Juegos de logica con soluciones

1. Juegos de lógica
y estrategia
Grupo de trabajo IES Número 2
de Aspe

2. Índice
Página
1. Introducción 1
2.Objetivos
5
3. Contenidos
6
3.1. Procedimientos
6
3.2. Actitudes
6
3.3. Juegos empleados
7
4. Orientaciones metodológicas
10
4.1. Secuenciación de los juegos
10
4.2. Organización del trabajo
10
4.3. El papel del profesor
11
4.4. La disposición de la clase
12
4.5. Materiales y recursos
12
4.6. Distribución del tiempo
13
5. Orientaciones para la evaluación
14
6. Bibliografia de apoyo
16

3. Índice de actividades
Página
·Las tribus 17
·¿Ojos azules? 18
·El súbdiro evasor de impuestos 19
·Las jarras de vino 20
·Cálculo cabalísitico 21
·El condenado que ganó su libertad 22
·La torre 23
·Clasificaciones 24
·El tablero de ajedrez 25
·La rosa mistíca 26
·Series lógicas 27
·La rueda con números 28
·Las parejas 29
·Jugando a las cartas 30
·Llegar a cien 31
·Las seis fichas 32
·El juego de la espiral 33
·La escalada 34
·Policias y ladrones 35
·Serie numérica 36
·El solitario estrellado 37
·Caras y cruces 38
·La zorra y los patos 39
·El círculo de monedas 40
·Las coles de bruselas 41
·El quince gana 42
·Ascendientes del zángano 43
·Tangram cuadrado 44
·Cuadrados mágicos 46
·Pasar el río 48
·Pentaminós 49
·Las ranas saltarinas 50
·Tres en raya 52
Soluciones a las actividades 53

4. 1. INTRODUCCIÓN.
En nuestra cultura es común separar lo que se considera estudio de lo que se
considera juego porque se piensa que jugar es una mera diversión de la que no
se extrae más provecho que el simple descanso de las ocupaciones diarias. Esta
concepción trasladada al ámbito escolar lleva a creer que, para que los alumnos
aprendan a desenvolverse en su futuro próximo en la sociedad y tengan éxito en
el mundo profesional, deben realizar en el aula tareas serias, formales, con un
cierto grado de abstracción... y que les lleven a la consecución de alguna de las
finalidades tipificadas en la LOGSE y que, sólo cuando éstos se hayan cumplido
puede haber lugar para el juego. Así, jugar se convierte en un premio al trabajo
bien realizado a imitación del modelo adulto.
Solemos olvidar que cuando la gente va al cine, juega un partido de fútbol o lee un
libro no piensa en ningún momento en qué finalidad tiene eso que está haciendo.
Simplemente lo hace porque se lo pasa bien. Por ello debemos concienciarnos
que, además de la utilidad de una materia o su necesidad de estudio, también
debemos tener en cuenta la satisfacción que debe producir la realización de una
tarea sin pensar en objetivos a asumir.
Por otro lado, podemos encontrar varias características comunes entre el trabajo y
el juego: en ambos la satisfacción personal aumenta con los progresos
conseguidos, con su práctica se desarrollan procesos de aprendizaje, se puede
disfrutar realizándolos...

Este curso de “Juegos de lógica y estrategia” es la propuesta de una materia
optativa, elaborada por el Departamento Didáctico de Matemáticas, pensada para
desarrollar esa relación juego-trabajo en alumnos, básicamente, del segundo ciclo
de la Enseñanza Secundaria Obligatoria. Las actividades y dificultades de éste se
adecuarán a cada uno de los cursos y grupos de esa etapa.
En las edades propias de esta etapa, los estudiantes aún no son capaces de
entender y realizar fácilmente procesos de abstracción. Por ello, en los cursos en
los que la materia empieza a ser más formal, abstracta y necesita de la repetición
de ejercicios para la consecución de algunas destrezas, por muy grande que sea
nuestro amor por la materia y nuestro deseo de motivación y comunicación, el
alumno acaba aburriéndose y perdiendo todo interés por la asignatura. Para
propiciar este trabajo mental de abstracción es preciso apoyarse en objetos
concretos y esto es lo que aquí se va a hacer. Partiendo de reglas y elementos del
juego pasaremos a la elaboración de estrategias y conclusiones generales.
Además, es en ese momento cuando el juego, muchas veces elemento
fundamental del comportamiento del alumno y en el que desarrolla toda su
creatividad, puede convertirse en la herramienta para volver a captar su interés.
En “Juegos de lógica y estrategia” a través de la motivación y el placer que

5. producen los juegos, queremos desarrollar el pensamiento lógico de los alumnos
y, aprovechando los elementos lúdicos citados, crear una actitud positiva hacia las
matemáticas y los tipos de razonamiento que empleamos. Proponiendo problemas
de ingenio, juegos matemáticos ... podemos involucrar a los alumnos, de una
forma activa y gratificante, para aprender de un modo más eficaz que a través de
los mencionados ejercicios, en los que sólo se desarrolla una técnica memorizada
pero sin ningún trabajo intelectual. Después de haber jugado el tiempo que
consideremos oportuno, propondremos a los alumnos el análisis del juego, con lo
que estaremos pidiendo en realidad que realicen un trabajo de investigación en el
que deberán hacerse sus propias preguntas, tomar decisiones y plantearse las
consecuencias a las que éstas les han llevado.
Si intentamos jugar de forma inteligente, buscando estrategias ventajosas o
ganadoras, seguiremos unos pasos similares a los que necesitamos dar para
resolver un problema:
-el alumno debe leer y entender las reglas del juego como si de un
enunciado matemático se tratara
-debe buscar una línea de juego al igual que se concibe el plan de
resolución del problemas, comparando con juegos (problemas) similares
conocidos.
-debe anotar, con códigos propios, las jugadas que realiza siguiendo su
línea de juego como codificamos lenguaje cotidiano a aritmético, algebraico,
geométrico... en un problema.
-ha de analizar las distintas posibilidades de juego, como en matemáticas
debe decidir qué método más adecuado utilizar
- finalmente, como en matemáticas ha de conseguir unos resultados
correctos (ganar el juego).
Por otro lado, jugando se crea un clima favorable a la discusión y al debate. Con
frecuencia los alumnos encuentran dificultades para discutir oralmente sus
jugadas o para justificar que son ventajosas. Estas situaciones propician el
desarrollo de la expresión oral en contextos de comunicación significativos, ya que
los alumnos están interesados en que se les entienda y en demostrar que su
manera de jugar es la mejor. Se favorecerá así la capacidad de formular
instrucciones o descripciones técnicas así como la expresión del razonamiento
sobre la estrategia seguida en el juego. Algo similar ocurre cuando tienen que
realizarlo por escrito, cuando, para recoger las jugadas o interpretar aquellas que
han sido creadas por otras personas, deben crear sus propios códigos.
Muchos de éstos supondrán una primera aproximación a otros tipos de mensajes
técnicos con los que se encontrarán posteriormente.
En esta asignatura, por tanto, los actos de comunicación van a desarrollar un
papel muy importante. Se fomenta que los alumnos expresen ideas hablando o
escribiendo, que las demuestren e incluso que las representen con imágenes
visuales. Se pretende que sean capaces de entender y juzgar las ideas de los

6. demás, que estarán representadas en cualquiera de las formas descritas. Para
todo lo anterior es necesario acostumbrarse a utilizar vocabulario y notaciones
adecuadas.
Los juegos también favorecen la socialización. Con el resto de jugadores se
establecen relaciones de competitividad y cooperación con las que el alumno va
afianzando su identidad personal y va adquiriendo hábitos de convivencia, lo que
constituye una de las finalidades esenciales de esta etapa y, en general, de toda la
Enseñanza Obligatoria.
Cuando juegan reconstruyen, a su manera y con sus relaciones e interacciones
sociales, el mundo de los adultos para intentar comprenderlo y poder
desenvolverse en él. En este sentido, aprenden a no limitarse a sí mismos
memorizando “cosas” que les vienen dadas e impuestas, sino a ser personas
independientes que tratan de analizar las situaciones para llegar a conclusiones
propias. Esa autonomía intelectual es otro de los objetivos fundamentales de la
enseñanza. Podemos contribuir a ella estimulando a los alumnos a pensar con el
fin de probar y defender sus resultados frente a sus compañeros.
Como los juegos se pueden abordar desde distintos puntos de vista, el amplio
abanico de posibilidades permite elegir el tratamiento que resulte más cercano a
los intereses personales del alumno, que usará este estímulo inicial para un
desarrollo más provechoso del trabajo que se realice en esta asignatura.
Para acabar, en ese trabajo contribuiremos a la consecución de los objetivos
generales de la etapa, incidiendo especialmente en los siguientes:
a)Comprender y producir mensajes orales y escritos con propiedad,
autonomía y creatividad, adecuándolos a diferentes intenciones y contextos
de comunicación.
b)Interpretar y producir con propiedad, autonomía y creatividad mensajes con
diversas intenciones comunicativas, utilizando códigos verbales y no
verbales.
c)Elaborar y desarrollar estrategias de identificación y resolución de
problemas en los diversos campos del conocimientos, siguiendo un proceso
de razonamiento lógico: analizar, discutir, emitir una valoración del propio
trabajo y, de manera consciente, rectificar un proceso de razonamiento
equivocado. Reconocer que este proceso forma parte de la construcción de
las ciencias.
d)Formarse una imagen ajustada de sí mismo, de sus características y
posibilidades, desarrollando un nivel de autoestima que le permita encauzar
de forma equilibrada su actitud y contribuir a su propio bienestar.

7. e)Relacionarse con otras personas adoptando actitudes de solidaridad y
tolerancia, superando inhibiciones y prejuicios.

