 180 Determinantes um, $1)

Por ejemplo, el determinante de la matriz

24
14
cs igual a 2:4=1-1=7. El determinante de
3
4 5
es igual a (2) 5 — (3) 4 = —10 4 19 = 2.

Se puede considerar el determinante como una función de la matriz À, o
también como una función de sus dos columnas. Sean éstas A’ y A, como de
costumbre. Entonces cscribimos el determinante como

D(A), Det) o DUA, A),

Las siguientes propiedados se verifican con facilidad mediante cálculos direc-
tos, que el lector deberá desarrollar por completo.

Propiedad 1. Como función de los vectores columna, el deter
lineal.

inante es

Esto significa lo siguiente: suponga por ejemplo que A! = C + Ces una
ssa de dos columnas, Entonces

D(C +C', A?) = D(C, A?) + D(C', A).
Si 2 es un número, entonces
D(zA!, 4?) = = D(A!, 4?).

Es válida una fórmula semejante con respecto a la segunda variable, La fórmula,
se puede probar en forma dirccta a partir de la definición de determinante. Por
ejemplo, sean Y y d' dos números. Entonces

a bee
pa (a FE) = aces) 040)
Sad tad’ 2 à
=ad=te+ad— Ve
at ae
= Da ( y) ro (e AN
Además, si 2 es un número, entonces

pa (22 = = she = a(ad te) = abe! 5).

xo d ed
Empleando la terminología del Capítulo VI, sección §4, podemos decir que cl

189. va, Determinantes de orden 2 181

Propiedad 2. Si las dos columnas son iguales, entonces el determinante es
igual a 0.

Esto cs inmediato, puesto que, por hipótesis, el determinante es ab — ab = 0.
Propiedad 3. Si es la matriz unitaria, I =(E*,5%), entonces

DU) =D(El,E*)

De nuevo, esto es inmedinto a partir de la definición ad — de.

Con sólo usar las tres propiedades anteriores podemos probar otras, de la
manera siguiente.

Si se suma un múltiplo escalar de una columna a la otra, entonces el valor
del determinante no cambia.

En olras palabras, sen 2 un múmero. Entonces
alte, A) = DIA, 4?)
La prueba es inmediata, a saber:
D(A! +247, A) = DAN, A?) +2D(A?, A?) debido a la linealidad
= DAA?) debido a la propiedad 2.

Si se intercambian las das columnas, entonces el determinante cambia de

En otras palabras, tenemos que D(A?, 41) = —D(A!, A?) o, desarrollando

las componentes,
mas ¿jan? 2),

Por supuesto que esto se puede probar en forma directa a partir de la Fórmula.
ad ~ be. Sin embargo, también la deduciremos a partir de la propiedad de que,
si las dos colurnnas son iguales, entonces el determinante es igual a 0. “Lenemos:

O= D(A! + 4?, 41 + A?) (debido a que cada variable cs igual a A! + 4°)
= D(At, AI + 4?) 4 D(A", A" 4 A?) (debido a le linealidad en la primera.
variable)
D(AL, Al) + D(A!, 49) + D(A? 40) + D(A, 42), (debido a la linenlidad
en la segunda variable)

D(A’, A’) + D(A? AD.
Así, vemos que D(A2, At) = —D(42, 4%). Observe que esta prücba sólo usa la
linealidad en cada variable y el hecho de que

DCG) =0

si Ces

190. 182 Determinantes (va, $1)

El determinante de A es igual al determinante de su transpuesta, esto cs,
D(A) = DUA).

En forma explícita, tenemos que
ab ae
pa(t 4)=o0(2 2)
Esta fórmula proviene de la fórmula ad — be para el determinante.

Los vectores Al y A? son lincalmente dependientes si, y sólo si, el determi-

rante es igual 2 0.

Daremos una prucba que se ajusta al mismo patrón que aparece eu la gene-
ralizacion a espacios de dimensión superior. Prinero suponga que Al y A? son
Tinealmente dependientes, de manera que hay una relación lineal

24 yd? =0
donde 2 y y no son simulténeamente iguales a0. Digamos que 2 7 0, y entonces
podemos resolver

donde

Sule
Ahora tenemos
D(A', A) = D(A? A?) = 2D(A?, A?) = 0
iediante el uso de In linenlidud y la propiedad de que, si las dos columnas son
iguales, el determinante es igual a 0.

Reciprocamente, supongamos que A! y A? son lineelimente independientes.
Entonces deben formar una base de R?, que tiene dimensión 2. Du consecuencia,
podemos expresar los vectores unitarios El y E* como combinaciones lineales
de Al y AP, digamos

Dri? y PA,
donde 2, y, z y w son escalares, Ahora tenemos que
1=D(51,8%) = Dea! + ya?,:8l + AR)
DAA) AA) + yeD(A?, A) + gu D(A? A?)
= (ew - 2) D(A, 4%)
Como este último producto es igual a 1, debemos tener D(A, 4?) # 0. Esto
prueba la nfirunaciôn deseada.

Por último, probemos la unicidad del determinante mediante un método AN
funcionará en general

Teorema 1.1. Sea y una función de dos variables vectoriales A! y A? € RÀ

tal ques

pes bilincal, esto es, ¢ es lineal cn cada variable.

191. (VIL, §2] Determinantes de 3 x 3 y nxn 183

(4, A!) =0 para todo Al R?.
Y.) 79 om vts unta ine (2), (2)
Entonces (A1, A?) es el determinante.

Demostración. Escriba
AlzaE'+eE? y A? dE?

Entonces
(Al, A?) = pla! +00? bE + db?)

DEL, E!) + ady( El, E%) + chp(E?, El) + cdig( B*, E?)

= adg( i, E?) — beg(B4, B*)

= (ad- beyp(2, 22)

= ad ~ de.

En cada paso hemos usado una de las propiedades probadas con anterioridad:
Esto prueba el teorema.

VIL, $2. Determinantes de 3x Sy nxn

Mediante inducción definiremos los determinantes y daremos una fórmula para
caleularlos al mismo tiempo. Trabajaremos con el caso de 3 x 3
‘Ya hemos definido los determinantes de 2 x 2. Sea
a a ay
As (ay)= | an a2 am
a a as
una matriz de 3 x 3. Definamos su determinante conforme a la fórmula conocida.
come desarrollo por renglones, digamos el primer renglón. Esto

an om] _ Jen a
Y De) =a
9) (A) = au a2 ty Ma las

lan aia ars |
=|% 0 ag.
a am xs]
Podemos describir esta suma de la manera siguiente. Sea A, la matrie obtenida
a partir de A al suprimir cl renglón à y la columma j. Entonces la sums que
expresa a Det(A) se puede escribir como sigue:

ys Det( Ass) = az Det( Ara) + ars Det(A13).

‘otras palabras, cada término consiste en el producto de un elemento del

or renglón por el determinante de la matriz de 2 x 2 obtenida al suprimir
imer renglón y la columna j y al poner el signo apropiado a esto término,
‘al como se muestra.

192. 184 Determinantes (v0, $2)

Ro
A=| 114].
3025
Entonces

PO NONE

y nuestra fórmula para el determinante de A da por resultado:

Ejemplo 1. Ses

aia Nu
Bea a 3113 alt] al
= 25-8) - 1(5+ 12) +0

23.

Fl determinante de una matriz de 3 x 3 se puede escribir como

D(A) = Det(4) = D(A!, 42,48). 4

Usamos esta última expresión si deseamos considerar el determinante como una
función de las columnas de A.

“Además, no hay ninguna razón particular para seleccionar el desarrollo con

forme al primer renglón. También podemos nsar el segundo renglón y escribir
tuna suma semejante, a saber:

ar as

u au am au cz
07 am

los ass ası la
Det(Azs) + am Det(Az2) — 279 Det( Aaa)
De nuevo, cada término es el producto de az; por el determinante de la matri

de 2 x 2 obtenido ul eliminar el segundo renglón y la columna jy al poner
el signo apropiado frente a cada término. Este signo se determina conforme

te patrón:
+ +
- +].
+ +

Se verifica en forma directa que es posible desarrollar el deierminante conforme a
‘cualquier renglón al multiplicar todos los Lérminos y desarrollar los determinan!
de 2 x 2, con lo que se obtiene el determinante como una suma alternante de

Det(A) = 011422059 — 411092073 — 012071093 + 01902903:

tarstandsa — 013022655.

También podemos desacrollar conforme a las columnas ajustándonos al mismo

principio.

193. [vin $2] Determinantes de 3x3 y nm 185
Por ejemplo, el desarrollo conforme a la primera columna:

jan ea] _,, om ms a2 a
as ass CE an a
da por resultado precisamente los mismos seis términos que en (++).

En el caso de determinantes de 3 x 3 tenemos, en consecuencia, el siguiente
resultado.

an - +ası

Teorema 2.1. I determinante satisface la regla para ef desarrollo conforme
a los renglones y a las columnas, y Det(A) = Det('4) . En otras palabras, cl
determinante de una atria es igual al determinante de su transpuesta.
Ejemplo 2, Calcule el determinante

[301
125
1142
desarrollando conforme a la segunda columna.
El determinante cs igual a
s 11 ¿Js 1

1 2ltlis

Observe que la presencia de un ( en la segunda columna climina un término en

el desarrollo, puesto que este término sería 0.

‘También podemos calcular el determinante anterior mediante el desarrollo

«conforme a la tercera columna, a saber, el determinante es igual a

12 sol 4/3 0

cd O E EE

2 4

-42,

(6— (19) 24(15=1

“lu dos

+2 =

Después, sca A = (a,j) una matriz arbitraria de n xn. Sea Ay; la motriz de
(a — 1) x (n= 1) obtenida al eliminar el renglón # y la columna j de A.
|
AE |= —*
Mn a
|
Gy. Gaz ng + o

Daremos una expresión para el determinante de una matriz de n x n en
términos de determinantes de matrices de (n - 1) x (n= 1). Sea à un entero,
1<i<n. Definimos

D(A) = (DP ai Det( Ain) ++ (1) aie Det Ain)

Esta suma se puede describir con palabras. Para cada elemento del renglón
#, tenemos una contribución de un tórmino en la suma. Este Lérmino es igual a

194. 186 Determinantes (vu, 93)

+ 0 — el producto de este elemento por el determinante de la matriz obtenida.
de A al eliminar cl rengén i y la columna correspondiente. El signo + o — está
determinado conforme al siguiente patrón, tipo tablero de ajedrez:

+- Ha
-+- +
+ - +4
Fata suma se conoce como desarrollo del determinante conforme al i-
ésimo renglón,
Mediante una notación más complicada, que omitimos en este libro, se puede
demostrar que el Teorema 2.1 también es válido en el caso de nxn. En particular,

el determinante satisface la regla del desarrollo conforme a la ¿-ésima columna,
para cualquier ¿. Así, tenemos la siguiente fórmula de desarrollo:

D(A) = (Ha (Aaj) A+ (1) ang Dns)

En Ja práctica, para calcular un determinante sieinpre se emplea un desarrollo
conforme a algún renglón o columna.
Para el determinante en el caso de n x n usamos la mismo notación que en

Jos casos de 2 x 2 0 8x3, a saber,
1A] = D(A) = Det(A) =D(A!.... 47).
La notación D(A‘, ...AP) cs especialmente conveniente para denotar el des

terminante como una función de las columnas, por ejemplo, para establecer el
siguiente teorema,

Teorema 2.2. EI determinante satisface las siguientes propiedades:

1. Como función de cada vector columna, el determinante es lineal, esto es,
si la ¿-ésima columna A} es igual a un suma de dos vectores columna,
digamos Ai = C + C', entonces

D(AL.....C+Ctg.., AY)
pat, „AN + D(A,
Además, si x es un número, entonces

DAN. at, SADA y AAN).

Si dos columnas son iguales, esto es, si A = A", donde j # &, entonces
el determinante D(A) es igual a 0.

3. Si I es la matriz unitaria, entonces D(1)

La prueba requiere una notación más complicada y la omitiremos. Se puede
desarrollar por inducción y a partir de la fórmula explícita que da el desarrollo
del determinante.

195. (vn, 2] Determinantes de 3 x 3 y nxn 18

Como ejemplo, damos la prueba para el caso de determinantes de 3 x 3. La
prueba es por cálculos directos. Suponga que la primera columna es una suma.
de dos columnas:

rons oe (EB

Al sustituir cada término de (+), vernos quí
de dos términos que corresponden a B y

cada término se divide en una suma
Por ejemplo,

au Jen |p, [e 2a] 5 en em]
al + e ce lt cl, Jo eas
Di es e A ES EE

y del mismo modo para el tercer término. “La prueba con respecto a la otra
columna es sernejente. Además, si 2 es un número, entonces

za az)
zas a32|

un aa
as am

= æ Det(at, a3, 4%)

Después supongamos que dos columnas son iguales, por ejemplo la primera
y la segunda! de manera que Al = AR. Así

Det(zA!, 42,4%) = 2011 |

wil

Au=am Gy = Are, am =am
Entonces, de nuevo, el lector puede ver en forma directa que los términos se
cancelarän, lo que hace que el determinante sea igual 2 0.

Por último, si 7 es la motriz unitaria de 3 x 3, entonces Det(I) = 1 tanto si
se usa el desarrollo conforme a renglones como si se hace conforme a columnas,
debido a que en tal desarrollo todos los términos, excepto uno, son iguales a 0
y este único elemento es igual a 1 multiplicado por el determinante de la matriz
unitaria de 2 x 2, que también es igual a 1

Una función de varias variables que es lineal en cada variable, esto es, que
satisface la primera propiedad delos determinantes, se conoce como multilineal.
Una función que satisface la segunda propiedad se conoce como alternante.

Para calcular determinantes en forma eficiente, necesitamos ciertas propieda-
des adicionales que serán deducidas sin mayor dificultad a partir de las propie-
dades 1, 2 y 3 del Teorema 2.2

4. Sean j y ke enteros tales que 1 <j <n y1<k<n con j # E, Si
se intercambian la columna j y le columna E, entonces el determinante
cambia de signo.

Demostración, En la matriz A reemplacemos la columna j y la columna k

por A} 4-4, Obtenemos una matriz con dos colummas iguales, de

196. 188 Detesiuinantes va, $2]

por In propiedad 2, cl determinante es igual a 0. Por la propiedad 1 desarrollamos
para obtener:

BD AM, &
IAS... AA

Si usamos la propiedad 2 nuevamente, veros que dos de estos cuatro términos
son iguales a 0 y, en consecuencia, que

0=D(...,45..., AF, + DC. A

En esta último suma, un término debe ser igual a menos el olro, lo que prueba
In propiedad 4.

5.

se suma un múltiplo escalar de una columna a otra, entonces el valor
del determinante no cambia.

Demostración. Consideremos dos columnas diferentes, digamos las columnas.
Ey J, Aly A con k # 5. Sea z un escalar; sumemos Af a At, Pot la
propiedad 1, el determinante se convierte en.

A Ah Len y)
1 1 !

k k ë
{la letra k señala hacia la columna £). En los dos términos que aparecen a la
derecha, In columna indicada se encuentra en el lugar E: pero D(...,4*,...) 08
simplemente D(A). Además,

Dy 2A) =2D(..., 45
1 1
& k

Como k # j, el determinante que aparece a la derecha ticne dos columnas.
iguales, debido a que A? se encuentra en el lugar & y también en el luguz 3. En
consecuencia, es igual a 0. Por tanto,
DARIA, DA,
‘on lo que se prueba nuestra propiedad 5.
Puesto que el determinante de una matriz es igual al determinante de su
transpuesta, esto es, Del(A) = Det(l4), obtenemos el siguiente hecho general:

‘Todas las propiedades establecidas con anterioridad para las operaciones por
renglones o por coluunas son válidas para ambas operaciones. 1

Por ejemplo, si un múltiplo escalar de un renglón se suma a otro renglón,
entonces el valor del determinante no cambia,

Con los medios anteriores a nuestra disposición, ahora podemos calcular los
determinantes de 3 x 3 en forma muy eficiente. Al hacerlo aplicamos las operas
ciones descritas en la propiedad 5, Tratamos de hacer en la matriz A suficientes

197. (vu, $2) Deter

antes de 3X By nxn 188

componentes ignales a 0. Intentaremos especialmente que todos los elementos,
excepto uno, de una columna (o renglón) scan iguales a D y luego desarrollaremos
conforme a esa columna (o renglón). El desarrollo contendrá sólo un término y

nuestro cálculo se reducirá a un determinante de 2x 2.
Ejemplo 3. Calenle el signiente determinante
301
12 5].
=I 4 2

Ya tenemos un 0 en el primer renglón. Restemos dos veces el segundo renglón.
del tercero. Entonces nuestro determinante es igual a

30 1
12 5 |
3 0 -8

Desarrollemos conformo a la segunda columna. El desarrollo tan sólo tiene un
término # 0, con un signo +, y éste es:
3 À

sl
El determinante de 2 x 2 se puede evaluar mediante muestra definieiön ad— be,
y hallamos 2(—24 — (-3)) = -42

De igual manera reducimes el cálculo de un determinante de 4 x 4 al de
determinantes de 3 x 3 y luego al de determinantes de 2 x 2

Ejemplo 4. Deseamos calcular el siguiente determinante:

is Li
2 1.52
11 23
4 147

Sumemos el tercer renglón al segundo y luego sumemos el tercer renglón al
cuarto. Esto da por resultado

1 3 Amb, 1
po pu 30 5
14 2 La 3
4 tess A 0 10
Después sumemos tres veces el tercer renglón al primero y así obtenemos
407 10)
ima a )
A |
B 0 -i 10

a la segunda columna, Sólo hay un Lérm

198. 190 Determinantes (VIL, $2]

Restemos dos veces el segundo renglón del primero y luego del tercer renglón, lo
que da por resultado

2 10
3 25]
1 -15 6)
lo desarrollamos conforme a la tercera columna y asf obtenemos
ET
Ejercicios VIL, $2
1. Calle los siguentes determinants
21/21 125 24 4
loa} mia 24) ja 300
yf i 24 023 j
1/2 1 ass 412
@lo2 a] wol oof wlası 4
on 7 2078 “12-3 |
2. Calcule los siguientes determinantes.
1 1-24 is
s 14
1 a 0324 |
une CRUEL EURE
tog les feist
1 sh “1 2 00
«ls - 2 ol 00 w |b 10
So 1 57 8 57
4 0 8 5 0e hd
(ojo 10 wo so of 15
von 008 jure d
3. En general, nil sel determinante de una matriz diagonal
crm 0
Fa Mer
: b
on o
0,9 Dis cn
4. Caletle el determinante [259 = i
. heno cond |*

5. (a) Sean z1,22,22 números. Demuestre que
1 af

1m ler llas 22).

