Investigación de Series Calculo Integral

Una serie es la suma de los términos de una sucesión

1. DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Una sucesión es una lista ordenada de números, usualmente definidos por una fórmula que genera sus términos. Cada número en la sucesión se llama término y se denota por donde indica la posición del termino en la sucesión.   DEFINICIÓN DE SERIE Una serie es la suma de los términos de una sucesión. SERIE FINITA Una serie finita es la suma de un número finito de términos de una sucesión. Si la sucesión es , la serie finita se denota como:    

2. SERIE INFINITA Una serie finita es la suma de un número infinito de términos de una sucesión. Se denota como:   SERIE NMERICA Y CONVERGENCIA Una serie numérica es una serie en la que los términos son números reales o complejos. La convergencia de una serie infinita ocurre si la secuencia de las sumas parciales tiene un límite finito cuando tiende a infinito.  

3. CRITERIO DE LA RAZÓN El criterio de la razón se usa para determinar la convergencia de una serie. Consideremos la serie . Calculemos el límite:   Si , la serie converge. Si o , la serie diverge. Si , el criterio es inconcluso.     CRITERIO DE LA RAÍZ El criterio de la raíz se usa para probar la convergencia de una serie. Consideremos la serie . Calculemos el límite:   Si , la serie converge. Si o , la serie diverge. Si , el criterio es inconcluso.    

4. CRITERIO DE LA INTEGRAL El criterio de la integral se aplica a series de términos positivos. Supongamos que donde es una función continua, positiva y decreciente para . Entonces, la serie converge si y solo si la integral impropia converge.   SERIES DE POTENCIAS Una serie de potencias es una serie de la forma:   Donde son coeficientes y es el centro de la serie.  

5. El radio de convergencia de una serie de potencia es el valor tal que la serie converge cuando y diverge cuando . Se calcula usando:   RADIO DE CONVERGENCIA La serie de Taylor de una función en torno a un punto es una serie de potencias de la forma:     SERIE DE TAYLOR   Donde es la - ésima derivada de evaluada en  

6. Muchas funciones se pueden representar mediante su serie de Taylor. Esto es útil para aproximaciones y análisis, ya que una función se puede escribir como una suma infinita de términos polinómicos.   REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR Para calcular la integral de una función expresada como una serie de Taylor:   Se integra termino a término dentro del intervalo de convergencia:  

7. Realizando la integral para cada término, se obtiene: Finalmente, la integral de será: