itzcovich_matematica_escolar_parte_1.pdf
DarioCabral7
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Sep 14, 2025
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About This Presentation
La matemática escolar.
Slide Content
Horacio Itzcovich (Coord)
Beatriz Ressia de Moreno
Andrea Novembre
María Mónica Becerril
La Matemática escolar
Las prácticas de enseñanza
en el aula
Colección dirigida por Silvina Gvirtz
Educación
Beatriz Ressia de Moreno
Andrea Novembre
María Mónica Becerril
La Matemática escolar
Las prácticas de enseñanza
en el aula
Colección dirigida por Silvina Gvirtz
Educación
Dirección editorial
Tenia Valeo
Coordinación Aique Educación
Silvia Howell
Edición
Run Sehapuschnik
Copicdición
ariel esse
Corrección
Cecilia Biol
Diseño de Colección y Supervisión gráfica
Verónica Uher = Vitra Mier = Bx
Uber Vi & me
Foto de apa ara SR
ean Pa
Copy Aue Grupo ar 5.
RAT goes 35 (C RAP Catal de Buenos As
Teton y rau
e an comarca coma
¿co ol dep que pre
LO or wicion ARGENTINA
Primers ei: mera impresión
Esta edición se termin de Imprimir em mayo de 208 en
Primera Close Impresores, Cl fornia 121, Ciudad de Buenos Aires
Índice
Introduccion
1. ¿Qué entendemos por Matemática cuando se tata
de enseñara en a escuela?
Yal inicio... los problemas
Explorar para representar, representar para explotar
Elaborar conjerras 3 a
Validación ce las conjeturas y de los resultados
Determinación de un dominio de validez. Cenenalizació
La construcción de un mado.
2. Los números naturales y e sitema de numeración
El sistema de numeración: convenciones y complejidades
Concepciones de los chicos acerca del sema
de numeración y desu represemación escri.
Acerca delas propuestas de enseñanza delos
Varias ideas respecto ala enseñanza en el Pr
Propuestas de enseñanza para el Segundo Ciclo.
3. Acerca de la enseñanza de la suma y dela resta
El sentido de la suma y de la esta.
‘Acerca del cálculo.
‘Acerca del uso de material concreto
‘Acerca de los algorimos de suma y de resta
4. El trabajo con la multiplicación y con la di
La enseñanza y el aprendizaje dela maliplicación
en ol Primer Ciclo Es
La malúplicación ene! Segundo Ciclo.
El abajo en tono ala division
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46
er
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Tenia Valeo
Coordinación Aique Educación
Silvia Howell
Edición
Run Sehapuschnik
Copicdición
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Corrección
Cecilia Biol
Diseño de Colección y Supervisión gráfica
Verónica Uher = Vitra Mier = Bx
Uber Vi & me
Foto de apa ara SR
ean Pa
Copy Aue Grupo ar 5.
RAT goes 35 (C RAP Catal de Buenos As
Teton y rau
e an comarca coma
¿co ol dep que pre
LO or wicion ARGENTINA
Primers ei: mera impresión
Esta edición se termin de Imprimir em mayo de 208 en
Primera Close Impresores, Cl fornia 121, Ciudad de Buenos Aires
Índice
Introduccion
1. ¿Qué entendemos por Matemática cuando se tata
de enseñara en a escuela?
Yal inicio... los problemas
Explorar para representar, representar para explotar
Elaborar conjerras 3 a
Validación ce las conjeturas y de los resultados
Determinación de un dominio de validez. Cenenalizació
La construcción de un mado.
2. Los números naturales y e sitema de numeración
El sistema de numeración: convenciones y complejidades
Concepciones de los chicos acerca del sema
de numeración y desu represemación escri.
Acerca delas propuestas de enseñanza delos
Varias ideas respecto ala enseñanza en el Pr
Propuestas de enseñanza para el Segundo Ciclo.
3. Acerca de la enseñanza de la suma y dela resta
El sentido de la suma y de la esta.
‘Acerca del cálculo.
‘Acerca del uso de material concreto
‘Acerca de los algorimos de suma y de resta
4. El trabajo con la multiplicación y con la di
La enseñanza y el aprendizaje dela maliplicación
en ol Primer Ciclo Es
La malúplicación ene! Segundo Ciclo.
El abajo en tono ala division
40
44
46
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8
89
[2
100
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5. El trabajo escolar en torno a ls fracciones
Sobre el sentido delas fracciones .
bordar as operaciones: la posibilidad de entender
el funcionamiento de ls algoritmos.
Los números con coma entran a clase
6, Acerca de la enscñanza de la geometría
¿Qué entendemos por trabajo gcomético en la escuela.
El estudio del espacio.
El estudio de las propiedades y delas relaciones
nte as ur y 108 CUPOS so
Profundizar el estudio de las iguas a
7. El estudio yla evaluación en Matematica
Estudiar Matemática
Acerca dela exoluación
A mad de cieme
Bibliografía
Sube los autores
190
205
23
219
Introducción _
Este libro intenta ser un aporte más para teflexionar sobre la dl
«il tarea de enseñar Matemática a los niños en edad escolar Pero a
su vez, puede resultar un material útil en el acompañamiento a dife-
rentes insituciones y a sus docentes, si se plantean el desarollo de
una tarea de estudio y actualización.
Por so, se despliegan diferentes tipos de siwactones algunes
implican lecturas, otras proponen actividades para que cealicen los
docentes, también, existen aquellas que involucran el trabajo con
Tos alumnos, Cada uno de estos tips de situaciones e inician dei.
van en releones que apuntan a conceptualizar las ideas prncipa-
les que comandan este proceso, algunas, ya plasmadas en el texto y
otras que los lectores deberán producir
Varias de estas propuestas podrán ser trabajadas de manera indi
viual, y otras demandarän el debate con colegas para propiciar el
intercambio de miradas y opiniones. Para tal in, este libro se haorga-
izado en site capítulos que tratan algunos de los aspectos centra:
Jes dela enseñanza de la Matemática en la escuela primaria.
El capítulo 1 propone ura discusión sobre las características y el
sentido del abajo matemático, marco que condiciona los posterio-
Fes encuadres que se adoptan en el esto de las capítulos Eta con-
cepción de la actividad matemática sed la que se inenta que los
alumios experimenten, enla que se invoiveren, la que conozcan y
por a que se apasiona al trar con los diferentes contenidos que la
escuela se compromete a enseñar
El capítulo 2 desamoll un tratamiento de los números naturales, si
como de las características de esto sistema de numeración apoya
Go en numerosas investigaciones que nos explican ls modos en que
los alumnos se apropian del sentido de estos objetos matemáticos. À
su vez, se analizan diferentes ios de autvdades que ponen de
‘manifesto las particularidades y las dificultades de los niños cuándo”
Se tata de dominar 6s números y su modo de funcionamiento.
Sobre el sentido delas fracciones .
bordar as operaciones: la posibilidad de entender
el funcionamiento de ls algoritmos.
Los números con coma entran a clase
6, Acerca de la enscñanza de la geometría
¿Qué entendemos por trabajo gcomético en la escuela.
El estudio del espacio.
El estudio de las propiedades y delas relaciones
nte as ur y 108 CUPOS so
Profundizar el estudio de las iguas a
7. El estudio yla evaluación en Matematica
Estudiar Matemática
Acerca dela exoluación
A mad de cieme
Bibliografía
Sube los autores
190
205
23
219
Introducción _
Este libro intenta ser un aporte más para teflexionar sobre la dl
«il tarea de enseñar Matemática a los niños en edad escolar Pero a
su vez, puede resultar un material útil en el acompañamiento a dife-
rentes insituciones y a sus docentes, si se plantean el desarollo de
una tarea de estudio y actualización.
Por so, se despliegan diferentes tipos de siwactones algunes
implican lecturas, otras proponen actividades para que cealicen los
docentes, también, existen aquellas que involucran el trabajo con
Tos alumnos, Cada uno de estos tips de situaciones e inician dei.
van en releones que apuntan a conceptualizar las ideas prncipa-
les que comandan este proceso, algunas, ya plasmadas en el texto y
otras que los lectores deberán producir
Varias de estas propuestas podrán ser trabajadas de manera indi
viual, y otras demandarän el debate con colegas para propiciar el
intercambio de miradas y opiniones. Para tal in, este libro se haorga-
izado en site capítulos que tratan algunos de los aspectos centra:
Jes dela enseñanza de la Matemática en la escuela primaria.
El capítulo 1 propone ura discusión sobre las características y el
sentido del abajo matemático, marco que condiciona los posterio-
Fes encuadres que se adoptan en el esto de las capítulos Eta con-
cepción de la actividad matemática sed la que se inenta que los
alumios experimenten, enla que se invoiveren, la que conozcan y
por a que se apasiona al trar con los diferentes contenidos que la
escuela se compromete a enseñar
El capítulo 2 desamoll un tratamiento de los números naturales, si
como de las características de esto sistema de numeración apoya
Go en numerosas investigaciones que nos explican ls modos en que
los alumnos se apropian del sentido de estos objetos matemáticos. À
su vez, se analizan diferentes ios de autvdades que ponen de
‘manifesto las particularidades y las dificultades de los niños cuándo”
Se tata de dominar 6s números y su modo de funcionamiento.
En el capítulo 3, se propicia el análisis de los diferentes sentidos
que pueden o deben adquirir, dentro de una escuela, las operaciones
de sama y resta. Asimismo, junto a esta variedad de sentidos, se pro-
pone un abanico de situaciones tendientes a producir y a compren-
der cierentes recursos de cálculo que se apoyan tanto en las
característica del sistema de numeración como en las propiedades.
de estas operaciones.
Del mismo modo, el capítulo 4 se acupa del abordaje de à mu
tplicación y de la división. En ste caso, también se propicia un and-
Is de los diferentes tipos de problemas en los cuales estas
operaciones cobran sentido, así como del desplicgue de los diferen-
tes recursos de cálculo asociados tanto a los problemas como a las
propiedades delas operaciones,
E trabajo escolar en tomo a Jas fracciones es tratado en el capta
105, que destaca las rupturas que se presentan al iniciar el ratamien-
lo de este campo numérico en relación con el trabajo con los números
naturales. À su vez, se analizan diferentes situaciones para las cuales
las fracciones son una herramienta eficaz, asi como las relaciones
entr estos números y otros conceptos matemáticos que, frecuente»
ment, la escuela deja a cargo de los niños y no, de la enseñanza.
El capítulo 6 propone un análisis sobre el trabajo geométrico.
Asumiendo que la enseñanza de la geometría ha sido “abandonada”
en las escueas, se busca, en esto testo, dotar de sentido al trabajo geo-
métrico a parti de un tipo de area enla cual lo que se pone en juego
es un modo de hacer y de pensar propio de ese recorte cultural
Finalmente, el capitulo 7 invita a refexionar sobre la evaluación
de os alumnos ala laz de la actividad de estudiar Matemática. Es deci
si los alumnos ro saben estudiar”, mal pueden tener un buen
desempeño en las evaluaciones. Pero ¿quién les ha enseñado a estu-
diar Matemática? Est capftulo formula pensamientos en voz alta en
loro a esta pregunta.
Esperamos que este libro sea un aporte a la dificil area de apasio-
rar y de apasionarse con la producción y la ransmisión de los cono-
cimientos matemáticos.
mon
¿Qué entendemos por Matemática cuando
se trata de enseñarla en la escuela?
Las matemáticas consttuyen el compo en el que e niño puede
iniciarse más tempranamente en la racionalidad, en cl que
puede log su ón en el maca de lines éramos y
Guy Brousseau!
Los nümeros naturales, ls operaciones básicas, las fracciones, la
proporcionalidad, las figura planas y sus propiedades, los cuerpos y
las mediciones son objetos de estudio que pueblan la enseñanza ele.
‘mental desde tiempos remotos y nada hace suponer que, en un futu-
ro próximo, estos objetos dejarán de estar ligados a la matemática
‘que se concibe para la escolaridad obligatoria.
Los docentes, seguramente reconocen en estos “ttulos” muchos
de los objetos de trabajo con los cuales se deben relacionar los alum-
os, Pero cierto es que la relación de Is nihos con estos conceptos
0 siempre es clara leben sabor sumar fracciones de distintos deno-
minadores?, ¿deben aprender a hacer la cuenta de vii, ¿deben
saber a qué se llama prisma de base euadradel, ¿deben resolver
Problemas de proporcionalidad directa?, ¿deben demostrar la propie-
dad de la suma de los ángulos interiores de un widngulo?
En función del thulo de este capitulo, una primera cuestión que
Podemos amar es que la Matemática, para los alumnos, quedará en
‚parte definida y caracterizada por el conjunto de experiencias que
"hagamos vivir en relación con los conceptos que se traten. ts decir
que pueden o deben adquirir, dentro de una escuela, las operaciones
de sama y resta. Asimismo, junto a esta variedad de sentidos, se pro-
pone un abanico de situaciones tendientes a producir y a compren-
der cierentes recursos de cálculo que se apoyan tanto en las
característica del sistema de numeración como en las propiedades.
de estas operaciones.
Del mismo modo, el capítulo 4 se acupa del abordaje de à mu
tplicación y de la división. En ste caso, también se propicia un and-
Is de los diferentes tipos de problemas en los cuales estas
operaciones cobran sentido, así como del desplicgue de los diferen-
tes recursos de cálculo asociados tanto a los problemas como a las
propiedades delas operaciones,
E trabajo escolar en tomo a Jas fracciones es tratado en el capta
105, que destaca las rupturas que se presentan al iniciar el ratamien-
lo de este campo numérico en relación con el trabajo con los números
naturales. À su vez, se analizan diferentes situaciones para las cuales
las fracciones son una herramienta eficaz, asi como las relaciones
entr estos números y otros conceptos matemáticos que, frecuente»
ment, la escuela deja a cargo de los niños y no, de la enseñanza.
El capítulo 6 propone un análisis sobre el trabajo geométrico.
Asumiendo que la enseñanza de la geometría ha sido “abandonada”
en las escueas, se busca, en esto testo, dotar de sentido al trabajo geo-
métrico a parti de un tipo de area enla cual lo que se pone en juego
es un modo de hacer y de pensar propio de ese recorte cultural
Finalmente, el capitulo 7 invita a refexionar sobre la evaluación
de os alumnos ala laz de la actividad de estudiar Matemática. Es deci
si los alumnos ro saben estudiar”, mal pueden tener un buen
desempeño en las evaluaciones. Pero ¿quién les ha enseñado a estu-
diar Matemática? Est capftulo formula pensamientos en voz alta en
loro a esta pregunta.
Esperamos que este libro sea un aporte a la dificil area de apasio-
rar y de apasionarse con la producción y la ransmisión de los cono-
cimientos matemáticos.
mon
¿Qué entendemos por Matemática cuando
se trata de enseñarla en la escuela?
Las matemáticas consttuyen el compo en el que e niño puede
iniciarse más tempranamente en la racionalidad, en cl que
puede log su ón en el maca de lines éramos y
Guy Brousseau!
Los nümeros naturales, ls operaciones básicas, las fracciones, la
proporcionalidad, las figura planas y sus propiedades, los cuerpos y
las mediciones son objetos de estudio que pueblan la enseñanza ele.
‘mental desde tiempos remotos y nada hace suponer que, en un futu-
ro próximo, estos objetos dejarán de estar ligados a la matemática
‘que se concibe para la escolaridad obligatoria.
Los docentes, seguramente reconocen en estos “ttulos” muchos
de los objetos de trabajo con los cuales se deben relacionar los alum-
os, Pero cierto es que la relación de Is nihos con estos conceptos
0 siempre es clara leben sabor sumar fracciones de distintos deno-
minadores?, ¿deben aprender a hacer la cuenta de vii, ¿deben
saber a qué se llama prisma de base euadradel, ¿deben resolver
Problemas de proporcionalidad directa?, ¿deben demostrar la propie-
dad de la suma de los ángulos interiores de un widngulo?
En función del thulo de este capitulo, una primera cuestión que
Podemos amar es que la Matemática, para los alumnos, quedará en
‚parte definida y caracterizada por el conjunto de experiencias que
"hagamos vivir en relación con los conceptos que se traten. ts decir
el rabajo. matemático quedará evidenciado ante los ojos de los
alumnos a partir de las propuestas que ls instituciones educativas les
hagan experimentar alo largo dela escolaridad. Podemos sospechar
entonces, que la Matemática quese decido enseña, así como su ra-
tamiento, impactan de una manera determinante en lo que los alum-
nos van a considerar como “cultura matemática”.
Le preponemas una primera refxión vinculada con los pérafos
precedentes:
Aa estemos pr Hoi oda senado ment + 1
Ea cta permito reconocer la rosolución de problemas como
una de ls actividades principales del vabajo matemático. Si se pre
ende que los alumnos vayan configurando una idea acerca de lo que
+5 la Matemática, el trabajo que se les proponga deberá tener rela.
ción, aunque Sea delicado precisar sus limites, con lo que implica
resolver problemas matemáticos. y
En est aspecto, nos parece interesante anal
detalle, qué entendemos por problema.
ar, un poco más on
PENSAR LAS PRÁCTICAS
3. ¿Cuáles cree que son las caracteristicas principales del trabajo
matemático?
b.Intentecjempliica lo analizado en el tema. con el concepto de dvi
sión. 8 decir cuáles on las marcas principales del wabajo matemé-
tico que se podfan reconocer alo largo del abordaje del concepto
de división.
los problemas
Nadie dudaría en stos tiempos en reconacer que los proble:
mas son of corazón de la actividad matemática. Brousseau
señala que “un alumno no hace matemática si no se planea y
no resolve problemas” À
El conocimiento matemático ha progresado —y porosa
actualmente en Su intento de dar respuesa a necesidades
planteadas por la vida cotidiana, por oras ciencias 0 pur la
visa matemática Los problemas han ido el motor dela cien»
ia matemática en la medida en que su resolución ha permi
do elaborar nuevos conceptos, relacionados con alos ya
egrecidos, medi Inventar procedimientos.
Per est elaboración no se realiza sin dificult, Los proble
mas, a menudo, ofrecen resisten
siempre parciales
A AA RAE an RR
PENSAR LAS PRÁCTICAS
Imagine a alumnos de 4. grado de Educación Primaria enfrentados a las
situaciones que se dela a continuación, Le proponemos que analice os
siguientes aspectos:
= ¿Cuál o cubles considera que pockían admit ser rotulados como
“problemas”? ¿Porqué?
Si alguna de ls siuncioncs queda por fuera de sta categorización,
explctelos motivos porloscualesno a ha considerado un “prablem.
Situaciones:
a. Seles propone a ls alumnos el siguiente enunciado sin ninguna con-
sideración ni materiales disponibles: “En una bol, hay un cuanto
ilo de pan. En ota bolsa, hay medio Kilo de pan, Si se ubican las dos
bolsas en una balanza, geunto parda?”
b. Se les presentan a los alumnos dos botellas. En una, hay un evar
lo de agua; y en a oa, hay medio ro. Se wa de aeriguar cuán
13 agua hay ente las dos hotels, Pra ello, se ls propone volcar el
contenido de ma tercera botella de es cuaros lios y
observar cuántos ls hay etre ls dos primeras botes
«ete repre rico eli cic I
dee les presenta un dibujo como el siguiente y se les pregunta qué
pare del rectámpulo esti sombreada:
alumnos a partir de las propuestas que ls instituciones educativas les
hagan experimentar alo largo dela escolaridad. Podemos sospechar
entonces, que la Matemática quese decido enseña, así como su ra-
tamiento, impactan de una manera determinante en lo que los alum-
nos van a considerar como “cultura matemática”.
Le preponemas una primera refxión vinculada con los pérafos
precedentes:
Aa estemos pr Hoi oda senado ment + 1
Ea cta permito reconocer la rosolución de problemas como
una de ls actividades principales del vabajo matemático. Si se pre
ende que los alumnos vayan configurando una idea acerca de lo que
+5 la Matemática, el trabajo que se les proponga deberá tener rela.
ción, aunque Sea delicado precisar sus limites, con lo que implica
resolver problemas matemáticos. y
En est aspecto, nos parece interesante anal
detalle, qué entendemos por problema.
ar, un poco más on
PENSAR LAS PRÁCTICAS
3. ¿Cuáles cree que son las caracteristicas principales del trabajo
matemático?
b.Intentecjempliica lo analizado en el tema. con el concepto de dvi
sión. 8 decir cuáles on las marcas principales del wabajo matemé-
tico que se podfan reconocer alo largo del abordaje del concepto
de división.
los problemas
Nadie dudaría en stos tiempos en reconacer que los proble:
mas son of corazón de la actividad matemática. Brousseau
señala que “un alumno no hace matemática si no se planea y
no resolve problemas” À
El conocimiento matemático ha progresado —y porosa
actualmente en Su intento de dar respuesa a necesidades
planteadas por la vida cotidiana, por oras ciencias 0 pur la
visa matemática Los problemas han ido el motor dela cien»
ia matemática en la medida en que su resolución ha permi
do elaborar nuevos conceptos, relacionados con alos ya
egrecidos, medi Inventar procedimientos.
Per est elaboración no se realiza sin dificult, Los proble
mas, a menudo, ofrecen resisten
siempre parciales
A AA RAE an RR
PENSAR LAS PRÁCTICAS
Imagine a alumnos de 4. grado de Educación Primaria enfrentados a las
situaciones que se dela a continuación, Le proponemos que analice os
siguientes aspectos:
= ¿Cuál o cubles considera que pockían admit ser rotulados como
“problemas”? ¿Porqué?
Si alguna de ls siuncioncs queda por fuera de sta categorización,
explctelos motivos porloscualesno a ha considerado un “prablem.
Situaciones:
a. Seles propone a ls alumnos el siguiente enunciado sin ninguna con-
sideración ni materiales disponibles: “En una bol, hay un cuanto
ilo de pan. En ota bolsa, hay medio Kilo de pan, Si se ubican las dos
bolsas en una balanza, geunto parda?”
b. Se les presentan a los alumnos dos botellas. En una, hay un evar
lo de agua; y en a oa, hay medio ro. Se wa de aeriguar cuán
13 agua hay ente las dos hotels, Pra ello, se ls propone volcar el
contenido de ma tercera botella de es cuaros lios y
observar cuántos ls hay etre ls dos primeras botes
«ete repre rico eli cic I
dee les presenta un dibujo como el siguiente y se les pregunta qué
pare del rectámpulo esti sombreada:
12 antic ce
No es sencillo determinar con clarided qué cum problema a la
hora de pensarlo ch función de los alumnos que asisten ala escucla
‘aprender. Una primera consideración tiene que ver con el destina-
tario de la situación. Según los conocimientos de quien se enfrente
al enunciado o a la actividad, se podrá decir que representa un pro-
blema ono. Es deci para quien ya domina el concepto de fracción,
un enunciado como el de la situación a. no será un problema en el
sentido de un desaño, de un obstáculo para vencer. Y tiene los
recursos necesarios como para responder sin necesidad de estable-
cor nada nuevo. Se podría hablar, en este caso, de un Ejercicio de
plicación. En cambio, para quien adn no dispone de recursos, por
que se ha iniciado recientemente en el trabajo con la fracciones, la
misma situación podría ser considerada un problema, ya que les
ofrece una cierta resistencia a sus conocimientos y debe embarcar»
se en un trabajo de ota naturaleza que el desarrollado por alguien
que cuenta con conocimientos variados sobre las fracciones.
Lo mismo podria decirse dela situación e. Para quien dispone de
‘un modo ya establecido de sumar fracciones el cálculo será una
siuación en la cual aplica lo ya conocido. Pero para quien aún no
se las ha visto con la suma de fracciones, poder producir recursos
que den cuenta del resultado pasa a ser un desafío.
En defíiiva, podemos decir que un problema es tal en la medi
da que invita a un desalio y a la toma de decisiones en donde los
«conocimientos de que se disponen no son suficientes, pero tampoco,
tan escasos. La stuación debe esta ubicada en el centro de la balan-
Za ente lo "huevo" por producir y lo "viejo" que ya se sabe
Y si bien es cierto que los problemas deberían ser el motor de la
clase de Matemática, no es suficiente con propones problemas a los
alumnos para que ellos terminen de configurar una idea un poco,
más acabada del tabajo matemático. “La actividad matemática que
potencialmente un problema permitira desplegar no está conten
‘da en el enunciado del problema”, sino que depeade de todo lo
que se haga a continuación con el problema propuesto. Esta prácti
ca matemática, la mayoria de las veces, nose evidencia ante 1s jos.
Ost even por rms ute ota de chac + 13
de los niños y queda escondi y opacada por la “desesperación
que promueve el “resultado correct",
Frente a la resolución de un problema matemático, muchos
veces, 38 hace evidente que, para abordarlo, hacen all
muchos més corecimiontos de los que se puesion reconocer
como pertenecientes al campo teórico en el que se inserta el
problema, Estos conocimientos, en general implícitos, regulan
el abajo Matemático como si, de algúna mare, “dictaron”
lo que ests permitido hacer (y lo que no, lo que conviene
acer fy lo que no).
€ ser necesario, entonces, intentar hacer explícitas más
alld del problema— aquellas cuestiones ligadas al abajo matemsi-
«o, pues, frecuentemente quedan ocultas e impiden a ls alumnos
configurarse una idea de lo qué iñvolucra la actividad matemática. 1
Explorar para representar, representar para explorar.
Decíamos antes que el enunciado de un problema no advierte alos
alumnos de algunas marcas del trabajo matemático, Para iniciar el
recorrido en el intento de explicitar estas marcas, le proponemos que
realice la siguiente actividad:
[ Pesan as rasenens
Resuelva los siguientes problemas intentando identifica todas aquellos
cuesiones realizadas y desplegadas cn la búsqueda de La solución,
Estas cuestiones serán más importantes que la resolución de los proble.
mas en el análisis que propiciamos desamallar.
a. Invente una cuenta de dividir en la cual el dividendo sea 251 y el
resto sea 7. ¿Cunas cuentas se pork inventar
b.Invente una cuenta de dividir en la cual el divisor sea 12 y el resto
sea 5. ¿Cuíntas cuentos se podrán inves
No es sencillo determinar con clarided qué cum problema a la
hora de pensarlo ch función de los alumnos que asisten ala escucla
‘aprender. Una primera consideración tiene que ver con el destina-
tario de la situación. Según los conocimientos de quien se enfrente
al enunciado o a la actividad, se podrá decir que representa un pro-
blema ono. Es deci para quien ya domina el concepto de fracción,
un enunciado como el de la situación a. no será un problema en el
sentido de un desaño, de un obstáculo para vencer. Y tiene los
recursos necesarios como para responder sin necesidad de estable-
cor nada nuevo. Se podría hablar, en este caso, de un Ejercicio de
plicación. En cambio, para quien adn no dispone de recursos, por
que se ha iniciado recientemente en el trabajo con la fracciones, la
misma situación podría ser considerada un problema, ya que les
ofrece una cierta resistencia a sus conocimientos y debe embarcar»
se en un trabajo de ota naturaleza que el desarrollado por alguien
que cuenta con conocimientos variados sobre las fracciones.
