K66-PTVP-BAI GIANG PTVP dai hoc thuy loi năm học 2023-2024

bài giảng ptvt

1. BÀI GIẢNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
( nội dung có thể chỉnh lý trên lớp)

2. Bảng tích phân cơ bản:
1. 0dx=Cò 2. adx=ax+Cò
3. x
a
dx=
x
a+1
a+1
+Cò 4. a
x
dx=
a
x
lna
+Cò

5. e
kx
dx=
e
kx
k
+Cò
6. 1
x
dx=lnx+Cò
7.coskxdx=
sinkx
k
+Cò 8.sinkxdx=-
coskx
k
+Cò
9. dx
cos
2
kx
=
tankx
k
+Cò 10. dx
sin
2
kx
=-
cotkx
k
+Cò
11.dx
x
2
+a
2
=
1
a
tan
-1x
a
+Cò 12.dx
a
2
-x
2
=sin
-1x
a
+Cò

3. Bảng đạo hàm cơ bản
1. C' = 0 (C là số thực)
2. ()
1
' xx


−
=
3. ()
1
ln 'x
x
=
4.
5.
6.

4. CHƯƠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C ẤP 1

5. 1.1 Phương trình vi phân cấp 1
ĐỊNH NGHĨA 1.1.1: dy
f(x,y)
dx
= là phương trình
vi phân cấp 1 trong đó
y=yx() là hàm chưa biết.
VD1.1.1:
a)
dy
dx
=y b)
y'-y=x
c)
xdy-ydx=0

d)
x-y=0

6. ĐỊNH NGHĨA 1.1.2: Nghiệm của phương trình vi
phân là hàm số thỏa mãn phương trình với mọi giá
trị của biến độc lập trên khoảng nào đó.
VD1.1.2: PTVP
y'=y có
nghiệm
y=Ce
x , x C

7. Các loại nghiệm:
Nghiệm tổng quát : ( )0F x,y,C= .
Nghiệm riêng : ( )
0
0F x,y,C= .
Nghiệm kì dị (là nghiệm không nằm trong
nghiệm tổng quát).

8. VD1.1.3: PTVP
y'=y có









nghiệm tổng quát:
lny=x+C
nghiệm riêng:
lny=x+ln3 ,
nghiệm kì dị: y = 0

9. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU ( bài toán Cauchy):
dy
f(x,y)
dx
=

()
00
y x y=
(điều kiện ban đầu )
Các trường hợp có thể xảy ra:
nghiệm duy nhất
vô nghiệm
vô số nghiệm

10. 1.2. Phương trình vi phân phân ly biến số:
DẠNG: ()
dy
H x,y
dx
=


điều kiện )g(H x, )) /(x y f(y=
VD1.2.1: Nhận dạng phương trình phân li biến số: ()
3
1a)y' x y=+
33
b) y' x y x=+
3
1
y'
c) y
x
=+
()
3
1
1
y'
d)
xy
=
+
3
1
1
x
e) y'
y
=
+
3
1f) y' x y=+

11. CÁCH GIẢI:
Phân li biến số: ()g(x)dxf y dy=
Tích phân hai vế: () Cg(f x)y dxyd=+
Nghiệm tổng quát () CG(Fy x)=+
*) Chú ý: Nếu chia thừa số của hàm thì phải đảm
bảo thừa số khác 0. Do đó, PHẢI xét thêm trường
hợp thừa số bằng 0.

12. VD1.2.2: Giải phương trình vi phân
a) ( )3y' y x= − +
b) y'=-xy+3y
c) 3yy' x=− +
d) ()30x dx ydy− + = , ()12y=
f) ()30ydx x dy+ − =

13. 1.3 Phép thế:
dy
dx
=fx,y()

dv
dx
=g(x,v)
Kết Giải
luận
j(x,ax,y(),C)=0

j(x,v,C)=0

14. 1.4 PTVP dạng: ( )
dy
F ax by c
dx
= + +

VD 1.4.1: Nhận dạng phương trình ( )
dy
F ax by c
dx
= + +
: 21
dy
a) x y
dx
= + +
3 2 3
dy
b) x y
dx
= + + −
( )22
dy
c) tan x y
dx
= − +
dy
d) xy
dx
=