199. (VM, $2] Determinantes de 3%3 y mm 191

*(b) Si 21,...2n son múmeros, entonces muestre por inducción que
Im

es
El símbolo que aparece a la derecha significa que es el producto de todos los
términos +; — zu, donde i < j, e à y y son enteros que varían de 12 n.
Este determinante se conoce como determinante V, de Vandermonde. Para
efectuar la inducción en forma sencilla, multiplique cada columna por 71 y
xéstela de la siguiente culumma a la derecha, comenzando por el lado derecho.
El lector encontrará que

CRETE
6. Encuentre los determinantes de las siguientes matrices.

Vo ES
o (143) (CH :)
003 E

2-0 Een
ol ı @ (0 2 &
o... v ü
148 400
@ (oor o([- 20
cos ws
1502 3 000
0276 1200
(pono 4 ı lo aie
005 #% 231
(9 Sea A una matri tiangular de x 1, digamos una matriz (a que todas las
‘componente que se encuentran debajo de la diagonal son iguales à 0.
CS
Pr. [uc
0 > nw

Qué es D(A)?
T. Si a(t), 6(t),¢(1) y alt) son funcions de £, se puedo formar el determinante

COR
dy do]
igual que con números, Desarzolle por completo el determinante siguiente:

sent cost
cost sent

8. Desarrolle completamente el siguiente determinante:

tel ter
ETS

200. 192 Determinantes (vn, $8)

de (Cba cla) Bang) An Macs que denon cla de ou D
O 1 aa Di oben dl mides d Seterminante
SW) of)
“oA
asta
0-19. 2
e ah
cot mt decadent elon inter

10. (Gon con) Sen
ix) es
Aga (a =)
una nates de 2 x 2 de funciones diferencahle. Sean B(t) y CH) aus vectores
columna. Sea
#40) = Dew(Ato)
Mucstre que
(= DCE) + (BLO,
11. Sea o wn número y ou À una marri de 3 3, Muestre que
ea) = DIA).
ir de mn. Muestre que
Dies) = Bla)
13. Sean ci,...,0n niómeros. ¿En qué dife los determinantes
Diät nnd) y DAA
14. Escriba en forma explícita el desarrollo de un determinante de 4 x 4 conforme al
primer renglón y conforms ala primera columna.

12, Sea e um número y sea À una u

VII, §3. Elrango de una matriz y subdeterminantes.

En esta sccción damos un criterio para la independencia lineal mediante el usc
de determinantes.
Teorema 3.1. Sean A%,...¿A” vectores columna de dimensión m. Som
linealmente dependientes si, y sólo si,
Dah, AN = 0
Demostración. Supongamos que A? ..., A” son linealinente dependientes,
manera que existe una relación
BAP bbe, =0
donde los números 21,...,2~ no son todos nulos. Digamos que 2; # 0. Al
restar y dividir entre 2; podomos encontrar números cz, con & # j, tales que
A= erat.

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201. IVIL, §3] Bl rango de ana matriz y subdeterminantes 193

Por tanto,
nay=D (4... Daal.
E
ST)
=

donde A® aparece en el lugar j. Sin embargo, At también aparece en el lugar
k, y k #5. En consecuencia, el determinante es igual a 0 debido a la propiedad
2. Esto concluye la prueba de la primera parte,

Por lo que se refiere al recíproco, recordemos que una matriz es equivalente

por renglones a una matriz escalonada. Suponga que A... 4” son linealmente
independientes. Entonces la matriz
A=(A!...,4")

es equivalente por renglones a una matriz triangular. En realidad, es equivalente
por renglones a una matriz B que se encuentra en forma escalonada:

OS
AS
oo ban

y las operaciones de equivalent
los renglones o las columnas sean

por renglones no cambian la propiedad de que

walmente independientes. Por tanto, todos
los elementos diagonales b:1,...ybnx son #0. El determinante de esta matriz
es el producto

Brood #0

debido a la regla del desarrollo conforme a las columnas. Bajo las operaciones de
equivalencia por renglones, la propiedad del determinante de ser 4 0 no cambia
porque las equivalencias por renglones ienplican la multiplicación de un renglón
por un escalar no mule, lo cual multiplica al determinante por este escalas; o cl
intercambio de renglones, lo cual multiplica al determinante por —1 0 la sua
de un múltiplo de un renglón a otro, lo cual no cambia el valor del determinante.
Como Det(B) # 0, se infiere que Det(A) #0. Esto concluye la prueba.

Corolario 3.2. Si A',.../A" son vectores columna de R” tales que
1A) £0 y sí B es un vector columna, entonces existen números
2, tales que

mala A" = B.
Estos números están deter

inados de manera única por B.

Demostración. Conforme al toorema, A},...,A® son linealmente indepen-
dientes y, en consecuencia, forman una bese de R”. Por tanto, cualquier vector
de RY se puede escribir como una combinación lineal de A*..., A”. Como
AS... A" son linealmente independientes, los nümeros 21,..., Zn 501 únicos.

202. 194 Determinantes (vi, §3)

En términos de ecuaciones lineales, este corolario muestra lo siguiente:

Si un sistema de n ecunciones lineales con n incógnitas tiene una matris

de cocficientes cuyo determinante no es 0, entonces este sistema tiene un

solución única.

Puesto que los determinantes se pueden usar para probar la independenci
lineal, se pueden usar para determinar el rango de una matriz,

a Bs
a=[12 12
11 01

Ésta es una matriz de 3% 4. Su rango es a lo sumo 3. Si podemos halla
res columnas linealzuente independientes, entonces sabremos que su rango
exactamente igual a 3. Pero el determinante.

Ejemplo 1. Sea

31 ?|
12
11 0| 4

no es igual a 0 (a saber, es igual a 8, como se aprecia al restar La segandl
<oluzana de In primera y después desarrollar conforme al último renglón). P
tanto, el rango de À = 3.

Puede ser que, en una mutriz de 3x4, algín determinante de una submadi
de 3x3 oca igual a 0, aunque la matri de 3 x 4 tenga rango 3. Por ejempl

= 31 25
pa(12-12
ET

El determinante de las primoras tres columnas.
sms
12
43,1
112.0 (en efecto, el últimorenglón es la suma de los primeros dos renglones)
Sin embargo, el determinante

dz à
2-12
Sige

no es nulo (¿a qué es igual?) de manera que, de nuevo, el rango de B e

igual a3
Si el rango de una matriz de 3x4

203. (va, 53) LL rango de wna matrix y avbdeterminantes 195

es igual a 2 0 menos, entonces el determinante de toda submatriz de 3 x 3 debe
ser igual a 0; en caso contrario, podríamos proceder como antes para obtener
tres columnas linealmente independientes. Observemos que hay cuatro de ta-
los subdoterminantes, obtenidos mediante la eliminación sucesiva de una de las
cuatro columnas, Recíprocamente, si todos co» subdeterminantes de toda. sub
matriz de 3 x 3 son iguales a.0, entonees cs fel ver que el rango es a lo sumo
porque, siel tango fuera igual a 3, entonces habría tres columuus linealmente in-
dependientes y su determinante no seria igual a 0. Así, podemos calcular dichos
subdeterminantes para obtener una estimación del rango y luego usar el método
de acierto y error, y un poco de sentido común, para obtener el rango exacto.

HI 26
c=(1 2-12
cee Y

Si calculamos todo subdeterminante de 3 x 3, hallaremos 0. En consccuencia,
el rango de € es, a lo sumo, igual a.2. Sin embargo, los primeros dos renglones
son linealmente independientes, debido a que, por ejemplo, el determinante

ba
12
uo es igual a0, Es el determinante de las primeras dos columnas de la matriz

de 2x4
B 1 26
42273

En consecuencia, el rango es igual a 2.
Por supuesto, si observamos que el último renglón de © es igual a la suma.
de los dos primeros, entonces vemos fácilmente que el rango es <2

Ejemplo 2.

Ejercicios VAL, 53

Calcule los rangos de laz aiguientos marrices.

> e B 514
1054 28M
Lu 28

3 514 3 ne

se (2-1 14 al ja
. 9.30 UL 6 &

=116 8 216 6

Ayia 3 311

Plica à Els,
alıoı aaa

204. 196 (vu, 4]
216 8
311
“loan à
538 1
8. (Con cálculo), Sean as, an números distintos entre af, #0. Demuestre que las
fonciones

son linealmente independientes sobre los números. [Sugerencia: Suponga que tene-
‘mos una relación Ira

cen = 0
«con constantes ez, válida para todo £. En caso de que no todos las o; sean iguales a
10, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que ninguno de ellos es 0. Derive la
relación anterior n—1 veces, Oblendrá un sistema de ecnaciones lineales. El deter
minante de sus coeficientes debe ser nulo. (¿Por qué?) Obtenga una contradicción
a partir de este lecho]

IL, $4. Regla de Cramer
4

Se puede usar las propiedades de los determinantes a fin de probar una bic
conocida regla para resolver ecuaciones lineales.

Teorema 4.1. Sean Al.

AY vectores columna tales que
DAL, AY) 4 0
Sen B un vector columna; si £1,..-,En Son números tales que
mAb petal" = By
Lin, tenemos que

entonces, para cada j

i AR)
DAN An)
donde R aparece ca la j-ésima columna en lugar de AV. Expresado en otr
forma,
ay es am
a be am

Any © San
(El numerador se obtiene de A al reemplazar la j-ésima columna Ai por By
El denominador es el determinante de la matriz A.)

El teorema 4.1 nos da una forma explícita para hallar las coordenadas de

B con respecto a Al)... A*. Usando el lenguaje de las ecunciones lineales, el

205. (VIE, $ Regla de Cramer 197

“Teorema 4.1 nos permite resolver explícitamente, en términos de determinantes,
el sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas:

by

fran ++ tain

rá +++ nan = bn

Probemos el Teorema 4.1

Si B se escribe como en el enunciado del teorema, y se considera el deter-
minante de la matriz obtenida al reemplazar la j-ésima columna de A por B,
entonces

O E O)
Usamos la propiedad 1 y obtenemos una suma:
DAN, And) 4 DAN, ty AP. AP)

FH DIA. ANA),

1a cual, de nnevo por la propiedad 1, es igual a
ADA A AM) bo aj D(A. AN)
Herta DA Al AM.
En todos los términos de esta suma, excepto el j-ésimo, dos vectores columna.

son iguales. En consecuencia, todo término, excepto el j-ésimo, es igual a 0, por
la propiedad 2. Fl término j es igual a
IA. A),

y, por consiguiente, cs igual al determinante con el que comenzamos, a suber,
D(A!,.... B,..., A”). Podemos despejar 2; y obtener precisamente la expresión
dada en el enunciado del teorema.

La regla del Teorema 4:1 que nos da la solución del sistema de ecuaciones
lineales por medio de determinantes se conoce como regla de Cramer.

Ejemplo. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales:

te ity + 4

PTE

2 dy tbe

Tenemos:

ped (eet! 1
ET 210 0
nl aut 1
ap 32 4
2 2 1
1 1 2 al

206. (98 Determinantes (VI, 55]

Observe cómo se desplaza la columna.

de la primera columna al resolver para 2, a le segunda columua al resolver
para y, a la tercera columna al resolver para 2. FI denominador en las tres
expresiones es el mismo, a saber, es el determinante de la matriz de coeficientes
de las ecuaciones,

Como ya sabemos calcular los determinantes de 3 x 3, hallamos que

PEO =}

Ejercicios VIL, $4
2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lincales,
(0) Syst @ tem yt end
stvts=0 2 +392 4

8 rar
Ar s+ 0=1 (0 O

VIL, $8. Inversa de una matriz
Consideremos primero un caso especial. Sea
(as
(23)
una matriz de 2 x 2 y suponga que su determinante ad — be #0. Deseamos
hallar una inversa para A, esto es, una matriz de 2 x 2

tal que

(GEC)

Veamos la primera columna de AX . Debemos resolver las ccuaciones

ar+b:=1,
eetdr=0.
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207. (Vu, 55] Taversa de una matriz 199

Éste es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, z y z, que sabemos
resolver. En forma análoga, observando la segunda columna vemos que hay que
resolver un sistema de ecuaciones con y y w como incógnitas, a saber,

ay+bw=0,
cyt dw= 1.

A
(3)
Busquemos una matrix X (al que AX = I. Por consiguiente, debemos resolver

Ejemplo. Sea

+ w
Ay + Bw

Mediante el método ordinario para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas
hallamos

Así, la matriz

es lal que AX = I. El lector verificará también mediante multiplicaciön directa
que XA = 1. Esto resuelve el problema de encontrar la inversa descada,

En forma análogo, en el caso de 3x3 hallariamos tres sistemas de ecuaciones
lineales, correspondientes à la primera columna, a la segunda columna y a la
tercera columna, Se podría resolver cada sistema para obtencr la inversa. Ahora
daremos el argumento general.

Sea A una matriz de n x n. Si B es una matriz tal que AB =! y BA=T
(1 = matriz unitaria de n x n), entonees decimos que E es una inversa de
A y escribimos B = AT}. Si existe una inversa de A, entonces es única. En
efecto, sea C una inversa de A, entonces CA = 7. Al multiplicar por B por
la derecha, obtenemos CAB = B. Pero CAB = C(AB) = CI = C. En
consecuencia, © = B. Un argumento similar funciona para AC =.

Teorema 5.1. Sea À = (aij)bna matriz de nxn y suponga que D(A) #0;
entonces A es invertible. Sea E? el vector unitario de la columna j y sea

D(A... E A)
7 DXA) >

donde Fi aparece en el lugar i, Entonces a matriz B= (bj) es una inversa
de A.

Demostración. Sea X = (X,;) una matriz indeterminada de nxn. Deseamos
resolver para las componentes z;;, de manera que satisfagan AX = I. A partir

208. 200 Determinantes LV, $5)

de la definición de producto de matrices, esto significa que, para cada j, debemos
resolver
Bb syd he Hand”

Este es un sistema de ecuaciones lineales que se puede resolver en forma única
mediante la regln de Cramer, y así obtenemos
D(A,.. Bl, 40)

D(4) S
que es la fórmula dada en el teorema.

"Aún debemos probar que XA = I. Observemos que D(‘A) # 0. En conse-
cuencia, por lo que ya hemos probado, podemos encontrar una matriz Y tal que
“AY = I. Tomando transpnestas, oblencmos ‘YA = J, Ahora tenemos

1st (AX)A = Y A(XA) = XA,

con lo que se prueba lo que queremos, a saber, que X = B es una inversa de A.

2y=

Podemos escribir con detalle las componentes de la matriz B que aparecen
en el Teorema 5.1 de la manera siguiente:

[amoo D tte
en LP ja
AN

Det(A)

Si desarrollamos el determinate del numerador conforme a la coluzana i, enton-

ces todos los términos, excepto uno, son iguales a cero y, por tanto, obtenemos el

nunerador de by, come subdelerminante de Det(A). Sea Ay; ln matriz obtenida.
de A al climinar el renglón i y la columna j. Entonces

+3 Det(

bi = Da)

(observe la inversión de los indice!) y así tenernos la Fórmula

1212 ul an (ED)

‘Una matriz cuadrada enyo determinaute os # 0 o, lo que es igual, que ndinite
una inversa, se Mama no singular.

Ejemplo. Encuentre la inversa de la matrie

301-2
id 2
1-2 1

A

209. LV, $5] Inversa de una matriz 201

Por la fórmula, tenemos que

Para = 1, j = 1, le matriz Ay, se obtiene mediante la eliminación del
primer renglón y Ta prizuera columna, esto es,

-1 2
au= (21 2)
y Det(Au)=1-(-4)

Para i= 1,5 = 2, la matriz Aya se obtiene mediante la eliminación del
primer renglón y la segunda columna, esto es,

WEY
au= (15)
y Del) = 12
Para i = 1,j = 3, la matriz Aj se obtiene mediante la eliminación del
primer rcagón Y a tercera columna, ato es,
-1 1
1-2
y Det(Ajg) = 2-1=1.
Povitvonealcular Dei(4) = 16. Datonces el primer re

46.30.
Por consiguiente, la primera columua de A” es

4)

Observe que el signo cambia debido al patrón de los signos (-1)'%

Ans

Jon de {A7 es

Dejamos para el lector el cálculo de las otras columnas de A7
Enunciaremos el siguiente teorema sin demostración:
Teorema 5.2. Para cualesquiera matrices À y B de nxn, el determinante
del producto es igual al producto de los determinantes, esto es
Det(AB) = Det(A) Det(B).
Entonces, como caso especial, hallamos que, para una ¿natriz invertible A,

Det(A-

Det( ay"?

En efecto, tenemos que

AA 1,
y al aplicar la regla para un producto, obtenemos
DAD

lo que prueba la fórmula para la inversa.

210. 202 Determinantes (vit, $8]
Ejercicios VII, $5
1. Emplee determinantes para encontrar las inversas de las matrices que parecen en

el Capítulo I, sección $5.
2. Describa en forma explícita la inversa de una matriz de 2x2

(6h)

VI, $6. Interpretación de los determinantes como área y como volumen

suponiendo que ad—be #0.

Resulta notable ver cómo el determinante se puede interpretar como volumen.
Estudiamos primero el caso de dimensión 2, por lo que hablaremos de áre:
aunque escribiremos Vol para representar el-árca de una figura de dimensión 2,
con el objeto de mantener la terminología que se generaliza pura dimensi
superiores. 4

"Considere él paralelagramo generado por los vectores w y 1.

Por definición, este paralelogramo es el conjunto de todas las combinaciones
lineales |

tutto donde 054 <1

Figura 1

“Consideremos v y w como vectorés columna y así podemos formar su determi
nante D(v,w). Este determinante puede ser positivo o negativo, puesto que
Do) = Dis, 0)
Por tanto, el delermirante en sí no puede ser el dren de ets paralelogeao, y
que el área siempre es > 0. Sin embargo, probaremos el siguiente Leorem:
Teorema 6.1. El área del paralelogramo generado por v y w es igual al
valor absolnto del determinante, a saber, |D(v,w)|.

Para probar el Teorema 6.1, introduzeamos la noción de área orientada. Sea
P(,10) el paralelogramo generado por » y u. Denotemos con Vola(W,10) el

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211. LV, se] Determinantes como área y volumen 203

área de Pfu,u) si el determinante D(v, w) > 0, y menos el área de P(v,w) si
el determinante D(v,w) < 0. Así, al menos Volofu, w) tiene el mismo signo que
el determinante, y diremos que Volo(v,1) es el área orientada. Denotemos
con Vol(,u) el área del paralegramo generado por v,w. En consecuencia,
Velo(u, 2) =a Vol(», 1)

Para probar el Teorema 6.1, scrá suficiente probar que:

El área orientada es igual al determinante. Expresado de otro modo,

Vola(»,u) = Din,w)

Ahora bien, para probar esto serä suficiente demostrar que Volo satisface las
tres propiedades características de un determinante, a saber:

1. Volo es lineal en cada variable y y w.
2. Volo(v,v) = 0 para todo v
3. Volo(E*, E%) = 1 si B® y E? son los vectores unitarios canónico.

Sabemos que estas tres propiedades caracterizan a los determinantes, y esto
se probó en el Teorema 1.1. A beneficio del lector, repeliremos brevemente el
argumento en esta parte. Supongamos que tenemos una función y que sat
Taco estas tres propiedades (9 reemplesa a Vols). Entonces, para cualesquiera
vectores

saBlach? y DEl

tenemos
g(aB! + cE? SE + dER) = abg(E!, El) 4 adg(E!, E?)
+ eba(£?, 11) + edg(E?,F°).
El primero y el cuarto términos son ignales a 0. Por el Ejercicio 1,
EE) = —9( FB)
y, on consecuencia,
gv, w) = (ad— deja El, E°)
Esto prueba lo que queríamos.

Con el objeto de probar que Velo satisface lag tres propiedades, usaremos
propiedades simples del área (o volumen) como las siguientes: el área de un
segmento de recta cs igual a 0. SF A es cierta región, entonces el área de A es
igual al área de una traslación de A, esto es, igual al drea de la región Ay (que

consta de todos los puntos v-+ w, con » € A). Si A y B son regiones ajenas
‘entre sí o son tales que sus puntos comunes tienen un área igual a 0, entonces

Vol(AUB) = Vol(4) + Vol(B).
Ahora considere Volo. Las últimas dos propiedades son obvias. Ciertamente,

el paralelogramo generado por e, es simplemente un segmento de recta y su
ren en dos dimensiones es, por consiguiente, igual a 0. Por tanto, sc satisface

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ad — be.

212. au Determinantes (vu, $6)

la propiedad 2. Por lo que se refiere a la tercera propiedad, el paralelogramo
generado por los vectores unitarios £ y £ simplemente es el cuadrado unitario,
cuya área es igual a 1. Por ello en este caso tenemos

Vok(E",E°)=
La propiedad más difícil es la primera. Si es que no lo ha hecho ya, el
lector debería leer las aplicaciones geométricas que apurecen en el Capítulo I
sección $2, antes de leer el resto de esta prueba, que se basa en consideraciones
geométricas sobre el área.
Neccsitaremos el siguiente lema,

Lema 6.2. Si y y w son lincalmente dependientes, entonces Volo(v, w) = 0.

Demostración. Suponga que podernos escribir
av+bu=0

Figura 2

con a o 80; digamos que a £ 0. Entonces

de manera que v y w se encuentran sobre la misma recia y el paralelogramo gene-
zado por v, w es un segmento de recta (Fig. 2). En consecuencia, Volo(e, u) = 0,
lo que prueba el lema.

‘También sabemos que, cuando» y w son linealmente dependientes, entonces
D(e,u) = 0, por lo que, en este caso trivial, nuestro Léorema está probado. En
loe lemas subsecuentes supondremos que y y w son linealmente independientes.

Lema 6.3. Suponga que v y w son lincnlmente independientes, y sea n un
entero positivo, Entonces [

Vol(nr, u) = n Volle, w).

Demostracién. El paralelogramo gencrado por nv y 10 consta de n parale-
logramos como los que se muestran en la siguiente figura.

213. (VIL, $6] Determinantes como área y volumen 205

Figura 3

Estos n paralelogramos simplemente son las traslaciones de P(v, u) determi-
“nadas por v,20...,(n — 1jn y cada traslación de P(v, w) tiene la misma ärca
que P(p,1). Estas traslaciones sólo tienen en común segmentos de recta y, por
tanto,

Vol(ne, w) = n Vol(v. )

tal como se deseaba.

Corolario 6.4. Suponga que v y w son linealmente independientes, y sea
‘nun entero positivo. Entonces

vol (> .) = L volte, u).
Si m y n son enteros positivos, entonces

vat (vw) = © vol(o,u):

Demostración. Sea +, = (1/n)v. Por el lema sabemos que.
Vol(nsw) = n Vol(»1,0).

Esto no es sino wma reformulación de nuestro primer asgrto, pueslo que mv = u
Por lo que se refiere a la segunda afirmación, eso
aplicamos en forma sucesiva los enunciados probados:

214. 206 Determinantes 1, 36)

Lema 6.5. Vol(—»,u) = Voll», w).

Demostración. El paralelogramo gencrado por —v y es una traslación
determinada por —u del paralelogramo Pfv,u). En consecuencia, P(v,w) y
P(—v, v) tiene la misma Area (consültese la Fig. 4).

Pu $
77
4 R
Hé Pas à

Lema 6.6. Si e cs cualquier nómero real > 0, entonces
Vol(ev, u) = e Vol

u)
Demostración. Sean r y 1" números racionales tales que 0 < r <<
(Pig. 5). Entonces
P(rv,w) € Plev,u) € Pro,u).
Por tanto, por el Lema 6.3,
+ Vol(v, a) = Vol(re, a)
< Vol(en,u)
< Val(v,u)
=r Vol(r,w).
Al hacer que r y +! tiendan a:¢-eomo limite, encontramos que
Volfeu, a) = e Vol, u),
como se quería demostrar.
Ahora, a partir de los lemas 6.5 y 6.6, podemos probar que

Volo(v, 9)

para cualquier número real « y cualesquiera vectores y y 1. Ciertamente, si
% y w son linealmente dependientes, entonces ambos lados de la igualdad son
iguales a 0. Si » y w son linealmonte independientes, usamos la definición de

Vola(co,w)

215. (VI, $6] Determinantes como área y volumen 207

Volo y los Lemas 6.5 y 6.6; digamos que D(v,w) > 0 y ¢ es negativo, e
Entonces D(cv, 8) <0 y, cn consecuencia,

Volo(ev, 20) = — Voller, w)

Vol(—de,w)

Vol(de, w)

A Vol(e,w)

=cVol(r,u) = eVolo(v, w).

Un argumento similar es válido cuando DI 0. Por consiguiente, hemos

probado una de las condiciones de la Inealidad de la función Vole. Por supuesto,
es válida la propiedad análoga para la otra componente, a saber,

eVolo(v, u)

Vola(n, cu

Para la otra condición, de nuevo tenemos un lema,

Lema 6,7. Suponga que v y w son lineelmente independientes. Entonces
Vol(u + ww) = Vol(», 1)
Demostración. Tenemos que probar que el paralelogramo generado por v y
¡ela misma área que el paralelogramo generado por 1 +0,

Figura 6

El paralelogtamo gencrado por u y w consta de dos triángulos A y B como
se muestra cu la figura, Fl paralelogramo generado por v +0 y w consta del

isingulo B y la traslación de A determinada por ww. Como A y À + tienen
isma área, obtenemos:

Vol(1,) = Vol(4) + Vol(13) = Vol(A + a) + Vol(B) = Volle + 1,15),
{al como se quería demostrar.

216. 208

(vii, so]

Ahora estamos preparados para trabajar con la segunda propiedad de lineali-
dad. Sea w un vector fijo no nulo en el plano, y sea v un vector tal que {v,u) es
una base del plano. Probaremos que, para cualesquiera números ¢ y d, tenemos

0} Vololen + du, w) = eVohtu,u).
En efecto, si d = 0, esto no es más que lo que previamente hemos probado. Si
£0, entonces, de nuevo por lo que se demosizó previamente,

A Volu(cw + dw, w) = Volo(ce + dw, du)

AL dividir entre d se obtiene la relación (1).
De esta última fórmula se infire la linealidad, Ciertamente, sí

eVolote, du) = ed Volo(», 1).

cutdw y

entonces

Volo(w + vasw) = Volo((e + cojo + (di + dy)w,w)
= (61 +02) Volo(v, w)
es Volo(0, 10) + ca Volofa,u) 4
= Volo(vs, 10) + Volles, w).
Esto concluye la prueba del hecho de que

Vola(o.u) = Diviu)
y, en consocuencia, la del Teorema 6.1.

Figura 7

Observación 1. La prucha que se acaba de dar es ligeramente larga, por

todos los pasos son bustanto sencillos. Además, curando se desea generalizar la
prucha a un espacio de dimensión superior (incluso al espacio de $ dimensiones),
se puede dar una prueba completamente similar. La tazón para ello es que In
‘condiciones que caracterizan a un determinante implican sólo dos coordenadas.

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217. [VIL, $6] Determinantes como área y volumen 209

a la vez y, así, siempre se lleva a cabo en algún espacio de dimensión 2. Al
mantener fjas todas las coordenadas excepto dos, la prueba anterior se puede
extender de inmediato. Así, por ejemplo, en el espacio de dimensión 3, denotemos
con P{u,v,u) la caja generada por los vectores u,v, (Fig. 7), a saber, todas
las combinaciones

butte tu donde 064 <1.
Sea Vol(u,v, w) el volumen de esta caja,

Teorema 6.8. EI volumen de In-caja generada por u,v y 10 es el valor
absoluto del determinante |D{u,u,u)l. Esto cs,
Vol(u,u, 6) = |D(u, 0,10)

La prueba se ajusta exactamente al mismo patrón que cn cl caso bidimensio-
nal. En efecto, el volumen del cubo generado por los vectores unitarios es igual
2 1. Si dos de los vectores u,v y. w son iguales, entonces la caja es, en realidad,
un paralelogramo de 2 dimensiones cuyo volumen en 3 dimensiones es igual a 0
Por último, la prueba de la linealidad es la misma, debido a que todo el proceso
ticwe lugar en una o dos variables. Se puede mantoner a las otras variables von
la misma notación aunque no participen de manera esencial en la prucba.
imismo, es posible definir vohimenes de n dimensiones; el tcorema corres-
pondiente es como sigue:

Teorema 6.9. Sean 0,.:,0y elementos de R”. Sex Vol(11,...,09) el
volumen de n dimensiones de la caja de dimensión n generada por vy. ya
Entonces,

Vol(01,---, 80) =1D(t3,..-,1m)].
Por supuesto, la caja de n dimensiones generada por 1%,.... 1 es el conjunto

de combinaciones lineales.

re donde <<
=

Observación 2. Si bien hemos usado propiedades geométricas del area
para Hevar a cabo la prueba anterior, se pueden sentar los fundamentos en forma
puramente analítica para todo esto. Si el lector está interesado, consulte mi libro
Introducción al análisis matemático, publicado por esta misma editorial.

Observación 3. En el caso especial de 2 dimensiones, en realidad se podría.
haber dado una prueba más sencilla que la del determinante igual al área, pero
preferimos dar una prueba ligeramente més complicada porque es la que se ge-

‘a para el caso de 3 dimensiones o de n dimensiones.

Interpretemos el Teorema 6.1 en términos de aplicaciones lineales. Dados los
vectores v y a en el plano, sabemos que existe una nica aplicación lineal

LRP oR?

218. 210 Determinantes (VT, $6)

tal que L(6!) = u y L(5?) = w. En efecto, si
v=aßl+eE?, w= be +d",
entonces la matriz asociada con la aplicación lineal es
Cs)
ed)‘
Además, si denotamos con G el cubo unitario generado por E* y E” y con P el

paralelogramo generado por u y w, entonces P es la imagen bajo 7. de C, esto.
cs, L(C) =P. Ciertamente, tal como hemos visto, para 0.< Y < | tenemos

F(t B+ te") = UE) +t2L(8%) = tye + tow.
Si definimos el determinante de una aplicación lineal como el determinante de
su matriz asociada, concluimos que
(Área de P) = |Dei(ä)l
Para dar un ejemplo numérico, el área del paralelograro generado por los vec
tores (2,1) y (3,—1) (Fig. 8) es igual al valor absoluto de
|

k 12d;
3 11"

y, por tanto, es igual a 5.

Figura 8

"Teorema 6,10. Sea P un paralelogramo generado por dos vectores. Se
LER? +N? una aplicación lineal. Entonces

Área de L(P) = | Det £! (Área de P)
Demostración. Supongamos que P está generado por dos vectores u y

Entonces L(P) está generado per L(2) y Z(u). (Consulte ls Fig. 9). Px
una aplicación lineal Za :R* +R? tal que à

LE) y (E)
Entonces P = L(G), donde C' es el cuadrado unitario, y
1(P)= IC) = (Lo LC)
20%

AAA itfiliiihhe,

219. [VAL 56) Determinantes como área y volumen on

ip)
Le

Lise)

© ©

Figura 9

Por lo que hemos probado anteriormente en (2), obtenemos
Vol L(P) = |Det(L > £;)| = |Det(Z) Det(L,)| = | Det(2)] Vol(P),
lo que prueba muestro aserto.
Corolario 6.11, Para cualquier rectángulo R cuyos lados están paralelos
a los ejes, y cualquier aplicación lineal L : R2 — ?, tenemos.
Vol L{R) = | Det(2)| Vol(R).
Demostración. Sean cı y cy las longitudes de los lados de R. Sea Ry el

rectángulo generado por ch” y e2B?. Entonces Res la traslación de Ry
determinada por algún vector, digamos R= Ry + u. Entonces

LER) = UR + 4) = IR) + Ll)

os la traslación de 1(%;) determinada por £(u). (Consulte la Fig. 10.) Como
cl área no cambia bajo traslación, sólo necesitamos aplicar el Teorema 6.1 para
concluir la prueba,

{tentera

a

Figura 10

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220. a2 Determinantes [VI $6)
Ejercicios VII, $6

1. Si g(o,w) satisface los dos primeros axiomas de un determinante, pruebe que
ov, w) = al)

para todos los vectores n y w. Este hecho se usó on la prueba de la unicidad.
[Sugerencia: Desarrolle 9(e + wu. + u) = 0]

2. Encuentre el ärca del paralelogramo generado por los siguientes vectores.
(2) (0,1) y 45 ©) 6,91 Gars)

3. Encuentre el &rca del paralelogramo tal que tres de sus vértices se encuentran dados
por los siguientes puntos.
AAN) 1) (13.010,20)
() 059-1903 (9 0,0,0,0,20

4, Encuentre el volumen del paralelepípedo gencrado por los sí
espacio de 3 dimensiones.
(@) AL). (9) (10,010)
(9 (E12,D,(2,0,0,(1,3,0) () (-2:2,,(0.1,0),

antes vectores en el

-1,2,5)
33) 4

221. CAPÍTULO — ill

Vectores propios y
valores propios

Bate capitulo expone las propiedades elomentales básicas de los vectores propios
y de los valores propics. Al calcular el polinomio característico se tiene uns apli-
cación de los determinantes, En la sección £8, lumnbién se obriene una interesante
combinación del cälculo con el álgebra lineal al relacionar los vectores propios con
el problema de encontrar ol uáximo y el mínimo de una función cuadrática sobre
la esfera. La muyoria de los estudiantes que cursan algebra lineal ha estudiado
algo de cálculo, pero si se tiene que evitar el cálculo, se puede usar la prueba
que emplea números complejos en lugar del principio del máximo para obtener
valores propios reales de una matrie simétrica. En un apéndice se destacan las
propiedades básicas de los nimeros complejos.

VII, $L. Vectores propios y valores propios

Sea V um espacio vectorial y soa
ava

una aplicación lineal de Y eu sí mismo. Se dice que un elemento y € V es
un vector propio de A si existe un mimero À tal que Av = Av. Si» #0,
entonces A esta determinndo en forma única, debido & que Ay = Anv implica
que Ay = Ay. En este caso, decimos que À es un valor propio de A que
pertenece al vector propio v. También decimos que y es un vector propio cuyo
valor propio es A. Además de vector propio y valor propio, también se emplean.
los términos vector característico y valor característico.

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222. 214 Vectores propios y valores propios

ut, $1)

Si A es una malriz cuadrada de n x n, entonces un vector propio de A
es, por definición, un vector propio de la aplicación lineal de R” en si mismo
representada por esta mulriz. Por tanto, un vector propio X de A es un vector
(columna) de R” para el cual existe À ER tal que AX = AX.

