Konsep-konsep seperti ruang vektor, transformasi linier,

Konsep-konsep seperti ruang vektor, transformasi linier, dan determinan digunakan untuk memahami hubungan antar variabel serta memodelkan fenomena nyata, sehingga aljabar linier menjadi alat penting dalam pengembangan teknologi, kecerdasan buatan, dan analisis sistem kompleks.

1. MATRIKS
Definisi
Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan –
bilangan real yang tersusun atas baris dan
kolom













mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211
m baris
n kolom
di katakan matriks A berukuran m x n

2. Baris ke-i dari A adalah :
•Kolom ke-j dari A adalah :
•Matriks A dapat juga ditulis :
A = [a
ij]
•Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur
sangkar, dan bilangan a
11
, a
22
, …, a
nn
disebut
dengan diagonal utama
  )1(
21
miaaa
inii

)1(
2
1
nj
a
a
a
mj
j
j

















3. Jenis – jenis Matriks
1. Matriks Diagonal
 Matriks b.s. dengan elemen diluar diagonal
utama adalah nol, yaitu
a
ij = 0 untuk i  j
2. Matriks Skalar
 Matriks diagonal dengan elemen pada
diagonal utama adalah sama, yaitu
a
ij = c untuk i = j dan a
ij = 0 untuk i  j
3. Matriks Segitiga Atas
 Matriks b.s. dengan elemen dibawah
diagonal utama adalah nol

4. Jenis – Jenis Matriks
4. Matriks Segitiga Bawah
 Matriks b.s. dengan elemen diatas
diagonal utama adalah nol
5. Matriks Identitas
 Matriks diagonal dengan elemen pada
diagonal utama adalah 1 , yaitu
a
ij
= 1 untuk i = j dan a
ij
= 0 untuk i  j
6. Matriks Nol
 Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.

5. Operasi Matriks
Persamaan Dua Matriks
Penjumlahan Matriks
Perkalian Skalar dan Matriks
Transpose Matriks
Perkalian Matriks

6. Persamaan Dua Matriks
Definisi
Dua matriks A = [a
ij
] dan B = [b
ij
] dikatakan
sama jika :
a
ij = b
ij, 1  i  m, 1  j  n
yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua
matriks tersebut adalah sama.
•Contoh :
Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y =
0, dan z = -5


























zy
x
w
BdanA
4
42
21
540
432
121

7. Penjumlahan Matriks
Definisi
Jika A = [a
ij] dan B = [b
ij] adalah matriks ukuran m x
n, maka jumlahan A dan B adalah matriks C = [c
ij]
ukuran m x n dengan
c
ij = a
ij + b
ij
Contoh
Diberikan Matriks A dan B adalah
maka









312
421
A





 

131
421
B







423
001
BA

8. Perkalian Skalar & Matriks
Definisi
Jika A = [a
ij] ukuran m x n dan r adalah
sebarang skalar real, maka perkalian
skalar rA adalah matriks B = [b
ij]
ukuran m x n dengan
b
ij = r a
ij
• Contoh
Jika r = -3 dan
maka
 421A
 1263 rA

9. Transpose Matriks
Definisi
Jika A = [a
ij] adalah matriks ukuran m x n, maka
transpose dari A adalah matriks
A
t
= [a
ij
t
]

ukuran n x m dengan
a
ij
t
= a
ji
•Contoh
maka









250
324
A












23
52
04
t
A

10. Perkalian Matriks
Definisi
Jika A = [a
ij] ukuran m x p dan B = [b
ij] ukuran p x n,
maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah
matriks C = [c
ij] ukuran m x n dimana
c
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+ … + a
ip
b
pj
Ilustrasi
row
i(A)col
j(B) = a
i1b
1j + a
i2b
2j + … + a
ipb
pj = c
ij




















mpmm
ipii
p
p
aaa
aaa
aaa
aaa






21
21
22221
11211
row
i
(A)














pnpjpp
nj
nj
bbbb
bbbb
bbbb




21
222221
111211
Col
j
(B)













mnmm
ij
n
n
ccc
c
ccc
ccc




21
22221
11211

11. Latihan SoalLatihan Soal
1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:
Jika mungkin, maka hitunglahJika mungkin, maka hitunglah
a.a.ABABd. CB + Dd. CB + Dg. BA + FDg. BA + FD
b.b.BABAe. AB + DFe. AB + DFh. A(BD)h. A(BD)
c.c.A(C + E)A(C + E)f. (D + F)Af. (D + F)A









204
321
A












51
42
13
B












211
543
132
C 







21
32
D













243
512
301
E







14
32
F

12. 2. 2. Sebuah perusahaan membuat dua macam Sebuah perusahaan membuat dua macam
product, P dan Q, dari setiap dua tanaman, X product, P dan Q, dari setiap dua tanaman, X
dan Y. Polutan sulfur dioxide, nitric oxide, dan dan Y. Polutan sulfur dioxide, nitric oxide, dan
materi khusus juga dihasilkan dalam proses materi khusus juga dihasilkan dalam proses
pembuatan product tersebut. Jumlah polutan pembuatan product tersebut. Jumlah polutan
– polutan yang dihasilkan tersebut diberikan – polutan yang dihasilkan tersebut diberikan
(dalam kg) dalam bentuk matriks berikut :(dalam kg) dalam bentuk matriks berikut :







400250200
150100300
A
Sulfur
dioxide
Nitric
oxide
Materi
khusus
Product P
Product Q

13. Pemerintah setempat mensyaratkan polutan – Pemerintah setempat mensyaratkan polutan –
polutan tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk polutan tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk
itu per kg adalah (dalam dollar) diberikan dalam itu per kg adalah (dalam dollar) diberikan dalam
matriks B berikut :matriks B berikut :
apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi
perusahaan ?perusahaan ?











1015
97
128
B
Tanaman X Tanaman Y
Sulfur dioxide
Nitric oxide
Materi khusus

14. Sampai jumpa pada pertemuan
berikutnya