8. 2. OBJETIVOS.
La enseñanza de esta materia optativa pretenderá que los alumnos desarrollen a
lo largo del curso las siguientes capacidades:
1.Leer, comprender y aceptar las reglas de los juegos con el fin de jugar
correctamente y de forma autónoma, analizando las consecuencias de
éstas y buscando jugadas ventajosas o ganadoras (cuando las haya).
2.Usar correctamente la expresión oral y escrita para exponer y justificar sus
ideas, mejorando ambas mediante la incorporación de nuevos términos a
su vocabulario.
3.Aplicar métodos de codificación para comprender y comunicar las jugadas y
estrategias con suficiente claridad y precisión, manifestando el cómo, el por
qué y el para qué los utiliza.
4.Desarrollar razonamientos lógicos adecuados para plantear hipótesis
propias, verificarlas y generalizarlas.
5.Ensayar nuevas líneas de juego, comprobando sus efectos y
modificándolas si no dan el resultado esperado.
6.Relacionarse con los otros jugadores creando un ambiente de respeto
mutuo, apoyo y comprensión, que favorezca la colaboración en el trabajo.
7.Conocer sus cualidades personales, valorándolas adecuadamente para
poder disfrutar del carácter lúdico de los juegos y sin que haya lugar a
posibles frustraciones.
8.Utilizar con destreza y de forma inteligente los recursos y materiales que
aparecen en el juego (fichas, tableros, crípticos, ordenadores...)

9. 3. CONTENIDOS.
3.1. Procedimientos.
Los contenidos procedimentales, que se desarrollarán en relación a los juegos
empleados y descritos en el apartado 3.3., son los siguientes:
-Lectura y comprensión de las reglas.
-Uso de algún método de prueba (ensayo y error, comparación con juegos
conocidos...) para analizar distintas líneas de juego.
-Elaboración de un plan de juego eligiendo una línea de juego.
-Empleo de la codificación para expresar y comunicar las jugadas de la
estrategia o plan de juego utilizada.
-Ejecución del plan de juego siguiendo la línea elegida.
-Revisión del plan y de la solución examinando el resultado (si se ha
conseguido ganar).
-Justificación de la línea de juego analizando y argumentando por qué la
estrategia escogida lleva al éxito.
-Generalización de la estrategia estudiando si sirve para juegos parecidos o
cambiando algunas condiciones de juego.
-Construcción retrospectiva de las jugadas realizadas como línea de juego,
es decir, partiendo del objetivo final del juego, seguir las jugadas hacia atrás
hasta la situación inicial.
- Simplificación de las estrategias, buscando reglas más sencillas, menor
número de fichas iniciales...
-Uso del vocabulario y las notaciones pertinentes en la descripción de las
estrategias seguidas.
3.2. Actitudes.
Los contenidos actitudinales, que se desarrollarán a lo largo del curso son los
siguientes:
1.Interrogación e investigación ante situaciones contrastables mediante
razonamientos lógicos.
-Gusto por leer y entender, por si mismos, las reglas del juego.
-Predisposición favorable a analizar los juegos planteados: formular
hipótesis, buscar ejemplos y contraejemplos, realizar comprobaciones
experimentales o razonadas...
-No abandonar la búsqueda de la solución a una situación problemática
cuando la estrategia escogida no ha sido adecuada o no se ha obtenido
un resultado satisfactorio.

10. -Aceptar la necesidad de cambiar de estrategia en la búsqueda de
soluciones cuando la situación lo requiera.
-Confianza en las capacidades propias para afrontar situaciones nuevas
que exijan la aplicación de razonamientos lógicos.
-Interés y respeto por las diversas estrategias que se puedan utilizar para
llegar a una solución determinada.
-Espíritu de cooperación, respeto e interés hacia el trabajo de los
compañeros con los se juega.
2.Sistematización del trabajo.
-Organización del trabajo en las actividades planteadas.
-Interés por la precisión del lenguaje, poniendo especial énfasis en el
orden lógico, en la presentación adecuada y limpieza de la presentación
del cuaderno en donde se anotan las investigaciones y la memoria final.
-Valoración positiva de la necesidad de realizar tareas de ejecución
sistemática y metódica para consolidar y asimilar el razonamiento lógico.
3.Valoración de las herramientas usadas.
-Uso, de forma habitual, del razonamiento lógico para afrontar
situaciones que lo requieran.
- Interés por la conservación y el uso de los recursos y materiales que
aparecen en el juego (fichas, tableros, crípticos, ordenadores...).

3.3. Juegos empleados.
A continuación se detallan los tipos de juegos más adecuados para desarrollar los
contenidos anteriormente propuestos, teniendo en cuenta que la clasificación que
se hace de éstos es totalmente flexible y habrá casos en los que la distinción
establecida haga que la pertenencia a un bloque u otro sea un tanto difusa.
En todo caso esta clasificación carece de importancia porque aparece
simplemente como referencia y será el profesor quien, en última instancia,
organice su programación y los incluya o no en función de los materiales hallados,
la evaluación de los intereses y necesidades del grupo de alumnos...
1. Juegos de posición del tipo “3 en raya”.
Juegos como 3 en raya, 4 en línea, Tatetí, morris de 3 hombres, morris de 6
hombres, morris de 9 hombres, parchís, la oca, escalada, master mind... en los
que el objetivo final consiste en obtener una determinada posición con los
materiales, generalmente fichas, que se emplean en ellos.

11. Partiendo de un juego tan simple como conocido (tres en raya) se pueden abordar
diferentes variantes que ofrecen una gran cantidad de contenidos estratégicos. Su
estudio es, inicialmente, fácil por sus sencillas reglas, las escasas piezas que
intervienen, la simetría de los tableros... pero llega acomplicarse en algunos casos
de los que se proponen, como con el cubo de Rubik.
2. Juegos de bloqueo.
Juegos como atrapados, pentaminós, Pong hau k’i, la zorra y los patos... en los
que el objetivo final es acorralar las piezas del adversario.
Suelen ser juegos para dos personas en los que el número y papel en el juego es
distinto para cada uno de los jugadores. Uno de ellos, que está en inferioridad de
condiciones, debe esquivar al otro para llegar a una determinada situación. Su
interés radica en la facilidad de realizar estudios sistemáticos para encontrar
estrategias vencedoras o demostrar ¡que no hay quien gane! si se juega
inteligentemente.
3. Juegos con saltos de fichas.
Juegos como solitario chino, solitario inglés, solitario estrellado, las ranas
saltarinas, damas... en los que las fichas realizan movimientos semejantes al de
las damas, saltando un cierto número de posiciones por encima de las del
adversario.
Al igual que antes, partiendo de un juego relativamente conocido como el solitario
se irán añadiendo progresivamente reglas más complejas hasta llegar a juegos
realmente complicados y con posibilidades estratégicas muy variadas. Permiten
una mejora en la intuición espacial.
4. Juegos del tipo mancala.
Juegos como Awari, Kalah, Awélé, Tchucka, Targui... en los que la idea básica es
ir sembrando semillas, conchas o piedrecillas en agujeros excavados en la tierra o
situados en un tablero. El número de agujeros y de piezas o las reglas de juego
varían según a modalidad pero la estrategia subyacente es la misma y se basa en
procesos de cálculo y recuento.
5. Juegos de tipo nim.
Juegos como nim, llegar a un número, juegos con palillos, ajedrez... en los que la
característica común es que los jugadores van retirando objetos con ciertas
condiciones y pierde (o gana) el que quita el último, aunque en otros el proceso se

12. invierte y se intenta llegar a un número determinado o todas las casillas del
tablero.
En cualquier caso, las estrategias son, nuevamente, de recuento y, por lo tanto,
resultan de gran interés para ejercitar destrezas propias del cálculo mental.
6. Juegos de lógica.
En juegos como ojos azules, cuadrados mágicos, el juego de bolas, las jarras de
vino, verdad o mentira .... en los que ya no empleamos ni fichas ni tableros sino
en los que a partir de un enunciado trataremos de llegar a una solución por
métodos y razonamientos deductivos.

13. 4. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS.
4.1. Secuenciación de los juegos.
La gran independencia que existen entre unos tipos de juegos y otros o la
diversidad del alumnado a los van dirigidos hace que no sea necesario prefijar un
cierto orden a la hora de abordarlos. El profesor puede programar libremente la
secuenciación de los mismos, atendiendo a las característica del nivel y grupo,
alternando juegos de los distintos bloques o clases propuestos.
En las primeras sesiones es recomendable usar juegos que inicien a los alumnos
en el desarrollo de habilidades heurísticas y estrategias de la forma más variada
posible (conjeturar, métodos de ensayo y error, generalizaciones, búsqueda hacia
atrás...) y posteriormente, y a lo largo del resto del curso, ir repitiendo otros, con
variantes de juego, en los que cuyo análisis requiera el uso habitual de esas
mismas técnicas.
También es recomendable al principio, y sobretodo en clases poco avezadas en la
realización de investigaciones, encaminar su interés planteando cuestiones
concretas, adiestrándoles sobre el tipo de exploraciones que les suele conducir a
los resultados buscados. Más adelante se debe ir dejando libertad para que cada
alumno o grupo de ellos, según el juego, vaya escogiendo sus propias vías de
investigación y se abra el debate para la puesta en común.
Otro criterio para secuenciar los juegos puede ser el número de alumnos que en
ellos participan. En un principio, es conveniente empezar con los de dos o más
jugadores porque favorecen la competitividad y el interés por encontrar las
mejores jugadas para ganar. Más adelante, ya se pueden proponer juegos para un
solo jugador cuyo análisis pueda constituir un reto personal suficientemente
motivador.
4.2. Organización del trabajo.
Cada vez que se vaya a abordar un nuevo juego parece conveniente seguir ciertos
pasos para trabajar con él. A título orientativo pueden ser los siguientes:
-Una rápida presentación del juego y los materiales por parte del profesor,
intentando dar el menor número de instrucciones posibles.
-Los alumnos leen atentamente las reglas del juego discutiendo entre ellos
las posibles dudas y, en último caso, pedirán aclaraciones al profesor.
-A continuación juegan unas cuantas partidas hasta coger soltura en esas
reglas. Los alumnos deben practicarlo hasta su dominio total y se
encuentren con las distintas dificultades o dudas que puedan aparecer en