Ejemplo 1. Sen V el espacio vectorial sobre R que consta de todas las
funciones infinitamente diferenciables. Sea A € IL; entonces la función f tal que
f(t) =O es wn vector propio de la derivada d/dt, ya que df/dt = Ae.

3

una matriz diagonal. Entonces todo vector unitario BY (i =
vector propio de A. En efecto, tenemos que AR! = aE

Ejemplo 2. Sea

yn) es un

an
0 a 0
ES
0.0 an
o 0

Ejemplo 3. Si A:V — V es una aplicación lineal y v es un vector propio
de A, entonces, para cualquier escalar € no nulo, cv también es un vector propio,
de A, que tiene cl mismo valor propio.

Teorema 1.1. Sea V_ un espacio vectorial y sea A:V — V una aplicación
lineal. Sea A € R y sea Va el subospacio de Y generado por todos los vectores
ppropios de A que tienen u A como valor propio. Entonces todo elemento no
nulo de Va es un vector propio de A que tiene a A como valor propio.
Demostración. Sean vy y 29€ Y tales que Avy = Avı y Ava = Ava. Enton-
ces
Alor + vs) = Au + Avg = Avı + Ava = Ao + v2):

Sie ER, entonces Alem) = ev = eAvı = Aer. Flo prucba el teorema,

Fl subespacio VA del Ieatema 1.1 se conoce como espacio propio de À
correspondiente a A.

Nota. Si ur y va son vectores propios de A cuyos valores propios son
diferentes, Ay # Az, entonces, por supuesto, 11 +02 no es un vector propio de
A. En efecto, tenemos el siguiente teorema:

223. van, 51) Vectores propios y valores propios 215

Teorema 1.2. Sea V un espacio vectorial y sea A:V + V wa aplicación
lineal, Scan Y1,...,t vectores propios de À, cuyos valorespropios sou
nee Am, respectivamente. Suponga que estoy valores propiogsn distintos
entre sf, esto es,

MEN di NFS

Entonces vu, son linealmente independientes.

Demostración. Por inducción sobre m. Para m = 1, un clemeto ts € V,
m 4.0, es linealmente independiente, Suponga que m > 1 y que memos una
relación

© EURE TER

con escalares c;. Debemos probar que todo e; = 0. Multipliquenos nuestra
relación (+) por A, para obtener

erde ++ oii = O.
‘También apliquemos A a nuestra relación (+). Por linealidad, obtesemos
ais ++ cnt =O.
Ahora estemos estas dos últimas expresiones, con lo que obtenemos
{da = Ada +++ (Am — Atom = 0.

Como Aj = 1154 0 para j=%,...,m, concluimos por inducción que ¢ = =
m = 0. Volviendo a nuestra relación original, vemos que exe = O, por lo que
1 =0 y asi nuestro teorema quedó probado.

Ejemplo 4. Sea V el espacio vectorial que consta de todas ps funciones
diferenciables de una variable real £. Sean a,...,2%m nümeros digintos entre
sí. Las funciones
¿eno

son vectores propios de la derivada, con valores propios (93,...,an distintos
entre sí y, en consecuencia, son linealmente independientes.

Observación 1. En el Teorema 1.2, suponga que Y es un opt
torial de dimensión n y que A:V — V es una aplicación lineal que ti
vectores propios v1,...,0q cuyos valores propios Ay, .., A, son disintos entre
sl. Entonces {eus un} es vna base de Y.

neales se
matriz de

Observación 2. En la teoría de las ecuaciones diferencial
encuentra una situación como la del Teorema 1.2, Sea A= (as) u
nxn y sen.

AO

FO=
Soft)

224. 216 Vectores propios y valores propios vn, sn

un vector columna de funciones que satisfacen la ecuación
dE
de
a términos de coordenada, esto algien qu

da ay ite.

Ahora suponga que À es una matriz diagonal,

AF().

ay 0 ul
al i ) donde a; #0 para todo 5.
god
Entonces toda función fi(t) satisface la ecuación
Bee ah

Por cálculo sabemos que existen mimeros €;,.... cu tales que, para ym
tenemos que
Silt) = xe.

|
[Pruebas si df/dt = af(t), entonces la derivada de (t)/e% es igual a 0, de,
|

manera que f(£)/e%! es constante] Recíprocamente, si c1,.…,c; son mimeros

y hacemos.
at

ro ( : je
est

entonces F(1) satisface la ecuacién diferencial
ar
e = AFO.

Sea V el conjunto de soluciones F(f) de la ecuación diferencial dF /dt = AF(2).

Entonces se verifica de inmediato que V es um espacio vectorial, y el argumento,
anterior muestra que los n elementos

ent 0 0
: eat 0
salle losa
0 0 et

forman una base para V. Además, estos elementos son vectores propios de AY
también de la derivada (considerada como una aplicación lineal).

Lo anterior es válido si A es una matriz diagonal. Si A no es diagonal, en-
tonces tratamos de encontrar una base tal que podamos representar la aplicación
Jineal A con una matriz diagonal. Aquí no haremos este tipo de consideraciones,

225. (var, §1] Vectores propios y valores propios ar

Ejercicios VI, $1

Sea a un múmero 0.

1. Pruebe que los vectores propios de la matriz

(3

generan un espacio de dimensión 1, y dé una base para este espacio.

2. Pruebe que los vectores propios de la matrix

20

02
generan un espacio de 2 dimensiones y dé una base para este espacio. ¿Cuáles son
Jos valores propios de esta malin?

3. Se A una matriz diagonal cuyos elementos diagonales ton 013,...-, dan: ¿Cuál ys
Ia dimensión del espacio generado por los vectores propios de A? Muestre una hase
para este espacio y diga cuáles con los valores propios.

4 Demuestre que, si BER, entonces la matriz
cas nas
rs 3)

siempre tiene un vector propio en RA, y que, de hecho, existe un vector tal que
Avy = m. [Sugerencia: Tome como primera componente de 0; la siguiente:

send
Tes
si cos #1; luego despeje y. ¿Qué pasa si cus = 17)

5. En dl ejercicio 4, sea vz un vector de R? perpendicular al vector oy hallado en ese
eiereicio. Demuestre que Av =—ez y defina el significado de esto de modo que
indique que A es una reflexión.

6. Sea

RO)

cod = sen?

sen? cond.
la matriz de une rotación. Dermestre que R(@) no tiene valores propios reales,
a menos que (9) = +4. (El lector encontrará más sencillo hacer este ejercicio
después de estudiar Ta siguiente sección]

T. Sea V nn espacio vectorial de dimensión finita. Sean A y B aplicaciones lineales
de Y en sf mismo. Suponga que AB = BA. Demuestre que, si v es un vector
propio de A, cuyo valor propio es A, entonces Ho es un vector propio de A, cuyo

ad tamil 2 Da

226. 218 Vectores propios y valores propios (van, $3

“VIII, $2. El polinomio característico

“Ahora veremos cómo se pueden emplear los deter:
propio de la matriz.

¡antes para hallar el valor

Teorema 2.1. Sea V uu espacio vectorial de dimensión finita y sea A un
número. Sea A: Y — Y_una aplicación lineal. Entonces A es un valor propio
de A si, y sólo si, A~ AI no es invertible.

Demostración. Supongamos que A es un valor propio de A. Entonces existe
un elemento v € V, 00, tal que Av = Av. En consecuencia, Av — hv = 0, y
{4- AD)» =0. Por tanto, A—AF tiene un mécleo no nulo, y A— AT no puede
ser invertible. Recíprocamente, supongamos que À — I no es invertible. Por el
"Teorema 2.4 del Capítulo 5, vemos que A AJ debe tener un núcleo no nulo, lo
que significa que existe un elemento v € Y, v £ 0, tal que (A- Me =O. En
consecuencia, Av = Au = O y Au = Av. Así, À es un valor propio de A. Esto
prueba muestro teorema

Sea A una matriz de n x m, À = (aij). Definimos el polinomio caraczí
torístico Pa de A como el determinante

Pt) = Det(tr — A),
0, escrito con todo detalle,
tomy a e Le a
PO=| : E
= rl PN

‘También podemos considerar A como una aplicación lineal de R” en R”, y
decir que Pa(t) es el polinomio característico de esta aplicación lineal.

Ejemplo 1. FI polinomio característico de la matriz

a
4=|2 1.1
0 1

a
1 3
nr el
0-1 141
y lo desarrollamos conforme a la primera columan para cbtener
Pa(t)= 8-46,

Respecto a una matriz arbitraria A = (au), el polinomio característico se
puede hallar desarrollando conforme a le primera. columna, y siempre consistirá

fen una suma
(t= ay) (tn) boss

227. (vim, $2] El polinomio cazactera 20

‘Todo término distinto del que hemos escrito tendrá grado <n. En conscouencia,
el polinomio característico es del tipo
Pa(t) =1" + Lérmirios de grado menor.

Teorema 2.2. Sea A una matriz de nxn. Un número A es un valor
Propio de A si, y sólo si, A es una raíz del polinomio característico de A.

Demostración. Suponga que A es un valor propio de A. Entonces AT — A
ss invertible, debido al “Teorema 2.1, y por tanto, Det(Al — A) = 0, por el
Teorema 5.1 del Capítulo VIL. En consecuencia, A es una raíz del polinomio
característico, Recíprocamente, si A es una raíz del polinomio característico,
entonces

Det(Ar— A) = 0,
y por tanto, por el mismo ‘Teorema 5.1 del Capítulo VII, concluimos que AT À
o es invertible, de modo que A es un valor propio de A, según el Teorema 2.1.

El teorema 2.2 nos da una manera explícita de determinar los valores propios
de una matriz, u condición de que podamos determinar en forma explícita las
raíces de su polinomio característico. Algunas veces esto es fácil, en especial en
los ejercicios que aparecen al final de los capitulos, donde las matrices se ajustan
de tal manera que se puede determinar las raíces a simple vista o mediante
recursos sencillos, En otros casos es considerablemente más difícil,

For ejemplo, para determinar las raíces del polinomio que aparece en el Bjem-
plo 1, se tendría que desarrollar la teoría de los polinomios cúbicos. Esto se
puede hacer, pero implica fórmulas que resultan un tanto más dificiles que la
fórmula con la que se resuelve una ecuación cuadrática. También es posible ha-
ar métodos para determinar raíces en forma aproximada. En cualquier caso, la
deter de tales métodos corresponde a un tipo de ideas que no es el que
se maneja en este capitulo.

Ejemplo 2. Halle los valores pro
de la siguiente matriz

y una base para los espacios propios

El polinomio característi

1-1
24-3

es el determinante

((-1)@-3)-8= at

= 5) +1).

En consecuencia, os valores propios son 5 y —1
Para cualquier valor propio A, un vector propio correspondiente es un vector
7) tal que

05

228. 20 Vectores propios y valores propios vm, $2

o, en forma equivalente,

(l= je +4 =0,

22+(8-Ny=0
Demos a + algún valor, digamos z = 1, y despejemos y a partir de cualquier
ecuación, por ejemplo la segunda, para obtener y ==2/(3— A). Psto nos da el

vector propio
x= (x).

Al sustituir A=5 y À = —1 obtenemos los dos vectores propios

wel) mn wald) me

El espacio propio para 5 tiene base X! y el espacio propio para —1 tiene base
X2. Observe que cualesquiera múltiplos escalares no nulos de estos vectores
también serían bases. Por ejemplo, en lugar de X? podríamos considerar

a
1 {
Ejemplo 3. Halle los valores propios y una base para los espacios propios:

de la matriz
ad‘
o 1 1
02 4

Fl polinomio característico es el deterininanate

t-2 1 0
( 0 #-1 aereo
0-2 1-4

Por tanto, los valores propios son 2 y
Para los vectores propios, debemos resolver las ecuaciones siguientes:

ade +u=
Gus
dy+(4—a}r = 0.
Observe el covfciente (2— A) de =
Suponga que queremos encontrar el espacio propio eayo valor propio es À
Entonces la primera scnación e convierte en y = 0, por loque = =0, a parir Al

Insegunda ecuación. Podemos dar a z cualquier valor, digamos z = 1. Entonces
el vector

229. Ivan, $ FI polinomio característico 221

es una base para el espacio propio cuyo valor propio cs 2.

Ahora suponga que A # 2, de manera que À = 3. Si ponemos z
entonces podemos despejar y a partir de la primera ecuación para obtener y = 1,
y entonces podemos despejar 2 en la segunda ecuación para obtener 2 = —2.

Por tanto,
1
x=| 1
La

es una base para los vectores propios cuyo valor propio cs 3. Cualquier múltiplo
escalar no nulo de X? también sería una base,

Ejemplo 4. El polinomio característico de la matriz

11 2
0 5 -
000 7

en (= (#8) — 7). ¿Puede el lector generalizar esto?

Ejemplo 5. Halle los valores propios y una baso para los espacios propios
de la matriz que aparece en el Rjemplo 4.
Los valores propios son 1, 5 y 7. Sen X un vector propia no nulo, digamos

x= (+) AA

Entonces, por definición de vector propio, existe un número À tal que AX = AX,
lo que significa que

. Como queremos un vector propio no nulo, debemos
tener z # 0, en cuyo caso À = 1, por la primera couación. Sea Xi = El el
primer vector unitario, o cualquier múltiplo cscnlar no nulo, para obtener un
vector propio cuyo valor propio es 1

Caso 2. : = 0, y 4 0. Por la segunda ecuación, debemos tener À
Demos a y un valor especifico, digamos y = 1. Luego despejemos de la
primera ecuación, a saber,

2+1=882, loqueda =}.

“|

Entonces X? es un vector propio cuyo valor propio es 5.
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Sea

230. 2 Vectores propios y valores propios (VI, 92)

Caso 3. x # 0. Entonces, por la tercera ecuación, debemos tener À =
Fije algún valor no nulo de =, digamos z = 1, por lo que todo se reduce a resolver
las dos ecuaciones simultáneas

Esto da por resultado y =

Batonces X3 es un vector propio cuyo valor propio es 7.

Los múltiplos escalares de Xi, X? y X? producirán vectores propios que tic-
nen los mismos valores propios que X1, X? y X*, respectivamente. Como extos
tres vectores tienen distintos valores propios, son linealmente independientes y,
por tanto, forman una base de R?. Por el Ejercicio 14, no hay otros vectores
propios. N

Por último señalaremos que el älgebra lineal de matrices se podría haber reali=
zado con cocficientes complejos. Lo mismo se puede decir para los determinantes
Todo lo que se necesita de los números es que se puedan sumar, multiplicar y
¿dividir entre múmeros no nulos, y estas operaciones son válidas para los números
complejos. Luego, una matriz A = (aij) de múmeros complejos tienc valores
propios y vectores propios cuyas componentes son números complejos. Psto es
il por el siguiente hecho fundamental:

‘Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene una ralz com:

pleia.

Si À es una matriz compleja de n x n, entonces el polinomio característico de
À liene coeficientes complejos y tiene grado n > 1, de manera que tiene una
rain compleja que es un valor propio. Por tanto, sobre los nisueros complejos,
tuna matriz cuadrada siempre Liene un valor propio y un vector propio no nul,
Esto no siempre es cierto sobre los números reales. (¿Ejemplo?) En la siguiente
sección verernos un importante casojen el que una mattis real siempre tiene un,
valor propio real.

‘Ahora daremos algunos ejemplos de cálculos que usan números complejos
para los valores propios y vectores propios, aun cuando la propia matriz tenga
componentes reales. Recuerdo que, en el caso de valores propios complejos, el
espacio vectorial está sobre los números complejos, por lo que consta de combi}
naciones lineales de los elementos de la base dada, con cocficientes complejos.

Ejemplo 6. Halle los valores propios y una base para los espacios propios
de la siguiente matriz

231. (vin, $2] El polinomio característico 2

El polinomio característico es el determinante

er 1
= il (DAI 048
En consecuencia, los valores propios son
VE
à
Por tanto, hay dos valores propios distintos entre ef (aunque ningún valor
propio real):
sin sr
I y = =>

Sea X= () donde z y y no son simultáneamente iguales a 0. Entonces X
es um vector propio si, y sólos, AX = AX, esto es:

my
Bet y= dy,

donde A es un valor propio. Este sistema es equivalente a.

2,

deme
32+(1-My=0,

Damos a, digamos, un valor arbitrario, por ejemplo + = 1, y despejamos y,
por lo que y=(2— A), por la primera ecuación, Luego oblenemos los vectores

Propios.
xo0=(,2,) 1 xen-(,1,)

Observacién. A partir de una de las ecuaciones despejamos y. Esto es
consistente con lu otra ecuación, pues A es un valor propio. En efecto, si el
1 y y=2=A en el miembro de la izquierda de la segunda

couación, obtendrá.
3+ (124) =
debido a que A es una raíz del polinomio característico,

Entonces X(Ay) es una base para el espacio propio unidimensional de Ay y
X (2) es una base para el espacio propio unidimensional de Az

Ejemplo 7. Fneuentre los valores propi
propios de la siguiente matriz

y ama base para los espacios

232. 24 Vectores propios y valores propios vin, §2]

Calculemos el polinomio característico, que es el determinante
tr Y

el que tras sencillos cálculos da

PW) = (tO 2-42).
‘Ahora tenemos el problema de hallar las raíces de P(t) como números reales o,
números complejos. Por la fórmula cuadrática, las raices de f? 214 2 están
dadas por _

24 4 Bun

‘Toda la teoría del álgebra lineal se podria desarrollar sobre los números comple-
jos, y los valores propios de la matriz dada también se pueden definir sobre los
complejos. Lucgo, a partir del cálculo de las raíces anteriores, se aprecia que el
único valor propio real es 1, y que hay dos valores propios complejos, a saber:

14+Y1 y 1-v=L
Hacemos que los valores propios sean los siguientes

Ms VTT

un vector no nulo. Entonces X es un veclor propio para A si, y sólo si,
satisfacen las siguientes ccuaciones con algún valor propio À:

Y
2 +222

Este sistema es equivalente a

(a+ =0,
(y =0,
240-320

Caso 1. À = 1. Entonces la segunda ecuación se cumplirá para cvalquí
valor de y. Póngase y = I; a partir de la primera ecuación obtenemos =
de la tercera ecuación obtenemos 2 = 0. En consecuencia, obtenemos un primer
vector propio

233. (vit, $2] El polinomio característico 25
Caso 2. À # 1. Entonces, por la segunda ecuación, debemos tener y = 0.
Ahora resolvemos el sistema que se form con la primera y la tercera ecuaciones:
Ge

2+(23} =

Si estas ecuaciones fueran independientes, entonces las únicas soluciones serían.
2 = x = 0. Éste no puede ser el caso, ya que debe haber un vector propio no nulo.
‘que tiene cl valor propio dado. En realidad, el lector puede verificar en forma
directa que le segunda ecuaciön es igual a (A— 1) por la primera, En cualquier
caso, damos a una de las variables un valor arbitrario y despejamos la otra. Por
ejemplo, sea = = 1; entonces == 1/(1 — A). Asi obtenemos el vector propio

10-24
x ( 0 }:
1

Podemos sustituir À = Aı y À = Ay para obtener los vectores propios que tienen
los valores propios A y Az, respectivamente

XA), KO).