Lo mismo podria decirse dela situación e. Para quien dispone de
‘un modo ya establecido de sumar fracciones el cálculo será una
siuación en la cual aplica lo ya conocido. Pero para quien aún no
se las ha visto con la suma de fracciones, poder producir recursos
que den cuenta del resultado pasa a ser un desafío.
En defíiiva, podemos decir que un problema es tal en la medi
da que invita a un desalio y a la toma de decisiones en donde los
«conocimientos de que se disponen no son suficientes, pero tampoco,
tan escasos. La stuación debe esta ubicada en el centro de la balan-
Za ente lo "huevo" por producir y lo "viejo" que ya se sabe
Y si bien es cierto que los problemas deberían ser el motor de la
clase de Matemática, no es suficiente con propones problemas a los
alumnos para que ellos terminen de configurar una idea un poco,
más acabada del tabajo matemático. “La actividad matemática que
potencialmente un problema permitira desplegar no está conten
‘da en el enunciado del problema”, sino que depeade de todo lo
que se haga a continuación con el problema propuesto. Esta prácti
ca matemática, la mayoria de las veces, nose evidencia ante 1s jos.
Ost even por rms ute ota de chac + 13
de los niños y queda escondi y opacada por la “desesperación
que promueve el “resultado correct",
Frente a la resolución de un problema matemático, muchos
veces, 38 hace evidente que, para abordarlo, hacen all
muchos més corecimiontos de los que se puesion reconocer
como pertenecientes al campo teórico en el que se inserta el
problema, Estos conocimientos, en general implícitos, regulan
el abajo Matemático como si, de algúna mare, “dictaron”
lo que ests permitido hacer (y lo que no, lo que conviene
acer fy lo que no).
€ ser necesario, entonces, intentar hacer explícitas más
alld del problema— aquellas cuestiones ligadas al abajo matemsi-
«o, pues, frecuentemente quedan ocultas e impiden a ls alumnos
configurarse una idea de lo qué iñvolucra la actividad matemática. 1
Explorar para representar, representar para explorar.
Decíamos antes que el enunciado de un problema no advierte alos
alumnos de algunas marcas del trabajo matemático, Para iniciar el
recorrido en el intento de explicitar estas marcas, le proponemos que
realice la siguiente actividad:
[ Pesan as rasenens
Resuelva los siguientes problemas intentando identifica todas aquellos
cuesiones realizadas y desplegadas cn la búsqueda de La solución,
Estas cuestiones serán más importantes que la resolución de los proble.
mas en el análisis que propiciamos desamallar.
a. Invente una cuenta de dividir en la cual el dividendo sea 251 y el
resto sea 7. ¿Cunas cuentas se pork inventar
b.Invente una cuenta de dividir en la cual el divisor sea 12 y el resto
sea 5. ¿Cuíntas cuentos se podrán inves
Una nueva cuestión para consderar como parte de trabajo mate
mätico y que se ve reflejada en la resolución de un problema es el
nodo de representar matemáticamente la situación que se preten-
“de resolver.
Un problema no “dice” cómo representar las relaciones que en él
se ponen en juego. Es más, casi siempre se mencionan estas rlacio-
nes de manera implícita, aunque a veces, pueden aparecer más expli
adas. Tampoco un enunciado informa cuál es el modo más
conveniente de plasmarlas en una hoja Parte de! trabajo matemático
involucra la búsqueda de un modo de representar el problema que
result (rl para su tratamiento
Pero este modo de representación no es evidente para los alım-
105, como así tampoco lo es en numerosas oportunidades para los
matemáticos, La producción de un modo de representación
requiere, en numerosas ocasiones, de un trabajo exploratorio, que
puede involucrar el uso de ejemplos, los ensayos con ciertos valo
res que permitan "ver" los efectos o resultados que se obtienen,
‘arse cuenta de que cl camiro elegido no conduce a nada y vol-
ver a comenzar, seguir analizando cuáles de los conocimientos
que se tienen podrian servir, buscar más informaciones por si hay
algo que se está “escapando”, ir aproximando al tanteo y “obs
var” qué ocurre, et. Es decir, avanzar en el sentido de llevar a
(abo una exploraciôn con cierto nivel de sistematización que per-
mita, de algún modo, controlar lo que va aconteciendo colabora
en la tarea de buscar un mejor modo de representar matemática:
mente un probloma
En el caso de la actividad anterior, un modo de representar el
item a, bien podría surgir al comenzar el proceso exploratorio. Por
ejemplo, si se decide iniciar un proceso exploratorio imaginando
In cuenta de dividi el problema podría adquirir una representa»
ción como la siguiente:
¿Qu tenemos por emba cundo e idea lorca 15
A partir de esta representación, es posible comenzara ensayar con
diferentes valores en el divisor e ir ajustándolos con el fin de arribar
ala solución:
251 Lio 25 251 [8
5 2% > CRE
1
1
y y y
Farecien que este camino no temina dese del todo ufecivo.
Bien podría pensarse, entonces, en algún otto tipo de represent
ción acorde con las relaciones que funcionan en el intros de la
cuenta de dividir y de la exploración precedente. Es deci, los
"números buscados, divisor y cociente dohen veficar que, s se le
suma 7 al producto ene elo, se debe obtener por resullado &
dividendo, que e 251, Este andi permite modificar el modo de
representar el problema, Si designamos con Dal divisor y con Cal
cociente, se debe cumplirla condición: Cx D + 7 = 251, que equi
vale a proponer que Cx D = 251-7.
Por lo tanto, los valores de Cy D deben verificar que Cx D = 244.
Luego, se rata de buscar dos números cuyo producto sea 244, Por
ejemplo, 2 y 122. Entonces, una solución sería
251 [122
7
ya
De esta manera, os posible reconocer que poeta haber ota solu
¿iones (que no serán tratadas en este apartado, ya que ost nuevo
representación permite una exploración de otra naturaleza, que invo-
lucra ahora la idea de divisores, la cuestión de conservar el resto
‘enor que el divisor, etc, Pero la intención no, es ahondar en las
bondades" dol problema, sino en e juego ente exploración y repre
sentación que aquel demanda. ,
mätico y que se ve reflejada en la resolución de un problema es el
nodo de representar matemáticamente la situación que se preten-
“de resolver.
Un problema no “dice” cómo representar las relaciones que en él
se ponen en juego. Es más, casi siempre se mencionan estas rlacio-
nes de manera implícita, aunque a veces, pueden aparecer más expli
adas. Tampoco un enunciado informa cuál es el modo más
conveniente de plasmarlas en una hoja Parte de! trabajo matemático
involucra la búsqueda de un modo de representar el problema que
result (rl para su tratamiento
Pero este modo de representación no es evidente para los alım-
105, como así tampoco lo es en numerosas oportunidades para los
matemáticos, La producción de un modo de representación
requiere, en numerosas ocasiones, de un trabajo exploratorio, que
puede involucrar el uso de ejemplos, los ensayos con ciertos valo
res que permitan "ver" los efectos o resultados que se obtienen,
‘arse cuenta de que cl camiro elegido no conduce a nada y vol-
ver a comenzar, seguir analizando cuáles de los conocimientos
que se tienen podrian servir, buscar más informaciones por si hay
algo que se está “escapando”, ir aproximando al tanteo y “obs
var” qué ocurre, et. Es decir, avanzar en el sentido de llevar a
(abo una exploraciôn con cierto nivel de sistematización que per-
mita, de algún modo, controlar lo que va aconteciendo colabora
en la tarea de buscar un mejor modo de representar matemática:
mente un probloma
En el caso de la actividad anterior, un modo de representar el
item a, bien podría surgir al comenzar el proceso exploratorio. Por
ejemplo, si se decide iniciar un proceso exploratorio imaginando
In cuenta de dividi el problema podría adquirir una representa»
ción como la siguiente:
¿Qu tenemos por emba cundo e idea lorca 15
A partir de esta representación, es posible comenzara ensayar con
diferentes valores en el divisor e ir ajustándolos con el fin de arribar
ala solución:
251 Lio 25 251 [8
5 2% > CRE
1
1
y y y
Farecien que este camino no temina dese del todo ufecivo.
Bien podría pensarse, entonces, en algún otto tipo de represent
ción acorde con las relaciones que funcionan en el intros de la
cuenta de dividir y de la exploración precedente. Es deci, los
"números buscados, divisor y cociente dohen veficar que, s se le
suma 7 al producto ene elo, se debe obtener por resullado &
dividendo, que e 251, Este andi permite modificar el modo de
representar el problema, Si designamos con Dal divisor y con Cal
cociente, se debe cumplirla condición: Cx D + 7 = 251, que equi
vale a proponer que Cx D = 251-7.
Por lo tanto, los valores de Cy D deben verificar que Cx D = 244.
Luego, se rata de buscar dos números cuyo producto sea 244, Por
ejemplo, 2 y 122. Entonces, una solución sería
251 [122
7
ya
De esta manera, os posible reconocer que poeta haber ota solu
¿iones (que no serán tratadas en este apartado, ya que ost nuevo
representación permite una exploración de otra naturaleza, que invo-
lucra ahora la idea de divisores, la cuestión de conservar el resto
‘enor que el divisor, etc, Pero la intención no, es ahondar en las
bondades" dol problema, sino en e juego ente exploración y repre
sentación que aquel demanda. ,
16 + Women
Elaborar conjeturas
Oro aspecto que forma parte de la trea matemática e la produce
ción de conjeturas, Pra anar en est senti, es proponemos res
ver la siguiente actividad:
Pensan LAS PRÁCTICAS
Ks los genes problems. Para el, pudo ar Io In
memos de geomería que conside consents:
a. Cont paralela enel el uno dese do ida y los
ques aces dh lao min 40 y 50 Caos pull:
games lees se pueden consi con ls misas Condicion?
b. Consiv un pualeoqyamo e lua no de sus ados mida 4 cm y
10 egos ayacenes a et min 40" y 120" ¿Cuts palo
rs irene se pueden cos con las misas condiciones?
Como ya sé ha mencionado anteriormente, la exploración y la
selección de un modo de representación es parte de la tarea en stos
problemas también, En algunos casos, un primer ensayo se apoya en
bosquejos o dibujos sobre los que se vuelca la información para
“tenerla más disponible”. Por ejemplo, para resolve la pate b. de la
actividad anterior, se podria hacer un dibujo de un paralelogramo
cualquiera y volcar allí los datos conocidos, antes de empezar la
construcción, aunque en numerosas oportunidades no es necesario
realizar este dibujo anticipatoro, pues se va desanollando sobre
la "marcha":
‚Ahora bien, comenzada la construcción, se obsena un cierto des-
pliegue de ls relaciones que puede “orientar o dosorientar”. Es decir
si se realiza el dibujo con las medidas propuestas en el enunciado
at end pr tentes cosas ee essence + 17
—el lado AB mide 4 um, el ängulo A mide 407, y el ángulo 8 mide
120*—, se obtiene lo siguiente:
El dibujo “muestra” que terminar de armar el paralelo»
gramo, Pero no “explica” qué est ocurriendo, Alles viable la apar
ción de una conjetura: “parece que no se va a poder terminar de
const un paralelograr con estas condiciones.
La idea de la cunjtura, en términos escolares, cs la producción de
una “sospecha”, dé un “parecer”, producto de una experiencia de ra-
bajo. Es decir confluyen en ella exploraciones, ensayos y enores, el
so de los datos conocidos y saberes disponibles que permite stable
cer una afimación con cierto margen de cereza, aunque no es del
‘db posible, por los recursos utilizados hasta el momento, dar cuenta
de quelo afirmado es así y no podría ser de ora manera
El apartado siguiente propone avanzar dela conjetura a la cereza.
Validación de las conjeturas y de los resultados
Para iniciar el tratamiento de esta cuestión, quizá la más comple-
Ja del trabajo matemático escolar le proponemos resolver la siguien-
te actividad:
PENSAR LAS PRÁCTICAS
a. Intente encontar angumentos que permitan decichr sa conjetura a+
borada en función del problema de I actividad anterior Rem b es
verdadera 6 és fosa. Dicha conjetura sostníalo siguiente: “parece
‘que no se va a poder terminar de constr un parallogramo con
sas condiciones”. (Recordemos que las condiciones eran: un lado
de à cm y los éngulos adyacentes él, de 40* y 120%.
b, ¿Será cierto que siempre que se sumen tres números naturales conse- |
Elaborar conjeturas
Oro aspecto que forma parte de la trea matemática e la produce
ción de conjeturas, Pra anar en est senti, es proponemos res
ver la siguiente actividad:
Pensan LAS PRÁCTICAS
Ks los genes problems. Para el, pudo ar Io In
memos de geomería que conside consents:
a. Cont paralela enel el uno dese do ida y los
ques aces dh lao min 40 y 50 Caos pull:
games lees se pueden consi con ls misas Condicion?
b. Consiv un pualeoqyamo e lua no de sus ados mida 4 cm y
10 egos ayacenes a et min 40" y 120" ¿Cuts palo
rs irene se pueden cos con las misas condiciones?
Como ya sé ha mencionado anteriormente, la exploración y la
selección de un modo de representación es parte de la tarea en stos
problemas también, En algunos casos, un primer ensayo se apoya en
bosquejos o dibujos sobre los que se vuelca la información para
“tenerla más disponible”. Por ejemplo, para resolve la pate b. de la
actividad anterior, se podria hacer un dibujo de un paralelogramo
cualquiera y volcar allí los datos conocidos, antes de empezar la
construcción, aunque en numerosas oportunidades no es necesario
realizar este dibujo anticipatoro, pues se va desanollando sobre
la "marcha":
‚Ahora bien, comenzada la construcción, se obsena un cierto des-
pliegue de ls relaciones que puede “orientar o dosorientar”. Es decir
si se realiza el dibujo con las medidas propuestas en el enunciado
at end pr tentes cosas ee essence + 17
—el lado AB mide 4 um, el ängulo A mide 407, y el ángulo 8 mide
120*—, se obtiene lo siguiente:
El dibujo “muestra” que terminar de armar el paralelo»
gramo, Pero no “explica” qué est ocurriendo, Alles viable la apar
ción de una conjetura: “parece que no se va a poder terminar de
const un paralelograr con estas condiciones.
La idea de la cunjtura, en términos escolares, cs la producción de
una “sospecha”, dé un “parecer”, producto de una experiencia de ra-
bajo. Es decir confluyen en ella exploraciones, ensayos y enores, el
so de los datos conocidos y saberes disponibles que permite stable
cer una afimación con cierto margen de cereza, aunque no es del
‘db posible, por los recursos utilizados hasta el momento, dar cuenta
de quelo afirmado es así y no podría ser de ora manera
El apartado siguiente propone avanzar dela conjetura a la cereza.
Validación de las conjeturas y de los resultados
Para iniciar el tratamiento de esta cuestión, quizá la más comple-
Ja del trabajo matemático escolar le proponemos resolver la siguien-
te actividad:
PENSAR LAS PRÁCTICAS
a. Intente encontar angumentos que permitan decichr sa conjetura a+
borada en función del problema de I actividad anterior Rem b es
verdadera 6 és fosa. Dicha conjetura sostníalo siguiente: “parece
‘que no se va a poder terminar de constr un parallogramo con
sas condiciones”. (Recordemos que las condiciones eran: un lado
de à cm y los éngulos adyacentes él, de 40* y 120%.
b, ¿Será cierto que siempre que se sumen tres números naturales conse- |
ara War algunas cuestiones que nos resultan interesantes para
compati,tomaremos sólo el problema b de la actividad aero, a
modo de ejemplo del to de abajo que estamos intertando explicita.
Eso resolución, una vez más, un proceso exploratri peri com
prender un poco más de qué se aa el problema. Como se habla de
des números consecutivos es pertinente inicar el abajo ensayando
con alganos ejemplos pora poder aralizar los efectos que se producer
3+445= 12 20+21422=63 12541264127
78
Estos ejemplos, en los cuales se han considerado números de dife-
rentes “tamos” —y se podía seguir con otros aún mayores— aro»
jan resultados que on efectivamente málilos de res. La tentación es
sospechar que la suma de tes números conseculvos es siempre un
múltiplo dere. Los ejemplos "muestran” que la conjetura es posible,
peso vo explican por qué ni permiten tener una cereza de que siem.
pre va a ücurir asi. Una part fundamental del trabajo matemático
involucra la resporsabiidad de hacese cargo, mediante argumentos
matemáticos de ls estados que se bienen. Es deciy poder encon-
far razones que permita explicar y comprender "poe qué pasalo que
pasa" “por qué se obtiene lo que se obtiene”. No es parte del tabo-
jo matemático dejar librado al azar, ni a ot, a determinación de la
verdad ola flsedad de lo que so afirma.
‘Ahora bien, para explicar el hecho de que se obtiene un milo
de ves, la representación del problema juega un papel importante. Ni
la representación que se lian os argumentos que se esbocen serán
Gnicos, Presentamos a continuación dos manerasdiferenes de dar
cuenta del resultado:
Al seres números consecutivos, siempre es posible imaginar
que se le resta 1 al tercero y sol suma 1 al primero, lo que
garantiza no cambiar el resultado, De esta manera, se obtiene la
suma de tres veces el número del medio, que por se el tiple de
un númoro, es múliplo de 3. Por ejemplo:
1.023 + 1.024 + 1.025 = 1.024 + 1.024 1.02
que es múliplo de 3.
x 102423072,
né entendemos pa Snes cand sae ita scant + 19
Y esto vale para cualquier tera de números consecutivos.
+ Al serte números consecuavs, podemos mar al del medion,
luego el anterior será n-1 y el siguiente será n+l
Su suma resultrá Tn + nt = 3 xn que es la expresión
de un múltiplo de 3.
Es claro que estas dos maneras de dar razones son bien dits y
se apoyan en conocimientos y en modes de represetar dierent.
En ol primer caso, se recurrió a una representación artmética, en
tanto que ene! segundo caso seapeló a una representación algebra:
ca. Pero, en ambos casos, e recurre a argumentos matemáticos que
permiten involucrar cualquier tea de números consecutivos, expli
«cando y validando la conjetura planteada.
Se consi el siguente problema:
+ Enunabols, hoy un cua ko de pan. n ara bla, ay meto kl
de pan. ize ubican la os bolas en una balanza, cain psi?
valle can una de ls siguentes explicaciones de porqué resta
065} e indique denis y smile.
Explicación 1: Se consigue un balanza de agua. Se colocan ambas
balsas y se obser que la aguja eg a.
21.3
4-4 "4
Esplación3:Como en entan ds de entonces Jy $ son de
Le dec 3.
Explicación 2: 4
El abajo elas en ono aa expiación, jusiicaién oval] / +
¿lación de fos resaltados que se bienen frente a un problema es +
quid, el tema de mayor contoversn
Algunas líneas de abajo, incluidos varios ros de text, con-
sideran prose! trabajo empfico a a hora de resolver ciertos
compati,tomaremos sólo el problema b de la actividad aero, a
modo de ejemplo del to de abajo que estamos intertando explicita.
Eso resolución, una vez más, un proceso exploratri peri com
prender un poco más de qué se aa el problema. Como se habla de
des números consecutivos es pertinente inicar el abajo ensayando
con alganos ejemplos pora poder aralizar los efectos que se producer
3+445= 12 20+21422=63 12541264127
78
Estos ejemplos, en los cuales se han considerado números de dife-
rentes “tamos” —y se podía seguir con otros aún mayores— aro»
jan resultados que on efectivamente málilos de res. La tentación es
sospechar que la suma de tes números conseculvos es siempre un
múltiplo dere. Los ejemplos "muestran” que la conjetura es posible,
peso vo explican por qué ni permiten tener una cereza de que siem.
pre va a ücurir asi. Una part fundamental del trabajo matemático
involucra la resporsabiidad de hacese cargo, mediante argumentos
matemáticos de ls estados que se bienen. Es deciy poder encon-
far razones que permita explicar y comprender "poe qué pasalo que
pasa" “por qué se obtiene lo que se obtiene”. No es parte del tabo-
jo matemático dejar librado al azar, ni a ot, a determinación de la
verdad ola flsedad de lo que so afirma.
‘Ahora bien, para explicar el hecho de que se obtiene un milo
de ves, la representación del problema juega un papel importante. Ni
la representación que se lian os argumentos que se esbocen serán
Gnicos, Presentamos a continuación dos manerasdiferenes de dar
cuenta del resultado:
Al seres números consecutivos, siempre es posible imaginar
que se le resta 1 al tercero y sol suma 1 al primero, lo que
garantiza no cambiar el resultado, De esta manera, se obtiene la
suma de tres veces el número del medio, que por se el tiple de
un númoro, es múliplo de 3. Por ejemplo:
1.023 + 1.024 + 1.025 = 1.024 + 1.024 1.02
que es múliplo de 3.
x 102423072,
né entendemos pa Snes cand sae ita scant + 19
Y esto vale para cualquier tera de números consecutivos.
+ Al serte números consecuavs, podemos mar al del medion,
luego el anterior será n-1 y el siguiente será n+l
Su suma resultrá Tn + nt = 3 xn que es la expresión
de un múltiplo de 3.
Es claro que estas dos maneras de dar razones son bien dits y
se apoyan en conocimientos y en modes de represetar dierent.
En ol primer caso, se recurrió a una representación artmética, en
tanto que ene! segundo caso seapeló a una representación algebra:
ca. Pero, en ambos casos, e recurre a argumentos matemáticos que
permiten involucrar cualquier tea de números consecutivos, expli
«cando y validando la conjetura planteada.
Se consi el siguente problema:
+ Enunabols, hoy un cua ko de pan. n ara bla, ay meto kl
de pan. ize ubican la os bolas en una balanza, cain psi?
valle can una de ls siguentes explicaciones de porqué resta
065} e indique denis y smile.
Explicación 1: Se consigue un balanza de agua. Se colocan ambas
balsas y se obser que la aguja eg a.
21.3
4-4 "4
Esplación3:Como en entan ds de entonces Jy $ son de
Le dec 3.
Explicación 2: 4
El abajo elas en ono aa expiación, jusiicaién oval] / +
¿lación de fos resaltados que se bienen frente a un problema es +
quid, el tema de mayor contoversn
Algunas líneas de abajo, incluidos varios ros de text, con-
sideran prose! trabajo empfico a a hora de resolver ciertos
20+ ta senta solo
problemas. Tal es el caso de la explicación 1 que se propone. Es
decir, sostienen que el recurso del “material concreto”, en este
caso la balanza, podria ayudar a los alumnos a entender el resul-
tado 3/4, Este modo de trabajo impregna en los alumnos la idea de
que, usando diferentes materiales, es posible responder a las cues-
tiones que se proponen en el aula. Ahora bien, quien recurre à uma
explicación como la número 1 no pone en funcionamiento ningún
tipo de exploración; no requiero de hingún modo de representa-
sión; no apela a recursos matemáticos, como los de las relaciones
‘entre fracciones, la idea de mia, te, que son el soporte sobre el
_£ual estamos identificando la actividad matemática. Y más aún,
quien recure a ese tipo de material no pockía decidir si el resul-
tado es casualidad, el resutado debería ser ese y no podía ser
oro. No aparece cn escena ningún argumento que permía estar
seguro de lo que se obiiene
A esto, podemos agregar el hecho de la imposibilidad de que
las medidas scan exactas, no por culpa de los instrumentos que se
utlicen, sio debido a que el hecho de medir siempre acarıca un
<ierto margen de ero, ya sea por el ojo que mia, por la bolsa que
no pesa justo medio kilo o por la balanza, que podria no funcio-
ar correctamente
Se transcriben a continuación dos páraos que apuntan en la
misma dirección de lo que se está planteando,
La Matemática es una dischlina que permite conocer e resul-
‘ado de algunas experiecias sin necesidad de reizaras elec
‘ivamente por otro lado, para que la actividad motemética sea
realmente anteipatoria de la experiencia, es necesario estar
seguro de que esa aticipación uc realizada correctamente, en
¡tas palabras, es necesario validar la anécipacién, Corti herra
Inients que permitan obtener resultados sobre aspectos de la
realidad sin necesidad de realizar experiencias cctv y ves
ponsbilzase matemáticamente por la validez de eos sul.
tados son, desde nuesta perspectiva, dos aspects includes
del quehacer matemático escolar.
ub eventos pr Het and sede rare unit + 21
Debemos corsiderar- como suficientemente comprobada la
imposbliéed do determina midindalscrecamnte la mayoría
de ls tamaños que deseamos conocer Es ste hecho ger
el que ige la formación de la ciencia matemática. Pues,
renunciando, en casi tes los casos, a La medida inmediata de
los tamaños, el ep humano tuvo que buscar cómo deter
minados indirectamente, y así fae como se vio conducido a
creaciôn de la matemática. La matemática result de un ardid,
de un sesgo, en el cual la ruta "indirecta permite acceder a
aquello que no consigue una práctica inven’.
2 Es decir cuando se comienza a tratar con cantidades que no pue
den ser “manipuladas”, no queda otra posibilidad que anvcipare y
establecer relacions que permitan explica os resullados que se van
abteniendo,
Una cuestión que ha dado luar muchos discusiones en in
tos moments de la ensoñonzo de la Matemática se reine al
lugar que ocupa — sobre todo, en los primeros grados— la il
zación de material concreto para producir resultados pata
«comprobaros, Hay distimas manera de recur al uso de este
tio de materiales. Supongamos por ejemplo que, en primer
ado, se les propone a los alumoos la siguiente ivación: un
niño pasa al rente y pone, ala vista de todos, 7 chapas en ana
«aja después pasa tro niño y pone, también la vista de dos,
8 chaps. Se ls pide a lo niños que encuentren una manera
de saber cuánta ehapitas hay cn la caja. Lizardo divisas
trat 3, los niños obra un rsullach Si, pora corsa
lo, ls niños cuentan las apias de la caja, ert haciendo,
una comprobación empiric. Si, en cambio, e excluye la pos
ad de acción efectiva sobr ls ebjers y se pie a los ch
os que muestren mediante argumentos que su tea es
eco, in cobrado emplicamene, evn haciendo una
validación de Upo agumematio.
ES necesario señalar que, cundo las comparbaciores son de tipo
‘empitico, es imprescindible progoner Ia anticipación de los
IN eg GT AS
problemas. Tal es el caso de la explicación 1 que se propone. Es
decir, sostienen que el recurso del “material concreto”, en este
caso la balanza, podria ayudar a los alumnos a entender el resul-
tado 3/4, Este modo de trabajo impregna en los alumnos la idea de
que, usando diferentes materiales, es posible responder a las cues-
tiones que se proponen en el aula. Ahora bien, quien recurre à uma
explicación como la número 1 no pone en funcionamiento ningún
tipo de exploración; no requiero de hingún modo de representa-
sión; no apela a recursos matemáticos, como los de las relaciones
‘entre fracciones, la idea de mia, te, que son el soporte sobre el
_£ual estamos identificando la actividad matemática. Y más aún,
quien recure a ese tipo de material no pockía decidir si el resul-
tado es casualidad, el resutado debería ser ese y no podía ser
oro. No aparece cn escena ningún argumento que permía estar
seguro de lo que se obiiene
A esto, podemos agregar el hecho de la imposibilidad de que
las medidas scan exactas, no por culpa de los instrumentos que se
utlicen, sio debido a que el hecho de medir siempre acarıca un
<ierto margen de ero, ya sea por el ojo que mia, por la bolsa que
no pesa justo medio kilo o por la balanza, que podria no funcio-
ar correctamente
Se transcriben a continuación dos páraos que apuntan en la
misma dirección de lo que se está planteando,
La Matemática es una dischlina que permite conocer e resul-
‘ado de algunas experiecias sin necesidad de reizaras elec
‘ivamente por otro lado, para que la actividad motemética sea
realmente anteipatoria de la experiencia, es necesario estar
seguro de que esa aticipación uc realizada correctamente, en
¡tas palabras, es necesario validar la anécipacién, Corti herra
Inients que permitan obtener resultados sobre aspectos de la
realidad sin necesidad de realizar experiencias cctv y ves
ponsbilzase matemáticamente por la validez de eos sul.
tados son, desde nuesta perspectiva, dos aspects includes
del quehacer matemático escolar.
ub eventos pr Het and sede rare unit + 21
Debemos corsiderar- como suficientemente comprobada la
imposbliéed do determina midindalscrecamnte la mayoría
de ls tamaños que deseamos conocer Es ste hecho ger
el que ige la formación de la ciencia matemática. Pues,
renunciando, en casi tes los casos, a La medida inmediata de
los tamaños, el ep humano tuvo que buscar cómo deter
minados indirectamente, y así fae como se vio conducido a
creaciôn de la matemática. La matemática result de un ardid,
de un sesgo, en el cual la ruta "indirecta permite acceder a
aquello que no consigue una práctica inven’.
2 Es decir cuando se comienza a tratar con cantidades que no pue
den ser “manipuladas”, no queda otra posibilidad que anvcipare y
establecer relacions que permitan explica os resullados que se van
abteniendo,
Una cuestión que ha dado luar muchos discusiones en in
tos moments de la ensoñonzo de la Matemática se reine al
lugar que ocupa — sobre todo, en los primeros grados— la il
zación de material concreto para producir resultados pata
«comprobaros, Hay distimas manera de recur al uso de este
tio de materiales. Supongamos por ejemplo que, en primer
ado, se les propone a los alumoos la siguiente ivación: un
niño pasa al rente y pone, ala vista de todos, 7 chapas en ana
«aja después pasa tro niño y pone, también la vista de dos,
8 chaps. Se ls pide a lo niños que encuentren una manera
de saber cuánta ehapitas hay cn la caja. Lizardo divisas
trat 3, los niños obra un rsullach Si, pora corsa
lo, ls niños cuentan las apias de la caja, ert haciendo,
una comprobación empiric. Si, en cambio, e excluye la pos
ad de acción efectiva sobr ls ebjers y se pie a los ch
os que muestren mediante argumentos que su tea es
eco, in cobrado emplicamene, evn haciendo una
validación de Upo agumematio.
ES necesario señalar que, cundo las comparbaciores son de tipo
‘empitico, es imprescindible progoner Ia anticipación de los
IN eg GT AS
22 + ta rent or
resultados que luego se lerán en la comprobación en la stun-
«ión dela caja los niños primero anticipan y luego corobo-
an), De esa mare, en este juego de anticipación-validación
argumenativoconeboración empíca, los niños irán descu-
torino que ls resultados que oniene son una consecuencia
casa de huber puesto en funcionamiento cies her
mientas del aporalo matemático, Sin esta aticipación, los
niños manipulan material, y los resultados que obtienen son
producto de una contingencia se obruvieron estos, per podrían
haberse obtenido oros). En ots palabras sino hoy arica
«ción entre aiciación y comprobación emp, esta hima
se plates 810 conselación 3 el misma; y sus resultados no se
integran à ninguna organización de conccimiento específica.
Es nocesaio señalar que cuando la comprobación es emplrica,
ess relación de neceswiedad ene las socios realizado para
antcipary los resultados leis en a comboración no puede
independizase del contexto particular an el quese desamol.
¿esla ost afmaciön un argumento pora descartar las com
probacionesúmplicas! De ninguna manera hacemos esa ase:
ración. Las comprobaciones de tipo experimental hacen posible
una interacción entr lee modelos mstemálicos que lo niños van
elaborando y los asrtos del rend que son modelizables à
través de Is hormonas matemáticas Sin eta interacción, los
ios no tendran posiblidad de hacer funcionar esos modelos,
de ponerlos pruebo. Concluimos entonces que, cuando ls
consataiones empires se plantean como una verfcacón de
quello quese ho anticipado, se empieza a hacer observa la
tencia de la matemötca como Renramiento.que permito at
«aros rela de experiencias no realizados.
at endo or Asien ud
meollo! + 23
«capacidad de abstacción suficiente pra perc los contenidos
«conceptuales que ls sn propuestos —lo que la rnclagía lam
ba hace cas un slo y meto, “la joroba de los matemáticos” —
La segunda interpretación propues por la sociología educa
«ión explico que algunos ños padecen de discapacidades socio
(ale, que carecen del capital cultural necesario para manejar
un lenguaje braco y acceder así unieso mario.
sas dos tesis, una biogenGicay [a ota sociculural, son muy
(iferentes pero paren de un postulado común: Is cancepios,
los conocimiento, ls culturas están consideradas como dadas
y e ansmien als herederos bajo La forma de dew natural o
capital sociocultural
A esa idea de una matemática dada, bajo una u ota forma,
contapango la idea de una materia consid día inclu
so, uizanda de una manero un poco prowocalva el vocal
Taro de la técnico, una matemática fabricada. La actividad
matemática no es mira y descubri. es rea, producir, fabricar.
Los conceptos matemáticos no sön un bien cultural sido,
Ferediriament como un don o sociaimente como un capita
sino el rsa de un abajo del pensamiento, el abajo de
los matemáticos a avs e lo historia el del iño través de su
aprendizaje. El Don y el Capital de un lado, el Trabajo del os
empleo esos éxminos intencionalmente para que se pueda
comprender mejor cul es el problema de fondo planteado por
la democratización de la onsoñarza de la Matemática. Fla
démocrate implica una urs que no eur al ámbito de:
las aptitudes naturals o del ento sociocultural om un senti
do vago del rin, sino que es una ruptura social en el seno,
elas prácticas mers de nsoñanza. Hacer matemdica no cor
siste en una actividad que permita un pequeño grupo de el
idos por la malualeza por la ultra el acceso à un mundo
‘Quo aspecto que nos parece interesane waar se vincula con las pos
bilidades que tienen —o no— los alumnos de nuestas escuelas para
“entrar en este juego”. En eso sentido, circulan varas inexpretaciones,
‘muy particular por su absaceide, Hacer matemática es un ae
bajo del pensamiento, que cansru los concepos para res
ver problemas, que planiea ruses problemas a parir de
conceptos as const, que ect los conceptos para
sesolver problemas nuevos, que generaliza y unica poco a poe»
los concepts n os universes matemáticos quese aula entre
ellos, se estructura, se desestruciuran y se reestucturan sin
cesar, Dermocraiza la enseñanza de la Motemálica supone en
ivinciio que se compa con una concepción elisa de un
or un ado, la interpelación biológica que hoy se adoma de:
arguments con pretensiones penca, per retoma de hecho el
sexo sobre la intigncia que tenía Pistón hace weinicinco
siglos las malomáticas están dadas a quieres ener un don, um
resultados que luego se lerán en la comprobación en la stun-
«ión dela caja los niños primero anticipan y luego corobo-
an), De esa mare, en este juego de anticipación-validación
argumenativoconeboración empíca, los niños irán descu-
torino que ls resultados que oniene son una consecuencia
casa de huber puesto en funcionamiento cies her
mientas del aporalo matemático, Sin esta aticipación, los
niños manipulan material, y los resultados que obtienen son
producto de una contingencia se obruvieron estos, per podrían
haberse obtenido oros). En ots palabras sino hoy arica
«ción entre aiciación y comprobación emp, esta hima
se plates 810 conselación 3 el misma; y sus resultados no se
integran à ninguna organización de conccimiento específica.
Es nocesaio señalar que cuando la comprobación es emplrica,
ess relación de neceswiedad ene las socios realizado para
antcipary los resultados leis en a comboración no puede
independizase del contexto particular an el quese desamol.
¿esla ost afmaciön un argumento pora descartar las com
probacionesúmplicas! De ninguna manera hacemos esa ase:
ración. Las comprobaciones de tipo experimental hacen posible
una interacción entr lee modelos mstemálicos que lo niños van
elaborando y los asrtos del rend que son modelizables à
través de Is hormonas matemáticas Sin eta interacción, los
ios no tendran posiblidad de hacer funcionar esos modelos,
de ponerlos pruebo. Concluimos entonces que, cuando ls
consataiones empires se plantean como una verfcacón de
quello quese ho anticipado, se empieza a hacer observa la
tencia de la matemötca como Renramiento.que permito at
«aros rela de experiencias no realizados.
at endo or Asien ud
meollo! + 23
«capacidad de abstacción suficiente pra perc los contenidos
«conceptuales que ls sn propuestos —lo que la rnclagía lam
ba hace cas un slo y meto, “la joroba de los matemáticos” —
La segunda interpretación propues por la sociología educa
«ión explico que algunos ños padecen de discapacidades socio
(ale, que carecen del capital cultural necesario para manejar
un lenguaje braco y acceder así unieso mario.
sas dos tesis, una biogenGicay [a ota sociculural, son muy
(iferentes pero paren de un postulado común: Is cancepios,
los conocimiento, ls culturas están consideradas como dadas
y e ansmien als herederos bajo La forma de dew natural o
capital sociocultural
A esa idea de una matemática dada, bajo una u ota forma,
contapango la idea de una materia consid día inclu
so, uizanda de una manero un poco prowocalva el vocal
Taro de la técnico, una matemática fabricada. La actividad
matemática no es mira y descubri. es rea, producir, fabricar.
Los conceptos matemáticos no sön un bien cultural sido,
Ferediriament como un don o sociaimente como un capita
sino el rsa de un abajo del pensamiento, el abajo de
los matemáticos a avs e lo historia el del iño través de su
aprendizaje. El Don y el Capital de un lado, el Trabajo del os
empleo esos éxminos intencionalmente para que se pueda
comprender mejor cul es el problema de fondo planteado por
la democratización de la onsoñarza de la Matemática. Fla
démocrate implica una urs que no eur al ámbito de:
las aptitudes naturals o del ento sociocultural om un senti
do vago del rin, sino que es una ruptura social en el seno,
elas prácticas mers de nsoñanza. Hacer matemdica no cor
siste en una actividad que permita un pequeño grupo de el
idos por la malualeza por la ultra el acceso à un mundo
‘Quo aspecto que nos parece interesane waar se vincula con las pos
bilidades que tienen —o no— los alumnos de nuestas escuelas para
“entrar en este juego”. En eso sentido, circulan varas inexpretaciones,
‘muy particular por su absaceide, Hacer matemática es un ae
bajo del pensamiento, que cansru los concepos para res
ver problemas, que planiea ruses problemas a parir de
conceptos as const, que ect los conceptos para
sesolver problemas nuevos, que generaliza y unica poco a poe»
los concepts n os universes matemáticos quese aula entre
ellos, se estructura, se desestruciuran y se reestucturan sin
cesar, Dermocraiza la enseñanza de la Motemálica supone en
ivinciio que se compa con una concepción elisa de un
or un ado, la interpelación biológica que hoy se adoma de:
arguments con pretensiones penca, per retoma de hecho el
sexo sobre la intigncia que tenía Pistón hace weinicinco
siglos las malomáticas están dadas a quieres ener un don, um
24 + arios
mundo abc que et pors mismo y que sólo sea act
‘lea algunos y que so pers, en cambio, la actividad matemática
«some un aj cuyo dominio sea acceiló odos.
A continuación, proponemos otro tipo de tarea que se desarrolla
hacia el interior del trabajo matemático,
Determinación de un dominio de validez. Generalización
Una parte de! trabajo matemático involucra la producción de pro-
piedades algunas pueden ser reconocidas y asta designase como
teoremas o Coroarios, En llas, los enunciados o las relaciones que
se establecen adquieren un carácter general, lo que determina para
al in un dominio de validez, s dec, se explctan las condiciones
“a partir de las cuales una colección de obj ratemáticos (los
ules rectángulos, por ejemplo) cumplen una cleta propiedad o
relación. Por ejémplo, el enunciado del Teorema de Piágoras: “En
Toco trángulorecóngulo, la suma de los cuadrados de os cattos es
igual al cuadrado de la hiporenusa”, En esta afirmación, se establece
tin dominio de validez: todos los triángulos rectángulos —y no,
todos ls triángulos —
Por otro lado, esas condiciones adquieren un cierto nivel de con-
vencionalidaden la formulación, apelando a un vocabulario mínimo
necesario para poder socializaras. Por ejemplo, a + b’ = a, siendo
ay blos caets; yd, le hipotnusa.
Le proponemos, ahora, desarollar la
apunta en el senido de lo antedicho:
iguiente actividad, que
| pensar us mácnoss
Kesuela los siguientes problemas intenando hacer explícitas las cues-
tiones que tuvo en cuenta para encontar, establecer o producir las
condiciones 9 un dominio de validez.
he condos er tés doe de muera cat? + 25
Problema
Sea ABC un vial, Se cbuja una recta que contenga cl lado AC. y
se macan dos puntos P y Q de manera que PC = AQ y we A
quateente Q y C, mientas que C queda entre Py A. ¿Cuáles son ls
conciciones para quee ingle QBP sen isle?”
Problema:
La expresión decimal de cade una de as siguientes acciones puede sr
escrita con "dos cifras después de la coma“: 7.; 37 ; 48.
PHS
scr cuatro facciones cuya expresión decimal pueda ser escrita con
“dos cias después dela coma”.
¿Qué carats deber ten una facción para que su cxpresón
diia pued ser ect con “do cias después de I coma”?
Para resolver el problema 1 de la actividad anterior, un punto de
parida posible es la construcción de figuras de análisis que permitan
“comprender un poco más de qué se tata. Si cl dibujo que se realiza
es como el siguiente:
resulta claro que, in ringún tipo de información más all del dibu-
Jo, noes posible garantizar que el triángulo QBP sea sóscels (deja.
‘Mos esta tarea al lector. Sin embargo, es posible vislumbrar una
‘onjetura: sie triángulo ABC es isósceles, parecería ser que el in
glo QUP también lo es.
oa +
Fo ON LPS inca camas do Me om
mundo abc que et pors mismo y que sólo sea act
‘lea algunos y que so pers, en cambio, la actividad matemática
«some un aj cuyo dominio sea acceiló odos.
A continuación, proponemos otro tipo de tarea que se desarrolla
hacia el interior del trabajo matemático,
Determinación de un dominio de validez. Generalización
Una parte de! trabajo matemático involucra la producción de pro-
piedades algunas pueden ser reconocidas y asta designase como
teoremas o Coroarios, En llas, los enunciados o las relaciones que
se establecen adquieren un carácter general, lo que determina para
al in un dominio de validez, s dec, se explctan las condiciones
“a partir de las cuales una colección de obj ratemáticos (los
ules rectángulos, por ejemplo) cumplen una cleta propiedad o
relación. Por ejémplo, el enunciado del Teorema de Piágoras: “En
Toco trángulorecóngulo, la suma de los cuadrados de os cattos es
igual al cuadrado de la hiporenusa”, En esta afirmación, se establece
tin dominio de validez: todos los triángulos rectángulos —y no,
todos ls triángulos —
Por otro lado, esas condiciones adquieren un cierto nivel de con-
vencionalidaden la formulación, apelando a un vocabulario mínimo
necesario para poder socializaras. Por ejemplo, a + b’ = a, siendo
ay blos caets; yd, le hipotnusa.
Le proponemos, ahora, desarollar la
apunta en el senido de lo antedicho:
iguiente actividad, que
| pensar us mácnoss
Kesuela los siguientes problemas intenando hacer explícitas las cues-
tiones que tuvo en cuenta para encontar, establecer o producir las
condiciones 9 un dominio de validez.
he condos er tés doe de muera cat? + 25
Problema
Sea ABC un vial, Se cbuja una recta que contenga cl lado AC. y
se macan dos puntos P y Q de manera que PC = AQ y we A
quateente Q y C, mientas que C queda entre Py A. ¿Cuáles son ls
conciciones para quee ingle QBP sen isle?”
Problema:
La expresión decimal de cade una de as siguientes acciones puede sr
escrita con "dos cifras después de la coma“: 7.; 37 ; 48.
PHS
scr cuatro facciones cuya expresión decimal pueda ser escrita con
“dos cias después dela coma”.
¿Qué carats deber ten una facción para que su cxpresón
diia pued ser ect con “do cias después de I coma”?
Para resolver el problema 1 de la actividad anterior, un punto de
parida posible es la construcción de figuras de análisis que permitan
“comprender un poco más de qué se tata. Si cl dibujo que se realiza
es como el siguiente:
resulta claro que, in ringún tipo de información más all del dibu-
Jo, noes posible garantizar que el triángulo QBP sea sóscels (deja.
‘Mos esta tarea al lector. Sin embargo, es posible vislumbrar una
‘onjetura: sie triángulo ABC es isósceles, parecería ser que el in
glo QUP también lo es.
oa +
Fo ON LPS inca camas do Me om
26 > taa cr
Dejamos al lector la area de demostrar que si ABC es isösceles,
+ iángulo QBP también lo es.
Pero hay que considerar también que el triángulo ABC debe tener,
en 8, el vértice donde confluyen los lados iguales. Caso contrario,
podría no verficase que se cumpla la condición tratada.
ste trabajo permite retomar el enunciado del problema 1 y con
veril en la siguiente afirmación: “Si un triángulo ABC es isésceles,
(con AR = BC, se dibuja una recta que contenga el lado AC, se mar.
can dos puntos P y Q de manera tal que PC = AQ y que A quede
entre Q y €, mientras que C queda entre P y A, entonces el ing
lo QBP también es isóscees”
Es deci, se han analizado y establecido cuáles son las condicio-
nes para que se verifique una propiedad, Est tipo de tarea también
forma parte de la actividad matemática.
Fl problema 2 de la actividad anterior apunta en la misma dirección
Es decir finalmente e taa de encontrar cuáles son las condiciones que
debe cumplir una fracción para que pueda ser representada con una.
expresión decimal que incluya hasta los contésiros, rocordemos que,
para que una fracción cumpla con estas condiciones, será necesario
que dicha facción sea equivalente a alguna con denominador 100.
Se tata, entonces, de un abajo que involucra la posibilidad de pro-
ducir relaciones que se cumplen cuando se verifican ciertas condicio-
nes. ol estudio es precisamente a búsqueda do tales condiciones.
La construcción de un modelo
¡Numerosos autores (Chevallard, 1989; Gascón, 2000; Sacovsky,
2005) identifican la actividad matemática como una actividad de
modelización. O sea:
muy sucitament, podemos decir que yn proceso de
modelización supone, prime lugar era una cier ro
blemsics Fort una tela genrelmente compleja en la
ue inendenen muchos más elementos delos que uno va a
considera, Meter un conjunto de varihles sobre dicha
problemática, producir —o unlizar— relaciones perinentes
out vente pa gico sa de rta eos + 27
estelas variables tomadas en cuna y trsesfomar esas rela
ones uilizando algún Ka teórico-matemálico, con el
objetivo de produc nat imlentos nuevos obre ls problems:
à que se estudia”
PNSAR LAS PRÁCTICAS
Le proponemos que resuciva el siguiente problems, intentando ident
fiar aquellas taras que despliegan y que pisan asociarse, de alguna
‘manera con la idea de modelización.
Problemas
3.50 saho que, con 3 sobres de jugo, alcanza para preparar bebide para
10 personas. ¿Cómo se pode haeer para saber cunas personas pue-
den tomar con 6, 9 y 12 sobres de jugo?
b.Alcambiae de marca, sé conoce que, con 3 sobres para jugo, se pre
para bebida para 15 personas. ¿Cuántas personas podrán tomar con 7,
Y y 14 sobres?
Una terra maca permite saber que, con A sobre, alcanza para prepa
rar jugo pare 10 pesonas. ¿Cuántas persons poción tomar con 10 y con
Vases?
Una de Jas cuestiones que están presentes en este problema os la
idea do variables, Si bien, en este caso, las variables “vienen” con el
À problema (sobres de jugo y personas que beben) y no deben ser
seleccionadas, ol Iratamiento de els y la elaboración de relaciones
entre ellas es pate del trabajo que plantea el enunciado de cada tem.
Por otro lado, hay un aspecto vinculado con cl trabajo de mode.
lización que no ha sido aún mencionado en este apartado, aunque
anteriormente la elección de un modo de representación que favo-
rezca el abordaje del problema, En este caso, las tablas de valores
Poctían ser una representación fil para su tratamiento.
ee ee)
Dejamos al lector la area de demostrar que si ABC es isösceles,
+ iángulo QBP también lo es.
Pero hay que considerar también que el triángulo ABC debe tener,
en 8, el vértice donde confluyen los lados iguales. Caso contrario,
podría no verficase que se cumpla la condición tratada.
ste trabajo permite retomar el enunciado del problema 1 y con
veril en la siguiente afirmación: “Si un triángulo ABC es isésceles,
(con AR = BC, se dibuja una recta que contenga el lado AC, se mar.
can dos puntos P y Q de manera tal que PC = AQ y que A quede
entre Q y €, mientras que C queda entre P y A, entonces el ing
lo QBP también es isóscees”
Es deci, se han analizado y establecido cuáles son las condicio-
nes para que se verifique una propiedad, Est tipo de tarea también
forma parte de la actividad matemática.
Fl problema 2 de la actividad anterior apunta en la misma dirección
Es decir finalmente e taa de encontrar cuáles son las condiciones que
debe cumplir una fracción para que pueda ser representada con una.
expresión decimal que incluya hasta los contésiros, rocordemos que,
para que una fracción cumpla con estas condiciones, será necesario
que dicha facción sea equivalente a alguna con denominador 100.
Se tata, entonces, de un abajo que involucra la posibilidad de pro-
ducir relaciones que se cumplen cuando se verifican ciertas condicio-
nes. ol estudio es precisamente a búsqueda do tales condiciones.
La construcción de un modelo
¡Numerosos autores (Chevallard, 1989; Gascón, 2000; Sacovsky,
2005) identifican la actividad matemática como una actividad de
modelización. O sea:
muy sucitament, podemos decir que yn proceso de
modelización supone, prime lugar era una cier ro
blemsics Fort una tela genrelmente compleja en la
ue inendenen muchos más elementos delos que uno va a
considera, Meter un conjunto de varihles sobre dicha
problemática, producir —o unlizar— relaciones perinentes
out vente pa gico sa de rta eos + 27
estelas variables tomadas en cuna y trsesfomar esas rela
ones uilizando algún Ka teórico-matemálico, con el
objetivo de produc nat imlentos nuevos obre ls problems:
à que se estudia”
PNSAR LAS PRÁCTICAS
Le proponemos que resuciva el siguiente problems, intentando ident
fiar aquellas taras que despliegan y que pisan asociarse, de alguna
‘manera con la idea de modelización.
Problemas
3.50 saho que, con 3 sobres de jugo, alcanza para preparar bebide para
10 personas. ¿Cómo se pode haeer para saber cunas personas pue-
den tomar con 6, 9 y 12 sobres de jugo?
b.Alcambiae de marca, sé conoce que, con 3 sobres para jugo, se pre
para bebida para 15 personas. ¿Cuántas personas podrán tomar con 7,
Y y 14 sobres?
Una terra maca permite saber que, con A sobre, alcanza para prepa
rar jugo pare 10 pesonas. ¿Cuántas persons poción tomar con 10 y con
Vases?
Una de Jas cuestiones que están presentes en este problema os la
idea do variables, Si bien, en este caso, las variables “vienen” con el
À problema (sobres de jugo y personas que beben) y no deben ser
seleccionadas, ol Iratamiento de els y la elaboración de relaciones
entre ellas es pate del trabajo que plantea el enunciado de cada tem.
Por otro lado, hay un aspecto vinculado con cl trabajo de mode.
lización que no ha sido aún mencionado en este apartado, aunque
anteriormente la elección de un modo de representación que favo-
rezca el abordaje del problema, En este caso, las tablas de valores
Poctían ser una representación fil para su tratamiento.
ee ee)
28 + antannsiscsee
aa dpi a
(Cail de sobre de jus [6 [A
[anida de pesonas que pueden bebe | 10
Pan punto
{Caridad de sobres de jugo apa
[Cantidad de peras que pueden beber | 15
Parce. _
Cantidad de sobre de jugo as [wa
‘(Cantidad de personas que pueden beber | 10
* Seguramente, el lector reconocerá que la proporcionalidad resulta
Gn modelo pertinente par resolver ete problema, en ete caso com
* pletando la abl. i
Fara completar la tabla correspondiente al punto a, es posible
recurrir propiedades válidas enel modelo: e dec, al doble de can
tidad de sobres, el doble de personas, al tile, e ple, ecétra.
Para la tabla del punto b, al no poder pensar del mismo modo.
| que para el punto a, se abre la posibilida de idenificar bi constan-
16 de proporcionalidad: todos os valores corespondientes a aid
dl sobres, al er mulliplicads fr 5, permiten conocerla canidad de
personas que pueden tomar jugo.
En tato que para el puno €, como con 4 sobres toman 10 per-
sonas, con 2 sobres, alcanzará para 3 personas. De alle podrá iden
tificar que, con 6 sobres, pueden bober 15 personas:
[Cantidad de sobres dejogo T4 [2 | 6 [10 fé
Cantidad de personas que 7
pueden beber 0 | 5 [15
severas mnt + 29
Evidentemente, algunas de esta relaciones entre las variables pue- =
den ser conocidas y uilizaa, en tanto que otras deberán serintero- _ =
adas 6 producidas
En este primer capitulo, hemos tratado de explicitar algunos
aspecios del trabajo matemático que nus parecen fundamentales
para pensara enseñanza de esta disciplina. Sete e el modo.en que
| concebimos la actividad matemática, es esperable qué él pueda
cisarolrs en las clases de Matemática, de manera tal que los
alumnos tengan la oportunidad de aproximarse y, por qué no, de
apropiarse, no sóla de ciets conocimientos matemáticos, sino tm
bién, del modo en que se trabaia para producidos. :
aa dpi a
(Cail de sobre de jus [6 [A
[anida de pesonas que pueden bebe | 10
Pan punto
{Caridad de sobres de jugo apa
[Cantidad de peras que pueden beber | 15
Parce. _
Cantidad de sobre de jugo as [wa
‘(Cantidad de personas que pueden beber | 10
* Seguramente, el lector reconocerá que la proporcionalidad resulta
Gn modelo pertinente par resolver ete problema, en ete caso com
* pletando la abl. i
Fara completar la tabla correspondiente al punto a, es posible
recurrir propiedades válidas enel modelo: e dec, al doble de can
tidad de sobres, el doble de personas, al tile, e ple, ecétra.
Para la tabla del punto b, al no poder pensar del mismo modo.
| que para el punto a, se abre la posibilida de idenificar bi constan-
16 de proporcionalidad: todos os valores corespondientes a aid
dl sobres, al er mulliplicads fr 5, permiten conocerla canidad de
personas que pueden tomar jugo.
En tato que para el puno €, como con 4 sobres toman 10 per-
sonas, con 2 sobres, alcanzará para 3 personas. De alle podrá iden
tificar que, con 6 sobres, pueden bober 15 personas:
[Cantidad de sobres dejogo T4 [2 | 6 [10 fé
Cantidad de personas que 7
pueden beber 0 | 5 [15
severas mnt + 29
Evidentemente, algunas de esta relaciones entre las variables pue- =
den ser conocidas y uilizaa, en tanto que otras deberán serintero- _ =
adas 6 producidas
En este primer capitulo, hemos tratado de explicitar algunos
aspecios del trabajo matemático que nus parecen fundamentales
para pensara enseñanza de esta disciplina. Sete e el modo.en que
| concebimos la actividad matemática, es esperable qué él pueda
cisarolrs en las clases de Matemática, de manera tal que los
alumnos tengan la oportunidad de aproximarse y, por qué no, de
apropiarse, no sóla de ciets conocimientos matemáticos, sino tm
bién, del modo en que se trabaia para producidos. :
¿caros
Los números naturales
y el sistema de numeración
La intención de este capítulo es compartir con el lector un
enfoque para la enseñanza del sistema de numeración y de las
© operaciones. A partir delos aportes delas investigaciones recien:
des sobre la apropiación de estos contenidos por parte de los
alumnos, se contempla.la complejidad de este aprendizaje, y se
proponen aproximacionos sucesivas. Así, se propician variadas y
ada vez mis profundas relaciones entr las números, que po
Bilan la comprensión del sistema posicional-decimal y la utiliza:
ciôn de estos conocimientos en problemas y en cálculos,
4
‚ El sistema de numeración: convenciones y complejidades
El hecho de que el sistema de numeración sea un conocimiento
EE que utilizamos permanentemente, a veces, nos hace perder de vista
a compleidad que enciema su funcionamiento y las dificultades que,
en consecuencia, pueden encontrar aquellos que están intentando
aprender esc objeto matemático.
‘Nuestro sistema de numeración es una creación cultural con
“caractersticas propias, que diieren de las de otros sistemas pertene-
‚tesa tras culturas. Como cualquier objeto de construcción cul
‘ural, es una convención y, como tal, arbitaria; por lo tanto, la
posiblidad de que este sistema pueda ser aprendido por las nuevas.
feneraciones depende de la enseñanza.
Los diversos enfoques para enseñar nuestro sistema de numera-
>. ción dan cuenta de varados esfuerzos que la escuela ha producido
Los números naturales
y el sistema de numeración
La intención de este capítulo es compartir con el lector un
enfoque para la enseñanza del sistema de numeración y de las
© operaciones. A partir delos aportes delas investigaciones recien:
des sobre la apropiación de estos contenidos por parte de los
alumnos, se contempla.la complejidad de este aprendizaje, y se
proponen aproximacionos sucesivas. Así, se propician variadas y
ada vez mis profundas relaciones entr las números, que po
Bilan la comprensión del sistema posicional-decimal y la utiliza:
ciôn de estos conocimientos en problemas y en cálculos,
4
‚ El sistema de numeración: convenciones y complejidades
El hecho de que el sistema de numeración sea un conocimiento
EE que utilizamos permanentemente, a veces, nos hace perder de vista
a compleidad que enciema su funcionamiento y las dificultades que,
en consecuencia, pueden encontrar aquellos que están intentando
aprender esc objeto matemático.
‘Nuestro sistema de numeración es una creación cultural con
“caractersticas propias, que diieren de las de otros sistemas pertene-
‚tesa tras culturas. Como cualquier objeto de construcción cul
‘ural, es una convención y, como tal, arbitaria; por lo tanto, la
posiblidad de que este sistema pueda ser aprendido por las nuevas.
feneraciones depende de la enseñanza.
Los diversos enfoques para enseñar nuestro sistema de numera-
>. ción dan cuenta de varados esfuerzos que la escuela ha producido
32 + asentar
los alumnos de grados bajos. En algunos de esos intentos, se oscila
entre una banalización y una naturalización del objeto. Es deci, se
Jo trarsforma baralizändolo como si no fuera complejo y al mismo,
Kiempo, se lo trata como si su apropiación fuera ratura o espontá-
ea. Las reas del sistema de numeración, lejos de sr “naturales”,
son producto de a laboración de un conjunto de convenciones que
demandaron siglos para que los seres humanos las consruyeran.
Por otra parte —y como veremos más adetante—, desde muy chi-
«os, los niños poseen conceptualizaciones acerca del sistema. EI
gran desafío para la enseñanza es lograr vincular tales conceptual
Zaciones de los niños con los saberes considerados válidos, El pro»
ma didáctico al que se enfrentan los docentes, entonces, es lograr
ar un objeto complejo produciendo argumentaciones al nivel
del conocimiento de los alumnos, Para eso, los maestros deben rea-
lizacuna reconstrucción de ese objeto que lo haga apropiable por los
que aún no disponen del conocimionto acaba en el momento en
el que tienen que estudiaro. Esto hace necesario "desnaturalizar”
"nuesto saber Adulto sobre las reglas que rigen nuesto sistema, de
modo de no pensarlas como si sólo conformaran una técnica de tra-
ducción de las cantidades a una versión gráfica, para la que única»
ment hay que aprender ls reglas que regulan ess traducción,
Dijimos que tal reconsuucción se elabora teniendo en cuenta los
«conocimientos disponibles delos alumnos como punto de partida, Si
se quiere que los alumnos hagan matemático, entonces habrá que
respetar esos conotimientos y al mismo tiempo, reconocer su carác»
{er provisorio. Cuando, enel Segundo Ciclo, los alumnos aborden el
estudio de los números racionales, descubrirán que las relaciones y
las propiedades aprendidas a propósito del estudio de los naturales
no son adecuadas para comprender el funcionamiento de este nuevo
‘campo numérico. Esa revisión de lo “viejo” a parir del aprendizaje
de lo nuevo permitirá laresgnificación de los números naturales y la
construcción con sentido de los números racionales
dos io a ren denuncian + 33
Las reglas y las características de nuestro sistema de numeración
Para poder pensar en una enseñanza con las caracteísicas des-
crpts, es necesario definir en qué sentido afirmamos que nuestro
sistema de numeración es complejo. Para eo, detallamos sus carac-
dersticas principales
1. Elistema está compuesto de 10 signos que, combinados entre
si, pueden represenar cualquier número
2. Es un sistema decimal porque está organizado en base 10, es
2 ‚ect, que cada unidad de un orden equivale a 10 unidades
oe Yel orden anterior. Ef wim Alam. de
3. Además, es un sistema posicional, porque la misma cia’
adquiere diferente valor según La pusición que ocupe en un
número; por ejemplo la cía 7 vale diferente en , 70, 700,
‘etc, Esta organización procura una enorme economía tanto
Pare arta para ro mos, como también. para pe.
rar con ellos
4. Se escribe en un orden decreciente de izquierda a derecha; las
cias que representan cantidades mayors, a la izquierdo y
las menores, a la derecha. Ss
5. Incluye el cero,
6. Entre dos nümeros de la misma cantidad de cita, es mayor el
que tiene ala izquierda el número mayor.
7. Ente dos nümeros de diferente camidad decis, es mayor !
que tiene más cias.
Por su organización decimal, el valor de cada posición, de dere-
‚ha a izquierda, comesponde a las potoncias sucesivas de 10. As los
| valores de las posiciones consecutivas son los siguientes:
10,10% 10% 10°: 10°
Es dec
= 10.000; 1.090 ; 100; 10; 1
Cada ira de un número coresponde, entonces, al coeficiente
E porel cual se multiplica dicha potencia de la base. Por ejemplo, para
487, e valor de cada una de sus ca sera el siguiente:
2x 10! +4 x 10 à 8x 10° + 7x 10
los alumnos de grados bajos. En algunos de esos intentos, se oscila
entre una banalización y una naturalización del objeto. Es deci, se
Jo trarsforma baralizändolo como si no fuera complejo y al mismo,
Kiempo, se lo trata como si su apropiación fuera ratura o espontá-
ea. Las reas del sistema de numeración, lejos de sr “naturales”,
son producto de a laboración de un conjunto de convenciones que
demandaron siglos para que los seres humanos las consruyeran.
Por otra parte —y como veremos más adetante—, desde muy chi-
«os, los niños poseen conceptualizaciones acerca del sistema. EI
gran desafío para la enseñanza es lograr vincular tales conceptual
Zaciones de los niños con los saberes considerados válidos, El pro»
ma didáctico al que se enfrentan los docentes, entonces, es lograr
ar un objeto complejo produciendo argumentaciones al nivel
del conocimiento de los alumnos, Para eso, los maestros deben rea-
lizacuna reconstrucción de ese objeto que lo haga apropiable por los
que aún no disponen del conocimionto acaba en el momento en
el que tienen que estudiaro. Esto hace necesario "desnaturalizar”
"nuesto saber Adulto sobre las reglas que rigen nuesto sistema, de
modo de no pensarlas como si sólo conformaran una técnica de tra-
ducción de las cantidades a una versión gráfica, para la que única»
ment hay que aprender ls reglas que regulan ess traducción,
Dijimos que tal reconsuucción se elabora teniendo en cuenta los
«conocimientos disponibles delos alumnos como punto de partida, Si
se quiere que los alumnos hagan matemático, entonces habrá que
respetar esos conotimientos y al mismo tiempo, reconocer su carác»
{er provisorio. Cuando, enel Segundo Ciclo, los alumnos aborden el
estudio de los números racionales, descubrirán que las relaciones y
las propiedades aprendidas a propósito del estudio de los naturales
no son adecuadas para comprender el funcionamiento de este nuevo
‘campo numérico. Esa revisión de lo “viejo” a parir del aprendizaje
de lo nuevo permitirá laresgnificación de los números naturales y la
construcción con sentido de los números racionales
dos io a ren denuncian + 33
Las reglas y las características de nuestro sistema de numeración
Para poder pensar en una enseñanza con las caracteísicas des-
crpts, es necesario definir en qué sentido afirmamos que nuestro
sistema de numeración es complejo. Para eo, detallamos sus carac-
dersticas principales
1. Elistema está compuesto de 10 signos que, combinados entre
si, pueden represenar cualquier número
2. Es un sistema decimal porque está organizado en base 10, es
2 ‚ect, que cada unidad de un orden equivale a 10 unidades
oe Yel orden anterior. Ef wim Alam. de
3. Además, es un sistema posicional, porque la misma cia’
adquiere diferente valor según La pusición que ocupe en un
número; por ejemplo la cía 7 vale diferente en , 70, 700,
‘etc, Esta organización procura una enorme economía tanto
Pare arta para ro mos, como también. para pe.
rar con ellos
4. Se escribe en un orden decreciente de izquierda a derecha; las
cias que representan cantidades mayors, a la izquierdo y
las menores, a la derecha. Ss
5. Incluye el cero,
6. Entre dos nümeros de la misma cantidad de cita, es mayor el
que tiene ala izquierda el número mayor.
7. Ente dos nümeros de diferente camidad decis, es mayor !
que tiene más cias.
Por su organización decimal, el valor de cada posición, de dere-
‚ha a izquierda, comesponde a las potoncias sucesivas de 10. As los
| valores de las posiciones consecutivas son los siguientes:
10,10% 10% 10°: 10°
Es dec
= 10.000; 1.090 ; 100; 10; 1
Cada ira de un número coresponde, entonces, al coeficiente
E porel cual se multiplica dicha potencia de la base. Por ejemplo, para
487, e valor de cada una de sus ca sera el siguiente:
2x 10! +4 x 10 à 8x 10° + 7x 10
24 > tasar
Es deci:
2x 1.000 + 4 x 100 4 8x 10 + 7 x 1= 2.000 + 400 + 8047
Como vemos, la forma gráfica con la que se representa la nume-
vación (2.487) expresa sólo una parte de todo lo que está significado
por el número, tal como este se intespreta dentro del sistema de
numeración. La numeración escrita es hemética, “opaca”, ya. que
las potencias de la base no se representan a través de símbolos par-
ticulares, sino que queda a cargo del sujeto el inferiras a partir de la
posición que ocupan las cifras. ,
El problema didáctico consiste en encontrar las stunciones ade-
‘cuadas para explicita estas reglas a los niños, a pesar de que las
escrituras muméricas, en tanto herméticas y opacas, las ocultan.
En cambio, la numeración hablada tiene otras características. Al
enunciar un nümero, se explicita la descomposición aditiva y/o mu
tiplicatica de los números. Esto es así porque, a diferencia de la
numeración escrit, la numeración hablada no es posicional, Si lo
fuera, la denominación oral del número 4.372 sería “cuatro wes siete
os", en cambio lo leemos cuatro mil rescientos setenta y dos; es
decir que, al mismo tiempo que enunciamos la cir, enunciamos la
potencia de 10 que le corresponde a cada cita.
Esta característica de la numeración hablada hace que la enuncia
«ción de un número suponga siempre una operación aritmética.
En la rurcración hablada, a yutaposció de palabras supone
siempre una operación arimétco, operación que, en algunos
Casos, es una suma (il cat sg 1000 = 4 por ejemplo),
en ars, una mul plcaciónjochocietos sil 8 x 100, por
Siem). En la denomiración de un número, es dos accio.
es apıracen en general combinadas (par ejemplo, cinco mil
Cuatro significa 5% 1000 +4 x 100) y —como para com.
Fire la existencia aquien intento comprender litera un
Simple cambio en erden de eounciación de las palabras inci
<a que ha cambiado a operación aimétca involucrada cinco
rm x 1000 y qi cinco (1000 +5) escients (6x 500 y cien
tw seis (100 +
tovndnwre antes items manon + 35
decimos "trescientos y cua”). En ealidac aparece enla reunión de
ganas decenas y unidades, Docimos, “cincuenta y ocho”, pero tam
y decimos "once, doce, rece, catorce, quince”. Esos números no
presan en la numeración hablada la carateríica de que son
meros de 2 cas, "suenan" igual que si decimos "sete, uno, nueve,
o”. No hay nada en las palabras que peri dase cuenta de cu
son números de una cia y cuáles son números de dos cas.
{© Otros obstáculos alos que se enfrentan quienes están tratando des
ender el sitema ienen que ver con aos tipos de inconsistencia,
por ejemplo, las siguientes
Decimos “veintiuno, treinta y uno, cuarenta y uno”, ec, es
hd extra. En cam.
5" y el “tres, razón por la que muchos chicos escriben esos
ros como 21 y 31. En cambio, a partir del treinta, todas las
47) empieza con el cuatro, así que ene que ser cua... ua... ¡Cua
ia! Cuarenta y siete”, argumentö Mercedes de 6 años y 4 meses
_ 8 interesante reflexionar, ahora, sobre uno de los supuestos que se
cuentan más aaigados enla enseñanza y que sugiere trabajar en
}inicio de Primer grado con pocos números, por ejemplo, con un
alo numérico que no supere el 20. Como vimos, juslamente esos
los números que ofrecen mayor dificultad, par sor los que menor
formacién brindan através de la numeración hablada, en donde los
cos se apoyan al principio para poder interpretalos y escribis.
Li adelante, retomaremos esta cuestión a propósito del análisis delas
vaciones de enseñanza. Este supuesto persigue la intención de dis.
Es deci:
2x 1.000 + 4 x 100 4 8x 10 + 7 x 1= 2.000 + 400 + 8047
Como vemos, la forma gráfica con la que se representa la nume-
vación (2.487) expresa sólo una parte de todo lo que está significado
por el número, tal como este se intespreta dentro del sistema de
numeración. La numeración escrita es hemética, “opaca”, ya. que
las potencias de la base no se representan a través de símbolos par-
ticulares, sino que queda a cargo del sujeto el inferiras a partir de la
posición que ocupan las cifras. ,
El problema didáctico consiste en encontrar las stunciones ade-
‘cuadas para explicita estas reglas a los niños, a pesar de que las
escrituras muméricas, en tanto herméticas y opacas, las ocultan.
En cambio, la numeración hablada tiene otras características. Al
enunciar un nümero, se explicita la descomposición aditiva y/o mu
tiplicatica de los números. Esto es así porque, a diferencia de la
numeración escrit, la numeración hablada no es posicional, Si lo
fuera, la denominación oral del número 4.372 sería “cuatro wes siete
os", en cambio lo leemos cuatro mil rescientos setenta y dos; es
decir que, al mismo tiempo que enunciamos la cir, enunciamos la
potencia de 10 que le corresponde a cada cita.
Esta característica de la numeración hablada hace que la enuncia
«ción de un número suponga siempre una operación aritmética.
En la rurcración hablada, a yutaposció de palabras supone
siempre una operación arimétco, operación que, en algunos
Casos, es una suma (il cat sg 1000 = 4 por ejemplo),
en ars, una mul plcaciónjochocietos sil 8 x 100, por
Siem). En la denomiración de un número, es dos accio.
es apıracen en general combinadas (par ejemplo, cinco mil
Cuatro significa 5% 1000 +4 x 100) y —como para com.
Fire la existencia aquien intento comprender litera un
Simple cambio en erden de eounciación de las palabras inci
<a que ha cambiado a operación aimétca involucrada cinco
rm x 1000 y qi cinco (1000 +5) escients (6x 500 y cien
tw seis (100 +
tovndnwre antes items manon + 35
decimos "trescientos y cua”). En ealidac aparece enla reunión de
ganas decenas y unidades, Docimos, “cincuenta y ocho”, pero tam
y decimos "once, doce, rece, catorce, quince”. Esos números no
presan en la numeración hablada la carateríica de que son
meros de 2 cas, "suenan" igual que si decimos "sete, uno, nueve,
o”. No hay nada en las palabras que peri dase cuenta de cu
son números de una cia y cuáles son números de dos cas.
{© Otros obstáculos alos que se enfrentan quienes están tratando des
ender el sitema ienen que ver con aos tipos de inconsistencia,
por ejemplo, las siguientes
Decimos “veintiuno, treinta y uno, cuarenta y uno”, ec, es
hd extra. En cam.
5" y el “tres, razón por la que muchos chicos escriben esos
ros como 21 y 31. En cambio, a partir del treinta, todas las
47) empieza con el cuatro, así que ene que ser cua... ua... ¡Cua
ia! Cuarenta y siete”, argumentö Mercedes de 6 años y 4 meses
_ 8 interesante reflexionar, ahora, sobre uno de los supuestos que se
cuentan más aaigados enla enseñanza y que sugiere trabajar en
}inicio de Primer grado con pocos números, por ejemplo, con un
alo numérico que no supere el 20. Como vimos, juslamente esos
los números que ofrecen mayor dificultad, par sor los que menor
formacién brindan através de la numeración hablada, en donde los
cos se apoyan al principio para poder interpretalos y escribis.
Li adelante, retomaremos esta cuestión a propósito del análisis delas
vaciones de enseñanza. Este supuesto persigue la intención de dis.
36 + Lasts oar
svinir la complejdad de este objeto matemático y hacerlo así más
fécilmenteapropiablepara os alumnos de grados bajos.
Otro de los diversos enfoques que persiguen el mismo fin está
referido a centrar la enseñanza en el uso de material concreto o
material essuctuado. Desde esa postura, se utilizan “bolsas” de 100
fósforos, “ataitos” de 10 fésloros, fósforos sults: o regles de dife-
rentes colores de acuerdo con las distinas longitudes; o cuadrados
con 100 cuadraditos, tias de 10 cuadraditos y cuadraditos suelos,
«tc. También suelen usarse como material didáctico represenaciones
gráficas que equivalen a 100, 10 y 1: por ejemplo: cuadrados, tá
galos y circus, tcéer.
PENSAR LAS PRÁCTICAS
a. Realice un punteo de las caractersieas del funcionamiento de cada
‘uno de estes recursos didácicos lizado las categorías que utiliza»
mes para meso sistema de mumeración (canidad de simbolos ii
ados, posibilidad de represemar infinitos números naturales, ase en
la que están organizados, necesidad del cer, función del lugar que
ocupan lossímbolos, relación ene la cantidad de simbolos y valor
del nimero represenado.
D. Fsablezca semejanzas y ifeencias entre las caractrísicas de estas
representaciones concrets y las de nuesto sitema de numeración
{Como habrá podido notar, existen diferencias importantes entre
esos recursos de enseñanza y nuesro sistema de numeración,
En primer lugar, estas representaciones tienen sólo tes signos en
base decimal, cada uno representa un orden de agrupamiento: un
signo par representar las unidades, oro para las decenas y un terce-
ro pora las centenas, Podrían agregas oros símbolos para la unidad de
mi, decena de mí, ec. pero siempre se trataría de una cantidad
limitada es deci, no habita a escribir infinitos números posibles.
En segundo lugar, en realidad, no son posicionales, os decir que
1a ubicación de los símbolos no modiica su valor Por ejemplo, que 2
alados de 10 elementos estén primero, 5 elementos sueltos à
E rincón y po im, una ba de 100 men 0 mas
en absoluto que esa representación equivalga al número 125. En
cambio, en nuestro stems, cealizar esas modificaciones en La pa
«ción de los nümeros determinaría el cambio en ese número, que se
ansfommaría en e251, ,
En tercer lugar, no son mixtos (muliplicativos y aditivos). Son sólo” |
‚adiivos. Se van agregando uno al lado del otro (sin ningún orden en!
EE paricla los signos comespondientes, repiiéndolos tantas veces
¿como s dicha canidad estuviese comprendida en dicho nómer y,
= luego, se suman para obtener el valor total.
En cuarto lugar, no incluyen un símbolo para el cero,, Basta con
© n9 incluir a representación de la cantidad ausonte hi
En quito lugar, entre dos representaciones con a misma cantidad
símbolos, no se verifica que sea mayor la que ten a la izquierda
7 el simbolo mayor. Al no ser posicional a ubicación no es relevant
For timo, no sé veia que, entre dos representa
sent cantidad de símbolos, sea mayor la que tiene más símbolos.
Pra representa cl número 9, se necesitan 9 fóioros y para repre:
sentar 100, slo hace falta una bolsa a
En síntesis, estos rocurses que buscan “concretiza” ls reglas dol
“sitema de numeración presentan la paradoja de no respetadas.
robablemente, están basadas en concepciones que sostienen que
22 se aprende por observación y manipulación y que, par favorecer los
aprencizjes, hay que pasar de Io concreto a lo abstracto. + 4
E ¿Qué es mis absracto? IManipular representaciones que sólo
fe ‘viven” en la escuela? ¿0 utilizar los números con los que los alum-
= nos y la sociedad interactóan constantemente?
El sistema de numoración y las operaciones
tr ventaja de la numeración escrita es que, gracias à sus carac-
ferísicas, posibiita la consvucción de diferentes y económicos
recursos de cálculo algoíimico y mental
En los algoritmos convencionales de suma y resta, para resolver
las operaciones, se opera sobre todas las cifras como si fueran unida
des (cuidando siempre de sumar o restar entre si las del mismo
svinir la complejdad de este objeto matemático y hacerlo así más
fécilmenteapropiablepara os alumnos de grados bajos.
Otro de los diversos enfoques que persiguen el mismo fin está
referido a centrar la enseñanza en el uso de material concreto o
material essuctuado. Desde esa postura, se utilizan “bolsas” de 100
fósforos, “ataitos” de 10 fésloros, fósforos sults: o regles de dife-
rentes colores de acuerdo con las distinas longitudes; o cuadrados
con 100 cuadraditos, tias de 10 cuadraditos y cuadraditos suelos,
«tc. También suelen usarse como material didáctico represenaciones
gráficas que equivalen a 100, 10 y 1: por ejemplo: cuadrados, tá
galos y circus, tcéer.
PENSAR LAS PRÁCTICAS
a. Realice un punteo de las caractersieas del funcionamiento de cada
‘uno de estes recursos didácicos lizado las categorías que utiliza»
mes para meso sistema de mumeración (canidad de simbolos ii
ados, posibilidad de represemar infinitos números naturales, ase en
la que están organizados, necesidad del cer, función del lugar que
ocupan lossímbolos, relación ene la cantidad de simbolos y valor
del nimero represenado.
D. Fsablezca semejanzas y ifeencias entre las caractrísicas de estas
representaciones concrets y las de nuesto sitema de numeración
{Como habrá podido notar, existen diferencias importantes entre
esos recursos de enseñanza y nuesro sistema de numeración,
En primer lugar, estas representaciones tienen sólo tes signos en
base decimal, cada uno representa un orden de agrupamiento: un
signo par representar las unidades, oro para las decenas y un terce-
ro pora las centenas, Podrían agregas oros símbolos para la unidad de
mi, decena de mí, ec. pero siempre se trataría de una cantidad
limitada es deci, no habita a escribir infinitos números posibles.
En segundo lugar, en realidad, no son posicionales, os decir que
1a ubicación de los símbolos no modiica su valor Por ejemplo, que 2
alados de 10 elementos estén primero, 5 elementos sueltos à
E rincón y po im, una ba de 100 men 0 mas
en absoluto que esa representación equivalga al número 125. En
cambio, en nuestro stems, cealizar esas modificaciones en La pa
«ción de los nümeros determinaría el cambio en ese número, que se
ansfommaría en e251, ,
En tercer lugar, no son mixtos (muliplicativos y aditivos). Son sólo” |
‚adiivos. Se van agregando uno al lado del otro (sin ningún orden en!
EE paricla los signos comespondientes, repiiéndolos tantas veces
¿como s dicha canidad estuviese comprendida en dicho nómer y,
= luego, se suman para obtener el valor total.
En cuarto lugar, no incluyen un símbolo para el cero,, Basta con
© n9 incluir a representación de la cantidad ausonte hi
En quito lugar, entre dos representaciones con a misma cantidad
símbolos, no se verifica que sea mayor la que ten a la izquierda
7 el simbolo mayor. Al no ser posicional a ubicación no es relevant
For timo, no sé veia que, entre dos representa
sent cantidad de símbolos, sea mayor la que tiene más símbolos.
Pra representa cl número 9, se necesitan 9 fóioros y para repre:
sentar 100, slo hace falta una bolsa a
En síntesis, estos rocurses que buscan “concretiza” ls reglas dol
“sitema de numeración presentan la paradoja de no respetadas.
robablemente, están basadas en concepciones que sostienen que
22 se aprende por observación y manipulación y que, par favorecer los
aprencizjes, hay que pasar de Io concreto a lo abstracto. + 4
E ¿Qué es mis absracto? IManipular representaciones que sólo
fe ‘viven” en la escuela? ¿0 utilizar los números con los que los alum-
= nos y la sociedad interactóan constantemente?
El sistema de numoración y las operaciones
tr ventaja de la numeración escrita es que, gracias à sus carac-
ferísicas, posibiita la consvucción de diferentes y económicos
recursos de cálculo algoíimico y mental
En los algoritmos convencionales de suma y resta, para resolver
las operaciones, se opera sobre todas las cifras como si fueran unida
des (cuidando siempre de sumar o restar entre si las del mismo
30 + carino
Orden) sin necesidad de considerar momentáneamente su posciön.
Por ejemplo, al sumar 724 + 87, so suma 2 +8 + 1 (del reagrupamien-
lo de 4 à 7 sn tener que pensar como 20 + 80 + 10, porque su lugar
en la escrit garantiza —por quien disponga dese conocimiento—
que quedará en el lugar de ls decenas. Es cect, Únicamente el haber
construido un conjuro de elaciones que permita comprender el sign-
fiado de los números y dela wansformaciones que se operan sobre
els à ways de sc cálulos permite contolar que sé está sumando
Como saan? fo en ead son 20 y 1 pe re
tito de 2. está relaciónado con el de 20 + 80, etcétera.
Dependiendo del ipo de enseñanza quese le adelante, las ope-
recions y el sistema de numeración se trabajarán por separado, como
sio existiera ninguna ración entre els 0 se planter intencional
‘mente una enseñanza donde queden explicitads todas Las relaciones
ue lo unen. Sis lier la primera opción, es posbie obten como
consecuencia, que ls alumnos no dispongan de respuesas cuando se
los inrrogue sabre cuesiones inemas, por ejemplo: ¿Por qué, al
sumar 16-18 no puede dar vent... Porqué, cuando sumamos o re-
tamos, hay que eacolunmar los números de desecha a izquierda? ¿Por
<q nos “leamos” oe “pedimos” al de al lado?
Las razones por las que funcionan ast esas reglas de los algo
moss derivan dela propiedades del sistema de numeración: enco-
lumnamos; porque es undistema posicional reagrupamos, porque es
de base diez y, por lo tanto, no puede habor nada que supere los 9
tlementos 6 cada potencia de la base: operamos de derecho a
izquierda, para logar economia al reagrupar.
‘Ou ejemplo que nos permite omar contacto con esta prblemd-
lic es el algoritmo de la multiplicación por dos cas, Ses pregun
tamos a alumnos de Segundo Ciclo acerca de las razones por as que
es preciso desplazar el segundo producto un lugar a la izquierdo, en
muchos cases, nos enconraremos con que muchos contestan: “No
sé, la macstr me dio” “A mí meo enseñaron as”. eso, lamamos
contestar desde a.
Es un problema dela enseñanza, y no necesariamente del apren-
dizaje. el que eto alumnos no puedan disponer del conocimiento
Gesine nd lens e sumencón + 39
E que les permitia argumentar que, como están multiplicando por
© una decena, nunca podrían obiener como resultado una unidad. Y
= no sólo eso, también esperamos que puedan extender ese conoci-
nto y reuilizao para poder argumentar entonces, que, s se mul-
ica por un número de tres cias, se tendrá que comer el tercer
producto hasta el lugar de las centenas, etcétera.
Dominar las caractersicas del sistema de numeración posicio-
EE nal decimal permite anticipar resultados de cálculos sin necesidad
‘de haceros, así como controlar que los resultados obtenidos sean
PENSAR LAS PRÁCTICAS
| -
1.Encuentre, en cado caso, valor del cociente y del resto, in hacerla
cuento:
Be | à 10501: 10
1.195614 100 19.561 + 1.000
||. :Se podrá conocer el cociente y el resto de est cuenta sin resolverlo?
19561 +8
Probablemente, quien no domino todas las ceracerísticas del siste:
ima de numeración no identiará las relaciones que hay entre nuestro
sistema yla división ola muliplicación por la unidad seguida de ceros.
¿Pero algunos ensayos pod dar pisas. Por ejemplo, al realizar:
Es deci, se trata de reconocer que 1.956 x 10 = 19.560, por lo
E lato, el resto será 1.Y al realizar 19.561 + 1.000, los números “seña
Ian? que el cociente será 19 (pues 19 x 1.000 = 19.000) y el resto
deberá ser 561.
La cuestión central enla enseñanza de la Matemática, entonces,
es cômo hacer para que los conocimientos enseñados tengan sentí
do para los alumnos, Ese sentido se refer, entre ovas cosas, a que
Orden) sin necesidad de considerar momentáneamente su posciön.
Por ejemplo, al sumar 724 + 87, so suma 2 +8 + 1 (del reagrupamien-
lo de 4 à 7 sn tener que pensar como 20 + 80 + 10, porque su lugar
en la escrit garantiza —por quien disponga dese conocimiento—
que quedará en el lugar de ls decenas. Es cect, Únicamente el haber
construido un conjuro de elaciones que permita comprender el sign-
fiado de los números y dela wansformaciones que se operan sobre
els à ways de sc cálulos permite contolar que sé está sumando
Como saan? fo en ead son 20 y 1 pe re
tito de 2. está relaciónado con el de 20 + 80, etcétera.
Dependiendo del ipo de enseñanza quese le adelante, las ope-
recions y el sistema de numeración se trabajarán por separado, como
sio existiera ninguna ración entre els 0 se planter intencional
‘mente una enseñanza donde queden explicitads todas Las relaciones
ue lo unen. Sis lier la primera opción, es posbie obten como
consecuencia, que ls alumnos no dispongan de respuesas cuando se
los inrrogue sabre cuesiones inemas, por ejemplo: ¿Por qué, al
sumar 16-18 no puede dar vent... Porqué, cuando sumamos o re-
tamos, hay que eacolunmar los números de desecha a izquierda? ¿Por
<q nos “leamos” oe “pedimos” al de al lado?
Las razones por las que funcionan ast esas reglas de los algo
moss derivan dela propiedades del sistema de numeración: enco-
lumnamos; porque es undistema posicional reagrupamos, porque es
de base diez y, por lo tanto, no puede habor nada que supere los 9
tlementos 6 cada potencia de la base: operamos de derecho a
izquierda, para logar economia al reagrupar.
‘Ou ejemplo que nos permite omar contacto con esta prblemd-
lic es el algoritmo de la multiplicación por dos cas, Ses pregun
tamos a alumnos de Segundo Ciclo acerca de las razones por as que
es preciso desplazar el segundo producto un lugar a la izquierdo, en
muchos cases, nos enconraremos con que muchos contestan: “No
sé, la macstr me dio” “A mí meo enseñaron as”. eso, lamamos
contestar desde a.
Es un problema dela enseñanza, y no necesariamente del apren-
dizaje. el que eto alumnos no puedan disponer del conocimiento
Gesine nd lens e sumencón + 39
E que les permitia argumentar que, como están multiplicando por
© una decena, nunca podrían obiener como resultado una unidad. Y
= no sólo eso, también esperamos que puedan extender ese conoci-
nto y reuilizao para poder argumentar entonces, que, s se mul-
ica por un número de tres cias, se tendrá que comer el tercer
producto hasta el lugar de las centenas, etcétera.
Dominar las caractersicas del sistema de numeración posicio-
EE nal decimal permite anticipar resultados de cálculos sin necesidad
‘de haceros, así como controlar que los resultados obtenidos sean
PENSAR LAS PRÁCTICAS
| -
1.Encuentre, en cado caso, valor del cociente y del resto, in hacerla
cuento:
Be | à 10501: 10
1.195614 100 19.561 + 1.000
||. :Se podrá conocer el cociente y el resto de est cuenta sin resolverlo?
19561 +8
Probablemente, quien no domino todas las ceracerísticas del siste:
ima de numeración no identiará las relaciones que hay entre nuestro
sistema yla división ola muliplicación por la unidad seguida de ceros.
¿Pero algunos ensayos pod dar pisas. Por ejemplo, al realizar:
Es deci, se trata de reconocer que 1.956 x 10 = 19.560, por lo
E lato, el resto será 1.Y al realizar 19.561 + 1.000, los números “seña
Ian? que el cociente será 19 (pues 19 x 1.000 = 19.000) y el resto
deberá ser 561.
La cuestión central enla enseñanza de la Matemática, entonces,
es cômo hacer para que los conocimientos enseñados tengan sentí
do para los alumnos, Ese sentido se refer, entre ovas cosas, a que
40 + Laser nee
puedo argumentar, utilizando para elo su conocimiento mate.
co, acerca de las rázones por las que aplican detéminadas reglas,
* procedimientos, te. Dé otro modo, el aprendizaje termina por Con
verse en un “acto de fe": hay que realizar procedimientos porque
el maestro I pide, tal y como I pi.
Resumiendo, en cuanto a la numeración escrita al mismo tiempo
«que procura una gran economia por ser altamente regular, escon-
de toda la información acerca de su organización: cuál es cl valor de
«ada cade un número escrito según la posición que ocupe. Ese valor,
como vimos, depende de operaciones de multiplicación (po potencias
de 10) yde suma (de os valores corespondientes a ada cl. Eso que
Miele a PUESTOS nümeros tan ccanfmico, pero su vez, nada tans-
parents y por lo tanto, complejos de comprender por cuienes se acer.
can inicialmente a ells. En cuanto ala numeración hablada, al no er
posiciona, brinda informaciones en las que se apoyan los niños para
producir estas e interpretar, Al tener ceras imeguaridades,pre-
senta algunos obstáculos que es necesario prever didáticamento.
Veamos ahora cómo uilzan los niños la numeración hablada
para avanzar en el dominio dela numeración escrita y cues son Las
Concepciones que construyen para avanzar en el conocimiento del
sistema de numeración.
Concepciones de los chicos acerca del sistema
de numeración y de su representación escrita
La investigación que Delia Leer Patricia Sadowsky y Susana Wolman
(1994) realizaron en la Argentina acerca de cómo se aproximan los chi“
cos al corocimionto del sistema de numeración arojó dos cetezas.
a. Los chicos construyen muy tempranamente ideas particu-
lares para producir, interpretar y comparar representaciones
| En general, ya desde el Nivel Inicia, los niños pueden establecer
‘comparaciones entre números y formular argumentos para dar prue
a de sus concepciones, Por ejemplo, Mercedes (5 2.2 m), al tenerque
comparar y decidir cuál de los siguientes nämeros es más grande entre
A veces, este criterio es inestable cuando se trata de comparar
ximeros con gran diferencia en sus valores absolutos, es decir que
2 no se generaliza de manera inmedinta en todos los casos. Los niños
pueden guiarse por los valores absolutos de las cias, en lugar de
“tomar como referencia la cantidad de citas, por ejemplo, al compa-
197 y 101, sostener, utilizando como criterio el valor absoluto de
Frente al pedido de comparación de dos números de igual canti-
dad decias, 4 y 78, Jl (Sa. 8 m.Jargumenta “Es mis grande ete
(señalando el 78), porque el 7 es más grande que el 3 y, sel primero
65 más grande, todo e! número es más grande”. À posar de no saber
E Joel, puede argumentar poniendo en juego su hipótesis acerca de
| ue los números "valen" diferente en función del lugar que ocupen.
5. Ese argumento está ligado al conocimiento y a la información que
brinda la numeración hablada: Julián sabe que el primer número
corresponde alos “vent tint’, “sete”, ee, y que, por Lo tant,
Be son mayores que los “dos”, “es”, "ice" tc. En tros casos, las argu-
2 mentaciones que ofrecen los niños están más ligados al orden de
¿ enunciación de la serie numérica oral: Sebastián (5 a. 9 mJ, por ejem
lo, explica que “el 41 es más grande que el 14 porque, si contás,
decís 1,2, 3.) 14, 15 (.., 19, 20, y tenés que seguir contando un
mort hasta llegar al 41, está después y por so es más grande”.
‘Cuando los números que se deben comparar tienen la primera
(ia igual por ejemplo, 241 y 273), muchos chicos argumentan que
¿“entonces hay que mirar el segundo número”.
E También en estos casos, a veces, los niños pueden guiarse
Por la diferencia de valores absolutos, en lugar de recurrir a
este criterio. Por ejemplo, si tuvieran que comparar 49 y 51,
puedo argumentar, utilizando para elo su conocimiento mate.
co, acerca de las rázones por las que aplican detéminadas reglas,
* procedimientos, te. Dé otro modo, el aprendizaje termina por Con
verse en un “acto de fe": hay que realizar procedimientos porque
el maestro I pide, tal y como I pi.
Resumiendo, en cuanto a la numeración escrita al mismo tiempo
«que procura una gran economia por ser altamente regular, escon-
de toda la información acerca de su organización: cuál es cl valor de
«ada cade un número escrito según la posición que ocupe. Ese valor,
como vimos, depende de operaciones de multiplicación (po potencias
de 10) yde suma (de os valores corespondientes a ada cl. Eso que
Miele a PUESTOS nümeros tan ccanfmico, pero su vez, nada tans-
parents y por lo tanto, complejos de comprender por cuienes se acer.
can inicialmente a ells. En cuanto ala numeración hablada, al no er
posiciona, brinda informaciones en las que se apoyan los niños para
producir estas e interpretar, Al tener ceras imeguaridades,pre-
senta algunos obstáculos que es necesario prever didáticamento.
Veamos ahora cómo uilzan los niños la numeración hablada
para avanzar en el dominio dela numeración escrita y cues son Las
Concepciones que construyen para avanzar en el conocimiento del
sistema de numeración.
Concepciones de los chicos acerca del sistema
de numeración y de su representación escrita
La investigación que Delia Leer Patricia Sadowsky y Susana Wolman
(1994) realizaron en la Argentina acerca de cómo se aproximan los chi“
cos al corocimionto del sistema de numeración arojó dos cetezas.
a. Los chicos construyen muy tempranamente ideas particu-
lares para producir, interpretar y comparar representaciones
| En general, ya desde el Nivel Inicia, los niños pueden establecer
‘comparaciones entre números y formular argumentos para dar prue
a de sus concepciones, Por ejemplo, Mercedes (5 2.2 m), al tenerque
comparar y decidir cuál de los siguientes nämeros es más grande entre
A veces, este criterio es inestable cuando se trata de comparar
ximeros con gran diferencia en sus valores absolutos, es decir que
2 no se generaliza de manera inmedinta en todos los casos. Los niños
pueden guiarse por los valores absolutos de las cias, en lugar de
“tomar como referencia la cantidad de citas, por ejemplo, al compa-
197 y 101, sostener, utilizando como criterio el valor absoluto de
Frente al pedido de comparación de dos números de igual canti-
dad decias, 4 y 78, Jl (Sa. 8 m.Jargumenta “Es mis grande ete
(señalando el 78), porque el 7 es más grande que el 3 y, sel primero
65 más grande, todo e! número es más grande”. À posar de no saber
E Joel, puede argumentar poniendo en juego su hipótesis acerca de
| ue los números "valen" diferente en función del lugar que ocupen.
5. Ese argumento está ligado al conocimiento y a la información que
brinda la numeración hablada: Julián sabe que el primer número
corresponde alos “vent tint’, “sete”, ee, y que, por Lo tant,
Be son mayores que los “dos”, “es”, "ice" tc. En tros casos, las argu-
2 mentaciones que ofrecen los niños están más ligados al orden de
¿ enunciación de la serie numérica oral: Sebastián (5 a. 9 mJ, por ejem
lo, explica que “el 41 es más grande que el 14 porque, si contás,
decís 1,2, 3.) 14, 15 (.., 19, 20, y tenés que seguir contando un
mort hasta llegar al 41, está después y por so es más grande”.
‘Cuando los números que se deben comparar tienen la primera
(ia igual por ejemplo, 241 y 273), muchos chicos argumentan que
¿“entonces hay que mirar el segundo número”.
E También en estos casos, a veces, los niños pueden guiarse
Por la diferencia de valores absolutos, en lugar de recurrir a
este criterio. Por ejemplo, si tuvieran que comparar 49 y 51,
42+ asumir
algunos podrían sostener que el primero es mayor. Obtienen
estas ideas a partir de las interacciones que realizan permanen
temente con un medio repleto de portadores numéricos.
PENSAR LAS PRÁCTICAS
Realice un punteo de dierentes contextos en los que aparezca informa-
ción numérica.
‘Como el lector habrá comprobado, hay una enorme profusión
de escrituras numéricas con las que interactuamos todos los
¿Qué uso didáctico les damos a ls diferentes poradores? ¿Se propi-
cian en el a
sentidos que tiene un número, ya sea que indique un pracio, el wer
Gimiento de un remedio, la altura de una call, la.camidad de trigo,
uno en un negocio, el canal de TV, el día en el calendario la edad
de una persona, el horario de clases, el número de colectivo, la
patente de ut auto, el lugar de un libro en la biblioteca, entre otros?
Por otr par, esas escrituras con las que ls niños intemctúnn,
a las que intentan interpretar, que producen, comparan, etcétera, no
están conformadas sólo por números de una cifa. Sin embargo,
muchas veces en la escuela, on los inicios de Primer grado, sólo se
trabaja con los números del 1 al 9. En ese caso, ¿cómo pueden usar
lo que saben? ¿Cómo construyen y explicitan que “si tiene más
números, entonces es más grande”, si no pueden comparar números
de diferentes camidades de cifras? ¿Cómo podria vincular sus cono-
cimientos sobre la numeración hablada con a escrita para argumon-
tar la su manera) que el valor de un número depende de la posición
‘que ocupo, si solamente comparan nümeros de una cir?
Los chicos construyen la escritura convencional de tos
números sin seguir tal cual el orden de la serie numérica.
Es decir, no aprenden primero el 1, después el 2, 3 (.) 9, 10,
116219, 20, 21, etc. Hay ciertos números que son privilegiados;
-omparaciones y discusiones acerca de los distintos.
ot earn sema de numeración + 43
estos son los números “redondos”. o los “nudos”,.es decir, las
lecónas entra, las centenas enteras, ec. En general, primero, pueden
E escri números vinculados ala potencia dela base, como el 10, 100,
© 1,000, etc: luego y apoyándose en esas escrituras, aprenden I escri
| ade números, como el 20, 30, 200,400, et, Poteriomente, acceden
© al escritwa convencional de ls intervals entre esos nudos.
2. La constuccidn de las diferente escrituras depende, en parte,
de las posibilidades que tengan los chicos de interactuar con éme
fos escritos, En este sentido, y como veremos más adelante, es suma=
en Is als de diferentes poradoxes
numérica, como cuadros de números, bandas nur
ficas, cintas métricas, libros de muchas páginas, entre otros. N
“Además del conocimiento que tengan los chicos de I escritura de
algunos números y de ls.informaciones de los diferentes portadores,
será también relevant toda la información que pueda aporar el docen-
te sobre los números y su representación. Todo eso servir de base para
Ieeroanotarnúmeros nuevos. Por tra parte, os avances en dicha cons-
+ vucción se dan a parir de que los alumnos utilizan dos informaciones:
(a que extaon de la numeración hablada yla que les a el conocimien-
~ oe a escritura convencional de los nudos,
El crterio que prima es que los números se escriben tal cual se
dicen, De esta manera, yuxtaponen los símbolos que conacen según el
“orden que le indica la numeración hablada. Por ejemplo, al pedi a
Julián (6 a. 1 m) que escrba “dieciocho”, escribe 108; “veintisiete” lo
scibe 207; “vescientos cuarenta y sis” como 300406; “cuatro mil
trescientos” como 4000300 otros chics I escriben como 41000300,
Estas concepciones avanzan hacia lo esctura convencional al
entrar en confict dos de las hipólesis fuertes delas que dispanen:
por un lado, el convencimiento de que los números se escriben tal
cual se dicen; y por ovo, el conocimiento de que un número es
‘mayor que oto si tiene más cias.
Depender del tipo de números que se les pida que escriban para
‘que estos conflictos surjan o no. Por ejemplo, al dicta "weinia y
“cho”, Joaquín (63.3 m) escribe 308 y argumenta con total convicción
que est bien escrito, aunque 30 se escriba sólo con dos cites, porque
“cinta y ocho es más grande que tina’. Al pedi, à continuachön,
algunos podrían sostener que el primero es mayor. Obtienen
estas ideas a partir de las interacciones que realizan permanen
temente con un medio repleto de portadores numéricos.
PENSAR LAS PRÁCTICAS
Realice un punteo de dierentes contextos en los que aparezca informa-
ción numérica.
‘Como el lector habrá comprobado, hay una enorme profusión
de escrituras numéricas con las que interactuamos todos los
¿Qué uso didáctico les damos a ls diferentes poradores? ¿Se propi-
cian en el a
sentidos que tiene un número, ya sea que indique un pracio, el wer
Gimiento de un remedio, la altura de una call, la.camidad de trigo,
uno en un negocio, el canal de TV, el día en el calendario la edad
de una persona, el horario de clases, el número de colectivo, la
patente de ut auto, el lugar de un libro en la biblioteca, entre otros?
Por otr par, esas escrituras con las que ls niños intemctúnn,
a las que intentan interpretar, que producen, comparan, etcétera, no
están conformadas sólo por números de una cifa. Sin embargo,
muchas veces en la escuela, on los inicios de Primer grado, sólo se
trabaja con los números del 1 al 9. En ese caso, ¿cómo pueden usar
lo que saben? ¿Cómo construyen y explicitan que “si tiene más
números, entonces es más grande”, si no pueden comparar números
de diferentes camidades de cifras? ¿Cómo podria vincular sus cono-
cimientos sobre la numeración hablada con a escrita para argumon-
tar la su manera) que el valor de un número depende de la posición
‘que ocupo, si solamente comparan nümeros de una cir?
Los chicos construyen la escritura convencional de tos
números sin seguir tal cual el orden de la serie numérica.
Es decir, no aprenden primero el 1, después el 2, 3 (.) 9, 10,
116219, 20, 21, etc. Hay ciertos números que son privilegiados;
-omparaciones y discusiones acerca de los distintos.
ot earn sema de numeración + 43
estos son los números “redondos”. o los “nudos”,.es decir, las
lecónas entra, las centenas enteras, ec. En general, primero, pueden
E escri números vinculados ala potencia dela base, como el 10, 100,
© 1,000, etc: luego y apoyándose en esas escrituras, aprenden I escri
| ade números, como el 20, 30, 200,400, et, Poteriomente, acceden
© al escritwa convencional de ls intervals entre esos nudos.
2. La constuccidn de las diferente escrituras depende, en parte,
de las posibilidades que tengan los chicos de interactuar con éme
fos escritos, En este sentido, y como veremos más adelante, es suma=
en Is als de diferentes poradoxes
numérica, como cuadros de números, bandas nur
ficas, cintas métricas, libros de muchas páginas, entre otros. N
“Además del conocimiento que tengan los chicos de I escritura de
algunos números y de ls.informaciones de los diferentes portadores,
será también relevant toda la información que pueda aporar el docen-
te sobre los números y su representación. Todo eso servir de base para
Ieeroanotarnúmeros nuevos. Por tra parte, os avances en dicha cons-
+ vucción se dan a parir de que los alumnos utilizan dos informaciones:
(a que extaon de la numeración hablada yla que les a el conocimien-
~ oe a escritura convencional de los nudos,
El crterio que prima es que los números se escriben tal cual se
dicen, De esta manera, yuxtaponen los símbolos que conacen según el
“orden que le indica la numeración hablada. Por ejemplo, al pedi a
Julián (6 a. 1 m) que escrba “dieciocho”, escribe 108; “veintisiete” lo
scibe 207; “vescientos cuarenta y sis” como 300406; “cuatro mil
trescientos” como 4000300 otros chics I escriben como 41000300,
Estas concepciones avanzan hacia lo esctura convencional al
entrar en confict dos de las hipólesis fuertes delas que dispanen:
por un lado, el convencimiento de que los números se escriben tal
cual se dicen; y por ovo, el conocimiento de que un número es
‘mayor que oto si tiene más cias.
Depender del tipo de números que se les pida que escriban para
‘que estos conflictos surjan o no. Por ejemplo, al dicta "weinia y
“cho”, Joaquín (63.3 m) escribe 308 y argumenta con total convicción
que est bien escrito, aunque 30 se escriba sólo con dos cites, porque
“cinta y ocho es más grande que tina’. Al pedi, à continuachön,
44» Banner
que escriba “ochenta”, ese argument pierde validez, ya que sabe que
BD os mayor que 38 (porque empieza con 8) y por lo tanto, no puede
{ener menos cs, Joaquin se encuentra fente a un tipo de problema
que, si bien todavía no puede resolver, permitirá que progresivamente
revise sus ideas arca de que, para escribir números, sólo hace falta
escuchar cómo se dien.
¿Qué tipo de condiciones didácticas habría que generar para que
estos conocimientos se construyeran?
Será necesario ofreces alos alumnos diversas situaciones en las
que tengan que comparar, ordenar, leery escribir números en distintos
intervalos numéricos, Se tata de favorecer el us y el estudio de la serie
numérica mediano la identificación de regularidades on la serie oral y
en la eri escrita
De este modo y progresivamente, rán construyendo ideas acerca de
que los die‘, “veins, “vents, et, "van con dos números” “os
cientos van con tes”; los miles van con cuato”. Estos conocimientos
funcionan como tonto! de escriras ligadas ala numeraciön hablada:
"Son muchos números” se les escucha deci, y se embarcan en retera-
dos items de modificar la escritura hasta lograr reducirla cantidad de
cifas (Leer, Sadovsky, Wolman, ob. ct.
Acerca de las propuestas de enseñanza de los números
A partir del anliis de algunas propuestas de enseñanza desarola-
(do precedentemente, es posible suponer que los acos relalvos a la
enseñanza involucran acoplar, de manera implícita explícita algunas
ideas asociadas alos modos en que se concibe que aprenden los niños.
Estas ideas, seguramente, condicionen las decisiones didáctica que se
adopten, las actividades que se seleccionen, la manera en que se las
haga funcionar enel aula, etcétera,
Las siguientes son algunas marcas de la concepción de aprendizaje
alo cual adhcrimos.
‘Acoplamos las ideas de Brousseau (1986) quien define su concep-
ción de aprendizaje de fa siguiente manera: “El alumno aprende adap-
tándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades,
de desequilibrios un poco como lo hace la sociodad humana. Este
tos poverty linen deramencón + 45
abet, to de la adaptación del alumno, se manfiesi por ls respues-
las nueras que son la prucha del aprendizaje (...
Estos desequilibrios, alos que se refiere Brousseau, se producen si
exist una situación que el alumno tenga que resolve, pero además,
Si cispone de algunos conocimientos de base para enfentar el pro
blema, los que al mismo tiempo, le resulte insuficientes como para
resolver en forma acabada,
Es decir el aprendizaje no se realiza exclusivamente por el regio
E de os datos observables ni tampaco por star el conocimiento preca-
borado (estructuras innata). Siempre requiere de una interacción
‘que dé cuenta de ciertas formas de organización de los
hechos, una cierta lógica por pate del sujeto. En est sentido, el esque-+
ima clásico de aprendizaje estimulo respuesta queda superado, No ex's:
eun estímulo para un sujet ia este no lo resulta significativo.
‘Como ejemplo, tomemos la comparación de escrtuas de los chi-
E cos por yuxtaposición y la comparación con escrturas convencione-
es. Los límites de su saber (rente ala situación provocan que el sujeto
dude de sus conocimientos y se aboque a la búsqueda de nuevas for
| mas de resolución, “Nos ubicamos en una posición según la cual el
7: proceso de construcción de un concepio matemático comienza à par
À tr del conjunto de actividades intelectuales que se ponen en juego
frente a un problema, para cuya resolució, resultan insuficientes los
2 conocimientos de los que se dispone hasta el momento”.
‘Adheir a esta posición trae aparcjadas ciras condiciones de fun-
«cionamiento de la clase, En ete sentido, debe haber momentos en que
el estudiante se vea enfrentado problemas que le exijan tomar deci-
siones con respecto a los conocimientos que debe utlizar para resol-
| ver esos problemas. Asimismo, deben existir instancias en las que el
estudiante se encuentre con que esos conocimientos no son totalmen-
te ajustados para resolver la situación planteada y pueda, entonces, ea
borar nuevas relaciones que során la base pora identiar nuevos
conceptos. En este proceso, resulta central que el alumno vaya cons.
ruyendo homamicntas para poder saber si su producción es o no
correcta, para poder Justficar las decisiones que fue tomando y estar
Seguro de su trabajo, independientemente delas evaluaciones que el
que escriba “ochenta”, ese argument pierde validez, ya que sabe que
BD os mayor que 38 (porque empieza con 8) y por lo tanto, no puede
{ener menos cs, Joaquin se encuentra fente a un tipo de problema
que, si bien todavía no puede resolver, permitirá que progresivamente
revise sus ideas arca de que, para escribir números, sólo hace falta
escuchar cómo se dien.
¿Qué tipo de condiciones didácticas habría que generar para que
estos conocimientos se construyeran?
Será necesario ofreces alos alumnos diversas situaciones en las
que tengan que comparar, ordenar, leery escribir números en distintos
intervalos numéricos, Se tata de favorecer el us y el estudio de la serie
numérica mediano la identificación de regularidades on la serie oral y
en la eri escrita
De este modo y progresivamente, rán construyendo ideas acerca de
que los die‘, “veins, “vents, et, "van con dos números” “os
cientos van con tes”; los miles van con cuato”. Estos conocimientos
funcionan como tonto! de escriras ligadas ala numeraciön hablada:
"Son muchos números” se les escucha deci, y se embarcan en retera-
dos items de modificar la escritura hasta lograr reducirla cantidad de
cifas (Leer, Sadovsky, Wolman, ob. ct.
Acerca de las propuestas de enseñanza de los números
A partir del anliis de algunas propuestas de enseñanza desarola-
(do precedentemente, es posible suponer que los acos relalvos a la
enseñanza involucran acoplar, de manera implícita explícita algunas
ideas asociadas alos modos en que se concibe que aprenden los niños.
Estas ideas, seguramente, condicionen las decisiones didáctica que se
adopten, las actividades que se seleccionen, la manera en que se las
haga funcionar enel aula, etcétera,
Las siguientes son algunas marcas de la concepción de aprendizaje
alo cual adhcrimos.
‘Acoplamos las ideas de Brousseau (1986) quien define su concep-
ción de aprendizaje de fa siguiente manera: “El alumno aprende adap-
tándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades,
de desequilibrios un poco como lo hace la sociodad humana. Este
tos poverty linen deramencón + 45
abet, to de la adaptación del alumno, se manfiesi por ls respues-
las nueras que son la prucha del aprendizaje (...
Estos desequilibrios, alos que se refiere Brousseau, se producen si
exist una situación que el alumno tenga que resolve, pero además,
Si cispone de algunos conocimientos de base para enfentar el pro
blema, los que al mismo tiempo, le resulte insuficientes como para
resolver en forma acabada,
Es decir el aprendizaje no se realiza exclusivamente por el regio
E de os datos observables ni tampaco por star el conocimiento preca-
borado (estructuras innata). Siempre requiere de una interacción
‘que dé cuenta de ciertas formas de organización de los
hechos, una cierta lógica por pate del sujeto. En est sentido, el esque-+
ima clásico de aprendizaje estimulo respuesta queda superado, No ex's:
eun estímulo para un sujet ia este no lo resulta significativo.
‘Como ejemplo, tomemos la comparación de escrtuas de los chi-
E cos por yuxtaposición y la comparación con escrturas convencione-
es. Los límites de su saber (rente ala situación provocan que el sujeto
dude de sus conocimientos y se aboque a la búsqueda de nuevas for
| mas de resolución, “Nos ubicamos en una posición según la cual el
7: proceso de construcción de un concepio matemático comienza à par
À tr del conjunto de actividades intelectuales que se ponen en juego
frente a un problema, para cuya resolució, resultan insuficientes los
2 conocimientos de los que se dispone hasta el momento”.
‘Adheir a esta posición trae aparcjadas ciras condiciones de fun-
«cionamiento de la clase, En ete sentido, debe haber momentos en que
el estudiante se vea enfrentado problemas que le exijan tomar deci-
siones con respecto a los conocimientos que debe utlizar para resol-
| ver esos problemas. Asimismo, deben existir instancias en las que el
estudiante se encuentre con que esos conocimientos no son totalmen-
te ajustados para resolver la situación planteada y pueda, entonces, ea
borar nuevas relaciones que során la base pora identiar nuevos
conceptos. En este proceso, resulta central que el alumno vaya cons.
ruyendo homamicntas para poder saber si su producción es o no
correcta, para poder Justficar las decisiones que fue tomando y estar
Seguro de su trabajo, independientemente delas evaluaciones que el
|
remets yen de manana + 47
46 + torero
docente pueda hacer. Fra que esto sea posible, será necesario a suvez | os ordres funcionan como fuentes de informacion, como dic»
que el docente realice intervenciones que ayuden al alumno a sostener ios” numéricos a los cuales consultar No tiene mayor sentido que
su trabajo, sin por ello reemplazarlo en su tarea de producción. © all figuren sólo los números que los chicos conocen. $i los conocen,
4 ‘qué consultarle: al diccionario, vamos por las palabras que des-
mes ode las cuales ducamos. Por tr ado, es necesario incluir
Vari
leas respecto a la enseñanza en el Primer Ciclo
la pone en juego Por el, un cuadro numérico pra Primer god
ra ic de etda, los números hasta el 100, como minima.
© Uno delos propóstos del us de los cuadros numéricos es que ls
A continuación, se presentan diferentes tipos de problemas que
ofrecen ejemplos de posibles secuencias de trabajo en e! ala.
Exploración de las regularidades de Ia serie numérica oral
y escrita para leer números y escribirlos (Primer grado)
dimeros através de las relaciones entre la numeración hablada y
kinumneración eserta. Por ejemplo, supongamos que el docente le
Ya dijimos quel trabajo con portadores de información numérica es à Joaquin un papel donde escábió el número 32 y le pide Gin
muy important. En este sentido, lo cuadros de números, como el que © Polar el número) que le Juán tantas chas como dice ei pape.
2 muesta a coniuación, son portadores que permiten generar varía: 5
das situaciones que favorecen a determinación de ira egularidados,
Por ejemplo Io alumros podrán identifica algunas de estas regulada:
des a relacionar la numeración esc con lo que ells saben dela
numeración hablada: “Después de los ‘dieu, 'einis ‘rents, se E “té y dos”, y podrá comenzar a resolver el problema. Del
empieza aa vez con el 1 2,3, hasta el 9, dicen los chicos. ine modo, sl maestr le indica verbalmente que tiene que mandar
Por ora parte, esos Cuachos permiten que los alumnos extmigan Z
conclusiones del po: “Los ies empiezan con 1"; “Todos los ochenta
empiezan con 8" ; “El cuarenta y siete va con cuatro y siete, e lo dice: ee con el múnero señalado, sabrá que se escribe con el 3 y el 2.
crime. Ue rene a la misma situación, tos alumnos podrán centarse en el
+ 2; Hild de la decena y desde ll, contando de uno en uno, encontrar
al fat sf aT ST oT oT eT 2 | ae promo ende an are en
mt 2 [m a Pos Pob [a7 | mo ] 19 | rin el uo deta “familia” y la columna correspondiente al valor
EME EIEIEZIESEIEIEN E dea unida estableciendo las coordenadas (32: “Está en a fa de os
EME 3 [30 | 35 [30 | a7 [ae | 3 À in y en la columna de los que terminan en 2°) y algunos aos
a ea as fa fe] a | a Porn so problem directamente pr recone su escu,
; + Esa es justamente la progresión que nos interesa provocar, es decir
1 35 | se 57] 5 o
112 S| sa) ss se EE 22 due los alumnos avancen en el reconocimiento de los números a tra
6162 | 63 Tos | 65 | 66 | 67 | 68 LYS de poner en juego las propiedades que estos tienen.
72 | 73 | 7 77 | 78 «Es importante que el cuadro esté colocado en un lugar dela clase
lei» 81m CE Le permita que ls chicos se acerquen a ely les sea posible car"
90 [ #1 | 92 | 93 | on CARS
remets yen de manana + 47
46 + torero
docente pueda hacer. Fra que esto sea posible, será necesario a suvez | os ordres funcionan como fuentes de informacion, como dic»
que el docente realice intervenciones que ayuden al alumno a sostener ios” numéricos a los cuales consultar No tiene mayor sentido que
su trabajo, sin por ello reemplazarlo en su tarea de producción. © all figuren sólo los números que los chicos conocen. $i los conocen,
4 ‘qué consultarle: al diccionario, vamos por las palabras que des-
mes ode las cuales ducamos. Por tr ado, es necesario incluir
Vari
leas respecto a la enseñanza en el Primer Ciclo
la pone en juego Por el, un cuadro numérico pra Primer god
ra ic de etda, los números hasta el 100, como minima.
© Uno delos propóstos del us de los cuadros numéricos es que ls
A continuación, se presentan diferentes tipos de problemas que
ofrecen ejemplos de posibles secuencias de trabajo en e! ala.
Exploración de las regularidades de Ia serie numérica oral
y escrita para leer números y escribirlos (Primer grado)
dimeros através de las relaciones entre la numeración hablada y
kinumneración eserta. Por ejemplo, supongamos que el docente le
Ya dijimos quel trabajo con portadores de información numérica es à Joaquin un papel donde escábió el número 32 y le pide Gin
muy important. En este sentido, lo cuadros de números, como el que © Polar el número) que le Juán tantas chas como dice ei pape.
2 muesta a coniuación, son portadores que permiten generar varía: 5
das situaciones que favorecen a determinación de ira egularidados,
Por ejemplo Io alumros podrán identifica algunas de estas regulada:
des a relacionar la numeración esc con lo que ells saben dela
numeración hablada: “Después de los ‘dieu, 'einis ‘rents, se E “té y dos”, y podrá comenzar a resolver el problema. Del
empieza aa vez con el 1 2,3, hasta el 9, dicen los chicos. ine modo, sl maestr le indica verbalmente que tiene que mandar
Por ora parte, esos Cuachos permiten que los alumnos extmigan Z
conclusiones del po: “Los ies empiezan con 1"; “Todos los ochenta
empiezan con 8" ; “El cuarenta y siete va con cuatro y siete, e lo dice: ee con el múnero señalado, sabrá que se escribe con el 3 y el 2.
crime. Ue rene a la misma situación, tos alumnos podrán centarse en el
+ 2; Hild de la decena y desde ll, contando de uno en uno, encontrar
al fat sf aT ST oT oT eT 2 | ae promo ende an are en
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; + Esa es justamente la progresión que nos interesa provocar, es decir
1 35 | se 57] 5 o
112 S| sa) ss se EE 22 due los alumnos avancen en el reconocimiento de los números a tra
6162 | 63 Tos | 65 | 66 | 67 | 68 LYS de poner en juego las propiedades que estos tienen.
72 | 73 | 7 77 | 78 «Es importante que el cuadro esté colocado en un lugar dela clase
lei» 81m CE Le permita que ls chicos se acerquen a ely les sea posible car"
90 [ #1 | 92 | 93 | on CARS
40» tarea ra
los números. Muchos maestros se sorprenden del interés que despier-
ta y describen cómo los chicos se acercan espontáneamente a com-
partir lo que saben y, también, para discutir diferentes concepciones,
La elaboración de cuadros individuales e también un recurso ade.
(ua para promover ls rexiones en las que estamos interesados"
Los alumnos podrán apoyarse en el cuadro para:
«+ Comparar números As, podrán establece, por ejemplo, que
87 es mayor que 47 porque “viene después”.
+ Determinar el antecesor el sucesor de un números hoy 6528,
E ¿qué día ue ayer, ¿qué día va aser mañana? En un negocio, van
atendiendo por el número 36, ¿cuál fue el que dijeron ates,
i ¿cuál sigue? Si el televisor esd puesto en el canal 23, y apreta:
‘mos una vez la flecha de rocoso, ¿qué canal aparece? ¿Y si
( apretamos una vez la flecha de avance}, echten.
+ Averiquardéinde estén todos los nimeros que empiezan con una
ia determinada, por ejemplo, todos los números que empie-
zan cor, los que empiezan con 5, elcélea, Interesa que pue-
an relxionar sobre us son esos números, Se pocrän
labora pisas para saber cómo nombraros todos los que
“empiezan con “ocho” son “ochent} todas las fas siempre
aparecen el 1, el 2, el 3... ordenados, cette.
+ Averiguar dónde están todos los que terminan con una cia
determinada: ¿qué números srän esos? ¿Qué diferencia hay
entre el primer cuatro del 44 y el segundo cuatro? ¿Los dos
cuatros representan al número 42
+ Establecer cuános nümeros ha determinados, por ejemplo,
entre el 20 y el 30. Vente el 9 y e 19, ¿y env el 29 y el 397
¿Y ente el 5 y el 15, genteel 15 y el 25? Anota otros números
‘con los que pasalo mismo, e deci, que hay 10 números entre
clos. Esablecer la regularidad de que no hay ningún caso en el
cuadro en que nose cumpla que un número que está debajo, en
| la misa columna, no tenga 10 némers más
[res eae bay nro an apap sR
+ Descubrir dénde están todos los números terminados en 9.
¿Qué sucede después de los números terminados en 92 ¿Cómo
cambian esos números? tienen un orden?, ¿cuál?
+ Saber rápidamente en cuál fla mirar para ubicar un número sin
ener que huscar uno por uno. Cómo hacer para saberlo.
+ Resolver adivinanzas, por ejemplo:
“Alguien pensó un número, est en la fila de los veinte, Es más.
grande que el 25. Es más chico que el 27, ¿Cuál est”.
Completar cuadros alos que les faltan algunos números.
Averiguar cuál es el número que está tapado.
Corregir portadores con algunos números equivocados.
Resolver adiciones y/o sustracciones. Por ejemplo, para surat
25 + 20, algunos alumnos tendrán que contar desde el 1 hasta
llegar a 25, y luego, seguir contando 20 más, Oros podrán
partir del 25 y “sobrecomar” los 20 siguientes; otros partirán
del 25 y uilizarän la regularidad del cuadro sabiendo que,
nie ol 25 y ol 35, hay 10 números y que, entr el 35 y el 45,
hay 10 más, y que por lo tanto, se puede usar ol conteo de 10
en 10:25, 35, 45".
PENSAR LAS PRÁCTICAS
Busque otras posibles urizaciones didácticas de estos portadores en los
[NAP y póngalas en juego con sus alumnos, |
A continuación, le ofrecemos el desarrollo de una sitvación de
enseñanza.
Adivinar el número en el cuadro (Primer grado)"
Este juego a parir del cuadro de números consiste en que los.
2 Cuáles el casillero que contiene un tesoro, Con la clase organizada
en grupos de a dos o de a cuatro niños, el docente les comunica que
a a Ma rua
los números. Muchos maestros se sorprenden del interés que despier-
ta y describen cómo los chicos se acercan espontáneamente a com-
partir lo que saben y, también, para discutir diferentes concepciones,
La elaboración de cuadros individuales e también un recurso ade.
(ua para promover ls rexiones en las que estamos interesados"
Los alumnos podrán apoyarse en el cuadro para:
«+ Comparar números As, podrán establece, por ejemplo, que
87 es mayor que 47 porque “viene después”.
+ Determinar el antecesor el sucesor de un números hoy 6528,
E ¿qué día ue ayer, ¿qué día va aser mañana? En un negocio, van
atendiendo por el número 36, ¿cuál fue el que dijeron ates,
i ¿cuál sigue? Si el televisor esd puesto en el canal 23, y apreta:
‘mos una vez la flecha de rocoso, ¿qué canal aparece? ¿Y si
( apretamos una vez la flecha de avance}, echten.
+ Averiquardéinde estén todos los nimeros que empiezan con una
ia determinada, por ejemplo, todos los números que empie-
zan cor, los que empiezan con 5, elcélea, Interesa que pue-
an relxionar sobre us son esos números, Se pocrän
labora pisas para saber cómo nombraros todos los que
“empiezan con “ocho” son “ochent} todas las fas siempre
aparecen el 1, el 2, el 3... ordenados, cette.
+ Averiguar dónde están todos los que terminan con una cia
determinada: ¿qué números srän esos? ¿Qué diferencia hay
entre el primer cuatro del 44 y el segundo cuatro? ¿Los dos
cuatros representan al número 42
+ Establecer cuános nümeros ha determinados, por ejemplo,
entre el 20 y el 30. Vente el 9 y e 19, ¿y env el 29 y el 397
¿Y ente el 5 y el 15, genteel 15 y el 25? Anota otros números
‘con los que pasalo mismo, e deci, que hay 10 números entre
clos. Esablecer la regularidad de que no hay ningún caso en el
cuadro en que nose cumpla que un número que está debajo, en
| la misa columna, no tenga 10 némers más
[res eae bay nro an apap sR
+ Descubrir dénde están todos los números terminados en 9.
¿Qué sucede después de los números terminados en 92 ¿Cómo
cambian esos números? tienen un orden?, ¿cuál?
+ Saber rápidamente en cuál fla mirar para ubicar un número sin
ener que huscar uno por uno. Cómo hacer para saberlo.
+ Resolver adivinanzas, por ejemplo:
“Alguien pensó un número, est en la fila de los veinte, Es más.
grande que el 25. Es más chico que el 27, ¿Cuál est”.
Completar cuadros alos que les faltan algunos números.
Averiguar cuál es el número que está tapado.
Corregir portadores con algunos números equivocados.
Resolver adiciones y/o sustracciones. Por ejemplo, para surat
25 + 20, algunos alumnos tendrán que contar desde el 1 hasta
llegar a 25, y luego, seguir contando 20 más, Oros podrán
partir del 25 y “sobrecomar” los 20 siguientes; otros partirán
del 25 y uilizarän la regularidad del cuadro sabiendo que,
nie ol 25 y ol 35, hay 10 números y que, entr el 35 y el 45,
hay 10 más, y que por lo tanto, se puede usar ol conteo de 10
en 10:25, 35, 45".
PENSAR LAS PRÁCTICAS
Busque otras posibles urizaciones didácticas de estos portadores en los
[NAP y póngalas en juego con sus alumnos, |
A continuación, le ofrecemos el desarrollo de una sitvación de
enseñanza.
Adivinar el número en el cuadro (Primer grado)"
Este juego a parir del cuadro de números consiste en que los.
2 Cuáles el casillero que contiene un tesoro, Con la clase organizada
en grupos de a dos o de a cuatro niños, el docente les comunica que
a a Ma rua
i
eltesoro estará escondido en algún casillero, pero que nose les indi
card en cuël. Cad grupo conforma un equipo y dispone de un cua.
dio completo con los 100 números, que podrá lizar para descubri
en qué casillero está el tesoro. Para ello, podrán hacer preguntas que
0 comtesten por “sí” 0 “no”. No están permitidas preguntas como;
"Esel número...”. Se conversará con los alumnos acerca de cuáles
son las preguntas que sise podrían plantar. F aro que los niños por
sols apelen a preguntas del ipo: "¿Es mayor que...” o ‘4Es menor
que..?”. Por eso, el docente les informará que son preguntas peri
entes para el juego.
Sólo pueden nombrar el número que creen que es cuando estén
seguros de ell, no vale arisgar. Una vez que proponen un núme»
ro, sino aciertan, quedan fuera de esa parida. Para formular una pre-
gunta, los integrantes del grupo deberán ponerse de acuerdo y
levantar la mano.
Les servirán los cuadros que posee cada mesa —o que tenga
cada alumno, si se decidiera entregarlos individualmente— para.
notar las informaciones que vayan obteniendo a partir delas res-
puesta alas preguntas, Es necesario resaltar a los niños que deben
encontrar el modo de retener esa información.
Se juega una primera parida. El docente va anotando las pre-
fantasy las respuestas en el pizarrón. Al torminar, se organiza una
instancia de análisis colectivo acerca de las preguntas formuladas:
Cuáles son preguntas útiles, qué permiten averiguar, cuáles no
aportan nueva información porque preguntan sobre algo que ya se
sabía, se analiza la necesidad de tener en cuenta las informacio-
nes dadas en respuestas anteriores, cteétra, También se pueden
acortlar modos de registrar la información, por ejemplo, tachando
los números que ya se sabe, con seguridad, que no pueden ser.
En sucesivas partida, el docente podrá focalizar el análiis en
diferentes aspectos. Por ejemplo, acerca de la escritura del número,
de la relación entre estay la ubicación en ol cuadro; “Es de ls tein
ta porque empieza con tres"; 0 "Después de los treinta, vienen los
«cuarenta porque, después de tes, viene el cuatro”, etcétera.
dores ny den serum © SY
| Con el tiempo, es posible restringir la cantidad de preguntas
A abilitadas, por ejemplo, hasta 10 preguntas, Esta condición tiene
propósito de llevar a pensar con más cuidado las preguntas que
Fan de formular, y así facilitar una mayor toma de conciencia
la ineficiencia v redundancia de algunas de ella. En ese caso,
término de una partida, el maestro podría proponer que enun-
ian ser buenas preguntas para ganar y qué permi
= Las preguntas que permiten averiguar el númoro se refieren a
2 propiedades de las escrituras numéricas. Algunas se refieren a la
oxicón de las cifras: ¿empieza con 4%, je de la fla de los 50%,
'fermina con 92, etcétera. Otras aluden al orden de los números:»
és mis grande que 302, ges más chico que 602, etcétera. En la
EP puesta en común, será muy importante generar un espacio que
permita analizar los distintas preguntas y establecer cuáles permi
en descartar una mayor cantidad de números olas preguntas que
“Bean equivalente. De esta manera, se realzarán aquellas que sean
similares a fos ejemplos mencionados. Los alumnos que no hayan
podido formularlas descubrirán, asi, que hay ois modos posibles
2. de obiererinformacién y comenzarán a establecer nuevas reacio
A nes y a apropiarse de preguntas que permiten descartar una mayor
Sede números Eo os tines, en los momentosde fe.
xión conjunta, será interesante divigirla atención de los alumnos
à pensar cómo tener en cuenta la escritura numérica para formu-
lor preguntas cada vez más ajustadas.