14. su desarrollo. Esta fase es importante y hay que dedicarle todo el tiempo
necesario; no olvidemos que “a jugar se aprende ¡jugando!”.
-De manera espontánea surge la necesidad de buscar jugadas que permitan
ganar, empezando ahí la fase de análisis del juego. En ese momento suele
ser conveniente escribir las jugadas realizadas (lo cual implica que hay que
buscar alguna manera de codificarlas) de forma que podamos rehacer
fácilmente el juego, sin tener que volver a empezar desde el principio.
-Si aún no se ha producido, el profesor desviará el trabajo hacia un debate
en el grupo sobre los resultados obtenidos con el fin de tomar decisiones
sobre posibles estrategias de juego.
-Por último, una discusión de toa la clase, moderada por el profesor,
comparará las conclusiones que se hayan obtenido. E pueden proponer
nuevas partidas que provoquen la verificación de las estrategias propuestas
y/o la reformulación de mejoras de éstas hasta extraer nuevas
consecuencias.
4.3. El papel del profesor.
Es difícil dar indicaciones concretas sobre el papel que el profesor debe
desempeñar en el aula teniendo en cuenta las características de las actividades
propias de esta asignatura.
En unas ocasiones, el profesor actúa como un organizador de la clase, orientando
el trabajo de los estudiantes. Este tipo de intervenciones deben ser lo más
esporádicas posibles e irán dirigidas a:
-Introducir los juegos y presentar los materiales, como se ha señalado
anteriormente.
-Disponer y estructurar la forma en que trabajarán los alumnos.
-Dirigir la clase hacia los resultados esperados empleando, por ejemplo,
técnicas de preguntas-respuesta que provoquen el debate entre los
alumnos.
Sin embargo, la mayor parte del tiempo, realizará una labor de apoyo del trabajo y
a la dinamización del trabajo que se está desarrollando, moderando y animando
las discusiones hacia una puesta en común. En ese sentido:
-Orientará a los alumnos que lo necesiten, aclarando dudas que los alumnos
planteen, especialmente en las fases iniciales del juego.
-Animará a los alumnos a jugar y a anotar las jugadas.
-Se moverá por la clase procurando que el trabajo en los grupos sea lo más
paralelo posible, rompiendo los bloqueos cuando surjan y planteando nueva
vías de juego si fuera necesario.

15. Por último, en los debates de toda la clase y, en particular, en la puesta en común
de los resultados obtenidos, intentará facilitar la comunicación que se debe
establecer para la consecución de los objetivos previstos. Para ello tiene que:
-Favorecer el que todos participen.
-Animar a los alumnos para que se expresen adecuadamente con su propio
vocabulario e intentando introducir nuevos términos o códigos técnicos de
modo que sean aceptados y comprendidos por toda la clase.
-Analizar los errores para provocar su revisión y favorecer así el espíritu
investigador de los alumnos.
4.4. La disposición de la clase.
Generalmente, la disposición de la clase vendrá dada por el número de jugadores
que marquen las reglas del juego concreto que se vaya a practicar. Sin embargo
es interesante que al inicio de cada juego y en la fase de análisis se agrupen de
cuatro en cuatro.
Estas agrupaciones deben conseguir que los alumnos trabajen a un nivel y ritmo
adecuado y, en particular, que potencien el intercambio de ideas entre ellos.
En la fase final de puesta en común también es conveniente esa agrupación,
aunque sólo sea un portavoz de cada grupo el que exponga las conclusiones del
mismo. El profesor recogerá en la pizarra todas las aportaciones para su posterior
discusión sin especificar de donde proceden.
La tarea individual (si así se desea) se realizará al presentar por escrito lo que se
ha realizado y las conclusiones finales a las que se han llegado.
4.5. Materiales y recursos.
Para que realmente un juego tenga éxito es preciso que se efectúe con unos
materiales concretos, que se puedan manejar fácilmente y que sean
suficientemente atractivos.
Así es conveniente programar los juegos que se van a proponer si disponemos del
material adecuado, intentando no improvisar tableros presentados en un folio o
recurrir a recortar trocitos de papel y ponerles distintas marcas para usar como
fichas. Lo que podemos llamar “puesta en escena” resulta fundamental para un
posterior trabajo fructífero en las investigaciones que hagan del juego.
4.6. Distribución del tiempo.

16. Para analizar los juegos se precisan investigaciones. En esta dinámica necesitan
tiempo para aprender las reglas de juego, tiempo suficiente para jugar y que
salgan las complicaciones que aparecen en su desarrollo, idear y elaborar
estrategias, probarlas y comprobar su efectividad, escribirlas en el cuaderno...
todo ello es difícil para el alumno, escribir usando códigos o explicando unas
reglas cuesta mucho y es importante que los alumnos no se sientan agobiados por
el tiempo.
Por ello, y al igual que en el resto de la programación, se deja libremente a criterio
del profesor la temporalización de los juegos y el número de éstos que pueda
exponer o usar, atendiendo a las características, dinámica de trabajo o
necesidades específicas del nivel y grupo al que van dirigidos esos juegos.

17. 5. ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN.
Cuando nos planteamos la evaluación en esta asignatura optativa debemos
recordar cómo se entiende la misma en la ESO: no es la mera calificación
numérica del alumno, sino que debe aplicarse a todos los factores que intervienen
en el proceso educativo, es decir, la propia programación, las actividades
realizadas, el trabajo del profesor e incluso de los propios procesos de evaluación.
Por otro lado, los procedimientos de evaluación usados no deben ser disonantes
con el currículo de la asignatura y, para conseguir conclusiones que permitan
tomar decisiones sobre el alumno, la programación o las actividades, el sistema de
evaluación tiene que responder a la metodología empleada e intentar reflejar si se
han cumplido o no los objetivos propuestos y por qué.
Así, respecto al primer factor citado, la programación, hay que observar si los
contenidos seleccionados han sido adecuados atendiendo a la accesibilidad para
los alumnos y su validez para conseguir los objetivos propuestos. También
debemos analizar si la secuenciación llevada a cabo ha conseguido una
presentación gradual de la dificultad de los juegos o bien por el contrario, se han
producido saltos repentinos en el nivel de dificultad.
En cuanto a las actividades realizadas, en algunas ocasiones los juegos, que a
priori, parecen adecuados para conseguir los objetivos que nos hemos propuestos
luego no han servido para ello. Es necesario analizar el por qué no han funcionado
para modificarlos o simplemente sustituirlos por otros.
Cada profesor emitirá un informe trimestral en el que se analicen los puntos
anteriores y se analice el grado de cumplimiento de las actividades programadas y
su adecuación a la consecución de los objetivos previstos.
Finalmente, está claro que, en esta asignatura, no se puede evaluar al alumno
pensando únicamente en los posibles conocimientos adquiridos, sino en su
evolución durante el proceso de aprendizaje y analizando hasta donde ha llegado
en función de sus posibilidades. No parece lógico que la realización de exámenes
tenga mucho sentido. Si durante el desarrollo de todas las actividades hemos
puesto el énfasis en los procesos de razonamiento, más que en los resultados, no
es lógico dejar de hacerlo en la evaluación del rendimiento de los alumnos.
Por todo lo anterior, para evaluar individualmente al alumno, creemos más
adecuado sacar conclusiones de los trabajos escritos presentados por los
alumnos, de la observación de sus intervenciones en la puesta en común y
debates que se realicen en la clase y en el grado de cooperación y respeto que
haya demostrado hacia sus compañeros en el desarrollo de las actividades
propuestas. Como estas observaciones resultan difíciles de evaluar
numéricamente, o simplemente no estamos habituados a realizarlas, hemos
creído positivo enumerar una serie de datos y observaciones que pueden

18. tomarse como indicadores de la presencia y el desarrollo de las capacidades a
que apuntan nuestros objetivos generales. Estos son:
a) Items sobre procedimientos:

1.Lee, comprende y acepta las reglas del juego.
2.Es capaz de desarrollar razonamientos lógicos para plantearse estrategias
propias.
3.Aplica métodos de codificación para comprender y comunicar las jugadas y
estrategias.
4.Revisa sus estrategias y soluciones en función de los resultados.
5.Llega a alguna conclusión jugando en clase.
6.Llega a conclusiones y resultados sólo en la memoria trimestral.
b) Items sobre actitudes.
1.Gusto por la lectura y comprensión, por sí mismo, de las reglas de juego.
2.Se relaciona con el resto de jugadores creando un ambiente de respeto
mutuo, apoyo y comprensión, que favorezca la colaboración en el trabajo.
3.Conoce sus capacidades personales, valorándolas adecuadamente para
disfrutar del carácter lúdico del juego.
4.Utiliza de forma inteligente y cuidada los materiales y recursos que
aparecen en el juego: tableros, fichas, crípticos...
5.Asiste regularmente a clase y con la puntualidad debida.
La nota global de los diferentes trimestres se pondrá a partir del análisis de las
notas de los anteriores items procedimentales y actitudinales. Dicho análisis se
establecerá a partir de la media ponderada de las dos notas en las cuales
daremos un peso específico del 50% a los procedimientos, el 40% a las actitudes.
El 10% que falta será para analizar el proceso de aprendizaje del alumno y la
evolución de éste en sus hábitos de razonamiento.

19. 6. BIBLIOGRAFIA DE APOYO.
Jocs de lògica i estratègia. F. Gracia i altres. Edicions Tamdem. 1997.
Actividades matemáticas. Brian Bolt. Editorial Labor. 1989.
Divertimentos matemáticos. Brian Bolt. Editorial Labor. 1990.
Matemágicas. Robert Müller. Ediciones Tikal. 1995.
Juegos de ingenio. P. Vives. Ediciones Martínez Roca, S.A. 1989.
Problemas con pautas y números. Shell Centre for Mathematical Education.
Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco. 1993
Papiroflexia. Emanuele Azzità. Editorial De Vecchi S.A. 1997.
Ens divertim pensant. Karmentxu Balugo. Ediciones Baula. 1997
Diversiones matemáticas. R. Rodriguez Vidal. Editorial Reverté, S.A.
Matemáticas para divertirse. Martin Garner. Granica ediciones. 1986.
Retos. Revista de problemas de matemáticas. SEMCV - Al Khwarizmi. 1996.
Taller de matemáticas. VV. AA. Editorial Narcea, Barcelona. 1994
Tambien pueden ser de utilidad recursos como: Revistas de pasatiempos (Logic,
Quiz, Ediciones Pléyades…), Suplementos de pasatiempos de periódicos como
"El País" o “Marca”, páginas web en Internet (www.icnet.es/+xespe/mats.htm o
www.teleline.es/personal/diez10/)…

20. LAS TRIBUS
Una isla está habitada por dos tribus. Los miembros de una tribu siempre dicen la verdad,
los miembros de la otra siempre mienten. Un misionero se encontró con dos de estos
nativos, uno alto y otro bajo.
- "¿Eres de los que dicen la verdad?" - le preguntó al más alto.
- "WOK" - respondió el nativo alto.
El misionero reconoció la palabra como un vocablo nativo que significaba SI o NO, pero no
podía recordar cual de los dos. El nativo bajito hablaba castellano, así que el misionero le
preguntó que le había dicho su compañero.
- "Ha dicho SI, pero él gran mentiroso" - dijo el bajito.
¿A qué tribu pertenece cada uno de los nativos?

