KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP _ MÃ THÚY QUỲNH.docx

math

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC BẠC LIÊU
KHOA SƯ PHẠM
-----

-----
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN Ở LỚP 7
SINH VIÊN THỰC HIỆN: MÃ THÚY QUỲNH
MÃ SINH VIÊN : 217140209030
NGÀNH : SƯ PHẠM TOÁN HỌC
Bạc Liêu, 05/ 2025

2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC BẠC LIÊU
KHOA SƯ PHẠM
-----

-----
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN Ở LỚP 7
Giảng viên hướng dẫn: TS. Ngô Trúc Phương
Sinh viên thực hiện : Mã Thúy Quỳnh
Mã sinh viên : 217140209030
Ngành: : Sư Phạm Toán Học
Bạc Liêu, 05/ 2025

3. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp này là do tự bản thân thực hiện với sự
hỗ trợ của giáo viên hướng dẫn. Khóa luận này không sử dụng tài liệu sao chép từ các
công trình nghiên cứu của người khác. Các dữ liệu thông tin được sử dụng trong Khóa
luận là đáng tin cậy và được trích dẫn rõ ràng.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này!
Người làm khóa luận
i

4. LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Quý Thầy cô
Khoa Sư Phạm, Trường Đại học Bạc Liêu đã tạo cơ hội cho tôi được học tập, rèn
luyện và tích lũy kiến thức, kỹ năng để thực hiện khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn đến giảng viên hướng dẫn cô Ngô Trúc Phương
đã tận tình chỉ dẫn, theo dõi và đưa ra những lời khuyên bổ ích giúp tôi giải quyết
được các vấn đề gặp phải trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài một cách tốt
nhất.
Trong quá trình thực hiện khóa luận, do còn hạn chế kinh nghiệm thực tế, chắc
chắn không tránh khỏi những sai sót. Tôi kính mong nhận được sự chỉ dẫn và góp ý từ
quý thầy cô để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Cu
ối cùng, tôi xin chúc Quý Thầy Cô luôn thật nhiều sức khỏe và đạt được
nhi
ều thành công trong công việc.
ii

5. DANH MỤC VIẾT TẮT
Ký hiệu viết tắt Tên đầy đủ
GDPT Giáo dục phổ thông
GV Giáo viên
HS Học sinh
KNTT Kết nối tri thức
iii

6. DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ
Bảng 1.1. Thành tố của năng lực mô hình hoá toán học và biểu hiện của học sinh trung
học phổ thông (Bộ GD và ĐT 2018)
Bảng 2.1. Bảng thể hiện mối quan hệ giữa số lượng áo và lượng vải
Bảng 2.2. Bảng thể hiện mối quan hệ giữa thời gian và lượng nước
Bảng 2.3. Bảng số liệu về số lượng quyển vở mua và tổng số tiền phải trả.
Bảng 3.1. Bảng thể hiện mối quan hệ giữa quãng đường và thời gian
Bảng 3.2. Bảng điểm học sinh nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
Bảng 3.3. Bảng tỉ lệ các cấp độ của học sinh nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
Bảng 3.4. Các cấp độ của năng lực mô hình hóa và số học sinh đạt được ở từng nhóm
Biểu đồ 3.1.Biểu đồ so sánh học sinh theo cấp độ mô hình hóa Nhóm 1 và Nhóm 2
Hình 1.1. Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Blum và Leiss
Hình 2.1. Đồ thị của hàm số và hàm số
Hình 3.1. Hình thể hiện kích thước các bức tranh
Hình 3.2. Đồ thị hàm số
Hình 3.3. Bài làm của học sinh A1 đạt 9,3 điểm
Hình 3.4. Bài làm của học sinh A3 đạt 10 điểm
Hình 3.5. Bài làm của học sinh B2 đạt 4,5 điểm
Hình 3.6. Bài làm học sinh B1 đạt 7,5 điểm
iv

7. LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học ngày nay có tầm quan trọng vô c
ùng to lớn trong cuộc sống và trong
sự phát triển của xã hội. Nó không chỉ là công cụ để giải quyết các vấn đề khoa học,
công nghệ mà còn là nền tảng cho sự tiến bộ trong mọi lĩnh vực. Toán học giúp rèn
luyện khả năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề một cách hệ thống. Bằng
cách ứng dụng các lý thuyết toán học, ta có thể cải thiện chất lượng cuộc sống, tạo ra
các công nghệ mới, đồng thời thúc đẩy sự đổi mới sáng tạo và sự phát triển bền vững
trong xã hội.
Năng lực mô hình hóa toán học là một trong những năng lực quan trọng trong
Chương trình Giáo dục phổ thông mới (2018), được coi là nền tảng để học sinh phát
triển khả năng tư duy toán học và ứng dụng toán học vào thực tiễn. Năng lực này giúp
học sinh xử lý các tình huống trong đời sống thông qua việc chuyển đổi chúng thành
các bài toán toán học, qua đó không chỉ giúp các em hiểu sâu hơn về các khái niệm
toán học mà còn giải quyết các vấn đề thực tiễn. Khi học sinh được trang bị khả năng
mô hình hóa toán học, việc học toán trở nên sinh động và gần gũi hơn, tạo động lực
mạnh mẽ cho học sinh khám phá và yêu thích môn học. Mô hình hóa toán học còn
thúc đẩy khả năng tư duy sáng tạo, giúp học sinh phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề
một cách hiệu quả, từ đó áp dụng kiến thức vào nhiều lĩnh vực khác nhau trong cuộc
sống.
Tỉ lệ thuận là một trong những khái niệm toán học quan trọng và phổ biến,
được áp dụng rộng rãi trong đời sống hàng ngày và trong nhiều lĩnh vực khoa học khác
nhau. Hiểu biết sâu sắc về tỉ lệ thuận không chỉ giúp học sinh thành thạo trong môn
Toán mà còn giúp học sinh áp dụng kiến thức này vào các tình huống thực tế. Lớp 7
thường là giai đoạn quan trọng trong chương trình giáo dục, nơi mà học sinh bắt đầu
tiếp cận với các khái niệm toán học phức tạp hơn. Việc phát triển năng lực mô hình
hoá toán học trong giai đoạn này có thể tạo ra nền tảng vững chắc cho học sinh để tiếp
tục học tập và nghiên cứu sau này.
Đề tài "Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh trong dạy học đại
lượng tỉ lệ thuận ở lớp 7" mang tính ứng dụng cao và có ý nghĩa cấp thiết trong bối
cảnh giáo dục hiện đại. Mặc d
ù đã có nhiều nghiên cứu về tầm quan trọng của năng
lực mô hình hóa toán học và sự cần thiết của việc phát triển năng lực này cho học sinh,
nhưng việc triển khai vào thực tế dạy học vẫn còn gặp nhiều thách thức. Cụ thể, giáo
viên cần được trang bị những biện pháp sư phạm cụ thể, chi tiết và có tính khả thi cao
để thiết kế các hoạt động dạy học, lựa chọn tình huống thực tế ph
ù hợp và đánh giá
năng lực mô hình hóa của học sinh một cách hiệu quả. Đề tài này có thể góp phần giải
quyết vấn đề này bằng cách cung cấp một hệ thống các biện pháp dạy học cụ thể cho
chủ đề "Đại lượng tỉ lệ thuận" ở lớp 7, từ đó góp phần vào việc xây dựng một lộ trình
phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh THCS. Điều này đặc biệt quan trọng
trong bối cảnh Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 đặt trọng tâm vào việc phát
triển các năng lực cốt lõi cho học sinh, và năng lực mô hình hóa toán học được coi là
một trong những năng lực quan trọng nhất. Hơn nữa, trong một thế giới ngày càng phụ
thuộc vào công nghệ và dữ liệu, khả năng mô hình hóa toán học trở thành một kỹ năng
sống còn, giúp học sinh tự tin và thành công trong cuộc sống và sự nghiệp. Vì vậy, đề
tài này không chỉ đáp ứng nhu cầu của thực tế dạy học mà còn góp phần vào việc
chuẩn bị cho học sinh những kỹ năng cần thiết để đối mặt với những thách thức của
v

8. tương lai. Cuối c
ùng, việc phát triển năng lực này không chỉ góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học toán, mà còn tạo ra những công dân có năng lực, sẵn sàng đóng góp
vào sự phát triển của xã hội. Việc phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho tỉ lệ
thuận giúp giáo viên và học sinh hiểu rõ hơn cách áp dụng toán học vào các vấn đề
thực tế. Vì vậy tôi chọn đề tài “Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học
sinh trong dạy học đại lượng tỉ lệ thuận ở lớp 7” với mong muốn giúp học sinh phát
triển kỹ năng tư duy logic, khả năng giải quyết vấn đề và ứng dụng toán học vào các
tình huống thực tế. Điều này có thể tạo ra một tác động tích cực đối với sự phát triển
toán học và học tập trung của học sinh.
.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu đề tài là đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng
lực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 7 thông qua dạy học đại lượng tỉ lệ thuận.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: năng lực mô hình hóa toán học, nội dung kiến thức về
đại lượng tỉ lệ thuận ở Toán 7.
- Phạm vi nghiên cứu:
+ Nội dung: Một số biện pháp nhằm phát triển năng lực mô hình hoá toán học.
+ Sách: Bộ sách Kết nối tri thức.
4. Tổng quan lịch sử nghiên cứu
Trên thế giới các nghiên cứu quốc tế đã khẳng định vai trò quan trọng của mô
hình hóa toán học trong phát triển năng lực toán học. Tại Việt Nam, mô hình hóa toán
học đã được nghiên cứu và ứng dụng trong giảng dạy bởi một số tác giả. Các công
trình tiêu biểu như: Nguyễn Danh Nam (2015), ương Hữu Tòng và Trần Văn Tuấn
(2016), Phạm Thị Thanh Tú (2019), …
Nghiên cứu của Nguyễn Danh Nam (2015) đã trình bày quy trình vận dụng
phương pháp mô hình hóa trong giảng dạy Toán tại trường phổ thông. Thông qua các
hoạt động mô hình hóa, học sinh không chỉ hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa Toán học
và thực tiễn mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Việc áp
dụng phương pháp này giúp học sinh chủ động khám phá, xây dựng kiến thức và rèn
luyện kỹ năng sử dụng ngôn ngữ Toán học. Kết quả nghiên cứu khẳng định rằng mô
hình hóa là một hướng đi hiệu quả trong đổi mới phương pháp dạy học, góp phần nâng
cao chất lượng giáo dục Toán học ở bậc phổ thông.
ương Hữu Tòng và Trần Văn Tuấn (2016) đã trình bày chiến lược dạy học
khái niệm logarit thông qua phương pháp mô hình hóa toán học.Thay vì tiếp cận theo
lối truyền thống, nghiên cứu đề xuất cách giảng dạy giúp học sinh hiểu rõ bản chất và
ứng dụng của logarit trong thực tiễn. Thông qua các bài toán thực tế, học sinh không
chỉ nắm vững kiến thức mà còn phát triển tư duy mô hình hóa và khả năng giải quyết
vấn đề. Kết quả nghiên cứu khẳng định rằng việc áp dụng mô hình hóa trong giảng dạy
logarit giúp nâng cao hiệu quả học tập và tăng cường động lực học toán cho học sinh.
Phạm Thị Thanh Tú (2019) đã đưa ra ba biện pháp để cải thiện năng lực mô
hình hóa toán học cho học sinh tiểu học thông qua việc dạy phân số, nghiên cứu này đã
nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học
sinh tiểu học từ đó có thể giúp học sinh hiểu rõ hơn và vận dụng hiệu quả kiến thức về
phân số trong các tình huống thực tiễn.
Phan Ánh Tuyết (2020) đã phân tích thực trạng giảng dạy Hình học ở các
trường trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho
học sinh tại khu vực Miền Đông Nam Bộ và Tây Nguyên. Kết quả khảo sát cho thấy
vi

9. việc áp dụng mô hình hóa toán học trong dạy học Hình học chưa được quan tâm đúng
mức, dẫn đến hạn chế trong việc rèn luyện tư duy mô hình hóa của học sinh. Do đó,
cần có những giải pháp cụ thể nhằm hỗ trợ giáo viên trong việc thiết kế bài giảng và
hướng dẫn học sinh tiếp cận toán học một cách thực tiễn và hiệu quả hơn.
Nguyễn Ái Quốc và Nguyễn Vũ Quỳnh Như (2024) trình bày một quá trình mô
hình hóa toán học trong dạy học giải quyết các vấn đề thực tiễn và minh họa quá trình
trong dạy học giải quyết các vấn đề thực tiễn trong chương trình Toán 10 tại Trường
Trung học phổ thông Phú Nhuận, Thành phố Hồ Chí Minh. Kết quả thực nghiệm
giảng dạy cho thấy việc giải quyết các vấn đề thực tiễn thông qua quá trình mô hình
hóa toán học đã phát triển các yếu tố của năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh.
Ở Việt Nam, mặc d
ù nhiều nghiên cứu về phát triển năng lực mô hình hóa Toán
học đã được triển khai nhưng chưa phổ biến ở cấp THCS, đặc biệt trong chủ đề Đại
lượng tỉ lệ thuận ở lớp 7. Bên cạnh đó, chương trình giáo dục phổ thông mới nhấn
mạnh việc phát triển năng lực học sinh, trong đó có năng lực mô hình hóa toán học.
Tuy nhiên, giáo viên vẫn gặp nhiều khó khăn trong việc thiết kế các hoạt động giảng
dạy ph
ù hợp để rèn luyện kỹ năng này cho học sinh.
Đề tài sẽ tập trung vào hướng
phát triển năng lực mô hình hoá toán học thông qua dạy học Đại lượng tỉ lệ thuận qua
việc xây dựng hệ thống bài giảng, bài tập mô hình hóa toán học và đề xuất một số biện
pháp nhằm nâng cao chất lượng học tập nhằm giúp học sinh không chỉ nắm vững kiến
thức mà còn biết cách vận dụng mô hình hóa toán học để giải quyết các vấn đề thực
tiễn, từ đó nâng cao chất lượng dạy và học Toán trong nhà trường.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:
+ Nghiên cứu tổng quan về tình hình giảng dạy và học tập của môn toán ở lớp
7, đặc biệt là nội dung liên quan đến đại lượng tỉ lệ thuận.
+ Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học và các nghiên cứu về việc
phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng bài giảng thử nghiệm với
phương pháp dạy học có ứng dụng mô hình hóa Toán học.
- Phương pháp thu thập và xử lý số liệu: Dựa trên dữ liệu thu thập được về bài
làm của học sinh, phân tích và tổng hợp kết quả để đánh giá hiệu quả của biện pháp.
6. Nội dung nghiên cứu
- Tổng hợp cơ sở lý luận về năng lực mô hình hóa toán học và dạy học phát
triển năng lực này, hệ thống kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận ở lớp 7.
- Đề xuất các biện pháp dạy học cụ thể nhằm phát triển năng lực mô hình hóa
toán học.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của các biện
pháp đề xuất.
7. Ý nghĩa của đề tài
Đề tài “Phát triển năng lực mô hình hoá Toán học cho học sinh trong dạy học
đại lượng tỉ lệ thuận ở lớp 7” góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học ở lớp 7,
giúp học sinh hiểu sâu và áp dụng linh hoạt các khái niệm về tỉ lệ thuận; phát triển kỹ
năng toán học và tư duy logic thông qua việc thực hành mô hình hoá toán học; kết nối
giữa toán học và thực tế. Từ đó góp phần vào sự phát triển toàn diện của học sinh.
vii

10. CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Mô hình hóa toán học trong dạy học Toán
Mô hình hóa toán học là một quá trình quan trọng trong dạy và học toán. Trong
bối cảnh dạy học toán hiện đại, năng lực mô hình hóa toán học đóng vai trò then chốt,
không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển tư duy ứng dụng. Thay
vì chỉ học các công thức và định lý trừu tượng, học sinh được khuyến khích khám phá
và giải quyết các vấn đề thực tiễn thông qua việc xây dựng mô hình toán học. Điều này
giúp các em thấy được sự liên kết giữa toán học và đời sống, từ đó khơi dậy niềm đam
mê và hứng thú học tập.
Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn
đề toán học, giải quyết vấn đề đó bằng các công cụ toán học, và sau đó diễn giải kết
quả trở lại trong ngữ cảnh thực tế. Nói cách khác, năng lực mô hình hóa toán học là
khả năng "dịch" các vấn đề thực tiễn sang "ngôn ngữ" toán học, giải quyết chúng bằng
các công cụ toán học và sau đó "dịch ngược" kết quả trở lại để áp dụng vào thực tiễn.
Hay mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết nhờ vào
những khái niệm toán học ph
ù hợp. Khi xây dựng mô hình hóa toán học ta có thể bỏ đi
những thông tin không cần thiết hoặc thêm những dữ kiện gắn với vấn đề ban đầu. Mô
hình hoá toán học là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học bằng các ngôn
ngữ toán học, bao gồm các biến số, tham số, kí hiệu… Dựa vào định nghĩa trên, ta
thấy rằng mô hình hóa toán học là một hoạt động phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi
giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều, vì vậy đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng
lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau cũng như có kiến thức liên quan
đến các tình huống thực tế được xem xét.
Quy trình mô hình hóa toán học thường bao gồm các bước sau:
- Xác định vấn đề: Đây là giai đoạn khởi đầu, nơi học sinh phải thực sự hiểu rõ
vấn đề được đặt ra. Điều này không chỉ đơn thuần là đọc lướt qua đề bài, mà là việc
phân tích sâu sắc để hiểu được: bối cảnh, các yếu tố liên quan, mục tiêu cần đạt được
- Toán học hóa: Đây là bước chuyển đổi từ ngôn ngữ thực tiễn sang ngôn ngữ
toán học. Học sinh cần phải chọn các ký hiệu thích hợp để đại diện cho các đại lượng
trong vấn đề, Tìm ra các mối liên hệ giữa các biến số, diễn đạt chúng bằng các phương
trình, bất phương trình, hàm số,…Lược bỏ những yếu tố không cần thiết để tập trung
vào những yếu tố cốt lõi. Bước này đòi hỏi khả năng trừu tượng hóa và tư duy logic.
Học sinh cần phải lựa chọn những công cụ toán học ph
ù hợp để mô tả vấn đề một cách
chính xác.
- Xây dựng mô hình toán học: Từ những yếu tố và mối quan hệ đã được toán
học hóa, học sinh tiến hành xây dựng một mô hình toán học hoàn chỉnh như phương
trình, hệ phương trình, hàm số, đồ thị, bảng số liệu. Việc lựa chọn mô hình ph
ù hợp là
rất quan trọng, vì nó sẽ ảnh hưởng đến tính chính xác và hiệu quả của quá trình giải
quyết vấn đề.
- Giải quyết mô hình toán học: Ở bước này, học sinh sử dụng các kiến thức và
kỹ năng toán học để giải quyết mô hình đã xây dựng gồm: thực hiện các phép tính,
biến đổi các biểu thức, chứng minh các định lý. Bước này đòi hỏi sự thành thạo các kỹ
năng toán học và khả năng áp dụng chúng một cách linh hoạt.
8

11. - Diễn giải và đánh giá kết quả: Sau khi có được kết quả từ việc giải quyết mô
hình, học sinh cần phải: chuyển đổi kết quả toán học trở lại ngôn ngữ thực tiễn, trả lời
câu hỏi ban đầu, xem xét xem kết quả có ph
ù hợp với thực tế hay không và xem xét lại
các giả định đã đưa ra trong quá trình xây dựng mô hình. Nếu kết quả không hợp lý,
học sinh cần quay lại các bước trước đó để điều chỉnh và hoàn thiện mô hình.
- Ứng dụng: Bước cuối c
ùng là áp dụng mô hình và kết quả để giải quyết vấn đề
thực tiễn. Điều này có thể bao gồm: đưa ra dự đoán, đề xuất giải pháp, ra quyết định
Trong dạy học toán, mô hình hóa toán học đóng vai trò như một cầu nối quan trọng,
giúp học sinh tăng cường khả năng kết nối giữa toán học với các môn học khác cũng
như liên kết kiến thức toán học trừu tượng với thế giới thực tiễn sinh động. Thay vì chỉ
học thuộc các công thức và giải các bài toán "giả định", học sinh được khuyến khích
sử dụng toán học để phân tích và giải quyết các vấn đề xuất phát từ cuộc sống hàng
ngày. Qua đó, các em không chỉ nắm vững kiến thức mà còn hiểu rõ hơn về tính ứng
dụng của toán học, phát triển tư duy phản biện, khả năng giải quyết vấn đề và kỹ năng
làm việc nhóm.
Theo Blum, Stillman đã đưa ra các lý do chính sau đây để khẳng định mô hình
hóa toán học lại cần thiết đối với học sinh:
- Mô hình hóa toán học cho phép học sinh hiểu được mối liên hệ giữa toán học
với cuộc sống, môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học
toán trở nên ý nghĩa hơn.
- Mô hình hóa toán học trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán như một
công cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ đó giúp
các em thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế. Khả năng sử dụng toán vào
các tình huống ngoài toán không phải là kết quả tự động của sự thành thạo toán học
thuần túy mà đòi hỏi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện.
- Mô hình hóa toán học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện và
phong phú của toán học, giúp học sinh thấy được đó không chỉ là một ngành khoa học
mà còn là một phần của lịch sử và văn hóa loài người.
- Các nội dung toán có thể được hình thành, củng cố bởi các ví dụ mô hình hóa
ph
ù hợp, điều này giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển thái độ
tích cực của các em đối với toán, tạo động cơ, thúc đẩy việc học toán.
- Mô hình hóa toán học là một phương tiện ph
ù hợp để phát triển các năng lực
toán học của học sinh như suy luận, khám phá, sáng tạo, giải quyết vấn đề.
Do đó bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kĩ năng liên
quan đến toán học như khái niệm, định lý, công thức, quy tắc, dạy toán cần giúp học
sinh phát triển khả năng kết nối các kiến thức, kĩ năng đó để giải quyết những tình
huống thực tế. Khi sử dụng toán để giải quyết các vấn đề, tình huống trong lĩnh vực
ngoài toán thì mô hình toán học và quá trình mô hình hóa toán học là những công cụ
cần thiết.
1.2. Năng lực mô hình hoá toán học
1.2.1. Năng lực toán học
Trước tiên, năng lực được định nghĩa là thuộc tính cá nhân được hình thành,
phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện cho phép con người huy
động, tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú,
niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt được kết quả
mong muốn trong những điều kiện cụ thể.
9

12. Năng lực toán học là một loại năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học. Có
rất nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học. Ở Việt Nam, trong những năm
gần đây, các nhà nghiên cứu toán học thường nhắc tới quan niệm năng lực toán học
của các nhà giáo dục toán học Đan Mạch và đề xuất của tác giả Trần Kiều (Viện Khoa
học Giáo dục Việt Nam). Theo Blomhøj & Jensen (2007): “Năng lực toán học là khả
năng sẵn sàng hành động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất
định”. Theo Niss (1999): “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng
các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả
những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải
thích)”.
Theo chương trình giáo dục phổ thông mới môn Toán 2018 nêu rõ: “Giáo dục
toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực
chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán
học, năng lực mô hình hoá toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực
giao tiếp toán học, năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học” (Bộ Giáo dục
và Đào tạo, 2018).
Trong môi trường học tập, năng lực toán học đóng vai trò như một nền móng
vững chắc, không chỉ hỗ trợ việc tiếp thu kiến thức trong các môn khoa học tự nhiên
và kỹ thuật, mà còn là công cụ đắc lực giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng
phân tích và giải quyết vấn đề. Toán học rèn luyện khả năng suy luận, lập luận chặt
chẽ, từ đó giúp học sinh hình thành tư duy phản biện, đánh giá thông tin một cách
khách quan. Hơn nữa, việc học toán còn giúp học sinh phát triển khả năng tư duy trừu
tượng, khái quát hóa, những kỹ năng cần thiết để tiếp cận và giải quyết các vấn đề
phức tạp. Tóm lại, năng lực toán học là một yếu tố then chốt, không chỉ giúp học sinh
đạt thành tích tốt trong học tập, mà còn trang bị cho các em những kỹ năng cần thiết để
thành công trong cuộc sống và sự nghiệp.
1.2.2. Năng lực mô hình hoá toán học
Maaß (2006) định nghĩa năng lực mô hình hoá toán học bao gồm các kĩ năng và
khả năng thực hiện quy trình mô hình hoá toán học nhằm đạt được mục tiêu xác định.
Kaiser (2007) cho rằng, năng lực mô hình hoá toán học đặc trưng cho khả năng thực
hiện toàn bộ quy trình mô hình hoá toán học và phản ánh về quá trình đó. Theo
Henning và Keune (2004), năng lực mô hình hoá toán học là tổ hợp những thuộc tính
của cá nhân người học như kiến thức, kĩ năng, thái độ và sự sẵn sàng tham gia vào
hoạt động mô hình hoá toán học nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả; nghiên
cứu này còn xác định năng lực mô hình hoá toán học một cách chi tiết, bao gồm khả
năng xây dựng mô hình, thông dịch giữa thế giới thực và thế giới toán học, làm việc
với mô hình toán học như chính xác hóa và đánh giá các mô hình toán, phản ánh về kết
quả của các mô hình đó điều chỉnh quy trình mô hình hóa nếu cần thiết. Theo Blomhoj
và Jensen (2007), năng lực mô hình hoá toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai
đoạn của quy trình mô hình hoá toán học với một tình huống cho trước. Theo Nguyễn
Danh Nam (2016), năng lực mô hình hoá toán học được cho là sự sẵn sàng của một ai
đó để thực hiện tất cả các phần của quy trình mô hình hoá toán học trong một tình
huống nhất định. Theo Đỗ Thị Thanh (2020): Năng lực mô hình hoá toán học là khả
năng ứng dụng, thông hiểu, diễn tả - giao lưu và giải quyết các vấn đề liên quan đến
mô hình hoá toán học.
10

13. Như vậy, có thể hiểu “năng lực mô hình hoá toán học” là khả năng thực hiện
đầy đủ các giai đoạn của một quy trình mô hình hoá toán học để giải quyết một vấn đề,
bài toán thực tiễn. Năng lực này thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: sử
dụng mô hình Toán học (công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,...) để mô tả tình
huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp, giải quyết được
những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập, thể hiện và đánh giá được lời giải
trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không ph
ù hợp.
Bảng 1.1:Thành tố của năng lực mô hình hoá toán học và
biểu hiện của học sinh trung học phổ thông (Bộ GD và ĐT 2018)
Thành tố của năng lực mô hình hoá
toán học
Biểu hiện của học sinh trung học phổ
thông
Sử dụng các mô hình toán học (gồm
công thức, phương trình, bảng biểu, đồ
thị...) để mô tả các tình huống đặt ra
trong các bài toán thực tế.
Sử dụng các mô hình toán học (gồm công
thức, phương trình, sơ đồ, bảng biểu, đồ
thị...) để mô tả các tình huống đặt ra trong
các bài toán thực tế.
Giải quyết các vấn đề toán học trong
mô hình được thiết lập.
Đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học
đặt ra trong mô hình được thiết lập.
Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ
cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu
cách giải quyết không ph
ù hợp.
Biết đánh giá các kết luận thu được từ các
tính toán là có ý nghĩa, ph
ù hợp với thực
tế hay không. Đặc biệt biết cách đơn giản
hóa những yêu cầu thực tế (xấp xỉ, bổ
sung thêm giả thiết, tổng quát hóa...) để
thiết lập những bài toán giải được, và hiểu
rằng cần điều chỉnh để ph
ù hợp với thực tế
hơn
1.2. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hoá toán học
Trong bối cảnh giáo dục hiện đại, việc chuyển đổi từ phương pháp dạy học
truyền thống sang các phương pháp tiếp cận mới, tập trung vào phát triển năng lực của
người học, đang trở thành xu hướng tất yếu. Trong đó, dạy học theo định hướng phát
triển năng lực mô hình hóa toán học nổi lên như một phương pháp hiệu quả, giúp học
sinh không chỉ nắm vững kiến thức toán học mà còn có khả năng ứng dụng chúng vào
giải quyết các vấn đề thực tiễn. Mục tiêu chính của phương pháp này là phát triển khả
năng chuyển đổi các tình huống thực tiễn thành các mô hình toán học, từ đó rèn luyện
kỹ năng phân tích, giải quyết vấn đề và tư duy phản biện cho học sinh. Nội dung dạy
học tập trung vào các vấn đề thực tiễn, có tính ứng dụng cao, kết hợp kiến thức toán
học với các môn học khác, sử dụng các tình huống mở để khuyến khích học sinh tự
khám phá và tìm tòi.
Đã có nhiều nghiên cứu đưa ra quy trình mô hình hoá toán học. Các quy trình
tuy có các giai đoạn, các bước khác nhau nhưng cũng có nhiều nét tương đồng. Theo
Blum và Leiss (2007), quy trình mô hình hoá toán học gồm các bước sau:
11

14. Hình 1.1. Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Blum và Leiss
- Bước 1: Đọc hiểu nhiệm vụ đã cho và xây dựng mô hình cho tình huống đó.
- Bước 2: Đơn giản hóa và xác định các biến ph
ù hợp nhằm xây dựng mô hình
thực của tình huống.
- Bước 3: Từ cơ sở mô hình thực, chuyển sang mô hình toán.
- Bước 4: Giải bài toán bằng kiến thức toán học để tìm kết quả.
- Bước 5: Chuyển kết quả toán học thành trở lại giải quyết vấn đề của thực tiễn.
- Bước 6: Xác định tính ph
ù hợp của kết quả với mô hình thực.
- Bước 7: Trình bày cách giải quyết cho tình huống thực.
Ví dụ: Một cửa hàng bán gạo nhận thấy rằng cứ bán 5kg gạo thì thu được
120000 đồng. Hôm nay, cửa hàng muốn bán 12kg gạo. Hỏi cửa hàng sẽ thu được bao
nhiêu tiền?
Áp dụng 7 bước mô hình hóa của Blum & Leiss (2007):
Bước 1: Đọc hiểu nhiệm vụ và xây dựng mô hình cho tình huống đó
Tình huống: Một cửa hàng bán gạo, số tiền thu được sẽ phụ thuộc vào số kg
gạo mà cửa hàng đó bán.
Mục tiêu: Tính số tiền cửa hàng thu được sau khi bán 12kg gạo.
Thông tin đã cho: 5kg gạo tương ứng với 120 000 đồng.
Bước 2: Đơn giản hóa và xác định các biến phù hợp nhằm xây dựng mô
hình thực của tình huống
Đơn giản hóa: Giả sử giá gạo không đổi.
Gọi:
là số kg gạo cửa hàng bán
là số tiền cửa hàng thu được
Bước 3: Từ cơ sở mô hình thực, chuyển sang mô hình toán
Mối quan hệ: Số tiền thu được tỉ lệ thuận với số kg gạo mà cửa hàng đó bán.
Mô hình toán học:
Ta có tỉ lệ: trong đó: kg, đồng, kg, là số
tiền cần tìm.
Bước 4: Giải bài toán bằng kiến thức toán học để tìm kết quả
Thay các giá trị đã biết vào tỉ lệ thức:
Ta sẽ giải được tỉ lệ thức:
Bước 5: Chuyển kết quả toán học thành trở lại giải quyết vấn đề của thực
tiễn
Trả lời: Cửa hàng sẽ thu được 288 000 đồng khi bán 12kg gạo.
Bước 6: Xác định tính phù hợp của kết quả với mô hình thực.
Kiểm tra:
Số tiền tăng lên khi số kg gạo tăng lên (hợp lý): Khi số kg gạo bán tăng từ
5kg lên 12kg, số tiền thu được cũng tăng từ 120 000 đồng lên 288 000 đồng. Điều này
ph
ù hợp với thực tế mua bán.
Tính nhẩm:
12

15. Nếu bán gấp đôi số gạo (10kg), số tiền cũng gấp đôi (240 000 đồng). Kết
quả 288000 đồng cho 12kg gạo nằm trong khoảng hợp lý.
Bước 7: Trình bày cách giải quyết cho tình huống thực
Trình bày: Để tính số tiền thu được khi bán 12kg gạo, ta nhận thấy rằng số
tiền thu được tỉ lệ thuận với số kg gạo bán. Do đó, ta thiết lập một tỉ lệ thức để thể hiện
mối quan hệ này. Bằng cách thay các giá trị đã biết vào tỉ lệ thức và giải ra, ta tìm
được kết quả là cửa hàng sẽ thu được 288000 đồng. Kết quả này là hợp lý vì nó phản
ánh sự tăng lên của số tiền khi số lượng gạo bán ra tăng lên.
Theo Stillman, Galbraith & Brown (2007). Họ đề xuất một quy trình mô hình
hóa gồm các bước sau:
- Bước 1: Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống;
- Bước 2: Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán;
- Bước 3: Giải toán;
- Bước 4: Giải thích kết quả toán;
- Bước 5: So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí;
- Bước 6: Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình không được chấp nhận);
- Bước 7: Lặp lại quá trình (nếu mô hình không được chấp nhận)
Ví dụ: Một cửa hàng bán gạo nhận thấy rằng cứ bán 5kg gạo thì thu được
120000 đồng. Hôm nay, cửa hàng muốn bán 12kg gạo. Hỏi cửa hàng sẽ thu được bao
nhiêu tiền?
Áp dụng quy trình mô hình hóa của Stillman, Galbraith & Brown (2007):
Bước 1: Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống
Hiểu: Bài toán mô tả một tình huống mua bán đơn giản, trong đó số tiền thu
được phụ thuộc vào số lượng gạo bán ra.
Đơn giản hóa:
Giả định rằng giá gạo là không đổi (không có khuyến mãi, giảm giá,...).
Bỏ qua các yếu tố khác có thể ảnh hưởng đến số tiền thu được (ví dụ: chi
phí bao bì, chi phí vận chuyển nếu có).
Xây dựng lại: Chuyển tình huống thành một bài toán về tỉ lệ thuận: tìm một
giá trị chưa biết trong mối quan hệ tỉ lệ giữa số lượng gạo và số tiền.
Bước 2: Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán
Biến số:
là số kg gạo cửa hàng bán
là số tiền cửa hàng thu được
Mô hình toán học:
Vì số tiền thu được tỉ lệ thuận với số kg gạo bán, ta có thể lập tỉ lệ thức:
Trong đó: kg, đồng, kg, là số tiền cần tìm.
Bước 3: Giải toán
Giải tỉ lệ thức:
suy ra
Bước 4: Giải thích kết quả toán
13

16. Giải thích: Kết quả toán học cho thấy, nếu cửa hàng bán 12kg gạo, họ sẽ thu
được 288 000 đồng.
Kiểm tra tính ph
ù hợp: Số tiền thu được tăng lên khi số kg gạo bán ra tăng
lên (hợp lý). Nếu bán gấp đôi số gạo (10kg), số tiền thu được cũng gấp đôi (240000
đồng), điều này ph
ù hợp với khái niệm tỉ lệ thuận.
Bước 5: So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí
Hợp lý: Kết quả là một số tiền dương, ph
ù hợp với thực tế.
Phê phán:
Mô hình giả định giá gạo không đổi, bỏ qua các yếu tố như khuyến mãi,
loại gạo,…
Mô hình không tính đến các chi phí của cửa hàng (thuê mặt bằng, nhân
viên,...).
Bước 6: Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình không được chấp nhận)
Trong trường hợp này, mô hình khá đơn giản và ph
ù hợp. Tuy nhiên, nếu
muốn mô hình chính xác hơn, ta có thể thêm các yếu tố:
Nếu có khuyến mãi (ví dụ: mua nhiều giảm giá), ta cần thay đổi cách tính
tiền.
Nếu có các loại gạo khác nhau với giá khác nhau, ta cần chia bài toán thành
nhiều phần.
Bước 7: Lặp lại quá trình (nếu mô hình không được chấp nhận)
Nếu có thêm thông tin hoặc yêu cầu mới (ví dụ: tính lợi nhuận thay vì doanh
thu), ta cần quay lại từ Bước 1 để xây dựng mô hình mới và giải lại.
Theo Nguyễn Danh Nam (2015) đưa ra quy trình mô hình hoá toán học gồm
các bước:
- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn
đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế.
- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra
- Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học
mô tả tình huống thực tiễn
- Bước 4: Sử dụng kiến thức toán học ph
ù hợp để giải bài toán.
- Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán học trong
bối cảnh thực tế.
- Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lí và
tối ưu của mô hình đã xây dựng
- Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô
hình có độ phức tạp cao hơn, ph
ù hợp với thực tế.
Ví dụ: Một cửa hàng bán gạo nhận thấy rằng cứ bán 5kg gạo thì thu được
120000 đồng. Hôm nay, cửa hàng muốn bán 12kg gạo. Hỏi cửa hàng sẽ thu được bao
nhiêu tiền?
Bước 1: Tìm hiểu, phân tích, đơn giản hóa vấn đề
Tìm hiểu: Bài toán mô tả mối quan hệ giữa số lượng gạo bán và số tiền thu
được.
Phân tích:
Số tiền thu được phụ thuộc vào số lượng gạo bán.
Có một tỉ lệ cố định giữa số lượng gạo và số tiền.
Đơn giản hóa:
14

17. Giả sử giá gạo là không đổi.
Bỏ qua các yếu tố khác có thể ảnh hưởng đến doanh thu (ví dụ: chi phí bao
bì, khuyến mãi).
Xây dựng lại: Xác định rằng đây là một bài toán về tỉ lệ thuận.
Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các yếu tố
Đại lượng 1: Số lượng gạo (kg)
Đại lượng 2: Số tiền thu được (đồng)
Mối liên hệ: Vì số tiền thu được tỉ lệ thuận với số lượng gạo bán, ta có thể
thiết lập một tỉ lệ thức.
Bước 3: Mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học
Biến:
là số kg gạo cửa hàng bán
là số tiền cửa hàng thu được
Mô hình toán học:
Tỉ lệ thức:
Trong đó: kg, đồng, kg, là số tiền cần tìm.
Bước 4: Giải bài toán
Giải tỉ lệ thức:
suy ra
Bước 5: Hiểu và diễn giải lời giải
Lời giải: Cửa hàng sẽ thu được 288000 đồng khi bán 12kg gạo.
Diễn giải: Kết quả này cho biết doanh thu tăng lên khi số lượng gạo bán ra
tăng lên, ph
ù hợp với quy luật mua bán thông thường.
Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình
Tính hợp lý:
Nếu bán gấp đôi số gạo (10kg), số tiền thu được cũng gấp đôi (240000
đồng).
Kết quả 288000 đồng nằm trong khoảng hợp lý.
Hạn chế:
Mô hình giả định giá gạo không đổi.
Mô hình bỏ qua các chi phí khác của cửa hàng.
Ưu điểm:
Đơn giản, dễ hiểu và áp dụng.
Mô tả chính xác mối quan hệ tỉ lệ thuận.
Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô
hình có độ phức tạp cao hơn, phù hợp với thực tế.
Mở rộng bài toán:
Nếu có nhiều loại gạo với giá khác nhau, ta cần xây dựng mô hình phức tạp
hơn.
Nếu có chương trình khuyến mãi (mua nhiều giảm giá), ta cần điều chỉnh
cách tính tiền.
Ví dụ cải tiến (nếu cần thiết):
15

18. Nếu biết giá vốn của gạo và muốn tính lợi nhuận, ta cần thêm biến "giá
vốn" và xây dựng công thức tính lợi nhuận.
Theo quy trình mô hình hoá toán học của Nguyễn Ái Quốc và Nguyễn Vũ
Quỳnh Như (2024) gồm 4 bước như sau:
- Bước 1: Lập mô hình mô phỏng thực tiễn
- Bước 2: Thiết lập mô hình toán học
- Bước 3: Giải bài toán toán học đã thiết lập ở bước 2
- Bước 4: Đối chiếu, kiểm nghiệm kết quả trong thực tiễn
Từ các nghiên cứu ở trên, tôi vận dụng quy trình mô hình hóa toán học của
Nguyễn Ái Quốc và Nguyễn Vũ Quỳnh Như (2024) để xây dựng quy trình mô hình
hóa toán học vì quy trình này gồm 4 giai đoạn, ph
ù hợp với quá trình giải toán. Bên
cạnh đó, quy trình này có tính logic và rõ ràng, dễ hiểu và dễ áp dụng nó nhấn mạnh sự
tương tác giữa toán học và thực tiễn, giúp học sinh thấy được giá trị ứng dụng của toán
học, nó còn khuyến khích học sinh tư duy phản biện và đánh giá kết quả một cách
khách quan. Quy trình mô hình hóa toán học trong dạy học giải bài toán thực tiễn gồm
4 bước như sau:
Bước 1: Lập mô hình mô phỏng thực tiễn
- Đây là bước khởi đầu quan trọng, đòi hỏi sự quan sát và phân tích kỹ lưỡng
vấn đề thực tiễn.
- Mục tiêu là xác định các yếu tố quan trọng, các mối quan hệ và quy luật chi
phối vấn đề.
- Ở bước này, việc mô phỏng thực tiễn chính là xác định các yếu tố có ý nghĩa
quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập những quy luật mà chúng ta phải tuân theo.
Bước 2:Thiết lập mô hình toán học  
- Sau khi đã có mô hình mô phỏng thực tiễn, ta chuyển sang bước thiết lập mô
hình toán học.
- Bước này đòi hỏi việc chuyển đổi các yếu tố và mối quan hệ trong mô hình
thực tiễn sang ngôn ngữ toán học.
- Đây là bước diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình phỏng thực
tiễn.
Bước 3: Giải bài toán toán học đã thiết lập ở bước 2
- Sau khi đã có mô hình toán học, ta tiến hành giải bài toán toán học tương ứng.
- Bước này đòi hỏi việc áp dụng các kiến thức và kỹ năng toán học để tìm ra lời
giải cho bài toán.
Bước 4: Đối chiếu, kiểm nghiệm kết quả trong thực tiễn
- Bước cuối c
ùng là đối chiếu và kiểm nghiệm kết quả thu được từ mô hình toán
học với thực tiễn.
- Mục tiêu là đánh giá tính chính xác và độ tin cậy của mô hình.
- Ở bước này, việc kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính
hợp lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng là rất cần thiết.
Ví dụ: Tình huống mua áo thun khuyến mãi
Bước 1: Lập mô hình mô phỏng thực tiễn
- Mô tả tình huống thực tế: “Một cửa hàng quần áo có chương trình khuyến mãi
hấp dẫn khi mua áo thun. Cửa hàng áp dụng các mức giảm giá khác nhau t
ùy thuộc
vào số lượng áo khách hàng mua. Cụ thể, khi mua 2 áo, khách hàng được giảm 10%
trên tổng hóa đơn, và khi mua từ 3 áo trở lên, mức giảm giá là 20% trên tổng hóa đơn.
16

19. Một nhóm bạn muốn tận dụng ưu đãi này để mua áo, và chúng ta cần tính toán số tiền
họ phải trả trong các trường hợp mua khác nhau, cũng như xác định số lượng áo tối đa
mà họ có thể mua với một ngân sách nhất định."
- Xác định các yếu tố và mối quan hệ quan trọng: "Để giải quyết bài toán này,
chúng ta cần quan tâm đến các yếu tố sau: giá gốc của mỗi chiếc áo thun, số lượng áo
mà nhóm bạn mua, và tổng số tiền mà họ phải trả. Mối quan hệ giữa các yếu tố này
thay đổi t
ùy thuộc vào số lượng áo được mua, do ảnh hưởng của chương trình khuyến
mãi."
Bước 2: Thiết lập mô hình toán học
- Chuyển đổi các yếu tố và mối quan hệ sang ngôn ngữ toán học: Để đơn giản
hóa bài toán, ta sử dụng các biến số để đại diện cho các đại lượng:
+ Gọi là số lượng áo thun mà nhóm bạn mua (là số nguyên dương).
+ Gọi là giá gốc của mỗi chiếc áo thun (đồng).
+ Gọi là tổng số tiền mà nhóm bạn phải trả (đồng)."
Dựa vào chương trình khuyến mãi của cửa hàng, ta có thể thiết lập các công
thức toán học để tính tổng số tiền phải trả () theo số lượng áo mua () và giá gốc của
mỗi áo ():
+ Nếu thì
+ Nếu thì
+ Nếu thì
Các công thức này chính là mô hình toán học của tình huống
Bước 3: Giải bài toán đã được thiết lập ở Bước 2
Áp dụng mô hình toán học để giải quyết các yêu cầu cụ thể:
- Trường hợp 1: Nhóm bạn mua 2 áo, giá gốc mỗi áo là 120 000 đồng, ta d
ùng
công thức và thay ta tính được (đồng). Vậy nhóm bạn
cần trả 216 000 đồng.
-Trường hợp 2: Nhóm bạn mua 5 áo, giá gốc mỗi áo là 150 000 đồng, ta d
ùng
công thức và thay , , ta tính được (đồng). Vậy
nhóm bạn cần trả 600 000 đồng.
Bước 4: Đối chiếu, kiểm nghiệm kết quả trong thực tiễn
Đánh giá tính hợp lý của kết quả:
- Trường hợp 1: Giá gốc 2 áo là 240 000 đồng, mức giảm giá 10% là 24 000
đồng, Số tiền phải trả (216 000 đồng) nhỏ hơn giá gốc (240 000 đồng) và chênh lệch
bằng đúng mức giảm giá. Kết quả hợp lý.
- Trường hợp 2: Giá gốc 5 áo là 750 000 đồng, Mức giảm giá 20% là 150 000
đồng, số tiền phải trả (600 000 đồng) nhỏ hơn giá gốc (750 000 đồng) và chênh lệch
bằng đúng mức giảm giá. Kết quả hợp lý.
Trong cả hai trường hợp, tổng số tiền phải trả đều nhỏ hơn tổng số tiền nếu
không có khuyến mãi, điều này ph
ù hợp với ý nghĩa của việc giảm giá.
Khi mua số lượng áo nhiều hơn (5 áo so với 2 áo), tổng số tiền phải trả cũng
tăng lên, điều này cũng hợp lý.
Trong quá trình thực hiện các bước của một quy trình mô hình hóa toán học để
giải bài toán thực tiễn, học sinh có cơ hội phát triển các thành tố của năng lực mô hình
hóa toán, trở thành những người có khả năng tư duy sáng tạo, giải quyết vấn đề hiệu
quả và ứng dụng toán học vào cuộc sống.
17

20. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học mang lại
nhiều lợi ích, nhưng để thực hiện hiệu quả phương pháp này, chúng ta cần đối mặt và
vượt qua một số thách thức đáng kể. Những thách thức này không chỉ liên quan đến
học sinh mà còn liên quan đến giáo viên, cơ sở vật chất và cả hệ thống giáo dục.
Thứ nhất: Khó khăn trong việc chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang mô hình toán
học: Học sinh có thể gặp khó khăn trong việc xác định các biến số, mối quan hệ và các
yếu tố quan trọng của vấn đề. Việc lựa chọn mô hình toán học ph
ù hợp cũng là một
thách thức, đặc biệt khi có nhiều mô hình học sinh có thể áp dụng.
Thứ hai: Đánh giá khả năng mô hình hóa đòi hỏi phương pháp đa dạng và linh
hoạt: Việc đánh giá không chỉ dừng lại ở kết quả cuối c
ùng mà còn phải xem xét quá
trình học sinh thực hiện mô hình hóa. Cần sử dụng nhiều hình thức đánh giá khác nhau
như đánh giá sản phẩm, đánh giá quá trình, tự đánh giá và đánh giá đồng đẳng.
Thứ ba: Giáo viên cần có đủ trình độ chuyên môn: Giáo viên cần nắm vững
kiến thức toán học và các lĩnh vực liên quan để có thể hướng dẫn học sinh xây dựng
mô hình. Ngoài ra giáo viên cũng cần có kỹ năng sư phạm và kĩ năng về công nghệ
thông tin để có thể sử dụng các phần mềm hỗ trợ mô hình hoá tạo môi trường học tập
tích cực và khuyến khích học sinh tham gia.
Thứ tư: Thiếu hụt về thời gian: Mô hình hoá toán học là một quá trình dài, vì
vậy nếu không có đủ thời gian thì sẽ rất khó để thực hiện một cách tốt nhất. Một tiết
học bình thường sẽ khó để có thể thực hiện tốt các bước trong quy trình mô hình hoá
toán học.
1.3. Đánh giá năng lực mô hình hoá toán học trong dạy học Toán
Các tình huống và bài tập mô hình hóa cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp.Vì vậy việc xây dựng thang đo đánh giá năng lực mô hình hoá toán
học, giáo viên cần chú ý đến các cấp độ mô hình hóa. ưới đây là cách đánh giá cấp
độ mô hình hóa toán học:
- Cấp độ 0: Không hiểu tình huống
+ Đây là cấp độ thấp nhất, thể hiện sự thiếu hụt hoàn toàn về khả năng hiểu
và tiếp cận vấn đề.
+ Học sinh không thể bắt đầu bất kỳ quá trình nào liên quan đến mô hình
hóa, kể cả việc phác thảo hay ghi chú.
+ Điều này cho thấy học sinh cần được hỗ trợ cơ bản để hiểu rõ vấn đề.
- Cấp độ 1: Hiểu tình huống nhưng không kết nối toán học
+ Học sinh có thể nắm bắt được bối cảnh của vấn đề, nhưng không thể liên
kết nó với các khái niệm hoặc công cụ toán học.
+ Học sinh chưa thể cấu trúc hoặc đơn giản hóa tình huống để tìm ra hướng
giải quyết.
+ Đây là bước đầu tiên trong việc hiểu vấn đề, nhưng học sinh cần được
hướng dẫn để chuyển sang bước tiếp theo.
- Cấp độ 2: Mô hình thực tế nhưng không toán học hóa
+ Học sinh có thể xây dựng một mô hình thực tế, tức là hiểu được các yếu tố
và mối quan hệ quan trọng của vấn đề.
+ Tuy nhiên, học sinh gặp khó khăn trong việc chuyển đổi mô hình thực tế
này sang ngôn ngữ toán học.
+ Học sinh cần được hỗ trợ để chuyển đổi mô hình thực tế sang mô hình toán
học.
18

21. Cấp độ 3: Toán học hóa nhưng không giải quyết rõ ràng
+ Học sinh có thể chuyển đổi tình huống thực tế thành một bài toán toán học.
+ Tuy nhiên, học sinh gặp khó khăn trong việc áp dụng các kiến thức và kỹ
năng toán học để giải quyết bài toán một cách rõ ràng.
+ Học sinh cần được hướng dẫn để áp dụng các phương pháp giải quyết toán
học.
Cấp độ 4: Giải quyết bài toán toán học
+ Học sinh có thể thiết lập bài toán toán học từ tình huống thực tế, giải quyết
bài toán bằng kiến thức toán học và đưa ra kết quả cụ thể.
+ Đây là cấp độ thể hiện khả năng áp dụng toán học để giải quyết vấn đề.
Cấp độ 5: Kiểm nghiệm kết quả trong thực tiễn
+ Học sinh không chỉ giải quyết bài toán toán học mà còn có thể kiểm
nghiệm kết quả trong mối quan hệ với tình huống thực tế ban đầu.
+ Học sinh có khả năng đánh giá tính hợp lý của kết quả và điều chỉnh mô
hình nếu cần thiết.
+ Đây là cấp độ cao nhất, thể hiện khả năng mô hình hóa toán học một cách
toàn diện.
Việc đánh giá cấp độ mô hình hóa toán học theo các tiêu chí như đã nêu mang
lại nhiều ưu điểm vượt trội, tạo ra một phương pháp đánh giá toàn diện và hiệu quả.
Phương pháp đánh giá cả quá trình học sinh thực hiện mô hình hóa, từ việc hiểu vấn
đề đến việc kiểm nghiệm kết quả điều này giúp giáo viên có cái nhìn sâu sắc về năng
lực thực sự của học sinh, không chỉ đơn thuần là khả năng tính toán. Các cấp độ được
mô tả chi tiết, giúp giáo viên và học sinh dễ dàng nhận biết sự tiến bộ qua từng giai
đoạn. Ngoài ra việc đánh giá theo cấp độ giúp giáo viên xác định những khó khăn cụ
thể của học sinh và đưa ra sự hỗ trợ ph
ù hợp.
1.5. Kết luận Chương 1
Chương này đã làm sáng tỏ tầm quan trọng của mô hình hóa toán học trong dạy
học Toán, từ việc định nghĩa khái niệm đến việc phân tích quy trình, năng lực và đánh
giá năng lực mô hình hóa toán học. Qua đó, ta thấy rằng mô hình hóa toán học không
chỉ là một phương pháp dạy học, mà còn là một công cụ mạnh mẽ giúp học sinh phát
triển tư duy và kỹ năng cần thiết cho cuộc sống.
Mô hình hóa toán học không chỉ là một phương pháp dạy học, mà còn là một
triết lý giáo dục, hướng tới việc giúp học sinh phát triển tư duy phản biện, khả năng
giải quyết vấn đề và kỹ năng ứng dụng toán học vào cuộc sống. Nó tạo ra một cầu nối
vững chắc, giúp học sinh nhận thức được sự liên kết mật thiết giữa toán học và thế giới
thực tiễn, từ đó khơi dậy niềm đam mê và hứng thú học tập.
Quy trình mô hình hóa toán học bao gồm các bước từ xác định vấn đề, toán học
hóa, xây dựng mô hình, giải quyết mô hình, diễn giải và đánh giá kết quả, đến ứng
dụng. Việc vận dụng quy trình mô hình hóa toán học của Nguyễn Ái Quốc và Nguyễn
Vũ Quỳnh Như (2024) thể hiện sự nghiên cứu và vận dụng sáng tạo, đồng thời nhấn
mạnh sự tương tác giữa toán học và thực tiễn.
Năng lực mô hình hóa toán học, bao gồm khả năng chuyển đổi vấn đề thực tiễn
sang ngôn ngữ toán học và ngược lại, là một năng lực quan trọng cần được phát triển ở
học sinh. Việc đánh giá năng lực này cần được thực hiện một cách toàn diện, sử dụng
đa dạng các phương pháp và công cụ đánh giá, để có cái nhìn sâu sắc về sự tiến bộ của
học sinh.
19

22. Tuy nhiên, việc áp dụng mô hình hóa toán học trong dạy học cũng đặt ra những
thách thức không nhỏ, từ việc thiếu hụt tài liệu và tài nguyên, đến năng lực của giáo
viên và sự thay đổi trong tư duy của học sinh. Để vượt qua những thách thức này, cần
có sự phối hợp chặt chẽ giữa nhà trường, gia đình và xã hội, c
ùng với sự đầu tư vào
việc nâng cao năng lực giáo viên và đổi mới phương pháp đánh giá.
Việc đánh giá cấp độ mô hình hóa toán học theo các tiêu chí rõ ràng và chi tiết
là một công cụ hữu ích, giúp giáo viên và học sinh nhận biết sự tiến bộ và điều chỉnh
phương pháp dạy và học một cách ph
ù hợp.
Tóm lại, mô hình hóa toán học là một phương pháp dạy học hiệu quả, giúp học
sinh phát triển toàn diện các năng lực cần thiết để thành công trong thế giới hiện đại.
Việc áp dụng thành công phương pháp này đòi hỏi sự nỗ lực và tâm huyết của nhà
trường, gia đình và xã hội, nhằm tạo ra một môi trường học tập tích cực và khuyến
khích sự sáng tạo của học sinh.
20

23. CHƯƠNG 2
DẠY HỌC NỘI DUNG ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN Ở LỚP 7 THEO ĐỊNH
HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HỌC
2.1. Nội dung Đại lượng tỉ lệ thuận ở lớp 7
2.1.1. Nội dung Đại lượng tỉ lệ thuận trong Chương trình GDPT 2018
Trong Chương trình Giáo dục phổ thông (GDPT) 2018, môn Toán ở cấp Trung
học cơ sở đóng vai trò then chốt trong việc hình thành và phát triển các năng lực toán
học cốt lõi cho học sinh. Một trong những nội dung quan trọng, được giới thiệu ở lớp
7, chính là đại lượng tỉ lệ thuận. Khái niệm này không chỉ là một viên gạch cơ bản
trong mạch kiến thức "Đại số và Hàm số" mà còn là đóng vai trò then chốt trong việc
hình thành và phát triển tư duy định lượng, khả năng phân tích mối quan hệ giữa các
đại lượng và đặc biệt là năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh.
Đại lượng tỉ lệ thuận thường được giảng dạy trong học kì II của chương trình
Toán lớp 7. Nó xuất hiện sau khi học sinh đã làm quen với các khái niệm về số hữu tỉ,
biểu thức đại số. Sự ra đời của đại lượng tỉ lệ thuận mở ra cánh cửa để học sinh nhận
diện những mối quan hệ đặc biệt giữa các đại lượng, nơi sự thay đổi của một đại lượng
kéo theo sự thay đổi tương ứng của đại lượng kia theo một quy luật nhất định. Mối
quan hệ này được biểu diễn một cách súc tích qua công thức , với là một hằng
số khác không, được gọi là hệ số tỉ lệ. Chương trình GDPT 2018 không chỉ dừng lại ở
định nghĩa mà còn làm rõ tính chất đối xứng của mối quan hệ này, khẳng định rằng
nếu y tỉ lệ thuận với x, thì x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số . Đây là tiền đề quan
trọng để học sinh tiếp cận với các khái niệm hàm số sau này, đặc biệt là hàm số bậc
nhất.
Một trong những điểm cốt lõi của Chương trình GDPT 2018 là sự kết nối giữa
kiến thức toán học với thế giới thực. Nội dung về đại lượng tỉ lệ thuận không nằm
ngoài xu hướng này. Chương trình khuyến khích giáo viên tạo ra các tình huống học
tập mà ở đó học sinh có thể: Nhận diện mối quan hệ tỉ lệ trong thực tế, xây dựng mô
hình toán học, giải quyết vấn đề bằng toán học, thẩm định và diễn giải kết quả.
Chương trình GDPT 2018 đặc biệt nhấn mạnh tính ứng dụng thực tiễn của kiến thức,
và nội dung Đại lượng tỉ lệ thuận là một minh chứng rõ ràng cho điều này. Việc
khuyến khích giáo viên tạo ra các tình huống học tập gắn liền với đời sống giúp học
sinh không chỉ nắm vững kiến thức mà còn biết cách vận dụng linh hoạt để giải quyết
các vấn đề thực tế. Quá trình nhận diện, mô hình hóa, giải quyết và diễn giải các tình
huống tỉ lệ thuận chính là những bước quan trọng trong việc xây dựng và củng cố năng
lực mô hình hóa toán học – một trong những năng lực quan trọng nhất.
Tóm lại, việc dạy và học hiệu quả nội dung Đại lượng tỉ lệ thuận trong Chương
trình GDPT 2018 không chỉ trang bị cho học sinh những kiến thức toán học cần thiết
mà còn góp phần quan trọng vào sự phát triển toàn diện các năng lực, giúp các em tự
tin và thành công hơn trong học tập và cuộc sống sau này. Sự chú trọng vào tính ứng
dụng và phát triển năng lực trong chương trình đòi hỏi sự đổi mới trong phương pháp
dạy học, hướng đến việc tạo ra những trải nghiệm học tập tích cực và ý nghĩa cho học
sinh.
2.1.2. Nội dung Đại lượng tỉ lệ thuận trong Toán 7 (KNTT)
21

24. Việc lựa chọn bộ sách giáo khoa "Kết nối tri thức" (KNTT) cho nghiên cứu này
được đưa ra dựa trên những ưu điểm nổi bật của bộ sách trong việc hỗ trợ phát triển
năng lực mô hình hóa toán học ở học sinh. Thứ nhất, sách KNTT được biên soạn theo
Chương trình Giáo dục phổ thông 2018, một chương trình có định hướng rõ ràng trong
việc phát triển năng lực của người học. Do đó, nội dung và phương pháp sư phạm mà
sách KNTT đề xuất được đánh giá là ph
ù hợp với mục tiêu của nghiên cứu về phát
triển năng lực mô hình hóa. Thứ hai, sách KNTT đặc biệt chú trọng đến tính thực tiễn
của toán học, thể hiện qua việc thường xuyên đưa ra các tình huống và bài toán gắn
liền với đời sống hàng ngày của học sinh. Cách tiếp cận này tạo điều kiện thuận lợi
cho việc xây dựng các hoạt động dạy học mà ở đó, học sinh có thể vận dụng toán học
để giải quyết các vấn đề thực tế, từ đó phát triển năng lực mô hình hóa một cách tự
nhiên và hiệu quả. Thứ ba, cấu trúc nội dung của sách KNTT được thiết kế một cách
logic và khoa học, giúp học sinh dễ dàng nắm bắt kiến thức và các mối liên hệ giữa
các khái niệm toán học. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc tạo ra một nền tảng
vững chắc cho học sinh khi tham gia vào các hoạt động mô hình hóa, vốn đòi hỏi khả
năng tư duy logic và hệ thống. Cuối c
ùng, sách KNTT khuyến khích các phương pháp
dạy học tích cực, tạo cơ hội cho học sinh được khám phá, thảo luận và làm việc hợp
tác. Những hoạt động này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức mà còn góp
phần phát triển các kỹ năng cần thiết cho quá trình mô hình hóa, như kỹ năng phân
tích, tổng hợp và giao tiếp toán học.
Sách giáo khoa Toán 7 Kết nối tri thức với cuộc sống đã khéo léo giới thiệu
khái niệm Đại lượng tỉ lệ thuận một cách bài bản và gần gũi, nằm trong Chương VI: Tỉ
lệ thức và đại lượng tỉ lệ. Bài học Bài 22: Đại lượng tỉ lệ thuận không chỉ cung cấp
những kiến thức cơ bản mà còn chú trọng đến việc kết nối lý thuyết với thực tiễn, giúp
học sinh xây dựng nền tảng vững chắc cho tư duy toán học và khả năng ứng dụng
trong cuộc sống.
Ngay từ khi bắt đầu, sách đã tiếp cận học sinh bằng những tình huống thực tế,
khơi gợi sự tò mò và nhu cầu khám phá về mối quan hệ giữa các đại lượng. Những ví
dụ như quãng đường di chuyển của một phương tiện với vận tốc không đổi theo thời
gian, hay số tiền mua hàng tương ứng với số lượng sản phẩm, đã tạo ra một cầu nối tự
nhiên giữa thế giới xung quanh và khái niệm toán học trừu tượng.
Sau khi dẫn dắt bằng tình huống, sách giới thiệu định nghĩa đại lượng tỉ lệ thuận
một cách rõ ràng: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức (với

là một hằng số khác 0), thì tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ . Điểm đáng chú ý
là sách không chỉ dừng lại ở đó mà còn làm rõ tính chất tương hỗ: nếu tỉ lệ thuận
với , thì cũng tỉ lệ thuận với theo hệ số . Điều này giúp học sinh có cái nhìn
toàn diện hơn về mối quan hệ này.
Để củng cố khái niệm và tạo tiền đề cho việc giải toán, sách Kết nối tri thức
trình bày một cách dễ hiểu hai tính chất cốt lõi của đại lượng tỉ lệ thuận:
- Tỉ số không đổi: Tỉ số giữa các giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận
luôn bằng hệ số tỉ lệ ( ). Tính chất này không chỉ giúp học sinh
nhận biết mối quan hệ tỉ lệ thuận mà còn là công cụ để kiểm tra tính đúng đắn của các
bài toán.
22

25. - Tỉ lệ thức: Tỉ số giữa hai giá trị bất kỳ của một đại lượng bằng tỉ số giữa hai
giá trị tương ứng của đại lượng kia ( ). Đây là một tính chất
mạnh mẽ, thường được sử dụng để tìm ra các giá trị chưa biết trong bài toán.
Sách chú trọng đến việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua hệ
thống bài tập phong phú và đa dạng giúp học sinh vận dụng kiến thức về đại lượng tỉ
lệ thuận:
- Nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận: Dựa vào bảng số liệu hoặc mô tả mối quan hệ
giữa hai đại lượng để xác định xem chúng có tỉ lệ thuận với nhau hay không.
- Tìm hệ số tỉ lệ: Cho biết một cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ
thuận, yêu cầu tìm hệ số tỉ lệ.
- Viết công thức liên hệ: Dựa vào hệ số tỉ lệ đã tìm được, viết công thức biểu
diễn mối quan hệ tỉ lệ thuận giữa hai đại lượng.
- Tính giá trị tương ứng: Biết hệ số tỉ lệ và một giá trị của một trong hai đại
lượng, yêu cầu tìm giá trị tương ứng của đại lượng còn lại.
- Bài toán thực tế: Giải các bài toán có nội dung thực tế liên quan đến đại lượng
tỉ lệ thuận (ví dụ: tính lượng nguyên liệu cần thiết theo tỉ lệ, tính quãng đường đi được
trong một khoảng thời gian nhất định với vận tốc không đổi, ...).
- Chia một số thành các phần tỉ lệ thuận: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các bài toán chia tỉ lệ.
Các dạng bài tập được trình bày một cách logic, từ nhận biết khái niệm, tìm hệ
số tỉ lệ, viết công thức liên hệ, tính giá trị tương ứng, đến giải các bài toán thực tế và
bài toán chia tỉ lệ. Mỗi dạng bài tập đều đi kèm với hướng dẫn hoặc gợi ý, giúp học
sinh từng bước làm quen và nắm vững phương pháp giải.
Một trong những điểm nổi bật của sách là sự chú trọng đến việc kết nối kiến
thức toán học với cuộc sống. Các ví dụ và bài tập được lựa chọn đều mang tính thực tế
cao, giúp học sinh nhận thấy được vai trò và ứng dụng của đại lượng tỉ lệ thuận trong
nhiều tình huống quen thuộc hàng ngày.
Tinh thần "Kết nối tri thức với cuộc sống" được thể hiện rõ nét trong bài học về
đại lượng tỉ lệ thuận. Sách đưa ra nhiều ví dụ và bài toán có bối cảnh thực tế, giúp học
sinh nhận thấy được tính ứng dụng rộng rãi của kiến thức toán học trong cuộc sống
hàng ngày. Từ việc tính toán nguyên liệu trong nấu ăn, quy đổi tiền tệ, đến ước tính
khoảng cách trên bản đồ, đại lượng tỉ lệ thuận trở nên gần gũi và thiết thực hơn bao
giờ hết.
Thông qua các hoạt động khám phá, thảo luận nhóm và luyện tập được tích hợp
khéo léo trong bài học, sách Kết nối tri thức khuyến khích học sinh chủ động tham gia
vào quá trình học tập. Việc tự mình tìm tòi, suy luận và chia sẻ ý kiến không chỉ giúp
các em hiểu sâu sắc kiến thức mà còn phát triển tư duy logic và khả năng làm việc
nhóm.
Nội dung về Đại lượng tỉ lệ thuận trong sách Toán 7 bộ Kết nối tri thức với
cuộc sống được xây dựng một cách khoa học, sư phạm và gần gũi với học sinh. Bằng
cách kết hợp giữa lý thuyết chặt chẽ và các ví dụ, bài tập thực tế, sách đã tạo ra một
môi trường học tập hiệu quả, giúp học sinh không chỉ nắm vững kiến thức về đại
lượng tỉ lệ thuận mà còn phát triển các năng lực toán học quan trọng, đặc biệt là khả
năng ứng dụng toán học vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống. Đây thực sự là một
23

26. nền tảng vững chắc để học sinh tiếp tục khám phá những khái niệm toán học phức tạp
hơn ở các lớp trên.
2.2. Phân tích cơ hội hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học
trong dạy học Đại lượng tỉ lệ thuận ở lớp 7
Dạy học nội dung Đại lượng tỉ lệ thuận ở lớp 7, đặc biệt trong bối cảnh Chương
trình GDPT 2018 và các bộ sách giáo khoa hiện hành, mang đến nhiều cơ hội thuận lợi
để hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh. Năng lực này,
một trong những năng lực cốt lõi của toán học ứng dụng, cho phép học sinh chuyển
các tình huống thực tế sang ngôn ngữ toán học, giải quyết vấn đề trong môi trường
toán học và sau đó diễn giải kết quả trở lại bối cảnh ban đầu. Việc dạy và học Đại
lượng tỉ lệ thuận một cách hiệu quả sẽ mở ra vô vàn cơ hội để nuôi dưỡng và củng cố
năng lực quan trọng này.
Bản chất của Đại lượng tỉ lệ thuận là một mô hình toán học đơn giản: Ngay từ
cốt lõi, khái niệm Đại lượng tỉ lệ thuận đã mang trong mình yếu tố của mô hình hóa.
Công thức không chỉ là một biểu thức toán học mà còn là một mô hình tuyến
tính đơn giản, mô tả một cách súc tích mối quan hệ đồng biến giữa hai đại lượng. Khi
giáo viên giới thiệu công thức này, cần nhấn mạnh rằng đây là một cách "dịch" một
mối liên hệ tồn tại trong thực tế sang một ngôn ngữ toán học chính xác. Hơn nữa, việc
phân tích và hiểu ý nghĩa thực tiễn của hệ số tỉ lệ trong các bối cảnh khác nhau –
chẳng hạn, là vận tốc trong mối quan hệ giữa quãng đường và thời gian, hay là
giá đơn vị trong mối liên hệ giữa số lượng và thành tiền – giúp học sinh nhận ra vai trò
của các tham số trong việc xây dựng và điều chỉnh mô hình cho ph
ù hợp với từng tình
huống cụ thể.
Vô số tình huống thực tế có thể mô hình hóa bằng tỉ lệ thuận: Một trong những
lợi thế lớn nhất của việc dạy học Đại lượng tỉ lệ thuận trong việc phát triển năng lực
mô hình hóa chính là sự hiện diện rộng rãi của các tình huống thực tế có thể được mô
hình hóa bằng mối quan hệ này. Chương trình và sách giáo khoa Toán 7 thường xuyên
đưa ra những ví dụ quen thuộc, gần gũi với đời sống của học sinh: mối quan hệ giữa
thời gian di chuyển và quãng đường đi được khi vận tốc không đổi, sự tương quan
giữa số lượng hàng hóa mua và tổng số tiền phải trả khi giá đơn vị không thay đổi, tỉ lệ
pha chế các chất trong hóa học hoặc nấu ăn, hay mối liên hệ giữa khoảng cách trên bản
đồ và khoảng cách thực tế dựa trên tỉ lệ bản đồ. Những tình huống này không chỉ tạo
ra sự hứng thú cho học sinh mà còn là "sân chơi" phong phú để các em thực hành quá
trình mô hình hóa. Hơn nữa, giáo viên hoàn toàn có thể khơi gợi và khai thác những
tình huống thực tế trong chính môi trường sống của học sinh, từ đó tăng tính gần gũi
và khả năng ứng dụng của kiến thức.
Các bước của quá trình mô hình hóa được tích hợp tự nhiên: Việc dạy học Đại
lượng tỉ lệ thuận một cách bài bản sẽ tự nhiên lồng ghép các bước cơ bản của quá trình
mô hình hóa toán học:
- Xác định vấn đề thực tế: Mỗi bài toán thực tế đặt ra đều yêu cầu học sinh phải
đọc kỹ, phân tích để hiểu rõ tình huống, xác định các đại lượng có liên quan và câu hỏi
cần giải đáp. Đây chính là bước đầu tiên trong việc xác định vấn đề cần mô hình hóa.
- Xây dựng mô hình toán học: Sau khi đã hiểu rõ vấn đề, học sinh cần nhận ra
liệu có tồn tại mối quan hệ tỉ lệ thuận giữa các đại lượng hay không. Nếu có, các em sẽ
tiến hành biểu diễn mối quan hệ đó bằng công thức hoặc thiết lập các tỉ lệ thức
24