Ejemplo 8... Halle los valores propios y una base para los espacios propios
de la matric

1-12

- 13).

1-11

=a
SA a

El polinomio característico cs

Los valores propios son las raíces de esta ecuación cúbica. En general no es fácil
hallar tales raíces, y éste es el caso en el ejemplo presente, Sea

términos de u, el polinomio se puedo escribir de la manera si

Por la aritsmética tenemos que las únicas raíces racionales deben ser enteras y
deben dividir a 1, de manera que las únicas raíces racionales posibles son +1,
que no son raíces. En consecuencia, no hay valor propio racional, Sin embargo,

A Se eer ae be mera ze Sa |

234. 226 Vectores propios y valores propios van, $2)

Jato sigui due hay l'une río rele el lector bé eco, eatonses
tiene las herramientas que le er irán determinar el máximo y el mínimo.
relativos, y hallará que la función u? — u — 1 tiene su mínimo relarivo en n
UVA, y que QU/ VA) es positivo. Por tanto, sólo hay una aie real. Las otra
dos raices son complejas. Lsto es lo más que podemos hacer con los medios con
rn coma. En cualquier caso, damos à estas ales un noi aio E
IR precios

Ms Az ko:
“Todos son distintos entre sí
Sin embargo, podemos hallar vectores propios en términos de los valores pro-

u r-()

un vector no mulo. Entonces X es un vector propi
es:

Bayt Ox She,

Ht ny +32 = ay,

Foyt 22d,
Bate sistema de ecuaciones es equivalente u

((=Me=y+2:=0,
2e +(1- My +82 =0,
2yH(1-Me=0,

Demos a 2 un valor arbitrario, digamos + = 1, y resolvamos para z y y usando
Ins dos primeras couaciones. Así, debemos resolver:

A-Ns+y=2,
22 + (à = Dy

i, y sólo si, AX =AX, esto

235. ivur, $2) El polinomio característico ar

Multipligue la primera ecuación por 2, la segunda por (A — 1) y reste. Luego
podemos despejar y para obtener

Por la primera ecuación hallamos que

a) E 8

(83)
203). Xu

Por tanto, los vectores propios son

za)
XO)= [vA], XQ:
1 1

208)
109 |,
1

donde Ay, A y As son los tres valores propios. Ésta es una respuesta explícita
en la medida en que el lector sea capaz de determinar estos valores propios.
Fl lector puede recurrir a una calculadora o una computadora para obtener
aproximaciones a Aı, Ay y Ag que le darán las correspondientes aproximaciones
alos tres vectores propios. Observe que en esta parte hemos hallado Los vectores
Propios complejos. Sea Aı el valor propio real (hemos visto que aqui sólo hay
uno). Entonces, a partir de las fórmulas para las coordenadas de X(A), vemos
que y(A) o 2(A) serán reales si, y sólo si, A es real. Por tanto, sólo hay un vector
propio real; asaber, X(A1). Los otros dos vectores propios son complejos. Cada
vector propio es una base para el correspondiente espacio propio.

Teorema 2.3. Scan A y B dos matrices de n x n y suponga que B es
invertible. Entonces el polinomio característico de À es igual al polinomio
característico de BAB.

Demostración, Por definición y por las propiedades del determinante,
Det(td — A) = De(B7'(L—A)8) =DeULE "BB AB)
= Dei(t- BAD).
Esto prueba lo que queríamos.

Ejercicios VIL, $2

1. Sea A una matriz diagonal,

(a) ¿Cuál es dl
(0) ¿Cuáles 6

236. 28 Vectores propios y valores propios [vi 92]

2, Sea A una macro liangular,
am 0 0
ann

A

¿0081 es el polinomio característico de A y cuáles son sus valores propios?

Encuentre el polinomio característico, los valores propios y las bases para los espa-
«cios propios de las siguientes matrices

2 2) © (Es 1)
F4 14
) “CH
soi 1 5 3
20 (21 :) ® 6 E >)
203 64

11 iu 2 7
22) w (154
1: si

ces. De

©

5. Encuentre los valores propios y los vectores propios de las siguientes mat
mvestre que los vectores propios forman un espacio de dimensión 1.

o) ol) ef} 6 5)
precios: Moe sis MA, Mens won.
Seg U kan ee Se eee

rer rin
wii) a Gin
soi soi

7. Malle los valores propios y una base para los espacios propios de las siguientes

mio 1 0 0
9010 CA Ÿ
CARE an [=a 3 0
1000 é'h

oC) Mer dale
03) +61) Ei)

9. Sea V un espacio vectorial de dizuensión n y suponga que cl polinomio característico.
“de una aplicación lineal A: Y — V tiene m zaices distintas. Demuestre que V tiene

na base que consta de vii RARE de ar

237. (vo, $8) Valores y vectores propios de matrices simétricas 229

10. Sea A una matriz cuadrada. Demuesire que los valores propios de 4 son los
mismos que los de A.

11. Sea A una matriz invectible, Si A es un valor propio de À, demuestre que À 0
y que A“! es un valor propio de A“.

12. Sea V el espacio generado sobre RL por las funciones sent y cost. ¿Tiene la deri-
vada (considerada como una aplicación lineal de V en sf mismo) algunos vectores
propios no nulos en V? Si así es, ¿enáles san?

13. Denote con D la derivada que consideramos como aplicación lineal sobre el espacio
de las funciones diferenciables. Sea À un entero 40. Demuestre que las funciones
sen kx y coskz son valores propios en 1°. ¿Cuáles son los valores propios?

14, Sea AV + V una aplic amo, y ses (61,259) nna. base
de V que consta de vectores propios que tienen distintos valores propios 3... en.
Demuestre que cualquier vector propio u de A cn V es un múltiplo escalar de
algún es

15. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. Muestre que los valores propios.
de AD son los mismos que los valores propios de DA

VII, 43. Valores propios y vectores proplos de matrices simétricas

Daremos dos pruebas del siguiente teorema,

Teorema 3.1. Sea A una matriz real simétrica de n x n. Entonces existe
un vector propio no nulo para À
Una de las pruebas usará números complejos y la otra prueba usará cálculo,
“Comencemos con la prucba que usa cálenlo,
Defina la función
HX)=XAX para X ER"
Tal función f se conoce como forma cuadrática asociada con A. Si tX
21) se cseribe en Lérminos de coordenadas y À = (ay), cntonces

Ejemplo. Sea

Sea ‘X = (2,4). Entonces

IX AX = (2,1) te =) (3) = 32? dry + dp.

En forma más general, sea

238. 230 Vectores propios y valores propios vun, 53)

Entonces

(ew) G A 16) saz? + hey + dy?

Ejemplo. Suponga que nos dan una expresión cuadrática
Fey) = 32? +52y- A.
Entonces ésta es la forma cuadrática asociada con la matri sim

ga
es |
Ga
En muchas aplicaciones se quiere hallar un máximo para dicha función f
sobre la esfera unitaria, Recuerdo que la esfera unitaria es el conjunto de
todos los elementos X tales que [XI] = 1, donde [|X|] = YX-X. Ba lus
cursos de emiliis se demuestra que una función continua f como la anterior
necesariamente tiene un máximo sobre la esfera. Un máximo sobre la esfera
es un punto P tal que [PI = 1,
S(P)> F(X) para todo X con [X||=1. 4
nte teorema relaciona este problema con el de hallar vectores propios.
“Teorema 3.2. Sea A una matriz simétrica real y sea J(X) = XAX la
forma cuadrática asociada. Sea P un punto sobre la esfera unitaria tal que
CP) es un máximo para f sobre la sera, Entonces P es un vector propio
para A. En otras palabras, existe un número A tal que AP = XP. |
Demostración. Sea W el subespacio de R” ortogonala P, esto es, W = Ph.
Entonces dim W = n—1. Para cualquier clemento w € W, [Jul] = !, defina ln
curva

C(O) = (cos? + (sen Jw.

La curva Oft) esté sobre la esfera debido a que [[C($]] = 1, como se puede

verifica ficients al cogidas el producto interior CD CO y al wat I

239. Iv, sa] Valores y vectores propios de matrices simétricas 21

ipötesis de que P .w = 0. Además, C(0) = P, de manera que C(t) es una
curva sobre la esfera que pasa por P. También tenemos la derivada siguiente
C'W) = (-sent)P + (cost)w,

y, por tanto, C'(0) = w, Por ello la dirección de la curva es la dirección de w, y
& tungente a la esfera en el punto P porque w-P — 0. Consideremos la función
9) = H(C(1)) = CU) - ACW.

Al usar coordenadas y la regla para la derivada de un producto, la cual se aplica

en esto caso (como el lector sabe por mus estudios de cálculo), se hallará la
siguiente derivada:

79 = CW) AC) + Cf act)
= 208) - ac),

ya que A es simétrica. Como f(?) es un
0) = 0. Entonces obtenemos

= (0) = 2040) -AC(D) = 2w- AP.
En consecuencia, AP cs perpendicular a W para todo w EW. Pero W es el

espacio de dimensión 1 generado por P. Por tanto, existe nn número A tal que
AP = AP, lo que prucba el teorema.

0 y 9(0) = F{P), se inficre que

Corolario 3.3. EI valor máximo de f sobre la esfera unitaria cs igual al
valor propio más grande de A

Demostración. Sex A cualquier valor propio y sea P un vector propio sobre
la esfera unitario, de manera que [[P]| = 1. Entonces

SC) = PAP = PAP = XPP= À
Por tanto, el valor de f en un vector propio sobre la esfera unitaria es igual
al valor propio. El Teorema 3.2 nos dice que el máximo de f sobre la csfera
unitaria se alcanza en un vector propio, por lo que el máximo de f sobre la
esfera unitaria es igual al mayor valor propio, tal como se afirmó.

Ejemplo. Sea f(z,y) = 22" =3xy + pP. Sea A In matriz simétrica asociada
con f. Encuentre los vectores propios de À sobre el circalo unitario y halle el
máximo de f sobre el efreulo unitario.

Primero observaros que es la forma cuadrática asociada con la matriz

ef

Por el "Teorema 3.2, se debe älcanzar un máximo en un vector propio, de manera.
ae primero determinamos los valores propios y los vectores propios.
El polinomio característico cs el determinante
l ci 3

2 4-1

A

240. 239 Vectores propios y valores propius van, $53)

Luego, los valores propios son

A

av
=

Respecto a los vectores propios, debemos resolver el siguiente sistema:
2e fy = de,
eve
Al hacer x = 1 se obtienen los posibles vectores propios

302 (sen).

Por tanto, hay dos de tales vectores propios, salvo múltiplos escalares no nulos.

Los vectores propios que están sobre el círculo unitario son, por consiguiente,
XQ) EEE 3- VD

KO} 2 2

Por el Corolario 3.3, el méxiuno es el punto que tiene el valor propio más grand

y, en consecuencia, debo ser el punto

PO) donde A A

34 v0
2
El valor máximo de f sobre el círculo unitario es (3 + VT0)/2.
Asimismo, el valor mínimo de J sobre el círculo unitario es (3— 1/10)/2.

P() donde A

Ahora usaremos los mímeros complejos © para la segunda prueba. Una pro:
piedad fundamental de los números complejos es que todo polinomio no constante
‘con coeficientes complejos tiene una rafz (un cero) en os números complejos, Por
consiguiente, el polinomio característico de A tigne una raíz compleja À que, a
priori, es un valor propio complejo, que tiene un vector propio complejo.
Teorema 3.4. Sea A una matriz simétrica real y sea A un valor propio en
©. Entonces A es real. Si Z # O es un vector propio complejo que tiene un
valor propio À y Z = X 4 1Y , donde X,Y € R*, entonces tanto X como Y
son vectores propios reales de A que tienen valor propio A, y X o Y HO. |

Demostración, Sea Z='(21,...,2) con coordenadas complejas 3. Enton-

ces

2= 22 = Ant Epi = lla bal? > 0.
Por hipótesis, tenemos que AZ = NZ. Entonces

"Zag ="ZAZ = NZZ.
La transpuesta de una matriz de 1x 1 es igual a sí misma, de manera que
también obtenemos

AZ
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_ ect

241. twin, 64] Diagonalizacién de una aplicación lineal simétrica 233

NDZ =NZZ,

| Como 'ZZ 0, se infiere que A = N, de manera que A es real.
| Ahora, a partir de AZ = AZ, obtenemos

AX AY =AX + ix,

y, como A, X y Y son reales, se infiere que AX =
prueba el teorema.

Ejercicios VIN, $3

1. Halle Jos valores propios de las siguientes matrices y el valor undximo de las formas

regunta que en el Ejercicio 1, excepto que hay que hallar el máximo en
taria.

Te 1% 8
Pa) od 32
si ot à

3. Halle el méximo y el mínimo de la función

e = 82? + 59 —4y?
sobre el circle unitario.

VIN, $4. Diagonalizació

de uns aplicación lineal simétrica

En esta sección aplicaremos la existencia de vectores propios conforme a lo pro-
bado en la sección $3. Como lo haremos por inducción, en lugar de trabajar
con R” tenemos que comenzar con una formulación que trate con un espacio
vectorial en el que todavia no se hayan escogido coordenadas,

Por tanto, sea Y un espacio vectorial de dimensión n sobre R., que tiene un
producto escalar difinitivamente positivo (v,w) para 1, w € V. Sea

AV OV

una aplicación lineal. Diremos que 4 cs simétrica (respecto al producto
escalar) si tenemos In relación

(40,10) = (u, Aw)
| para todo vy w € V.
q PRE cet

242. 234 Vectores propios y valores propios (vm, sa)

Ejemplo. Suponga que Y = R” y que cl producto escalar es el producto
interior usual entre vectores. Una aplicación lineal A está representada por una
matris y usamos la misma letra A para esta matriz, Entonces, para todo v,
WER”, tenemos

(40,0) = odo
«consideramos a y y w como vectores columna. Como ‘Av cs una matriz de
1 x 1, es igual a su transpuesta, de modo que tenemos la fórmula.

tw

+, en términos de la notación { , }.
(Av, w) = (v, Au).

La condición de que A sea simélrica como aplicación lineal con respecto al
producto escalar es, por definición, (An,u) = (v, Au} o, en términos de multi
plicación de matrices,

todo = "vAw |
AL comparar con ln fórmula anterior, esto significa que A = ‘4, por lo que
hallamos: |

Ser A una matriz de nx n y La la aplicación lineal asociada sobre RP.
Fatonces La es simétrica con respecto al producto escalar si, y sólo si, A 65)
una matriz simétrica. q

Si V es un espacio vectorial general de dimensión n con un producto escalar.
definitivamente positivo, y A: V — V es una aplicación lineal de V en si mismo;
entonces existe una uplicación lineal nica

AV V

que satisface la fórmula

Acabamos de ver esto cuando Y SR". En general, escogemos una base orto-
normal de V, que nos permite identificar a V con RM e identificar al producto,
escalar con el producto interior ordinario. Entonces ‘À (considerada como apli:
cación lineal) coincide con la transpuesta de la matriz que representa a A.

‘Ahora podemos decir que una. aplicación lineal A:V — V es simétrica si,
y sólo si, es igual a su propia transpuesta. Cuando V se identifica con MY
tilisando una base ortonormal, significa que la matria que representa a A [4]
igual a su transpuesta; en otras palabras, la matriz es simétrica.

Podemos reformular el Teorema 3.1 de le manera siguien

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con un producto escalar defini.
tivamente positivo, Sea A: V — V una aplicación lineal simétrica. Entonces \
A tieno un vector propio no nul.

.-—

243. vun, $4) Diagonalización de una aplicación lineal simétrica 235

Sea W un subespacio de Y” y sea A:V — V una aplicación lineal simétrica.
Decimos que W es establo bajo À si A(W) CW, esto es, para todo u € W
tenemos que Au € W.

Observemos que, si W cs estable bajo A, entonces su complemento ortogonal

WE también es establo bajo A.

Demostración, Sea. w € W+. Entonces, para todo u € W, tenemos que
(Au, u) = (w, Au) =

debido a que Au € W y w € W+. En consecuencia, Aw € WH, lo que prueba
el aserto,

Teorema 4.1. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre los
némeros reales, de dimensión n > 0 y con un producto escalar definitivamente
positivo. Sen

AV
una aplicación lineal, simétrica con respecto al producto escalar. Entonces V
tiene una base ortonormal que consta de vectores propios.