21. ¿OJOS AZULES?
Alfredo y su esposa Dolores dan una fiesta a la que asisten, entre otros invitados, tú y el Sr.
Martínez, a quien no conoces de nada. En un momento dado de la fiesta surge la siguiente
conversación:
- SR. MARTÍNEZ: "¿Qué edad tienen sus hijos?"
- ALFREDO: "Verás, la suma de las edades coincide con tu número preferido y su
producto es 36".
- DOLORES: "Con estos datos no puedes conocer las edades. Añadiremos, por
ejemplo, que el mayor tiene los ojos azules".
Calcular el número preferido del Sr. Martínez y las edades de los tres hijos de
los anfitriones.

22. El súbdito evasor de impuestos
Un rey tenía diez súbditos que obligaba a pagar un tributo anual de diez monedas
de oro de 10 gramos cada una.
Un año u súbdito decidió rebelarse y le pagó diez monedas de oro que pesaban
sólo 9 gramos cada una.
¿Cómo puede adivinar el rey cúal de sus súbditos le ha engañado, haciendo una sola
pesada en una balanza?

23. LAS JARRAS DE VINO
Tartaglia propuso el siguiente problema en su tratado: "Questi et invenzoni diverse":
queremos repartir el contenido de una jarra de 24 litros de vino en tres partes iguales
utilizando nada más que la jarra original y otras de 5, 11 y 13 litros respectivamente.
¿Cuáles son los pasos necesarios para conseguir esta división?

24. CÁLCULO CABALÍSTICO
Sustituye las letras por cifras de manera que la operación sea correcta. Ten en cuenta que a
letras iguales le corresponden cifras iguales.
A A B 8 8 B
x C
2 C C B 6 6 A
E S T E
E S
+ E L
F O S O

25. EL CONDENADO QUE GANÓ SU LIBERTAD
Una leyenda cuenta que existió un rey que tenía por costumbre dar la libertad a uno de sus
prisioneros el día de su cumpleaños, para eso sometía a algunos de los prisioneros a una
prueba con la promesa que liberaría a aquél que la superase en primer lugar.
En cierta ocasión propuso una prueba de razonamiento lógico a tres condenados. El rey
introdujo a los tres condenados A, B y C en una habitación a oscuras en la cual había tres
gorros blancos y dos negros. Puso un gorro a cada uno de los prisioneros y los sacó a la luz,
donde cada prisionero podía ver el gorro de los otros pero no el suyo. A continuación
preguntó al prisionero A si sabía el color del gorro que llevaba; contestó que no podía
saberlo. Hizo la misma pregunta al condenado B quien, después de pensarlo un rato, dijo
que tampoco lo sabía. Finalmente, formuló la pregunta al tercer prisionero C, que era ciego,
quien contestó: "No me hace falta ver, mi gorro es blanco". Comprobado por todos su
acierto, el rey decidió dejarlo en libertad.
¿Sabes cómo supo el color de su gorro?

26. LA TORRE
¿Cuántos cubos son necesarios para construir esta torre?
¿Cuántos se necesitarían para construir otra torre como ésta pero de 12 cubos de altura?
Explica cómo has trabajado para contestar la pregunta.
¿Cómo calcularías el número de cubos necesarios para hacer una torre de altura n?

27. CLASIFICACIONES
Deduce los resultados de los seis partidos de fútbol de cada una de las tres competiciones
de fútbol teniendo en cuenta las tablas de resultados dados. Recuerda que G simboliza los
partidos ganados; E los empatados; P los partidos perdidos; F los goles a favor y C los
goles en contra. Cada partido representa 2 puntos para el ganador, 0 para el perdedor y 1
para cada uno en caso de empate.
Eq.G E P F C Pts. B C D
A 2 1 0 4 0 5 A
B 1 1 1 3 4 3 D
C 0 3 0 2 2 3 C
D 0 1 2 0 3 1
Eq.G E P F C Pts. B C D
A 3 0 0 6 2 6 A
B 1 1 1 6 3 3 D
C 1 1 1 2 1 3 C
D 0 0 3 0 8 0
Eq.G E P F C Pts. B C D
A 3 0 0 5 2 6 A
B 1 1 1 1 1 3 D
C 0 2 1 3 4 2 C
D 0 1 2 1 3 1

28. EL TABLERO DE AJEDREZ
¿Cuántos cuadrados podemos dibujar en un tablero de ajedrez? Recuerda que sus
dimensiones son de 8 x 8 cuadrados.
En la figura adjunta se ven tres de estos cuadrados con líneas discontinuas.

29. LA ROSA MÍSTICA
Este dibujo, llamado la rosa mística, se ha realizado uniendo entre sí con líneas rectas los
18 puntos del círculo.
Si cada punto se encuentra unido a todo el resto de puntos,
¿cuántas líneas en total hay dibujadas en esta rosa?

30. SERIES LÓGICAS
Las figuras que presentamos en las tres secuencias siguientes siguen una serie lógica en la
dirección indicada con flechas o números. Tienes que deducir cual es esta serie y encontrar
razonadamente la figura que seguirá.


1 2 3

31. LA RUEDA CON NÚMEROS
Las cifras del 1 al 9 hay que distribuirlas en la rueda de la figura: una cifra debe ocupar el
centro del círculo y las demás, los extremos de cada diámetro de manera que las tres cifras
de cada fila sumen siempre 15.

32. LAS PAREJAS
A una fiesta acudieron 22 personas. María baila con 7 chicos, Silvia con 8, Amalia con 9 y
así sucesivamente hasta llegar a Marta que baila con todos los chicos de la fiesta.
¿Cuántos chicos y chicas hay en la fiesta?

33. JUGANDO A LAS CARTAS
Las señoras X, Y, Z, una argentina, una española y una brasileña, aunque no por este orden,
están jugando a las cartas, sentadas alrededor de una mesa camilla. Cada una ha pasado una
carta a la que se sienta a su derecha. La señora Y ha pasado a la argentina. La señora X ha
pasado una carta a la señora que ha pasado una carta a la brasileña.
¿Cuál es la nacionalidad de X, Y y Z?

34. LLEGAR A CIEN
Es un juego para dos jugadores.
Los jugadores eligen, por turnos, un número entre 1 y 10 y lo suman a los números elegidos
anteriormente.
El primer jugador que consiga llegar exactamente a 100 es el ganador.
Por ejemplo:
Primer jugadorSegundo jugadorSuma total
10
-
8
-
2
-
9
-
8
-
9
-
4
-
5
-
8
-
9
-
9
-
9
-
10
-
10
15
23
31
33
42
51
60
68
77
86
96
100
¡Gana el primer jugador!
¿Puedes encontrar alguna estrategia ganadora?

35. LAS SEIS FICHAS
Este juego es un solitario. Coloca 6 fichas, 3 de cada color, sobre un tablero como el de la
figura.
El objetivo del juego consiste en intercambiar las fichas de posición: las blancas donde
están las negras y al revés, teniendo en cuenta que las fichas se mueven por turnos hacia
una casilla adyacente que esté vacía, y el movimiento se puede hacer en vertical, horizontal
o diagonal.
En este juego, una vez hayas encontrado la solución, sería bueno saber si has hecho el
mínimo número de movimientos que puedes hacer.
Intenta encontrar una fórmula que nos indique el mínimo de movimientos que hemos de
hacer según el número de fichas que haya de cada color.
Lo verás más fácil si rellenas una tabla como la siguiente:
Nº de fichas de cada color1234567 n
Nº mínimo de
movimientos

36. EL JUEGO DE LA ESPIRAL


Es un juego para dos jugadores. Se coloca una ficha en el punto marcado "" y, por turnos,
se mueve la ficha entre 1 y 6 posiciones a lo largo de la espiral, siempre hacia dentro. El
primer jugador que llegue al punto más interior marcado como "" gana la partida.
Intenta encontrar una estrategia ganadora.
Cambia de alguna forma las reglas del juego e investiga como cambian las estrategias
ganadoras.

37. LA ESCALADA
Es un juego para dos personas en el cual se coloca una ficha en el punto marcado como
"SALIDA" y, por turnos, los jugadores desplazan hacia abajo la ficha siguiendo las reglas
siguientes:
En cada turno sólo se puede mover la ficha a un punto adyacente y más alto que la posición
que ocupa en ese momento. Eso quiere decir que cada movimiento nada más se puede
realizar a una de estas tres posiciones:


  
 

El primer jugador que coloca la ficha en el punto marcado como "META" gana la partida.
En el diagrama siguiente tienes el tablero y una posible forma de anotar las jugadas.
Explica como deberías jugar para estar seguro de ganar siempre.
META META
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   

 
SALIDA SALIDA

38. POLICÍAS Y LADRONES
La policía tiene vigilada una casa que cree es la guarida de unos peligrosos delincuentes.
Los habitantes de la casa, al sospechar que son vigilados, inventan un sistema de
contraseñas para evitar que alguien ajeno a la banda se introduzca en la casa. Al tocar a la
puerta, la persona del interior dice la primera parte de la clave: "2", a lo que el de fuera
contesta "3" y la puerta se abre. Cuando la segunda persona intenta entrar, los de dentro
dicen "3" y el otro responde "4" y le dejan entrar. La policía cree haber descubierto la clave
y envía a uno de los suyos. Desde dentro dicen "4" y el policía disfrazado contesta "5", pero
la puerta no se abre.
¿Qué es lo que tendría que haber contestado para que se le franquease la entrada?
¿Cuál es la clave del sistema empleado por los ladrones?