27. dựa trên các giá trị đã cho và chưa biết. Đây là quá trình xây dựng mô hình toán học
cho tình huống thực tế.
- Giải quyết bài toán trong mô hình: Khi đã có mô hình toán học, học sinh sẽ sử
dụng các kiến thức và kỹ năng về đại lượng tỉ lệ thuận – chẳng hạn như tìm hệ số tỉ lệ,
áp dụng các tính chất để thiết lập phương trình hoặc tỉ lệ thức – để tìm ra các giá trị
chưa biết trong mô hình đó.
- Thẩm định kết quả và diễn giải trở lại thực tế: Bước cuối c
ùng và vô cùng
quan trọng là sau khi tìm được kết quả trong môi trường toán học, học sinh cần đối
chiếu kết quả đó với bối cảnh thực tế của bài toán. Các em cần xem xét tính hợp lý của
kết quả, liệu nó có ý nghĩa trong tình huống ban đầu hay không, và diễn giải ý nghĩa
toán học đó trở lại ngôn ngữ của thế giới thực.
Tính chất của tỉ lệ thuận hỗ trợ quá trình mô hình hóa: Các tính chất đặc trưng
của Đại lượng tỉ lệ thuận đóng vai trò như những công cụ hỗ trợ đắc lực trong quá
trình mô hình hóa. Tính chất về tỉ số không đổi không chỉ giúp học sinh kiểm tra xem
liệu một mối quan hệ giữa hai đại lượng (dựa trên dữ liệu thu thập được từ thực tế) có
phải là tỉ lệ thuận hay không mà còn giúp xác định hệ số tỉ lệ. Mặt khác, tính chất về tỉ
lệ thức là một công cụ mạnh mẽ để thiết lập mối liên hệ giữa các giá trị đã biết và chưa
biết trong mô hình, từ đó giúp giải quyết bài toán một cách hiệu quả.
Liên kết với các khái niệm toán học khác: Một yếu tố quan trọng làm tăng thêm
giá trị của việc dạy học Đại lượng tỉ lệ thuận trong việc phát triển năng lực mô hình
hóa chính là sự liên kết mật thiết của nó với các khái niệm toán học khác đã và sẽ được
học. Việc làm rõ những mối liên hệ này không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức
hiện tại mà còn tạo ra sự chuẩn bị vững chắc cho những chủ đề toán học phức tạp hơn
trong tương lai:
- Tỉ lệ thức: Nền tảng cho việc xây dựng và giải quyết mô hình tỉ lệ: Kiến thức
về tỉ lệ thức đóng vai trò như một khung xương vững chắc cho việc hiểu và thao tác
với Đại lượng tỉ lệ thuận. Khi học sinh đã quen với việc thiết lập và giải các tỉ lệ thức,
việc chuyển đổi các mối quan hệ tỉ lệ thuận thành các phương trình tỉ lệ trở nên tự
nhiên và dễ dàng hơn. Khả năng này là then chốt trong việc xây dựng mô hình toán
học từ các tình huống thực tế và tìm ra các giá trị chưa biết trong mô hình đó. Chẳng
hạn, trong một bài toán về tỉ lệ pha chế, học sinh có thể sử dụng tỉ lệ thức để xác định
lượng nguyên liệu cần thiết dựa trên tỉ lệ đã cho.
- Hàm số (tiền đề): Bước đệm quan trọng cho tư duy Hàm số: Đại lượng tỉ lệ
thuận thực chất là một dạng hàm số tuyến tính đơn giản, với công thức , tương
ứng với đồ thị là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Việc làm quen với mối quan hệ
này từ sớm tạo ra một tiền đề trực quan và dễ hiểu cho việc học các hàm số phức tạp
hơn ở các lớp trên, đặc biệt là hàm số bậc nhất (). Học sinh bắt đầu hình
thành tư duy về sự phụ thuộc giữa các biến số và cách biểu diễn mối quan hệ đó bằng
công thức và đồ thị - những yếu tố cốt lõi của khái niệm hàm số. Việc nhận ra Đại
lượng tỉ lệ thuận như một trường hợp đặc biệt của hàm số giúp các em có một cái nhìn
tổng quát và hệ thống hơn về toán học.
Chú trọng vào quá trình xây dựng mô hình của học sinh: Nền tảng cho tư duy
sáng tạo và phân tích: Để thực sự phát triển năng lực mô hình hóa, việc tập trung vào
quá trình học sinh tự xây dựng mô hình là then chốt:
- Khuyến khích đa dạng cách tiếp cận: Thay vì áp đặt một khuôn mẫu mô hình
duy nhất (ví dụ, chỉ sử dụng công thức ), giáo viên nên tạo điều kiện để học sinh
25

28. thử nghiệm các cách biểu diễn khác nhau như sử dụng bảng số liệu để tìm ra quy luật,
vẽ đồ thị để trực quan hóa mối quan hệ, hoặc diễn đạt bằng lời trước khi chuyển sang
công thức. Việc so sánh hiệu quả của các cách biểu diễn này giúp học sinh hiểu sâu sắc
hơn về bản chất của mô hình.
- Tập trung vào "tại sao" của sự lựa chọn: Giáo viên cần khuyến khích học sinh
giải thích lý do lựa chọn một mô hình cụ thể. Câu hỏi "Tại sao em lại nghĩ đây là mối
quan hệ tỉ lệ thuận?" hay "Dựa vào đâu em xây dựng công thức này?" giúp học sinh
củng cố sự hiểu biết về mối quan hệ giữa các đại lượng trong tình huống thực tế và
phát triển khả năng lập luận toán học.
- Phân tích sai lầm như cơ hội học tập: Quá trình xây dựng mô hình không phải
lúc nào cũng suôn sẻ. Giáo viên cần tạo một môi trường học tập mà ở đó sai lầm được
xem là cơ hội để học hỏi. Việc phân tích những giả định không đúng, những yếu tố bị
bỏ qua trong mô hình ban đầu giúp học sinh phát triển tư duy phản biện và khả năng
điều chỉnh mô hình cho ph
ù hợp hơn.
Tạo môi trường học tập hợp tác và chia sẻ: Môi trường học tập đóng vai trò
quan trọng trong việc phát triển năng lực mô hình hóa:
- Hoạt động nhóm đa dạng: Tổ chức các hoạt động nhóm mà trong đó học sinh
phải c
ùng nhau phân tích tình huống, đề xuất các cách tiếp cận khác nhau, xây dựng
mô hình và giải quyết vấn đề. Sự hợp tác giúp các em học hỏi lẫn nhau và phát triển kỹ
năng làm việc nhóm.
- Thuyết trình và phản biện: Tạo cơ hội để học sinh trình bày các mô hình mà
nhóm mình đã xây dựng và lắng nghe phản hồi từ bạn bè và giáo viên. Quá trình này
rèn luyện khả năng diễn đạt ý tưởng toán học và tư duy phản biện.
- Xây dựng cộng đồng học tập: Khuyến khích học sinh chia sẻ các cách tiếp
cận, những khó khăn gặp phải và những bài học kinh nghiệm trong quá trình mô hình
hóa. Một cộng đồng học tập cởi mở sẽ tạo điều kiện để tất cả học sinh c
ùng nhau tiến
bộ.
Khai thác cơ hội phát triển năng lực mô hình hóa: Để tận dụng tối đa những cơ
hội mà nội dung Đại lượng tỉ lệ thuận mang lại cho việc hình thành và phát triển năng
lực mô hình hóa, giáo viên có thể áp dụng nhiều biện pháp sư phạm sáng tạo:
- Thiết kế các hoạt động học tập: Tập trung vào việc phân tích các tình huống
thực tế, khuyến khích học sinh tự mình tìm ra mối quan hệ tỉ lệ thuận và xây dựng mô
hình.
- Đa dạng hóa tình huống: Sử dụng các tình huống mở, liên môn, và khuyến
khích học sinh tự khám phá các mối quan hệ tỉ lệ trong thực tế.
- Chú trọng quá trình xây dựng mô hình: Khuyến khích nhiều cách tiếp cận, tập
trung vào lý do lựa chọn mô hình và phân tích các sai lầm.
- Sử dụng phương pháp dạy học: Gợi mở, vấn đáp, hoạt động nhóm để học sinh
chủ động tham gia vào quá trình mô hình hóa.
- Tích hợp ICT: Sử dụng phần mềm trực quan, ứng dụng mô phỏng và công cụ
phân tích dữ liệu để hỗ trợ quá trình mô hình hóa.
- Phát triển khả năng thẩm định: Đặt câu hỏi phản biện, so sánh các mô hình
khác nhau và đánh giá tính chính xác của dự đoán.
- Tạo môi trường hợp tác: Tổ chức hoạt động nhóm, thuyết trình và phản biện
để học sinh chia sẻ và học hỏi lẫn nhau.
26

29. - Đánh giá quá trình mô hình hóa: Không chỉ chú trọng đến kết quả cuối c
ùng
mà còn quan tâm đến cách học sinh phân tích vấn đề, xây dựng mô hình và diễn giải
kết quả.
- Khuyến khích thảo luận và chia sẻ: Tạo cơ hội cho học sinh trình bày và bảo
vệ các mô hình mình xây dựng, học hỏi từ cách tiếp cận của bạn bè.
Như vậy, dạy học Đại lượng tỉ lệ thuận ở lớp 7 không chỉ là truyền đạt kiến thức
về một dạng quan hệ toán học mà còn là cơ hội quý báu để ươm mầm và phát triển
năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh. Bằng cách khai thác đa dạng các tình
huống thực tế, chú trọng vào quá trình xây dựng và đánh giá mô hình, tích hợp công
nghệ và tạo môi trường học tập hợp tác, giáo viên có thể giúp học sinh không chỉ
"học" toán mà còn "làm" toán, trang bị cho các em một kỹ năng tư duy quan trọng cho
tương lai. Năng lực mô hình hóa, được xây dựng từ những viên gạch đầu tiên như Đại
lượng tỉ lệ thuận, sẽ là chìa khóa để học sinh tự tin khám phá và giải quyết những
thách thức phức tạp hơn trong học tập và cuộc sống
2.3. Các biểu hiện của năng lực mô hình hóa trong dạy học đại lượng tỉ lệ thuận
Năng lực mô hình hóa toán học là khả năng vận dụng các công cụ toán học để
mô tả, giải quyết và đánh giá các tình huống thực tế. Một trong những dạng toán cơ
bản nhưng mang tính ứng dụng cao, thường được sử dụng để minh họa rõ nét các biểu
hiện của năng lực này, chính là bài toán về tỉ lệ thuận. Để làm rõ hơn cách năng lực
này được thể hiện, chúng ta sẽ phân tích quá trình giải một bài toán tỉ lệ thuận thành ba
biểu hiện chính:
Biểu hiện 1: Sử dụng các mô hình toán học để mô tả các tình huống đặt ra
trong các bài toán thực tế
Khi tiếp cận một bài toán tỉ lệ thuận, năng lực mô hình hóa toán học khởi đầu
bằng việc nhận diện và nắm bắt bản chất mối quan hệ giữa các đại lượng. Câu hỏi then
chốt được đặt ra là: "Sự thay đổi của một yếu tố sẽ kéo theo sự thay đổi của yếu tố còn
lại như thế nào?". Trong bối cảnh tỉ lệ thuận, quy luật này được xác định một cách rõ
ràng: sự biến đổi của hai đại lượng diễn ra đồng bộ và c
ùng tỉ lệ. Nếu một đại lượng
tăng lên gấp đôi, đại lượng kia cũng tăng lên gấp đôi, và ngược lại.
Để diễn đạt mối quan hệ này một cách chính xác và hiệu quả trong ngôn ngữ
toán học, chúng ta sử dụng đa dạng các mô hình toán học:
+ Công thức: Dạng biểu diễn cô đọng và mạnh mẽ nhất chính là công thức
. Phương trình này không chỉ tóm tắt mối liên hệ tuyến tính trực tiếp giữa hai
đại lượng và mà còn giới thiệu hệ số tỉ lệ , một hằng số mang ý nghĩa về "tốc
độ" thay đổi tương đối giữa chúng. Công thức trở thành một "khuôn mẫu" để dự đoán
giá trị của một đại lượng khi biết giá trị của đại lượng còn lại.
+ Bảng biểu: Một phương pháp trực quan và dễ hiểu khác là sử dụng bảng
biểu. Bằng cách liệt kê các cặp giá trị tương ứng ,..., chúng ta có thể thấy
rõ sự thay đổi song hành của hai đại lượng. Đặc biệt, tính chất tỉ lệ thuận được thể hiện
qua tỉ số không đổi giữa các cặp giá trị tương ứng: . Bảng biểu
giúp người học "nhìn thấy" quy luật tỉ lệ một cách cụ thể qua các con số.
+ Đồ thị: Mang đến một hình ảnh trực quan sinh động về mối quan hệ tỉ lệ
thuận chính là đồ thị trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Mối quan hệ được biểu diễn
bằng một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Độ dốc của đường thẳng này chính là hệ số tỉ
27

30. lệ , cho biết mức độ thay đổi của so với . Đồ thị không chỉ minh họa sự tăng
trưởng hoặc giảm sút đồng thời mà còn giúp dự đoán các giá trị nằm ngoài phạm vi dữ
liệu đã biết một cách trực quan.
Tóm lại, biểu hiện đầu tiên của năng lực mô hình hóa toán học trong bài toán tỉ
lệ thuận là khả năng linh hoạt sử dụng các công cụ toán học khác nhau (công thức,
bảng biểu, đồ thị) để "phác họa" một cách chính xác và dễ hiểu mối quan hệ giữa các
đại lượng trong tình huống thực tế. Việc lựa chọn mô hình ph
ù hợp tùy thuộc vào mục
đích phân tích và đối tượng tiếp nhận thông tin, nhưng tựu chung lại, tất cả đều hướng
đến việc "chuyển ngữ" hiện tượng thực tế sang ngôn ngữ toán học một cách hiệu quả.
Biểu hiện 2: Đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô
hình được thiết lập
Sau khi thành công trong việc mô tả tình huống thực tế bằng các mô hình toán
học, biểu hiện tiếp theo của năng lực mô hình hóa chính là khả năng vận dụng những
mô hình này như những công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán cụ thể được đặt
ra. Với "vũ khí" là mô hình tỉ lệ thuận , chúng ta có thể tiếp cận và chinh phục
nhiều dạng bài toán khác nhau:
Tìm giá trị của một đại lượng khi biết đại lượng còn lại và hệ số tỉ lệ: Đây là
dạng bài toán cơ bản nhất, thể hiện khả năng áp dụng trực tiếp công thức. Khi đã xác
định được mối quan hệ và biết giá trị của (hoặc) c
ùng với hệ số tỉ lệ
,
chúng ta chỉ cần thực hiện phép nhân () để tìm ra giá trị tương ứng của, hoặc
thực hiện phép chia () để tìm ra giá trị của . Quá trình này cho thấy sự hiểu và
khả năng thao tác với mô hình toán học đã xây dựng.
Tìm giá trị của một đại lượng khi biết đại lượng còn lại và một cặp giá trị tương
ứng: Trong trường hợp chưa biết trực tiếp hệ số tỉ lệ , nhưng chúng ta có một cặp giá
trị thỏa mãn mối quan hệ tỉ lệ thuận, chúng ta có thể tìm ra bằng cách sử
dụng công thức . Sau khi xác định được , bài toán trở về dạng trên, và chúng ta
có thể dễ dàng tìm ra giá trị còn lại khi biết một đại lượng khác. Điều này thể hiện khả
năng kết hợp thông tin đã cho để xác định các tham số của mô hình.
Tìm hệ số tỉ lệ khi biết một cặp giá trị tương ứng: Đôi khi, mục tiêu của bài toán
không phải là tìm giá trị của một đại lượng mà là xác định bản chất của mối quan hệ tỉ
lệ thông qua hệ số . Khi biết một cặp giá trị tương ứng trong mối quan hệ tỉ lệ
thuận, chúng ta có thể dễ dàng tính được hệ số tỉ lệ bằng công thức . Giá trị của
không chỉ là một con số mà còn mang ý nghĩa thực tế trong bài toán, ví dụ như vận
tốc (trong mối quan hệ giữa quãng đường và thời gian), giá trên một đơn vị sản phẩm
(trong mối quan hệ giữa số lượng và tổng giá),…. Việc tìm ra cho thấy khả năng
"giải mã" thông tin ẩn chứa trong mối quan hệ tỉ lệ.
Tóm lại, biểu hiện thứ hai của năng lực mô hình hóa toán học trong bài toán tỉ
lệ thuận là khả năng sử dụng một cách linh hoạt và hiệu quả các mô hình toán học đã
xây dựng (chủ yếu là công thức và các biến thể của nó) để giải quyết các yêu
cầu cụ thể của bài toán. Quá trình này không chỉ đơn thuần là áp dụng công thức mà
còn bao gồm khả năng biến đổi, kết hợp thông tin và giải thích ý nghĩa của các giá trị
tìm được trong ngữ cảnh của bài toán.
28

31. Biểu hiện 3: Đánh giá và điều chỉnh mô hình toán học phù hợp với thực tế
Sau khi đã xây dựng được mô hình và tìm ra các kết quả toán học, năng lực mô
hình hóa toán học tiếp tục thể hiện ở khả năng đánh giá tính ý nghĩa và sự ph
ù hợp của
những kết luận này với bối cảnh thực tế. Việc đối chiếu kết quả tính toán với những
ràng buộc và điều kiện thực tế giúp chúng ta xác định được tính hợp lý của lời giải. Ví
dụ, trong bài toán mua gạo, việc tính toán ra một số tiền âm hoặc một khối lượng gạo
không thực tế sẽ ngay lập tức bị loại bỏ.
Tuy nhiên, một khía cạnh quan trọng khác của biểu hiện này là khả năng đơn
giản hóa các yêu cầu phức tạp của thực tế để thiết lập được những bài toán có thể giải
quyết bằng mô hình tỉ lệ thuận. Trong nhiều tình huống, các yếu tố ảnh hưởng có thể
rất đa dạng và phức tạp. Để có thể áp dụng mô hình tỉ lệ thuận (một mô hình tương đối
đơn giản), chúng ta thường cần thực hiện một số bước "ước lượng" hoặc đưa ra các giả
định hợp lý:
- Khi một yếu tố trong thực tế biến đổi không hoàn toàn đều đặn nhưng có xu
hướng ổn định, chúng ta có thể xem xét gần đúng mối quan hệ giữa các đại lượng là tỉ
lệ thuận trong một phạm vi nhất định. Ví dụ, vận tốc của một ô tô trên đường cao tốc
có thể dao động nhẹ, nhưng để đơn giản hóa, ta có thể coi nó là không đổi để thiết lập
mối quan hệ tỉ lệ thuận giữa quãng đường và thời gian.
Bổ sung giả thiết: Để có thể sử dụng mô hình tỉ lệ thuận, đôi khi chúng ta cần
đưa thêm vào các giả thiết để loại bỏ bớt các yếu tố phức tạp. Ví dụ, khi tính lãi suất
tiết kiệm đơn giản, chúng ta giả định rằng lãi không được cộng dồn, tạo ra một mối
quan hệ tỉ lệ thuận giữa số tiền gửi ban đầu và số tiền lãi. Trong thực tế, lãi suất kép sẽ
làm cho mối quan hệ này trở nên phức tạp hơn.
Tổng quát hóa: Việc nhận ra rằng tỉ lệ thuận là một trường hợp đặc biệt của
hàm số bậc nhất () giúp chúng ta mở rộng tư duy và thấy được mối liên hệ giữa
các mô hình toán học khác nhau. Từ một tình huống tỉ lệ thuận cụ thể, chúng ta có thể
xây dựng một bức tranh toán học rộng lớn hơn.
Điều quan trọng là phải hiểu rõ rằng mô hình tỉ lệ thuận chỉ là một sự đơn giản
hóa của thực tế. Nó có những ưu điểm về tính dễ hiểu và dễ áp dụng, nhưng cũng có
những hạn chế khi đối diện với các tình huống phức tạp. Nhận thức được điều này
giúp chúng ta sử dụng mô hình một cách linh hoạt và có ý thức về những sai số có thể
xảy ra.
Khi các yếu tố thực tế trở nên quá phức tạp và mô hình tỉ lệ thuận không còn đủ
khả năng mô tả chính xác, năng lực mô hình hóa toán học còn thể hiện ở việc nhận ra
sự cần thiết phải điều chỉnh mô hình, thậm chí chuyển sang sử dụng các mô hình toán
học phức tạp hơn (ví dụ như hàm số bậc hai, hàm số mũ,....) để phản ánh sát hơn bản
chất của vấn đề. Quá trình này là một sự tiến hóa liên tục của mô hình, từ đơn giản đến
phức tạp, nhằm mục đích ngày càng tiệm cận với sự chân thực của tình huống.
Tóm lại, biểu hiện thứ ba của năng lực mô hình hóa toán học trong bài toán tỉ lệ
thuận là khả năng đánh giá tính hợp lý của kết quả, nhận thức được sự cần thiết của
việc đơn giản hóa thực tế để xây dựng mô hình giải được, và hiểu rõ những giới hạn
của mô hình tỉ lệ thuận, sẵn sàng điều chỉnh hoặc thay thế bằng các mô hình phức tạp
hơn khi cần thiết để phản ánh sát sao hơn các tình huống thực tế đa dạng. Đây là một
bước quan trọng để đảm bảo rằng toán học thực sự là một công cụ hữu ích và mạnh mẽ
trong việc giải quyết các vấn đề của cuộc sống.
29

32. Để thấy rõ hơn những biểu hiện này trong thực tế, chúng ta hãy c
ùng xem xét ví
dụ cụ thể, nơi bài toán tỉ lệ thuận không chỉ đơn thuần là những con số mà còn gắn liền
với những tình huống quen thuộc trong cuộc sống hàng ngày.
Ví dụ 1: Anh Tuấn là quản lý một xưởng may áo đồng phục tại TPHCM. Hôm
nay, xưởng vừa nhận được một đơn đặt hàng lớn: 30 chiếc áo thun đồng phục cho một
trường học. Từ kinh nghiệm sản xuất trước đây, anh Tuấn nhận thấy rằng cứ mỗi 5
chiếc áo thun đồng phục c
ùng loại (cùng kích cỡ, kiểu dáng) mà xưởng may hoàn
thiện, bộ phận kho sẽ báo cáo tiêu thụ hết 2 mét vải cotton.
Câu hỏi đặt ra: Với đơn hàng 30 chiếc áo đồng phục này, anh Tuấn cần lên kế
hoạch chuẩn bị bao nhiêu mét vải cotton để đảm bảo đủ nguyên liệu sản xuất, đồng
thời tránh lãng phí không cần thiết?
Để đi sâu vào từng khía cạnh, chúng ta sẽ phân tích từng biểu hiện của năng lực
mô hình hóa toán học thông qua ví dụ cụ thể về xưởng may của anh Tuấn.
Biểu hiện 1: Sử dụng các mô hình toán học để mô tả tình huống thực tế
Trong bài toán này, chúng ta nhận thấy có một mối quan hệ giữa số lượng áo
may được và lượng vải tiêu thụ. Theo thông tin đề bài, mối quan hệ này là cố định: cứ
5 áo cần 2 mét vải. Ta có thể nhận diện đây là là mối quan hệ tỉ lệ thuận. Ta hiểu rằng
khi số lượng áo tăng lên, lượng vải cần cũng tăng theo một tỷ lệ nhất định. Chúng ta có
thể mô hình hóa tình huống này bằng các cách sau:
Công thức: Gọi là số lượng áo may được (chiếc) và là lượng vải tiêu thụ
(mét). Ta có tỉ lệ:
Từ đó, ta có thể thiết lập công thức liên hệ giữa và :
Bảng biểu: Chúng ta có thể hình dung một bảng giá trị thể hiện mối quan hệ
này:
Bảng 2.1: Bảng thể hiện mối quan hệ giữa số lượng áo và lượng vải
Số lượng áo (chiếc) () Lượng vải (mét) ()
5 2
10 4
15 6
… …
Lời văn mô tả mối quan hệ: Lượng vải tiêu thụ tỉ lệ thuận với số lượng áo may
được. Khi số lượng áo tăng lên bao nhiêu lần, lượng vải tiêu thụ cũng tăng lên bấy
nhiêu lần.
Biểu hiện 2: Đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình
được thiết lập
Sau khi đã mô hình hóa mối quan hệ, chúng ta có thể sử dụng mô hình đó để
giải quyết câu hỏi của bài toán: cần bao nhiêu mét vải để may 30 chiếc áo? ưới đây
là một số cách giải quyết dựa trên các mô hình đã xây dựng:
Sử dụng công thức:
Áp dụng công thức và thay , ta được: (mét)
Sử dụng tỉ lệ:
30

33. Ta có tỉ lệ: (mét)
Lập luận theo đơn vị:
Để may 1 chiếc áo cần mét vải. Vậy để may 30 chiếc áo cần
(mét)
Biểu hiện 3: Đánh giá và điều chỉnh mô hình toán học phù hợp với thực tế
Trong trường hợp này, kết quả tính toán là 12 mét vải cho 30 chiếc áo. Chúng ta
cần đánh giá xem kết quả này có ý nghĩa và ph
ù hợp với thực tế hay không. Dựa trên
thông tin ban đầu (5 áo cần 2 mét vải), chúng ta có thể thấy rằng số lượng áo đã tăng
lên 6 lần (), do đó lượng vải cần thiết cũng tăng lên 6 lần (2 .6 = 12 mét). Kết
quả này hoàn toàn hợp lý và có ý nghĩa trong bối cảnh thực tế của việc may áo.
Về việc đơn giản hóa và điều chỉnh: Trong bài toán này, chúng ta đã ngầm đơn
giản hóa một số yếu tố thực tế để xây dựng mô hình tỉ lệ thuận:
Giả thiết lượng vải hao hụt là không đáng kể hoặc đã được tính toán trước:
Trong thực tế, quá trình cắt may có thể gây ra hao hụt vải. Để đơn giản hóa, chúng ta
bỏ qua yếu tố này hoặc coi nó đã được tính vào tỉ lệ 5 áo : 2 mét vải. Nếu yêu cầu độ
chính xác cao hơn, xưởng may cần tính toán thêm lượng vải hao hụt dự kiến.
Giả thiết tất cả các áo đều c
ùng kích cỡ và kiểu dáng: Nếu đơn hàng bao gồm
nhiều loại áo với kích cỡ và kiểu dáng khác nhau, tỉ lệ vải tiêu thụ trên mỗi áo có thể
không còn cố định, và mô hình tỉ lệ thuận đơn giản có thể không còn ph
ù hợp. Lúc
này, cần có một mô hình phức tạp hơn, có thể tính toán lượng vải riêng cho từng loại
áo.
Hiểu được những đơn giản hóa này giúp chúng ta nhận thức được giới hạn của
mô hình tỉ lệ thuận và biết khi nào cần điều chỉnh hoặc sử dụng các mô hình toán học
khác phức tạp hơn để phản ánh sát hơn thực tế.
Tóm lại, việc giải bài toán về tỉ lệ thuận này đã thể hiện rõ ràng ba biểu hiện của
năng lực mô hình hóa toán học: xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tế, giải
quyết vấn đề trong khuôn khổ mô hình đó, và đánh giá tính thực tiễn của kết quả cũng
như nhận thức được sự đơn giản hóa và nhu cầu điều chỉnh mô hình khi cần thiết.
Ví dụ 2: Một vòi nước chảy vào bể với tốc độ ổn định. Người ta đo được rằng
sau 3 phút, lượng nước chảy vào bể là 15 lít. Hỏi sau 10 phút, lượng nước chảy vào bể
là bao nhiêu lít?
Phân tích 3 biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán học:
Biểu hiện 1: Sử dụng các mô hình toán học để mô tả tình huống thực tế
Tương tự bài toán trước, chúng ta nhận thấy mối quan hệ giữa thời gian chảy
của vòi nước và lượng nước chảy vào bể là tỉ lệ thuận. Với tốc độ chảy ổn định, thời
gian chảy càng lâu thì lượng nước càng nhiều và tăng theo một tỉ lệ nhất định. Chúng
ta có thể mô hình hóa như sau:
Công thức: Gọi là là thời gian chảy của vòi nước (phút) và lượng nước
chảy vào bể (lít). Ta có tỉ lệ:
Từ đó, ta có thể thiết lập công thức:
31

34. Trong đó, hệ số tỉ lệ (lít/phút) chính là tốc độ chảy của vòi nước.
Bảng biểu: Chúng ta có thể hình dung một bảng giá trị thể hiện mối quan hệ
này:
Bảng 2.2: Bảng thể hiện mối quan hệ giữa thời gian và lượng nước
Thời gian (phút) () Lượng nước (lít) ()
3 15
6 30
9 45
… …
Lời văn mô tả mối quan hệ: Lượng nước chảy vào bể tỉ lệ thuận với thời gian
chảy của vòi. Tốc độ chảy của vòi là không đổi.
Biểu hiện 2: Đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình
được thiết lập
Để tìm lượng nước chảy vào bể sau 10 phút, chúng ta sử dụng mô hình đã xây
dựng:
Sử dụng công thức:
Áp dụng công thức và thay , ta được: (lít)
Sử dụng tỉ lệ:
Ta có tỉ lệ: (lít)
Lập luận theo đơn vị:
Tốc độ chảy của vòi là (lít/phút). Vậy sau 10 phút, lượng nước chảy
vào là: (lít)
Biểu hiện 3: Đánh giá và điều chỉnh mô hình toán học phù hợp với thực tế
Kết quả tính toán là 50 lít nước sau 10 phút chảy. Về mặt toán học, dựa trên giả
thiết tốc độ chảy ổn định, đây là một kết quả hợp lý. Tuy nhiên, khi nhìn nhận bài toán
này dưới góc độ thực tiễn, chúng ta cần xem xét các yếu tố có thể ảnh hưởng đến mô
hình tỉ lệ thuận đơn giản này:
Sự thay đổi của tốc độ chảy: Trong thực tế, tốc độ chảy của vòi nước có thể
không hoàn toàn ổn định. Áp lực nước trong đường ống có thể thay đổi theo thời gian
(ví dụ, khi có nhiều người c
ùng sử dụng nước). Nếu tốc độ chảy không ổn định, mối
quan hệ giữa thời gian và lượng nước sẽ không còn là tỉ lệ thuận đơn giản. Lúc này,
mô hình cần phức tạp hơn, có thể cần đo đạc tốc độ chảy tại nhiều thời điểm khác
nhau.
Dung tích của bể: Bài toán không đề cập đến dung tích của bể. Nếu bể có dung
tích nhỏ hơn 50 lít, thì sau một thời gian nào đó, bể sẽ đầy và lượng nước chảy vào sẽ
không còn tỉ lệ thuận với thời gian nữa. Mô hình cần được điều chỉnh để xét đến giới
hạn dung tích của bể.
Rò rỉ hoặc tắc nghẽn: Nếu có rò rỉ ở bể hoặc vòi bị tắc nghẽn một phần, lượng
nước thực tế chảy vào bể sẽ ít hơn so với dự đoán của mô hình tỉ lệ thuận. Cần có thêm
thông tin về tình trạng của vòi và bể để xây dựng một mô hình chính xác hơn.
Thời gian bắt đầu đo: Chúng ta giả định rằng việc đo đạc bắt đầu từ khi vòi
nước bắt đầu chảy. Nếu có một khoảng thời gian trễ hoặc đã có một lượng nước ban
đầu trong bể, mô hình cần được điều chỉnh để phản ánh điều này.
32

35. Trong bài toán này, việc phân tích ở biểu hiện thứ ba tập trung vào việc nhận
diện những yếu tố thực tế có thể làm sai lệch mô hình tỉ lệ thuận đơn giản. Chúng ta
hiểu rằng mô hình chỉ là một sự xấp xỉ của thực tế dựa trên giả thiết về tốc độ
chảy ổn định và không xét đến các yếu tố khác. Để có một dự đoán chính xác hơn
trong thực tế, chúng ta có thể cần thu thập thêm dữ liệu và xây dựng một mô hình phức
tạp hơn, có thể là một hàm số khác hoặc một mô hình có xét đến các biến số ảnh
hưởng khác.
Bài toán này cho thấy rằng, mặc d
ù tỉ lệ thuận là một khái niệm đơn giản và hữu
ích, việc áp dụng nó vào các tình huống thực tế đòi hỏi sự xem xét kỹ lưỡng các yếu tố
có thể ảnh hưởng đến mối quan hệ giữa các đại lượng. Năng lực mô hình hóa không
chỉ dừng lại ở việc tìm ra một công thức mà còn bao gồm khả năng đánh giá tính ph
ù
hợp của mô hình với thực tế và biết khi nào cần điều chỉnh hoặc sử dụng các phương
pháp tiếp cận khác.
Tóm lại, năng lực mô hình hóa toán học thể hiện qua việc chuyển đổi các tình
huống thực tế sang ngôn ngữ toán học thông qua các công cụ như công thức, bảng biểu
và đồ thị. Sau khi xây dựng mô hình, bước quan trọng tiếp theo là giải quyết các vấn
đề toán học được đặt ra trong đó. Tuy nhiên, năng lực này không chỉ dừng lại ở việc
tìm ra đáp số mà còn bao gồm khả năng đánh giá tính thực tiễn của các kết quả thu
được và nhận thức được những đơn giản hóa trong quá trình xây dựng mô hình. Điều
này dẫn đến sự cần thiết phải điều chỉnh hoặc xây dựng các mô hình phức tạp hơn để
phản ánh sát sao hơn các yếu tố của thế giới thực. Bài toán tỉ lệ thuận, d
ù đơn giản, là
một ví dụ điển hình minh họa toàn bộ quá trình này, cho thấy năng lực mô hình hóa là
một kỹ năng tư duy linh hoạt và tiến hóa, đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức toán học và
khả năng phân tích, đánh giá bối cảnh thực tế..
2.4. Nội dung phát triển năng lực mô hình hoá toán học trong dạy học Đại lượng
tỉ lệ thuận
2.4.1. Tổ chức dạy học các khái niệm, định lý cho học sinh thông qua giải các
bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề Đại lượng tỉ lệ thuận
Đại lượng tỉ lệ thuận là một nội dung quan trọng ở lớp 7, giúp học sinh nhận
diện mối quan hệ đặc biệt giữa hai đại lượng. Tuy nhiên, để học sinh thực sự hiểu và
vận dụng được kiến thức này, giáo viên cần xây dựng các tình huống gắn liền với thực
tế và tổ chức cho học sinh trải nghiệm, khám phá trên các mô hình trực quan. Thông
qua đó, học sinh sẽ học tập một cách chủ động, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo,
hiểu rõ bản chất của vấn đề và rèn luyện kỹ năng vận dụng vào cuộc sống.
Cách thức thực hiện biện pháp: Để thực hiện biện pháp, giáo viên cần hướng
dẫn cho học sinh thiết lập được mô hình toán học, giải được mô hình toán học vừa
thiết lập. Từ đó, giáo viên thể chế hóa tri thức cần giảng dạy (khái niệm, định lí, hệ
quả, công thức,…) từ quá trình giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1: Khi giáo viên hình thành cho học sinh khái niệm Đại lượng tỉ lệ thuận,
giáo viên có thể tổ chức cho học sinh trải nghiệm như sau:
Hoạt động 1: Mô hình hóa toán học từ một tình huống thực tế
- Giáo viên đưa ra tình huống: "Một chiếc xe đạp di chuyển với vận tốc không
đổi là 15 km/giờ. Em hãy tính quãng đường xe đi được trong 1 giờ, 2 giờ, 3 giờ nhé!"
- Học sinh: Xuất hiện nhu cầu biểu diễn mối quan hệ giữa thời gian và quãng
đường. Với kinh nghiệm hiện tại, học sinh có thể đưa ra các câu trả lời rời rạc
33

