INTRODUCCION A LAS NUMEROS PARA RESOLVER CANTIDADES

metodos numericos

1. INTRODUCCIÓN ¿QUÉ ES EL MÉTODO Y PARA QUÉ SIRVE?

2. Un método numérico es un conjunto de pasos (procedimientos) diseñados para obtener una solución aproximada a un problema. Para lograr este objetivo, se utilizan cálculos puramente aritméticos y lógicos. Los métodos numéricos son algoritmos utilizados para resolver operaciones matemáticas complejas mediante un programa informático, hay varias razones por las que se utilizan los métodos numéricos en lugar de los analíticos, pero podemos resumirlas en dos razones principales: Resolver problemas muy complejos, en los cuales no se puede hallar una solución analítica. Resolver problemas con gran cantidad de cálculos, que harían casi imposible su resolución manual.

3. APLICACCIONES EN MATEMÁTICAS, FÍSICAS E INGENIERÍA Los métodos numéricos, que utilizan operaciones aritméticas simples para aproximar soluciones a problemas matemáticos complejos, tienen aplicaciones en matemáticas, física e ingeniería, permitiendo resolver sistemas de ecuaciones, ecuaciones diferenciales y problemas de geometría intrincada.  En ingeniería, se usan para diseñar y analizar estructuras, predecir el comportamiento de fluidos, simular procesos industriales y controlar sistemas automáticos. En física, se aplican en el análisis de la propagación de ondas (acústicas, electromagnéticas) y en el estudio dinámico de sólidos. 

4. VENTAJAS Y LIMITACIONES Los métodos numéricos aproximados son soluciones a problemas matemáticos complejos que no tienen soluciones analíticas fáciles, ofreciendo velocidad, la capacidad de manejar grandes volúmenes de datos y de obtener resultados en forma gráfica. Sin embargo, su precisión es limitada y dependiente de la potencia computacional y del algoritmo elegido, y la convergencia o estabilidad no siempre está garantizada.  Además, no son universales, ya que algunos problemas no se pueden resolver numéricamente, pueden ser computacionalmente exigentes y requieren una validación cuidadosa para evitar errores de aproximación

5. FUNDAMENTOS TEÓRICOS IDEA GENERAL: APROXIMACIÓN SUCESIVA A LA RAIZ DE UNA FUNCIÓN Los métodos numéricos de aproximación sucesiva buscan encontrar la raíz de una función (un valor de x para el cual f(x) = 0) mediante la generación de una secuencia de valores que se acercan cada vez más a la raíz real. Esto se logra empezando con una estimación inicial (x₀) y aplicando una regla de iteración (xₙ₊₁ = φ(xₙ)) para obtener valores x₁, x₂, x₃, etc., hasta que el cambio entre aproximaciones consecutivas sea menor que una tolerancia preestablecida

6. FORMULA:   MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON El método de Newton es conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier, es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada . Sea f: [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x y definimos para cada número natural n Donde f ' denota la derivada de f.  

7. METODO NEWTON RAPHSON EJEMPLOS

8. EJEMPLO 1

9. Resolviendo por el método de Newton- Raphson , se utiliza la siguiente formula: Donde:

10. 1ra. Iteración Con el valor inicial dado X = 0.6, se reemplaza en la ecuación: 2da. Iteración

11. 3ra. Iteración 4ta. Iteración Respuesta Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:

12. EJEMPLO 2

13. Solución Resolviendo por el método de Newton- Raphson , se utiliza la siguiente ecuación: Donde:

14. Graficando la función. Se utilizará como valor inicial X =1. Con un error admisible de 10 -5 .

15. 1ra. Iteración 2da. Iteración

16. 3ra. Iteración 4ta. Iteración Respuesta Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:

17. CONDICIONES DE CONVERGENCIA El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno ( i.e , una raíz doble, triple,...), el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante asintótica de convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la raíz. Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ² de Aitken o el método de Steffensen . Derivados de Newton-Raphson destacan el método de Ralston- Rabinowitz , que restaura la convergencia cuadrática sin más que modificar el algoritmo a: