Ji cuadrada

Presentación para la clase de Metodos Numericos en la maestría de tecnologías de información CUCEA Universidad de Guadalajara

1. Distribuciones de
probabilidad
jicuadrada
Universidadde Guadalajara
CUCEA
Maestría en Tecnologías de Información
Alumno: José Francisco Ruvalcaba Castañeda

2. Distribución jicuadrada
La distribución jicuadrada es una
de las distribuciones de
probabilidad más ampliamente
utilizada en la estadística
inferencial.
Francisco –Mayo 2010

3. Distribución jicuadrada
Su utilidad reside en que, bajo
algunos supuestos razonables y poco
exigentes, existen variables que al
calcularse pueden dar lugar a una
distribución aproximada a la ji
cuadrada.
Francisco –Mayo 2010

4. Distribución jicuadrada
Las situaciones mejor conocidas de uso de
esta distribución está en la común
prueba jicuadrada de bondad de ajuste
de una distribución observada a una
distribución teórica, y la de
independencia de dos criterios de
clasificación de datos cualitativos.
Francisco –Mayo 2010

5. Distribución jicuadrada
La distribución jicuadrada esta asociada
a un parámetro conocido como grado de
libertad.
La forma de la distribución depende del
valor de este parámetro.
Francisco –Mayo 2010

6. Distribución jicuadrada
Definición:
Sea nun entero positivo. Se dice entonces que
una variable aleatoria X tiene una distribución
ji cuadrada con parámetro nsi la función de
densidad de probabilidad de X es la densidad
gama con a = n/2 y b=2
Francisco –Mayo 2010

7. Distribución jicuadrada
Francisco –Mayo 2010

8. Distribución jicuadrada
Gráfica de la función de densidad de la X
2
para
diversos grados de libertad.
Francisco –Mayo 2010

9. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Hipótesis Nula
Hipótesis Alternativa o de Investigación
Valor estadístico de la prueba
Región de rechazo
Francisco –Mayo 2010

10. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Imagínese que se esta investigando la relación entre la
orientación política y los métodos de crianza de los
niños.
Se presentan tres muestras aleatorias: 32 liberales, 30
moderados y 27 conservadores.
Los métodos de crianza se categorizan como “no
rígidos”, “moderados” o “autoritarios”
Francisco –Mayo 2010

11. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Hipótesis Nula: La frecuencia relativa de los métodos
no rígidos, moderados y autoritarios de crianza de los
niños es igual para liberales, moderados y
conservadores.
Hipótesis de Investigación: La frecuencia relativa de
los métodos no rígidos, moderados y autoritarios de
crianza de los niños no es igual para liberales,
moderados y conservadores.
Francisco –Mayo 2010

12. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
X
2
= (fo -fe)
2
/fe
Métodode
crianza
Conservador
fo
Moderado
fo
Liberal
fo
No rígido 7 9 14
Moderado 10 10 8
Autoritario 15 11 5
TOTAL 32 30 27
Francisco –Mayo 2010

13. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Métodode
crianza
ConservadorModerado Liberal
No rígido 7 9 14 30
Moderado 10 10 8 28
Autoritario 15 11 5 31
Total
marginal
32 30 27
Francisco –Mayo 2010

14. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Métodode
crianza
ConservadorModerado Liberal
No rígido 7 9 14 30
Moderado 10 10 8 28
Autoritario 15 11 5 31
Total
marginal
32 30 27 N =89
fe= (total marginal de renglón) (total marginal de columna)/ N
Francisco –Mayo 2010

15. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Métodode
crianza
ConservadorModerado Liberal
No rígido 7
(10.79)
9 14 30
Moderado 10 10 8 28
Autoritario 15 11 5 31
Total
marginal
32 30 27 N =89
fe(1,1) = (30) (32)/ 89 = 960 / 89 = 10.79
Francisco –Mayo 2010

16. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Métodode
crianza
Conservador Moderado Liberal
No rígido 7
(10.79)
9
(10.11)
14
(9.1)
30
Moderado 10
(10.07)
10
(9.44)
8
(8.49)
28
Autoritario 15
(11.14)
11
(10.45)
5
(9.4)
31
Totalmarginal 32 30 27 N =89
Francisco –Mayo 2010

17. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Restar las frecuencias esperadas de las
frecuencias obtenidas
fo–fe
[1,1] 7 –10.79 = -3.79
[1,2]10 –10.07 = -0.07
[1,3] 15 –11.14 = 3.86
[2,1] 9 –10.11 = -1.11
[2,2]10 –9.44 = 0.56
[2,3] 11 –10.45 = 0.55
[3,1] 14 –9.1 = 4.9
[3,2] 8 –8.49 = -0.49
[3,3]5 –9.4 = -4.4
Método
de
crianza
Conserva
dor
Moderad
o
Liberal
No rígido 7
(10.79)
9
(10.11)
14
(9.1)
30
Moderad
o
10
(10.07)
10
(9.44)
8
(8.49)
28
Autoritari
o
15
(11.14)
11
(10.45)
5
(9.4)
31
Total
marginal
32 30 27 N =89
Francisco –Mayo 2010

18. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Elevar al cuadrado esta diferencia
(fo–fe)
2
[1,1] (-3.79)
2
= 14.36
[1,2] (-0.07)
2
= 0.01
[1,3] (3.86 )
2
= 14.9
[2,1] (-1.11 )
2
= 1.23
[2,2] (0.56 )
2
= 0.31
[2,3] (0.55 )
2
= 0.3
[3,1] (4.9 )
2
= 24.01
[3,2] (-0.49 )
2
= 0.24
[3,3] (-4.4 )
2
= 19.36
Método
de
crianza
Conserva
dor
Moderad
o
Liberal
No rígido 7
(10.79)
9
(10.11)
14
(9.1)
30
Moderad
o
10
(10.07)
10
(9.44)
8
(8.49)
28
Autoritari
o
15
(11.14)
11
(10.45)
5
(9.4)
31
Total
marginal
32 30 27 N =89
Francisco –Mayo 2010

19. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Dividir entre la frecuencia esperada
(fo–fe)
2
fe .
[1,1] 14.36 / 10.79 = 1.33
[1,2] 0.01 / 10.07 = 0.00
[1,3] 14.9 / 11.14 = 1.34
[2,1] 1.23 / 10.11 = 0.12
[2,2] 0.31 / 9.44 = 0.03
[2,3] 0.3 / 10.45 = 0.03
[3,1] 24.01 / 9.1 = 2.64
[3,2] 0.24 / 8.49 = 0.03
[3,3]19.36 / 9.4 = 2.06
Método
de
crianza
Conserva
dor
Moderad
o
Liberal
No rígido 7
(10.79)
9
(10.11)
14
(9.1)
30
Moderad
o
10
(10.07)
10
(9.44)
8
(8.49)
28
Autoritari
o
15
(11.14)
11
(10.45)
5
(9.4)
31
Total
marginal
32 30 27 N =89
Francisco –Mayo 2010

20. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Dividir entre la frecuencia esperada
(fo–fe)
2
fe .
1.33
0.00
1.34
0.12
0.03
0.03
2.64
0.03
2.06
X
2
= 7.58
Método
de
crianza
Conserva
dor
Moderad
o
Liberal
No rígido 7
(10.79)
9
(10.11)
14
(9.1)
30
Moderad
o
10
(10.07)
10
(9.44)
8
(8.49)
28
Autoritari
o
15
(11.14)
11
(10.45)
5
(9.4)
31
Total
marginal
32 30 27 N =89
Francisco –Mayo 2010

21. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
Así encontramos el valor de X
2
, para interpretar este calor debemos determinar el
numero apropiado de grados de libertad, esto puede hacerse por medio de tablas
teniendo cualquier numero de renglones y columnas y empleando la siguiente
formula:
gl = (r -1)(c –1)
donde
r = numero de renglones en la tabla de frecuencias obtenidas
c = numero de columnas en la tabla de frecuencias obtenidas
Para nuestro ejemplo
gl = (r -1)(c –1)
= (3 -1)(3 –1)
= (2)(2) = 4
Francisco –Mayo 2010

22. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es discreta.
Ejemplo:
X
2
obtenido = 7.58
X
2
en la tabla = 9.49
gl = 4
P = 0.05
Se necesita un valor de ji cuadrada por lo menos de 9.49 para rechazar la hipótesis
nula, dado que nuestra X
2
obtenida es de solo 7.58 debemos de aceptar la hipótesis
nula y atribuir nuestras diferencias muestrales a la operación de la simple
casualidad.
No se descubrieron evidencias estadísticamente significativas que indiquen que la
frecuencia relativa de los métodos de crianza de los niños difieren para los
liberales, los moderados y los conservadores.
Francisco –Mayo 2010

23. Distribución jicuadrada
X
2
cuando la distribución básica es continua.
Francisco –Mayo 2010

24. Bibliografía:
Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias
Jay L. Devore
Fundamentos de estadística en la investigación social
Jack Levin
Francisco –Mayo 2010