investigacion Método de Euler modificado

Informacion del metodo Euler

1. Método de Euler modificado
Leonhard Euler fue un gran matemático suizo del siglo XVIII con desarrollos en diferentes áreas
de las matemáticas y la física. Él fue nombrado en muchos conceptos matemáticos, fórmulas,
métodos y resultados.
El análisis matemático estudia las funciones y construcciones derivadas entre números reales y
complejos desarrollando procedimientos que permitan obtener respuestas implícitas o
explícitas, sin embargo, en la práctica, la mayoría de las ecuaciones diferenciales no se pueden
resolver de esta manera; se utilizan métodos numéricos en los que se utilizan algoritmos para
aproximar la solución o comportamiento de una curva.
El método de Euler mejorado es una modificación del método de Euler para resolver una
ecuación diferencial con condiciones iniciales, la solución que ofrece este método es incluso
más preciso que el método de Euler obteniendo una tabla de valores similar.
Pasos del método de Euler mejorado:
El método de Euler modificado consiste en tomar las formulas del método de Euler para
calcular la pendiente en un punto inicial y en un punto final y luego promediándolas, de esta
manera el resultado será mucho más preciso sobre todo el intervalo.
El método de Euler mejorado es parte de una clase general de métodos conocidos como
métodos predictores correctivos.
1. Predicción
??????
??????+1
̅̅̅̅̅̅=??????
??????+1
??????
??????+1=�
??????+ℎ.??????(�
??????,�
??????)
2. Corrección
�
??????+1=�
??????+ℎ
1
2
[??????(�
??????,�
??????)+??????(�
??????+1,??????
??????+1)]
En la siguiente gráfica podemos observar el comportamiento de la primera iteración del
método de Euler mejorado en el que se puede ver muy gráficamente que el error obtenido con
el método de Euler mejorado es incluso menor que el obtenido con el método de Euler simple.
Así mismo, cabe mencionar que mientras menor sea el paso de h, mejor será la aproximación.

2. En resumen:
Para obtener ´´x´´
�
??????+1=�
??????+ℎ
Para obtener ´´y´´´
??????
??????+1=�
??????+ℎ.??????(�
??????,�
??????)
�
??????+1=�
??????+ℎ
1
2
[??????(�
??????,�
??????)+??????(�
??????+1,??????
??????+1)]
Nota: En algunos casos es necesarios desglosar las ecuaciones que dan solución al método de
Euler mejorado.
??????
1=??????(�
??????,�
??????)
??????
??????+1=�
??????+ℎ.??????
1

??????
2=??????(�
??????+1,??????
??????+1)
�
??????+1=�
??????+ℎ
1
2
(??????
1+??????
2)
Ejemplo 1: Considere la ecuación diferencial �´=�
2
−��
2
con la condición inicial y(1) = 2.
Utilice el método de Euler mejorado para estimar y (1,2); considere h= 0,1
Como el tamaño de paso es h=0,1, debemos repetir el proceso de Euler modificado 2 veces,
con i=1, para calcular k1, k2 y y1
Iteración 1:
??????
1=ℎ??????(�
0,�
0)=0.1??????(1.2)=0.1(−3)=−0.3
??????
2=ℎ??????(�
0+ℎ,�
0+??????
1)=0.1??????(1.1,1.7)

3. =0.1[(1.1)
2
−1.1(1.7)
2
]=−0.1969
�
1=�
0+
1
2
(??????
1+??????
2)=2+0.5(−0.3−0.1969)=1.7516
Iteración 2:
??????
1=ℎ??????(�
1,�
1)=0.1??????(1.1,1.7516)=−0.2165
??????
2=ℎ??????(�
1+ℎ,�
1+??????
1)=0.1??????(1.2,1.5351)=−0.1388
�
2=�
1+
1
2
(??????
1+??????
2)=1.7516+0.5(−0.2165−0.1388)=1.5740

Ejemplo 2: �´=�+�, �(0)=1
h = 0.2 , [0,1]
�
0=0 �
0=1
Aplicaremos cinco iteraciones con el fin de hacer la comparación de la curva solución
�
1=0+0.2=0.2
??????
1=1+0.2(0+1)=1.2
??????
1=1+0.2
1
2
[(0+1)+(0.2+1(1.2))]=1.24

�
2=0.2+0.2=0.4
??????
2=1.24+0.2(0.2+1(1.24))=1.528
??????
2=1.24+0.2
1
2
(0.2+1(.24)+(0.4+1(1.528))=1.576


�
3=0.4+0.2=0.6
??????
3=1.576+0.2(0.4+1(1.576))=1.971
??????
3=1.576+0.2
1
2
((0.4+1(1.576)+(0.6+1(1.971))=2.031
�
4=0.6+0.2=0.8
??????
4=2.031+0.2(0.6+1(2.031))=2.5572
??????
4=2.031+0.2
1
2
((0.6+1(2.031)+(0.8+1(2.5572))=2.630

�
5=0.8+0.2=1

4. ??????
5=2.630+0.2(0.8+1(2.630))=3.316
??????
5=2.630+0.2
1
2
((0.8+1(2.630)+(1+1(3.316))=3.4054