Demostración. Por el Teorema 3.1, existe un vector propio no mulo P para
A. Sea W el espacio de una dimensión generado por P. Entonces W es estable
bajo A. Por la observación anterior, W* taml es estable bajo A y es un
espacio vectorial de dimensión n — 1. Podemos considerar entonces que A da
una aplicación lineal simétrica de W+ en sí mismo. Luego podemos repetir el
procedimiento. Ponemos P =P, y, por indución, podemos encontrar una base
{Pau Pa) de W+ que consta de vectores propios. Entonces
(Pr, Pass Pa}

es una base ortogonal de Y que consta de vectores propios. Dividamos cada.
vector entre su norma para obtener una base ortonormal, como se deseaba,

(£1,--:>€n) es una base ortonormal de V tal que cada e; es un vector pro-
pio, entonces la matriz de À con respecto a csta base es diagonal y los elementos
diagonales son precisamente los valores propios:

M 0 + 0
Wa + 0
oo An

En esta sencilla representación, el efecto de A resulta mucho más claro que
cuando A se representa mediante una matriz más complicada con respecto a
otra base.
Ejemplo. Veamos na aplicación a las ecuaciones diferenciales lineales, Sea
A una matriz real simétrica de m xn. Queremos encontrar soluciones en R” de
la siguiente ecuación diferencial
ax)
SP = axe,
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244. 236 Vectores propios y valores propios vun, 54]
donde
a)

xO=| 5
a(t),

está dada en términos de coordenadas que son funciones de 4, y

de» [dt

La escritura de esta ecuación en términos de coordenadas arbitrarias es confusa.
‘Asi que, por el momento, olvidemos las coordenadas, y consideremos R como
un espacio vectorial de dimensión n con un producto escalar definitivamente
positivo. Escojamos una base ortonormal de V (usalmente diferente de la base
original) que consta de vectores propios de A. Ahora, con respecto a esta nueva
base, podemos identificar a V con R” con lus nuevas coordenadas, las que
denctamos con yn, -., Un. Con respecto a estas nuevas coordenadas, la matriz
de la aplicación lineal 7,4 es la siguiente

M 0 0

0 M 0

o 0 NE
onde Ars: Au son los valores propios. Pero en términos de estas coordenadasy
és convenientes, nuestra ecuación diferencial simplemente se ve de la siguiente
manera: 4

tu

Aa a BE ane
Por tanto, la solucién mas general es de la forma

wit) = ce" con alguna constante ci.
La moraleja de este ejemplo es que no se debería seleccionar una base con pre-
cipitación, y se debería usar, tan a menudo como sea posible, una notación sil
coordenadas, hasta que se haga imperativo realizar una selección de coordenadas
para simplificar la solución de un problema.

Ejercicios VIII, 54

1. Suponga que A cs una matriz diagonal de n xn. Para cualquier X ER", ¿a qué
es igual 'XAX en términos de las coordenadas de X y los elementos diagonales de
a

2, Sea

M
0

ro

245. (VILL, App] Némeros complejos 237

una matrix diagonal con Ay > 0...,Ay 2 0. Demuestre que existe una matriz
diagonal B de n xn tal que PA.

3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con un producto escalar defnitiva-
mente positivo, Sea A:V — V una aplicación lineal simetrica. Decimos que A es
definitivamente positiva si (Au, ») > 0 para todo v € Y, y € 0. Pruebe que
(a) si A es definitivamente positiva, entonces todos los valores propios son >
(b) si A es definitivamente positiva, entonces existe una aplicación lineal simétrica

B tal que B° = A y BA = AB. ¿Cuáles son los valores propios de BT
[Sugerencia: Use una base de Y que conste de vectores propios]

4, Decimos que À es semidefinitivamente positiva si (Av, x) > 0 para todo + € V.
Pruebe los análogos de (a) y (1) del Ejercicio 3 cuando se supone que A sélo es
semideánitiva. Por tanto, los valores propios son > 0, y existe una aplicación lineal
simétrica B tal que D? = À

5. Suponga que A es simétrica y definitivamente positiva. Demuéstre que A? y AT!
son simétricas y definitivamente positivas,

6. Sea U:R" > R una aplicación lineal, y denote con ( , ) al producto escalar |
interior) usual. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:
() JU = el para todo € RP.
6) We, Uw) = (mn) para todo vw ER
Gi) D es invert y UU,
[Sugerencia: Para (i), use la identidad siguiente:
+0) (04 0) wu) = 4e, 0),
yen forma análoga, con una U frente cada vector] Cuando U satisface cualquiera
de estas condiciones (y, en consecuencia, todas ella), se dice que U es unitaria. La
era condición dice que U preserva la norma y la segunda dice que U preserva
A producto escalar.
7. Sea A:R” + R una aplicación lineal invertible.
) Demuestre que “AA es simétrica y definitivamente positiva.
Por el Ejercicio 3b, existe una matriz A simétrica y definitivamente positiva tal
que B?='AA. Sea U = AB; demuestre que U es unitaria.
Dernucstre que A = UB.

6

8. Sea B simétrica y definitivamente positiva, y unitaria además. Demuestre que
Bal.

Apéndice: Números complejos

Los números complejos © son un conjunto de objetos que se pueden sumar y
multiplicar, de tal manera que la suma y el producto de dos números complejos
también son múmeros complejos y satisfacen las siguientes condiciones
(1) Tedo niimero real es un múmero complejo y, si e y 8 son números reales,
entonces su suma y su producto como números complejos son iguales a su
suma y su producto como nümeros reales.

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246. 238 Vectores propios y valores propios [VII App]

(2) Existe un número complejo, denotado con i tal que i 1.
(8) ‘Todo número complejo se puede escribir en forma única en la forma a+6i,
donde a y 5 son números reales.
(4) Se cumplen las leyes ordinarias de la aritmética concernientes a la adición
y la multiplicación. Damos la lista de estas leyes:
Si a, 8 y y son números complejos, entonces
(0+B+r=0+ (847) y — (a8)y= alr).
Tenemos que a(8+ 7) = af + a7, y (6 + ya = Ba + ya.
Tenemos que af = Pa y eB = + a.
Si 1 es el número rea] uno, entonces la = a.
Si 0 es el número real cero, entonces Oa = 0.
“tenemos que a + (-1)a = 0.
Ahora derivaremos consecuencias de estas propiedades. Si escribimos
e=atai y Bab thi,
entonces
G4 B=; basi thi thei ad (az Ao {
Si Mlamamos a a, la parte real, o componente real de @ ya ay su parte
imaginaria, o componente imaginaria, entonces vemos que la adición se lleva a
cabo componente a componente, Las partes real e imaginaria de a se denotan
con Re(a) e Im(a), respectivamente. |
Tenemos que
eB = (a1 + dai (ba + bai) = anh — aba + (ab: + ada)
Sea «=a + bi un número complejo, con a y b reales. Definimos

&=a-ti |

y decimos que & es el conjugado complejo, o simplemente conjugado, de a.
Entonces

aa =a* +0".
Sia =a+ i es #0, y si hacemos
rer

entonces «A = Aa = 1, como de inmediato se puede ver. El número A anterior
se conoce como inverso de'a y se denota con a”! 6 1/2. Ohservemos que us
el único número complejo x tal que za = 1, ya que, si se satisface esta ecuación,
lamp por a la dencha paa alla = =. Sia y 9 en né
complejos, a menudo escribimos 8/a en lugar de aTig o de Bam. Vemos que
podemos dividir entre números complejos # 0.
‘Tenemos las siguientes reglas:

FETE TA
stas se infleren de inmediato a partir de la definición de adición y multiplicación.
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247. [vm App) Números complejos 2

Definimos el valor absoluto de un número complejo a = a + bi como
lol = Va? +

Si imaginamos « como un punto en el plano (2,6), entonces Ja] es la longitud

del segmento de recta que va del origen a a. En términos del valor absoluto,

podemos escri

siempre que a # 0. En efecto, observomos que al? = a. Advierta también
que la] = [al

El valor absoluto satisface propiedades análogas a las que s
absoluto de múmeros reales:

face el valor

la] > 0 y =0 si, y sólo si, a =
Jed] = la] |)
la + ALS led + 181
El primer aserto es obvio. Por lo que se refiere al éegundo, tenemos
lool = ofa = lal ia?
Al extraer Ia raíz cuadrada, concluimos que [alll = Ja. Después, tenemos
le +88 = (a4 A0 FT = la + 91547
ya que @B SPB. Sin embargé tenes que
PR) < 2188]
debido a que la parte real de un número complejo es < que su valor absoluto.
Por tanto,

la+ 41 < la? + 21881 + la?
Sle? +216llal + 18
= (jal + 141)’
Al extraer la raiz cuadrada so obtiene la propiedad final
Sea z = 24 iy un número complejo # 0. Entonces z/|z] tiene valor absoluto
iguala 1.

La principal ventaja de trabajar con números complejos en lugar de hacerlo
con nümeros reales es que todo polinomio no constante con cocficientes complejos
tiene una raíz en C. Esto se prueba en cursos de análisis más avanzados. Por
ejemplo, una ecuación cuadrática

az? +br+e=0

con a #0, tiene las raíces

2 VF a
2a

248. 240 Vectores propios y valores propios. [VEL App)

Si 6% — dae es positivo, entonces las raices son reales. Si 4? — dae es negativo,
entonces las raíces son complejas, La prueba para la örmula cuadrática emplea
lo la aritmética básica de la adición, la multiplicación y la división. A saber,
completamos el cuadrado para ver que

BE âne
da

7

bY)? _ Be doc
24) ar

extraemos la raíz cundrada y, por último, obtenemos el valor deseado de x

Luego resolvemos

Aplicación a los espacios vectoriales

Para definir la noción de espacio vectorial, primero necesitamos la noción de
escalares; los únicos hechos que necesitamos acerca de los escalares son los que
se refieren u la adición, multiplicación y división entre elementos no nulos. Los
inimeros complejos sutisfuccn todas las operaciones básicas de la aritmética, Por
consiguiente, podemos hacer la tooria bisica de los espacios vectoriales sobre los
nimeros complejos. Tenemos los mismos teoremas sobre combinaciones lineales,
matrices, rango por renglones, rango por columnas, dimensión, determinantes,
polinomios característicos valores propios.

La única diferencia. básica (y es ligera) aparece cuando trabajeunos con el
producto interior. Si Z Sm) y W = (ty, +t) son n-tuplas de C*,
entonces su producto interior es, como antes,

ZW zz bob ram
Sin embargo, observe que, aun si Z £ O, Z-Z puede ser igual a 0. Por ejemplo,
sea Z = (1,4) en C?. Entonces |
Z.2= 14: 1
Por tanto, el producto interior no es definitivamente positivo

Para remediar esto, se define un producto que se llama hermitiano y es
csi igual al producto interior, poro contiene un conjunto complejo. Esto es,
definimos W = (in) y

(AW) =2-W= Bt ame,
¿lo manera. que ponemos un conjugado complejo en las coordenadas de W. En-
tonces
(2,2) =2-L=a2 d+ za = la ++ al |
En consecuencia, una vez más, si Z # O, entonces alguna coordenada 2; 5 D,

dle manera que la suma que aparece a la derecha es 40 y (2,2) > 0.
Si a es un número complejo, por la definición vemos que

(aZ,W)=a(Z,W) pero (ZW)

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249. [vun, App] Números complejos: 241

Por tanto, en le segunda fórmula aparece un conjunto complejo. Aïn tenemos
las fórmulas que expresan la aditividad

(21 + Za, W) = (ZW) + (Za, W)
u (2, Ws + Wa) = (E, WM) + (Zum).
Entonces decimos que el producto hermitiano es lincal en la primera variable y

antilineal en la segunda variable. Observe que, eu lugar de la conmntatividad
del producto hermitiano, tenemos Ia formula

(2,4) = WD)

ntonees el producto hermitiano (2, W) es igual

Si Z y W son vectores reales,
que el producto interior.

Entonces se puede desarrollar el proceso de ortogonalización de Gram-Sch-
midt igual que antes, pero usando el producto hermitiano en lugar del producto
interior.

En la aplicación de este capítulo no ncccsitarnos el producto hermitiano. Tode
lo que necesitamos fuc que una matriz compleja A de nx n tuviera un valor
propio y que los valores propios fueran las raíces del polinomio característico

det(tl — A).
‘Tal como se mencionó antes, un polinomio no constante con coeficientes comple-
jos siempre tiene una raíz en los múmeros complejos, de manera que A siempre

tiene un valor propio en C. En el texto demostramos que, cuando A es real y
simétrica, tales valores propios, de hecho, deben ser reales.

250. Respuestas a los ejercicios

4
1, SL pigs 8 |
448 4-5 34 -28
a} tho) 0-2) (6-2) 6-3
2 | cu eu) a) 0-8)
3. | (10,5) (3,-2.4) (6.3.18) (2,-2,-2)
31-1) (0,-5.7) (-3,-6,9) (2,-6,8)
anos) | (nes 9,23) | 46,14)
6. (5+7,1,3) (sr, -5,5) (45,6, 12) (-25,-6,2)
1, $2, pág. 12
1 No 250 Do 4.8 SM GS TS N
i]

1. 40, pág. 16

2. (@) 5 Vu ()30 du (9) #+10 (0 245

2. (a) 2 WR (92 (4) 37 (0) 20916 Mr
4070

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251. Respnestas a los ejercicios 243
1, $4, pág. 28
1.() 46 0) 4 (9 VO (9 VE (9) Vire (VEE
2. (a) YE Wa (VS (a) VE (0) VETAS (0 VOT
20063 00) (063) 04-45

© tran 0

40) CED ©) CEB © Gm

© Ha o * 24)

HD @ -HO-1 23)

y

Ai 2 4 10 a
Oa MRO 7e an
repara MES

ra Y on

7. Multipliquemos escalarmente la suma.

adı boe A =O

por Ar. Hallamos que

es Acer bead Ab chert ende A = 04 = 0.
Como À, -A:=0 si j #4, hallamos que
GA,

Pero, por suposición, Ai: Ar #0. Por tanto,

coms se quería demostrar.
8. (a) JA + BP + AD]? = (A+ B)-(A+ B)+(A— B)-(4—B)
RA BAB A 2A BE?
2a? 420 = AIT + AIT
9. la 0" = 47-242 84 BP = [AIP — 2] Al [Bl] co90 + BI

1, §5, pág. 38

1. (a) Sea A= Pa = Ph = (5,-2.9), Una representación parmactrica de la reta es
Ki) = A +tAZ (13, 1) +5, -2,9)
(6) 59412,

2 XD
4. (a) CEA 0140 (5
P=Q

j 8 X=(252)+#4(-491)

D 06%

5. P+HQ-P)

252. 244 Respuestas a los ejercicios

L, $6, pág. 39

1. Los vectores normales (2,3) y
su producto interior 10 — 15 =

"5 no es igual a 0.

2, Los yectores normals son (10,1) y (m1) y su producto interior es igual a
mm! +1, Los vectores son perpendiculares si, y sólo si, este producto interior es
igual a 0, lo que equivale a que mm' = 1.

Verts Amen 6. (y (a)
(@) s-ve3e=-1 (0) 00429 4e
(0) tty tare (bh) Tra (6) rt
(&,-9,-8), (1,5, -7) (Otros serían múltiplos constantes de éstos)
10. (2,15) 10 (13,27)

42. (a) X= 0-1) +4(-2,3,5)
E O aa
1 4 2
2.04 0-4 OF W-% 4

14 (a) A) Gé) 15. (3,22)

18.

A
m 0
D, F1, pág. 45

fe)

www.elsolucionario.net

E
mn te (3),

253. Respuestas a los ejercicios 245

A)

roms da)
de e

(3), (4)

E El:

NL,

(Se

5. Sea cy = aj + by. La componcute 15 de "(A +2) es oy

suma de la componente ji de A más la componente ji de B.

1. Sonia 8 (9 3) estan

sagas (12), see)

10. (a) (ATA) = A+ AS AH A = AHA.
Aa = (AM)

4.6)

wy ‘a

“aA
(e) Los elementos diagonales son iguales a 0, ya que satisfacen

HL, $2, pág. 55
1 HA=AÏSA 20

2 (22) 0 (2) @ (8 8)

Si C= 21, donde 2.0 un nimero, entonces AC =CA = 2A
7. (3,1.5), primer renglón
8. Segundo renglón, tercer renglón, i-éximo renglón

3 0 & () © 6)
ees (i) (a)

11. Segunda columna de A 12. j-&ima columna de A

254. 248 Respuestas a los ejercicios

20 (3) 0 () ol) o (2)

14.) (22544) Same on météo de la primer cams a segunda. Los

‘otros casos son Similares.

Et 9111
a A port
10.() = (000), Amen 0.52= [59 7 | entonces

soon

200
0012 0001
CITE p_ [2000
P=low00]: #=|0000) 7
0.000, 0000
123
méforz
001

100 five fro 0
am (oro). (oso), (owe 4
009)" lion) dom

18, Matriz diagonal cuya diagonal es af,05..., af,

19. 0,0

#6 (21)

&) Cal E) para cualesquiera a,b 40; si b=, entonces a

21. (a) La inverse es 14 A.
(b) Multiplique /—A por + A+ A? en cada lado. ¿Qué obtiene?
22. (a) Multiplique cada miembro de la relación A = TAT? por la izquierda por 77}
y por la derecha por 7". Obtenemos
TOBT =TTATOT = JAI =A.
En consecuencia, existe una-matriz, a saber, TU, tal que TU BN = A. Esto
significa que U es semejante a A.
(6) Suponga que À tiene inversa 477, Entonces TATI es una inversa de D,

ya que
TACTABTACTOTATO =TACATO = TT
Y, en forma similar, DTA = 1, {
(6) Considere Ia transpuesta de la relación B= TAT“! Obtenemos
Dur AT.

Pato significa que 12 es semejante a A, del

255. 28.

2.

26.

ar.

28.

29.

32.

=.

3.

38.