36. - Giáo viên: Các câu trả lời trên là đúng, nhưng để mô tả rõ hơn mối liên hệ, cô
trò mình sẽ c
ùng nhau tìm hiểu. Các em hãy lập bảng để thể hiện quãng đường đi được
tương ứng với thời gian di chuyển.
Thời gian (giờ): 1, 2, 3
Quãng đường (km): 15, 30, 45
Thời gian (giờ) 1 2 3
Quãng đường (km) 15 30 45
- Giáo viên: Các em có nhận xét gì về sự thay đổi giữa thời gian và quãng
đường? Khi thời gian tăng lên (gấp lên) bao nhiêu lần thì quãng đường đi được thay
đổi như thế nào?
- Học sinh: Nhận thấy khi thời gian tăng lên (gấp lên) bao nhiêu lần thì quãng
đường đi được cũng tăng lên (gấp lên) bấy nhiêu lần.
- Giáo viên: Khi một đại lượng tăng (giảm) bao nhiêu lần, đại lượng kia cũng
tăng (giảm) theo c
ùng tỷ lệ, ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ thuận với nhau. Đồng thời,
Giáo viên giới thiệu công thức biểu diễn mối quan hệ tỉ lệ thuận: , trong đó là
quãng đường, là thời gian, là vận tốc (hệ số tỉ lệ).
- Học sinh: Nhắc lại khái niệm, công thức và xác định các yếu tố trong công
thức.
Hoạt động 2: Cho học sinh trải nghiệm trên thực tế
Việc trải nghiệm trên thực tế giúp học sinh nhận thấy rõ hơn sự kết nối giữa
toán học với thực tiễn đồng thời giúp Học sinh khắc sâu thêm kiến thức.
- Giáo viên: Em hãy nêu các ví dụ khác về hai đại lượng tỉ lệ thuận trong cuộc
sống hàng ngày.  
- Học sinh: Có thể nêu các ví dụ như: số lượng hàng hóa và tổng tiền (khi đơn
giá không đổi), số lít xăng và số tiền phải trả (khi giá xăng không đổi),…
- Giáo viên: Với ví dụ số lượng hàng hóa và tổng tiền, các em hãy thử xây dựng
một tình huống cụ thể và mô tả mối quan hệ tỉ lệ thuận giữa chúng.
- Học sinh: Xây dựng tình huống và giải thích mối quan hệ.
Ví dụ 1: Tình huống mua bút chì
- Học sinh (xây dựng tình huống): "Hôm qua em đi nhà sách mua bút chì. Mỗi
chiếc bút chì có giá là 5000 đồng. Nếu em mua 1 chiếc thì hết 5000 đồng, mua 2 chiếc
thì hết 10000 đồng, mua 3 chiếc thì hết 15000 đồng."
- Học sinh (giải thích mối quan hệ): "Em thấy là số lượng bút chì em mua càng
nhiều thì số tiền em phải trả càng nhiều. Nếu số lượng bút chì gấp đôi thì số tiền cũng
gấp đôi, nếu số lượng bút chì gấp ba thì số tiền cũng gấp ba. Giá của mỗi chiếc bút chì
không thay đổi, nó luôn là 5000 đồng. Vậy số lượng bút chì và số tiền phải trả là hai
đại lượng tỉ lệ thuận với nhau, hệ số tỉ lệ là 5000 (giá của một chiếc bút chì)."
Ví dụ 2: Tình huống mua gói mì
- Học sinh (xây dựng tình huống): "Ở cửa hàng tạp hóa gần nhà em, một gói mì
tôm có giá là 3500 đồng. Nếu em mua 5 gói thì hết 17500 đồng. Hôm nay mẹ em nhờ
mua 10 gói thì em tính là sẽ hết 35000 đồng."
- Học sinh (giải thích mối quan hệ): "Số gói mì em mua tăng lên thì tổng số tiền
em trả cũng tăng lên theo. Giá của mỗi gói mì luôn cố định là 3500 đồng. Vậy số gói
mì và tổng số tiền là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Hệ số tỉ lệ là 3500 (giá của một gói mì)."
Ví dụ 3: Tình huống mua vở học sinh
34

37. - Học sinh (xây dựng tình huống): "Em mua vở ở trường, mỗi quyển vở có giá
8000 đồng. Em mua cho cả năm học là 12 quyển thì hết 96000 đồng. Nếu bạn em chỉ
mua 6 quyển thì chỉ hết 48000 đồng."
- Học sinh (giải thích mối quan hệ): "Số quyển vở mua nhiều hơn thì tổng số
tiền phải trả nhiều hơn. Giá một quyển vở không đổi. Số quyển vở và tổng tiền là hai
đại lượng tỉ lệ thuận, với hệ số tỉ lệ là 8000 (giá một quyển vở)."
Hoạt động 3: Học sinh dùng công thức để biểu diễn mối quan hệ tỉ lệ thuận
- Giáo viên: Ở hoạt động 1, chúng ta đã c
ùng nhau tính được quãng đường
chiếc xe đạp đi được trong 1 giờ, 2 giờ và 3 giờ. Bây giờ, hãy suy nghĩ xem, chúng ta
có thể d
ùng một công thức để biểu diễn mối quan hệ giữa ba đại lượng này: quãng
đường, thời gian và vận tốc không đổi hay không? Hãy xác định đâu là đại lượng mà
giá trị của nó thay đổi theo đại lượng kia (đại lượng ), đâu là đại lượng độc lập (đại
lượng ) và đâu là giá trị không đổi, là "tỷ lệ" giữa chúng (hệ số tỉ lệ ).
- Học sinh (suy nghĩ và trả lời):
+ Quãng đường đi được () sẽ thay đổi theo thời gian đạp xe ()
+ Vận tốc của xe đạp là không đổi, luôn là 15 km/giờ. Vậy nó giống như là
tỷ lệ cố định
+ Công thức sẽ là: quãng đường bằng vận tốc nhân với thời gian
- Học sinh (viết công thức bằng ký hiệu):
Nếu gọi quãng đường là , thời gian
là

và vận tốc là , thì công thức sẽ là:
- Học sinh (xác định ): " là (quãng đường), là (thời gian), và là
(vận tốc), có giá trị là 15 km/giờ."
- Giáo viên: Vậy các em hãy viết công thức biểu diễn mối quan hệ tỉ lệ thuận
giữa quãng đường () và thời gian () trong trường hợp này, đồng thời xác định đâu là
, đâu là và đâu là hệ số tỉ lệ .
- Học sinh (viết và giải thích): Công thức là:
.
là (quãng đường), nó
phụ thuộc vào thời gian đạp xe, là (thời gian) mà chúng ta đạp xe. là 15, đây là
vận tốc không đổi của xe đạp, nó cho biết cứ mỗi giờ thì xe đi được 15 km.
Sau khi học sinh đã có những trải nghiệm thực tế và xây dựng các tình huống về
đại lượng tỉ lệ thuận, bước tiếp theo là giúp các em chuyển những hiểu biết trực quan
đó sang ngôn ngữ toán học chính xác bằng cách sử dụng công thức. ưới đây là ví dụ
về cách học sinh có thể thực hiện hoạt động này dựa trên các tình huống đã nêu ở Hoạt
động 2:
Dựa trên Ví dụ 1 (mua bút chì):
- Học sinh (viết công thức):
Ta thấy số tiền phải trả () sẽ bằng giá của một
chiếc bút chì (5000 đồng, là ) nhân với số lượng bút chì đã mua (). Vậy công thức
là:
- Học sinh (giải thích các thành phần):

là tổng số tiền em phải trả, nó thay đổi
t
ùy thuộc vào số lượng bút chì mua.
là số lượng bút chì em mua. là 5000 đồng,
đây là giá cố định của mỗi chiếc bút chì, nó không thay đổi
Dựa trên Ví dụ 2 (mua gói mì):
- Học sinh (viết công thức):
Tổng số tiền phải trả () sẽ bằng giá của một gói
mì (3500 đồng, là ) nhân với số gói mì đã mua (). Công thức là:
35

38. - Học sinh (giải thích các thành phần): là tổng tiền, nó phụ thuộc vào số gói
mì. là số gói mì đã mua. là 3500 đồng, là giá của một gói mì, nó không đổi
Dựa trên Ví dụ 3 (mua vở học sinh):
- Học sinh (viết công thức):
Tổng số tiền phải trả () bằng giá của một quyển
vở (8000 đồng, là ) nhân với số quyển vở đã mua (). Công thức là:
- Học sinh (giải thích các thành phần): là tổng tiền mua vở. là số quyển vở
đã mua. là 8000 đồng, là giá của một quyển vở, nó không đổi
Hoạt động 4: Giáo viên mở rộng sang các trường hợp khác: Hoạt động này
giúp học sinh củng cố và mở rộng khả năng nhận diện đại lượng tỉ lệ thuận trong nhiều
bối cảnh khác nhau. ưới đây là một số ví dụ về bảng số liệu và mô tả mối quan hệ mà
giáo viên có thể sử dụng, c
ùng với cách học sinh có thể phân tích và trả lời:
Ví dụ 4: Bảng số liệu về số lượng và giá tiền
- Giáo viên: Cô có bảng số liệu về số lượng quyển vở mua và tổng số tiền phải
trả. Các em hãy xem xét và cho biết hai đại lượng này có tỉ lệ thuận với nhau không?
Nếu có, hãy tìm hệ số tỉ lệ.
Bảng 2.3: Bảng số liệu về số lượng quyển vở mua và tổng số tiền phải trả.
Số lượng vở (quyển)Tổng số tiền (đồng)
2 16000
4 32000
6 48000
8 64000
- Học sinh (phân tích):
- Khi số lượng vở tăng gấp đôi (từ 2 lên 4, từ 4 lên 8), thì tổng số tiền
cũng tăng gấp đôi (từ 16000 lên 32000, từ 32000 lên 64000)
- Thử chia tổng số tiền cho số lượng vở ở mỗi hàng:
. Tỉ số này luôn không đổi
- Học sinh (trả lời): Hai đại lượng này tỉ lệ thuận với nhau. Hệ số tỉ lệ là 8000
Ví dụ 5: Bảng số liệu về thời gian và quãng đường của một người đi bộ
- Giáo viên: Đây là bảng ghi lại thời gian đi bộ và quãng đường đi được của
một người. Các em hãy xác định xem thời gian và quãng đường có tỉ lệ thuận với nhau
không? Nếu có, hệ số tỉ lệ là gì?
Bảng 2.4: Bảng số liệu về thời gian và quãng đường của một người đi bộ
Thời gian (phút)Quãng đường (mét)
5 250
10 500
15 750
20 900
- Học sinh (phân tích):
- Khi thời gian tăng gấp đôi (từ 5 lên 10), quãng đường cũng tăng gấp
đôi (từ 250 lên 500)
36

39. - Tuy nhiên, khi thời gian tăng từ 15 lên 20 (không phải là một tỷ lệ
nguyên), quãng đường tăng từ 750 lên 900. Thử chia: , nhưng . Tỉ
số không giống nhau
- Học sinh (trả lời): Hai đại lượng này không tỉ lệ thuận với nhau vì tỉ số giữa
chúng không phải là một hằng số
- Giáo viên: Vậy qua hai ví dụ này, các em rút ra được điều gì về tỉ số giữa hai
đại lượng tỉ lệ thuận?
- Học sinh: Tỉ số giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận luôn là một số không đổi.
Ví dụ 6: Mô tả mối quan hệ giữa diện tích hình vuông và độ dài cạnh
- Giáo viên: Diện tích của hình vuông được tính bằng công thức cạnh nhân với
cạnh (cạnh²). Hỏi diện tích hình vuông và độ dài cạnh của nó có phải là hai đại lượng
tỉ lệ thuận không? Giải thích tại sao?
- Học sinh (phân tích):
- Nếu cạnh tăng gấp đôi, ví dụ từ 1cm lên 2cm, thì diện tích sẽ tăng từ
1cm² lên 4cm² (gấp 4 lần)
- Nếu cạnh tăng gấp ba, từ 1cm lên 3cm, thì diện tích tăng từ 1cm² lên
9cm² (gấp 9 lần)
- Học sinh (trả lời): Diện tích hình vuông và độ dài cạnh của nó không tỉ lệ
thuận với nhau. Vì khi độ dài cạnh tăng lên một số lần, diện tích không tăng lên c
ùng
số lần đó mà tăng lên theo bình phương của số lần đó
Ví dụ 7: Mô tả mối quan hệ giữa số người và thời gian hoàn thành công việc
(c
ùng năng suất)
- Giáo viên: Nếu có một công việc nhất định, số lượng người tham gia làm việc
và thời gian để hoàn thành công việc đó có mối quan hệ như thế nào? Đây có phải là
đại lượng tỉ lệ thuận không? Giải thích.
- Học sinh (phân tích):
+ Nếu có ít người làm thì thời gian hoàn thành sẽ lâu hơn
+ Nếu có nhiều người c
ùng làm thì công việc sẽ xong nhanh hơn
+ Ví dụ, nếu 2 người làm xong trong 6 giờ, thì 4 người (gấp đôi) có lẽ sẽ làm
xong trong 3 giờ (thời gian giảm đi một nửa)
- Học sinh (trả lời): Số người và thời gian hoàn thành công việc không tỉ lệ
thuận với nhau. Đây là mối quan hệ tỉ lệ nghịch, khi số người tăng lên thì thời gian
hoàn thành giảm xuống
Ví dụ 8: Mở rộng với đồ thị
- Giáo viên: Các em hãy chọn hai điểm bất kỳ khác gốc tọa độ trên đồ thị của
hàm số . Ví dụ, điểm và điểm . Tính tỉ số và Các em có
nhận xét gì?
-
Học sinh:

và

Tỉ số này bằng nhau và bằng hệ số tỉ lệ
37

40. - Giáo viên: Tương tự, các em hãy chọn hai điểm bất kỳ khác gốc tọa độ trên đồ
thị của hàm số . Ví dụ, điểm và điểm . Tính tỉ số và .
Nhận xét?
- Học sinh: và . Tỉ số này cũng bằng nhau và bằng hệ
số tỉ lệ
- Giáo viên: Vậy từ đây ta có thể khẳng định điều gì về đồ thị của hai đại lượng
tỉ lệ thuận?
- Học sinh: Đồ thị của hai đại lượng tỉ lệ thuận là một đường thẳng đi qua gốc
tọa độ, và tỉ số giữa tung độ và hoành độ của mọi điểm trên đường thẳng (trừ gốc tọa
độ) luôn bằng hệ số tỉ lệ.
Hình 2.1. Đồ thị của hàm số và hàm số
Liên hệ với tính chất tỉ số không đổi:
- Giáo viên: Các em thấy mối liên hệ nào giữa dạng đồ thị và tính chất tỉ số
không đổi ?
- Học sinh: Đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ thể hiện rằng khi thay
đổi thì cũng thay đổi theo một tỷ lệ cố định. Tỉ số chính là độ dốc của đường
thẳng này.
38

41. Tóm lại, việc áp dụng các hoạt động xây dựng tình huống thực tế, tổ chức trải
nghiệm và khám phá trên các mô hình trực quan trong dạy học Đại lượng tỉ lệ thuận
mang lại hiệu quả đáng kể. Phương pháp này không chỉ tạo ra một môi trường học tập
thoải mái, tích cực và khơi gợi hứng thú, mà còn tạo điều kiện để học sinh phát huy sự
sáng tạo, động não và tư duy. Quan trọng hơn, nó giúp các em nhận thấy rõ ràng tính
ứng dụng thiết thực của kiến thức về Đại lượng tỉ lệ thuận trong cuộc sống hàng ngày,
đồng thời khuyến khích khả năng tích hợp kiến thức với các khái niệm toán học khác
như tỉ số, tỉ lệ thức và bước đầu làm quen với hàm số. Nhờ đó, học sinh sẽ thấy được
sự gắn kết mật thiết giữa toán học và thực tiễn, nâng cao nhận thức về vai trò của môn
học trong cuộc sống và các lĩnh vực khác.
2.4.2. Tổ chức hướng dẫn học sinh thiết lập quy trình mô hình hóa Toán học
để giải quyết bài toán thực tiễn
Mục đích của biện pháp: Giúp học sinh lớp 7 từng bước xây dựng khả năng mô
hình hóa toán học thông qua việc giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến đại
lượng tỉ lệ thuận. Mục đích này không chỉ đơn thuần là giúp học sinh giải quyết các
bài toán tỉ lệ thuận một cách máy móc, mà còn hướng đến việc xây dựng và phát triển
năng lực mô hình hóa toán học ở các em một cách có hệ thống và bài bản. Biện pháp
này có nhiều cơ hội cho học sinh phát triển năng lực mô hình hóa toán học thông qua
cả 3 biểu hiện 1, 2, 3 của năng lực này.
Cách thức thực hiện biện pháp: Để hướng dẫn học sinh lớp 7 xây dựng quy
trình mô hình hóa toán học khi giải các bài toán thực tiễn liên quan đến đại lượng tỉ lệ
thuận, giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo các giai đoạn sau:
- Giai đoạn 1: Xây dựng quy trình mô hình hóa toán học để giải bài toán
thực tiễn.
+ Giáo viên giới thiệu khái niệm "mô hình hóa toán học" ở mức độ đơn giản,
dễ hiểu, gắn với các ví dụ quen thuộc.
+ Giáo viên gợi ý các bước cơ bản để giải một bài toán thực tế, chẳng hạn
như: đọc đề, tóm tắt, tìm mối liên hệ, giải toán, trả lời.
+ Giáo viên khuyến khích học sinh đóng góp ý kiến, đề xuất các bước theo
cách hiểu của mình.
- Giai đoạn 2: Nhận xét, chỉnh sửa và hoàn thiện quy trình
+ Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận nhóm hoặc cả lớp để chia sẻ các
quy trình đề xuất.
+ Giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn, gợi mở để học sinh nhận ra
những điểm hợp lý và chưa hợp lý trong các quy trình.
+ Giáo viên giúp học sinh sắp xếp các bước một cách logic và khoa học,
đồng thời sử dụng ngôn ngữ toán học ph
ù hợp.
Quy trình được xây dựng có thể bao gồm các bước sau:
(1) Xây dựng mô hình của bài toán thực tiễn, xác định các đại lượng và dữ kiện
quan trọng
(2) Thiết lập mô hình toán học cho bài toán thực tiễn
(3) Vận dụng đại lượng tỉ lệ thuận vào giải quyết những vấn đề toán học trong
mô hình toán học được thiết lập
(4) Kiểm tra, đánh giá kết quả
- Giai đoạn 3: Thực hiện giải bài toán thực tiễn thuộc chủ đề “Đại lượng tỉ lệ
thuận” (Toán 7) theo các bước của quy trình.
39

42. + Giáo viên đưa ra các bài toán thực tế khác nhau về đại lượng tỉ lệ thuận.
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh từng bước áp dụng quy trình đã xây dựng để
giải các bài toán đó.
+ Giáo viên khuyến khích học sinh tự giải và làm việc nhóm, đồng thời hỗ
trợ khi cần thiết.
Ở đây tập trung trình bày giai đoạn 3 của quy trình trên, tức là quá trình giáo
viên hướng dẫn học sinh thực hiện các bước (1), (2), (3) và (4) của quy trình mô hình
hóa toán học.
Ví dụ 9: Trong một buổi lao động, lớp 7A dự định trồng cây xanh. Biết rằng cứ
3 bạn học sinh thì trồng được 15 cây. Nếu cả lớp 7A có 45 bạn học sinh thì lớp 7A
trồng được bao nhiêu cây xanh? (Giả sử năng suất trồng cây của mỗi bạn là như nhau).
Quá trình giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện quy trình mô hình hóa như
sau:
Bước 1: Xây dựng mô hình của bài toán thực tiễn, xác định các đại lượng và dữ
kiện quan trọng.
- Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài để hiểu tình huống thực tế
- Xác định các đại lượng có trong bài toán:
+ Số học sinh
+ Số cây xanh trồng được
- Xác định các dữ kiện đã cho:
+ 3 học sinh trồng được 15 cây
+ Lớp 7A có 45 học sinh
- Xác định yêu cầu của bài toán: Tính số cây xanh lớp 7A trồng được.
Bước 2: Thiết lập mô hình toán học cho bài toán thực tiễn. Giáo viên có thể đặt
các câu hỏi nhằm hướng dẫn học sinh chọn mô hình toán học ph
ù hợp
Xác định mối quan hệ:
- Các em có nhận xét gì về sự thay đổi giữa số học sinh và số cây xanh trồng
được? (Câu trả lời mong đợi: Ta nhận thấy rằng, khi số học sinh tăng lên, số cây xanh
trồng được cũng tăng lên).
- Nếu số học sinh tăng lên gấp đôi thì số cây xanh trồng được thay đổi như thế
nào? (Câu trả lời mong đợi: Nếu số học sinh tăng lên gấp đôi thì số cây xanh trồng
được cũng tăng lên gấp đôi (và tương tự cho các tỉ lệ khác)).
- Vậy số học sinh và số cây xanh trồng được là hai đại lượng như thế nào? (Câu
trả lời mong đợi: Số học sinh và số cây xanh trồng được là hai đại lượng tỉ lệ thuận).
Lựa chọn cách biểu diễn mối quan hệ (mô hình toán học):
Cách 1: Bảng tỉ lệ
Số học sinh Số cây xanh
3 15
45 ?
Cách 2: Tỉ lệ thức
Gọi (cây) là số cây xanh lớp 7A trồng được.
Ta có tỉ lệ thức:
40

43. Bước 3: Vận dụng đại lượng tỉ lệ thuận vào giải quyết những vấn đề toán học
trong mô hình hóa toán học được thiết lập
- Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán toán học và đưa ra câu trả lời trong
toán học
Cách 1: Từ bảng tỉ lệ :
Số học sinh Số cây xanh
3 15
45 ?
Nhận thấy số học sinh tăng lên 15 lần, vậy số cây xanh trồng được cũng tăng
lên 15 lần.
Vậy số cây xanh trồng được là: 15.15=225 (cây)
Cách 2: Từ tỉ lệ thức:
Gọi (cây) là số cây xanh lớp 7A trồng được.
Ta có tỉ lệ thức: (cây)
Vậy số cây xanh trồng được là: 225 (cây)
Bước 4: Kiểm tra, đánh giá kết quả
Trả lời bài toán thực tiễn: Vậy lớp 7A trồng được 225 cây xanh.
Kiểm tra tính hợp lý của kết quả: Số học sinh tăng lên 15 lần, số cây xanh trồng
được cũng tăng lên 15 lần, điều này ph
ù hợp với mối quan hệ tỉ lệ thuận. Kết quả 225
cây là một giá trị hợp lý trong thực tế.
Sau khi trải qua 4 bước của quy trình mô hình hóa toán học, HS đã có cơ hội
được phát triển đầy đủ các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học: Ở bước 1, học
sinh được đặt vào một tình huống có ý nghĩa, nơi các em cần xác định rõ vấn đề cốt lõi
cần giải quyết. Quá trình này đòi hỏi các em phải xem xét và chọn lọc thông tin, dữ
kiện quan trọng từ bài toán thực tiễn. Thông qua hoạt động này, học sinh hình thành kỹ
năng chọn lọc thông tin, nhận diện các mối liên hệ tiềm ẩn giữa các dữ kiện khác nhau.
Đây là giai đoạn then chốt, tạo nền tảng vững chắc để học sinh có được cái nhìn vừa
tổng quan vừa chi tiết về bài toán, chuẩn bị cho việc chuyển sang bước 2: thiết lập mô
hình toán học cho bài toán thực tiễn.. Ở bước 2, học sinh dựa trên các thông tin, dữ
kiện đã được chọn lọc và mối liên hệ giữa chúng (số học sinh và số cây trồng được có
mối quan hệ tỉ lệ thuận), học sinh tiến hành xác định mô hình toán học ph
ù hợp
. Trong
trường hợp này, mô hình toán học được xác định là mối quan hệ tỉ lệ thuận giữa số học
sinh và số cây trồng được. Các em nhận ra rằng tỉ số giữa số cây trồng được và số học
sinh là một hằng số (năng suất trung bình). Đây là bước tạo cơ hội cho học sinh phát
triển thành tố 1 của năng lực mô hình hóa toán học, khả năng chuyển đổi tình huống
thực tế sang ngôn ngữ toán học (nhận diện mối quan hệ tỉ lệ thuận). Ở bước 3, HS vận
dụng các kiến thức toán học vào giải quyết bài toán toán học đã xác định từ bước 2
bằng cách sử dụng bảng tỉ lệ hoặc sử dụng tỉ lệ thức. Đây là bước có nhiều cơ hội phát
41

44. triển thành tố 2 của năng lực mô hình hóa toán học, khả năng sử dụng kiến thức toán
học để giải quyết bài toán đã được mô hình hóa. Sau c
ùng, ở bước 4, học sinh
xem xét
giá trị hợp lí của kết quả (225 cây) có ph
ù hợp với thực tiễn hay không. Các em nhận
thấy rằng với số lượng học sinh tăng lên đáng kể (gấp 15 lần), số cây trồng được cũng
tăng lên một cách tương ứng, điều này ph
ù hợp với giả định về năng suất như nhau.
Thông qua bước 4, học sinh có cơ hội phát triển thành tố 2 (kiểm tra tính hợp lí của
nghiệm toán học) và thành tố 3 (đánh giá ý nghĩa thực tiễn của nghiệm) của năng lực
mô hình hóa toán học.
2.4.3. Tổ chức cho học sinh thực hành, trải nghiệm, giải quyết tình huống
thực tiễn
Mục đích của biện pháp: Tổ chức cho học sinh vận dụng các kiến thức, kĩ năng
toán học vào thực hành, trải nghiệm để giải quyết vấn đề thực tiễn. Biện pháp này
được thiết kế nhằm đạt được nhiều mục tiêu quan trọng trong dạy học toán. Trước hết,
nó tạo cơ hội để giúp học sinh vận dụng kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận vào một tình
huống thực tế, gần gũi với đời sống hàng ngày, từ đó tăng tính ứng dụng và sự hứng
thú của môn học. Đồng thời, biện pháp này còn chú trọng đến việc phát triển năng lực
mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua các hoạt động thiết lập tỉ lệ, tính toán và
giải quyết vấn đề. Bên cạnh đó, các hoạt động thực hành và làm việc nhóm được tổ
chức trong biện pháp này cũng góp phần tăng cường kỹ năng thực hành, đo lường, làm
việc nhóm và giao tiếp toán học cho học sinh. Cuối c
ùng, việc tạo ra các tình huống
học tập mang tính tương tác và khám phá sẽ giúp tạo hứng thú và động lực học tập cho
học sinh, thúc đẩy các em tham gia tích cực vào quá trình lĩnh hội kiến thức.
Cách thức thực hiện biện pháp: Tổ chức cho học sinh thực hành pha chế nước
ngọt để học sinh nhận biết được mối quan hệ tỉ lệ thuận giữa lượng nguyên liệu (siro,
nước cốt chanh, đường, nước lọc) và số lượng nước ngọt pha chế được (hoặc độ ngọt,
độ chua mong muốn); thiết lập được công thức tỉ lệ thuận để pha chế nước ngọt theo
khẩu vị hoặc số lượng yêu cầu; vận dụng được kiến thức về tỉ lệ thuận để điều chỉnh
công thức pha chế khi thay đổi số lượng người uống; phát triển kỹ năng đo lường
chính xác, làm việc nhóm, quan sát và ghi nhận kết quả.
Quá trình triển khai biện pháp thông qua các hoạt động:
- Khởi động và gợi mở
- Xây dựng công thức cơ bản
- Mô hình hóa toán học
- Vận dụng và giải quyết tình huống
- Chia sẻ và thảo luận
- Tổng kết và mở rộng
Ví dụ 10: Ví dụ minh họa trước khi pha chế: Trước khi chúng ta tự tay pha chế
món nước ngọt yêu thích, cô muốn chúng ta c
ùng nhau xem xét một ví dụ nhỏ để hiểu
rõ hơn về mối quan hệ tỉ lệ thuận.
Giả sử, để pha một cốc nước chanh đơn giản, chúng ta cần 2 thìa đường. Vậy
thì:
- Để pha 2 cốc nước chanh có vị ngọt tương tự, chúng ta sẽ cần bao nhiêu thìa
đường? (Câu trả lời mong muốn: 4 thìa (tăng gấp 2))
- Vậy nếu chúng ta muốn pha 3 cốc nước chanh như vậy, chúng ta cần bao
nhiêu thìa đường? (Câu trả lời mong muốn: 6 thìa (tăng gấp 3))
42

45. - Khi số lượng cốc nước chanh tăng lên, lượng đường chúng ta cần cũng tăng
lên theo một quy luật nhất định. Số cốc tăng gấp bao nhiêu lần thì lượng đường cũng
tăng lên gấp bấy nhiêu lần. Đây chính là một ví dụ đơn giản về đại lượng tỉ lệ thuận.
Số lượng cốc nước chanh và lượng đường cần d
ùng là hai đại lượng tỉ lệ thuận với
nhau. Tương tự như vậy, khi chúng ta pha chế nước ngọt với nhiều nguyên liệu như
siro, nước cốt chanh và nước lọc, lượng của mỗi nguyên liệu cũng sẽ tỉ lệ thuận với số
lượng nước ngọt chúng ta muốn pha (nếu chúng ta muốn giữ nguyên hương vị). Hoạt
động pha chế hôm nay sẽ giúp các em khám phá rõ hơn về mối quan hệ thú vị này!
Bây giờ, khi chúng ta bắt đầu pha chế nước ngọt theo công thức mẫu, các em hãy chú
ý xem lượng của từng nguyên liệu thay đổi như thế nào khi chúng ta muốn pha nhiều
ly hơn nhé
Chuẩn bị:
Nguyên liệu:
+ Siro (các loại hương vị khác nhau)
+ Nước cốt chanh (hoặc các loại nước cốt trái cây khác)
+ Đường (nếu cần điều chỉnh độ ngọt)
+ Nước lọc
+ Đá viên
Dụng cụ:
+ Cốc chia vạch (hoặc ống đong) có các đơn vị đo ml
+ Thìa đong (nếu d
ùng đường hạt)
+ Bình pha chế (ca đong lớn)
+ Thìa khuấy
+ Khăn lau
+ Bảng hoặc giấy A0 để ghi chép và trình bày.
Tiến trình hoạt động:
Giai đoạn 1: Khởi động và Gợi mở
- Tạo tình huống: Giáo viên đặt câu hỏi: "Các em đã bao giờ tự pha chế nước
ngọt ở nhà chưa? Để pha được một ly nước ngọt ngon, chúng ta cần những nguyên
liệu gì và điều quan trọng nhất là gì?" (Giáo viên gợi ý học sinh suy nghĩ về tỉ lệ các
nguyên liệu).
- Giới thiệu mục tiêu: Giáo viên giới thiệu hoạt động hôm nay là học cách pha
chế nước ngọt một cách khoa học và khám phá mối quan hệ tỉ lệ thuận giữa các
nguyên liệu.
Giai đoạn 2: Xây dựng công thức cơ bản
Ví dụ minh họa: Giáo viên đưa ra ví dụ về mối quan hệ tỉ lệ thuận (như đã trình
bày ở trên).
- Sau đó giáo vên cung cấp công thức mẫu để pha chế một ly nước ngọt (ví dụ
cho 1 người uống) bao gồm:
+ 20ml siro
+ 10ml nước cốt chanh
+ 100ml nước lọc
+ (Có thể thêm đường t
ùy khẩu vị)
- Thực hành pha chế: Lớp học được chia thành các nhóm nhỏ (4-6 học
sinh/nhóm) để thực hiện hoạt động. Mỗi nhóm thực hành pha chế một ly nước ngọt
theo công thức mẫu, chú ý đo lường chính xác các nguyên liệu bằng cốc chia vạch.
43

46. - Thử và điều chỉnh: Sau khi pha chế, các thành viên trong nhóm c
ùng nhau thử
và điều chỉnh công thức cho vừa khẩu vị của nhóm (thêm chút siro nếu thích ngọt hơn,
thêm chanh nếu thích chua hơn). Các nhóm sẽ ghi lại công thức đã điều chỉnh của
nhóm vào phiếu hoạt động.
Giai đoạn 3: Mô hình hóa toán học
Ở hoạt động này giáo viên sẽ đặt các câu hỏi để hướng học sinh nhận ra mối
quan hệ tỉ lệ thuận:
- Nếu bây giờ nhóm mình muốn pha 2 ly nước ngọt có hương vị giống như ly
vừa pha, các em cần bao nhiêu ml siro? Bao nhiêu ml nước cốt chanh? Bao nhiêu ml
nước lọc?
- Tại sao các em lại nhân lượng của từng nguyên liệu lên như vậy?
- Mối quan hệ giữa số ly nước ngọt và lượng của từng nguyên liệu là mối quan
hệ gì?" (Giáo viên gợi ý về việc khi số ly tăng lên bao nhiêu lần thì lượng nguyên liệu
cũng tăng lên bấy nhiêu lần).
Thiết lập công thức tỉ lệ: Hướng dẫn học sinh thiết lập công thức tỉ lệ thuận:
- Gọi số ly nước ngọt là n.
- Gọi lượng siro cần d
ùng là S (ml)
- Gọi lượng nước cốt chanh cần d
ùng là C (ml)
- Gọi lượng nước lọc cần d
ùng là L (ml)
- Nếu công thức cho 1 ly là: siro, chanh, nước lọc thì công thức cho
ly sẽ là:
Giáo viên nhấn mạnh rằng lượng của mỗi nguyên liệu tỉ lệ thuận với số ly nước
ngọt, và hệ số tỉ lệ chính là lượng nguyên liệu cần cho một ly.
Giai đoạn 4: Vận dụng và giải quyết tình huống
Tình huống 1: Hôm nay lớp mình có 30 bạn. Dựa vào công thức mà nhóm đã
điều chỉnh (hoặc công thức ban đầu), hãy tính toán lượng siro, nước cốt chanh và nước
lọc cần để pha đủ nước ngọt cho cả lớp (mỗi bạn một ly). Ghi kết quả vào phiếu hoạt
động.
Tình huống 2: Nhóm bạn muốn pha một bình nước ngọt lớn để mang đi picnic.
Bình có dung tích 1,5 lít (1500ml). Dựa vào tỉ lệ mà nhóm đã pha chế thành công ở
bước 2, hãy tính toán lượng siro và nước cốt chanh cần d
ùng (giả sử không thay đổi độ
ngọt/chua). Ghi kết quả vào phiếu hoạt động.
Thực hành pha chế theo yêu cầu: Các nhóm thực hiện tính toán và sau đó tiến
hành pha chế nước ngọt theo yêu cầu của các tình huống
Kiểm tra và đánh giá: Các nhóm chia sẻ sản phẩm của mình và c
ùng nhau đánh
giá xem nước ngọt đã đạt yêu cầu về số lượng và hương vị chưa.
Giai đoạn 5: Chia sẻ và thảo luận
- Trình bày kết quả: Đại diện mỗi nhóm trình bày công thức pha chế của nhóm
mình (công thức cơ bản và công thức đã điều chỉnh), cách tính toán lượng nguyên liệu
cho các tình huống và chia sẻ kinh nghiệm pha chế.
- Thảo luận: Giáo viên đặt các câu hỏi để củng cố kiến thức:
44