15. CÁCH GIẢI: ( )
dy
F ax by c
dx
= + +


dv
dx
=bFv()+a
Kết Giải
luận

j(x,ax+by+c,C)=0

j(x,v,C)=0


PT phân ly biến số

16. VD 1.4.2. Giải PTVP 21
dy
a) x y
dx
= + +

b) dy
dx
=3x+y+2-3

17. BÀI TẬP VỀ NHÀ:

(1.4): 16, 20, 25.

(1.6): 16, 17, 18.

18. 1.5 PTVP thuần nhất (hay đẳng cấp):
DẠNG: dy y
F
dx x

=


VD1.5.1: Nhận dạng phương trình thuần nhất: 22
2 4 3
dy
a) xy x y
dx
=+
22
2 4 3
dy
b) x x y
dx
=+
()c) x y y' x y− = +
()1d) x y y'−=

19. CÁCH GIẢI:
dy
dx
=F
y
x
æ
è
ç
ö
ø
÷

x
dv
dx
=Fv()-v
Kết Giải
luận
j(x,
y
x
,C)=0

j(x,v,C)=0


PT phân ly biến số

20. Ví dụ 1.5.2: Giải phương trinh vi phân. a)x-y()y'=x+y

b) 22
2 4 3
dy
xy x y
dx
=+ ,
y1()=-1

21. 1.6 Phương trình vi phân toàn phần:
DẠNG:
Mx,y()dx+Nx,y()dy=0 , trong đó M và
N có các đạo hàm riêng liên tục trên miền D và ¶M
¶y
=
¶N
¶x
,"x,y()ÎD
.
VD1.6.1: Nhận dạng PTVP toàn phần: 0a)xdy ydx−=

b)2x+y( )dx+x+1()dy=0
c)2xyy'=x-y
2

d)x
2
y'=1+y
2

22. CÁCH GIẢI :
B1: Kiểm tra ¶M
¶y
=
¶N
¶x
,"x,y()ÎD
B2: Công thức nghiệm tổng quát:
() ()
00
0
x
y
y
x
M , N Cy y y x,dx dx+=
( chọn 00
x,y thuộc miền sao cho hàm M,N liên
tục và các đạo hàm riêng liên tục).

23. VD1.6.2: Giải phương trình vi phân a)2x+y( )dx+x+1()dy=0

b) x
3
+
y
x
æ
è
ç
ö
ø
÷
dx+y
2
+lnx( )dy=0
Giải.

24. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
(1.6): 3,6, 8;
34, 37

25. 1.7 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
DẠNG
đối với y: đối với x: y'+Px()y=Qx()1()
x'+Py()x = Qy()
2()
VD1.7.1: Nhận dạng PT tuyến tính cấp 1: a)y'+y=x
2
b)xy' y y=+
c)4x
dy
dx
=x+y
d)x-y()dy=dx

26. CÁCH GIẢI PT (1):
1.
Viết PT ở dạng chuẩn tắc y'+Px()y=Qx() .

2. Xác định Px(),Qx() .
3. Tính thừa số tích phân
r(x)=e
P(x)dx
ò
4. Công thức nghiệm tổng quát: yx()=
1
rx()
Qx()rx()ò
dx+Cé
ë
ù
û

27. VD1.7.2: Giải phương trình vi phân
a)4x
dy
dx
=x+y,y1()=3 .

b)y'+y=x

28. Công thức nghiệm tổng quát của PTVP (2): xy()=
1
ry()
Qy()ry()ò
dy+Cé
ë
ù
û

trong đó
r(y)=e
P(y)dy
ò
VD1.7.3: Giải PTVP ( )
2
2 6 0ydx y x dy+ − =
ĐÁP SỐ: 2
3
2
y
x Cy=+

29. 1.8 Phương trình Bernoulli:

DẠNG Phương trình Bernoulli đối với y y'+Px()y=Qx()y
n
01(n ,n ,n )  