Respuestas a los ejercicios 247

Los clementos disgonales son ay
componente.

se danban. Se multiplican componente a

rn)

Te
où
Multiplique AB a cada lado por B7'A"'. ¿Qué obtiene? Observe el orden en el

¿ue sa omaderan Ih res
(0) La rtf dé ici par a conn es
coló, + 8)

Basta fórmula y la del sono darán por resultado lo que nsted quiere.
wa AC-8}, Multiplique A(@) por A(=0); ¿qué obtiene?

o (0008 -scund
AT = (une cond
producto de A" por A. {Qué obtiene?

or) 940) 0 Gd) CH
Cat) 0302) «a 4)
(SE) Gena. carn

Las coordenadas de Y están dadas por

)- Puce pul sto por inducción. Considero a

Y =x10050 — xy send,
”

Halle yf + 3% mediante un desarrollo, usando simple aritmética. Muchos tér
se cancelardu para dejar 23 +23

à sen 8 2208 8.

142-2 00,00
000 0 za 1
@ [oo of ®& Fangen
0000 oo 00

(a) Intercambie el primer renglón de A con el segundo.
(8) Intercambio a segundo renglón de A con el terre,
(e) Sume cinco veces el segundo renglón de À al cuarto,
(8) Same —2 veces el segundo telón de À al tree,

(a) Multiplique el primer renglón de A por 3
(b) Sume 3 veces el tercer renglón al primero.

(©) Reste 2 veces el primer renglón del segundo.
(a) Reste 2 veces el segundo renglón del tercero.

256. 248 Respuestas a los ejercicios

36. (a) Ponga el renglón de A en el lugar r, coros en todo lo demás.
(b) Intercamibie los rengloses r y +, ponga ceros en todo lo demás.
(6) Intercambie los renglones y y 3.

37. (a) Sume 3 veces el renglón s al renglón +.
(b) Sume e veces el renglón s al renglón r.
TL, $8, pág. 65

1. Sea X = (21,...,2n)- Entonces X Es = 24, de manera que si éste es 0 para todo
i, entonces =,

8. Xe (AL het onAn]

Th, $4, pág. 72
(Gay varias respuestas posibles para la forma escalonada por renglones; mostramos una
de cla, pero otras también son conectas)

MP co:
10 Ho. oo 0
AE rr a
12 3 -1 200 #
Lo OTE) rue (4)
o (BO real (234!
:
N
:

1 ay 1200 §
) e ( a

z

a

257. . Tenemos Ery(c) = Tt eles y Beale!)

um,

1

4

Respuestas a los ejercicios 249

sca lugar y eros
en todo lo demás. Así, el renglón s de J,,A es 0. Al multiplicar por [,, una vez
fate 5 pues ef alge Ont endo de Sei

Te!I,,, de manera que

En(e)Ers(e')

Ut NER]
Iren teh tech,
H14(6+e Vln porque

Mere).

Sl, pag. 87
Sean By O perpendicalares a Ay para todo i. Entonces
(B+C)-A=B-Ar+C-Ar=0 para todo i,
Además, para cualquier número 2,
(eB) -A, = 2(0- Ai) =0.
0 para todo á. Bato pr

Por iltimo, O- Ai

ba que Wes wn subespacio.

(©) Sea W el conjunto de todas las (2,5) tales que B+ 4y = 0. Entonces, los
elementos de H son dela forma (43,9). Al poner y =0 se mucstrague (0,0) esté
<a W. Si (y, 1) y (Ay) están en W, entonces su suma es (—A(u+9'), +9),
y, por tanto, está en HW. Si e es un mimero, entonces e(-49,9) = (denen), que
Pertenece a W. Por tanto, W es un subespacio.

Suponga que ex y va están en la intercección U NW. Entonces su sun os + vs
‘etd tanto en U (ya que mi y oa están en U) como en W (porque 11 y ts están
en W) de manera que está en a intersección U NW. Dejamos al lector lus otras
condiciones,

Ahora probersós pariäliienge que U 4 W es un subispacio. Sean m y wa
elementos de U ywı y wa elementos de W. Entonces

(16.4 01) (0009) = o

y ésta tene la forma aw, con w= ui + en Uy w= wy + ue en W. Por
tanto, la suraa de dos elementos de U + W también está en U + W. Dejamos al
lector las otras condiciones

‘Gon respecto a (i), dado un vector arbitrario (a), resuelva por eliminación
4 sistema de ecvaciones lineales que proviene de

440 = (0.

‘Al hacerlo el lector hallará que es nevesario que ad — be #0.

258. 250 Respuestas a los ejercicios

6. Véase el Capitulo I, sceción $4, Ejercicio 7.
9. (0,5) 10. (5,3)

I, $4, pág. 102

2. (a) A-B,(,-1) (0) 14+38,(3,3)
() 4+B,(1) (A) 34428,(9,2)

3.4) 4-0 (100 Ad
4. Suponga que ad- be 0. Sean A=(0,8) y C- (A),
zA4y0=
Esto significa, en términos de coordenadas, que

sponga que tenemos

zatye=0,
ah+ y= 0,
Multpligue la primera ecuación por d, la segunda por € y reste Hallamos que
sad ~ be)
Como ad -be #0, esto implica que ==. Una eliminación similar muestra qu
y=0. Esto prucba (i).

Reríprocamente, suponga que A y C sonlinealmente independientes. Entonces
ninguna de ellas puede ser (0,0) (de otra manera se cxvoge 2,9 3 0 y se obtiene
#44 yC =0, lo cuales imposible). Digamos que 8 0 d #0. Hntonces

día,b) - Wed) = (ad be,0).
Como se supone que A y © son linealmente independientes, el miembro de la
derecha no puede ser 0, por lo que ad — cb 7 0. El argumento es similar si a 0
#0. 4

Con respecto a (i), dado un vector arbitrario (9,1, resuelva el sistema de
ecuaciones lineales que proviene de zA +90 = (6,8), por eliminación. El lector
encontrará precisamente que necesita que ad — de # 0 para hacerlo así

6. Vea el Capitulo I, sección $4, Ejercicio 7.

sonra (13), (03) 00)-(31)

12. {Ey} donde Zi; tiene componente 1 en el lugar (1,3) y O cn todos los demás, Estos
elementos generan Mat(m x n), debido a que, dada cualquier matriz À =
Podemos escribir como una combinación lineal

4

u.

ASE Eu
Además, si
0= Dani,
entonces debemos tener que ai, = 0 para todos los índices i y 3, por lo que los

elementos Fay von linealmente independientes.

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259. Respuestas a los ejercicios 251

13. Es, donde Es esla matriz de m x » cnyo término ii es 1 y todos los demás son 0.

14. Se puede esoger una base que conste de os elementos Ei, que tengan componente
13 igual a2 para 4 © y codes las demds componentes iguales à 0. EI mimero de

De
A EN

=0(0:09.6)

SEIIHDIGHIGHIGHIGHIRHN

16. Se puede tomar como base para el espacio Sim(n x
de nxn alos elementos Fis, donde i cuen compoat
componente ji igual a 1 y componente ra igual a 0 si (1,0) % (5,5) o (ni). La
prueba de que éstos genecan 4 Sim(n X n) y que son lincalmente independientes cs
semejante a la prueba que aparece en el Ejercicio 12.

1, 55, págs 107

(94 (9) mm Cm (Mad (93 (06 (inne

2. 9,162, por el Teorema 5.8. El subespacio consta sólo del O sl y sólo si tiene
dimensión 0. Si el subespacio tine diuensión 1, ea v una base. Entonces el
subespació consta de todos los elementos fo, para todos los números 1, por lo que,
por definición, es una xecta. Sil subespacio tiene dimensión igual a2, sean v1 y ©
una base, Entonces el subespacio consta de todos los elementos fim + (213, donde
fi y fa son mimeros, por o que es, por defaición, un plano.

0, 1, 2 63 por el Teorema 5.8

TI, $6, pág. 114
10202 (02 (91 (0203 (93 WH? (02

IV, $1, pág. 118
1.) ome Wer due 2 (VEND
3. (a) 11 (0) 13 @6
4. (a) (0,1) (9) (10) Le) (1/01
5 (a) (+1) (0) (229) © 0,0)

5. (2) (2.0) (0) (ex)

7.()1 Bu

8. Elipse 92? + 4y? =36 9. Recta z =2y

10, Círculo 2? +9? =e, círculo 2? + 9?

260. 252 Respuestas a los ejercicios

11. Cilindro, radio 1, eje 2 = eje del cilindro 12. Círculo 2? 497

IV, $2, pág. 125
1. Todos excepto (c) y (8)
2. Sólo el Ejercicio 8.

5. Como AX = BX para todo X, esta relación es verdadera, en particular cuando
X = El es el j-ésimo vector unitario. Pero entonces AB? = A? es la columna 5
de A y BE? = B? esla columna j de D, por lo que A'=B* para todo j. Esto
prueba que A= B.

6. Sólo u=0, ya que Tul0)
Tul0) = 0.

7. La recta $ se puede representar en la forma P-+ é con todos los números 1.
Luego, L(S) consta de todos los puntos

AP) + tikes).
Si Le) =O, éste es simpleniente un punto sencillo. Si A{m) À O, ésta es una
recta. Otros casos se resuelven en forma similar, 4

8. Es un parallogramo cuyos vértion son B, 34, 344.B, O
9. En un pafalelogramo cuyos vérice son 0, 2B, SA; 54-420.
WACH) 2 CH)

104) 004 © (43

12. Suponga que tenemos una relación Siw =O. Aplique fi obtenemos
= O. Como los ws son lincalmente independientes, se infere

y si Ta es Lineal, entonces debemos tener

13. (a) Sea © un demento arbitraio de Y. Como F(t5) #0, existe un nimero e tal
que
Fin = eF(uo),
asaber, c= F(e)/ Pa). Entonces F(e=eto) = 0, por tanto, haga w = vow:
emos escrito y = w+ cup, tal como se deseaba
(6) W es un subespacio, por el Ejercicio 3. Por la parte (a) los elementos vo,
vn generan a Y. Suponga que existe una relación lineal
an + in extn = OL
Aplique F. Obtenemos coRlıs) = 0: Como F(es) #0, se infero que co = 0.
Pero entonces ¢ = 0 para ı n, debido a que vı,...,cn forman una
Base de W.

IV, 30, pág. 151
1 y 2. Si U es un espacio de V, entonces dim L(U) < dim 7. Por tanto, la imagen
‘de un subespacio bidimensional es 0, 1 6 2, Una recta o plano es de la forma P++ U,
donde U tiene dimensión 1 6 2. Su imagen es de la forma LP) LU), de manera

que ahora lon asertos están claros.

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261. Respuestas a los ejercicios 253

3. (a) Por la fórmula de la dimensión, la imagen de F tiene dimensión m. Por el
Teorema 4.6 del Capitulo HI, la imagen debe ser todo W
(0) Es similar.

4. Use la fórmula de le dimensión.

5. Como L(ww + 2) = Elm) si u esté en Ker
una solución. Reciprocamente, sea v una solución de (0)

todo elemento de la forma 19 + es
w. Entonces

por lo que v~ vo =
6. Funciones constantes
7. KerD?
.. (a) Mültiplos constantes de e* (5) Miltiplos constantes de 69%,
9. (a) n-=1 (ni

Ata’
7

Polinomios de grad < 1, Ker D” = polinomios de grad <n

fx

SiA= B+C= B, + Ci, entonces
B-M=C-C.

Pero B- By + Ci O es simétrica y antisimética, y por tanto O, ya que cada
componente es igual a su propio negativo.
11: (c) Tomar la transpuesta de (4+‘A)/2 demuestra que ésta es una matziz simóbrica.
Reciprécamente, dada una matriz simétrica B, vemos que B = P(B), de ma
nera que J esté en la imagen de P.
@ a(n —1)/2.
(6) Una base para las matrices antisinétricas conste de las matrices F con ¿< 3,
ue tiene componente ij iguala 1, componente Ji igual a —1 y todas las otras
componentes iguales a 0

12. Semejante a 11.
13 y 14

15. (8) 0 (Y) men, ((40,0,(0,0
base de Uy fay} co una base de W

16. (B) Se ve claramente que la imagen está contenida en U + W. Dado un elemento
arbitrario ue wo conc en U yw en W, podemos crible en la forma
ww à = (cu), lo que demuestra que está en I imagen de 7.

(© El nicl de L consta de aquellos elementos (2,0) tales que u = w = O, de
manera que u = wo. Bn otras palabras, consta de las parejas (4,5) y u debe
pertenecer a U y à W, por tanto, está en an inteeeción, Si (uy... ue) co
una base para U MW, entonces {(us,u1),..., (nr, ur)} es una base del núcleo
de L. La dimensión es la misma que la dimensión de U NH. Después se aplica
la fórmula de la dimensión que aparece en el texto,

lara 11 y 12.

sn. Si {us} es una

IV, $4, pág. 139
A Pane au

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262. 254 Respuestas a los ejercicios

4 (1) dim, =1 bee=(L-11)
(0) dim. = 2 base = (1,1,0}(0,1,1)
| sa nda
(e) dim. be war mu
@ aim. = mr)

5 @)1 @)1 (90 (02

base =

6. Un teorema establece que
¿ira V = dim Im L + dim Ker L.

Como dim Ker L > 0, se infiere Ia desigualdad deseada.

7. Una prucha (hay otras): rango À = dimlm La. Peto Lan = Lao Lg. Por tanto,
la imagen de Lap está contenida cn la imagen de La. En consecuencia, rango
ABS tango A.

Con respecte a la segunda desigualdad, observe que el rango de una matriz es igual
al rango de su transpuesta, debido a que el rango por columnas es igual al tango.
por renglones, Por ese motivo,

range AB = rargo ‘BA.
Ahora aplique la primera desigualdad para obtener rango BA < rango B =
rango B,

1, ple. as
1000
10 (1125) © (551)
8010

(6) 37 (YN ()-1 {9

000
100
ooo
ann,

2. cl, donde I es la matriz unitaria de n x n

2013) 33)

oi 3 00
so (52 2) © (+1)

97 a 08

2.01 4
of 0)

a

Teja. Sen € = (65). La mir asociada es “O y el efeco de I
rector X de coordenadas es (OX

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263. Respuestas a los ejercicios 255

V, dl, pág. 161

1. Sea C = A B. Entonces OX = O para todo X. Cons

-ésimo vector unitario para j = 1
columna de ©. Por suposición, CE?

re X = L como
syn. Entonces CE? = Ci es la j-<sima
O para todo J, de manera que © = 0.

2. Use la distributividad y el hecho de que FoL=LoF.
3

La prueba es igual a la que se hace con números.

(I? +2TI4T?) = (21427) = EU HT) = P. La parte (b)
al lector. Con respecto a la parte (c), vea el sighiente problema.
5() aU = PP =P - uP +P? 1 2PH PIP =Q.

(6) Sea v € Im P tal que v= Pu para algún w. Entonces Qe = QP. = 0, ya
que QP = (f-P)P = P-P = P=P = 0. Por tanto, ImP € KerQ,
Reciprocamente, sea 9 € KerQ tal que Qu = 0. Entonces (I ~ Pho = 0,
por lo que v— Po = 0, y u = Po, por lo que u € Im; en consecuencia,
KerQ C Im P

+ 6, Sea wEV. Entonces »= 0 Pet Po, y v= Po € KerP, ya que
P(e Pr) = Pe— Phy = Po— Po
Además Po € Im P, lo que prueba (a)

Con respecto a (b), seav € Im Pn Ker P. Como v € ImP, existe w EV tal que
v= Pu. Como u € Ker P, obtenemos.

= Po
de modo que © = 0, con lo que también se ha probado (b)

7. Snponga que + ne = ns tay. Entonces nu = ww. Pero nu € y
ane CW, debido a que U y W son subespacios. Porsuposición, UNW = (0),
y concluimos que u~ a an uw, por lo que w= us y w= ws.

8. P*{u,w) = P(u,0) = (u,0) = Pfu,w). De modo que P? =P.
9. La dimensión de un subespacio es < la dimensión del espacio. Entonces
ImFoL<imF, de modo que dimlmFoL< din Im F

y así rango Fol < rango F Esto pmeba nna de las fórmulas. Con respecto a la
tra, considere F como una combinación lineal definida sobre Ii. Entonces

zango Fo L=dimim Po L € dimIm 1 = rango L.

V, $2, pág. 156

x = Ro = 1. La motriz asociada con

send cox?
dcbido a que cos(-0) = coed.

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264. 256 Respuestas a los ejercicios

3. Las composiciones siguientes son la identidad:
FoGeGToFI=I y GUoFToFoG=L

A, 5, O, En cada caso demuestre que el micleo es igual a O y aplique el teorema.
apropiado.

7 al 10. La prueba es similar a la misma prueba para las matrices, usando la disti-
Dutividad. En 7 tenemos
UD MAD =P RI

Con respecto a 8, tenemos que 1? +22 = -T, de modo que L(-L=21)L =F, por
lo que LL 21.

11. Ds suficiente probar que » y con Iinealmente indepen’
ev yw =O. Aplique L. Entonces

140) = 1A U0) = 0

, Liz) = 2L(v) =O. Como L(v) # O, se infiere
020 4

tes. Snpanga que

ya que L' =O. En consecuen:
que 2 = 0. Entonces y = 0 por

12. P eotayectie, ou nicheo 0 0.
(2) F no es suprayectiva; por ejemplo (1,0,0,...) no está en la imagen,
(e) Sea G21, £24...) = (22,23...) (elimina le primera coordenada)
(d) No; en caso contrario £ tendría una inversa, lo cual no sucede,

15, La linealidad se comprucba fácilmente. Para demostrar que L es inyectiva, es
Suficiente mostrar que Ker L = {0}. Suponga que L{u,w) = 0; entonces u+w = 0,
de manera que w= —w. Por emposición, UNW =(0) y we, —w EW, parle.
que um w= 0, En consecuencia, Ker L= (0).