47. + Trong quá trình pha chế, các em đã nhận thấy mối quan hệ như thế nào
giữa số lượng người uống và lượng của từng nguyên liệu?
+ Hệ số tỉ lệ trong trường hợp này là gì? (Lượng nguyên liệu cho một đơn vị
(một ly) nước ngọt).
+ Nếu muốn tăng độ ngọt của nước, chúng ta cần điều chỉnh lượng nguyên
liệu nào? Mối quan hệ giữa lượng đường và tổng lượng nước ngọt có còn là tỉ lệ thuận
không? Tại sao?" (Thảo luận về việc giữ tỉ lệ giữa các nguyên liệu chính để đảm bảo
hương vị).
+ Trong thực tế, còn những tình huống nào chúng ta có thể áp dụng kiến thức
về đại lượng tỉ lệ thuận tương tự như việc pha chế nước ngọt?" (Ví dụ: làm bánh, trộn
vữa xây dựng, pha sơn,...).
Giai đoạn 6: Tổng kết và Mở rộng
- Tổng kết: Giáo viên tóm tắt lại kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận đã được
áp dụng trong hoạt động pha chế.
- Mở rộng: Khuyến khích học sinh về nhà thử nghiệm các công thức pha chế
khác nhau hoặc áp dụng kiến thức về tỉ lệ thuận vào các hoạt động nấu ăn đơn giản
khác.
Hoạt động thực hành "Pha chế nước ngọt" đã mang đến cho các em học sinh
một trải nghiệm học tập sinh động và ý nghĩa về đại lượng tỉ lệ thuận. Thông qua việc
tự tay pha chế và giải quyết các tình huống thực tế, các em không chỉ nhận biết được
mối quan hệ tỉ lệ thuận giữa lượng nguyên liệu và số lượng nước ngọt mà còn xây
dựng được công thức toán học để mô tả mối quan hệ này.
2.5. Kết luận chương 2
Chương 2 của khóa luận đã dành sự tập trung sâu sắc vào việc phân tích và đề
xuất các chiến lược sư phạm nhằm tối ưu hóa việc dạy và học nội dung Đại lượng tỉ lệ
thuận trong chương trình Toán lớp 7. Mục tiêu cao cả của chương này không chỉ dừng
lại ở việc truyền đạt kiến thức toán học thuần túy, mà còn hướng đến việc bồi dưỡng
và phát triển một cách có hệ thống năng lực mô hình hóa toán học - một trong những
năng lực cốt lõi mà Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 đặc biệt coi trọng.
Ở đây đã khẳng định một cách mạnh mẽ rằng nội dung Đại lượng tỉ lệ thuận
không nên bị xem nhẹ như một phần kiến thức đơn lẻ, mà cần được nhìn nhận như một
cánh cửa mở ra thế giới toán học ứng dụng. Bản chất của mối quan hệ tỉ lệ thuận, với
sự chính xác của công thức toán học và sự hiện diện rộng rãi trong các tình huống thực
tế, tạo điều kiện lý tưởng để học sinh bắt đầu làm quen và thực hành các kỹ năng thiết
yếu của quá trình mô hình hóa. Từ việc nhận diện các mối liên hệ trong cuộc sống
hàng ngày đến việc biểu diễn chúng bằng ngôn ngữ toán học, học sinh được trao cơ
hội để khám phá sức mạnh của toán học trong việc giải thích và dự đoán các hiện
tượng xung quanh.
Một trong những phát hiện quan trọng nhất của chương này là khi được giảng
dạy một cách bài bản và có mục tiêu rõ ràng, nội dung Đại lượng tỉ lệ thuận có khả
năng tích hợp một cách tự nhiên và mạch lạc các bước của quy trình mô hình hóa toán
học. Học sinh không chỉ học thuộc lòng công thức và áp dụng một cách máy móc, mà
được dẫn dắt để tham gia vào một hành trình khám phá đầy thú vị và thử thách:
- Xác định và phân tích vấn đề: Học sinh học cách đọc kỹ, hiểu rõ và phân tích
các tình huống thực tế, xác định các đại lượng liên quan và câu hỏi cần trả lời.
45

48. - Xây dựng mô hình toán học: Học sinh học cách "dịch" các mối quan hệ thực tế
sang ngôn ngữ toán học, sử dụng công thức, tỉ lệ thức hoặc các hình thức biểu diễn
khác.
- Giải quyết mô hình: Học sinh sử dụng các kiến thức và kỹ năng toán học để
tìm ra các giá trị chưa biết hoặc đưa ra các dự đoán.
- Diễn giải và đánh giá kết quả: Học sinh học cách liên hệ kết quả toán học với
tình huống thực tế, đánh giá tính hợp lý và rút ra kết luận.
Tóm lại, chương 2 đã chứng minh một cách thuyết phục rằng việc dạy học Đại
lượng tỉ lệ thuận ở lớp 7 không chỉ là một nhiệm vụ truyền đạt kiến thức toán học, mà
còn là một cơ hội quý báu để bồi dưỡng và phát triển năng lực mô hình hóa toán học -
một năng lực có ý nghĩa sâu sắc đối với sự thành công của học sinh trong học tập,
công việc và cuộc sống.
46

49. CHƯƠNG 3
MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN
HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG TỈ LỆ THUẬN
3.1. Một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh khi
dạy học nội dung đại lượng tỉ lệ thuận
3.1.1. Phân tích mô hình hóa toán học và mô hình hóa toán học cơ bản
Mục đích của biện pháp: Biện pháp này tập trung vào việc trang bị cho học sinh
khả năng làm chủ các mô hình toán học trong chủ đề Đại lượng tỉ lệ thuận. Cụ thể, học
sinh sẽ được hướng dẫn để không chỉ nhận biết các dạng mô hình như công thức, bảng
biểu, hay tỉ lệ thức, mà còn thấu hiểu cặn kẽ quy trình thiết lập nên chúng, từ việc xuất
phát từ tình huống thực tế đến khi có được biểu diễn toán học tương ứng. Qua đó, biện
pháp này hướng tới mục tiêu kép: vừa rèn luyện kỹ năng xây dựng mô hình - tức là
khả năng chuyển đổi một bài toán cụ thể sang ngôn ngữ toán học, vừa phát triển kỹ
năng sử dụng mô hình - tức là khả năng vận dụng kiến thức toán học để giải quyết bài
toán đó một cách hiệu quả.
Nội dung biện pháp:
Trong chủ đề Đại lượng tỉ lệ thuận, các mô hình toán học đóng vai trò quan
trọng trong việc thể hiện và làm việc với các mối quan hệ toán học. Các mô hình này
bao gồm trước hết là khái niệm về đại lượng tỉ lệ thuận, được mô hình hóa bằng ngôn
ngữ ký hiệu toán học (ví dụ: ,với

là một hằng số khác 0),và mô tả mối quan
hệ cơ bản giữa hai đại lượng. Bên cạnh đó, các tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận cũng
là các mô hình toán học, thường được thể hiện bằng ngôn ngữ ký hiệu và dãy tỉ số
bằng nhau. Chúng mô tả các đặc điểm cụ thể của mối quan hệ tỉ lệ thuận, và có thể coi
là "dẫn xuất" từ khái niệm ban đầu. Ví dụ, các tính chất như và
đều là các mô hình toán học như vậy.
Bản chất của mô hình hóa toán học là một chuỗi các hoạt động, từ việc hình
thành mô hình toán học đến việc áp dụng mô hình đó vào thực tế. Để thực hiện tốt quá
trình dạy và học giáo vên có thể hướng học sinh thực hiện các hoạt động sau:
Hoạt động 1: Hoạt động khởi động và ôn tập, đóng vai trò quan trọng trong việc
tạo đà cho bài học mới về đại lượng tỉ lệ thuận. Mục tiêu chính của hoạt động này là
tạo hứng thú cho học sinh, khơi gợi những kiến thức nền tảng đã có và kết nối chúng
một cách tự nhiên với nội dung bài học sắp tới. Để đạt được mục tiêu này, có thể áp
dụng nhiều hình thức hoạt động khác nhau, chẳng hạn như: tổ chức các trò chơi hoặc
câu đố vui mà nội dung liên quan đến các khái niệm đã được học trước đó, như tỉ số và
tỉ lệ; tổ chức thảo luận nhanh về một tình huống thực tế gần gũi với học sinh, trong đó
có xuất hiện mối quan hệ tỉ lệ thuận; hoặc ôn tập lại các dạng toán có liên quan mật
thiết đến bài học mới, chẳng hạn như các bài toán tìm ẩn số trong một tỉ lệ thức
Hoạt động 2: Đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành khái niệm đại
lượng tỉ lệ thuận ở học sinh. Mục tiêu chính của hoạt động này là tạo ra nhu cầu và dẫn
dắt học sinh tự khám phá khái niệm thông qua các tình huống thực tế. Quá trình thực
hiện bao gồm việc đưa ra các vấn đề từ thực tiễn, sau đó học sinh sử dụng kiến thức
sẵn có để giải quyết vấn đề, và từ đó hình thành định nghĩa và ký hiệu toán học cho đại
47

50. lượng tỉ lệ thuận. Đặc điểm của các vấn đề thực tiễn này là chúng gần gũi với kinh
nghiệm sống của học sinh và có thể giải quyết bằng kiến thức đơn giản. Kết quả đạt
được là học sinh xây dựng được công thức thể hiện mối quan hệ giữa các đại lượng và
hiểu được bản chất của đại lượng tỉ lệ thuận.
Hoạt động 3: Học sinh tiến hành nghiên cứu toán học về tỉ lệ thuận, với mục
tiêu là làm sáng tỏ các tính chất của nó. Xuất phát từ khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận đã
được hình thành ở hoạt động 1, học sinh sử dụng các kiến thức toán học mà mình đã
có để thực hiện việc nghiên cứu. Quá trình này bao gồm việc phân tích mối quan hệ
toán học giữa các đại lượng (ví dụ: nghiên cứu công thức ) để từ đó suy ra các
quy luật và đặc điểm. Kết quả là học sinh có thể xác định và phát biểu được các tính
chất của đại lượng tỉ lệ thuận, chẳng hạn như: Nếutỉ lệ thuận vớitheo hệ số tỉ lệ ,
thìcũng tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ . Trong quan hệ tỉ lệ thuận, các tỉ số giữa
các cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng là bằng nhau ( ) và các
tỉ số giữa các giá trị c
ùng loại cũng bằng nhau (
). Hoạt động 2
giúp học sinh đi sâu hơn vào cấu trúc toán học của đại lượng tỉ lệ thuận, từ đó có được
sự hiểu biết đầy đủ và chính xác về khái niệm này.
Hoạt động 4: Áp dụng kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận để giải quyết các bài
toán. Mục tiêu của hoạt động này là vận dụng kiến thức và kỹ năng về đại lượng tỉ lệ
thuận để giải các bài toán thực tiễn và toán học. Quá trình thực hiện bao gồm việc học
sinh nhận biết các tình huống có thể mô hình hóa bằng đại lượng tỉ lệ thuận, và học
sinh áp dụng các tính chất và công thức để giải quyết bài toán. Kết quả đạt được là học
sinh có khả năng nhận biết và giải quyết các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận. Các dạng
bài toán thường gặp là: Dạng 1: Nhận biết tỉ lệ thuận, tìm hệ số tỉ lệ, tính giá trị. Dạng
2: Tìm các số khi biết quan hệ tỉ lệ và điều kiện ràng buộc. Để hỗ trợ giải toán, học
sinh cần trả lời các câu hỏi như: Bài toán thuộc dạng nào? Tóm tắt bài toán bằng ngôn
ngữ toán học? Mô hình toán học nào được sử dụng? Kiến thức toán học nào cần d
ùng?
Kết quả có hợp lý không? Kết luận của bài toán là gì?"
Hoạt động 5: Mở rộng và nâng cao, được thiết kế nhằm phát triển sâu hơn khả
năng vận dụng kiến thức của học sinh vào những tình huống có độ phức tạp cao hơn,
đồng thời mở rộng phạm vi hiểu biết của các em về đại lượng tỉ lệ thuận. Để đạt được
mục tiêu này, giáo viên có thể tổ chức nhiều hoạt động đa dạng và phong phú. Chẳng
hạn, học sinh có thể được yêu cầu giải các bài toán không chỉ thuần túy toán học mà
còn mang tính ứng dụng cao, kết nối với các môn học khác (ví dụ: vật lý, hóa học, địa
lý). Bên cạnh đó, hoạt động tìm tòi, nghiên cứu các hiện tượng thực tế xung quanh có
liên quan đến tỉ lệ thuận cũng là một cách hiệu quả để học sinh thấy được tính thực
tiễn của kiến thức. Một hình thức hoạt động khác có thể mang lại nhiều hứng thú và
hiệu quả là thực hiện các dự án nhỏ, trong đó học sinh được tự mình thu thập số liệu,
xây dựng mô hình toán học và áp dụng các kiến thức đã học để giải quyết vấn đề đặt
ra.
Hoạt động 6: Đánh giá và tổng kết, giữ vai trò then chốt trong việc khép lại quá
trình dạy và học về đại lượng tỉ lệ thuận. Mục tiêu chính của hoạt động này là đánh giá
một cách toàn diện mức độ nắm vững kiến thức và thành thạo kỹ năng của học sinh,
48

51. đồng thời tổng kết và hệ thống hóa lại những nội dung cốt lõi của bài học. Để đạt được
mục tiêu này, giáo viên có thể linh hoạt áp dụng nhiều hình thức đánh giá khác nhau,
bao gồm cả kiểm tra trắc nghiệm để đánh giá nhanh kiến thức cơ bản và kiểm tra tự
luận để đánh giá sâu hơn khả năng vận dụng và trình bày của học sinh. Bên cạnh đó,
các hình thức như thuyết trình hoặc báo cáo về các dự án hoặc bài tập đã thực hiện
không chỉ giúp đánh giá năng lực của từng cá nhân mà còn rèn luyện kỹ năng giao tiếp
và làm việc nhóm. Một khía cạnh quan trọng khác của hoạt động này là khuyến khích
học sinh tự đánh giá quá trình học tập của bản thân và đánh giá lẫn nhau, từ đó phát
triển khả năng tự nhận thức và hợp tác. Cuối c
ùng, để củng cố và khắc sâu kiến thức,
giáo viên có thể hướng dẫn học sinh hệ thống hóa lại toàn bộ nội dung bài học bằng
các công cụ trực quan như sơ đồ tư duy hoặc bảng biểu.
3.1.2. Tập trung vào các hoạt động mô hình hóa toán học cốt lõi
Mục đích của biện pháp: Biện pháp 2 được đề xuất nhằm giúp giáo viên thiết kế
các hoạt động dạy học hiệu quả, tạo điều kiện cho học sinh phát triển năng lực mô hình
hóa toán học. Cụ thể, biện pháp này hướng dẫn giáo viên xây dựng các hoạt động
tương ứng và ph
ù hợp với các mô hình và quy trình mô hình hóa toán học đã được xác
định, bao gồm cả các hoạt động giúp học sinh hình thành và vận dụng mô hình.
Nội dung hoạt động:
- Giai đoạn 1: Tiếp cận và khám phá khái niệm: Quá trình hình thành khái
niệm sẽ diễn ra theo ba bước:
+ Bước 1: Đặt vấn đề từ thực tế. Giáo viên sẽ giới thiệu cho học sinh những
vấn đề quen thuộc, gần gũi với cuộc sống hàng ngày, nhưng ẩn chứa mối quan hệ tỉ lệ
thuận. Ví dụ, tình huống về việc tính tổng số tiền khi mua một lượng hàng hóa nhất
định với giá không đổi, hoặc bài toán về quãng đường mà một phương tiện di chuyển
được trong một khoảng thời gian cụ thể với vận tốc không đổi.
+ Bước 2: Nghiên cứu và giải quyết vấn đề. Học sinh sẽ làm việc cá nhân
hoặc theo nhóm để phân tích các tình huống đã được đưa ra. Bằng cách sử dụng các
kiến thức toán học cơ bản như phép nhân, phép chia và kỹ năng lập bảng, học sinh sẽ
tìm hiểu mối liên hệ giữa các đại lượng trong từng vấn đề. Ví dụ, họ có thể lập bảng để
so sánh số lượng hàng hóa với tổng số tiền phải trả, hoặc thời gian di chuyển với
quãng đường đi được.
+ Bước 3: Nhận xét và hình thành khái niệm. Sau khi giải quyết các vấn đề,
giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh quan sát và so sánh kết quả của các tình huống khác
nhau. Mục tiêu là giúp học sinh nhận ra điểm chung trong mối quan hệ giữa các đại
lượng (ví dụ, khi một đại lượng tăng lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng lên
bấy nhiêu lần). Từ những quan sát và nhận xét này, học sinh sẽ dần tự mình xây dựng
nên khái niệm về hai đại lượng tỉ lệ thuận.
- Giai đoạn 2: Nhận dạng và thể hiện khái niệm. Sau khi khái niệm ban đầu
được hình thành, giai đoạn này tập trung vào việc củng cố và giúp học sinh thể hiện sự
hiểu biết của mình thông qua nhiều hình thức:
- Hoạt động trên mô hình:
+ Mô tả bằng ngôn ngữ và ký hiệu: Giáo viên sẽ sử dụng linh hoạt các ký
hiệu khác nhau (không chỉ , và hệ số tỉ lệ như trong sách giáo khoa) để mô tả
mối quan hệ tỉ lệ thuận. Điều này giúp học sinh hiểu rằng bản chất của mối quan hệ
quan trọng hơn là tên gọi cụ thể của các biến số. Học sinh cũng được khuyến khích tự
diễn đạt khái niệm bằng ngôn ngữ của riêng mình và sử dụng các ký hiệu khác nhau.
49

52. + Biểu diễn bằng bảng: Bảng số liệu sẽ được sử dụng như một công cụ trực
quan để thể hiện các cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, giúp học sinh
dễ dàng nhận thấy quy luật và mối liên hệ giữa chúng.
+ Khám phá tính chất: Dựa trên khái niệm đã học và các bảng giá trị cụ thể,
học sinh sẽ thực hiện các hoạt động toán học để khám phá và rút ra các tính chất đặc
trưng của đại lượng tỉ lệ thuận, chẳng hạn như tỉ số giữa các giá trị tương ứng là một
hằng số.
- Giai đoạn 3: Áp dụng mô hình. Đây là hoạt động then chốt nhằm củng cố
hiểu biết về đại lượng tỉ lệ thuận và phát triển năng lực mô hình hóa. Học sinh sẽ nhận
dạng lại khái niệm và tính chất, sau đó vận dụng chúng vào các tình huống thực tế
thông qua hệ thống bài tập đa dạng. Các bài tập được thiết kế theo các dạng toán đặc
trưng, với độ khó tăng dần từ mức độ nhận diện, thông hiểu đến vận dụng cao. Việc
kết hợp linh hoạt giữa hình thức trắc nghiệm và tự luận giúp đánh giá toàn diện khả
năng của học sinh.
3.1.3. Tổ chức xây dựng và luyện tập giải bài tập theo các dạng hoạt động cơ
bản về mô hình hóa toán học
Mục đích của biện pháp: Nhằm từng bước xây dựng và phát triển năng lực mô
hình hóa toán học cho học sinh một cách hệ thống và hiệu quả. Thông qua các ví dụ và
bài tập được thiết kế tương ứng với từng giai đoạn của quá trình mô hình hóa, học sinh
sẽ có cơ hội trực quan hóa, thực hành đa dạng và nâng cao khả năng ứng dụng toán
học vào các tình huống thực tế. Biện pháp này còn hỗ trợ giáo viên trong việc đánh giá
năng lực của học sinh một cách toàn diện và cá nhân hóa quá trình dạy học, đồng thời
khuyến khích tư duy phản biện và sáng tạo. Tóm lại, mục tiêu là trang bị cho học sinh
công cụ tư duy toán học mạnh mẽ để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.
Nội dung biện pháp:
Dạng 1: Dạng toán liên quan đến khái niệm
Bài toán 1: Một nhóm bạn quyết định đi chơi bằng xe máy từ thành phố A đến
một địa điểm du lịch B cách đó 60 km. Họ thống nhất sẽ đi với vận tốc không đổi.
a. Viết các công thức tính:
-Tính thời gian (giờ) mà nhóm bạn đi hết quãng đường 60 km theo vận tốc
(km/h) của xe.
- Nếu nhóm bạn quyết định đi với vận tốc cố định là 30 km/h, hãy tính quãng
đường (km) mà họ đi được sau (giờ).
- Một bạn trong nhóm đổ xăng, biết rằng cứ đi được 20 km thì xe máy tiêu thụ
hết 1 lít xăng. Viết công thức tính lượng xăng (lít) tiêu thụ theo quãng đường đi được
(km).
- Giá xăng hiện tại là 25000 đồng/lít. Viết công thức tính tổng số tiền xăng T
(đồng) mà nhóm bạn phải trả theo lượng xăng tiêu thụ (lít).
b. Trả lời các câu hỏi sau:
- Nhận xét về mối quan hệ giữa các đại lượng trong từng công thức ở câu a (xét
xem khi một đại lượng thay đổi thì đại lượng kia thay đổi như thế nào).
- Trong các công thức ở câu a, công thức nào thể hiện mối quan hệ giữa hai đại
lượng tỉ lệ thuận? Giải thích tại sao em lại xác định như vậy.
- Xét công thức tính quãng đường theo thời gian với vận tốc cố định 30
km/h. Hãy lập một bảng giá trị thể hiện quãng đường đi được sau 0,5 giờ, 1 giờ, 1,5
50

53. giờ và 2 giờ. Quan sát bảng này, em có nhận xét gì về tỉ số ? Tỉ số này có ý nghĩa gì
trong chuyến đi của nhóm bạn?
Lời giải:
a. - Công thức tính thời gian t (giờ) mà nhóm bạn đi hết quãng đường 60 km
theo vận tốc
(km/h) của xe là:

- Công thức tính quãng đường
(km) mà họ đi được sau (giờ) là:
- Công thức tính lượng xăng
(lít) tiêu thụ theo quãng đường đi được (km)
là:

- Công thức tính tổng số tiền xăng T (đồng) mà nhóm bạn phải trả theo lượng
xăng tiêu thụ (lít) là:
Nhận xét về mối quan hệ giữa các đại lượng trong từng công thức ở câu a (xét
trên từng câu).
Công thức : Thời gian () và vận tốc () có mối quan hệ tỉ lệ nghịch. Khi
vận tốc tăng, thời gian để đi hết quãng đường cố định sẽ giảm, và ngược lại.
Công thức : Quãng đường () và thời gian () có mối quan hệ tỉ lệ thuận.
Với vận tốc không đổi, khi thời gian di chuyển tăng lên, quãng đường đi được cũng
tăng lên theo một tỉ lệ cố định (hệ số tỉ lệ là 30 km/h).
Công thức : Lượng xăng tiêu thụ () và quãng đường đi được () có
mối quan hệ tỉ lệ thuận. Lượng xăng tiêu thụ tăng lên theo một tỉ lệ cố định với quãng
đường đi (hệ số tỉ lệ là lít/km).
Công thức : Tổng số tiền xăng (T) và lượng xăng tiêu thụ () có
mối quan hệ tỉ lệ thuận. Tổng số tiền phải trả tăng lên theo một giá cố định cho mỗi lít
xăng tiêu thụ (hệ số tỉ lệ là 25000 đồng/lít).
Trong các công thức ở câu a, công thức nào thể hiện mối quan hệ giữa hai đại
lượng tỉ lệ thuận? Giải thích tại sao em lại xác định như vậy.
Các công thức thể hiện mối quan hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận là:
: Quãng đường () tỉ lệ thuận với thời gian (). Giải thích: Khi thời gian
() tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần, quãng đường () cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu
lần. Tỉ số

luôn là một hằng số, .
51

54. : Lượng xăng tiêu thụ () tỉ lệ thuận với quãng đường đi được ().
Giải thích: Khi quãng đường () tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần, lượng xăng tiêu thụ (
) cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần. Tỉ số luôn là một hằng số, .
: Tổng số tiền xăng (T) tỉ lệ thuận với lượng xăng tiêu thụ (). Giải
thích: Khi lượng xăng tiêu thụ () tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần, tổng số tiền xăng
(T) cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần. Tỉ số luôn là một hằng số, .
- Xét công thức tính quãng đường theo thời gian với vận tốc cố định 30
km/h. Hãy lập một bảng giá trị thể hiện quãng đường đi được sau 0,5 giờ, 1 giờ, 1,5
giờ và 2 giờ. Quan sát bảng này, em có nhận xét gì về tỉ số ? Tỉ số này có ý nghĩa gì
trong chuyến đi của nhóm bạn?
Bảng 3.1: Bảng thể hiện mối quan hệ giữa quãng đường và thời gian
Thời gian (giờ)
Quãng đường
(km) Tỉ số
0,5
1
1,5
2
Nhận xét về tỉ số : Tỉ số trong tất cả các trường hợp trên đều bằng 30.
Ý nghĩa của tỉ số này: Tỉ số biểu thị vận tốc không đổi của xe máy
trong suốt chuyến đi. Nó cho thấy quãng đường đi được tỉ lệ thuận với thời gian di
chuyển, và hệ số tỉ lệ trong mối quan hệ này chính là vận tốc (30 km/h).
Nhận xét: Học sinh có thể trình bày được công thức, nhận xét về mối quan hệ
giữa các đại lượng tỉ lệ thuận và hệ số tỉ lệ sau khi thực hiện bài toán.
Dạng 2: Dạng toán tìm giá trị chưa biết: Biết một cặp giá trị tương ứng và một
giá trị của đại lượng này, tìm giá trị tương ứng của đại lượng kia
Bài toán 2: Một cửa hàng bán lẻ táo với giá 40000 đồng cho mỗi 3 kg. Hôm
nay, một khách hàng muốn mua 7,5 kg táo. Hỏi người khách hàng đó phải trả bao
nhiêu tiền?
Lời giải:
Gọi số tiền người khách hàng phải trả là đồng
52

55. Ta có tỉ lệ:
Vậy người khách hàng phải trả 100000 đồng
Nhận xét: Đây là dạng toán cơ bản nhất, thường được thiết lập tỉ lệ.
Dạng 3 : Dạng toán so sánh
Bài toán 3: Cửa hàng A bán 3 quyển vở giá 18000 đồng, cửa hàng B bán 5
quyển vở giá 25000 đồng. Nếu bạn muốn mua vở với giá rẻ nhất bạn nên mua ở cửa
hàng nào?
Lời giải:
Giá quyển vở ở cửa hàng A là: (đồng)
Giá quyển vở ở cửa hàng B là: (đồng)
So sánh:
Giá 1 quyển vở ở cửa hàng B (5000 đồng) rẻ hơn giá 1 quyển vở ở cửa hàng A
(6000 đồng). Vậy mua vở ở cửa hàng B lợi hơn
Nhận xét: Bài toán sẽ cho thông tin về hai tình huống tỉ lệ thuận khác nhau và
yêu cầu học sinh so sánh một đại lượng nào đó và rút ra kết luận
Dạng 4: Phát hiện tính chất về đại lượng tỉ lệ thuận
Bài toán 4: Cho hai đại lượng f và x liên hệ với nhau theo công thức f=2x.
Hãy cho biết đại lượng x có tỉ lệ thuận với đại lượng f hay không. Hệ số tỉ lệ là bao
nhiêu
Lời giải: Do f=2x nên x=
f
2
=
1
2
f
Do đó đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng f với hệ số tỉ lệ là
1
2

Bài toán 5: Mô hình hóa từ bảng số liệu
Cho biết giá trị tương ứng của hai đại lượng y và x tỉ lê thuận với nhau trong
bảng sau:
a) Hãy xác
định hệ số tỉ lệ
của y đối với x
b) Tính các
giá trị tương ứng chưa biết của y
c) So sánh các tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của y và x
y
1
x
1
,
y
2
x
2
,
y
3
x
3
,
y
4
x
4
Lời giải:
a) Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x và y
1
=2x
1, nên hệ số tỉ lệ của y đối với
x là 2.
53
x x
1
=1 x
2
=4 x
3
=7 x
4
=100
y y
1
=2 y
2
=? y
3
=? y
4
=?

56. b) Do hệ số tỉ lệ của y đối với x là 2 nên với x
2
=4 thì y
2
=2.4=8
Với x
3
=7 thì y
3
=2.7=14
Với x
4=100 thì y
4=2.100=200
c)
y
1
x
1
=
y
2
x
2
=
y
3
x
3
=
y
4
x
4
=2
Nhận xét: Học sinh được khám phá khái niệm để phát hiện hai tính chất của đại
lượng tỉ lệ thuận, đồng thời thực hành kỹ năng tính được giá trị của một đại lượng khi
biết giá trị tương ứng của đại lượng kia và hệ số tỉ lệ.
Bài toán 6: Một cửa hàng bán vải ghi lại số mét vải bán được và số tiền thu
được tương ứng trong một vài giao dịch như sau:
Số mét vải () 2 2,5 3 4
Số tiền ()
(nghìn đồng)
160 200 240 320
a) Hỏi số tiền thu được và số mét vải bán được có phải là hai đại lượng tỉ lệ
thuận không? Vì sao?
b) Tính tỉ số trong mỗi trường hợp. Nhận xét về các tỉ số này.
c) Nếu gọi là giá tiền một mét vải, hãy viết công thức tính số tiền thu được
(nghìn đồng) khi bán được mét vải.
d) Hôm nay, cửa hàng bán được 5,5 mét vải. Tính số tiền cửa hàng thu được.
e) Một người mua hết số vải trị giá 288 nghìn đồng. Tính số mét vải người đó
đã mua.
Lời giải:
a) Vì tỉ số giữa số tiền và số mét vải luôn bằng 80 (là một hằng số), nên số tiền
thu được và số mét vải bán được là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
b)
Tỉ số là một hằng số
c) Vì nên ta có công thức

Trong đó , chính là giá tiền một mét vải (80 nghìn đồng)
d) Áp dụng công thức , với :
Vậy số tiền thu được là 440 nghìn đồng
e) Áp dụng công thức , với , ta có:
54

57. Vậy người đó đã mua 3,6m vải.
Nhận xét: Qua đó, các em có thể nhận biết và định nghĩa đại lượng tỉ lệ thuận,
hiểu về hệ số tỉ lệ, nắm vững công thức biểu diễn mối quan hệ, và vận dụng tính chất
để giải quyết bài toán
Dạng 5: Dạng toán ứng dụng thực tế
Bài toán 7: Một cửa hàng bán tranh nghệ thuật có chương trình khuyến mãi:
Giá tiền mỗi bức tranh tỉ lệ thuận với diện tích của bức tranh đó.
Hình 3.1. Hình thể hiện kích thước các bức tranh
Bức tranh A có kích thước 30cm x 40cm và giá bán là 600 000 đồng.
Bức tranh B có kích thước 20cm x 30cm.
Bức tranh C có kích thước 25cm x 25cm.
Bức tranh D có kích thước 40cm x 50cm.
a) Tính giá bán của các bức tranh B, C, và D.
b) Nếu một khách hàng muốn mua một bức tranh có diện tích 1000cm², thì cửa
hàng nên bán với giá bao nhiêu?
Lời giải:
Đầu tiên, ta tính diện tích của các bức tranh:
- Diện tích tranh A: cm
2
-
Diện tích tranh B: cm
2
- Diện tích tranh C: cm²
- Diện tích tranh D: cm²
55

58. Vì giá tiền tỉ lệ thuận với diện tích, ta có thể lập tỉ lệ để tính giá của các tranh B,
C, và D:
Tranh B:
GiátranhB
DiệntíchtranhB
=
GiátranhA
DiệntíchtranhA
GiátranhB
600
=
600000
1200
Giá tranh B = (đồng)
Tương tự: Giá tranh C : 312 000 (đồng), giá tranh D: 1 000 000 (đồng)
Vậy, giá bán của các bức tranh là:
Tranh B: 300 000 đồng
Tranh C: 312 000 đồng
Tranh D: 1 000 000 đồng
b)Ta tiếp tục sử dụng tỉ lệ:
Giátranhcầntìm
Diệntíchtranhcầntìm
=
GiátranhA
DiệntíchtranhA
Giátranhcầntìm
1000
=
600000
1200
Giátranhcầntìm
là: (đồng)
Vậy, cửa hàng nên bán bức tranh có diện tích 1000cm² với giá 500.000 đồng.
Nhận xét: Bài toán đã cố gắng khai thác nhiều khía cạnh khác nhau của đại
lượng tỉ lệ thuận và tạo ra các tình huống học tập đa dạng, hấp dẫn, giúp học sinh nắm
vững kiến thức và phát triển các năng lực toán học quan trọng.
Bài toán 8: Bạn Lan muốn tổ chức một bữa tiệc sinh nhật tại nhà và dự định
làm bánh kem. Công thức làm bánh kem cho 10 người ăn như sau:
250g bột mì
5 quả trứng gà
200g đường
100ml sữa tươi
a) Hôm đó, có 15 người đến dự tiệc. Hỏi bạn Lan cần chuẩn bị bao nhiêu gam
bột mì, bao nhiêu quả trứng gà, bao nhiêu gam đường và bao nhiêu ml sữa tươi? (Giả
sử lượng nguyên liệu cần thiết tỉ lệ thuận với số người ăn).
b) Nếu bạn Lan chỉ có 400g bột mì, hỏi bạn có thể làm bánh cho tối đa bao
nhiêu người ăn?
c) Bạn Lan làm bánh theo đúng công thức cho 10 người. Sau khi nướng xong,
bạn muốn trang trí bánh bằng dâu tây. Biết rằng giá dâu tây là 80000 đồng/kg và bạn
Lan cần 0,5kg dâu tây để trang trí bánh. Hỏi tổng chi phí làm bánh (chưa tính các
56

59. nguyên liệu phụ khác) là bao nhiêu? Biết giá bột mì là 20000 đồng/kg, trứng gà là
3000 đồng/quả, đường là 15000 đồng/kg và sữa tươi là 25000 đồng/lít.
Lời giải:
a) Gọi lượng bột mì, trứng gà, đường và sữa tươi cần thiết cho 15 người lần lượt
là:
Vì lượng nguyên liệu tỉ lệ thuận với số người ăn, ta có các tỉ lệ sau:
(g)
(quả) (làm tròn thành 8 quả)
(g)
(ml)
Vậy bạn Lan cần chuẩn bị 375g bột mì, 8 quả trứng gà, 300g đường và 150ml
sữa tươi
b) Gọi số người ăn tối đa là
Ta có tỉ lệ : người
Vậy bạn Lan có thể làm bánh cho tối đa 16 người ăn.
c) Chi phí bột mì: đồng
Chi phí trứng gà: đồng
Chi phí đường: đồng
Chi phí sữa tươi: đồng
Chi phí dâu tây: đồng
Tổng chi phí: đồng
Vậy tổng chi phí làm bánh là 65500 đồng.
Bài toán 9: Một cửa hàng bán kem có chương trình khuyến mãi: Mua theo số
lượng lớn sẽ được giảm giá. Biết rằng nếu mua 5 cây kem, khách hàng phải trả 40000
đồng.
a) Viết công thức tính số tiền (T) (đồng) mà khách hàng phải trả khi mua ()
cây kem.
b) Nếu một nhóm bạn muốn mua 12 cây kem, họ phải trả bao nhiêu tiền?
Lời giải:
a) Gọi (T) là số tiền phải trả (đồng) và () là số cây kem mua.
Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số cây kem mua, ta có:
b) Nếu nhóm bạn mua 12 cây kem, ta thay vào công thức trên ta được
57