39. SERIE NUMÉRICA
Escribe la fila siguiente de números:
1
11
21
1211
111221
¿?

40. EL SOLITARIO ESTRELLADO
Colocando una ficha en cada uno de los diez vértices del pentágono estrellado, el juego
consiste en retirar de la figura el mayor número posible de fichas siguiendo algunas reglas
de juego.
Iniciamos el juego escogiendo uno de los vértices como salida, retiramos la ficha que haya
allí y, contando sucesivamente tres vértices más en línea recta (incluido el de salida), vamos
retirando las fichas hasta que no quede ninguna.
Prueba a jugar y a encontrar una solución que nos asegure el éxito de este solitario. Intenta
representar los movimientos con alguna simbología que nos facilite anotar los diferentes
movimientos para comunicarlos a los compañeros.
Tienes muchas maneras de ver como ganar al solitario. Plantea jugar de otras formas con
este mismo tablero, cambiando la figura o la manera de mover las fichas.

42. CARAS Y CRUCES
Se trata de un juego solitario de carrera en el cual, partiendo de un punto de salida, el
participante tiene que seguir un determinado recorrido y ganará cuando llegue a otro punto
señalado como meta.
Te planteamos este solitario con dos tableros diferentes:
Se coloca una ficha en la salida y se tira una moneda. Si sale cara, avanza 1 casilla, y si sale
cruz, avanza 2 casillas. Las flechas indican recorridos obligatorios que tienes que seguir si
caes en una casilla donde se inicia la flecha.
Juega unas cuantas partidas para después, codificando las tiradas, establecer una hipótesis
argumentada a las cuestiones siguientes.
Teniendo en cuenta que la moneda está equilibrada, ¿qué tiene más posibilidades sacar cara
o cruz?
Analizando los diferentes recorridos que se pueden presentar en el juego, ¿es más fácil
ganar o perder?
¿En cuál tablero tienes más posibilidades de ganar, en el de la derecha o en el de la
izquierda?
SALIDA PIERDE
GANA
SALIDA PIERDE
GANA

43. LA ZORRA Y LOS PATOS
Hay muchas variantes de este juego, que probablemente tuvo su origen en el Norte de
Europa hacia el siglo XIII. En una de las formas más simples, un jugador dispone de 13
patos y el de una zorra, sobre un tablero como el de la figura:
Los jugadores mueven de forma alternativa y, tanto la zorra como los patos, pueden
trasladarse a lo largo de una línea a un lugar vacío al lado (no en diagonal). La zorra se
come un pato (y se retira la ficha correspondiente del tablero) saltando sobre él. La zorra
puede comerse más de un pato en un único movimiento haciendo más de un salto seguido.
Los patos no pueden saltar sobre la zorra (ni por tanto comérsela), pero, en cambio, pueden
intentar arrinconarla en una esquina e impedirle moverse y ganar así la partida. La zorra
gana si consigue eliminar tantos patos de forma que los que quedan no la puedan acorralar.
Si los patos juegan de una forma razonable tendrían que ganar siempre.
¿Cuál será el mínimo número de patos necesarios para atrapar la zorra?
Si comienzan los patos, ¿cuál será el mejor movimiento de apertura? ¿Por qué?
Sugiere alguna forma de describir una partida de este juego.

44. EL CÍRCULO DE MONEDAS
Es un juego para dos personas y se necesitan fichas, cualquier número, que se colocan en
círculo, como en la figura.
Los jugadores siguen turnos para sacar 1 ó 2 fichas, pero si sacan 2, éstas tienen que estar
una al lado de la otra, sin que haya entre ellas otra ficha o espacio vacío.
La persona que saca la última ficha es la que gana.
Juega unas cuantas partidas. ¿Quién gana?
¿Tiene alguna ventaja salir primero?
¿Es posible empatar?
¿Puede asegurarse la victoria? Si es así, ¿cómo?
Prueba con diferente número de fichas.

45. LAS COLES DE BRUSELAS
Este es un juego para dos jugadores. Únicamente se necesita para jugar un folio de papel y
lápiz.
Partimos de tres puntos, que se convertirán en los nudos de una red, al mismo tiempo que
avanza el juego. El primer jugador tiene que unir con un arco dos de estos puntos y marcar
otro en medio del arco, que será un nuevo nudo de la red. Puede también dibujar un arco
que comience y acabe en el mismo nudo, pero tiene que añadirse un nudo en medio.
 4
      
1 2 3 1 2 3
 4
      
1 2 3 1 2 3
El otro jugador añade un nuevo arco a la red y un nuevo nudo en medio del arco. Puede
utilizar como extremo de su arco cualquier nudo, excepto aquél al cual vayan a parar ya tres
arcos, pues nada más a un nudo llegan tres arcos, queda excluido de cualquier unión futura.
El objetivo del juego es dejar al adversario sin posibilidad de movimiento. Gana el último
jugador que consiga dibujar un arco. Una última regla: los arcos no pueden cruzarse.
Trata de encontrar el número mínimo de jugadas con las que se puede acabar la
partida. Investiga utilizando un número distinto de fichas cada vez.
¿Qué estrategia tiene que seguir un jugador para vencer?

46. EL QUINCE GANA
Se trata de un juego para dos personas, parecido al del tres en ralla, pero con más dificultad.
Necesitamos para jugar 3 fichas de dos colores diferentes y un tablero con nueve casillas,
numeradas del 1 al 9, como el siguiente.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cada jugador, por orden, pone una ficha en alguna casilla libre. Gana el primer jugador que
con las 3 fichas (no dos) sume 15.
Si después de colocar las tres fichas ninguno de los jugadores ha sumado 15, por turnos
cada jugador mueve una de sus fichas a cualquier casilla vacía, con la pretensión de sumar
15 con los nuevos movimientos.
¿Es posible ganar siempre con alguna estrategia eficiente?
¿Hay tríos de casillas que facilitan ganar?

47. ASCENDIENTES DEL ZÁNGANO
El zángano nace de huevos no fecundados. Por tanto, tiene madre pero no padre. La abeja
hembra, la reina, la que pone los huevos, nace de huevos fecundados. Por lo tanto, tiene
padre y madre.
¿Cuántos ascendentes de la generación 15 tiene un zángano?

48. TANGRAM CUADRADO
El TANGRAM, juego de paciencia de origen chino, quizás sea uno de los más antiguos
juegos del mundo. Aunque actualmente existen muchas variantes, la original consta de siete
piezas, llamadas TANS, conseguidas a partir de un cuadrado dividido en 5 triángulos de
tamaños diferentes, un cuadrado y un paralelogramo como el de la figura siguiente:
Instrucciones de juego
El juego consiste en construir nuevas figuras reorganizando todos los tans, buscando la
forma de colocarlos, juntándolos hasta tocarse pero sin llegar a montar unos encima de
otros, para formar figuras exactamente iguales a los modelos deseados.
¿Serías capaz de hacer las siguientes figuras con las piezas del tangram?

50. CUADRADOS MÁGICOS
Los cuadrados mágicos son conocidos en Oriente desde hace mucho tiempo. El historiador
Hom afirma que el cuadrado mágico de orden 3, como el que vamos a trabajar, lo realizó el
emperador chino Yu (2200 a. de C.) y que seguramente los trajo a Europa Marco Polo en el
siglo XIII.
Un cuadrado mágico es un esquema del tipo:
Las propiedades “mágicas”que le podemos atribuir son las siguientes:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 y 45/9 = 5
La suma de cualquier fila, columna o diagonal siempre vale lo mismo, el triple del valor
central y, además, la suma de cualquier número simétrico respecto del valor central también
siempre vale lo mismo, el doble del valor central. Si consideramos cuatro elementos
respecto del valor central, su suma es cuatro veces el valor central. Y aún más:

222222
222222
816492
834672
++=++
++=++
Por otro lado, a partir de uno cualquiera de ellos podemos obtener otros distintos
intercambiando filas o columnas, sumando, multiplicando. dividiendo… por un mismo
número a todos los términos del cuadrado….
Aplicando todas esas propiedades mágicas citadas, completa:
2 7 6
9 5 1
4 3 8

51. 6 8 10
9
8
9
5
10
15 17
14
11 15
13
15
9
8
7 15 5

52. PASAR EL RÍO.
Un titiritero que iba recorriendo la ciudad llevaba consigo un lobo, una cabra y una col. Al
llegar a la orilla de un río se encuentra con que la única manera de cruzar a la otra orilla es
con una barca en la que sólo cabe él y el lobo, o él y la cabra, o él y la col. Por supuesto no
se atreve a dejar al lobo con la cabra, porque aquel acabaría comiéndose a ésta, ni a la cabra
con la col, que tendría igual final.
¿Cómo conseguirán cruzar el río?

53. PENTAMINÓS
Los poliminós o poliominós son curiosas configuraciones geométricas que recubren varios
cuadrados interconectados de un tablero de ajedrez.
Fueron presentados al mundo matemático en 1954, por Solomon W. Golomb, profesor de
ingeniería y matemáticas de la Universidad del Sur de California. En 1957, Scientific
American les dedicó su primer artículo, y desde entonces se han convertido en un
pasatiempo enormemente popular, del que se han publicado centenares de problemas y
configuraciones nuevas y curiosas.
Centrándonos en el poliminós que recubre cinco cuadrados adyacentes del tablero de
ajedrez, forma una estructura, a la que llamaremos pentaminós o pentominós, como los de
la figura siguiente:


¿Cuántos pentaminós diferentes se pueden construir? Dibújalos
Con todos los pentaminos que has encontrado, disponiéndolas de manera determinada,
construye un rectángulo de 6 x 10 cuadrados, sin dejar ningún hueco (se han descrito 2.565
disposiciones diferentes)
¿Se podrían construir rectángulos de 12 x 5 cuadrados? Intenta reordenar los mismos
pentaminós para construir ese nuevo rectángulo (hay como unas 1.600 soluciones
descritas).
¿Y rectángulos de 15x 4? (Hay unas 800 soluciones diferentes)
¿Y rectángulos de 3 x 20? (Es la combinación más difícil ya que sólo se han encontrado 2
soluciones?
Invéntate tu alguna otra disposición de esos 60 cuadraditos.