En paris posteriores, algunas veces, el juego podrá ser con
À ducido por un par de alunmos. En ese caso, el docente también
puede plantear preguntas destacando las propiedades de los
"números que los alumnos no hayan considerado aún ea las pre-
guntas que elos formularon.
Una vez que dominen La dinámica del juego, pueden jugar de à
os, uno conta el otro
Como extensión, el docente puede presentar of desarollo de
> paridas, mostrando una a una un conjunto de preguntas y res-
currada
eltesoro estará escondido en algún casillero, pero que nose les indi
card en cuël. Cad grupo conforma un equipo y dispone de un cua.
dio completo con los 100 números, que podrá lizar para descubri
en qué casillero está el tesoro. Para ello, podrán hacer preguntas que
0 comtesten por “sí” 0 “no”. No están permitidas preguntas como;
"Esel número...”. Se conversará con los alumnos acerca de cuáles
son las preguntas que sise podrían plantar. F aro que los niños por
sols apelen a preguntas del ipo: "¿Es mayor que...” o ‘4Es menor
que..?”. Por eso, el docente les informará que son preguntas peri
entes para el juego.
Sólo pueden nombrar el número que creen que es cuando estén
seguros de ell, no vale arisgar. Una vez que proponen un núme»
ro, sino aciertan, quedan fuera de esa parida. Para formular una pre-
gunta, los integrantes del grupo deberán ponerse de acuerdo y
levantar la mano.
Les servirán los cuadros que posee cada mesa —o que tenga
cada alumno, si se decidiera entregarlos individualmente— para.
notar las informaciones que vayan obteniendo a partir delas res-
puesta alas preguntas, Es necesario resaltar a los niños que deben
encontrar el modo de retener esa información.
Se juega una primera parida. El docente va anotando las pre-
fantasy las respuestas en el pizarrón. Al torminar, se organiza una
instancia de análisis colectivo acerca de las preguntas formuladas:
Cuáles son preguntas útiles, qué permiten averiguar, cuáles no
aportan nueva información porque preguntan sobre algo que ya se
sabía, se analiza la necesidad de tener en cuenta las informacio-
nes dadas en respuestas anteriores, cteétra, También se pueden
acortlar modos de registrar la información, por ejemplo, tachando
los números que ya se sabe, con seguridad, que no pueden ser.
En sucesivas partida, el docente podrá focalizar el análiis en
diferentes aspectos. Por ejemplo, acerca de la escritura del número,
de la relación entre estay la ubicación en ol cuadro; “Es de ls tein
ta porque empieza con tres"; 0 "Después de los treinta, vienen los
«cuarenta porque, después de tes, viene el cuatro”, etcétera.
dores ny den serum © SY
| Con el tiempo, es posible restringir la cantidad de preguntas
A abilitadas, por ejemplo, hasta 10 preguntas, Esta condición tiene
propósito de llevar a pensar con más cuidado las preguntas que
Fan de formular, y así facilitar una mayor toma de conciencia
la ineficiencia v redundancia de algunas de ella. En ese caso,
término de una partida, el maestro podría proponer que enun-
ian ser buenas preguntas para ganar y qué permi
= Las preguntas que permiten averiguar el númoro se refieren a
2 propiedades de las escrituras numéricas. Algunas se refieren a la
oxicón de las cifras: ¿empieza con 4%, je de la fla de los 50%,
'fermina con 92, etcétera. Otras aluden al orden de los números:»
és mis grande que 302, ges más chico que 602, etcétera. En la
EP puesta en común, será muy importante generar un espacio que
permita analizar los distintas preguntas y establecer cuáles permi
en descartar una mayor cantidad de números olas preguntas que
“Bean equivalente. De esta manera, se realzarán aquellas que sean
similares a fos ejemplos mencionados. Los alumnos que no hayan
podido formularlas descubrirán, asi, que hay ois modos posibles
2. de obiererinformacién y comenzarán a establecer nuevas reacio
A nes y a apropiarse de preguntas que permiten descartar una mayor
Sede números Eo os tines, en los momentosde fe.
xión conjunta, será interesante divigirla atención de los alumnos
à pensar cómo tener en cuenta la escritura numérica para formu-
lor preguntas cada vez más ajustadas.
En paris posteriores, algunas veces, el juego podrá ser con
À ducido por un par de alunmos. En ese caso, el docente también
puede plantear preguntas destacando las propiedades de los
"números que los alumnos no hayan considerado aún ea las pre-
guntas que elos formularon.
Una vez que dominen La dinámica del juego, pueden jugar de à
os, uno conta el otro
Como extensión, el docente puede presentar of desarollo de
> paridas, mostrando una a una un conjunto de preguntas y res-
currada
52 + Lanier
puéstas, frente alas cuales los alumnos deban determinar, primero,
los intercalos numéricos y, fnalmente, con la última información
recibida, especifiquen de qué número se trata, Por ejemplo:
a. — ¿Es menor queso? Sí
D. —¿Es mayor que 307
ifs mayor que 402
d. —¿Est al lado de 35%
e. ¿Est al lado de 332
ist al lado de 382
8 — ifs entre 38 y 402
Si l docente hubiera mostrado hasta la pisa €, podría preguntar:
“Teniendo en cuenta la información que tenemos hasta aquí, ¿cuáles
son todos los números ente los que se encuentra el buscado?”,
Otra actividad que se puede proponer es que el docente dé pistas,
de a poco, sin que se planteen preguntas. Sobre un cuadro que ten-
gan disponible los alumnos rán registrando la información aportada.
por el docente, Cuando haya finalizado, deberán anotar el nimero
‘que les parece que es. Por ejemplo:
à. —No comienza con 2.
b. —Termina con 1.
© —Es mayor que 60.
d. —Es menor que 70.
En el análisis colectivo, podrá retomarse co todo el grupo la dis-
cusión sobre qué números son los que cada información dada per-
mite retener o descartar
Luego, los alumnos pueden prepara, del mismo modo, näme-
105 y conjuntos de “pistas” para desafar a sus compañeros a que
los adivinen
odas las situaciones que presentamos pueden ser planteadas.
sobre cuadros que contengan números de otos intervalos.
Asimismo, en función de los intervalos olegidos y del tipo de pro
blema planeado, pueden funcionar en Primero, Segundo o en
Tercer grado. Por ejemplo:
Lines anne y made ención + 53
102 [103 [102 106] 107 | 108 [109
m6] nz [me Im
126 | 127 | 128 |120
136 137 | 130 [139
146 [197 | 148 |tao
150 [150
16a [169
me [170
188 [189 |
198 | 190
1009,
1016
1026
5 [1036
1016
1056
1066 [10
1076
1086
1096.10
oo | 110 [120 [so
210 [220120
Co 320 Laso
0 | aio | x La
0 | 510 1520 [530 590
(510 | 620 | 630 CE
ne | 720 | 730 20
0 | 8501020 | 830 200
“sco | 910 | 920 [30 mm
puéstas, frente alas cuales los alumnos deban determinar, primero,
los intercalos numéricos y, fnalmente, con la última información
recibida, especifiquen de qué número se trata, Por ejemplo:
a. — ¿Es menor queso? Sí
D. —¿Es mayor que 307
ifs mayor que 402
d. —¿Est al lado de 35%
e. ¿Est al lado de 332
ist al lado de 382
8 — ifs entre 38 y 402
Si l docente hubiera mostrado hasta la pisa €, podría preguntar:
“Teniendo en cuenta la información que tenemos hasta aquí, ¿cuáles
son todos los números ente los que se encuentra el buscado?”,
Otra actividad que se puede proponer es que el docente dé pistas,
de a poco, sin que se planteen preguntas. Sobre un cuadro que ten-
gan disponible los alumnos rán registrando la información aportada.
por el docente, Cuando haya finalizado, deberán anotar el nimero
‘que les parece que es. Por ejemplo:
à. —No comienza con 2.
b. —Termina con 1.
© —Es mayor que 60.
d. —Es menor que 70.
En el análisis colectivo, podrá retomarse co todo el grupo la dis-
cusión sobre qué números son los que cada información dada per-
mite retener o descartar
Luego, los alumnos pueden prepara, del mismo modo, näme-
105 y conjuntos de “pistas” para desafar a sus compañeros a que
los adivinen
odas las situaciones que presentamos pueden ser planteadas.
sobre cuadros que contengan números de otos intervalos.
Asimismo, en función de los intervalos olegidos y del tipo de pro
blema planeado, pueden funcionar en Primero, Segundo o en
Tercer grado. Por ejemplo:
Lines anne y made ención + 53
102 [103 [102 106] 107 | 108 [109
m6] nz [me Im
126 | 127 | 128 |120
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0 | 8501020 | 830 200
“sco | 910 | 920 [30 mm
Resolución de problemas que requieran reconocer y analizar
el valor posicional de las cifras, en números de 0 a 10.000
Se trata de que los niños resuelvan problemas donde tengan que
componer y descomponer números en “unos”, “dieces”, “cientos”,
“miles”, etcétera. Como ya vimos, no es necesario recurir material
estructurado en base 10 para que los niños comprendan y se apro-
pica con sentido de este aspecto del sistema de numeración. Es más,
no sólo es innecesario, sino que la utilización de esos materiales
incur en diferencias importantes con las reglas de nuestro sistema,
Tampoco son necesarias —las investigaciones así lo demuestran—
las descomposiciones de los números en términos de unidades, dece-
nas, centenas, etcétera. El conocimiento más disponible ca los alumnos
es Ia esctur de los números y sus denominaciones, y por lo tato, es
donde contraremos las situaciones.
Recordemos que uno de los grandes desafíos para la enseñan-
za es logar vincular las conceptualizaciones de los niños con los
saberes considerados válidos y que es preciso ensoñar.
Un contexto interesante para plantear este tipo de trabajo es el
dinero. Veamos un ejemplo.
El cajero (Tercer grado?”
Objetivos:
+ Reflexionar acerca delas operaciones aritméticas subyacentes
alas escrituras numéricas.
+ Utiizar descomposiciones activas ligadas a la numeración.
+ Comprender y uilizar ls reglas de la mumeración oral.
+ Hacer funcionar los cambios 10 contra 1 on dos niveles: diez
billetes de 1 se cambian por uno de 10, diez billetes de 10 se
cambian por uno de 100, diez billetes de 100 se cambian por
uno de 1.000.
+ Diferenciar ls cias según su posición en la escrtura de un
número, asociándoles una cieta cantidad de billetes.
ior fe Mes oe CE D cancer Pras ne Neely
ton nero ondo y ens derameracón © 55
jateriales:
À Para cada grupo de cuatro nos:
+ Billetes de $1, de $10, de $100 y de $1.000.
+ Cartones con números variados ente el 80 y el 3.000 (un
número por cación).
Etapa: Juego de canjes
© La clase se organiza en grupos de 4 niños. En cada grupo, se nam-
y un alumno que será “el caer” y que tiene los billetes de $1, $10,
100 y $1.000. Portura, los otros alumnos extraen uncartón y le piden
El cajero la cantidad de dinero expresada on el cartón, espeilicándole :
québilletes desean Si por ejemplo, un alumno extrae ol cartón que dice
274, puede pedir 1 billete de 1.000, 27 billete de $10 y 4 de $1; 0
2 de $100, 7 de $10 y 4 de 1, etcétera, Los nos juegan tumos con-
cada niño y quién es el que tiene mds dinero.
© Procedimientos esperados.
+ Pedircambio al cajero para facilitar el conteo de os billetes.
+ Agrupar los billetes según su valor (1, 10, 100, 1.000) y con-
tar cuántos billetes de cada clase se tiene y, luego, sumar los
resultados parciales.
Agrupar los bites según e! valor de mayor a menor y realizar el
conteo uno a uno (mil, mil cien, mil doscientos, mil doscientos
chez, mil doscientos vente... mil doscientos setenta y cuatro.
No contar los billetes, sino hacer la suma de los números
escritos en los cartones.
Etapa 2: Puesta en común de la actividad anterior
EL docente releva los diferentes procedimientos utlizados para
«calcular cl total de ganancias y pide a los niños que los expongan.
Insiste sobre la verificación de la actividad: los cambios son correc-
105, si hay una correspondencia entre el total con los billetes y el total
(con los números de los cartones. El maestro invita a los míños a con
ttolar el dinero que han ganado de las dos maneras
el valor posicional de las cifras, en números de 0 a 10.000
Se trata de que los niños resuelvan problemas donde tengan que
componer y descomponer números en “unos”, “dieces”, “cientos”,
“miles”, etcétera. Como ya vimos, no es necesario recurir material
estructurado en base 10 para que los niños comprendan y se apro-
pica con sentido de este aspecto del sistema de numeración. Es más,
no sólo es innecesario, sino que la utilización de esos materiales
incur en diferencias importantes con las reglas de nuestro sistema,
Tampoco son necesarias —las investigaciones así lo demuestran—
las descomposiciones de los números en términos de unidades, dece-
nas, centenas, etcétera. El conocimiento más disponible ca los alumnos
es Ia esctur de los números y sus denominaciones, y por lo tato, es
donde contraremos las situaciones.
Recordemos que uno de los grandes desafíos para la enseñan-
za es logar vincular las conceptualizaciones de los niños con los
saberes considerados válidos y que es preciso ensoñar.
Un contexto interesante para plantear este tipo de trabajo es el
dinero. Veamos un ejemplo.
El cajero (Tercer grado?”
Objetivos:
+ Reflexionar acerca delas operaciones aritméticas subyacentes
alas escrituras numéricas.
+ Utiizar descomposiciones activas ligadas a la numeración.
+ Comprender y uilizar ls reglas de la mumeración oral.
+ Hacer funcionar los cambios 10 contra 1 on dos niveles: diez
billetes de 1 se cambian por uno de 10, diez billetes de 10 se
cambian por uno de 100, diez billetes de 100 se cambian por
uno de 1.000.
+ Diferenciar ls cias según su posición en la escrtura de un
número, asociándoles una cieta cantidad de billetes.
ior fe Mes oe CE D cancer Pras ne Neely
ton nero ondo y ens derameracón © 55
jateriales:
À Para cada grupo de cuatro nos:
+ Billetes de $1, de $10, de $100 y de $1.000.
+ Cartones con números variados ente el 80 y el 3.000 (un
número por cación).
Etapa: Juego de canjes
© La clase se organiza en grupos de 4 niños. En cada grupo, se nam-
y un alumno que será “el caer” y que tiene los billetes de $1, $10,
100 y $1.000. Portura, los otros alumnos extraen uncartón y le piden
El cajero la cantidad de dinero expresada on el cartón, espeilicándole :
québilletes desean Si por ejemplo, un alumno extrae ol cartón que dice
274, puede pedir 1 billete de 1.000, 27 billete de $10 y 4 de $1; 0
2 de $100, 7 de $10 y 4 de 1, etcétera, Los nos juegan tumos con-
cada niño y quién es el que tiene mds dinero.
© Procedimientos esperados.
+ Pedircambio al cajero para facilitar el conteo de os billetes.
+ Agrupar los billetes según su valor (1, 10, 100, 1.000) y con-
tar cuántos billetes de cada clase se tiene y, luego, sumar los
resultados parciales.
Agrupar los bites según e! valor de mayor a menor y realizar el
conteo uno a uno (mil, mil cien, mil doscientos, mil doscientos
chez, mil doscientos vente... mil doscientos setenta y cuatro.
No contar los billetes, sino hacer la suma de los números
escritos en los cartones.
Etapa 2: Puesta en común de la actividad anterior
EL docente releva los diferentes procedimientos utlizados para
«calcular cl total de ganancias y pide a los niños que los expongan.
Insiste sobre la verificación de la actividad: los cambios son correc-
105, si hay una correspondencia entre el total con los billetes y el total
(con los números de los cartones. El maestro invita a los míños a con
ttolar el dinero que han ganado de las dos maneras
36 + tasers ecole
Etapa 3: Ejercicios de familiaización
Fl muestro propone preguntas al conjunto de la las, escribiendo
los números en el pizarrón.
a. Alguien ha extraído los cartones que dicen 1.500, 240 y 87.
Dice que, en total, ha obtenido 1.727. ¿Es cometo?
b. Alguien tino ls siguientes billetes
1.000 1.000 1.000 100 100 100
10 101010 101111111
¿Cuánto dinero Vene?
€: Al sumar sus cartones, alguien ha obtenido 3.569. ¿Qué bill:
tes puede ser que tenga? Proponé distintas posibilidades.
4. Los cartones de otro chico suman 666, qué billetes tiene?
Proponé dos posibilidades.
Segunda parte
Etapa 1: Variante de “El cajero”
El cajero no puede dar más de 9 billets de una misma clase.
En la síntesis colectiva de esta etapa, se debe concluir que, miran-
do la escritura del número sobre el cartón, se sabe lo que hay que
pedir al cajero. Por ejemplo, cuando se extrae un cartón con el
2.374, se piden 2 billets de $1.000, 3 de $100, 7 de $10 y 4 de 51
Etapa 2: Ejercicios de sistematización
El maestro escribe algunos números en el pizarrón, y los niños
eben escribir qué billetes y cuántos habría que pedirle al cajero.
La misma cuestión; pero el maestro nombra los números en voz
alta, sin escrbiros
Extensión de la situación: El banco.
1. El Sr Pérez va à retirar desu cuenta $1.420. ¿Cuántos billetes de
cada tipo le da el cajer al St. Pérez? Complets la tabla.
2. La Sr. García pide cambio de $5.000. Le dice al cajero:
*Deme 3 billets de $1.000 y el resto, de a $100". ¿Cuántos
bites de cada case recibo la señora? Complet la tabla.
1000 [100 — 10 1
3. El Sr, Méndez quiero cobrar un cheque* de $3.618 Le dice al
cajero: "Por lavor, deme la menor cantidad posibie de bille-
tes”. Completé la tabla con la cantidad de billetes que le
entregaron al St, Méndez,
— 1.000 100 [10 1
LT. | Bl
Si el cajero utilizara solamente billetes de $100 y de $1, ¿cuántos
‘de cada valor le entregaría al Sr. Méndez?
Si le hubiera entregado 37 billetes de $109, ¿cuánto dinero le
habría pagado el cajero?
4. El cajero del banco tiene que pagar ves cheques de estos valo-
res: $2.109; $1.475 y $3.748.
Completé la tabla y rsoivé, ¿Cuál esla suma total de dinero
que debe pagar? ¿Cuáles la cantidad total de billetes de cada
clase que debe entregar?
Cheque | 1,000 100 10
32109
HEIZ
E
Total
iso VC 0 7
I
prenne
Etapa 3: Ejercicios de familiaización
Fl muestro propone preguntas al conjunto de la las, escribiendo
los números en el pizarrón.
a. Alguien ha extraído los cartones que dicen 1.500, 240 y 87.
Dice que, en total, ha obtenido 1.727. ¿Es cometo?
b. Alguien tino ls siguientes billetes
1.000 1.000 1.000 100 100 100
10 101010 101111111
¿Cuánto dinero Vene?
€: Al sumar sus cartones, alguien ha obtenido 3.569. ¿Qué bill:
tes puede ser que tenga? Proponé distintas posibilidades.
4. Los cartones de otro chico suman 666, qué billetes tiene?
Proponé dos posibilidades.
Segunda parte
Etapa 1: Variante de “El cajero”
El cajero no puede dar más de 9 billets de una misma clase.
En la síntesis colectiva de esta etapa, se debe concluir que, miran-
do la escritura del número sobre el cartón, se sabe lo que hay que
pedir al cajero. Por ejemplo, cuando se extrae un cartón con el
2.374, se piden 2 billets de $1.000, 3 de $100, 7 de $10 y 4 de 51
Etapa 2: Ejercicios de sistematización
El maestro escribe algunos números en el pizarrón, y los niños
eben escribir qué billetes y cuántos habría que pedirle al cajero.
La misma cuestión; pero el maestro nombra los números en voz
alta, sin escrbiros
Extensión de la situación: El banco.
1. El Sr Pérez va à retirar desu cuenta $1.420. ¿Cuántos billetes de
cada tipo le da el cajer al St. Pérez? Complets la tabla.
2. La Sr. García pide cambio de $5.000. Le dice al cajero:
*Deme 3 billets de $1.000 y el resto, de a $100". ¿Cuántos
bites de cada case recibo la señora? Complet la tabla.
1000 [100 — 10 1
3. El Sr, Méndez quiero cobrar un cheque* de $3.618 Le dice al
cajero: "Por lavor, deme la menor cantidad posibie de bille-
tes”. Completé la tabla con la cantidad de billetes que le
entregaron al St, Méndez,
— 1.000 100 [10 1
LT. | Bl
Si el cajero utilizara solamente billetes de $100 y de $1, ¿cuántos
‘de cada valor le entregaría al Sr. Méndez?
Si le hubiera entregado 37 billetes de $109, ¿cuánto dinero le
habría pagado el cajero?
4. El cajero del banco tiene que pagar ves cheques de estos valo-
res: $2.109; $1.475 y $3.748.
Completé la tabla y rsoivé, ¿Cuál esla suma total de dinero
que debe pagar? ¿Cuáles la cantidad total de billetes de cada
clase que debe entregar?
Cheque | 1,000 100 10
32109
HEIZ
E
Total
iso VC 0 7
I
prenne
50 + anis sol
Si le hubieran pagado a un cliente la suma total de dinero del pro-
blema anterior, ¿cuántos billetes de cada tipo le habrían entregado?
Anotalo en la tabla.
[100 10 i
Compará esta abla con la anterior ‚Hay diferencias? ¿Cuáles? ¿En
qué se parecen? ¿Qué números se repitn? ¿Cuáles no?
5. Una señora fue al banco a pagar dos cuentas. Una, de $2.897;
y la ota, de $674. ¿Cuántos billets y de qué valor tendrá que
dar al banquero? ¿Recibirá wacko? ¿Cuánto? ¿Con qué ill
tes se lo darán?
| Pınsan as PRÁCTICAS
a. ¿Qué dierercias en el tratamiento del conacimiento aporta cada
‘etapa en la situación “El cajero”? ¿De qué modo se promueve a evo-
Jución de los procedimientos de los alumnos?
by. ¿Qué tipo de relaciones se busca establecer en la situación “El
banco”
«¿Qui tipo de intervenciones puede anticipar poro promos, en los
alumnos, el establecimiento de regularidades?
El uso de la calculadora en problemas relacionados
‘con el valor posicional de las cias
Una cuestión que genera debate es cómo usarla calculadora para
que los alumnos aprendan Matemática.
'Quisiéramos plantear algunas condiciones didácticas para que las
calculadoras se constituyan en herramientas para resolver problems y
«que, al mismo tiempo, generen actividad matemática en los sujetos.
Para que esto sea posible, ls situaciones tendrán que contemplar
siempre que los alumnus anticipen y registran procedimiento primero.
3 luego, lo valide utilizando la maquina
hor rómers entes sorna denamerción © 59
si losalurmnos no anotaran previamente la orden que le van a dar
alculadora, ¿cómo pocıfan dar pruebas de la validez de Lo pro-
cido una vez que oprimieron la teca del igual? Muchas veces, no
din recordar ni las operaciones ni los números que utilizaron, y
sea que el resultado obtenido sea el comecto no, al no poder
ons la acción, no pon argumentar acerca de lo producido.
for ota part, sos alumnos cometiean crores, ¿cómo pochían
en qué se equivocaron? ¿Cómo haría el maestro para aber cui-
fueron las fuentes de esos errors, y as poder aceros explícls para
UE gue por medio de un trabajo específico, lograr que ellos desaparezcan?
\guien puede llegar a un resultado incorrecto porque no dispone de
conocimientos nocesaños y decide utlizar una operación no ade-
ada para resolver ese problema porque, sin darse cuenta, oprimió
tecla en lugar de la que, en realidad, quería oii
2 Los siguientes problemas permiten abordar contenidos sobre el
. ara que puedan ser utlizados desde el pri-
aio, deberán aplicarse modificaciones de los números en juego,
1. Completar a siguiente abla y, luego, veficar con la calculadora
“togar | Operación | Operación | Operación |
que quede | 1." intento | 2" intento | 3° intento
402
3640 | a |
4444 EN
Ese tipo de problema destaca ol valor posicional de las if.
Es posible que algunos alumnos, para resolver el primer item,
opriman -7. En ese caso, on el visor, aparecerá el número 465,
5 decir que la maquina mostrará, de inmediato, el error
ese alum
o podrá saber que, con esa orden, no llega al resultado busca
À do y podrá preguntarse por qué, sí la diferencia entre los dos
Si le hubieran pagado a un cliente la suma total de dinero del pro-
blema anterior, ¿cuántos billetes de cada tipo le habrían entregado?
Anotalo en la tabla.
[100 10 i
Compará esta abla con la anterior ‚Hay diferencias? ¿Cuáles? ¿En
qué se parecen? ¿Qué números se repitn? ¿Cuáles no?
5. Una señora fue al banco a pagar dos cuentas. Una, de $2.897;
y la ota, de $674. ¿Cuántos billets y de qué valor tendrá que
dar al banquero? ¿Recibirá wacko? ¿Cuánto? ¿Con qué ill
tes se lo darán?
| Pınsan as PRÁCTICAS
a. ¿Qué dierercias en el tratamiento del conacimiento aporta cada
‘etapa en la situación “El cajero”? ¿De qué modo se promueve a evo-
Jución de los procedimientos de los alumnos?
by. ¿Qué tipo de relaciones se busca establecer en la situación “El
banco”
«¿Qui tipo de intervenciones puede anticipar poro promos, en los
alumnos, el establecimiento de regularidades?
El uso de la calculadora en problemas relacionados
‘con el valor posicional de las cias
Una cuestión que genera debate es cómo usarla calculadora para
que los alumnos aprendan Matemática.
'Quisiéramos plantear algunas condiciones didácticas para que las
calculadoras se constituyan en herramientas para resolver problems y
«que, al mismo tiempo, generen actividad matemática en los sujetos.
Para que esto sea posible, ls situaciones tendrán que contemplar
siempre que los alumnus anticipen y registran procedimiento primero.