60. đồng

Bài toán 8 và bài toán 9 được xây dựng dựa trên các tình huống quen thuộc
trong cuộc sống hàng ngày, đòi hỏi học sinh vận dụng năng lực mô hình hóa toán học.
Cụ thể, học sinh cần chuyển đổi từ các vấn đề thực tế sang ngôn ngữ toán học (sử dụng
khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận), giải quyết chúng bằng các kỹ năng tính toán, và sau
đó diễn giải ý nghĩa của kết quả trong thực tế. Qua đó, học sinh có thể thấy được ứng
dụng của kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận trong việc lập kế hoạch chi tiêu cá nhân,
chẳng hạn như tính toán chi phí điện, nước, xăng xe, hoặc mua sắm thực phẩm.Ngoài
ra, kiến thức này còn giúp các em tính toán tỉ lệ các thành phần trong một hỗn hợp
(như bài toán ngâm chanh đào), hoặc quy đổi đơn vị tiền tệ khi đi du lịch, mua sắm
quốc tế.
Bài toán 10: Hai thanh chì có thể tích là 12cm
3
và 17 cm
3 
? Hỏi mỗi thanh chì
năng bao nhiêu gam biết rằng thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất 56,5g.
+ Gọi khối lượng của hai thanh chì lần lượt là m
1, m
2(m
1>0,m
2>0)
Vì khối lượng và thể tích của thanh chì là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau .
Nên
m
1
V
1
=
m
2
V
2⇒
m
1
12
=
m
2
17
và m
2
−m
1
=56,6
Áp dụng tính chât dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
m
1
12
=
m
2
17
=
m
2−m
1
17−12
=
56,6
5
=11,3
⇒
m
1
=12.11,3=135,6
⇒
m
2
=17.11,3=192,1
Vậy khối lượng của mỗi thanh chì là: 135,6g và 192,1g
Bài toán 11: Để pha một màu sơn đặc biệt, người họa sĩ trộn ba loại màu đỏ,
vàng và xanh theo tỉ lệ khối lượng là 3:2:1. Nếu người họa sĩ cần 600 gam sơn màu
này, hỏi cần bao nhiêu gam mỗi loại màu?
Lời giải:
Gọi khối lượng màu đỏ, màu vàng và màu xanh cần d
ùng lần lượt là
(gam)
Theo đề bài, khối lượng của ba loại màu tỉ lệ với 3:2:1, nên ta có:
Tổng khối lượng sơn màu đặc biệt cần pha là 600 gam, nên:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
58

61. Vậy để pha 600g sơn màu người họa sĩ cần:300g màu đỏ, 200g màu vàng, 100g
màu xanh.
Nhận xét: Với hai bài toán này, học sinh có cơ hội luyện tập và nâng cao trình độ
trong việc áp dụng các bước giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận đã được học.Hơn nữa,
việc tiếp cận các bài toán có nội dung khoa học sẽ giúp học sinh thấy được mối tương
quan mật thiết và tính ứng dụng rộng rãi của Toán học trong việc nghiên cứu các bộ
môn khoa học khác nhau.
Bài toán 12: Để hưởng ứng Ngày môi trường Thế giới, hai lớp 7A và 7B c
ùng
nhau trồng cây xanh xung quanh khuôn viên trường. Số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ
thuận với số lượng học sinh của lớp. Lớp 7A có 38 học sinh và lớp 7B có 42 học sinh.
Lớp 7A trồng được ít hơn lớp 7B 20 cây. Hỏi mỗi lớp đã trồng được bao nhiêu cây
xanh?
Lời giải:
Gọi số cây lớp 7A trồng được là x (cây), số cây lớp 7B trồng được là y (cây)
Hai lớp 7A và 7B trồng được số cây xanh tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp,
mà số học sinh của hai lớp lần lượt là 38 và 42 nên ta có:
x
38
=
y
42
Do lớp 7A trồng được ít hơn lớp 7B 20 cây nên y−x=20
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
38
=
y
42
=
y−x
42−38
=
20
4
=5
Khi đó:
x
38
=5 nên x=5.38=190

y
42
=5 nên y=5.42=210
Vậy lớp 7A trồng được 190 cây, lớp 7B trồng được 210 cây.
Bài toán 13: Lượng khí thải CO2 từ ba khu công nghiệp A, B và C của một tỉnh
trong năm 2024 tỉ lệ với các số 15, 23 và 18. Theo báo cáo tổng kết, tổng lượng khí
thải CO2 của cả ba khu công nghiệp trong năm đó là 5600 tấn.
a. Hãy tính lượng khí thải CO2 của mỗi khu công nghiệp A, B và C trong năm
2024.
b. Theo em, việc gia tăng lượng khí thải CO2 gây ra những hậu quả gì cho môi
trường và đời sống con người? Em nghĩ chính quyền địa phương và các khu công
nghiệp cần có những biện pháp gì để giảm thiểu lượng khí thải này?
Lời giải:
a.Gọi lượng khí thải CO
2 của khu công nghiệp A, B và C trong năm 2023 lần
lượt là
Theo đề bài, lượng khí thải CO
2 tỉ lệ với 15, 23 và 18, nên ta có tỉ lệ:
Tổng lượng khí thải CO
2 của cả ba khu công nghiệp là 5600 tấn, nên ta có
phương trình:
59

62. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Vậy: Lượng khí thải CO2 của mỗi khu công nghiệp A, B và C thải ra trong năm
2024 lần lượt là 1500 tấn, 2300 tấn, 1800 tấn.
b. Việc gia tăng lượng khí thải CO2 gây ra nhiều hậu quả nghiêm trọng cho môi
trường và đời sống con người, bao gồm: biến đổi khí hậu, ô nhiễm không khí, mưa
axit, ảnh hưởng đến đa dạng sinh học,…
Để giảm thiểu lượng khí thải CO2, chính quyền địa phương và các khu công
nghiệp cần có những biện pháp sau: quản lý chặt chẽ bằng quy định và kiểm soát xả
thải, hỗ trợ công nghệ xanh và năng lượng tái tạo, đồng thời đầu tư vào các nguồn
năng lượng sạch và tăng cường kiểm tra, xử phạt vi phạm. Bên cạnh đó,các khu công
nghiệp, cần đầu tư công nghệ xử lý khí thải, sử dụng năng lượng tiết kiệm và tái tạo,
tối ưu hóa quy trình sản xuất, đánh giá khí thải định kỳ, hợp tác trong các chương trình
giảm phát thải và nâng cao trách nhiệm bảo vệ môi trường.
Nhận xét: Bài toán này không chỉ rèn luyện kỹ năng giải bài toán tỉ lệ mà còn
giúp học sinh liên hệ kiến thức toán học với một vấn đề môi trường thực tế, từ đó nâng
cao ý thức bảo vệ môi trường cho học sinh.Đây cũng chính là ý nghĩa mà năng lực mô
hình hóa toán học mang lại cho mỗi học sinh.
Dạng 6: Dạng toán liên quan đến đồ thị
Bài toán 14: Một chiếc xe đạp di chuyển với vận tốc không đổi là 10 km/giờ.
Hãy vẽ đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa thời gian di chuyển (giờ) và quãng đường đi
được (km). Nhận xét về đặc điểm của đồ thị.
Lời giải:
Gọi thời gian di chuyển là (giờ), quãng đường đi được là (km)
Công thức biểu diễn

0 1
0 10
Cặp điểm (0;0) (1;10)
60

63. Đồ thị:
Hình 3.2. Đồ thị hàm số
Đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ
Nhận xét: Ngay cả với các giá trị nhỏ, đồ thị vẫn thể hiện rõ ràng tính chất của
đại lượng tỉ lệ thuận: một đường thẳng bắt đầu từ điểm (0, 0) và có độ dốc ổn định.
Điều này giúp chúng ta dễ dàng quan sát và hiểu được mối liên hệ trực quan giữa thời
gian và quãng đường trong trường hợp vận tốc không đổi. Ví dụ, nhìn vào đồ thị, ta có
thể nhanh chóng biết được sau 2 giờ xe đạp đi được 20 km.
Dạng 7: Dạng toán có nhiều đại lượng tỉ lệ
Bài toán 15: Một người đầu tư một số tiền vào ngân hàng với lãi suất cố định
hàng năm. Số tiền lãi thu được tỉ lệ thuận với số tiền đầu tư ban đầu và thời gian gửi
tiền (tính bằng năm). Nếu người đó đầu tư 10 triệu đồng trong 2 năm và thu được số
tiền lãi là 1 triệu đồng, thì người đó sẽ thu được bao nhiêu tiền lãi nếu đầu tư 15 triệu
đồng trong 3 năm với c
ùng mức lãi suất?
Lời giải:
Số tiền lãi: L (triệu đồng)
Số tiền đầu tư ban đầu: T (triệu đồng)
Thời gian gửi tiền là t (năm)
Ta có công thức biểu diễn:
Trường hợp đầu:
L1=1 triệu đồng, T1=10 triệu đồng, t1=2 năm, thay các giá trị vào công thức:
Trường hợp thứ hai:
T2=15 triệu đồng, t2=3 năm,
Thay các giá trị vào công thức:
61

64. Nếu người đó đầu tư 15 triệu đồng trong 3 năm với c
ùng mức lãi suất, họ sẽ thu
được số tiền lãi là 2250000 đồng.
Nhận xét: Dạng toán tỉ lệ thuận kép mở rộng khái niệm tỉ lệ thuận cho trường
hợp có từ ba đại lượng trở lên. Điểm đặc trưng là một đại lượng sẽ thay đổi theo tích
của các đại lượng còn lại, và mối quan hệ này được chi phối bởi một hệ số tỉ lệ chung
không đổi. Dạng toán này thường xuất hiện trong các bài toán thực tế phức tạp hơn,
nơi một kết quả không chỉ phụ thuộc vào một yếu tố duy nhất mà là sự kết hợp của
nhiều yếu tố, ví dụ như tính toán lãi suất dựa trên số tiền và thời gian, hay năng suất
lao động phụ thuộc vào số người và thời gian làm việc. Do tính phức tạp, dạng toán
này thường được tiếp cận sau khi học sinh đã nắm vững kiến thức về tỉ lệ thuận giữa
hai đại lượng.
Dạng 8: Dạng toán tìm điều kiện để có tỉ lệ thuận
Bài toán 16: Một người đi xe đạp với vận tốc thay đổi trên một quãng đường.
Hỏi điều gì phải xảy ra với vận tốc để quãng đường đi được tỉ lệ thuận với thời gian di
chuyển?
Lời giải:
Gọilà quãng đuờng đi được, là thời gian di chuyển, là vận tốc của xe đạp
Chúng ta biết công thức liên hệ:
Để quãng đường (
) tỉ lệ thuận với thời gian (), theo định nghĩa, phải tồn tại
một hằng số (hệ số tỉ lệ) sao cho:
So sánh hai phương trình trên ( và ), chúng ta thấy rằng để mối
quan hệ giữa quãng đường và thời gian là tỉ lệ thuận, thì vận tốc () phải đóng vai trò
của hằng số tỉ lệ ()
Điều này có nghĩa là vận tốc của người đi xe đạp không được thay đổi trong
suốt quá trình di chuyển
Nhận xét: Dạng toán tìm điều kiện cho tỉ lệ thuận tập trung vào việc xác định
yếu tố không đổi cần thiết để hai đại lượng có mối quan hệ . Nó nhấn mạnh bản
chất của tỉ lệ thuận là sự tồn tại của một hệ số tỉ lệ cố định. Dạng toán này rèn luyện
tư duy phân tích, giúp học sinh hiểu rõ điều kiện để mối quan hệ tỉ lệ tồn tại trong thực
tế, không chỉ đơn thuần là áp dụng công thức.
Dạng 9: Dạng toán kết hợp với các kiến thức khác
Bài toán 16: Kết hợp với phần trăm
Một cửa hàng thông báo chương trình khuyến mãi: giảm giá 15% cho tất cả các
mặt hàng. Nếu giá niêm yết của một chiếc áo là 200000 đồng, hỏi giá sau khi giảm là
bao nhiêu? Giá sau khi giảm tỉ lệ thuận với giá niêm yết ban đầu như thế nào? Tìm hệ
số tỉ lệ.
Lời giải:
Mức giảm giá: đồng
Giá sau khi giảm: đồng
Gọi giá niêm yết là (đồng) và giá sau khi giảm là (đồng)
Mức giảm giá là:
Giá sau khi giảm là:
62

65. Vậy giá sau khi giảm tỉ lệ thuận với giá niêm yết ban đầu theo hệ số tỉ lệ 0,85
Bài toán 17: Kết hợp với phân số
Trong một lớp học, số học sinh nam bằng số học sinh nữ. Nếu tổng số học
sinh của lớp là 40 em, hãy tìm số học sinh nam và số học sinh nữ. Số học sinh nam và
số học sinh nữ có tỉ lệ thuận với nhau không?
Lời giải:
Gọi số học sinh nam là (học sinh) và số học sinh nữ là (học sinh)
Ta có:
và
Số học sinh nam: 40 - 25 =15
Vậy số học sinh nữ là 25 (học sinh), học sinh nam là 15 (học sinh) và số học
sinh nam tỉ lệ thuận với số học sinh nữ theo hệ số tỉ lệ
Bài toán 18: Kết hợp với kiến thức hình học
Một hình vuông có cạnh là cm. Nếu cạnh của hình vuông tăng lên gấp đôi,
hỏi chu vi của hình vuông mới gấp mấy lần chu vi của hình vuông ban đầu? Chu vi
của hình vuông có tỉ lệ thuận với độ dài cạnh của nó không?
Lờigải:
Cạnh hình vuông ban đầu là : (cm)
Chu vi hình vuông ban đầu:Pban đầu=(cm)
Cạnh hình vuông mới:(cm)
Chu vi hình vuông mới:Pmới=(cm)
P
mới
P
banđầu
=
8a
4a
=2
Vậy chu vi hình vuông mới gấp 2 lần chu vi hình ban đầu
Chu vi hình vuông tỉ lệ thuận với độ dài cạnh của nó, với hệ số tỉ lệ là 4
Nhận xét: Các bài toán kết hợp kiến thức là một phần quan trọng trong việc phát
triển năng lực toán học toàn diện cho học sinh. Nó không chỉ củng cố kiến thức về tỉ lệ
thuận mà còn rèn luyện tư duy, khả năng vận dụng và liên kết kiến thức, đồng thời làm
cho toán học trở nên ý nghĩa và gần gũi hơn với thế giới thực.
3.1.4. Phát triển tư duy phản biện và khả năng giải quyết vấn đề
Để bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học một cách sâu sắc, việc chú trọng
phát triển tư duy phản biện và khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh khi tiếp cận nội
dung đại lượng tỉ lệ thuận là vô c
ùng quan trọng. Thay vì chỉ truyền đạt kiến thức một
chiều và yêu cầu áp dụng công thức máy móc, giáo viên cần tạo ra môi trường học tập
kích thích sự khám phá, phân tích và đánh giá của học sinh.
63

66. Một trong những biện pháp hiệu quả là đặt câu hỏi gợi mở. Những câu hỏi "tại
sao?", "nếu...thì sao?", "có cách nào khác không?" khuyến khích học sinh suy nghĩ đa
chiều, đào sâu bản chất của mối quan hệ tỉ lệ thuận và các yếu tố ảnh hưởng đến nó.
Điều này giúp học sinh không chỉ tìm ra đáp số mà còn hiểu được cơ sở lý luận và các
giả định đằng sau mô hình toán học.
Bên cạnh đó, việc tạo tình huống có vấn đề đóng vai trò then chốt. Các bài toán
không hoàn toàn rõ ràng, chứa đựng yếu tố bất ngờ hoặc đòi hỏi học sinh phải tự thu
thập và suy luận thông tin sẽ thúc đẩy khả năng phân tích, xác định vấn đề cốt lõi và
đưa ra các giả định hợp lý để xây dựng mô hình. Quá trình này rèn luyện cho học sinh
kỹ năng đối diện với những tình huống phức tạp trong thực tế.
Việc khuyến khích nhiều cách giải khác nhau cũng là một yếu tố quan trọng.
Khi học sinh được tự do thử nghiệm và trình bày các phương pháp tiếp cận khác nhau
cho c
ùng một bài toán, họ sẽ phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo và học hỏi được
nhiều góc nhìn. Thảo luận và so sánh các cách giải giúp học sinh đánh giá được ưu
nhược điểm của từng mô hình và lựa chọn phương pháp tối ưu.
Cuối c
ùng,
đánh giá quá trình mô hình hóa cần được ưu tiên hơn là chỉ chú
trọng vào kết quả cuối c
ùng. Giáo viên cần theo dõi và đánh giá cách học sinh phân
tích bài toán, thiết lập mô hình, giải quyết và kiểm tra tính hợp lý của nó. Việc này
khuyến khích học sinh tập trung vào việc hiểu sâu sắc và phát triển kỹ năng tư duy,
đồng thời cung cấp phản hồi chi tiết để họ có thể cải thiện trong những lần mô hình
hóa sau.
Tóm lại, việc tích hợp các biện pháp phát triển tư duy phản biện và khả năng
giải quyết vấn đề vào quá trình dạy học đại lượng tỉ lệ thuận không chỉ giúp học sinh
nắm vững kiến thức mà còn trang bị cho họ những kỹ năng tư duy bậc cao, có giá trị
bền vững trong suốt quá trình học tập và cuộc sống.
3.1.5. Khuyến khích học sinh trình bày và bảo vệ mô hình của mình
Một yếu tố then chốt trong việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho
học sinh, đặc biệt khi học về đại lượng tỉ lệ thuận, chính là khả năng trình bày và bảo
vệ mô hình mà các em đã xây dựng. Việc này không chỉ củng cố kiến thức cá nhân mà
còn thúc đẩy tư duy phản biện, kỹ năng giao tiếp khoa học và khả năng hợp tác trong
môi trường học tập.
Thuyết trình là một công cụ mạnh mẽ để học sinh chia sẻ quá trình tư duy của
mình. Khi đứng trước lớp, các em buộc phải sắp xếp ý tưởng một cách logic, diễn đạt
rõ ràng cách phân tích bài toán, lựa chọn và xây dựng mô hình tỉ lệ thuận, thực hiện
các bước giải và đánh giá tính hợp lý của kết quả. Quá trình chuẩn bị và trình bày giúp
học sinh khắc sâu kiến thức, rèn luyện sự tự tin và khả năng truyền đạt thông tin một
cách hiệu quả.
Tiếp theo, việc tạo cơ hội cho biện luận đóng vai trò quan trọng trong việc phát
triển tư duy phản biện. Một môi trường học tập mà ở đó học sinh được khuyến khích
đặt câu hỏi, đưa ra nhận xét và phản biện các mô hình của bạn bè sẽ kích thích các em
suy nghĩ sâu sắc hơn về tính chính xác, tính hợp lý và những hạn chế của từng cách
tiếp cận. Giáo viên đóng vai trò là người điều phối, khuyến khích các cuộc thảo luận
mang tính xây dựng và yêu cầu học sinh giải thích logic cho những ý kiến của mình.
Qua đó, các em học được cách đánh giá thông tin một cách khách quan và xây dựng
lập luận chặt chẽ.
64

67. Cuối c
ùng,
viết báo cáo là một hình thức củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ
năng diễn đạt một cách hệ thống. Một báo cáo chi tiết về quá trình mô hình hóa, bao
gồm mô tả bài toán, phân tích biến, xây dựng mô hình, các bước giải và đánh giá kết
quả, giúp học sinh nhìn nhận lại toàn bộ quá trình tư duy của mình. Việc này không
chỉ giúp các em hệ thống hóa kiến thức mà còn phát triển khả năng tự học, tự đánh giá
và tạo ra một sản phẩm học tập có giá trị.
Tóm lại, việc khuyến khích học sinh trình bày và bảo vệ mô hình toán học về
đại lượng tỉ lệ thuận thông qua thuyết trình, biện luận và viết báo cáo là những biện
pháp sư phạm hiệu quả. Chúng không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về tỉ lệ
thuận mà còn phát triển những kỹ năng mềm quan trọng, chuẩn bị cho các em trở
thành những người học chủ động và có khả năng giải quyết vấn đề sáng tạo trong
tương lai.
3.1.6. Xây dựng môi trường học tập hợp tác và hỗ trợ
Trong hành trình giáo dục, việc tạo ra một môi trường học tập tích cực, nơi sự
hợp tác và hỗ trợ được đặt lên hàng đầu, đóng vai trò then chốt trong việc bồi dưỡng
năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh, đặc biệt là khi các em khám phá thế giới
của đại lượng tỉ lệ thuận. Một môi trường như vậy không chỉ khơi dậy tiềm năng của
mỗi cá nhân mà còn thúc đẩy sự phát triển toàn diện của cả tập thể.
Giao nhiệm vụ theo nhóm là một biện pháp sư phạm hiệu quả để khuyến khích
sự hợp tác. Khi làm việc c
ùng nhau, học sinh có cơ hội chia sẻ những góc nhìn khác
nhau, tranh luận về các phương pháp tiếp cận và học hỏi lẫn nhau. Những bài toán mô
hình hóa phức tạp về đại lượng tỉ lệ thuận trở nên dễ dàng hơn khi được "chia nhỏ" và
giải quyết bởi sức mạnh tập thể. Quá trình này không chỉ củng cố kiến thức mà còn rèn
luyện kỹ năng làm việc nhóm, một hành trang quan trọng cho tương lai của các em.
Tuy nhiên, sự hợp tác không đồng nghĩa với việc bỏ qua sự khác biệt cá nhân.
Hỗ trợ cá nhân hóa là yếu tố không thể thiếu để đảm bảo mọi học sinh đều có cơ hội
phát triển tối đa năng lực của mình. Giáo viên cần nhạy bén nhận biết nhu cầu và khả
năng riêng của từng em, từ đó đưa ra những sự giúp đỡ kịp thời và ph
ù hợp. Những
học sinh gặp khó khăn có thể cần những gợi ý cụ thể hơn, trong khi những em có năng
lực tốt có thể được thử thách bằng những bài toán nâng cao hơn. Sự quan tâm và hỗ
trợ cá nhân hóa giúp xây dựng sự tự tin và giảm thiểu cảm giác bị bỏ lại phía sau.
Cuối c
ùng, việc
xây dựng cộng đồng học tập tạo ra một không gian an toàn và
thoải mái, nơi học sinh cảm thấy tự tin chia sẻ ý tưởng, đặt câu hỏi và học hỏi lẫn nhau
mà không sợ sự phán xét. Một môi trường như vậy khuyến khích sự tương tác cởi mở
giữa học sinh với giáo viên và giữa các học sinh với nhau. Những buổi thảo luận nhóm
sôi nổi, những diễn đàn học tập trực tuyến (nếu có) và những hoạt động chia sẻ kết quả
mô hình hóa sẽ tạo ra một mạng lưới hỗ trợ lẫn nhau, nơi kiến thức được xây dựng và
củng cố thông qua sự chia sẻ và trao đổi.
Việc tạo ra một môi trường học tập hợp tác và hỗ trợ không chỉ giúp học sinh
nắm vững kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận mà còn phát triển những kỹ năng xã hội
quan trọng và xây dựng một tinh thần học tập tích cực. Khi các em cảm thấy được kết
nối, được hỗ trợ và được khuyến khích chia sẻ, năng lực mô hình hóa toán học của các
em sẽ được nuôi dưỡng và phát triển một cách bền vững.
3.1.7. Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học
Trong bối cảnh chuyển đổi số mạnh mẽ, việc tích hợp công nghệ thông tin vào
quá trình dạy và học toán học, đặc biệt là nội dung đại lượng tỉ lệ thuận, mang đến
65

68. những cơ hội to lớn để nâng cao hiệu quả và sự hứng thú của học sinh. Công nghệ
thông tin không chỉ là công cụ hỗ trợ mà còn là một môi trường học tập tương tác, trực
quan, giúp học sinh khám phá và xây dựng hiểu biết sâu sắc về các khái niệm toán
học.
Phần mềm mô phỏng mở ra một không gian trực quan, nơi các mối quan hệ tỉ lệ
thuận trở nên hữu hình và dễ nắm bắt. Thay vì những con số và phép tính khô khan,
học sinh có thể tương tác với các mô hình động, quan sát sự thay đổi đồng thời của các
đại lượng và nhận ra quy luật tỉ lệ một cách tự nhiên. Ví dụ, các em có thể điều chỉnh
số lượng sản phẩm và thấy ngay sự thay đổi tương ứng của tổng chi phí, hay theo dõi
sự tăng trưởng của một đại lượng theo thời gian với một tốc độ không đổi. Sự trực
quan này giúp xây dựng nền tảng trực giác vững chắc về khái niệm tỉ lệ thuận.
Công cụ vẽ đồ thị trực tuyến cung cấp một phương tiện mạnh mẽ để biểu diễn
và phân tích mối quan hệ tỉ lệ thuận dưới dạng đồ thị. Với giao diện thân thiện, học
sinh dễ dàng nhập dữ liệu hoặc hàm số và nhận được hình ảnh trực quan của đường
thẳng đi qua gốc tọa độ. Việc này không chỉ củng cố kỹ năng biểu diễn hàm số mà còn
giúp các em hiểu rõ ý nghĩa của hệ số tỉ lệ như là độ dốc của đường thẳng, mối liên hệ
giữa công thức và hình ảnh trở nên rõ ràng hơn bao giờ hết.
Các ứng dụng học tập tương tác mang đến một trải nghiệm học tập sinh động và
cá nhân hóa. Thông qua các bài tập đa dạng, từ trắc nghiệm đến giải quyết vấn đề ảo,
học sinh được khuyến khích tham gia tích cực vào quá trình học tập. Phản hồi tức thì
từ ứng dụng giúp các em tự đánh giá và điều chỉnh hiểu biết của mình. Bên cạnh đó,
yếu tố trò chơi hóa trong nhiều ứng dụng còn tạo thêm động lực và sự hứng thú, biến
việc học toán trở thành một hành trình khám phá hấp dẫn.
Việc khai thác hiệu quả sức mạnh của công nghệ thông tin trong dạy và học đại
lượng tỉ lệ thuận không chỉ giúp học sinh tiếp cận kiến thức một cách trực quan và
tương tác mà còn phát triển năng lực mô hình hóa toán học một cách toàn diện. Tuy
nhiên, vai trò của người giáo viên vẫn là then chốt trong việc định hướng, khuyến
khích tư duy phản biện và kết nối những trải nghiệm công nghệ với sự hiểu biết sâu
sắc về bản chất toán học. Công nghệ thông tin là một công cụ mạnh mẽ, nhưng sự
hướng dẫn và truyền cảm hứng từ người thầy mới là yếu tố quyết định sự thành công
trong quá trình học tập của học sinh.
3.1.8. Đánh giá quá trình và sản phẩm mô hình hóa
Trong quá trình dạy và học nội dung đại lượng tỉ lệ thuận, việc đánh giá đóng
vai trò then chốt trong việc theo dõi sự tiến bộ của học sinh và điều chỉnh phương pháp
giảng dạy của giáo viên. Tuy nhiên, việc đánh giá không chỉ dừng lại ở kết quả cuối
c
ùng mà cần tập trung vào cả quá trình tư duy và sản phẩm mà học sinh tạo ra trong
quá trình mô hình hóa toán học.
Đánh giá quá trình là việc chú trọng theo dõi và ghi nhận cách học sinh tiếp cận
một bài toán cụ thể. Điều này bao gồm cách các em phân tích tình huống, xác định các
đại lượng liên quan, nhận diện mối quan hệ tỉ lệ thuận (nếu có) và lựa chọn phương
pháp xây dựng mô hình. Việc quan sát cách học sinh đặt câu hỏi, thảo luận trong
nhóm, thử nghiệm các ý tưởng và giải quyết các khó khăn ban đầu sẽ cung cấp những
thông tin quý giá về mức độ hiểu biết sâu sắc và kỹ năng tư duy của các em. Đánh giá
quá trình giúp giáo viên nhận diện sớm những vướng mắc của học sinh để có sự hỗ trợ
kịp thời và điều chỉnh phương pháp giảng dạy cho ph
ù hợp.
66

69. Bên cạnh việc đánh giá quá trình, việc đánh giá sản phẩm mô hình hóa cũng vô
c
ùng quan trọng. Sản phẩm ở đây có thể là công thức toán học mà học sinh xây dựng,
biểu đồ minh họa mối quan hệ tỉ lệ, bài trình bày trước lớp hoặc báo cáo chi tiết về quá
trình giải quyết vấn đề. Khi đánh giá sản phẩm, giáo viên cần xem xét nhiều khía cạnh,
bao gồm tính chính xác của mô hình (về mặt toán học), tính ph
ù hợp của mô hình với
tình huống thực tế được đưa ra và tính sáng tạo trong cách học sinh tiếp cận và giải
quyết vấn đề. Một mô hình sáng tạo và ph
ù hợp cho thấy sự hiểu biết sâu sắc và khả
năng vận dụng linh hoạt kiến thức của học sinh.
Để đảm bảo tính khách quan và minh bạch trong quá trình đánh giá, việc sử
dụng bảng đánh giá là một công cụ hữu ích. Bảng đánh giá cung cấp một bộ các tiêu
chí đánh giá rõ ràng và chi tiết, mô tả các mức độ khác nhau của thành tích cho từng
khía cạnh của quá trình và sản phẩm mô hình hóa. Việc sử dụng bảng đánh giá giúp
học sinh hiểu rõ những kỳ vọng của giáo viên và tự định hướng quá trình học tập của
mình, đồng thời giúp giáo viên đưa ra những phản hồi cụ thể và mang tính xây dựng.
Việc đánh giá toàn diện cả quá trình và sản phẩm mô hình hóa đại lượng tỉ lệ
thuận, dựa trên các tiêu chí rõ ràng là một yếu tố then chốt để phát triển năng lực tư
duy toán học sâu sắc và bền vững cho học sinh. Cách tiếp cận đánh giá này không chỉ
đo lường kiến thức mà còn khuyến khích sự sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề và
tinh thần học tập chủ động ở học sinh.
3.2. Giới thiệu về thực nghiệm sư phạm
Mục đích thực nghiệm: Thực nghiệm này được tiến hành nhằm kiểm chứng tính
khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã được thiết kế trong Chương 2 trong
việc thúc đẩy quá trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học ở học sinh lớp 7 khi
học về "Đại lượng tỉ lệ thuận". Mục tiêu chính là đánh giá xem các biện pháp này có
tạo điều kiện cho học sinh trải qua các giai đoạn của quá trình mô hình hóa một cách
hiệu quả hay không, từ việc xác định vấn đề thực tế, xây dựng mô hình toán học (ví
dụ: lập công thức, thiết lập tỉ lệ), giải quyết bài toán trong mô hình, đến việc diễn giải
và đánh giá kết quả. Đồng thời, thực nghiệm cũng quan tâm đến sự thay đổi trong
nhận thức, thái độ và mức độ tham gia của học sinh đối với môn học.
Đối tượng thực nghiệm:
- Thực nghiệm được tiến hành với học sinh lớp 7/2 tại Trường THCS Long
Thạnh. Lớp được chia thành hai nhóm:
+ Nhóm 1 (nhóm thực nghiệm): Gồm 5 học sinh được dạy theo các biện
pháp sư phạm đã đề xuất trong Chương 2.
+ Nhóm 2 (nhóm đối chứng): Gồm 5 học sinh được dạy theo phương pháp
dạy học truyền thống.
Việc chia nhóm được thực hiện ngẫu nhiên để đảm bảo tính khách quan và
tương đương về mặt trình độ học tập ban đầu giữa hai nhóm.
Nội dung thực nghiệm:
Trong quá trình thực nghiệm, cả hai nhóm học sinh đều được học về chủ đề
"Đại lượng tỉ lệ thuận" theo chương trình Toán 7 hiện hành. Tuy nhiên, phương pháp
dạy học có sự khác biệt:
- Nhóm 1 (thực nghiệm): Được dạy theo các biện pháp dạy học tích cực, hướng
đến phát triển năng lực mô hình hóa toán học, bao gồm:
+ Tổ chức dạy học thông qua giải quyết bài toán thực tiễn.
+ Hướng dẫn học sinh thiết lập quy trình mô hình hóa.
67

70. +Tổ chức các hoạt động thực hành, trải nghiệm.
+ Sử dụng đa dạng các hình thức dạy học
- Nhóm 2 (đối chứng): Được dạy theo phương pháp dạy học truyền thống, chủ
yếu là giáo viên giảng giải và học sinh làm bài tập trong sách giáo khoa.
Sau khi dạy nhóm 1 theo các biện pháp dạy học tích cực theo hướng phát triển
năng lực mô hình hóa, cả hai nhóm đều được yêu cầu làm c
ùng một bài kiểm tra gồm
hai bài toán thực tiễn có tính mô hình hóa, thuộc nội dung đại lượng tỉ lệ thuận.
“ Bài toán 1: Một bạn sinh viên làm thêm tại một quán cà phê. Quán trả lương
theo giờ và số tiền bạn nhận được tỉ lệ thuận với số giờ làm việc. Tuần vừa rồi, bạn
làm 10 giờ và nhận được 250 000 đồng.
Yêu cầu:
a) Viết công thức biểu diễn mối quan hệ giữa số tiền bạn sinh viên nhận được
(đồng) và số giờ làm việc (giờ). Xác định mức lương theo giờ của bạn sinh viên (hệ số
tỉ lệ).
b) Tuần này bạn sinh viên làm được 15 giờ, hãy tính tổng số tiền bạn ấy sẽ nhận
được.
c) Tháng này bạn sinh viên muốn kiếm được 1 500000 đồng từ công việc làm
thêm này. Hỏi bạn ấy cần làm bao nhiêu giờ trong tháng? (Giả sử mức lương theo giờ
không thay đổi).
Bài toán 2: Bạn sử dụng một ứng dụng gọi xe công nghệ để di chuyển trong
thành phố Bạc Liêu. Ứng dụng này thông báo rằng giá cước của chuyến đi tỉ lệ thuận
với quãng đường di chuyển.
Trong một chuyến đi từ nhà bạn đến một quán cà phê cách đó 5 km, bạn phải
trả 35 000 đồng (chưa bao gồm các phụ phí khác nếu có).
Yêu cầu:
a) Hãy thiết lập một công thức toán học biểu diễn mối quan hệ giữa chi phí
chuyến đi (đồng) và quãng đường di chuyển (km). Xác định hệ số tỉ lệ trong mối quan
hệ này và cho biết ý nghĩa thực tế của nó trong bối cảnh này.
b) Nếu bạn muốn đi từ nhà đến siêu thị, cách nhà bạn khoảng 12 km theo ứng
dụng, hãy dự đoán chi phí cho chuyến đi này (chưa bao gồm phụ phí).
c) Hôm qua, bạn đã di chuyển bằng ứng dụng này và tổng chi phí (chưa bao
gồm phụ phí) là 63 000 đồng. Hãy tính quãng đường bạn đã đi trong ngày hôm đó.
d) Bạn đang cân nhắc giữa việc đi xe công nghệ đến một trung tâm mua sắm
cách nhà 8 km hoặc đi xe buýt với giá vé cố định là 7 000 đồng. Dựa trên mô hình chi
phí xe công nghệ của bạn, hãy tính toán chi phí ước tính khi đi xe công nghệ và so
sánh với giá vé xe buýt. Bạn sẽ đưa ra lựa chọn nào nếu chỉ xét đến yếu tố chi phí di
chuyển?
e) Trong thực tế, giá cước xe công nghệ có thể bị ảnh hưởng bởi nhiều yếu tố
khác ngoài quãng đường (ví dụ: thời điểm đặt xe, mật độ giao thông, loại hình dịch
vụ,...). Mô hình tỉ lệ thuận của chúng ta có phản ánh đầy đủ những yếu tố này không?
Hãy giải thích ngắn gọn.”
Phương pháp thực nghiệm:
- Thiết kế thực nghiệm: Thực nghiệm này sử dụng thiết kế thực nghiệm so sánh.
Theo thiết kế này, năng lực mô hình hóa toán học của học sinh ở cả hai nhóm được
đánh giá sau khi thực hiện các biện pháp dạy học. Sự khác biệt trong kết quả giữa hai
nhóm sau khi thực nghiệm sẽ cho thấy hiệu quả của các biện pháp dạy học mới.
68

71. - Các bước tiến hành:
Bước 1: Chuẩn bị
+ Lựa chọn lớp và chia nhóm học sinh
+ Xây dựng kế hoạch bài dạy chi tiết cho cả hai nhóm
+ Chuẩn bị các công cụ đánh giá: Thiết kế bài kiểm tra để đánh giá năng lực
mô hình hóa toán học của học sinh sau khi thực nghiệm. Bài kiểm tra này được xây
dựng dựa trên các dạng bài tập điển hình của chủ đề "Đại lượng tỉ lệ thuận" và được
thiết kế để đánh giá các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học (khả năng thiết lập
mô hình toán học, giải quyết vấn đề, đánh giá tính hợp lý của kết quả)
Bước 2: Tiến hành dạy học
+ Thực hiện các tiết học theo kế hoạch đã xây dựng cho từng nhóm.
+ Ở nhóm thực nghiệm, chú trọng áp dụng các biện pháp dạy học tích cực.
+ Ở nhóm đối chứng, thực hiện dạy học theo phương pháp truyền thống.
+ Quan sát và ghi chép tỉ mỉ về quá trình học tập của học sinh ở cả hai nhóm.
Bước 3: Đánh giá
+ Tổ chức bài kiểm tra cho cả hai nhóm sau khi kết thúc quá trình dạy học
(kiểm tra sau).
+ Thu thập và chấm điểm bài kiểm tra.
Bước 4: Phân tích và kết luận
+ Sử dụng các phương pháp thống kê để phân tích kết quả kiểm tra (tính
điểm trung bình, độ lệch chuẩn giữa hai nhóm).
+ Rút ra kết luận về tính hiệu quả của các biện pháp dạy học trong việc phát
triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh.
Công cụ đánh giá:
Công cụ đánh giá được sử dụng trong thực nghiệm này là:
- Bài kiểm tra sau: Bài kiểm tra này được thiết kế để đánh giá năng lực mô hình
hóa toán học của học sinh. Các bài tập trong đề kiểm tra yêu cầu học sinh thực hiện
các hoạt động như:
+ Nhận biết và mô tả mối quan hệ tỉ lệ thuận trong các tình huống khác nhau.
+ Thiết lập công thức và tỉ lệ thức để giải quyết bài toán.
+ Giải quyết các bài toán có nội dung thực tế liên quan đến đại lượng tỉ lệ
thuận.
+ Phân tích và đánh giá tính hợp lý của kết quả.
Để đánh giá hiệu quả của quá trình thực nghiệm, tôi đã sử dụng kết hợp định
lượng và định tính:
- Định lượng: Qua kết quả bài kiểm tra cuối mỗi đợt dạy học, học sinh được
đánh giá theo thang 6 cấp độ mô hình hóa (từ 0 đến 5).
- Định tính: Thông qua quan sát hoạt động lớp học, ghi chú tương tác nhóm,
phỏng vấn nhanh học sinh.
Thang đánh giá năng lực mô hình hóa toán học:
Dựa trên các nghiên cứu trước (Blum & Leiß, 2007; Kaiser & Stillman, 2009),
quá trình mô hình hóa toán học được phân thành 6 cấp độ:
Cấp độ Mô tả năng lực
0 Không hiểu tình huống.
1 Hiểu tình huống nhưng chưa kết nối được với nội dung toán học.
2 Xây dựng được mô hình thực tiễn nhưng không chuyển hóa được sang mô
69

72. hình toán.
3
Mô hình hóa thành bài toán toán học nhưng giải chưa chính xác hoặc chưa
đầy đủ.
4 Giải đúng mô hình toán học.
5
Diễn giải kết quả, kiểm nghiệm và điều chỉnh mô hình ph
ù hợp với thực
tiễn.
3.2.1. Thực nghiệm 1
Học sinh nhóm 1 được dạy theo các biện pháp sư phạm đã đề xuất trong
Chương 2 và yêu cầu giải quyết các tình huống thực tiễn thông qua quy trình 4 bước
mô hình hóa toán học bao gồm:
Bước 1: Lập mô hình mô phỏng thực tiễn
Bước 2: Thiết lập mô hình toán học
Bước 3: Giải bài toán đã được thiết lập ở Bước 2
Bước 4: Đối chiếu, kiểm nghiệm kết quả trong thực tiễn
Trong quá trình triển khai quy trình 4 bước mô hình hóa toán học cho học sinh
lớp 7 (nhóm thực nghiệm), giáo viên sẽ bắt đầu mỗi hoạt động bằng cách giới thiệu
một tình huống thực tế có ý nghĩa. Mục tiêu là khơi gợi sự tò mò và tạo động lực để
học sinh chủ động phát hiện vấn đề cần giải quyết.
Trong quá trình học tập, học sinh được khuyến khích nêu giả thuyết, đưa ra mô
hình, lựa chọn hướng giải, giải thích và đánh giá kết quả.
Giáo viên giữ vai trò điều phối, gợi mở và hỗ trợ khi cần, tránh can thiệp sớm
vào quá trình học tập của học sinh.
3.2.2. Thực nghiệm 2
Học sinh nhóm 2 vẫn học c
ùng nội dung toán học, nhưng được dạy theo
phương pháp truyền thống: giáo viên trình bày bài toán mẫu, học sinh thực hành theo
hướng dẫn, không tổ chức hoạt động mô hình hóa hay tình huống thực tiễn.
3.3. Kết quả thực nghiệm
a) Kết quả tổng quát
Bảng 3.2: Bảng điểm học sinh nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
STT Mã học sinh Nhóm Điểm kiểm
tra
1 A1 TN 9,3
2 A2 TN 9,3
3 A3 TN 10
4 A4 TN 6,3
5 A5 TN 9,3
6 B1 ĐC 7,5
7 B2 ĐC 4,5
8 B3 ĐC 7,8
9 B4 ĐC 2,8
10 B5 ĐC 9,5
Bảng 3.3: Bảng tỉ lệ các cấp độ của học sinh nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
Nhóm Số học sinhTrung bìnhHọc sinh đạtHọc sinh ởHọc sinh ở
70

73. điểm kiểm
tra
cấp độ 0-1
(%)
cấp độ 2-3
(%)
cấp độ
4-5 (%)
Nhóm 1 (Thực
nghiệm)
5 8,8 0/5 (0%) 1/5 (20%)4/5 (80%)
Nhóm 2 (Đối
chứng)
5 6,4 1/5 (20%)3/5 (60%)1/5 (20%)
Phân tích chi tiết:
Kết quả thực nghiệm cho thấy rằng nội dung và phương pháp thực nghiệm được
áp dụng có vẻ hiệu quả trong việc nâng cao kết quả học tập của học sinh về chủ đề 'Đại
lượng tỉ lệ thuận'. Cụ thể, qua quá trình thực nghiệm, học sinh đã thể hiện sự tiến bộ rõ
rệt trong việc nắm vững các kiến thức cơ bản như định nghĩa, tính chất, và công thức
của đại lượng tỉ lệ thuận, cũng như trong việc vận dụng các kiến thức này để giải quyết
các dạng bài tập khác nhau, từ các bài tập cơ bản đến các bài toán thực tế.
So sánh điểm trung bình: Điểm trung bình của nhóm 1 (thực nghiệm là) 8,8,
trong khi điểm trung bình của nhóm 2 (đối chứng) là 6,4. Nhóm thực nghiệm có điểm
trung bình cao hơn nhóm đối chứng là 2,4 điểm. Điều này cho thấy rằng các biện pháp
dạy học tích cực được áp dụng cho nhóm thực nghiệm có thể đã giúp học sinh hiểu sâu
hơn về các khái niệm và vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế tốt hơn
so với phương pháp dạy học truyền thống. Phân tích chi tiết cho thấy, học sinh nhóm
thực nghiệm có xu hướng làm tốt hơn ở các câu hỏi yêu cầu vận dụng kiến thức để giải
quyết bài toán thực tế, đặc biệt là các bài toán có nhiều bước và đòi hỏi khả năng phân
tích, lựa chọn thông tin. Đây có thể là do các hoạt động thực hành, trải nghiệm và làm
việc nhóm đã giúp các em hiểu sâu hơn về bản chất của mối quan hệ tỉ lệ thuận và biết
cách áp dụng vào các tình huống cụ thể
Tỉ lệ học sinh đạt cấp độ cao (cấp độ 4-5). Nhóm thực nghiệm cho thấy hiệu
quả vượt trội khi có tới 80% học sinh có khả năng mô hình hóa đầy đủ, từ việc xây
dựng mô hình đến giải bài toán và kiểm nghiệm kết quả, có xu hướng đạt được các cấp
độ mô hình hóa cao hơn so với học sinh nhóm đối chứng. Trong khi đó, tỉ lệ này ở
nhóm đối chứng chỉ đạt 20%. Điều này cho thấy rằng phương pháp dạy học truyền
thống có thể chưa tối ưu trong việc phát triển toàn diện năng lực mô hình hóa cho học
sinh.
Tỉ lệ học sinh đạt cấp độ trung bình (cấp độ 2-3): Nhóm đối chứng có tỉ lệ học
sinh ở cấp độ 2-3 cao hơn đáng kể (60% so với 20% của nhóm thực nghiệm), cho thấy
học sinh có khả năng bước đầu trong việc thiết lập mô hình toán học, nhưng còn hạn
chế trong kỹ năng giải toán và lập luận.
Tỉ lệ học sinh ở cấp độ thấp (cấp độ 0–1): Tỷ lệ học sinh nhóm đối chứng dừng
lại ở các cấp độ thấp (không hiểu tình huống, không chuyển hóa được thành mô hình
toán học) chiếm tới 20%, trong khi nhóm thực nghiệm là 0%. Điều này phản ánh rõ rệt
hiệu quả của phương pháp dạy học định hướng mô hình hóa trong việc giúp học sinh
tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn
Đánh giá độ phân tán: Độ lệch chuẩn của nhóm thực nghiệm là 1,3, cho thấy
điểm số của nhóm này có mức độ phân tán tương đối thấp, tức là các em có trình độ
tương đối đồng đều. Độ lệch chuẩn của nhóm đối chứng là 2,4, cho thấy điểm số của
nhóm này có mức độ phân tán cao hơn, tức là có sự chênh lệch lớn hơn giữa các em về
khả năng làm bài. Sự khác biệt về độ lệch chuẩn cho thấy rằng phương pháp dạy học
71

74. tích cực có thể đã giúp thu hẹp khoảng cách về trình độ giữa các em trong nhóm thực
nghiệm, trong khi phương pháp truyền thống có thể dẫn đến sự phân hóa lớn hơn.
b) Phân tích kết quả theo cấp độ mô hình hóa
Bảng 3.4: Các cấp độ của năng lực mô hình hóa và số học sinh đạt được ở từng nhóm
Cấp
độ
Mô tả năng lực mô hình hóaSố HS đạt được
(nhóm 1)
Số HS đạt được
(nhóm 2)
0Không hiểu tình huống thực tiễn, không
khởi động mô hình
0 0
1Hiểu tình huống nhưng không kết nối
được với yếu tố toán học
0 1
2Phân tích được thực tế nhưng chưa thiết
lập được mô hình toán học
0 1
3Thiết lập được mô hình nhưng giải chưa
rõ ràng hoặc sai sót
1 2
4Giải đúng mô hình toán học 2 1
5Kiểm nghiệm và diễn giải kết quả trong
thực tiễn
2 0
Cấp độ 0 Cấp độ 1 Cấp độ 2 Cấp độ 3 Cấp độ 4 Cấp độ 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0 0
1
2 2
0
1 1
2
1
0
So sánh học sinh theo cấp độ mô hình hóa
giữa Nhóm 1 và Nhóm 2
Nhóm 1Nhóm 2
Biểu đồ 3.1: Biểu đồ so sánh học sinh theo cấp độ mô hình hóa Nhóm 1 và Nhóm 2
Phân bố cấp độ mô hình hóa: Nhóm 1 có sự phân bố tập trung hơn ở các cấp độ
cao. Phần lớn học sinh đạt cấp độ 4 hoặc 5, cho thấy khả năng tốt trong việc giải quyết
và ứng dụng mô hình toán học. Khi đó nhóm 2 có sự phân bố rộng hơn trên các cấp
độ, với một số học sinh ở các cấp độ thấp (1 và 2) và không có học sinh nào ở cấp độ
cao nhất (5). Điều này cho thấy sự đa dạng trong năng lực mô hình hóa của nhóm,
nhưng cũng cho thấy có một bộ phận học sinh cần được hỗ trợ nhiều hơn.
Năng lực thiết lập mô hình: Cả hai nhóm đều có học sinh ở cấp độ 3, cho thấy
một số học sinh gặp khó khăn trong việc thiết lập mô hình một cách rõ ràng và chính
xác. Tuy nhiên, nhóm 2 có thêm học sinh ở cấp độ 1 và 2, cho thấy khó khăn trong
việc kết nối tình huống thực tế với toán học là một vấn đề lớn hơn ở nhóm này.
72

75. Năng lực giải quyết mô hình: Cả hai nhóm đều có học sinh đạt cấp độ 4, cho
thấy khả năng giải quyết mô hình toán học ở mức độ nhất định. Tuy nhiên, số lượng
học sinh đạt cấp độ này ở Nhóm 1 nhiều hơn (2 so với 1), cho thấy Nhóm 1 có năng
lực giải quyết mô hình tốt hơn.
Năng lực ứng dụng mô hình vào thực tế: Đây là điểm khác biệt lớn nhất giữa
hai nhóm. Nhóm 1 có học sinh đạt cấp độ 5, cho thấy khả năng kiểm nghiệm và diễn
giải kết quả toán học trong ngữ cảnh thực tế. Trong khi đó, nhóm 2 không có học sinh
nào đạt cấp độ này, cho thấy đây là một nội dung cần được cải thiện.
Nhìn chung nhóm 1 thể hiện năng lực mô hình hóa tốt hơn nhóm 2. Nhóm này
có sự phân bố tập trung ở các cấp độ cao hơn, cho thấy khả năng tốt hơn trong việc
giải quyết và ứng dụng mô hình toán học. Nhóm 2 cần được hỗ trợ nhiều hơn để cải
thiện năng lực mô hình hóa, đặc biệt là trong việc kết nối tình huống thực tế với toán
học, thiết lập mô hình và ứng dụng kết quả vào thực tế.
c) Đánh giá định tính
Dựa trên những quan sát và đánh giá về mức độ hứng thú, chủ động, tương tác
nhóm, năng lực mô hình hóa, khả năng vận dụng kiến thức và năng lực đánh giá kết
quả, có thể thấy rõ sự khác biệt đáng kể giữa nhóm thực nghiệm (nhóm 1) và nhóm đối
chứng (nhóm 2). Nhóm thực nghiệm, với việc tiếp cận các bài toán thực tiễn, đã cho
thấy những tín hiệu tích cực và vượt trội hơn hẳn so với nhóm đối chứng, nhóm vẫn
duy trì phương pháp học tập truyền thống.
Nhóm thực nghiệm (nhóm 1):
Nhóm 1 thể hiện một môi trường học tập năng động và đầy hứng thú. Việc tiếp
xúc với các bài toán thực tiễn đã khơi gợi sự tò mò và chủ động khám phá ở các em.
Các em không ngần ngại đặt câu hỏi, đưa ra những phán đoán ban đầu và tích cực trao
đổi, tranh luận với bạn bè và giáo viên ngay từ giai đoạn khởi động. Sự tương tác
nhóm diễn ra sôi nổi, cho thấy khả năng hợp tác và chia sẻ ý tưởng hiệu quả.
Đáng chú ý, nhóm này bộc lộ năng lực mô hình hóa đáng khích lệ. Các em có
khả năng trình bày ý tưởng một cách logic, sử dụng ngôn ngữ toán học để biểu diễn
tình huống và kết hợp nhuần nhuyễn giữa lý luận toán học với các lập luận từ thực tế.
Điều này cho thấy các em không chỉ đơn thuần giải toán mà còn hiểu sâu sắc bản chất
của vấn đề.
73

76. Hình 3.3. Bài làm của học sinh A1 đạt 9,3 điểm
Khả năng vận dụng kiến thức của học sinh nhóm 1 cũng rất linh hoạt. Các em
tự tin đối mặt với những tình huống mới, chủ động sử dụng kiến thức đã học để tìm ra
giải pháp mà không hoàn toàn phụ thuộc vào sự hướng dẫn trực tiếp từ giáo viên. Hơn
thế nữa, các em không dừng lại ở việc tìm ra đáp số mà còn có ý thức kiểm tra, đánh
giá tính hợp lý của kết quả và sẵn sàng điều chỉnh mô hình nếu cần thiết, cho thấy một
tư duy phản biện và khả năng tự học cao.
Hình 3.4. Bài làm của
học sinh A3 đạt 10 điểm
Nhóm Đối Chứng (nhóm 2):
Trái ngược với sự năng động của nhóm thực nghiệm, nhóm 2 cho thấy một bức
tranh học tập tĩnh lặng và thụ động hơn. Các em tiếp cận bài học theo lối mòn quen
thuộc, ít thể hiện sự tò mò hay chủ động khám phá. Phần lớn thời gian trên lớp, các em
chủ yếu lắng nghe và ghi chép một cách thụ động.
Sự tương tác trong lớp chủ yếu diễn ra một chiều, với giáo viên là trung tâm đặt
câu hỏi và học sinh trả lời ngắn gọn. Thiếu vắng những cuộc tranh luận sôi nổi hay sự
phát triển ý tưởng sâu hơn. Điều này hạn chế cơ hội để các em rèn luyện kỹ năng tư
duy phản biện và hợp tác.
74

77. Năng lực mô hình hóa của nhóm đối chứng còn nhiều hạn chế. Các em gặp khó
khăn trong việc hiểu và chuyển hóa tình huống thực tế thành ngôn ngữ toán học,
thường xuyên yêu cầu sự gợi ý và hướng dẫn cụ thể từ giáo viên. Việc kết hợp ngôn
ngữ toán học với lập luận thực tiễn trong quá trình giải thích và trình bày cũng là một
thách thức lớn đối với các em.
Hình 3.5. Bài làm của học sinh B2 đạt 4,5 điểm
Khả năng vận dụng kiến thức của học sinh nhóm 2 tỏ ra kém linh hoạt khi đối
diện với những tình huống mới. Các em có xu hướng chờ đợi sự chỉ dẫn từ giáo viên
thay vì tự mình tìm cách giải quyết vấn đề. Cuối c
ùng, năng lực đánh giá kết quả cũng
chưa được chú trọng. Các em ít có thói quen kiểm tra lại đáp số hay xem xét tính ph
ù
hợp của lời giải với thực tế, thường dừng lại ngay sau khi tìm được kết quả số học.
Hình 3.6. Bài làm học sinh B1 đạt 7,5 điểm
Sự so sánh rõ ràng cho thấy việc đưa các biện pháp tích cực vào giảng dạy đã
mang lại những hiệu quả tích cực đối với nhóm thực nghiệm (nhóm 1). Các em không
chỉ trở nên hứng thú và chủ động hơn trong học tập mà còn phát triển mạnh mẽ các
năng lực quan trọng như tương tác nhóm, mô hình hóa, vận dụng kiến thức và đánh giá
75

78. kết quả. Ngược lại, nhóm đối chứng (nhóm 2) vẫn duy trì lối học tập thụ động và gặp
nhiều khó khăn trong việc kết nối toán học với thực tế, cũng như phát triển các kỹ
năng tư duy bậc cao. Điều này gợi ý về tiềm năng to lớn của việc đổi mới phương
pháp giảng dạy theo hướng gắn liền với thực tiễn, nhằm nâng cao chất lượng học tập
và phát triển toàn diện cho học sinh.
3.4. Kết luận Chương 3
Chương 3 đã đề xuất một loạt các chiến lược sư phạm cụ thể và thiết thực,
được thiết kế để khơi dậy sự hứng thú và thúc đẩy sự tham gia tích cực của học sinh
vào quá trình học tập. Trong số đó, việc tổ chức dạy học thông qua giải quyết các bài
toán thực tiễn nổi lên như một phương pháp chủ đạo, giúp học sinh thấy được sự kết
nối mật thiết giữa toán học và cuộc sống hàng ngày, đồng thời phát triển khả năng tư
duy linh hoạt và sáng tạo. Bên cạnh đó, việc hướng dẫn học sinh từng bước thiết lập và
tuân theo một quy trình mô hình hóa rõ ràng và có hệ thống cũng được coi là một yếu
tố then chốt, giúp các em xây dựng nền tảng vững chắc cho việc giải quyết các vấn đề
phức tạp hơn trong tương lai, không chỉ trong toán học mà còn trong các lĩnh vực
khác.
Các biện pháp sư phạm được đề xuất trong chương này đều có chung một mục
tiêu là tạo ra một môi trường học tập mà ở đó học sinh không còn là những người tiếp
nhận kiến thức một cách thụ động, mà trở thành những người học chủ động, tích cực
tham gia vào quá trình khám phá và xây dựng kiến thức. Việc khuyến khích học sinh
đặt câu hỏi, nêu ý kiến, làm việc nhóm và sử dụng các công cụ hỗ trợ như công nghệ
thông tin được xem là những yếu tố quan trọng để tạo ra một bầu không khí học tập
cởi mở, sáng tạo và đầy cảm hứng.Chương 3 đã trình bày một cách có hệ thống quá
trình thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của
các biện pháp dạy học được đề xuất trong Chương 2. Mục tiêu cốt lõi của thực nghiệm
là đánh giá xem liệu các biện pháp này có thực sự thúc đẩy sự phát triển năng lực mô
hình hóa toán học ở học sinh lớp 7 trong quá trình học tập chủ đề "Đại lượng tỉ lệ
thuận" hay không.
Thực nghiệm được thiết kế theo mô hình so sánh, chia học sinh lớp 7/2 thành
hai nhóm: nhóm thực nghiệm (Nhóm 1), được giảng dạy theo các biện pháp dạy học
tích cực và nhóm đối chứng (Nhóm 2), tiếp cận nội dung bằng phương pháp truyền
thống. Việc chia nhóm ngẫu nhiên được thực hiện để đảm bảo tính khách quan và sự
tương đồng về trình độ đầu vào giữa hai nhóm.
Kết quả thực nghiệm được thu thập và phân tích cả về mặt định lượng (thông
qua điểm số bài kiểm tra) và định tính (thông qua quan sát lớp học, tương tác nhóm và
phỏng vấn học sinh). Phân tích dữ liệu cho thấy những khác biệt đáng kể giữa hai
nhóm, đặc biệt là ở các khía cạnh sau:
- Hiệu quả học tập: Nhóm thực nghiệm đạt điểm trung bình cao hơn đáng kể so
với nhóm đối chứng, cho thấy các biện pháp dạy học mới có tác động tích cực đến kết
quả học tập.
- Năng lực mô hình hóa: Học sinh nhóm thực nghiệm thể hiện khả năng mô
hình hóa toán học tốt hơn, với tỷ lệ học sinh đạt các cấp độ mô hình hóa cao hơn (cấp
độ 4-5) cao hơn hẳn so với nhóm đối chứng. Điều này chứng tỏ các biện pháp mới
giúp học sinh phát triển khả năng chuyển đổi tình huống thực tế sang mô hình toán
học, giải quyết vấn đề và đánh giá kết quả.
76

79. - Thái độ học tập và tư duy toán học: Nhóm thực nghiệm cho thấy sự thay đổi
tích cực trong thái độ học tập, với học sinh chủ động hơn, tích cực tham gia vào các
hoạt động học tập và phát triển tư duy phản biện, sáng tạo.
- Khả năng ứng dụng toán học: Học sinh nhóm thực nghiệm có khả năng vận
dụng kiến thức toán học để giải quyết các bài toán thực tế tốt hơn, cho thấy sự kết nối
giữa toán học và đời sống được tăng cường.
Những kết quả này khẳng định tính khả thi và hiệu quả của việc áp dụng các
biện pháp dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học trong chủ đề "Đại lượng tỉ
lệ thuận" ở lớp 7. Thực nghiệm cung cấp bằng chứng cho thấy phương pháp dạy học
mới không chỉ cải thiện kết quả học tập mà còn góp phần phát triển toàn diện các năng
lực toán học và kỹ năng cần thiết cho học sinh.
77

80. KẾT LUẬN
1. Kết luận chung
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho
học sinh trong dạy học đại lượng tỉ lệ thuận ở lớp 7" đã tập trung vào mục tiêu nghiên
cứu và đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao năng lực mô hình hoá toán học
cho học sinh trong quá trình dạy và học nội dung về đại lượng tỉ lệ thuận.
Trong quá trình nghiên cứu, khóa luận đã làm rõ bản chất và vai trò của mô
hình hóa toán học trong dạy học Toán, coi đó không chỉ là một phương pháp mà còn là
một năng lực quan trọng giúp học sinh kết nối toán học với thực tiễn. Khóa luận cũng
đã xác định các thành tố và biểu hiện cụ thể của năng lực mô hình hóa toán học, giúp
giáo viên có cơ sở để đánh giá và phát triển năng lực này cho học sinh.
Trong quá trình nghiên cứu, khóa luận đã phân tích chủ đề "Đại lượng tỉ lệ
thuận" và chỉ ra rằng chủ đề này có nhiều tiềm năng để phát triển năng lực mô hình
hóa toán học cho học sinh. Các thành tố và biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán
học cũng được xác định và phân tích, tạo cơ sở cho việc xây dựng các hoạt động dạy
học ph
ù hợp. Khóa luận cũng chỉ ra rằng chủ đề "Đại lượng tỉ lệ thuận" cung cấp nhiều
cơ hội để phát triển năng lực mô hình hóa thông qua các tình huống thực tế và các hoạt
động học tập đa dạng.
Kết quả chính của khóa luận là việc đề xuất một hệ thống các biện pháp dạy học
cụ thể và chi tiết, có tính khả thi và hiệu quả, nhằm thúc đẩy quá trình mô hình hóa
toán học ở học sinh. Các biện pháp này bao gồm việc tổ chức dạy học thông qua giải
quyết bài toán thực tiễn, hướng dẫn học sinh thiết lập quy trình mô hình hóa, tổ chức
các hoạt động thực hành và trải nghiệm, cũng như sử dụng các hình thức dạy học đa
dạng và linh hoạt.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành đã cung cấp bằng chứng thực tế về hiệu
quả của các biện pháp đề xuất. Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy rằng việc áp
dụng các biện pháp dạy học được đề xuất có tác động tích cực đến sự phát triển năng
lực mô hình hóa toán học của học sinh. Học sinh không chỉ nắm vững kiến thức về đại
lượng tỉ lệ thuận mà còn có khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết các bài toán
thực tế, đồng thời phát triển các kỹ năng tư duy quan trọng khác.
Tóm lại, khóa luận đã đạt được các mục tiêu nghiên cứu đề ra và góp phần vào
việc nghiên cứu và ứng dụng mô hình hóa toán học trong dạy học Toán ở trường trung
học cơ sở. Các kết quả và đề xuất của khóa luận có thể là nguồn tham khảo hữu ích
cho giáo viên và các nhà quản lý giáo dục trong việc nâng cao chất lượng dạy và học
Toán.
2. Một số đề xuất
Kết quả thực nghiệm sư phạm và phân tích định tính đã cho thấy tiềm năng to
lớn của việc áp dụng các biện pháp dạy học tích cực, hướng đến phát triển năng lực
mô hình hóa toán học, trong việc nâng cao hiệu quả học tập và tạo ra sự thay đổi tích
cực trong thái độ và hành vi học tập của học sinh. Để phát huy tối đa những lợi ích này
và góp phần vào việc đổi mới dạy học Toán ở trường trung học cơ sở, khóa luận xin đề
xuất một số biện pháp sư phạm cụ thể sau:
- Tăng cường sử dụng bài toán thực tiễn có tính mở và đa dạng
Một trong những rào cản lớn nhất đối với việc phát triển năng lực mô hình hóa
toán học ở học sinh là sự thiếu vắng các bài toán thực tiễn có tính mở và đa dạng trong
78

81. quá trình dạy học. Để khắc phục tình trạng này, giáo viên cần chủ động tìm kiếm, xây
dựng và đưa vào bài giảng các tình huống, vấn đề có ý nghĩa thực tế cao, gần gũi với
kinh nghiệm sống, mối quan tâm và các môn học khác của học sinh. Điều này không
chỉ tạo ra động lực học tập mạnh mẽ mà còn giúp học sinh nhận thức rõ hơn về vai trò
và ứng dụng của toán học trong cuộc sống.
Bên cạnh đó, các bài toán nên được thiết kế với tính mở, tức là không chỉ có
một đáp án hoặc một cách giải duy nhất. Thay vào đó, giáo viên cần khuyến khích học
sinh được tự do khám phá, tìm tòi, sáng tạo và đưa ra nhiều phương án giải quyết khác
nhau, thậm chí là những phương án độc đáo và chưa từng được nghĩ đến trước đó.
Cách tiếp cận này không chỉ phát huy tính tích cực và chủ động của học sinh mà còn
rèn luyện khả năng tư duy linh hoạt, phản biện và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách
sáng tạo.
Để làm phong phú thêm trải nghiệm học tập của học sinh, cần đa dạng hóa các
loại hình bài toán mô hình hóa. Bên cạnh các bài toán truyền thống về tính toán và suy
luận, giáo viên nên tích cực khai thác các bài toán về ước lượng, dự đoán, thiết kế, ra
quyết định, tối ưu hóa, và các bài toán có yếu tố khám phá, điều tra. Mỗi loại hình bài
toán này đều mang đến những thách thức và cơ hội học tập riêng, giúp học sinh phát
triển các khía cạnh khác nhau của năng lực mô hình hóa.
- Chú trọng vào quá trình mô hình hóa hơn là chỉ tập trung vào kết quả
Trong dạy học Toán, việc quá chú trọng vào đáp số đúng có thể khiến học sinh
bỏ qua những khía cạnh quan trọng của quá trình tư duy và giải quyết vấn đề. Để phát
triển năng lực mô hình hóa một cách hiệu quả, giáo viên cần chuyển trọng tâm từ việc
kiểm tra kết quả sang việc hướng dẫn và đánh giá quá trình mô hình hóa của học sinh.
Điều này có nghĩa là giáo viên cần tạo điều kiện và hướng dẫn học sinh trải qua
đầy đủ và có ý thức các bước của quá trình mô hình hóa toán học, từ việc xác định và
phân tích vấn đề thực tế, xây dựng mô hình toán học (bao gồm việc xác định các biến,
các mối quan hệ và các ràng buộc), giải quyết bài toán trong mô hình, đến việc kiểm
tra, đánh giá và điều chỉnh mô hình nếu cần thiết.
Trong suốt quá trình này, giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn và hỗ trợ,
khuyến khích học sinh đưa ra nhiều ý tưởng, cách tiếp cận và giải pháp khác nhau,
thảo luận và so sánh các phương án, đồng thời tạo cơ hội và không gian để học sinh tự
đánh giá và điều chỉnh mô hình của mình, biến quá trình mô hình hóa thành một quá
trình khám phá và học hỏi chủ động.
Việc đánh giá của giáo viên cũng cần phản ánh sự thay đổi trong cách tiếp cận
dạy học. Thay vì chỉ đơn thuần chấm điểm đáp số cuối c
ùng, giáo viên cần xem xét và
đánh giá quá trình tư duy, lập luận, khả năng vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết
vấn đề của học sinh. Sự sáng tạo, linh hoạt và hiệu quả trong cách tiếp cận và giải
quyết vấn đề của học sinh cũng cần được ghi nhận và đánh giá cao.
- Tăng cường các hoạt động hợp tác và giao tiếp trong lớp học
Học tập không chỉ là một quá trình cá nhân mà còn là một hoạt động xã hội. Để
phát triển năng lực mô hình hóa toán học một cách toàn diện, cần tạo ra một môi
trường học tập hợp tác và khuyến khích giao tiếp tích cực giữa học sinh với nhau và
giữa học sinh với giáo viên.
Để đạt được điều này, giáo viên nên tổ chức các hoạt động làm việc nhóm,
trong đó học sinh c
ùng nhau phân tích tình huống, xác định vấn đề, xây dựng mô hình,
giải quyết bài toán và trình bày kết quả. Việc phân công nhiệm vụ rõ ràng và tạo điều
79