1. es suprayectiva debido a que, por suposición, todo elemento de V se puede
‘escribir como la suma de un elemento de U más un elemento de W.

=

I, 51, pig. 164
2 00 X wo) ESS
OR) = ed Farrag me (e 4) 12 y,

Si ad-P > 0, entonces (X, X) es una suma de cuadrados con cocficientes positivos
y wro delos términos noes igual a, por loque (X, X) > 0. Si ad=# <0, entonces
dé a y cualquier valor ao nulo y sea 2 = —by/a. Entonces (X, X) <0.

Sam, y = 0 y dé a > cosiquie valor. Entonces FAX = 0.

Bas ue Qt Ow Wat Os

4 (32 @)4 (98

+ Los elementos diagonales no cambian bajo la transposición, de manera que las trazas
de A y A som las mismas.

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cil

265. Respuestas a los ejercicios

6. Sea AA = (cis). Entonces
ee = El, ananı.

td) = DL Din ananı,
debido a que A es simétrica, por lo que la traza es una suma de
tanto, > 0

Por tanto,

cuadrados,

8. (a) AB = DD, ab = Dy E brisa

Pero cualquier par de letras se puede usar para denotar Índices en esta suma, la
‘onal se puede escribir en forma más neutral como sigue:

En a
la tres (BA).
'AC) = tr(AGO™), por la parte (a), de modo que es = tx(A).

Ésta es precivament

@) te”

VI, $2, pág 174
1 1

1. (a) pe 1-1) y Fenn
0) OMY, Que)

1 1 5
2 GA 10) y ze

3 LG, 1-22
3 700), SU ALD, Ze

8. Vane - 30), vit
6. VBE 5/4), Vie, 100 - 12043

9. Use las fórmulas de dimensión. La traza es una aplicación lineal de Y en R. Como

im Vie dim Kerte + dim mtr,

c infiere que dimW = dimV —1, por lo que dim W = 1 por el Teorema 23.
Sea I la masriz unitaria de n x m. Entonces tr(4) = tr{AT) para toda À € V, de
manera que tx(A7) =0 para A € W. En consecuencia, Y € W*. Como WI tiene
dimensión 1, se infiere que / es una base de WE, (¿Sencillo?)

10. Tenemos que (X, AY) = (X, bY) (X,Y), y además
(KAY) = (AX. Y) =(2X,Y) = ax
Por tanto, a(X, Y) = (X,Y). Como a b, se infiere que (X, Y) =0.

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266. nes py

258 Respuestas a los ejercicios

VI, $3, pág. 178
1. Con respecto a todos los vectores columna X y Y, observamos que ‘KAY es una
matriz de 1 % 1, de modo que es ignal a su propia transpuesta, Por consiguiente,
ea(X,¥) = KAY =! (RAY) = VANE = VAR = pal, X).
2. Recfprocamente, si pa(X,Y) = pa(Y,X), entonces mm argumento semejante al
anterior muestra que

way ="X'AY

para todos los X,Y. Entonces A='A, por la prueba de unicidad que aparece en
A Teorema BL.

3. (a) Zen Saga 4 doo. rain
() see +zum — 2a + rar
( Brig 420 exam Tri
(2) suns 2rum = zum — Bra + rage rage + Dom + So ~ Es
Le) Araya Ham tig dd ra + rain + AP + See + Tem
© de + Prada = Seize tran + Pays do — ra + dr

‘VI, 12, pág. 190

+) 29 95 (94 (5 | 76 (O

2. (a) 218 (0) 45 (90 (0) 0 (4 (DM (9) 108 (9) 195 (910
3. ana enn 41

5. Aun en el caso de 3 x 3, siga las directrices generales, Reste la segunda colurana
multiplicada por x de la tercera. Reste la primera coluinna multiplicada por £1
de la segunda. Obtendrá

1 0 o

Lan enn

Imen izan
Al desarrollar conforme al primer renglón se obtiene

212. ln

roan ol:
El lector puedo factoricac xa ~ zu.cn el primer renglón y 23 = 2; en el segundo
renglón para obtener

1
1

a-a)la-a)

Use después la fórmula para los determinantes de 2x2 a fin de obtener la respuesta
deseada,

“Alora haga con detalle el caso de 4 x 4 para entender el patrón, y Juego efectie
el caso de n x n, por inducción.

(a) 3 (b) -24 (o) 16 (a) 14 (e o os
{40 wm -10 © Tes

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267. Respuestas a los ejercicios 259

TA RS
11. D(eA) = D(cA',GA?, cA%) = eD(A?, 647, cA?) = © D(A, AP, A) al usas la linca-
lidad con respecto a cada column

12. D(A) = D(c4!,...,cA") = *D(A!,..., AP) usando de nuevo la lincalidad con
respecto a cada columna.

VI, $3, pág. 195
a2 227 de um: 7.53

VI, $4, pág. 198

@ = Baek

VIL, $5, pág. 202
1. Capítulo, sección $5

VIL, 56, pág. 212
2. (o) 4 (9) 1

3. (1 (as (98 M1
4 (9) 10 (2 (91 (90

VIN, $l, pág. 217

1. Se G@ an vector propio. Entonces Ia multiplicación de matices mueitea que

debemos tener x ay = Xe y y = Ay. Si y #0, entonces À = 1. Como a #0,
esto contradice la primera ecuación, por lo cual y = 0. Entonces El, que es un
vector propio, forma una base para cl espacio de los vectores propios

2. Si À = el es un múltiplo excalar de la identidad, entonces todo el espacio consta
de vectores propios. Cualquier base de todo el espacio satisface los requisitos. El
nico valor propio es el c mismo, para vectores no nulos,

3, El vector unitario E' es un vector propio, cnyo valor propio es ai. El conjunto de
‘estos vectores unitarios es una base para todo el espacio.
4. Sea y = 1. Entonces, usando multiplicación de matrices, el lector encontrará q

(x, 1) es un vector propio, con valoz propio igual a 1. Si 9 = 0, los vectores unit
EY y E? sou vectores propios, con valores propios 1 y —

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268. 260 Respuestas a los ejercicios

5. See m = "(-1,2), de manera que m es perpendiculaz a oy en el Ejercicio 4. La
mnltiplieacidn de matrices muestra que Avs = =

+8 y. para

6. Se A= G =). Entonces el polinomio caracteríatico es (t

que sea igual a 0, debemos tener que = 0 y (=a. Pero a? +1? = 1, por lo que
=.

7, Alito) = Alo = BAv= Bhv = Bo.

VIII, $2, pig, 227
1. (a) (t-au)...(t= aan) (b) =

2. Igual que en el Ejercicio 1.

2. (9) (AN) valore props 4 1 ls comenten stores ponos (3)

FJ rom
(5)

(6) (t—2)(¢ 2); valores propios 1. 2; vectores propios (1,=1/4), donde À =1 y
i=2.

iplos escalares no nulos.

(©) À 43; valores propios +y/=ä; vectores propios (1,1/(A—2)) , donde À = 3,
YA== 43,

QC Diva mon 1 15 ac pri (1) y (_f)) rec
virament, o mél salas no nls q

4, (a) (t= 1)(t—2)(t~ 8); valores propios 1, 2, 3; vectores propios i

0 E) Y

mente, o múltiplos escalares no nulos.
2) + valores propios 4, —2; vectores propios

0010

Múltiplos escalares no mulos de la primera; tarabién son posibles las combins-
«iones lincales del par de vectores propios para —2, 0 en general, el espacio de
soluciones de la ecnacién

respect
(6) (0

ruben.
(6) (1226); valores propios 2, 6; vectores propios t

(j= D =

Pueden ser las combinaciones lineales de los primeros dos. Pueden ser múltiplos
escalares no nulos del segundo,

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269. Respuestas a los ejercicios 261
(a) (= 1)(4~3)*; valores propios 1, 3; vectores propios.

gra

Pueden ser múltiplos escalares del primero. Pueden ser las combinaciones lines-
Tes de los dos segundos.

5. (a) Valor propio igual a 1; los vectores propios son múltiplos escalares de 41,1).
(6) Valor propio igual à 1; los vectores propios son múltiplos cxcalares de '(1,0).
Le) Valor propio igual a 1; los vectores propios son múltiplos escalares de *(0,2).
(d) Tas yalores proples son Aa = (14 V=3)/2, hy = (1—vV—3)/2; los valores propios

son saúltiplos escalares de '(1,(A+1)"*), donde A= As, 0 A= As. No hay
ningü vector propio real

6. En todos los casos los valores propios con iguales a 1. Los vectores propios som
múltiplos de '(1,0,0)

7. (a) Los valores propios eon iguales a 41, 2/T. Los vectores propios son múltiplos
escalares de '(1,A,A°,A*), donde A es cualquiera de los cuatro valores propios.

Sólo hay dos valotes propios reales,
(9) Ko valores propos son 2, (1 + V=B)/2,

= V-D/2. Los vectores propios
son itn mean de (1,341

donde A es uno de los

tres valores propios. Sólo hay un vector propio real, a saber, *(1,1, 3), excepto
múltiplos escalares reales.

VIN, $3, pág. 233
1 (9 13

0) (1+ v5)/2, (1 - Ar
2. (a) 1,3

CEA
EI valor máximo de f ex al número mayor cn cada caso

avi
3, A
‘VIM, $4, pág. 236

1. Deis? sí a3,....0n son los clémentos de a diagonal,

2. Suponga que 8 tiene como elextentos diagonales a A... A1?

3. Sea y un vector propio 4 O cuyo valor propiv es A. Entonces (Au, v} = (Av,
(2,2). Como (0.0) > 0 y (Au,v) > 0, se infiere que À > 0, Brcoja una base de
V que conste de los vectores propios. Eutouces el espacio vectorial Y se puede
identificar como el espacio de vectores de coordenadas con respecto u esta base.
La matriz de A es, pues, una matris diagonal, cuyos clementos diagonales son
los valores propios y, por consiguiente, son positives, Entonces podemos usar el
Ejercicio 2 para hallar una raíz cuadrada.

270. 262 Respuestas a los ejercicios

4. Es semejante al Ejercicio 3.

5. A partir de (AA)
»*0,

Aa = AA, se infiere que A? es simétrica. Además, para

(Alu) = (Av, A) = (Ae, Ad) > 0,
debido a que Av 0, puesto que (Av, Au} > 0.
se infiere que ATI ex simétrica. Como À es invertible, un »
‘Aw para algún w (a saber, u = Amt»), Entonces

(AT Aw, Aw) = (w, Aw) = (Ato) > 0.
En consecuencia, AT! en definitivamente positive.

(6. Suponga (i). A partir de la identidad que aparece en la sugerencia, obtenemos
Aue, Ua) =(U(0+0),0(04 0) —(U(0— 10), U(o—))
= (vt w)8 + a) wu) w))
= Hu).
Por tanto, (Un, Uw) = (0, u). El recíproco es inmediato.
“Suponga (i). Entonces Ker U =O, debido a que, si Uu= O, entonces [jl] =0,
¡cación lineal, cuyo núcleo ex O, de un espacio ves
© emo, es invertible, de mancza que U es invertible.
Además, para todos los u y w € V,
(Uv, Us) = (UU ou) y también es igual a. (v,u), por hipótesis
En consecuencia, UU = I, por lo que U =U*. Reciprocamente, a partir de
UV =U", obtenemos |
(Gv, De) WU) = (0,9),
por lo que U satisface (i).
7. Como (AA) = (AMA = ‘AA, se infere que ‘AA es simérica. Además, para.
#0, tenemos que

(440,0) = (Ar, Av) > 0
debido a que A es invertible, Av # O. En consecuencia, AA es definitivamente
positiva, Sea U = AB™, donde B? = ‘AA y DA= AB, de manera que B7'4
AB". Entonces

(Uv, Uv)

LADA 0) =(87 Ae, BAB)
= (A, BU BA)
= (0, 44740) = (2).
Por tanto, U es uniteria,

‘un valor propio no nulo A > 0. Entonces
(Be, Be) = un)
debido a que 4 es unitaria. En consecuencia, X? = 1, por lo que A=

2 es positivo, A= 1. Puesto que Y tiene ana base que consta de vectores propios,
se infiere que BT.

0,2)

271. indice

A conjugado complejo, 238
conjunto, 82
alternante, 187 maximal de vectores linealmente.
ángulo entre planos, 35 independientes, 106
ángulo entre vectores, 24 convexo, 93, 128
aplicación, 15 coordenadas, 2, 100, 122
entidad, 120 coseno de ua ángulo, 24
Hineal, 118 cuarta dimensión, 3
mula, 129
área, 208
D
B
Alembert, 4
Vase, 99, 144, 166, 168 definitivamente positive, 158, 164, 287
base ortonormal, 168 desarrollo de un determinante, 183,
Dilineal, 175 186
bola, 19 desigualdad de Bessel, 163
abierta, 19 del triángulo, 27
cerrada, 19 de Schwarz, 27, 161
determinante, 179
€ deierminante de una aplicación lineal,
210
caja, 92 de Vandermonde, 191
cambio de base, 143 e inversa, 198
coeficiente, 79, 88 diagonaliraciôn, 233
cocficiente principal, 69 Diderot, 4
colomna, 42 dimensión, 104, 130, 134, 160, 172
combinación lineal, 79, 88 de un conjunto de soluciones, 133,
combinación no trivial, 80 160
complejo, 222, 237 dirección, 8, 11, 21
complemento ortogonal, 136 direcciones opuestas, 8, 11
componente, 23, 41, 161
composición, 147 distancia entre un punto y un plano,
conjugado, 238 a

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272. 264
E

ecuación(es)
¡ferenciale, 128, 295

producto, 222
propio, 214
vectorial, 83

F

forma cuadrática, 299
escalonada por renglones, 69
fórmula de adición para el seno y el
coseno, 54
Fourier, coeficiente de, 161
tanción(es)
mula, 84
propia, 127

&
generado, 86, 87
u

hessiano, 177
hiperplano, 35

Imagen, 108, 127

imaginario, 229

indeterminedas, 63

interseceién, 86

inversa, 82, 75, 199, 238
aditiva, 44

invertible, 153, 186

inyectiva, 164

isomorfismo, 158

Índice

1

linealmente dependiente, 80, 98, 193
linealmente independiente, 80, 98
Jongitud, 160

M

magnitud, 15
matriz(matrices), 41
antisimétrica, 45, 108, 182
aumentada, 66
cuadrada, 43
de Markos, 48
de una aplicación lineal, 139
diagonal, 45
elemental, 59, 72, 75
mula, 43
semejantes, 58, 145 4
simétrica, 44, 108
‘superiormente triangular, 58, 103,
108
unitaria, 51
máximo, 230
mmiema dirección, 8, 11
multilineal, 187
moltiplicación de matrices, 46
múltiplo escalar, 7

N

norme, 15, 160
normal a un plano, 34
ideo, 127

imagen, 130

o

operaciones
por renglones, 66, 109
‘por columnas, 66
‘lementales por renglones, 67, 109
ortogonal, 14, 189, 166
ortogonalización de Gram-Schmidt,
m
úortonormal, 166

273. indice
P

paralelos, 11
paralelogramo, 6, 91, 160
parte real, 238.
perpendiculares, 12, 14, 34, 159
pertenecer a, 88
Planofe), 33, 89, 105

pacalelos, 35

perpendiculares, 35
polinomio característico, 218, 227
producto, 46.

directo, 133

escalar, 12, 158
proyección, 23, 120, 132, 151
punto

en el espacio, 2

final, 9

inicial, 9

R

rango; 12, 185, 152, 194
por columma, 108
por renglones, 108, 135
recta, 29, 88, 105
regia de Cramer, 196
renglones, 42
representación paramétrica, 23
rotaciones, 58, 18

s

segmento, 30, 90
de recta, 90

semiplanos, 94
solución no trivial, 63
solución trivial, 68
subconjunto, 82
subespacio, 85
suma de aplicaciones, 119

de matrices, 43

de n-tuplas, 5

directa, 181
suprayectiva, 154

z

teorema de Pitágoras, 22, 160
transpuesta, 44, 141
traslación, 88, 117, 148

traza, 165

v

valor, 115
característico, 213
Propio, 127, 213, 230

‘vector(es); 11, 83
“anclados, 9, 10
característico, 213
de posición, 30
alo, 5, 83
Propio, 127, 218
"unitarios canénicos, 21

volumen, 209

265

274. Este libro, versión en español de Introduction lo Linear Algebra, second edi-
tion, tue concebido como un texto breve para un curso semestral de álge-
bra a del texto es independiente del cálculo excepto
por algún ejemplo o ejercicio ocasional, y se pocria utilizaron un curso previo.

En ci primer capitulo el autor analiza la conexión tundamental entre el álgebra
lineal y la intuición geométrica, y se dan ejemplos concretos de nociones
que se desarrollan posteriormente. Después, se comienza con ecuacio-
nes lineales, matrices y la eliminación gaussiana, haciendo énfasis en
los aspectos computacionales del álgebra lineal. Por último se trabaja con
transformaciones lineales y productos escalares, y sus relaciones con las
matrices, combinando asi ol aspecto computacional con el teórico, Además,
se tratan los determinantes —de forma breve, omiliendo varias demostra-
ciones—, y se incluye un capitulo sobre valores y vectores propios como
introducción al material de uso constante en las matemáticas y sus aplica»
ciones.

Este libro, junto con los libros de Cälculo e Introducción al andlisis mate-
matico, forman parte de la trilogía de Lang publicada por Addison Wesley
Iberoamericana, colección indispensable en la biblioteca del estudioso de
las matemáticas.

OTRAS OBRAS DE INTERÉS PUBLICADAS POR'
ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA:

Fraleigh/Beauregard: Algebra lineal (64420)
ticas discreta y combinatoria.
jones (4408)

art do los Heros 8, Bis, 4. 26008, Macric, Espana
7 Jacob Way. Reading, Massachusetts, E UA

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