3 luego, lo valide utilizando la maquina
hor rómers entes sorna denamerción © 59
si losalurmnos no anotaran previamente la orden que le van a dar
alculadora, ¿cómo pocıfan dar pruebas de la validez de Lo pro-
cido una vez que oprimieron la teca del igual? Muchas veces, no
din recordar ni las operaciones ni los números que utilizaron, y
sea que el resultado obtenido sea el comecto no, al no poder
ons la acción, no pon argumentar acerca de lo producido.
for ota part, sos alumnos cometiean crores, ¿cómo pochían
en qué se equivocaron? ¿Cómo haría el maestro para aber cui-
fueron las fuentes de esos errors, y as poder aceros explícls para
UE gue por medio de un trabajo específico, lograr que ellos desaparezcan?
\guien puede llegar a un resultado incorrecto porque no dispone de
conocimientos nocesaños y decide utlizar una operación no ade-
ada para resolver ese problema porque, sin darse cuenta, oprimió
tecla en lugar de la que, en realidad, quería oii
2 Los siguientes problemas permiten abordar contenidos sobre el
. ara que puedan ser utlizados desde el pri-
aio, deberán aplicarse modificaciones de los números en juego,
1. Completar a siguiente abla y, luego, veficar con la calculadora
“togar | Operación | Operación | Operación |
que quede | 1." intento | 2" intento | 3° intento
402
3640 | a |
4444 EN
Ese tipo de problema destaca ol valor posicional de las if.
Es posible que algunos alumnos, para resolver el primer item,
opriman -7. En ese caso, on el visor, aparecerá el número 465,
5 decir que la maquina mostrará, de inmediato, el error
ese alum
o podrá saber que, con esa orden, no llega al resultado busca
À do y podrá preguntarse por qué, sí la diferencia entre los dos
hubiera registrado nada, el resultado aparecería como algo con-
tingente. “No me dio, no sé por qué, pruebo otra vez” son alga
nos de los comentarios que hemos pudido escuchar; incluso,
hemos observado alumnos que, varias veces, dieron la misma
orden a la máquina sin sor conscientes de ello,
En las discusiones posteriores, será muy intoresante que los
alumnos puedan argumentar acorca de las dilicultades que surgio-
ron, ya que, en estas argumentaciones, quedarán explicados los.
contenidos a los que apunta la situación, Por ejemplo: “Hay que
hacer menos setenta porque ese siete no vale siete, vale setenta, está
en el lugar de los que valen diez, veinte treita..” 0 “Yo le sumó cien
porque del seiscientos al setcientos hay cien”, refiriéndose al segun-
do caso. "Yo primero hice menos cuatro, pero me dio 4440, después
me dí cuenta de que tenía que hacer menos cuairo mil para que
desapareciera un cuatio y me quedaran solamente tes números”, en
solación con el ercer caso.
PENSAR LAS PRÁCTICAS
| ¿Qué tipo de intervención poeta hacer el docente sin por ello recm
wat la trea de los alumnos, en el caso de que algunos estuvican
tenidos y no pudieran resolver el peoblema?
{Una posible intervención es sugerres a Ins alumnos que lean en
voz alla el número y se apoyen en esa información.
‘Como vimos, la numeración hablada, al no ser posicional, es una
fuente de información que facilita la resolución,
2. Mercedes toclo el número 740, pero se confundió, Quería
que apareciera el 1740. ¿Cómo puede corregirlo sin borra?
"Nuevamente, el sentido de este problema es que los alumnos pue
dan analizar el valor posicional de cada cifra.
3. Formé el número 437 uilzando solamente las teclas: 1, O, +,
todas las veces que consideres necesarias, Escribí las operacio-
es antes de usar la máquina.
Lon meo roy tn e memes + 61
Este problema apunta a que los alumnos puedan poner en juego
el conocimiento de la organización decimal del sistema de numera.
ción. El procedimiento más económico es hacer
100 +100+100+ 100+ 101041041141 e141 4161
4. Hacé que, en el visor, aparezca el número 44. No se puede
usarla tecla del 4. Anti las Órdenes quedarás ala máquina.
Después escribi número 444 sn tocar a tecla del 4 ¿podrías
utilizar lo que hiciste para formar el 447
Alora hay que escribir 4444, pero sin tocar, en ningôn
momento, la teca del, ese lo que hiciste antes? Usa
A través de este problema, que involucra la composición de
números, nos interesa que los alumnos puedan descubri ls regula:
vidades de sistema y utliaras Si, por ejemplo, alguien hubiera for
mado el 44 haciendo 20 +20 + 2 « 2, para lograr escribir 444, sólo
tend que agregar 200 +200; y del mismo modo, para formar 4144,
acicionar 2000 + 2000.
5. Proponé números que se podrían sumar o rsar los siguien»
tes números para obtener resultados terminados en
35 a 124 39
Encl análisis colectivo, ser itsesante proponer als alumnos buscar
ses en ojos itenalos numésoos, en ls que nose cumplan os alos
¿ue encontraron. Por ejemplo, es claro que, par 35, basa con sumar
algún número que termine en 5 para que el reulaco termine en 0. En
‘cambio, para 150, ya no sine sumar números que emmine en 5.
.._ Apurtamos a que puedan concluir que cualquier número termi-
ado en 5, sise le sume 5, da como resultado un número terminado
0. Del mismo moda, cualquier número terminado en 3, al sumar.
le 7, da como resultado un número terminado en 0, etcétera. Silos
úmers son mayores, estas estatgíasdoben ser revisadas.
Propuestas de enseñanza para el Segundo Ciclo
Suele concebirse que el trabajo con los números naturales y con
las características del sistema de nuineración debiera ser un tema
dado” y “cerrado” en el Primer Ciclo y, por lo tanto, sélo restaría
*repasarlo”, o extenderlo a números mayores en el Segundo Ciclo.
tingente. “No me dio, no sé por qué, pruebo otra vez” son alga
nos de los comentarios que hemos pudido escuchar; incluso,
hemos observado alumnos que, varias veces, dieron la misma
orden a la máquina sin sor conscientes de ello,
En las discusiones posteriores, será muy intoresante que los
alumnos puedan argumentar acorca de las dilicultades que surgio-
ron, ya que, en estas argumentaciones, quedarán explicados los.
contenidos a los que apunta la situación, Por ejemplo: “Hay que
hacer menos setenta porque ese siete no vale siete, vale setenta, está
en el lugar de los que valen diez, veinte treita..” 0 “Yo le sumó cien
porque del seiscientos al setcientos hay cien”, refiriéndose al segun-
do caso. "Yo primero hice menos cuatro, pero me dio 4440, después
me dí cuenta de que tenía que hacer menos cuairo mil para que
desapareciera un cuatio y me quedaran solamente tes números”, en
solación con el ercer caso.
PENSAR LAS PRÁCTICAS
| ¿Qué tipo de intervención poeta hacer el docente sin por ello recm
wat la trea de los alumnos, en el caso de que algunos estuvican
tenidos y no pudieran resolver el peoblema?
{Una posible intervención es sugerres a Ins alumnos que lean en
voz alla el número y se apoyen en esa información.
‘Como vimos, la numeración hablada, al no ser posicional, es una
fuente de información que facilita la resolución,
2. Mercedes toclo el número 740, pero se confundió, Quería
que apareciera el 1740. ¿Cómo puede corregirlo sin borra?
"Nuevamente, el sentido de este problema es que los alumnos pue
dan analizar el valor posicional de cada cifra.
3. Formé el número 437 uilzando solamente las teclas: 1, O, +,
todas las veces que consideres necesarias, Escribí las operacio-
es antes de usar la máquina.
Lon meo roy tn e memes + 61
Este problema apunta a que los alumnos puedan poner en juego
el conocimiento de la organización decimal del sistema de numera.
ción. El procedimiento más económico es hacer
100 +100+100+ 100+ 101041041141 e141 4161
4. Hacé que, en el visor, aparezca el número 44. No se puede
usarla tecla del 4. Anti las Órdenes quedarás ala máquina.
Después escribi número 444 sn tocar a tecla del 4 ¿podrías
utilizar lo que hiciste para formar el 447
Alora hay que escribir 4444, pero sin tocar, en ningôn
momento, la teca del, ese lo que hiciste antes? Usa
A través de este problema, que involucra la composición de
números, nos interesa que los alumnos puedan descubri ls regula:
vidades de sistema y utliaras Si, por ejemplo, alguien hubiera for
mado el 44 haciendo 20 +20 + 2 « 2, para lograr escribir 444, sólo
tend que agregar 200 +200; y del mismo modo, para formar 4144,
acicionar 2000 + 2000.
5. Proponé números que se podrían sumar o rsar los siguien»
tes números para obtener resultados terminados en
35 a 124 39
Encl análisis colectivo, ser itsesante proponer als alumnos buscar
ses en ojos itenalos numésoos, en ls que nose cumplan os alos
¿ue encontraron. Por ejemplo, es claro que, par 35, basa con sumar
algún número que termine en 5 para que el reulaco termine en 0. En
‘cambio, para 150, ya no sine sumar números que emmine en 5.
.._ Apurtamos a que puedan concluir que cualquier número termi-
ado en 5, sise le sume 5, da como resultado un número terminado
0. Del mismo moda, cualquier número terminado en 3, al sumar.
le 7, da como resultado un número terminado en 0, etcétera. Silos
úmers son mayores, estas estatgíasdoben ser revisadas.
Propuestas de enseñanza para el Segundo Ciclo
Suele concebirse que el trabajo con los números naturales y con
las características del sistema de nuineración debiera ser un tema
dado” y “cerrado” en el Primer Ciclo y, por lo tanto, sélo restaría
*repasarlo”, o extenderlo a números mayores en el Segundo Ciclo.
Remarcamos ia nesta de ura enseñanza que permita profundizar
los conceptalizaciones de ls lumnos sobre el stoma de numeri,
En este sentido, ofreceremos ejemplos de stwaciones de enseñan:
za para que lus docentes dispongan de variados elementos que pos
billen que se retomen, en el Segundo Ciclo, las aproximaciones
progresivas y parciales a la organización del sistema de numeración
¿que vienen realizando los alumnos desde e Primer Ciclo.
Identificación delas relaciones multiplicativas (Cuarto rado)
1. Al resolver un problema que pedía determinar la cantidad
de dinero que se tiene si hay 2 billetes de $1.000, 5 billetes de
$100, 3 billetes de $10 y 8 billetes de $1, Sebastián anotó lo
siguiente:
2 billetes de $1.000
5 billetes de $100
3 billetes de $10
3 billetes de $1
Joaquín lo anal así
1.000 + 1.000 + 100 + 109 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 +
10+1#141+141+1#1el
Juán lo anotó así:
2x 1.000
5x 100
3x10
8x1
En cambio, Lucía lo anot as
2x 1.000 + 5 x 100+3x10+8x1=
+ ¿En qué se parecen y en qué se diferencian estas escrituras?
= 3C6mo se podrän usar para encontrar la respuesta al problema?
+ ¿Podrías explicarlo que anotó Lucia?
2, Para cada par de cálculos, indicá cuál da un resultado mayor, sin
resolverlos,
481.000 4 5 x 100 + 2 x 19-— 5 x 1.000
31.000 + 15 x 100 4x 1.000 +2% 1004 9x 10401
9100 + 12 x 10+ 28 x 1=— 9x 100 13X 104 7x1
Lot menos mms nem denen + 63
1. ¿Es posible repartir estas cantidades de dinero sin hacer
"ventas, sólo mirando los números, de modo tal que todos reciban
+ $600 entre 8 personas
+ $800 entre 4 personas
+ $706 entre? personas
+ $200 enve 10 personas
Respond
a. ¿Cuántos billetes de $10 se necesitan para pagar 51.4002.
b.¿Cuántos billetes de $100 para pagar 83.700, ¿y 10.0002
€ ¿Cuántos billetes de $1.000 para pagar 51000007
.¿Cuántos billetes de $1 para pagar 54.000?
+ S105 entre 10 personas.
+ $150 entre 15 personas
+ $153 entre 15 personas
PENSAR LAS PRÁCTICAS
a ¿Cuál sería la intencionalidad didáctica a proponer esis problemas?
b. ¿Qué asunto matemático podían estciar los alumnos?
Analicemos el problema 1. Por ejemplo, para poder deter
que 706 no puede reparte ente 7 personas en pares iguales sin que
sobre, se podría realizar el siguiente razonamiento: 700 se pod,
Porque el 7 de 700 significa 7 x 100; entonces, le tocan 100 a cada
uno: pero, 706 son 700 + 6, e decir 7 x 100-+ 6 1, saan seis por
que no alcanza para darle uno a cada uno", elcéera.
La reshiccién del problema al pedir que resuelvan sin hacer cuen
ls, sólo pueden mirar los números, apunta a que tomen contacto
on la organización aritmética del sistema. En un principi, para ls
alumnos, no es evidente que, a partir dela lectura delos números, se
puedan establecer las rspuests.
El problema 1. de ete apartado roquiee apelar también las rela-
ciones muliplicatvas entre las detente posiciones.
los conceptalizaciones de ls lumnos sobre el stoma de numeri,
En este sentido, ofreceremos ejemplos de stwaciones de enseñan:
za para que lus docentes dispongan de variados elementos que pos
billen que se retomen, en el Segundo Ciclo, las aproximaciones
progresivas y parciales a la organización del sistema de numeración
¿que vienen realizando los alumnos desde e Primer Ciclo.
Identificación delas relaciones multiplicativas (Cuarto rado)
1. Al resolver un problema que pedía determinar la cantidad
de dinero que se tiene si hay 2 billetes de $1.000, 5 billetes de
$100, 3 billetes de $10 y 8 billetes de $1, Sebastián anotó lo
siguiente:
2 billetes de $1.000
5 billetes de $100
3 billetes de $10
3 billetes de $1
Joaquín lo anal así
1.000 + 1.000 + 100 + 109 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 +
10+1#141+141+1#1el
Juán lo anotó así:
2x 1.000
5x 100
3x10
8x1
En cambio, Lucía lo anot as
2x 1.000 + 5 x 100+3x10+8x1=
+ ¿En qué se parecen y en qué se diferencian estas escrituras?
= 3C6mo se podrän usar para encontrar la respuesta al problema?
+ ¿Podrías explicarlo que anotó Lucia?
2, Para cada par de cálculos, indicá cuál da un resultado mayor, sin
resolverlos,
481.000 4 5 x 100 + 2 x 19-— 5 x 1.000
31.000 + 15 x 100 4x 1.000 +2% 1004 9x 10401
9100 + 12 x 10+ 28 x 1=— 9x 100 13X 104 7x1
Lot menos mms nem denen + 63
1. ¿Es posible repartir estas cantidades de dinero sin hacer
"ventas, sólo mirando los números, de modo tal que todos reciban
+ $600 entre 8 personas
+ $800 entre 4 personas
+ $706 entre? personas
+ $200 enve 10 personas
Respond
a. ¿Cuántos billetes de $10 se necesitan para pagar 51.4002.
b.¿Cuántos billetes de $100 para pagar 83.700, ¿y 10.0002
€ ¿Cuántos billetes de $1.000 para pagar 51000007
.¿Cuántos billetes de $1 para pagar 54.000?
+ S105 entre 10 personas.
+ $150 entre 15 personas
+ $153 entre 15 personas
PENSAR LAS PRÁCTICAS
a ¿Cuál sería la intencionalidad didáctica a proponer esis problemas?
b. ¿Qué asunto matemático podían estciar los alumnos?
Analicemos el problema 1. Por ejemplo, para poder deter
que 706 no puede reparte ente 7 personas en pares iguales sin que
sobre, se podría realizar el siguiente razonamiento: 700 se pod,
Porque el 7 de 700 significa 7 x 100; entonces, le tocan 100 a cada
uno: pero, 706 son 700 + 6, e decir 7 x 100-+ 6 1, saan seis por
que no alcanza para darle uno a cada uno", elcéera.
La reshiccién del problema al pedir que resuelvan sin hacer cuen
ls, sólo pueden mirar los números, apunta a que tomen contacto
on la organización aritmética del sistema. En un principi, para ls
alumnos, no es evidente que, a partir dela lectura delos números, se
puedan establecer las rspuests.
El problema 1. de ete apartado roquiee apelar también las rela-
ciones muliplicatvas entre las detente posiciones.
68 tons Lot rines yaa cman + 65
El uso de la calculadora en problemas que requieren | Entre los ejercicios anteriores, existe una diferencia importante,
analizar las operaciones implícitas en el sistema Mientras que en el primero deco, sólo se ponen en juego la mulipli
de numeración (de Cuarto a Sexto grado) "cación yla visién por potencias de 10, en el segundo, se agregan mul
icone po as em in omas po us y rs
© En ambos casos, una estrategia muy probable es que los niños
basquen por qué námero hay que multiplicar el que aparece en la
Las relaciones multiplicativas implícitas en la numeración escrita
también se manifiestan en problemas como el siguiente:
1, Escribi la respuesta y, después verificá con la calculadora. columna dela izquierda para obtener el del centro.
Un mere Da ¿Qué número es? En el primer cuadro, as citas que componen el número buscado
| multiplicado por... 19 están escritas en el número de la columna del centro (excepto los
10 7.600 eros, por supuesto). Por ejemplo: 10 x 160 = 1.600.
{ 100 32.000 4 En cambjo, en el segundo cuadro, se agrega la complejidad de
Fi [100 1700 q “en la tabla” un número que, multiplicado por ese, dé por
i 100 380.000 resultado el otro; y luego so debe analizar qué cantidad de ceros
5.000.000 correspond escribir en cada cas
17.000, CARE 3. Escribí a respuesta y después, verifies con la calculadora.
10 340 ee. —
= = ¡[Unnimao om
ECC ES | arr ¿Qué número es?
10 4 No 40 ~
Hi 2. Site sin, sá la información de los resultados obtenidos ¡PRETO 760 |
li para responder a las preguntas siguientes: ES [100 720
Un número imeroer | 10 4.300
| multiplicado por... | 9% Qué nimero et | um 7
30 6.006) no Ex ~
200 —_ [6000 à 1.000 250 i
30 250 5 1000, ME
| 400 400.000 =
| 5 30 1 Fr
Fr FU 4 Pensa LAS PRÁCTICAS
i a” 100 PTE pla one pbs as amet
ji En 300.000 = -
A | — a — 1 | Segurament stamos de acuerdo en que lo imporante es que os
y E - e | alumros relacionen la mulliplicaciön y la división en el funciona»
i ] iento de sistema, Para encontrar el cividendo de as divisiones pro:
Hk 2 200-000 | Puestas, muy probablemente los niños multipliquen el cociente
1 300 [600.000 1 obtenido por el divisor que se offece.
El uso de la calculadora en problemas que requieren | Entre los ejercicios anteriores, existe una diferencia importante,
analizar las operaciones implícitas en el sistema Mientras que en el primero deco, sólo se ponen en juego la mulipli
de numeración (de Cuarto a Sexto grado) "cación yla visién por potencias de 10, en el segundo, se agregan mul
icone po as em in omas po us y rs
© En ambos casos, una estrategia muy probable es que los niños
basquen por qué námero hay que multiplicar el que aparece en la
Las relaciones multiplicativas implícitas en la numeración escrita
también se manifiestan en problemas como el siguiente:
1, Escribi la respuesta y, después verificá con la calculadora. columna dela izquierda para obtener el del centro.
Un mere Da ¿Qué número es? En el primer cuadro, as citas que componen el número buscado
| multiplicado por... 19 están escritas en el número de la columna del centro (excepto los
10 7.600 eros, por supuesto). Por ejemplo: 10 x 160 = 1.600.
{ 100 32.000 4 En cambjo, en el segundo cuadro, se agrega la complejidad de
Fi [100 1700 q “en la tabla” un número que, multiplicado por ese, dé por
i 100 380.000 resultado el otro; y luego so debe analizar qué cantidad de ceros
5.000.000 correspond escribir en cada cas
17.000, CARE 3. Escribí a respuesta y después, verifies con la calculadora.
10 340 ee. —
= = ¡[Unnimao om
ECC ES | arr ¿Qué número es?
10 4 No 40 ~
Hi 2. Site sin, sá la información de los resultados obtenidos ¡PRETO 760 |
li para responder a las preguntas siguientes: ES [100 720
Un número imeroer | 10 4.300
| multiplicado por... | 9% Qué nimero et | um 7
30 6.006) no Ex ~
200 —_ [6000 à 1.000 250 i
30 250 5 1000, ME
| 400 400.000 =
| 5 30 1 Fr
Fr FU 4 Pensa LAS PRÁCTICAS
i a” 100 PTE pla one pbs as amet
ji En 300.000 = -
A | — a — 1 | Segurament stamos de acuerdo en que lo imporante es que os
y E - e | alumros relacionen la mulliplicaciön y la división en el funciona»
i ] iento de sistema, Para encontrar el cividendo de as divisiones pro:
Hk 2 200-000 | Puestas, muy probablemente los niños multipliquen el cociente
1 300 [600.000 1 obtenido por el divisor que se offece.
66 + basent
4.Escrbi la respuesta y, después, verificé con la calculadora:
Cantidad máxima de] Cantidad de folles |
Cantidad de folles | las de 10 folletos _ | que sobran
75
3361
202
500
234
4097
En est tipo de problemas, interesa analizarla repularidades que
aparecen en la tabla, prestando atención a que los alumnos den argu-
mentos acerca de la razones de dichas regularidades, Apuntamos aque
(demifiguen que la cantida de pilas para formas comesponde a todo el
número, menes la última cir, que esla que indica “lo que sobra". Por
ejemplo, el docente los llevará a reconocer que 425 = 42 x 10 + 5, esto
permite sabes que se podkán formar 42 pilas de 10 y sobran 3, que la
¿lima cf es lo que sobra porque no llega a formar otro grupo de 10,
etcétera. Esto deberá relacionarse con la división entera por 10.
Se tata, emonces, de que los alumnos leguen a reconocer —con la
ayuda del maesto— que un número puede expresase como una mul.
Úplicación por 10 más otto número; por ejemplo, 202 = 20 x 10+2 6
500 = 50 x 10 + 0, y esa expresión nos permite saber el cociente y el
resto al dividicun número por 10.
Posteriormente, podrá procederse de la misma manera con divisio-
es por 100 y por 1.000. Es importante que eta relaciones queden
regisradas en las carpetas de los alumnos como memoria cronológica
cle sus aprencizajes, para poder ser consuliadas cada vez que el mies
tro lo considere necesario; para buscar información rente a la resolu-
ción de nuevos problems; para que los alumnos puedan estudia para
las evaınciones; para que los alunos más “ojos” puedan estudiar
todo lo que necesiten; para que los padres, maesios particulars,
‘entre ras personas, puedan ayudaros sin contradecir el enfoque de
Eos ines nous y dssemadenmercón + 67
El uso de la calculadora en problemas
À que requieren reconocer el valor posicional de las cf
'analizalo (Sexto grado) e
El valor posicional de las citas puede ser trabajado, con fa calcu
À | Pensar tas pRAcricas
Resuelvael problema anterior y analice los siguientes ems
a. ¿Qué conocimientos son necesarios a efectos de que estén disponi-
ts de que estén disponi-
bes para resolver este problema?
1, ¿Con qué finalidad did se los daría a sus alumnos?
[e ¿Cómo intervendiía para alentar alos alumınos detenidas, sin sole
verte el problema?
2 Enestecapitulo, hemos tratado de ofrecer una mirada sobre ef tra»
2 bajo con los números que propicia, desde nuestra perspective, un
vínculo con el conocimiento matemático del mismo tipo propuesto
en el capítulo anterior “¿Qué entendemos por Matemática cuando se
trata de enseñara en la escuela?”
4.Escrbi la respuesta y, después, verificé con la calculadora:
Cantidad máxima de] Cantidad de folles |
Cantidad de folles | las de 10 folletos _ | que sobran
75
3361
202
500
234
4097
En est tipo de problemas, interesa analizarla repularidades que
aparecen en la tabla, prestando atención a que los alumnos den argu-
mentos acerca de la razones de dichas regularidades, Apuntamos aque
(demifiguen que la cantida de pilas para formas comesponde a todo el
número, menes la última cir, que esla que indica “lo que sobra". Por
ejemplo, el docente los llevará a reconocer que 425 = 42 x 10 + 5, esto
permite sabes que se podkán formar 42 pilas de 10 y sobran 3, que la
¿lima cf es lo que sobra porque no llega a formar otro grupo de 10,
etcétera. Esto deberá relacionarse con la división entera por 10.
Se tata, emonces, de que los alumnos leguen a reconocer —con la
ayuda del maesto— que un número puede expresase como una mul.
Úplicación por 10 más otto número; por ejemplo, 202 = 20 x 10+2 6
500 = 50 x 10 + 0, y esa expresión nos permite saber el cociente y el
resto al dividicun número por 10.
Posteriormente, podrá procederse de la misma manera con divisio-
es por 100 y por 1.000. Es importante que eta relaciones queden
regisradas en las carpetas de los alumnos como memoria cronológica
cle sus aprencizajes, para poder ser consuliadas cada vez que el mies
tro lo considere necesario; para buscar información rente a la resolu-
ción de nuevos problems; para que los alumnos puedan estudia para
las evaınciones; para que los alunos más “ojos” puedan estudiar
todo lo que necesiten; para que los padres, maesios particulars,
‘entre ras personas, puedan ayudaros sin contradecir el enfoque de
Eos ines nous y dssemadenmercón + 67
El uso de la calculadora en problemas
À que requieren reconocer el valor posicional de las cf
'analizalo (Sexto grado) e
El valor posicional de las citas puede ser trabajado, con fa calcu
À | Pensar tas pRAcricas
Resuelvael problema anterior y analice los siguientes ems
a. ¿Qué conocimientos son necesarios a efectos de que estén disponi-
ts de que estén disponi-
bes para resolver este problema?
1, ¿Con qué finalidad did se los daría a sus alumnos?
[e ¿Cómo intervendiía para alentar alos alumınos detenidas, sin sole
verte el problema?
2 Enestecapitulo, hemos tratado de ofrecer una mirada sobre ef tra»
2 bajo con los números que propicia, desde nuestra perspective, un
vínculo con el conocimiento matemático del mismo tipo propuesto
en el capítulo anterior “¿Qué entendemos por Matemática cuando se
trata de enseñara en la escuela?”
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