82. kiện để mọi thành viên trong nhóm đều được tham gia tích cực là điều cần thiết để
đảm bảo tính công bằng và hiệu quả của hoạt động nhóm.
Trong suốt quá trình làm việc nhóm, giáo viên cần khuyến khích học sinh chia
sẻ ý tưởng, đặt câu hỏi, phản biện, tranh luận, giải thích, chứng minh và xây dựng lập
luận. Điều này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về vấn đề đang được giải
quyết mà còn tạo ra một môi trường học tập tương tác, cởi mở, tôn trọng và khuyến
khích sự đa dạng trong cách suy nghĩ.
Để phát triển kỹ năng giao tiếp toán học, giáo viên cần tạo cơ hội và không gian
để học sinh trình bày và bảo vệ mô hình của mình trước lớp. Đồng thời, giáo viên cũng
cần hướng dẫn học sinh cách lắng nghe, tiếp thu và phản hồi một cách tích cực các ý
kiến đóng góp, nhận xét từ bạn bè và giáo viên.
- Chú trọng đến việc kết nối toán học với các lĩnh vực khác
Toán học không phải là một môn học độc lập mà có mối liên hệ mật thiết với
nhiều lĩnh vực khác trong cuộc sống. Để giúp học sinh nhận thức rõ hơn về điều này
và phát triển khả năng ứng dụng toán học, cần chú trọng đến việc kết nối toán học với
các môn học khác và các vấn đề thực tiễn.
Để thực hiện điều này, giáo viên có thể sử dụng các bài toán và ví dụ minh họa
có liên quan đến các môn học khác (Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý, Kinh tế, Tin
học...) hoặc các vấn đề trong thực tế đời sống (xã hội, môi trường, công nghệ...). Việc
này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về các khái niệm toán học mà còn giúp
các em thấy được tính ứng dụng rộng rãi của toán học trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Bên cạnh đó, giáo viên cũng nên khuyến khích học sinh tìm kiếm và khám phá
các ứng dụng của toán học trong các lĩnh vực mà các em quan tâm hoặc có dự định
theo đuổi trong tương lai. Điều này tạo ra sự kết nối giữa toán học và sở thích, đam mê
cá nhân, từ đó tăng cường động lực học tập và giúp học sinh định hướng nghề nghiệp.
Để phát triển khả năng vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề
phức tạp, giáo viên có thể tổ chức các dự án học tập liên môn. Trong các dự án này,
học sinh được vận dụng kiến thức toán học và kiến thức từ các lĩnh vực khác để giải
quyết các vấn đề thực tiễn, đòi hỏi sự kết hợp kiến thức và kỹ năng từ nhiều nguồn
khác nhau.
Việc triển khai các biện pháp sư phạm được đề xuất đòi hỏi sự thay đổi trong
cách tiếp cận dạy và học toán của giáo viên, từ việc truyền thụ kiến thức một chiều
sang việc tạo điều kiện cho học sinh được khám phá, trải nghiệm và xây dựng kiến
thức một cách chủ động. Tuy nhiên, những nỗ lực này là hoàn toàn xứng đáng, bởi
chúng không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học mà còn phát triển năng
lực mô hình hóa và các kỹ năng tư duy quan trọng khác, chuẩn bị cho các em hành
trang vững chắc để thành công trong học tập, công việc và cuộc sống.
3. Hướng phát triển của đề tài
Khóa luận này đã đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực
mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 7 trong dạy học đại lượng tỉ lệ thuận. Để tiếp
tục nghiên cứu và mở rộng đề tài này, ta có thể xem xét đến hướng phát triển chủ yếu
là mở rộng phạm vi nghiên cứu. Cụ thể, các biện pháp đề xuất có thể được áp dụng
cho các chủ đề toán học khác ở lớp 7 hoặc các lớp khác trong chương trình THCS để
đánh giá tính phổ quát và hiệu quả của chúng trong các bối cảnh khác nhau. Điều này
sẽ góp phần xây dựng một hệ thống các biện pháp dạy học toàn diện và hiệu quả hơn,
80

83. không chỉ cho chủ đề đại lượng tỉ lệ thuận mà còn cho toàn bộ chương trình toán học
THCS.
81

84. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Nguyễn Thị Tân An (2014), Sử dụng toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu
biết định lượng của học sinh lớp 10, Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
2.Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán.
3.Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán,
Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT.
4.Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018a), Chương trình giáo dục phổ thông và chương
trình tổng thể, Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT.
5.Cao Thị Hà, Nguyễn Xuân Dung (2023), Phát triển năng lực mô hình hóa cho học
sinh trong dạy học Hàm số ở lớp 10 trung học phổ thông, Tạp chí Khoa học Giáo
dục Việt Nam, Tập 19, Số 03, 21-27.
6.B
ùi Anh Kiệt, Trần Văn Quân (2024),
Vận dụng quy trình mô hình hóa toán học
trong dạy học nội dung “Hệ thức lượng trong tam giác” (Toán 10), Tạp chí Giáo
dục (2024).
7.Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu và Hồ Ngọc Đại (2005), Giáo dục học hiện đại,
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
8.Nguyễn Bá Kim (2016), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Giáo dục
Việt Nam.
9.Hà Huy Khoái, Nguyễn Huy Đoan, Cung Thế Anh, Nguyễn Cao Cường, Trần
Mạnh Cường, Doãn Minh Cường, Trần Phương Dung, Sĩ Đức Quang, Lưu Bá
Thắng, Đặng H
ùng Thắng (2021),
Toán 7 (Tập 2) – Kết nối tri thức, Nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam.
10.Nguyễn Danh Nam (2015), Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán ở trường
phổ thông, Tạp chí Khoa học Giáo dục Việt Nam, Số 3/2015, 1-10.
11.Nguyễn Ái Quốc và Nguyễn Vũ Quỳnh Như (2024), Phát triển năng lực mô hình
hóa toán học cho học sinh trong dạy học giải bài toán thực tiễn (Toán 10), Tạp
chí Khoa học Giáo dục Việt Nam (2024), 22-27.
12.Hoàng Phương Quỳnh (2020), Phát triển năng lực mô hình hoá toán học trong
dạy học đại số 7 chủ đề “ Đại lượng tỉ lệ thuận , Tạp chí Khoa học Giáo dục Việt
Nam, Số 42/2020, 35-43.
13.Đỗ Đức Thái (2018), Dạy học phát triển năng lực toán trung học cơ sở, Nhà xuất
bản Đại học Sư phạm Hà Nội.
14.Đỗ Đức Thái và Đỗ Tiến Đạt (2017), Xác định năng lực toán học trong chương
trình giáo dục phổ thông mới.
15.Trần Minh Tâm (2020), Mô hình hóa toán học: Một số ví dụ thực hiện quy trình
mô hình hóa trong dạy học toán ở trường phổ thông, Giáo dục và xã hội, 121-126.
16.Lê Văn Tiến (2012), Phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông, Nhà xuất
bản Đại học Sư phạm TP.HCM.
17.ương Hữu Tòng và Trần Văn Tuấn (2016), Dạy học bằng mô hình hóa toán học:
Một chiến lược dạy học khái niệm logarit ở trường phổ thông, Tạp chí Khoa học
Trường Đại học Cần Thơ, Số 46/2016, 62-72.
18.Phạm Thị Thanh Tú (2019), Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực mô hình hóa
toán học cho học sinh tiểu học thông qua dạy học phân số, Tạp chí Khoa học Giáo
dục Việt Nam, Số 15/2019, 86-91.
82

85. 19.Phan Anh Tuyến (2020), Thực trạng việc dạy học Hình học ở trường trung học
phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh,
Tạp chí Khoa học Giáo dục Việt Nam, Số đặc biệt tháng 12/2020, 41-45.
83

86. PHỤ LỤC
KẾ HOẠCH BÀI DẠY NHÓM THỰC NGHIỆM (Nhóm 1)
CHƯƠNG VI: TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
BÀI 22: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán lớp 7
Thời gian thực hiện: 2 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Học sinh phát biểu được định nghĩa hai đại lượng tỉ lệ thuận, nhận biết được các
đại lượng tỉ lệ thuận trong tình huống cụ thể, thiết lập được tỉ số giữa các giá trị tương
ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận.
- Học sinh vận dụng được kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận để giải quyết các bài
toán thực tế.
2. Năng lực
Năng lực chung:
+ Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
+ Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
+ Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
Năng lực riêng:
- Mô hình hoá Toán học:
+ Học sinh sử dụng bảng và ngôn ngữ toán học để mô tả mối quan hệ giữa các
đại lượng.
+ Học sinh tìm ra tỉ số không đổi giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận
+ Học sinh diễn giải ý nghĩa của tỉ số trong tình huống cụ thể.
+ Học sinh sử dụng mô hình toán học (tỉ lệ thức, công thức) để biểu diễn tình
huống thực tế.
+ Học sinh giải quyết các bài toán toán học trong mô hình, diễn giải kết quả
toán học và đánh giá tính hợp lý của nó trong ngữ cảnh thực tế.
- Tư duy và lập luận toán học: Học sinh so sánh, phân tích và khái quát hóa để hình
thành khái niệm và suy luận để rút ra tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận.
- Giao tiếp toán học: Học sinh sử dụng ngôn ngữ toán học để trình bày các nhận xét và
kết luận.
3. Phẩm chất
- Chăm chỉ : Tích cực hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm
- Trung thực: Khách quan, công bằng, đánh giá chính xác bài làm của nhóm mình
và nhóm bạn.
- Trách nhiệm: Tự giác hoàn thành công việc mà bản thân được phân công, phối
hợp với thành viên trong nhóm để hoàn thành nhiệm vụ.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Kế hoạch bài dạy, SGK, thước kẻ, máy chiếu, máy tính cầm tay, phiếu học tập,…
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1.HOẠT ĐỘNG 1: KHỞI ĐỘNG
84

87. a) Mục tiêu: Tạo sự hứng thú và khơi gợi sự tò mò, khám phá kiến thức mới của học
sinh về đại lượng tỉ lệ thuận.
b) Nội dung:
Tình huống:
- Giáo viên giơ lên 2 chiếc bút chì giống hệt nhau.
- Giáo viên: "Cô có 1 chiếc bút chì, giá của nó là 5 nghìn đồng. Vậy nếu cô mua 2
chiếc bút chì như thế này, cô sẽ phải trả bao nhiêu tiền?" (Học sinh trả lời: 10 nghìn
đồng).
- Giáo viên: "Thế nếu cô muốn mua 3 chiếc bút chì như vậy thì sao?" (Học sinh trả
lời: 15 nghìn đồng).
Dẫn dắt:
Giáo viên sau khi nhận được câu trả lời của học sinh: "Các em thấy, khi số lượng bút
chì cô mua tăng lên, thì tổng số tiền cô phải trả cũng tăng lên theo. Hơn nữa, các em có
nhận thấy điều gì đặc biệt về sự thay đổi này không? (Gợi ý nếu học sinh chưa nhận
ra: Số lượng bút chì tăng gấp đôi thì số tiền cũng tăng gấp đôi, tăng gấp ba thì số tiền
cũng tăng gấp ba).
Trong toán học, mối quan hệ mà khi một đại lượng (ở đây là số lượng bút chì) tăng
lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia (ở đây là tổng số tiền) cũng tăng lên bấy nhiêu lần,
được gọi là mối quan hệ tỉ lệ thuận. Hôm nay, chúng ta sẽ c
ùng nhau tìm hiểu kỹ hơn
về những đại lượng có mối quan hệ tỉ lệ thuận như thế này."
c) Sản phẩm
- Câu trả lời của học sinh trả lời
d) Tổ chức thực hiện
- Giáo viên đặt tình huống
- Học sinh quan sát và trả lời câu hỏi
- Giáo viên nhận xét và ghi nhận học sinh có câu trả lời tốt sau đó kết luận và giới
thiệu về bài học mới.
2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
2.1. Hoạt động 1: Tình huống mở đầu
a) Mục tiêu: Học sinh bước đầu hình thành về hai đại lượng tỉ lệ thuận.
b) Nội dung:
Giáo viên chia lớp thành các nhóm và giao phiếu học tập.
Phiếu học tập nhóm:
Bài toán: " Cô Lan lái xe ô tô trên đường cao tốc với vận tốc luôn ổn định là 50 km/h
(tức là cứ mỗi giờ cô đi được đúng 50 km).
a) Hôm nay, cô Lan có một số việc cần di chuyển và dự kiến lái xe trong các khoảng
thời gian sau: 1 giờ đồng hồ, 2 giờ đồng hồ, 3 giờ đồng hồ, và có thể là 4 giờ đồng hồ
nếu cần. Hãy giúp cô Lan tính xem cô sẽ đi được bao nhiêu ki-lô-mét cho mỗi khoảng
thời gian đó.
b) Để dễ dàng theo dõi quãng đường đã đi, cô Lan muốn ghi lại thông tin về thời gian
lái xe và quãng đường tương ứng vào một bảng. Bạn hãy giúp cô Lan lập bảng này
nhé.
85

88. c) Nhìn vào bảng, em có nhận thấy điều gì về sự thay đổi của quãng đường đi được khi
thời gian lái xe thay đổi không? Ví dụ, nếu cô Lan lái xe lâu hơn thì quãng đường sẽ
như thế nào? Sự thay đổi này có đặc điểm gì đặc biệt?
d) Bây giờ, hãy thử tính xem tỉ số giữa quãng đường đi được (tính bằng ki-lô-mét) và
thời gian lái xe (tính bằng giờ) trong mỗi trường hợp ở trên là bao nhiêu. Bạn có nhận
thấy điều gì thú vị về các tỉ số này không?
e) Dựa trên những gì đã tính toán và quan sát, bạn hãy cho biết mối quan hệ giữa
quãng đường mà cô Lan đi được và thời gian cô ấy lái xe là như thế nào trong trường
hợp này."
c) Sản phẩm:
a) Tính quãng đường cô Lan đi được:
Trong 1 giờ: (km)
Trong 2 giờ: (km)
Trong 3 giờ: (km)
Trong 4 giờ: (km)
b) Lập bảng ghi lại thời gian lái xe và quãng đường tương ứng:
Thời gian lái xe (giờ)Quãng đường đi được (km)
1 50
2 100
3 150
4 200
c) Nhận xét về sự thay đổi của quãng đường đi được khi thời gian lái xe thay đổi:
Nhìn vào bảng, chúng ta thấy rằng:
Khi thời gian lái xe tăng lên, quãng đường đi được cũng tăng lên.
Sự thay đổi này có đặc điểm đặc biệt: Nếu thời gian lái xe tăng lên gấp bao nhiêu
lần, thì quãng đường đi được cũng tăng lên gấp bấy nhiêu lần.
Ví dụ: Thời gian tăng gấp đôi (từ 1 giờ lên 2 giờ), quãng đường cũng tăng gấp đôi
(từ 50 km lên 100 km). Thời gian tăng gấp ba (từ 1 giờ lên 3 giờ), quãng đường cũng
tăng gấp ba (từ 50 km lên 150 km).
d) Tính tỉ số giữa quãng đường đi được và thời gian lái xe trong mỗi trường hợp:
Trường hợp 1 giờ:
Trường hợp 2 giờ:
Trường hợp 3 giờ:
Trường hợp 4 giờ:
Điều thú vị là tỉ số giữa quãng đường đi được và thời gian lái xe trong mỗi trường
hợp đều bằng nhau và bằng 50.
86

89. e) Mối quan hệ giữa quãng đường mà cô Lan đi được và thời gian cô ấy lái xe: Dựa
trên những tính toán và quan sát trên, chúng ta có thể kết luận rằng quãng đường mà
cô Lan đi được tỉ lệ thuận với thời gian cô ấy lái xe khi vận tốc của ô tô không đổi.
Hệ số tỉ lệ trong trường hợp này chính là vận tốc của ô tô, 50 km/h. Điều này có nghĩa
là, quãng đường luôn bằng vận tốc nhân với thời gian: hay
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
- GV tổ chức hoạt động cho HS làm việc nhóm.
- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến
thức, từ đó giới thiệu về hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Thực hiện
- HS thảo luận nhóm thực hiện nhiệm vụ
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm 
Báo cáo thảo
luận
- Đại diện nhóm HS báo cáo, các nhóm HS còn lại theo dõi
thảo luận.
Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc của học sinh, ghi nhận và tuyên
dương các nhóm trình bày chính xác. Động viên các nhóm còn
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo 
- Chốt kiến thức định nghĩa và chuyển giao sang hoạt động 2.
2.2 Hoạt động 2: Hình thành khái niệm
a) Mục tiêu: Học sinh nhận biết được khái niệm về hai đại lượng tỉ lệ thuận.
b) Nội dung:
- Giáo viên đặt câu hỏi để dẫn dắt học sinh đến khái niệm: "Trong bài toán trên,
quãng đường và thời gian có mối quan hệ đặc biệt. Khi thời gian thay đổi, quãng
đường cũng thay đổi theo. Hai đại lượng như vậy được gọi là hai đại lượng tỉ lệ
thuận."
- Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại nhận xét ở Hoạt động 1.
- Giáo viên giới thiệu định nghĩa SGK về hai đại lượng tỉ lệ thuận.
c) Sản phẩm:
- Giáo viên nhấn mạnh:
+ Khi đại lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng (hoặc
giảm) bấy nhiêu lần.
+ Nếu đại lượng liên hệ với đại lượng theo công thức (), thì tỉ lệ
thuận với theo hệ số tỉ lệ
+ Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận là một số không đổi.
+ Tỉ số giữa các giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận luôn bằng hệ số tỉ lệ (
)
+ Tỉ số giữa hai giá trị bất kỳ của một đại lượng bằng tỉ số giữa hai giá trị tương ứng
của đại lượng kia ( )
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
- Giáo viên chuẩn hóa kiến thức, từ đó đưa ra khái về hai
đại lượng tỉ lệ thuận.
87

90. Thực hiện
- HS theo dõi bài học
- GV theo dõi, hỗ trợ học sinh
Báo cáo thảo luận- HS thực hiện theo yêu cầu GV
Đánh giá, nhận xét,
tổng hợp
- Chốt kiến thức định nghĩa và chuyển giao sang hoạt
động tiếp theo
2.3 Hoạt động 3: Luyện tập
a) Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và áp dụng lý thuyết vào giải các tình
huống.
b) Nội dung:
Giáo viên đưa ra một vài tình huống khác và yêu cầu học sinh thực hiện theo cặp đôi
xác định xem các đại lượng có tỉ lệ thuận với nhau không.
- Số lượng sản phẩm và số tiền phải trả (khi giá một sản phẩm không đổi).
- Cạnh hình vuông và diện tích hình vuông.
- Vận tốc và thời gian để đi hết một quãng đường cố định.
c) Sản phẩm:
Tình huống 1: Số lượng sản phẩm và số tiền phải trả (giá không đổi): Tỉ lệ thuận (số
lượng tăng, tiền tăng theo c
ùng tỉ lệ).
Tình huống 2: Cạnh hình vuông và diện tích hình vuông: Không tỉ lệ thuận (diện tích
tăng theo bình phương của cạnh).
Tình huống 3: Vận tốc và thời gian đi hết quãng đường cố định: Không tỉ lệ thuận (tỉ
lệ nghịch). (Vận tốc tăng, thời gian giảm).
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
- GV hướng dẫn HS cách giải và yêu cầu một số HS lên bảng thực
hiện.
- GV nhận xét và chuẩn hóa lời giải
Thực hiện- HS suy nghĩ đưa ra lời giải, các HS còn lại theo dõi thảo luận
Báo cáo thảo
luận
- HS trả lời câu hỏi
Đánh giá,
nhận xét, tổng
hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi
nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các
học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp
theo
2.4 Hoạt động 4: Vận dụng
a) Mục tiêu: Giúp học sinh hiểu rõ hơn về bản chất của các khái niệm và tính chất
toán học thông qua việc áp dụng chúng vào các tình huống cụ thể.
b) Nội dung:
Bài toán thực tế: "Tiệm bánh ngọt nhà An"
Tiệm bánh ngọt nhà An nổi tiếng với món bánh su kem thơm ngon. Để làm bánh, cứ
mỗi 10 quả trứng gà, bác An cần d
ùng 200 gram bột mì. Hôm nay, bác An nhận được
đơn đặt hàng lớn cho buổi tiệc cuối tuần.
a) Nếu bác An muốn làm bánh cần d
ùng 30 quả trứng gà, bác ấy sẽ cần bao nhiêu
gram bột mì?
88

91. b) Để chuẩn bị cho nhiều đơn hàng khác nhau, bác An muốn lập một bảng thể hiện
mối quan hệ giữa số quả trứng gà và lượng bột mì cần d
ùng. Hãy giúp bác An hoàn
thành bảng sau:
Số quả trứng gà Bột mì (gram)
10 200
20 …
30 …
40 …
50 …
Số quả trứng gà Bột mì (gram)
10 200
20 400
30 600
40 800
50 1000
c) Khi số quả trứng gà tăng lên (gấp lên) bao nhiêu lần, thì lượng bột mì cần d
ùng
cũng tăng lên (gấp lên) bấy nhiêu lần.
Ví dụ:
Số trứng tăng gấp đôi (từ 10 lên 20), bột mì cũng tăng gấp đôi (từ 200 lên 400).
Số trứng tăng gấp ba (từ 10 lên 30), bột mì cũng tăng gấp ba (từ 200 lên 600).
d) Ta biết tỉ lệ là 200 gram bột cần 10 quả trứng. Vậy 1 gram bột cần quả
trứng
Với 1000 gram bột mì, bác An có thể d
ùng tối đa:
quả trứng gà
Vậy, với 1kg bột mì, bác An có thể d
ùng tối đa 50 quả trứng gà.
e) Ta đã xác định được rằng cứ 1 quả trứng cần 20 gram bột mì. Vậy, mối quan hệ
giữa lượng bột mì (M) và số quả trứng (E) có thể được viết bằng công thức:.
Trong đó: M là lượng bột mì cần d
ùng (gram). E là số quả trứng gà
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
- GV hướng dẫn HS cách giải và yêu cầu một số HS lên bảng thực
hiện.
- GV nhận xét và chuẩn hóa lời giải
Thực hiện- HS suy nghĩ đưa ra lời giải, các HS còn lại theo dõi thảo luận
Báo cáo thảo
luận
- HS trả lời câu hỏi
Đánh giá,
nhận xét, tổng
hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi
nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các
học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp
theo
89

92. 2.5. Hoạt động 5: Thực hành
Hoạt động: Xây tháp cốc giấy – Khám phá đại lượng tỉ lệ thuận
a) Mục tiêu:
- Tạo cơ hội để học sinh trực tiếp trải nghiệm và khám phá mối quan hệ giữa số lượng
cốc giấy và chiều cao của tháp.
- Củng cố và làm sâu sắc thêm khái niệm về đại lượng tỉ lệ thuận thông qua hoạt động
thực tế.
- Rèn luyện kỹ năng đo lường, quan sát và ghi nhận dữ liệu.
b) Nội dung:
Tình huống:
- Giáo viên chuẩn bị một số lượng lớn cốc giấy giống hệt nhau và một chiếc thước đo.
- Giáo viên đặt một chiếc cốc lên bàn và nói: "Đây là một chiếc cốc giấy. Bây giờ cô
đặt thêm một chiếc cốc nữa lên trên. Các em thấy chiều cao của chồng cốc thay đổi
như thế nào?" (Học sinh trả lời: Cao hơn).
- Giáo viên tiếp tục đặt thêm một vài chiếc cốc nữa, mỗi lần hỏi học sinh về sự thay
đổi chiều cao.
ẫn dắt:
- Giáo viên sau khi thực hiện thao tác: "Chúng ta vừa thấy rằng khi số lượng cốc tăng
lên, chiều cao của chồng cốc cũng tăng lên. Bây giờ, chúng ta sẽ c
ùng nhau xây những
chiếc tháp khác nhau bằng cốc giấy và xem xét kỹ hơn về mối quan hệ giữa số lượng
cốc và chiều cao của tháp."
- Giáo viên chia lớp thành các nhóm nhỏ và phát cho mỗi nhóm một số lượng cốc
giấy và thước đo.
- Giáo viên hướng dẫn nhiệm vụ: "Mỗi nhóm hãy xây ít nhất ba tháp khác nhau, mỗi
tháp có một số lượng cốc khác nhau. Sau đó, các em hãy đếm số lượng cốc đã sử dụng
cho mỗi tháp và đo chiều cao tương ứng của tháp đó. Hãy ghi lại kết quả vào bảng."
Lần đo Số lượng cốc (cái)Chiều cao của tháp (cm)
1
2
3
…
- Giáo viên tiếp tục: "Sau khi đo xong, các em hãy thử tính tỉ số giữa chiều cao của
tháp và số lượng cốc đã d
ùng cho mỗi lần đo. Chúng ta sẽ cùng nhau xem xét xem có
điều gì đặc biệt ở tỉ số này không."
c) Sản phẩm:
- Bảng ghi kết quả đo đạc và tính toán của mỗi nhóm.
- Nhận xét ban đầu của học sinh về mối quan hệ giữa số lượng cốc và chiều cao của
tháp.
- Kết luận: Khi các cốc giấy giống nhau, chiều cao của tháp có xu hướng tăng tỉ lệ với
số lượng cốc. Tỉ số giữa chiều cao và số lượng cốc gần như là một hằng số. Đây là một
ví dụ về hai đại lượng tỉ lệ thuận
d) Tổ chức thực hiện:
90

93. Chuyển giao
- GV giới thiệu hoạt động và chia nhóm
- GV phát vật liệu và hướng dẫn cách thực hiện, cách đo và ghi số
liệu vào bảng
Thực hiện
- HS làm việc nhóm, xây tháp, đếm số lượng cốc và đo chiều cao,
tính tỉ số giữa chiều cao và số lượng cốc cho mỗi lần đo
Báo cáo thảo
luận
- Một vài nhóm chia sẻ kết quả của nhóm mình
Đánh giá,
nhận xét, tổng
hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi
nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các
nhóm học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động
học tiếp theo
IV. CỦNG CỐ
- Tổng quát lại kiến thức đã học cho học sinh.
- Dặn dò HS làm các bài tập còn lại ở nhà.
Bạc Liêu, ngày …tháng … năm 2025
NGƯỜI BIÊN SOẠN
91

94. KẾ HOẠCH BÀI DẠY NHÓM ĐỐI CHỨNG (Nhóm 2)
CHƯƠNG VI: TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
BÀI 22: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán lớp 7
Thời gian thực hiện: 2 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Học sinh nắm được định nghĩa hai đại lượng tỉ lệ thuận.
- Học sinh nhận biết được các đại lượng tỉ lệ thuận trong các ví dụ cơ bản.
- Học sinh biết cách thiết lập tỉ số giữa các giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ
thuận.
- Học sinh vận dụng được kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận để giải một số bài toán
đơn giản.
2. Năng lực
Năng lực chung:
- Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
- Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
Năng lực riêng:
- Mô hình hoá Toán học
- Tư duy và lập luận toán học
- Giao tiếp toán học
- Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học Toán
3. Phẩm chất
- Chăm chỉ : Tích cực hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm
- Trung thực: Khách quan, công bằng, đánh giá chính xác bài làm của nhóm mình
và nhóm bạn.
- Trách nhiệm: Tự giác hoàn thành công việc mà bản thân được phân công, phối
hợp với thành viên trong nhóm để hoàn thành nhiệm vụ.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Kế hoạch bài dạy, SGK, thước kẻ, máy chiếu, máy tính cầm tay,…
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1.HOẠT ĐỘNG 1: KIỂM TRA BÀI CŨ
a) Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố và ôn lại kiến thức đã học và tạo tạo sự kết nối
giữa những gì học sinh đã biết và những gì sắp được học.
b) Nội dung:
Giáo viên:
- Gọi 2-3 học sinh lên bảng trả lời các câu hỏi sau:
Câu hỏi 1: "Phát biểu định nghĩa tỉ lệ thức."
Câu hỏi 2: "Nêu hai tính chất cơ bản của tỉ lệ thức."
Câu hỏi 3: "Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức để tìm x biết
x
3
=
4
6
c) Sản phẩm
92

95. - Câu trả lời của học sinh trả lời
d) Tổ chức thực hiện
- Giáo viên quan sát học sinh làm bài, nhắc nhở nếu cần. Sau khi học sinh trả lời
xong, giáo viên nhận xét về câu trả lời (đúng, sai, cần bổ sung chỗ nào) và cho điểm
học sinh.
- Học sinh quan sát và trả lời câu hỏi
- Giáo viên nhận xét và ghi nhận học sinh có câu trả lời tốt sau đó kết luận và giới
thiệu về bài học mới.
2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
2.1. Hình thành khái niệm
2.1.1. Đại lượng tỉ lệ thuận
a) Mục tiêu: Học sinh bước đầu hình thành về hai đại lượng tỉ lệ thuận.
b) Nội dung:
Giáo viên:
- Đưa ra ví dụ mở đầu một cách trực quan: "Các em hãy quan sát tình huống sau: Cô
có một chiếc bút chì, giá của nó là 5 nghìn đồng. Nếu cô mua 2 chiếc bút chì như vậy,
cô sẽ phải trả 10 nghìn đồng. Nếu mua 3 chiếc, cô trả 15 nghìn đồng. Vậy số lượng bút
chì tăng lên thì tổng số tiền phải trả cũng như thế nào?"
- Giảng giải: "Trong trường hợp này, khi số lượng bút chì tăng gấp đôi (từ 1 lên 2), số
tiền cũng tăng gấp đôi (từ 5 lên 10). Khi số lượng bút chì tăng gấp ba (từ 1 lên 3), số
tiền cũng tăng gấp ba (từ 5 lên 15). Mối quan hệ giữa số lượng bút chì và số tiền phải
trả là một ví dụ về đại lượng tỉ lệ thuận."
- Đưa ra định nghĩa: "Hai đại lượng y và x được gọi là tỉ lệ thuận với nhau, nếu khi x
tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì y cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần."
- Viết công thức tổng quát lên bảng: "Nếu y tỉ lệ thuận với x, ta có công thức y=ax,
trong đó a là một hằng số khác 0, được gọi là hệ số tỉ lệ."
Giải thích ý nghĩa của hệ số tỉ lệ k: "a=
y
x
. Tỉ số giữa giá trị tương ứng của hai đại
lượng tỉ lệ thuận là một hằng số."
c) Sản phẩm:
Nếu y tỉ lệ thuận với x, ta có công thức y=ax, trong đó a là một hằng số khác 0, được
gọi là hệ số tỉ lệ
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
- GV hướng dẫn học sinh hoạt động
- GV chuẩn hóa kiến thức, từ đó giới thiệu về hai đại lượng tỉ lệ
thuận.
Thực hiện
- HS theo dõi, lắng nghe GV
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn HS
Báo cáo thảo
luận
- HS phát biểu theo yêu cầu GV
Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp
- GV Chốt kiến thức định nghĩa và chuyển giao sang hoạt động
2.
93

96. 2.1.2. Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận
a) Mục tiêu: Học sinh nhận biết được tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận
b) Nội dung:
Giáo viên:
- Nêu tính chất 1: "Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau thì tỉ số giữa hai giá
trị tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ: nhau ( )
- Giải thích bằng ví dụ đã nêu: "Trong ví dụ mua bút chì
5
1
=
10
2
=
15
3
=5. Vậy hệ số tỉ
lệ a=5(nghìn đồng/chiếc)."
- Nêu tính chất 2: "Tỉ số giữa hai giá trị bất kỳ của một đại lượng này bằng tỉ số giữa
hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: ”
Cho ví dụ minh họa: "Vẫn với ví dụ mua bút chì, tỉ số giữa số lượng bút chì là 32, thì
tỉ số giữa số tiền tương ứng cũng là
10
15
=
2
3
."
c) Sản phẩm:
- Tính chất 1: "Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau thì tỉ số giữa hai giá trị
tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ: nhau ( )
- Tính chất 2: "Tỉ số giữa hai giá trị bất kỳ của một đại lượng này bằng tỉ số giữa hai
giá trị tương ứng của đại lượng kia: ”
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
- GV hướng dẫn học sinh hoạt động
- GV chuẩn hóa kiến thức, từ đó giới thiệu về tính chất hai đại
lượng tỉ lệ thuận.
Thực hiện
- HS theo dõi, lắng nghe và ghi các tính chất vào vở
- HS theo dõi ví dụ GV đưa ra để rõ hơn các tính chất
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn HS
Báo cáo thảo
luận
- HS phát biểu theo yêu cầu GV
Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp
- GV chốt kiến thức về tính chất hai đại lượng tỉ lệ thuận.
3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và áp dụng lý thuyết vào giải các tình
huống.
b) Nội dung:
Giáo viên đưa ra một vài bài tập khác và yêu cầu học sinh thực hiện theo cặp đôi và
hoàn thành câu trả lời.
94

97. Đưa ra bài tập 1: "Cho biết y tỉ lệ thuận với x. Khi x=3 thì y=12. Tìm hệ số tỉ lệ và
viết công thức liên hệ giữa y và x”
Đưa ra bài tập 2: "Nếu 4 kg đường có giá 52 nghìn đồng, hỏi 7 kg đường có giá bao
nhiêu tiền (giả sử giá đường không đổi)?"
Bài tập 3: Một người đi xe máy trong 3 giờ đi được 120 km. Hỏi nếu người đó đi
trong 5 giờ (với vận tốc không đổi) thì đi được bao nhiêu ki-lô-mét?
c) Sản phẩm:
Bài tập 1:
Vì y tỉ lệ thuận với x, ta có công thức y=ax. Theo đề bài, thay x=3 thì y=12 vào
công thức, ta có: 12=a.3 Vậy a=4 (hệ số tỉ lệ)
Công thức liên hệ giữa y và x: y=4x
Bài tập 2:
95

98. Gọi giá của 1 kg đường là d (nghìn đồng). Vì giá đường không đổi, số tiền phải trả tỉ lệ
thuận với số ki-lô-gam đường mua.
Theo đề bài, 4 kg đường có giá 52 nghìn đồng, nên ta có: 52=d.4
Vậy, giá của 1 kg đường là 13 nghìn đồng.
Giá của 7 kg đường là: 7.13=91 (nghìn đồng)
Vậy, 7 kg đường có giá 91 nghìn đồng.
Bài tập 3:
Gọi quãng đường người đó đi được là s (km) và thời gian đi là t (giờ). Vì vận tốc
không đổi, quãng đường đi được tỉ lệ thuận với thời gian đi. Ta có công thức s=vt,
trong đó v là vận tốc không đổi.
Từ thông tin ban đầu, trong 3 giờ người đó đi được 120 km.
120=v.3nênv=
120
3
=40
Vậy, vận tốc của người đi xe máy là 40 km/h.
Tính quãng đường người đó đi được trong 5 giờ với vận tốc không đổi này, ta sử dụng
công thức: s=vt=40.5=200
Vậy, nếu người đó đi trong 5 giờ với vận tốc không đổi, họ sẽ đi được 200 km.
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
- GV hướng dẫn HS cách giải và yêu cầu đại diện một số HS lên
bảng thực hiện.
- GV nhận xét và chuẩn hóa lời giải
Thực hiện
- HS suy nghĩ, thảo luận và đưa ra lời giải, các HS còn lại theo dõi
thảo luận
Báo cáo thảo
luận
- HS trả lời câu hỏi
Đánh giá,
nhận xét, tổng
hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi
nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các
học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp
theo
4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG
a) Mục tiêu: Giúp học sinh hiểu rõ hơn về bản chất của các khái niệm và tính chất
toán học thông qua việc áp dụng chúng vào các tình huống cụ thể.
b) Nội dung:
Bài toán thực tế: Một vòi nước chảy vào bể trong 1 giờ được 15 lít nước. Hỏi nếu
vòi nước đó chảy trong 4 giờ thì được bao nhiêu lít nước?
Hướng dẫn học sinh phân tích: "Trong bài toán này, đại lượng nào thay đổi? Chúng
có mối quan hệ như thế nào? Chúng ta có thể áp dụng kiến thức nào để giải bài toán
này?"
Nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nhận diện các đại lượng tỉ lệ thuận trong các tình
huống thực tế.
c) Sản phẩm:
a) Vì lượng nước và thời gian tỉ lệ thuận, ta có thể lập tỉ lệ như sau:
96

99. Lượngnướcchảytrong4giờ
4giờ
=
Lượngnướcchảytrong1giờ
1giờ
x
4
=
15
1
x=
15.4
1
=60(l)
Vậy, nếu vòi nước đó chảy trong 4 giờ thì sẽ được 60 lít nước.
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
- GV hướng dẫn HS cách giải và yêu cầu một số HS lên bảng thực
hiện.
- GV nhận xét và chuẩn hóa lời giải
Thực hiện- HS suy nghĩ đưa ra lời giải, các HS còn lại theo dõi thảo luận
Báo cáo thảo
luận
- HS trả lời câu hỏi
Đánh giá,
nhận xét, tổng
hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi
nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các
học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp
theo
CỦNG CỐ
- Tổng quát lại kiến thức đã học cho học sinh.
- Dặn dò HS làm các bài tập còn lại ở nhà.
Bạc Liêu, ngày …tháng … năm 2025
NGƯỜI BIÊN SOẠN
97

100. GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN
(Ký và ghi rõ họ tên) (Ký và ghi rõ họ tên)
98