VD1.8.1: Nhận dạng PT Bernoulli: 22
2 4 3a) xyy' x y=+
b)x
dy
dx
=y+y
3
c)4xdy=x+y()dx
()1d) x y y'−=

30. CÁCH GIẢI y'+Px()y=Qx()y
n
•
0y=
là nghiệm của phương trình
• 0y . Chia hai vế phương trình cho y
n :

y
-n
y'+Px()y
1-n
=Qx()

• Đặt v=y
1-n , chuyển về phương trình tuyến
tính cấp một đối với v: v'+1-n()P(x)v=1-n()Q(x)

31. VD1.8.2: Giải phương trình vi phân
a) 4
3
63
dy
x y xy
dx
+=
b)2xyy'=4x
2
+3y
2


Giải.

32. Chú ý: Phương trình Bernoulli đối với x: () ()
n
x' P y x Q y x+=

VD1.8.3: Giải phương trình vi phân
( ) ()
2
01ydx x x y dy+ + =
Gợi ý:
+) Biến đổi phương trình: 21dx
xx
dy y
+ = −

33. +) Phương trình vi phân Bernoulli đối với x(y).
+) 0x= là nghiệm của phương trình.
+) 0x . Chia hai vế của phương trình cho 2
x : 2
1 1 1
1
dx
..
x dy y x
+ = −

+) Đặt 1
vx
−
= , PTVP tuyến tính cấp 1 đối với v: ()
1
12
dv
v
dy y
−=

34. trong đó () ()
1
1P y ; Q y
y
=− =
+) Giải phương trình (2): v ylny Cy=+
+) Nghiệm tổng quát của PT (1) là: ( )1x ylny Cy+=

35. BÀI TẬP VỀ NHÀ:

(1.5): 13, 24, 26.
(1.6): 19, 23, 26.

36. CHƯƠNG 2:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CẤP HAI


m
dx
2
dt
2
=-kx

37. 2.1. Phương trình vi phân cấp 2 :
DẠNG F(x,y,y',y")=0
trong đó y là hàm số cần tìm, x là biến độc lập.
Điều kiện ban đầu : () ()
0 0 0 1
y x y,y x y==
Nghiệm tổng quát : Gx,y,C
1
,C
2( )=0
Nghiệm riêng : Gx,y,C
1
0
,C
2
0
( )=0

38. VD2.1.1. Phương trình vi phân 0yy+= có :

Nghiệm tổng quát : ()
12
nxy x Ccosx C si=+

Với điều kiện ban đầu : ()0 1 0 2y ,y'( )= =−
Nghiệm riêng : () 2y x cosx sinx=−

39. 2. 2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai.
a. DẠNG A(x)y" B(x)y' C(x)y F(x)+ + =
• Fx()=0 , phương trình thuần nhất.
•
Fx()¹0 , phương trình không thuần nhất.
• Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số
hằng Cy" y'B xA y F( )+ + = .

40. VD2.2.1: Nhận dạng PTVP tuyến tính cấp hai thuần
nhất, không thuần nhất, có hệ số hằng :
a) 3y"+y'+2y=0 .
b) y"+3y'-2y=x
2
-2x+1 .

41. 2.3. Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất
với hệ số hằng.
DẠNG : Ay"+By'+Cy=01() .
CÁCH GIẢI:
• Viết phương trình đặc trưng Ar
2
+Br+C=02()
.
• Giải phương trình (2)

42. • Từ nghiệm của PT(2), có: 

Nghiệm của
PT (2)
Nghiệm của PT(1)
> 0
r
1
,r
2
yx()=C
1
e
r
1
x
+C
2
e
r
2
x
= 0
r
1
=r
2
yx()=e
r
1
x
(C
1
+C
2
x)
< 0
r
1,2
=a±bi
yx()=e
ax
(C
1
cosbx+C
2
sinbx)

43. VD2.3.1. Giải phương trình vi phân
a) 2 7 3 0y" y' y− + = .
b) y"+2y'+y=0;y(0)=5,y'(0)=-3 .
c) 4 5 0y" y' y− + = .
Giải

44. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
2.3 # 1, 2, 5, 7, 8, 9.

