introducir y desarrollar le concepto de ecuación

Ecuaciones

1. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 2 Matemáticas 1º Ecuaciones La balanza está equilibrada: el peso de los dos platillos es el mismo. A lo que pesa el trozo de queso le podemos llamar x. Tendremos la igualdad: x + 100 = 350 Esta igualdad es una ecuación. La letra x se llama incógnita , porque su valor es desconocido. Calcula por tanteo el valor de la incógnita en las igualdades: Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. a) x + 3 = 7 b) y – 2 = 4 c) 3 · x = 21 x = 4 , pues: 4 + 3 = 7 y = 6 , pues: 6 – 2 = 4 x = 7 , pues: 7 · 3 = 21 El signo “por”, ×, se sustituye por un punto: “ · ” P a r a p r a c t i c a r IMAGEN FINAL x

2. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 1 Matemáticas 1º Recuerda. Igualdades numéricas y con letras IMAGEN FINAL Igualdades con letras ¿Qué número hay que sumar a 13 para que salga 20? La balanza está equilibrada. Representa una igualdad numérica La expresión de la izquierda del signo igual se llama primer miembro, y la de la derecha, segundo miembro. 12 + 2 = 9 + 5 1 er miembro 2º miembro Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual (=). Podemos escribir la igualdad: 13 + = 20 ? ? = 7 En lugar del signo se suele poner una letra, por ejemplo x. ? 13 + x = 20 x = 7 En una condición expresada por una igualdad, una letra representa un número determinado, cuyo valor hace que se cumpla la igualdad.

3. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 3 Matemáticas 1º Ecuaciones de primer grado con una incógnita Observa las ecuaciones: x + 5 = 9; 2 · y = 12; 3 · t – 2 = 14 Todas tienen una sola incógnita que está elevada a exponente 1. (Lo de menos es que la llamemos x , y o t ). Son ecuaciones de primer grado con una incógnita. Las siguientes balanzas en equilibrio expresan ecuaciones de primer grado con una incógnita: Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que tiene una sola incógnita con exponente 1. IMAGEN FINAL x x x x x x x x x 2 5 x 8 4 1 x + 2 = 5 x + x + x = x + 8 x + 4 = x + x + x + x + 1 3 · x = x + 8 x + 4 = 4 · x + 1 No son de primer grado las ecuaciones: x 2 = 9 6 · t 2 + 2 · t + 2 = 0 2 · x 3 = 250

4. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 4 Matemáticas 1º Solución de una ecuación de primer grado IMAGEN FINAL Observa la balanza. ¿Cuánto pesa la naranja? Platillo izquierdo: Es fácil ver que x = 125, pues: x + 150 Platillo derecho: 225 + 50 Pesan igual: x + 150 = 225 + 50 x Esta igualdad es una ecuación. ¿Cuánto tiene que valer x para que resulte una igualdad numérica? O también: x + 150 = 275 125 + 150 = 275 La naranja pesa 125 g La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es el valor que hay que dar a la incógnita para que resulte una igualdad numérica. Resolver una ecuación es hallar su solución. Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad. Ejemplo La solución de la ecuación 2 · x – 2 = x + 1 es x = 3 pues 2 · 3 – 2 = 3 + 1 = 4

5. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 5 Matemáticas 1º Ecuaciones equivalentes IMAGEN FINAL La solución de las tres ecuaciones siguientes es x = 3 : Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución. Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: a) 2 · x – 4 = 2 Sustituyendo: b) x + 6 = 3 · x 2 · 3 – 4 = 2 3 + 6 = 9 1ª ecuación: 8 · x = 16 Su solución es x = 2 . (¿Es cierto?) 2ª ecuación: 4 + 8 · x = 4 + 16 4 + 8 · x = 20 Le sumamos 4 a cada miembro 3ª ecuación: 4 + 8 · x – 6 · x = 4 + 16 – 6 · x 4 + 2 · x = 20 – 6 · x Restamos 6 ·x a cada miembro Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones . Primer miembro Segundo miembro 2 3 · 3 = 9 c) 3 · x + 7 = 5 · x + 1 3 · 3 + 7 = 16 5 · 3 + 1= 16

6. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 6 Matemáticas 1º Regla de la suma IMAGEN FINAL Muy pocas ecuaciones pueden resolverse mentalmente. Para resolverlas es necesario aplicar unas reglas. La primera es la regla de la suma Añadimos la pesa 3 Quitamos la pesa 3 Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. x + 3 = 7 + 3 Luego: x = 7 Ejemplo: Para resolver la ecuación 3 · x – 1 = 2 · x + 4 Regla de la suma Sumamos 1 : 3 · x – 1 + 1 = 2 · x + 4 + 1 Restamos 2 · x : x = 5 La solución es x = 5 3 · x = 2 · x + 5 3 · x – 2 · x = 2 · x + 5 – 2 · x

7. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 7 Matemáticas 1º Regla del producto IMAGEN FINAL Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide (la misma cantidad) por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Luego: Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan: Regla del producto x = 6 5 · x = 5 · 6 Se ha dividido por 5 x x x x x 6 x 6 6 6 6 6 1. 5x = 45 2 . 7x = 56 3. x/6 = 9 4. 8x = 64 5. x/4 = 12 6 . 10x = 90

8. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 6 Matemáticas 1º IMAGEN FINAL Ejemplo: Para resolver la ecuación: 3 · x – 4 = x + 6 Sumamos 4: 3 ·x = x + 10 Restamos x: 2 · x = 10 La solución es x = 5 Dividimos por 2: x = 5 +4 –x :2 Que pasa si se combinan la reglas Ejemplo 1: 3x + 5 = 20 Proceso: 3x = 20 – 5 _R (-5 )_ 3x = 15 _R(÷3)__ x = 5 Ejemplo 2: 4x - 8 = 12 Proceso: 4x = 12 + 8 _Agrupa____ 4x = 20 ____ R(÷3 ) __ x = 5

9. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 8 Matemáticas 1º Aplicación de las reglas. Ejemplos IMAGEN FINAL La utilización de la reglas de la suma y del producto permite simplificar todas las ecuaciones de primer grado, esto es, hacerlas más sencillas. Practiquemos con dos ejemplos: Restamos 2x: Ejemplo 1. Resuelve: 5x – 3 = 2x Dividimos entre 3: Sumamos 3: 5x = 2x + 3 3x = 3 x = 1 Ejemplo 2. Resuelve la ecuación: Dividimos entre 2: Multiplicamos por 9: x = 18 Comprobamos: Nota: El signo de la multiplicación no suele ponerse ni entre las letras ni entre números y letras. 5 · x 5x 2x = 36

10. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado Resumen Matemáticas 1º https://youtu.be/ec_odR46F8M?si=2sWXCx2j5kzmCogb

11. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 9 Matemáticas 1º Resolución de ecuaciones IMAGEN FINAL Ecuaciones con paréntesis Para resolver ecuaciones: Sumamos 25: 1.º Suprime los paréntesis. Nos planteamos la ecuación: 5 · (2 x – 5) = 15 Dividimos entre 10: Para resolverla se siguen los siguientes pasos: Suprimir el paréntesis(propiedad distributiva): 10x – 25 = 15 10x = 40 x = 4 2.º Aplica la regla de la suma. 3.º Aplica la regla del producto. Otro ejemplo: Resuelve: 7(2x – 1) = 3(4x + 1) Sumamos 7: Restamos 12x: Suprimir el paréntesis: 14x – 7 = 12x + 3 14x = 12x + 10 2x = 10 Dividimos entre 2: x = 5

12. Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 10 Matemáticas 1º IMAGEN FINAL Número de años que tiene que pasar para que la edad de Iván sea doble que la de hermana: x Técnicas y estrategias PROBLEMA Iván tiene 12 años y su hermana Rocío tiene 2 años. ¿Cuántos años deberán pasar para que la edad de Iván sea el doble que la de su hermana? INCÓGNITA DATOS Edad de Iván Lenguaje algebraico Edad de Rocío 12 2 Dentro de x años 12 + x 12 + x = 2(2 + x) Actualidad Edad de Iván Edad de Rocío 2 + x ECUACIÓN La edad de Iván es doble que la de Rocío: RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN Paréntesis: 12 + x = 4 + 2x Restar x: 12 = 4 + x Restar 4: 8 = x Dentro de 8 años Iván tendrá doble edad que su hermana. COMPROBACIÓN Dentro de 8 años Iván tendrá 12 + 8 = 20 años, y su hermana Rocío, 2 + 8 = 10 años.