LóGica De Primer Orden

SOBRE LOGICA DE PRIMER ORDEN

1. LÓGICA DE PRIMER ORDEN

2. LA NECESIDAD DE LA LÓGICA DE
PRIMER GRADO
•La lógica proposicional se revela como insuficiente al
poder explicar la validez de enunciados como: “Si
Gabriel le dio el libro a Diego entonces alguien le dio el
libro a Diego”. Porque mediante la lógica proposicional
cuando simbolizamos este argumento claramente
válido obtenemos p→q que no es tautológico sino más
bien consistente.
•Es por ello que tenemos que recurrir a una lógica de
mayor capacidad analítica como la lógica de primer
orden que nos va permitir darle cabida a nuestras
intuiciones acerca de lo válido y lo inválido. Urge por lo
tanto, ampliar el lenguaje para que pueda aumentar su
expresividad.

3. SINTAXIS BÁSICA
•1. Símbolos para individuos
•1.1 Constantes individuales: a, b, c, d, …
•1.2. Variables individuales: x, y, z, …
•2. Símbolos para predicados: F, G, H, …
•3. Símbolos para relaciones: R, S, T, …
•4. Símbolos para cuantificadores: " y $
•5. Conectores lógicos: Ù, Ú, →, ↔, ↔, ~
•6. Símbolos de ordenación: (, ), [, ], {, }, …

4. SIMBOLIZACIÓN
•Pasemos “Juan es ingeniero” al lenguaje simbólico
•I (j), donde el nombre j refiere al sujeto “Juan” e I refiere a
la propiedad de “ser ingeniero”.
•Hagamos lo propio con “Eva y Fico se aman”
•A (e,f) donde los nombres e y f refieren a Eva y Fico
respectivamente y A es la relación diádica de “amar a”.
•Otra vez: “Teresa le debe 500 soles a José”
•D (t, p, j), donde t, p y j refieren a Teresa, 500 y José y
además, D es la relación triádica de “deber a”
•Ahora: “Todos los santos son piadosos y todos los hombres
aman a todas las mujeres”
•"x(S(x)→P(x)) Ù "x"y( H(x) Ù M(y) → A(x,y) )

5. CUANTIFICADORES USUALES
•Consideremos un universo de 2 personas: Marcos
(m) y Ana (a).
•PARTICULAR (EXISTENCIAL)
•Alguien: Algún objeto, x, es tal que → $x
•Ejemplo: Alguien es feliz → $x F(x)
•Esto significa que F(m) Ú F(a)
•UNIVERSAL
•Todos: Cada objeto x, es tal que → "x
•Ejemplo: Todos son felices → "x F(x)
•Esto significa que F(m) Ù F(a)

6. CUANTIFICADOR INUSUAL
•NADIE: ningún objeto x, es tal que → ~$x
•Nadie es feliz → ~$x F(x)
•Esto significa que es imposible que alguien sea
feliz, es decir,
•~F(m) Ù ~F(a)

7. REGLAS DE INTERCAMBIO DE
CUANTIFICADORES
•"x P(x) ↔ ~$x ~P(x)
•Todos los x son justos sii no es el caso que algún x sea
injusto (o no existe algún x que sea injusto, o no existe
nadie que sea injusto)
•"x ~ P(x) ↔ ~ $x P(x)
•Todos los x son injustos sii no existe ni al menos
un x que sea justo (o no hay nadie que sea justo)
•~"x P(x) ↔ $x ~ P(x)
•No todo x es justo sii existe algún x que es injusto.
•~"x ~P(x) ↔ $x P(x)
•No todo x es injusto sii existe algún x que es justo.

8. EJEMPLO
•Reduce. “Es imposible que cierta persona sea
corruptible si es que es amable y bondadoso”
•1. ~$x [(A(x) Ù B(x)) → C(x)]
2. ~~"x ~[(A(x) Ù B(x)) → C(x)] de 1por IC
•3. "x ~[~(A(x) Ù B(x)) Ú C(x)] de 2 def. →
•4. "x ~~(A(x) Ù B(x)) Ù ~C(x) de 3 DM
•5. "x [(A(x) Ù B(x)) Ù ~C(x)] de 4 por DN
•5 se lee: “Todos las personas son amables,
bondadosas y no corruptibles”

9. USO DE LA LÓGICA DE PRIMER GRADO
•Ahora que ya tenemos mayor dominio
podemos simbolizar la expresión que
estábamos analizando al comienzo: “Si Gabriel
le dio el libro a Diego entonces alguien le dio
el libro a Diego”.
•D(g,d) → $x D(x,d)
•Este argumento como veremos en otra
presentación es claramente válido.