45. 2.4. PTVP tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng không
thuần nhất:
a. DẠNG: Ay"+By'+Cy=Fx()1()

VD2.4.1. PT nào là PTVP tuyến tính cấp 2 với hệ số
hằng không thuần nhất?
a) 2
32
x
y" y' y xe+ − = b) 2y'-y=1
c) 21y" y' y+ = + d) 21y" yy'+=

46. b. ĐỊNH LÝ 2.4.2. Nghiệm tổng quát của phương
trình không thuần nhất :
y(x)=y
c
+y
p

trong đó
•
y
c là hàm bù (nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất).
•
y
p là nghiệm riêng.
VD2.4.3. Phương trình 4 5 5y" y' y x− + = có

47. •
y
c
=e
2x
(C
1
cosx+C
2
sinx) .
•
y
p
=x+
4
5 .
nên nghiệm tổng quát của phương trình là
y(x)=y
c
+y
p
=
e
2x
(C
1
cosx+C
2
sinx) +
x+
4
5 .

48. 2.5. Bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình
tuyến tính cấp 2 không thuần nhất:
A. Phương pháp hệ số bất định:
Điều kiện: Fx() có dạng: e
ax
P
m
x()
(1)
hoặc () ()
n
ax
m
( cos x sin x)Qxe bx bP +
(2).

49. VD2.5.1. Fx() ở dạng (1) hay (2)? Nếu ở dạng 1 thì
xác định a và nếu ở dạng 2 thì xác định a , b .
STT Fx() Dạng a , b
a. x+5()e
2x
b. 5x
2
-1( )e
x
3


c. 3e
-x
d. 2x+3
e. 10
f. e
4x
x

50. g. e
3x
x+5()cos2x-sin2xé
ë
ù
û
h. e
3x
x+5()cos2x
i. 4e
3x
sin2x
j. 2sin2x+3xcos2x


k. 2sin2x
m. 2sin2x+3cos2x


n. 1
cos3x


o. tanx

51. CÁCH GIẢI:
• Tìm hàm bù
y
c .
• Viết nghiệm riêng dưới dạng hình thức:
(bảng ở trang sau).
• Thay nghiệm riêng
y
p và các đạo hàm của nó
vào phương trình, rồi đồng nhất hệ số tìm được
nghiệm riêng.

52. F(x) p
y e
ax
P
m
x()

Nếu a không là nghiệm của
PTĐT thì x
p
a
m
H (x)ey=

Nếu a là một nghiệm đơn của
PTĐT thì x
p m
a
H (x)exy=

Nếu a là nghiệm kép của
PTĐT thì 2ax
mp
H (x)exy=

53. F(x) p
y ()
()
n
ax
m
( cos x
sin x)Qx
e bx
b
P
+

Nếu aib+ không là nghiệm của
PTĐT thì () ()
x
p kk
a
xy xH cos sne bR xx ib+=


Nếu aib+ là nghiệm của PTĐT thì () ()
a
p k
x
k
xy RH be xco xx bs sin x

+=

với đk: k=maxm,n{}

54. VD2.5.2. Biểu diễn nghiệm riêng p
y của các phương
trình vi phân sau:
1) ¢¢y+2¢y+y= Fx()
2)
¢¢y-y'=F(x)

3)
¢¢y-3¢y+2y=F(x)

4) ¢¢y+4y=F(x)
trong đó Fx() ở Ví dụ 2.5.1.

55. Giải
1) ¢¢y+2¢y+y= Fx() .
STT
y
c
Fx() p
y
a.
x+5()e
2x

b.
5x
2
-1( )e
x
3


c.
3e
-x

d.
2x+3

e.
10

56. g.
e
3x
x+5()cos2xé
ë
-sin2xù
û


h.
e
3x
x+5()cos2x

i.
4e
3x
sin2x

j.
2sin2x+3cos2x

57. 2) ¢¢y-y'=F(x)
STT
y
c
Fx() p
y
a.
x+5()e
2x

b.
5x
2
-1( )e
x
3


c.
3e
-x

d.
2x+3

e.
10

58. g.
e
3x
x+5()cos2xé
ë
-sin2xù
û


h.
e
3x
x+5()cos2x

i.
4e
3x
sin2x

j.
2sin2x+3cos2x

59. 3) ¢¢y-3¢y+2y=F(x)
STT
y
c
Fx() p
y
a.
x+5()e
2x

b.
5x
2
-1( )e
x
3


c.
3e
-x

d.
2x+3

e.
10

60. g.
e
3x
x+5()cos2xé
ë
-sin2xù
û


h.
e
3x
x+5()cos2x

i.
4e
3x
sin2x

j.
2sin2x+3cos2x

61. 4) ¢¢y+4y=F(x)
STT
y
c
Fx() p
y
a.
x+5()e
2x

b.
5x
2
-1( )e
x
3


c.
3e
-x

d.
2x+3

e.
10

62. g.
e
3x
x+5()cos2xé
ë
-sin2xù
û


h.
e
3x
x+5()cos2x

i.
4e
3x
sin2x

j.
2sin2x+3cos2x

63. VD2.5.3. Giải phương trình vi phân
a) ¢¢y+2¢y+y= x+5()e
2x
b) ¢¢y+2¢y+y= 3e
-x
, , y0()=3,y'0()=-6 .
c) ¢¢y+2¢y+y= 4e
3x
sin2x

64. CHÚ Ý: Nguyên lí chồng chất nghiệm của
phương trình không thuần nhất
Nếu Ay"+By'+Cy=F
1
x()

có nghiệm riêng
y
P
1

Ay"+By'+Cy=F
2
x()
có nghiệm riêng
y
P
2
thì Ay"+By'+Cy=F
1
x()+F
2
x() có nghiệm riêng
là
y
P =
y
P
1 +
y
P
2 .
VD2.5.4. Giải PTVP ¢¢y-y'=10+3e
-x .

65. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
2.5 # 1, 3, 9, 13, 31, 34.

66. 2.6. Bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình
tuyến tính cấp 2 không thuần nhất:
B. Phương pháp biến thiên của các tham số giải
PTVP: Ay"+By'+Cy=Fx()
VD2.6.4:
3 2 4
x
a)y y' y e+ + =
b) y y tanx+=

67. CÁCH GIẢI:
• Tìm hàm bù có dạng
y
c
=C
1
y
1
+C
2
y
2
• Tính W=
y
1
y
2
y
1
'y
2
'
• Nghiệm riêng y
p
x()=-y
1
y
2
f
W
dxò
+y
2
y
1
f
W
dxò

68. VD2.6.5: Giải phương trình vi phân 42a) y y tan x+=
b)¢¢y+5¢y+6y=
1
1+e
2x

Giải.

69. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
2.5 # 53, 54.
CHÚ Ý:
secx=
1
cosx
,cscx=
1
sinx

70. CHƯƠNG 3:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN


dx
dt
=a-bx
dy
dt
=bx-cy
ì
í
ï
ï
î
ï
ï

71. A. DẠNG:
Hệ không thuần nhất ( 2 ẩn hàm – hệ số hằng )
x
1
'=ax
1
+bx
2
+f
1
(t)
x
2
'=cx
1
+dx
2
+f
2
(t)
ì
í
îï

Hệ là thuần nhất nếu
f
1
,f
2

đồng nhất bằng
không.

72. VD3.1.1: Các hệ PTVP cấp một sau hệ nào thuần
nhất và hệ nào không thuần nhất?
a. dx
1
dt
=4x
1
-3x
2
dx
2
dt
=6x
1
-7x
2
ì
í
ï
ï
î
ï
ï c. dx
1
dt
=4x
1
-3x
2
+t
dx
2
dt
=6x
1
-7x
2
-sint
ì
í
ï
ï
î
ï
ï

b.
x'-4x+3y=0
6x-y'-7y=2
ì
í
î
d. x'-4x+3y=0
6x-y'-7y=0
ì
í
î

73. Điều kiện ban đầu: 1 0 1
x(t ) b= , 2 0 2
x(t ) b=

Nghiệm tổng quát: ( )
12
12
ii
x t,C,C , i ,==
thỏa mãn hệ phương trình.
Nghiệm riêng: x
i
=j
i
t,C
1
0
,C
2
0
( ),i=1,2