54. LAS RANAS SALTARINAS
Es uno de los juegos más conocidos del mundo (Fisher, Corbalán, Mason, Mechán, Shell
Centre, etc.), que permite varios enfoques y que aprovecha todo su potencial matemático
para trabajar distintas habilidades típicas de la resolución de problemas.
Se trata de un juego para un solo jugador en el que se juega con una fila de siete casillas y
seis fichas de dos colores distintos, tres de cada uno de ellos. La disposición inicial ha de
ser:
Y el objetivo del juego es intercambiar la posición de las fichas, es decir, las de un color
han de ocupar el lugar ocupados por los del otro y éstas el de aquellas. Para conseguir este
objetivo las fichas se moverán de acuerdo con las siguientes reglas:
Una ficha puede avanzar a la casilla contigua si ésta se halla desocupada o
puede saltar por encima de otra de color distinto si a continuación de ésta
hay una casilla desocupada.
Cuando una ficha de un color salta sobre otra de distinto color, ese color
puede seguir moviendo sus fichas hasta quedar bloqueado.
Las fichas de un color sólo pueden moverse de izquierda a derecha y las del
otro de derecha a izquierda.
El número de movimientos efectuados ha de ser el menor posible.

55. Un ejemplo de partida, si el tablero fuera de tres casilla, sería:
Las fichas del juego de siete casillas se pueden intercambiar en 15 movimientos. Explica
como es posible. Explica, a la vez, como comunicarías a tus compañeros los pasos a seguir
para obtener ese resultado.
Simplifica el juego a tableros más pequeños. Analiza e intenta relacionar el número de
fichas con el de movimientos que hay que realizar para conseguir el juego.
¿Cuántos movimientos se necesitarían para intercambiar la posición de 4 fichas de cada
color? ¿Y con 5 fichas? ¿Y con 20? ¿Y con “n” fichas?

56. TRES EN RAYA
El juego del tres en raya es un juego muy conocido en el participan dos jugadores con un
tablero consistente en un cuadrado con medianas y diagonales como los de la figura:
Las fichas se colocan en los círculos. Un tablero más simple es el construido únicamente
por cuatro barras perpendiculares entre si dos a dos. Las fichas en ese segundo caso se
colocan en el interior de los cuadrados. Cada jugador cuenta con cinco fichas del mismo
color pero diferente al del contrincante.
REGLAS DE JUEGO
El jugador que empiece (puede elegirse por sorteo), coloca su primera ficha en uno de los 9
círculos o cuadrados, según el tablero que utilices. Se continua colocando las fichas
alternativamente.
Gana el primer jugador que consiga colocar 3 fichas en una fila, columna o diagonal.
Cuando se cubran todos los espacios y ninguno de los dos jugadores haya conseguido
colocar las 3 fichas en línea, la partida se considerará acabada en empate.
PARA INVESTIGAR
·¿Es mejor salir primero o segundo?
·¿Cuántas posiciones iniciales hay? Descríbelas.
·¿Se puede garantizar siempre la victoria? En caso afirmativo, ¿cómo?
·¿Qué pasaría si el que consiguiera tres en raya perdiera? ¿Qué estrategia seguirías
entonces?
Una variante muy conocida de este juego consiste en que cada jugador dispone sólo de tres
fichas, de manera que cuando acabe de colocarlas, traslade una de esas fichas a una de las
posiciones libres del tablero siguiendo las diagonales marcadas. Estos movimientos se
realizan alternativamente hasta conseguir tres en raya. ¿Cuál sería la estrategia en este
caso?

57. Soluciones
Actividad: las tribus.
Cuando el misionero preguntó al nativo alto si eran de los que decían la verdad, la respuesta
“wok” ha podido significar si. Si el nativo es de los de la tribu que dicen la verdad, debe
decir la verdad y responder que si, pero si es de la tribu de los mentirosos, debe mentir, y la
respuesta debería seguir siendo si.
Cuando el nativo más bajito dijo al misionero que su compañero había dicho si estaba, por
lo tanto, diciendo la verdad. Además sigue corroborando que dice la vedad al agregar que
su amigo era un mentiroso.
Conclusión: el hombre alto es de la tribu de los mentirosos y el bajito es de la tribu de los
que dicen la verdad.
Actividad: ¿Ojos azules?
Teniendo en cuenta que 36 = 2
2
·3
2
, los posibles productos de tres números cuyo resultado
es 36 son:
36x1x1=36 y la suma seria 36+1+1=38
18x2x1=36 y la suma seria 18+2+1=21
3x3x4 =36 y la suma sería 3+3+4=10
9x4x1 =36 y la suma seria 4+9+1=14
6x6x1 =36 y la suma seria 6+6+1=13
9x2x2 =36 y la suma seria 9+2+2=13
6x3x2 =36 y la suma seria 6+3+2=11
Si el número favorito del sr. Martínez fuese 38, 21, 14, 11 o 10 éste no tendría ningún
problema en saber la edad de los hijos de su amigo. El único caso en el que se precisa un
dato más es si su número favorito fuese el 13, pues hay dos tríos de números cuyo producto
es 36 y suman 13. Pero como Dolores dice que su primogénito tiene los ojos azules, este
dato nos da a entender la existencia de un hijo mayor que los otros, por lo que descartamos
el 6, 6,1 pues habría dos hijos con la misma edad.
Conclusión: el número favorito del sr. Martínez es el 13 y las edades de los hijos de
Alfredo y Dolores son 9, 2 y 2.
Actividad: el súbdito evasor de impuestos.

58. El rey habrá de situar a sus súbditos en orden, con las monedas aportadas por cada uno
delante de él. Del primer súbdito cogerá una moneda, dos del segundo, tres del tercero... y
así hasta el décimo del cual cogerá las diez monedas.
En total habrá (1 + 2 + 3+ ...+ 10) 55 monedas, que deberían pesar 550 gramos. La
diferencia en gramos entre esos 550 y el resultado real de la pesada indicará en número del
súbdito estafador.
Actividad: las jarras de vino.
El objetivo final es repartir en partes de 8 litros ese vino. Empezaremos llenando la jarra de
11 litros con el vino de la jarra de 24 litros; con los 13 litros que han quedado en esta jarra,
llenamos la jarra de 5 litros y hemos conseguido una primera medida de 8 litros; volcamos
el contenido de la jarra de 11 litros en la de 13; rellenamos dicha jarra con el contenido de
la de 5 litros, de forma que en ésta sólo quedarán 3 litros; esos 3 litros de nos han quedado
en la jarra de 5 litros los pasamos a la de 11 litros; con la jarra de 13 litros llenamos la de 5
litros, de forma que en dicha jarra hemos consiguiendo la segunda medida de 8 litros; sólo
nos queda vaciar esa medida de 5 litros en la de 11, donde ya había 3 litros, y ya tendremos
la tercera medida de 8 litros.
Esquemáticamente:

24 5 11 13
13
8
8
8
8
8
8
0
5
5
3
0
5
0
11
11
0
0
3
3
8
0
0
11
13
13
8
8
Actividad: cálculo cabalístico.
7 7 9 8 8 9 A=7
x 3 B=9
2 3 3 9 6 6 7 C=3
7 9 3 7 E=7 L=4

59. 7 9 S=9 O=0
+ 7 4 T=3 F=8
8 0 9 0
Actividad: el condenado que ganó su libertad.
Si el primer prisionero no podía saber el color del sombrero que llevaba es porque veía dos
sombreros blancos o uno blanco y uno negro en alguna de las siguientes situaciones:
B B B (1)
N B B (2)
B B N (3)
N B N (4)
B N B (5)
N N B (6)
Cuando le preguntan al segundo prisionero y este sigue sin poder responder es porque no se
encontró con la situación (4) , ya que en este caso hubiera sabido automáticamente el color
de su sombrero. Además la situación (3) tampoco es posible ya que de las seis situaciones,
en la única en la que el prisionero A lleva un sombrero negro y el prisionero C uno negro es
aquella en la que él lleva el blanco.
Así pues el tercer prisionero, descartando las anteriores se encuentra con estas cuatro
situaciones:
B B B
N B B
B N B
N N B
en las cuales el color de su sombrero siempre es blanco, ¡tuvo suerte!
Actividad: la torre.
Se necesitan 6 cubos para la columna central y 5+4+3+2+1=15 para cada una de las cuatro
paredes. En total: 6 + 15x4 = 66 cubos.
Si la altura de la torre es de 12 cubos, se necesitarían:

60. 12 + 4 · (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11) =12 + 66x4 =276
Para una torre de altura n:
n + 4 · [1+2+3+4+...+(n - 2)+(n-1)] = n + 2·(n-1)·n= n · (2n-1)
Actividad: clasificaciones.
Eq.G E P F C Pts. B C D
A 2 1 0 4 0 5 A 2-00-02-0
B 1 1 1 3 4 3 D 0-10-0
C 0 3 0 2 2 3 C 2-2
D 0 1 2 0 3 1
Eq.G E P F C Pts. B C D
A 3 0 0 6 2 6 A 3-21-02-0
B 1 1 1 6 3 3 D 0-40-2
C 1 1 1 2 1 3 C 0-0
D 0 0 3 0 8 0
Eq.G E P F C Pts. B C D
A 3 0 0 5 2 6 A 1-03-21-0
B 1 1 1 1 1 3 D 0-11-1
C 0 2 1 3 4 2 C 0-0
D 0 1 2 1 3 1
Actividad: el tablero de ajedrez.
Cuadrados de tamaño 1x1: 8x8 = 64 cuadrados
Cuadrados de tamaño 2x2:
Cogiendo las dos primeras filas:
1 2 3 4 5 6 7
Vemos que podemos conseguir 7 cuadrados distintos con dos filas, pero podemos coger en
el tablero dos filas consecutivas de 7 maneras distintas (1ª con 2ª, 2ª con 3ª, 3º con 4ª, 4ª
con 5ª, 5ª con 6ª, 6ª con 7ª y 7ª con 8ª).

