introduccion al calculo vectorial y cinematica de la particula

dinamica

1. UNIVERSIDAD
PRIVADA
DEL NORTE

2. INTRODUCCION AL
CALCULO VECTORIAL Y
CINEMATICA DE LA
PARTICULA

Ing. Sara Elizabeth Huaman Moreno

3. Campos escalares y
vectoriales

4. LOGRO DE LA UNIDAD

Al finalizar la unidad, el estudiante resuelve problemas
relacionados con el movimiento de una particula, haciendo

uso de técnicas de operaciones vectoriales asi como del
calculo diferencial, mostrando un manejo coherente de la
mecánica vectorial y llegando a resultados exactos (cifras
significativas y unidades de medida adecuadas

5. LOGRO DE LA SESION:

Al finalizar esta sesión, los estudiantes podrán comprender y
aplicar conceptos básicos de campos escalares y vectoriales, así
como calcular derivadas totales y parciales de vectores.

Además, serán capaces de utilizar la diferencial de una función
en contextos prácticos y comprender su relevancia en la
geometría diferencial

6. Definición de campo escalar y campo vectorial

个

7. Ejemplos de campos escalares (temperatura, presión, etc.)

Algunos ejemplos comunes de campos escalares son:

+ Campo de temperatura: Asigna la temperatura a cada punto del
espacio.

+ Campo de presión: Asigna la presión a cada punto del espacio.
* Campo de densidad: Asigna la densidad a cada punto del espacio.

+ Campo de energía potencial: Asigna la energía potencial a cada punto
del espacio.

8. Definición de campo escalar y campo vectorial

个

9. Ejemplos de campos vectoriales (velocidad, fuerza, etc.)

Algunos ejemplos comunes de campos vectoriales son:

+ Campo de velocidad: Asigna un vector velocidad a cada punto del
espacio.

* Campo de fuerza: Asigna un vector fuerza a cada punto del espacio.

* Campo eléctrico: Asigna un vector campo eléctrico a cada punto del
espacio.

・ Campo magnético: Asigna un vector campo magnético a cada punto del
espacio.

10. Representación gráfica de campos escalares y vectoriales

Representación gráfica de campos escalares:

Los campos escalares se representan gráficamente mediante superficies
o curvas de nivel. Cada superficie o curva representa los puntos en el
espacio que tienen el mismo valor escalar asignado por el campo.

Por ejemplo, en un campo escalar de temperatura, las curvas de nivel
representarían los puntos con la misma temperatura, formando curvas
isotérmicas.

Para graficar un campo escalar en dos dimensiones (x, y), se utilizan
curvas de nivel, mientras que en tres dimensiones (x, y, z) se utilizan
superficies de nivel.

11. Representación gráfica de campos escalares y vectoriales

Representación gráfica de campos vectoriales:

Los campos vectoriales se representan gráficamente mediante vectores con origen en
cada punto del espacio. La dirección del vector representa la dirección del campo en
ese punto, y su magnitud (longitud) representa la magnitud del campo vectorial en ese
punto.

Por ejemplo, en un campo vectorial de velocidad, los vectores representarían la
dirección y magnitud de la velocidad en cada punto del espacio.

Para graficar un campo vectorial en dos dimensiones, se dibujan flechas (vectores) en
una cuadrícula de puntos, mientras que en tres dimensiones, se utilizan vectores con
componentes x, y, z en un espacio tridimensional.

En ocasiones, además de los vectores, se pueden utilizar líneas de campo o líneas de
flujo para representar la dirección del campo vectorial en cada punto del espacio.

Es común utilizar colores o densidades de vectores para indicar la magnitud del campo
vectorial en diferentes regiones del espacio.