74. VD3.1.2. HPTVP cấp một thuần nhất
1
12
43
dx
xx
dt
=− , 2
12
67
dx
xx
dt
=−
Nghiệm tổng quát:
x
1
(t)=
3
2
C
1
e
2t
+
1
3
C
2
e
-5t

x
2
(t)=C
1
e
2t
+C
2
e
-5t

Với điều kiện ban đầu: () ()
12
0 2 0 1x ,x= =−
ÞC
1
=2

và
C
2
=-3 .
Do đó, nghiệm riêng là x
1
(t)=3e
2t
-e
-5t
x
2
(t)=2e
2t
-3e
-5t

75. 3.2 Phương pháp khử:
CÁCH GIẢI
Khử các biến hàm từ các phương trình vi phân
cấp một của hệ, đưa về một phương trình vi
phân cấp hai chỉ chứa một biến hàm.
Giải phương trình vi phân cấp hai.
Sử dụng phép khử tìm các biến còn lại.

76. VD3.2.1. Giải hệ phương trình vi phân dx
dt
=4x-6y
dy
dt
=x-y
ì
í
ï
ï
î
ï
ï

thỏa mãn () ()0 2 0 1x , y= =−

77. VD3.2.2. Giải hệ phương trình vi phân 36
2
4
dx
xy
dt
dy
xy
d
t
t

= − +



=−

−


78. VD3.2.3. Giải hệ phương trình vi phân dx
dt
=4x-6y+sin3t
dy
dt
=x-y-2cos3t
ì
í
ï
ï
î
ï
ï

79. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
5.2 # 3, 5, 7, 8, 9.

80. 3.3. Phương pháp véc tơ riêng, giá trị riêng đối
với hệ PTVP tuyến tính cấp một thuần nhất:
A. VIẾT DƯỚI DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MA TR ẬN dX
dt
=AX

trong đó A
=a
ij
é
ë
ù
û là ma trận hằng

X=x
i
é
ë
ù
û là véc tơ cột

81. VD3.3.1. Hệ 1 1 2
2 1 2
43
67
x' x x
x' x x
=−
=−
viết dưới dạng ma trận
¢x
1
¢x
2
é
ë
ê
ù
û
ú=
4-3
6-7
é
ë
ê
ù
û
ú
x
1
x
2
é
ë
ê
ù
û
ú
Û¢X=
4-3
6-7
é
ë
ê
ù
û
úX
Û¢X=AX

82. Nghiệm của phương trình trên khoảng mở D là
véc tơ cột
X(t)=x
i
(t)é
ë
ù
û

sao cho các hàm thành
phần đối với X thoả mãn hệ trên D.


Nếu
X
1 ,
X
2

là nghiệm độc lập tuyến tính của
PT thuần nhất thì
X(t)=C
1
X
1
(t)+C
2
X
2
(t) là
nghiệm tổng quát của PT.

83. B. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ RIÊNG, GIÁ TR Ị RIÊNG
B1: Giải phương trình đặc trưng
A-lI=0 để tìm
hai giá trị riêng thực và phân biệt l
1
¹l
2
.
B2: Tìm các nghiệm riêng (thực) độc lập tuyến tính X
i
t():

Giải , tìm véc tơ riêng

B3: Nghiệm tổng quát X(t)=C
1
X
1
(t)+C
2
X
2
(t)

84. VD3.3.2. Giải hệ phương trình vi phân
dx
dt
=2x+3y
dy
dt
=2x+y

thỏa mãn
x0()=4,y0()=1

85. VD3.3.3. Giải hệ phương trình vi phân x
1
¢=4x
1
+x
2
x
2
¢=6x
1
-x
2
ì
í
ï
î
ï

86. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
5.4 # 3, 7.