61. Por tanto, habrán 7x7=49 cuadrados de tamaño 2x2.
Cuadrados de tamaño 3x3:
Podemos construir 6 cuadrados cogiendo tres filas y podemos coger tres filas consecutivas
de las 8 de 6 maneras distintas.
Por tanto, habrán 6x6=36 cuadrados de tamaño 3x3.
Generalizando los resultados obtenidos, podemos rellenar la siguiente tabla:
TAMAÑO NÚMERO
1x1
2x2
3x3
4x4
5x5
6x6
7x7
8x8
8
2
=64
7
2
=49
6
2
=36
5
2
=25
4
2
=16
3
2
=9
2
2
=4
1
2
=1
TOTAL 204
Actividad: La rosa mística.
Intenta algunos casos sencillos. Busca un diagrama adecuado. Por ejemplo:
No hace falta que los puntos estén espaciados regularmente a lo largo del círculo.

62. Haz una tabla:
Número de puntos 2 3 4 5 6 ... 18
Número de líneas 1 3 6 10 15 ... ?
Observa las pautas. Cada nuevo punto que añadas debe unirse a todos los anteriores.
1ª1 2ª1+2=3 3ª3+3=6 4ª6+4=10 ...
Puedes razonar también de la siguiente manera:
Si tenemos 18 puntos, desde cada uno de ellos trazamos 17 líneas uniéndolo a cada uno de
los otros puntos. Pero estamos contando dos veces cada línea, una vez desde cada uno de
los extremos. Por tanto tendremos con 18 puntos:
(18·17):2=153 líneas.
En el caso que tengamos "p" puntos: p·(p-1):2
Actividad: series lógicas.
1º. Muñecos:
1º 2º 3º 4º 5º?
Cabeza BlancaNegra BlancaNegraBLANCA
Brazos AbajoEn medioArribaAbajoEN MEDIO
Color cuerpoBlancoRayadoNegro RayadoBLANCO
2º. Casas:
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª?
FachadaBlancaBlancaNegraBlancaBlancaNEGRA
Puerta Sí No Sí No Sí NO
Ventana 1 2 1 2 1 2
Chimenea Sí No No Sí No NO
Tejado BlancoNegroBlancoBlancoNegroBLANCO
3º. Esquís:

63. Cada figura se obtiene de la anterior rotándola 90º en sentido contrario al de las agujas del
reloj. La 4ª será por tanto:
Actividad: La rueda con números.
Actividad: las parejas.
Sea "x" el número de chicos en la fiesta e "y" el número de chicas.
Es fácil ver que x + y =22
Para obtener otra ecuación, observemos el siguiente esquema:
Chica Número de
chicos con los
que baila
María 7
Silvia 8
Amalia 9
... ...
Marta x
1
2
3
4
9
8
7
6
5

64. El número de filas (desde María hasta Marta, ambas incluidas) será el número de chicas que
hay en la fiesta. Empezamos con 7 y vamos avanzando de uno en uno hasta llegar a x. Por
tanto habrá x-7+1 chicas.
La segunda ecuación será: x - 7 + 1 = y ó lo que es lo mismox – y = 6
Resolviendo el sistema:
î
í
ì
=-
=+
6
22
yx
yx
obtenemos que hay 14 chicos y 8 chicas en la fiesta.
Actividad: jugando a cartas.
Dibujamos las dos posibilidades de la situación:
X X

Y Z Y Z
Introducimos el dato "La señora Y ha pasado a la argentina".
ArgentinaX X
Y Z Y Z Argentina
Introducimos el dato: "La señora X ha pasado una carta a la señora que ha pasado
una carta a la brasileña".
X Argentina X
BrasileñaY Z Y Z Argentina

65. Brasileña
ACEPTADA DESCARTADA
X Argentina;Y Brasileña;Z Española
Actividad: llegar a cien.
Si un jugador llega a 89, ganará la partida, pues como el otro no puede decir una cifra
superior a 10, cuando llegue su turno llegará a 100. De igual manera, el que llegue 78,
llegará a 89 y ganará, así mismo para llegar a 78 hay que llegar a 67, 56, 45, 34, 23, 12, 1.
Por lo tanto el primer jugador diciendo 1 y llegando, después de tirar el segundo, a 12, ... 23
... 34 ... 45 ... 56 ... 67... 78 ... 89 ... 100 y gana la partida.
Actividad: las seis fichas.
Inicialmente, parece que la solución del juego es que con 9 movimientos como mínimo se
conseguir el intercambio de fichas. Una análisis posterior muestra que se puede reducir el
número. Para encontrar este número mínimo de movimientos, estableceremos un código
para indicar cada movimiento; así hemos nombrado las fichas de la manera siguiente donde
la letra indica el color de la ficha y el número la posición inicial en el tablero.
B3 B2 B1
N3 N2 N1
Vamos a representar en forma de diagrama de árbol las sucesivas jugadas. No hace falta
indicar la casilla adonde se tira, porque es el único lugar posible. Si comienzan las blancas:
N1B3N3B3B2B1TOTAL:9
N1B2
 N3B3N2B2B1TOTAL:8
B1 N1B2B3N3B3B2B1TOTAL:10
  B2
N2 N3B3N3N1B1TOTAL:8
B3N3B2N1B1TOTAL:7
Se puede hacer un estudio análogo si empiezan las negras y el mínimo número de
movimientos sigue siendo 7: N1B2N3B3N2B1N1.
A la vista de los anteriores esquemas, puede llegarse a las siguientes conclusiones:

66. a) Siempre es conveniente mover una ficha al lugar donde se quedará definitivamente,
excepto la que se mueva en primer lugar.
b) Observamos que cuando las fichas se desplazan en diagonal, el número de
movimientos es menor.
c) El camino de menor número de movimientos vendrá dado por el movimiento
alternativo de fichas de cada color, desplazándose a la casilla conveniente en
diagonal, siempre que sea posible.
Esta última afirmación, planteada como hipótesis de trabajo, se puede confirmar llenando la
tabla para los distintos valores del número de fichas de cada color:
Número de fichas de cada color1 2 3 4 5 6 7 n
Número mínimo de movimientos3 5 7 9 111315 2n+1
Actividad: El juego de la espiral.
Es un juego idéntico al de llegar a 100. Primero numeraremos los puntos.
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6

15 24 25 20 7
14 23 22 21 8

13 12 11 10 9
La estrategia a seguir para poder ganar es buscar las posiciones ganadoras: 25, 18, 11 y 4.
Si cambiamos las reglas del juego y son "a" y "b" los números entre los que se puede
mover, las posiciones ganadoras serán: 25 - (a + b), 25 – 2· (a + b), ...

67. Actividad: La escalada.
META

 

Y Y
 

 
X

 

 


SALIDA

Actividad: policías y ladrones.
La clave para entrar es respnder el número de letras que tiene el número que desde dentro te
dicen. Así, la respuesta correcta a "2" es "3" porque la palabra "dos" tiene tres letras, la
contestación correcta a "3" es "4" porque la palabra "tres" tiene cuatro letras....
Por ello, la respuesta acertada a "4" debería ser "6" porque "cuatro" tiene seis letras.
Actividad: serie numérica.
En la primera fila hay escrito "1", pero leemos "un uno", por eso en la segunda fila
escribimos "11". En la tercera fila escribimos lo que leemos de la segunda, es decir, "dos
unos" y escribimos "21", y así sucesivamente.
Por lo que la siguiente fila sería: "312211".
El que llegue primero al punto marcado
con una X habrá ganado la partida, pues
mueva donde mueva el oponente, al
siguiente movimiento alcanzando
cualquiera de las dos posiciones
marcadas con una Y se llega a la
victoria, pues el contrincante solo tiene
una posibilidad y al siguiente
movimiento ya ganas.
Si empiezas primero, debes coger los
puntos laterales. Mueva el segundo
jugador donde mueva, cogemos el punto
central X del diagrama. El segundo
jugador puede escoger tres caminos, sea
el que sea, tiraremos hasta uno de los
puntos marcados con una Y. ¡Hemos
ganado!

68. Actividad: el solitario estrellado.
El ensayo de partidas puede llevar al jugador a acercarse a la solución. También es una
buena idea comenzar por el final con una sola ficha sobre el tablero y colocarlas de nuevo
siguiendo las reglas del juego.
Resulta conveniente utilizar una buena nomenclatura para describir la solución. La primera
idea puede ser numerar las casillas. Así, si estamos sobre la casilla 9 y quitamos la 2,
podríamos representarla como (9,2), donde la primera coordenada indica la casilla de salida
y la segunda la ficha que eliminamos. Una posible solución empezando por la casilla 1
sería: (1,4); (4,7); (7,10); (10,3); (3,6); (6,9); (9,2); (2,5); (5,8). La salida desde otro vértice
daría lugar a otra solución.
1
9
10 2
8 3
7 6 4
5
Actividad: caras y cruces.
Lo primero sería señalar que es igualmente probable obtener una cara o una cruz lanzando
una moneda equilibrada. Entonces p(Cara) = p(Cruz) = 1/2.
Antes de teorizar sobre el problema sería conveniente jugar varias partidas, pero un
diagrama de árbol nos puede ayudar a comprender si es más fácil ganar que perder o
viceversa.
Numeramos la casilla de "Salida" con el 1 y las demás sucesivamente hasta llegar a la de la
meta que estará marcada con un 10.
Para el primer tablero:
 9  2 PIERDE (2)
 2 PIERDE (1)  8
S1  4  7  10 GANA
 3   9  2 PIERDE (3)
 5

69. Está claro que nunca se llegará a la casilla 6 y que siempre que se llegue a la 3 se va a pasar
a la 4, porque la 5 nos lleva de nuevo a la 3 y desde la cuatro pasamos con toda seguridad a
la 7.
Parece que es más fácil perder que ganar. Para estar seguros calculamos las probabilidades.
p(P1) = 1/2p(P2)= 1/2·1/2·1/2 =1/8p(P3) = 1/2·1/2 = 1/4
Por tanto p(Perder) = 1/2 + 1/8 + 1/4 = 7/8 y p(Ganar) = 1/8.
Procediendo de igual manera con el segundo tablero se llega a la conclusión que p(Perder)
= 5/8 y p(Ganar) = 3/8, pero de todas maneras es más fácil ganar en el segundo tablero que
en el primero.
Actividad: la zorra y los patos.
La zorra no puede ser nunca atrapada con menos de cuatro patos.
Probablemente, el mejor movimiento de salida para los patos sea mover la pieza del
extremo de la derecha (o de la izquierda).
Si tenemos en cuenta la simetría del tablero, hay 7 formas diferentes de colocar una sola
zorra en el tablero.

