Introduccion al Calculo Integral MA2 Ccesa007.pdf

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1. 1
CÁLCULO INTEGRAL
DEMETRIO CCESA RAYME

2. Funciónprimitivaoantiderivada
⬧Funciónprimitivadeunafuncióndadaf(x),es
otrafunciónF(x)cuyaderivadaeslasolucióndada.
F'(x)=f(x)
⬧Siunafunciónf(x)tieneprimitiva,tieneinfinitas
primitivas,diferenciándosetodasellasenuna
constante.
⬧[F(x)+C]'=F'(x)+0=F'(x)=f(x)
DEFINICIÓN

3. ⬧Integralindefinidaeselconjuntodelasinfinitas
primitivasquepuedetenerunafunción.
⬧Serepresentapor∫f(x)dx.
⬧Selee:integraldexdiferencialdex.
⬧∫eselsignodeintegración.
⬧f(x)eselintegrandoofunciónaintegrar.
⬧dxesdiferencialdex,eindicacuáleslavariabledela
funciónqueseintegra.
⬧Ceslaconstantedeintegraciónypuedetomarcualquier
valornuméricoreal.
⬧SiF(x)esunaprimitivadef(x)setieneque:
⬧∫f(x)dx=F(x)+C
INTEGRAL INDEFINIDA

4. ⬧La integral de una sumade funciones es igual a la
suma de las integralesde esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
⬧La integral del producto de una constantepor una
función es igual a la constante por la integralde la
función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
LÍNEALIDAD DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

5. 1.G
2.g
−+
dx
x
xxx
2
23
2 
+−−=





−+=
−+
Cxxxdx
x
xdx
x
xxx
ln
1
12
2
2
2
23
EJERCICIOS

6. INTEGRALES DEFINIDAS

7. Dadaunafunciónf(x)deunavariablerealxyun
intervalo[a,b]delarectareal,laintegraldefinidaes
igualalárealimitadaentrelagráficadef(x),elejede
abscisas,ylaslíneasverticalesx=ayx=b.
⬧Serepresentapor
⬧∫eselsignodeintegración.
⬧alímiteinferiordelaintegración.
⬧blímitesuperiordelaintegración.
⬧f(x)eselintegrandoofunciónaintegrar.
⬧dxesdiferencialdex,eindicacuáleslavariabledela
funciónqueseintegra.
a
b
dxxf)(
INTEGRALES DEFINIDAS

8. ⬧Elvalordelaintegraldefinidacambiadesignosi
sepermutanloslímitesdeintegración.
⬧Siloslímitesqueintegracióncoinciden,laintegral
definidavalecero.
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS

9. ⬧Sicesunpuntointeriordelintervalo[a,b],la
integraldefinidasedescomponecomounasuma
dedosintegralesextendidasalosintervalos[a,c]
y[c,b].
⬧Laintegral definidade una suma de funciones es
igual a la suma de integrales·
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS

10. La derivada de la función integral de la función
continua f(x) es la propia f(x).
F'(x) = f(x)
Elteoremafundamentaldelcálculonosindicaque
laderivaciónylaintegraciónsonoperaciones
inversas:siunafuncióncontinuaprimeroseintegray
luegosederiva,serecuperalafunciónoriginal.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

11. LaRegladeBarrowdicequelaintegraldefinida
deunafuncióncontinuaf(x)enunintervalo
cerrado[a,b]esigualaladiferenciaentrelos
valoresquetomaunafunciónprimitivaG(x)de
f(x),enlosextremosdedichointervalo. )()()()( aGbGxGdxxf
b
a
b
a
−==
REGLA DE BARROW

12. ( )
3
8
1
2
1
3
1
4
3
1
2
1
3
1
4
3
234
3
)13(
13
1
1
2341
1
23
1
1
23
=





+++−





−+−=






−+−=−+−
−+−
−−
−


x
xxx
dxxxx
dxxxx REGLA DE BARROW

13. Elmétododeintegraciónporpartessebasaenla
derivadadeunproductoyseutilizapararesolver
algunasintegralesdeproductos.
INTEGRACIÓN POR PARTES

14. Sedebeconsiderar:
⬧Tenemosquederivarueintegrarv',porloque
seráconvenientequelaintegraldev'sea
inmediata.
⬧Lasfuncionespolinómicas,logarítmicasy
arcotangenteseeligencomou.
⬧Lasfuncionesexponencialesytrígonométricasdel
tiposenoycoseno,seeligencomov'.
INTEGRACIÓN POR PARTES

15. INTEGRACIÓN POR PARTES

16. 2.h
INTEGRACIÓN POR PARTES

17. ⬧Elmétododeintegraciónporsustitucióno
cambiodevariablesebasaenlaregladela
cadena.
⬧Elmétodosebasaenidentificarunapartedelo
quesevaaintegrarconunanuevavariablet,de
modoqueseobtengaunaintegralmássencilla.CuFdxuuf +=
)(')('
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

18. 1.Sehaceelcambiodevariableysediferenciaen
losdostérminos:
Sedespejauydx,sustituyendoenlaintegral:dxuuf ')(' ut= dxudt'= 
= dttf
u
dt
utf )('
'
')('
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

19. 2.Silaintegralresultanteesmássencilla,
procedemosaintegrar:
3.Sevuelvealavariableincial:
= dttfdttf )()(' CufCtf +=+
)()(
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

20. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

21. INTEGRALES RACIONALES
Enlaintegracióndefuncionesracionalessetratade
hallarlaintegral ,siendoP(x)yQ(x)polinomios.
⬧Enprimerlugar,supondremoselgradodeP(x)es
menorqueeldeQ(x),sinofueraasísedividiría.
dx
xQ
xP
)(
)(   
+= dx
xQ
xR
dxxCdx
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
)(

22. INTEGRALES RACIONALES
⬧C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división
polinómica.
⬧Una vez que sabemos que el denominador tiene
mayor grado que numerador, descomponemos el
denominador en factores.
⬧Dependiendo de las raíces del denominador nos
encontramos con los siguientes casos:

23. El denominador tiene solo raíces reales simples
La fracción P(x)/Q(x) puede escribirse así:
A,ByCsonnúmerosquequeseobtienenefectuando
lasumaeidentificandocoeficientesodandovalores
ax.)...)()(()( cxbxaxxQ −−−= ...
)()()()(
)(
cx
C
bx
B
ax
A
xQ
xP
−
+
−
+
−
=
INTEGRALES RACIONALES

24. Seefectúalasuma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador,
los numeradores han de ser iguales:212
152
23
2
+
+
−
+=
−+
−+
x
C
x
B
x
A
xxx
xx )2)(1(
)1()2()2)(1(
+−
−++++−
=
xxx
xCxxBxxxA )1()2()2)(1(152
2
−++++−=−+ xCxxBxxxAxx
INTEGRALES RACIONALES

25. ⬧Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los
valores que anulan al denominador.
⬧Se calculan integrales de las fracciones simples2
1
0
−=
=
=
x
x
x )3)(2(3
)3)(1(6
)2)(1(1
−=−
=
−=−
C
B
A 2/1
2
2/1
−=
=
=
C
B
A  
=
+
−
−
+=
−+
−+
22
1
1
2
2
1
2
152
23
2
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xxx
xx Cxxx ++−−+= )2ln(
2
1
)1ln(2)ln(
2
1
INTEGRALES RACIONALES