12. Operaciones con campos vectoriales (suma, producto escalar,
producto vectorial)

Existen varias operaciones que se pueden realizar con campos vectoriales, algunas
de las mas importantes son:

1.Suma de campos vectoriales:
1.Se realiza sumando los vectores correspondientes en cada punto del
espacio.
2. Si V(x, y, 2) y W(x, y, 2) son dos campos vectoriales, su suma U = V + W es
otro campo vectorial dado por: U(x, y, z) = V(x, y, z) + W(x, y, z)
2.Producto escalar de un campo vectorial por un campo escalar:
1. Se realiza multiplicando el vector en cada punto por el valor escalar en ese
punto.
2. Si V(x, y, 2) es un campo vectorial y @(x, y, 2) es un campo escalar, su
producto escalar U = $V es otro campo vectorial dado por: U(x, y, z) = (x,
y 2) V(x, y, 2)

13. Operaciones con campos vectoriales (suma, producto escalar,
producto vectorial)

3.Producto escalar de dos campos vectoriales:
1. Se obtiene un campo escalar calculando el producto escalar de los
vectores en cada punto.
2. Si V(x, y, z) y W(x, y, z) son dos campos vectoriales, su producto escalar
q = V-W es un campo escalar dado por: p(x, y, z) = V(x, y, z) - W(x, y, 2)
4.Producto vectorial de dos campos vectoriales:
1. Se obtiene un nuevo campo vectorial calculando el producto vectorial
de los vectores en cada punto.
2.Si V(x, y, z) y W(x, y, 2) son dos campos vectoriales, su producto

vectorial U = V x W es otro campo vectorial dado por: U(x, y, 2) = V(x,
y, 2) x W(x, y, 2)

14. Derivada total y
parcial de un vector

15. Derivada total y parcial de un vector:

个

16. SHM

17. SHM

18. SHM

19. Aplicaciones de las derivadas parciales y totales en mecánica y
física

Las derivadas parciales y totales de vectores tienen numerosas aplicaciones en
dinámica y física. Algunas de las más importantes son:

1.Movimiento de partículas:

・ La derivada total de la posición da la velocidad.

・ La derivada total de la velocidad da la aceleración.

* Permiten describir la evolución temporal completa del movimiento.
2.Leyes de conservación:

* La derivada parcial con respecto al tiempo se utiliza en las ecuaciones de
conservación de masa, momentum y energía.
・ Por ejemplo, la ecuación de continuidad implica que la derivada parcial

temporal de la densidad más la divergencia del campo de velocidades es
cero.

20. Aplicaciones de las derivadas parciales y totales en mecánica y
física
3. Dinámica de fluidos:
+ Las derivadas parciales y totales de la velocidad del fluido son fundamentales en las
ecuaciones de Navier-Stokes.
・ Permiten describir fenómenos como vorticidad, circulación, flujos rotacionales y
turbulentos.

4.Campos electromagnéticos:

* Las ecuaciones de Maxwell involucran derivadas parciales de los campos eléctricos
y magnéticos.
+ Las derivadas parciales describen la variación espacial y temporal de estos campos.

5.Teoría de la elasticidad:

+ Las derivadas parciales de los desplazamientos se utilizan para calcular
deformaciones y tensiones en sólidos elásticos.

+ Son fundamentales en la mecánica de materiales y el diseño estructural.

21. Aplicaciones de las derivadas parciales y totales en mecánica y
física

Mecánica del sólido rígido:

・ Las derivadas de la velocidad angular y el momento angular describen la
rotación y el movimiento de cuerpos rígidos.

+ Son importantes en el análisis del movimiento de satélites, cohetes y
vehículos espaciales.

Estas son solo algunas aplicaciones destacadas. Las derivadas parciales y
totales de vectores son herramientas esenciales para analizar y describir
fenómenos dinámicos en diversos campos de la física y la ingeniería.

22. La diferencial de una
funcion

23. La diferencial de una función:

个

24. Propiedades de la diferencial:

Relación con la derivada: La diferencial está directamente relacionada
con las derivadas parciales a través de los coeficientes (9f/0x), (9f/Qy),

(01/02).

Linealidad: La diferencial es una aproximaciön lineal, por lo que
cumple las propiedades de linealidad.

Extensiön a funciones vectoriales: Se puede calcular la diferencial de
una funciön vectorial componente por componente.

25. Relación entre la diferencial y la derivada

La diferencial de una función y la derivada están estrechamente relacionadas. De
hecho, la diferencial se define en términos de las derivadas parciales de la función.

Dada una función escalar f(x, y, z) de varias variables, su diferencial df está dada por:
df = (f/dx) dx + (df/dy) dy + (df/dz) dz
Donde:

ㆍ Of/dx, df/dy, 9f/9z son las derivadas parciales de f con respecto a x, y, 2
respectivamente.

・ dx, dy, dz son los diferenciales o cambios infinitesimales en las variables x, y, z.

Entonces, la diferencial es una generalización del concepto de derivada para
funciones de varias variables, donde las derivadas parciales actúan como coeficientes
en la aproximación lineal representada por la diferencial

26. De esta definición, podemos observar lo siguiente:

Los coeficientes de los diferenciales dx, dy, dz son precisamente las derivadas
parciales de f. Esto establece una conexión directa entre la diferencial y las derivadas
parciales.

Si consideramos un cambio unitario en una variable, por ejemplo, dx = 1 y dy = dz=0,
entonces df se reduce a (0f/0x), que es la derivada parcial con respecto a x evaluada

en el punto dado.

De manera similar, si dy = 1 y dx = dz = 0, entonces df = (df/dy), que es la derivada
parcial con respecto a y. Y así sucesivamente.

La diferencial df puede interpretarse como una aproximación lineal al cambio total de
f cuando hay cambios infinitesimales dx, dy, dz en las variables independientes.

Cuanto más pequeños sean los incrementos dx, dy, dz, más precisa será la
aproximación lineal dada por la diferencial df al cambio real de la función.

27. Calculo de la diferencial de funciones escalares y vectoriales

Calculo de la diferencial de funciones escalares:

Sea f(x, y, z) una función escalar de varias variables independientes x, y, z. La
diferencial de f, denotada como df, se calcula de la siguiente manera:

df = (9f/dx) dx + (df/0y) dy + (df/dz) dz
Donde:

ㆍ ôf/ôx, df/dy, 9f/9z son las derivadas parciales de f con respecto a x, y, 2
respectivamente.

ㆍ dx, dy, dz son los diferenciales o cambios infinitesimales en las variables x, y, 2.

El cálculo de la diferencial implica encontrar las derivadas parciales de la función y
sustituirlas en la expresión anterior junto con los diferenciales correspondientes.

28. Calculo de la diferencial de funciones vectoriales:

Si tenemos un campo vectorial V(x, y, 2) = (V_x(x, y, 2), V_y(x, y, 2), V_2(x, y, 2)), la
diferencial dV se calcula componente por componente:

V = (dV_x, dV_y, dV_z)
Donde:

ㆍ dV_x=(9V_x/0x) dx + (9V_x/0y) dy + (OV_x/dz) dz
+ dV_y =(0V_y/dx) dx + (9V_y/0y) dy + (dV_y/dz) dz
ㆍ dV_z=(9V_2/0x) dx + (8V_z/dy) dy + (8V_z/dz) dz

Es decir, se calcula la diferencial de cada componente escalar del vector aplicando
la misma fórmula que para funciones escalares.

29. Geometria diferencial.

30. Conceptos basicos de geometria diferencial

La geometría diferencial es una rama de las matemáticas que estudia las
propiedades geométricas de objetos como curvas y superficies utilizando
herramientas del cálculo diferencial:

Curvas en el espacio:
+ Vectores tangente, normal y binormal.
+ Curvatura: medida de cuánto se desvía una curva de una línea recta en un
punto dado.
+ Torsión: medida de cuánto se tuerce una curva en el espacio en un punto
dado.

31. Curvas en el espacio: vectores tangente, normal y binormal

En geometria diferencial, cuando se estudian curvas en el espacio tridimensional, se
definen tres vectores importantes asociados a cada punto de la curva: el vector
tangente, el vector normal y el vector binormal. Estos vectores forman la llamada tríada
de Frenet y permiten describir las propiedades geométricas locales de la curva.

Vector tangente:
+ El vector tangente a una curva en un punto dado es el vector que apunta en la
dirección del movimiento de la curva en ese punto.
* Matemáticamente, si la curva está parametrizada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)), el
vector tangente T se define como la derivada de r(t) con respecto al parámetro t:
T = dr/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)

32. Vector normal:

・ El vector normal a una curva en un punto dado es el vector perpendicular al vector tangente
en ese punto.

Se define como la derivada del vector tangente con respecto al parámetro t, normalizada: N
= dT/ds donde s es la longitud de arco de la curva.

Vector binormal:

* El vector binormal a una curva en un punto dado es el vector perpendicular tanto al vector
tangente como al vector normal en ese punto.

Se define como el producto vectorial del vector tangente y el vector normal: B = T x N

Estos tres vectores forman una tríada ortonormal en cada punto de la curva, lo que significa que
son mutuamente perpendiculares y tienen magnitud unitaria. Además, su orientación está dada
por la regla de la mano derecha: T, N, B.

Los vectores tangente, normal y binormal permiten describir propiedades geométricas
importantes de la curva, como la curvatura y la torsión, así como realizar cálculos y operaciones en
geometría diferencial.

33. Superficies en el espacio: vector normal, primera y segunda
forma fundamental

Superficies en el Espacio:

Las superficies en el espacio son objetos bidimensionales que existen en un espacio
tridimensional. Ejemplos comunes incluyen la superficie de una esfera, un cilindro o
una hoja de papel.

Vector Normal:

+ El vector normal a una superficie en un punto dado es un vector perpendicular a
la superficie en ese punto.

+ Es util para describir la orientación de la superficie y calcular propiedades como
la curvatura.

34. Primera Forma Fundamental:
+ La primera forma fundamental es una métrica intrínseca de la superficie.

+ Contiene información sobre las longitudes de las curvas en la superficie y los ángulos
entre ellas.

+ Se expresa en términos de los coeficientes de la métrica de la superficie.

Segunda Forma Fundamental:

・ La segunda forma fundamental proporciona información sobre la curvatura de la
superficie.

・ Incluye los coeficientes de curvatura y torsión.
・ Es fundamental para calcular la curvatura gaussiana y media

35. La primera forma fundamental es un concepto fundamental en geometria
diferencial de superficies. Describe completamente las propiedades métricas de
una superficie y nos permite calcular tanto las longitudes de las curvas en la
superficie como las áreas de las regiones en ella

Dada una superficie parametrizada con coordenadas (u, v), la primera forma
fundamental se expresa como:

I=E,du?+2F,du,dv+G, dv?

Donde:
+ (E), (F), y (6) son los coeficientes métricos que dependen de las derivadas
parciales de la parametrización.
・ (du) y (dv) son las diferenciales infinitesimales de los parámetros u y v.

36. La Segunda Forma Fundamental es otro concepto importante en geometría
diferencial de superficies. Al igual que la primera forma fundamental, esta relacionada
con las propiedades geométricas de una superficie.

Dada una superficie parametrizada con coordenadas (u, v), la segunda forma
fundamental se expresa como:

ll=L,du?+2M,du,dv+N, dv?

Donde:

ㆍ (L), (M), y (N) son los coeficientes de curvatura que también dependen de las
derivadas parciales de la parametrización.

・ (du) y (dv) son las diferenciales infinitesimales de los parámetros u y v.

37. UNIVERSIDAD
PRIVADA
DEL NORTE