70. Actividad: el círculo de monedas.
La estrategia ganadora en este juego está basada en la simetría que, para el jugador que la
utiliza, consiste en realizar acciones simétricas a las del jugador contrario.
El segundo jugador, si utiliza la siguiente estrategia de dos etapas, puede ganar siempre.
1.- Después que el primer jugador haya extraído una o dos fichas, quedará un único
espacio vacío en algún lugar del círculo. El segundo jugador sacará ahora una o
dos fichas del lado opuesto del círculo de manera que las fichas queden divididas
en dos grupos iguales.
2.- De ahora en adelante, sea la que sea la jugada del primer jugador, el segundo
tomará la ficha o las fichas correspondientes al otro grupo.
Actividad: las coles de Bruselas.
Inicialmente los alumnos tienden a pensar que el juego no tendrá fin, pero una vez han
realizado unas cuantas partidas se dan cuenta que el número de jugadas está limitado,
aunque en cada tirada se genera un nudo nuevo. La resolución del problema tiene que
realizarse en dos etapas, haciendo primero una particularización, en la cual los alumnos
resuelvan casos sencillos, un punto de salida, dos, tres, ... hasta tener suficientes datos para
analizar el problema. Una vez se tengan los resultados se procede a su generalización,
intentando obtener una expresión que resuma el problema y responda a las preguntas
formuladas. Estudiando el problema para los casos de 1, 2 y 3 puntos obtenemos los
resultados siguientes:
Cualquier otra
posición la podemos
conseguir mediante
una de las simetrías
marcadas.

71. número de puntos jugadas mínimas jugadas máximas
1
2
3
2
4
6
2
5
8
Para obtener estos resultados, el alumno tiene que darse cuenta que el número de jugadas
mínimas se obtiene cuando se dejan sin completar tantos puntos como puntos tenemos de
salida. El número máximo de jugadas se obtendrá cuando sólo dejamos un punto, el último,
sin completar.
Es fácil ver que las jugadas mínimas corresponden a la sucesión de los números pares (así,
por ejemplo, para 4 puntos se necesitarán 8 jugadas mínimo). Para las jugadas máximas se
sigue una progresión aritmética de diferencia 3, por lo que los siguientes términos de la
sucesión serán 11, 14, 17, ... y su término general será 3n - 1.
El segundo jugador tiene más posibilidades de victoria pues puede seguir cualquiera de
estas tres estrategias:
1.- Buscar el mínimo número de jugadas, en este caso no importa el número de
puntos con los cuales iniciamos el juego, ya que siempre el número mínimo de
jugadas mínimas es par y acabará él el juego.
2.- Buscar el número máximo de jugadas si el número inicial de puntos es impar, ya
que en este caso el número de jugadas es par.
3.- Entre 4 y 10 puntos se puede buscar un número medio de jugadas que sea par. Eso
lo llevará a la victoria.
En el resto de los casos el jugador ganador será quien comience el juego.
Actividad: el quince gana.
Este juego no presenta una estrategia ganadora que asegure la victoria, pero algunas
posiciones ocupadas por uno de los dos jugadores facilitan el éxito.
Como el objetivo es sumar 15 se trata de comprobar si alguna de las casillas, en
combinación con las otras, posibilita sumar 15. Se podría proponer anotar las posibles
combinaciones de tres números que sumen 15:
(1,5,9) - (1,6,8) 1, 5 6, 9, 8
(2,4,9) - (2,5,8) - (2,6,7)2, 4, 5, 6, 7, 8, 9
(3, 4, 8) - (3, 5, 7)3, 4, 5, 7, 8
(4, 5, 6) 4, 5, 6

72. Estas ternas muestran que el 5 es el número que aparece en más combinaciones que suman
15. Por tanto, tener ocupada la casilla 5 nos da más posibilidades de ganar. De todas
maneras, el juego quedará en tablas si no se produce la distracción de uno de los jugadores
ya que la técnica de defensa de cada jugador es evitar que en el movimiento siguiente el
contrario haga 15 con sus tres fichas, por lo que deberá cubrir con una de sus fichas la
casilla que haga eso posible.
Actividad: ascendentes del zángano.
Comenzamos por el zángano de generación 15 y subamos hacia arriba para determinar el
número de sus ascendientes:
.............................
RZ R R Z R Z R
       
R Z R R Z
    
R Z R
  
R Z
 
R

Z
Consideramos la fila 15 como la última y que tiene una sola R, por tanto un ascendiente,
será la 14. La fila 13 tiene R y Z, dos ascendientes más. La fila 12 tendrá 3 ascendientes y
así sucesivamente ...
Fila 14 13 12 11 10
Número de componentes 1 2 3 5 8
Observamos que a partir de la tercera, cada una tiene tantos componentes como la suma de
las dos anteriores. Así pues, no será difícil determinar cual será el número de miembros de
la fila 1ª:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 y 610.
Ahora sólo falta sumar todos estos números.

73. Actividad: tangram cuadrado.
Actividad: cuadrados mágicos.
6 8 10
4
8
9
5 10
15 17
16
11 9
13
18
16 7 15 5
7 12 5 13 6
11 9
7 11
12
10 16
14 12 10 12 14
18 11 15 8 13
11 15
14 10 17 9 1

74. Actividad: pasar el río.
El titiritero debe empezar por pasar la cabra, la deja en la otra orilla y vuelve. Coge en
segundo lugar al lobo (o la col), el pasa a la otra orilla. El titiritero ha de volver pero con la
cabra. Deja la cabra y coge la col (o al lobo). Atraviesa otra vez el río para dejar la col.
Finalmente regresa a por la cabra y la vuelve a pasar a la otra orilla.
Actividad pentaminós.
Con los cinco cuadrados podemos montar 12 configuraciones o pentaminós distintos.
Disponiéndolas de manera determinada se asemejan a algunas letras del alfabeto. Tomamos
como nombre de cada una de allas la letra a la que se asemeja.
Para acordarse de ellas, podemos hacer uso de esta sencilla regla mnemotécnica: las siete
últimas letras del abecedario (TUVWXYZ) más las que forman la palabra FILiPiNo.
13 12
17 3 13 11

75. Disponiéndolas de una forma determinada, crearemos rectángulos de distintos tamaños o
cuadrados (con 4 “agujeros”). Algunas de las soluciones, sin tener en cuanta los posibles
giros de un rectángulo cualquiera, se presentan a continuación:

76. Actividad: las ranas saltarinas.

77. Una manera de codificar la solución es la siguiente:
Las fichas azules a la derecha y las rojas a la izquierda.
La primera ficha azul es la más avanzada. La tercera es la más retrasada.
1.- La primera ficha azul avanza una casilla hacia la izquierda.
2.- La primera ficha roja salta por encima de la primera ficha azul.
3.- La segunda ficha roja avanza una casilla hacia la derecha.
4.- La primera ficha azul salta por encima de la segunda ficha roja.
5.- La segunda ficha azul salta por encima de la primera ficha roja.
6.- La tercera ficha azul avanza una casilla hacia la izquierda.
7.- La primera ficha roja salta por encima de la tercera ficha azul.
8.- La segunda ficha roja salta por encima de la segunda ficha azul.
9.- La tercera ficha roja salta por encima de la primera ficha azul.
10.- La primera ficha azul avanza una casilla hacia la izquierda.
11.- La segunda ficha azul salta por encima de la tercera ficha roja.
12.- La tercera ficha azul salta por encima de la segunda ficha roja.
13.- La segunda ficha roja avanza una casilla hacia la derecha.
14.- La tercera ficha roja salta por encima de la tercera ficha azul.
15.- La tercera ficha azul avanza una casilla hacia la izquierda.
Primera simplificación: eliminar las palabras sobrantes.
La secuencia queda:
1.- Azul avanza.
2.- Roja salta.
3.- Roja avanza.
4.- Azul salta.
5.- Azul salta.
6.- Azul avanza.
7.- Roja salta.
8.- Roja salta.
9.- Roja salta.
10.- Azul avanza.
11.- Azul salta.
12.- Azul salta.
13.- Roja avanza.
14.- Roja salta.
15.- Azul avanza.
Segunda simplificación.
“Fuera letras”. Establecemos el siguiente código:
Roja: R, Azul: A, Avanza: a , Salta: s

78. La secuencia de instrucciones queda:
1.- Aa
2.- Rs
3.- Ra
4.- As
5.- As
6.- Aa
7.- Rs
8.- Rs
9.- Rs
10.- Aa
11.- As
12.- As
13.- Ra
14.- Rs
15.- Aa
Tercera simplificación.
No es necesario indicar si una ficha avanza o salta, pues la clase de movimiento viene
determinada por la ficha que se mueve. Podemos eliminar también el número de orden de la
instrucción. Queda:
A – R – R – A – A – A – R – R – R – A – A – A – R – R – A
Cuarta simplificación.
Podemos agrupar los movimientos de fichas del mismo color:
1A – 2R - 3A - 3R - 3A - 2R - 1A
Quinta simplificación.
¿Quién debe salir, las azules o las rojas?. Es lo mismo. Da igual que primero mueva una azul o
una roja, siempre que a continuación muevan dos fichas de distinto color y luego tres fichas de
distinto color, etc. La secuencia queda definitivamente:
1 – 2 – 3 – 3 – 3 – 2 - 1

79. Actividad: tres en raya.
Describimos las posibles posiciones iniciales:
Existen tres, ya que las otras seis son igual a la segunda y tercera posición, por ser el tablero
simétrico.
Analicemos ahora la primera jugada:
El primer caso nos llevará al empate, basta que se juegue tapando la tercera posible
posición de la línea.
La segunda jugada permitirá ganar al jugador que salió.