Lógico mat. c 3 equivalencia lógica.

1. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Equivalencia Lógicas     
 
Entonces podemos decir que si una proposición bicondicional es una Tautología se le llamará Equivalencia Lógica.
Ejemplo. Verificar si las proposiciones bicondicionales que se dan son equivalencias lógicas o no.      
 ! " # $ %! & #'     
(
 !
Por lo tanto como la proposición bicondicional es una tautología, se dice que es una Equivalencia Lógica o que
las proposiciones ⌐A ^ ⌐B y ⌐(A ν B), son lógicamente equivalentes. La notación que se acostumbra en estos
casos es:
⌐A ^ ⌐B ≈ ⌐(A ν B)) !$# #*+,-)*+,-! 
!$# 
Dos esquemas proposicionales A y B se dice que son equivalentes cuando unidas por el BICONDICONAL  el
resultado es una tautología, es decir A y B tienen los mismos valores de verdad en su operador principal.

2. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos)    (
!. /0 1 ! 2  
3
#. /- 1 2  $ 
3
Determinar si las proposiciones siguientes son equivalentes:
A= “Si Juan Aprobó los exámenes de admisión, ingreso a la
universidad”.
B= “No es el caso que Juan apruebe los exámenes de admisión y no
ingrese a la universidad”0(
(
.1! 2
.1
!.  $#. 4 % "4'
5( %  '  4 % "4'
)(
Solución:
Escribiendo en forma simbólica:
p = Juan Aprobó los exámenes de admisión
q = Juan ingresó a la universidad.
Entonces A = p  q y B = ~(p ^ ~q)
Uniendo bicondicionalmente estos dos esquemas se tiene: (p  q) ~(p ^ ~q)
Demostrando con la tabla de verdad:
p q pq  ~(p ^ ~q)
V V V V V F
V F F V F V
F V V V V F
F F V V V F+ !$#
Como en la tabla los valores finales es una tautología las proposiciones A y B son equivalentes.

3. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos)    (
6   1   500  +7$
8 -  +7$ $ 1  500
9   +7$ $ 1   500
De las siguientes proposiciones, cuáles son equivalentes:
1. Es necesario que Juan no estudie en la USS para que Luis viva en Chiclayo.
2. No es cierto que Luis viva en Chiclayo y que Juan estudie en la USS.
3. Luis no vive en Chiclayo y Juan no estudia en la USS.0(
.1500
.+7$(
6  4 84%" ' 94 "4
Solución:
p = Juan estudia en la USS.
q = Luis vive en Chiclayo. Entonces:
1. q  ~p 2. ~(q ^ p)3. ~q ^ ~p
p q q  ~p  ~(q ^ p)  ~q ^ ~p
V V F VF V V F
V F V VV F F F
F V V VV F F F
F F V VV F V V

4. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Pagar 1000 soles y no ser accionista y estar en el club.

Simbolizar las proposición:
“Hay que cancelar 1000 soles y ser accionista para
ingresar al club” es: (p Ùq) ® r
Pagar 1000 soles o ser accionista y no ingresar al
club. (p v q) Ù ~r
Pagar 1000 soles y ser accionista o no ingresar al club.
( p Ù q) v ~r
( p Ù ~q) Ù r
EJERCICIOS:
DETERMINAR CUAL DE LOS ESQUEMAS ANTERIORES SON EQUIVALENTES

5. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Desarrollar:
1) ~(p q)  ~[ (~q)  (~p) ]
2)[ p  (q r ) ]  [ (p ^ ~r )  ~q]
3)[(~p ^ q) r ]  [r ^ ~(p ν~q)]

6. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
A. Ley de la Doble Negación: ~~p º p
B. Ley de Idempotencia de la Conjunción y la Disyunción:
p Ù p º p
p Ú p º p
C. Leyes Conmutativas:
p Ù q º q Ù p
p Ú q º q Ú p
p « q º q « p
D. Leyes Asociativas:
(p Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)
(p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)
(p « q) « r º p « (q « r)
LEYES DE LA EQUIVALENCIA LÓGICA
Las leyes de equivalencias más conocidas son:

7. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
E. Leyes Distributivas:
p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ù r)
p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú r)
p® (q Ú r) º (p ® q) Ú (p ® r)
p® (q Ù r) º (p ® q) Ù (p ® r)
F. Leyes de Identidad:
p Ù V º p
p Ú F º p
p Ù F º F
p Ú V º V
G. Leyes de D`Morgan:
~(p Ù q) º (~p Ú ~q)
~(p Ú q) º (~p Ù ~q)

8. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
H. Leyes de la Absorción:
p Ù (p Ú q) º p
p Ù (~p Ú q) º p Ù q
p Ú (p Ù q) º p
p Ú (~p Ù q) º pÚ q
I. Leyes del Condicional:
p ® q º ~p Ú q
~(p ® q) º p Ù ~q
J. Leyes del Bicondicional:
p « q º (p® q) Ù (q® p)
p « q º (p Ù q) Ú (~p Ù ~q) º ~(p D q)

9. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
K. Leyes de Contraposición:
p ® q º ~q ® ~p
p « q º ~q « ~p
L. Leyes de Exportación:
(p Ù q) ® r º p ® (q ® r)
M. Ley del Tercio Excluido:
~p Ú p º V
N. Ley de la Contradicción:
~p Ù p º F
O. Reducción al Absurdo:
p ® q º (p Ù ~q) ® F
OBSERVACIÓN:
Estas leyes
permiten la
transformación y
simplificación de
un esquema
molecular en otro
más simple,
cambiando una o
más expresiones
componentes del
esquema por sus
equivalentes
lógicos.

10. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Ejemplos:
b) Simplificar: [~(p ® q) Ù (~q Ú p)] Ú p
Tenemos:
[~ (~p Ú q) Ù (~q Ú p)] Ú p Condicional
[(~~p Ù ~q) Ù (~q Ú p)] Ú p Morgan
{p Ù ~q Ù (~q Ú p)} Ú p Doble negación
(p Ù ~q) Ú p Absorción
p Ú (p Ù ~q) Conmutativa
p Absorción

Luego: [~(p® q) Ù (~q Ú p)] Ú p º p

11. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
a) Simplificar el esquema: ~(p « q) Ú (~p ® q)
Tenemos:
~[(p Ù q) Ú (~p Ù ~q)] Ú (~~p Ú q) Bicondicional y condicional
[~(p Ù q) Ù ~(~p Ù ~ q)] Ú (p Ú q) Morgan
[(~p Ú ~q) Ù (~~p Ú ~~q)] Ú (p Ú q) Morgan
[(~p Ú ~ q) Ù (p Ú q)] Ú (p Ú q) Doble negación
(p Ú q) Ú [(p Ú q) Ù (~p Ú ~ q) Conmutativa
(p Ú q) Absorción
Por lo tanto: ~(p « q) Ú (~p® q) º (p Ú q)

12. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
¿QUÉ ES UN ARGUMENTO?
Un argumento es una proposición compuesta del tipo
Si (p1 Ù p2 Ù p3 Ù ..... Ù pk) entonces q
Premisas ® Conclusión
Ejemplo
Si Roxana gana la beca, estudiará en la Universidad Señor de Sipan. Y Roxana
ganó la beca.
Por lo tanto, estudiará en la Universidad Señor de Sipan.
Este argumento tiene dos premisas.
Las premisas son: “Si Roxana gana la beca entonces estudiará en la
Universidad Señor de Sipan” y “ Roxana se ganó la beca”.
La conclusión es: “Roxana estudiará en la Universidad Señor de Sipan”.

13. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
¿QUÉ ES UNA IMPLICACIÓN?
La implicación lógica es la relación entre dos formulas proposicionales a través
del conectivo lógico CONDICONAL y cuyo resultado es una tautología
Ejemplos: Determinar la validez de la siguiente implicación
[(p ^ ~q) ^ (~p r)]  (p ν ~q)
p q r [(p ^ ~q) ^ (~p r)] (p ν ~q)
V V VVF FFFFVVVV F
V V FVF FFFVFVVV F
V F VVVVFFFVVVV V
V F FVVVVFVFVVV V
F V V FF FFVVVV FF F
F V FFF FFVFFV FF F
F F V FFVFVVVV FV V
F F FFFVFVFFV FV V
El resultado del esquema molecular es una tautología por lo tanto es una implicación

14. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
LA INFERENCIA LÓGICA
La Inferencia: Es un proceso mental lógico de pasar de un conjunto de
proposiciones llamadas premisas a una conclusión y suele indicarse a través
de expresiones como: Luego, en consecuencia, por lo tanto, por consiguiente
etc. Existen dos tipos de inferencias.
•La Inferencia inmediata: Se caracteriza porque la conclusión se
desprende o deriva sobre la base de una sola premisa.
Ejemplo:
Toda papaya es fruta
Alguna fruta es papaya
•La inferencia mediata: Se caracteriza porque la conclusión se deriva de
dos o más premisas.
Ejemplo:
Todo contador conoce la elaboración de un balance económico
José es contador
José conoce la elaboración de un balance económico

15. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Las inferencias lógicas son implicaciones o condicionales de forma:
Horizontal Vertical

p1 Ù p2 Ù …. Ù pm Þ q p1 p2



pm
\ q

Donde: p1, p2, p3…, pm representan a cada una de las premisas y “q” es la conclusión

16. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
El Método abreviado
Cuando el número de variables pasa de tres se torna tedioso el
método de la tabla de verdad; para contrarrestar este
inconveniente se utiliza el método abreviado cuyo procedimiento
consiste.
•Suponer que en la condicional: el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso.
•Determinar los valores de las variables del consecuente de
manera que expresen la falsedad de este.
•Reemplazar en el antecedente los valores obtenidos del
consecuente, para encontrar los valores de las demás variables.
•Si se verifica la estructura de la condicional con dichos valores la
inferencia es inválida, sin embargo, si obtenemos una proposición
simple con dos valores de verdad se concluye que es una
contradicción y por lo tanto la inferencia será válida.

17. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Ejemplo:
Si la tormenta continúa, nos quedaremos en casa; si nos quedamos en casa, no
iremos al concierto. Luego si la tormenta continúa no iremos al concierto.
Fórmula p: La tormenta continúa (p ® q)
q: nos quedamos en casa q ® ~ r
r : iremos al concierto _______
p ® ~ r
[( p ® q) Ù ( q ® ~ r) ] ® (p ® ~ r)
V ® F
* p ® ~ r º F ; V (p) º V V ( r) º V
* p ® q º V ; V (p) º V V ( q) º V
* q ® ~ r º V ; V (q) º V V ( r) º F
Observamos que r tiene dos valores luego la inferencia es válida.

18. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
INFERENCIA LÓGICA0     
7
Si de una o mas proposiciones llamadas premisas, se deduce la afirmación de una proposición, llamada
conclusión se dice que se ha construido una inferencia. () & (
4  4 4  4
Ejemplos: Determinar si p ν q es una consecuencia valida de:
~p  ~q, ~q  r, ~ r
pqr( ~p  ~q ) ^ (~q  r) ^ (~r)( p ν q)
VV V V V V F F V V
VV F V V V V V V V
VF V V V V F F V V
VF F V F F F V V V
FV V F F V F F V V
FV F F F V F V V V
FF V V V V F F V F
FF F V F F F V V F
1 3 2 5 4 7 6+
Como el resultado es una tautología la inferencia es valida

19. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos):(
0
( 
Determinar la validez de la inferencia siguiente:
Sí el triángulo es isósceles entonces tiene dos lados iguales. Pero el triángulo no tiene dos lados
iguales: por lo tanto no es isósceles. 0(
.
.
( ; %  ' "%4'<  %4 '
Solución:
p= El triángulo es isósceles.
q= El triángulo tiene dos lados iguales.
El esquema de la inferencia sería: [(p  q) ^ (~q) ]  (~p)
pq( p  q ) ^ (~q) (~p)
VV V F F V F
VF F F V V F
FV V F F V V
FF V V V V V
1 3 2 5 4+
Como el resultado es una tautología la inferencia es valida

20. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Si llovió entonces hubo nubes. No hubo nubes, por tanto, no llovió.
p q( p → q)^~q →~p
V V V FF V F
V F F FV V F
F V V FF V V
F F V VV V V
1 32 5 4
EJEMPLOS
La simbolización es:
p = llovió y
q =hubo nubes
Luego, la simbolización completa es:
p→ q
~q
~p+
Como el resultado es una tautología la inferencia es valida

21. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Si se levanta aire húmedo, entonces refrescará. Si refresca entonces se formarán
nubes, no se levanta aire húmedo. Por tanto, no se formarán nubes.
La simbolización es:
p= Se levanta aire húmedo y
q=refrescará
r=se formarán nubes.
p q r [ (p → q)^ (q → r) ]^~p→ ~r
V V V V V V F F V F
V V F V F F F F V V
V F V F F V F F V F
V F F F F V F F V V
F V V V V V V V F F
F V F V F F F V V V
F F V V V V V V F F
F F F V V V V V V V
1 3 2 5 4 7 6
Luego, la simbolización completa es:
p → q
q → r
~p
~r+
Como el resultado no es una tautología la inferencia no es valida

22. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
El amor es ciego y los hombres no son conscientes del hecho de que el amor es ciego, o el amor es
ciego y las mujeres sacan ventaja de ello. Si los hombres no son conscientes de que el amor es ciego,
entonces el amor no es ciego. En conclusión, las mujeres sacan ventaja de ello.
Amor ciego: p
Hombres no conscientes: ~ q
Mujeres sacan ventaja: r
FORMALIZAMOS: ((p ^ ~q) v (p ^ r)) ^(~q → ~p) →r
Pqr((p^~q)v(p^r))^(~q→~p)→r
VVVVFFVVVVVVFVVFVVV
VVFVFFVFVFFFFVVFVVF
VFVVVVFVVVVFVFFFVVV
VFFVVVFVVFFFVFFFVVF
FVVFFFVFFFVFFVVVFVV
FVFFFFVFFFFFFVVVFVF
FFVFFVFFFFVFVFVVFVV
FFFFFVFFFFFFVFVVFVF+
Como el resultado es una tautología la inferencia es valida

23. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Cuando Eduardo no juega al baloncesto, juega al tenis;
cuando juega al tenis, juega al fútbol; no juega al fútbol. Por tanto, Eduardo juega al
baloncesto.
Eduardo juega baloncesto: p
Eduardo juega tenis: q
Eduardo juega fútbol: r
FORMALIZAMOS: ((~p → q) ^ (q → r)) ^ ~r → p
p q r((~p→ q)^(q→ r))^ ~ r→ p
V V V F V V V V V V V F F V V V
V V F F V V V F V F F F V F V V
V F V F V V F V F V V F F V V V
V F F F V V F V F V F V V F V V
F V V V F V V V V V V F F V V F
F V F V F V V F V F F F V F V F
F F V V F F F F F V V F F V V F
F F F V F F F F F V F F V F V F+
Como el resultado es una tautología la inferencia es valida

24. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Resolver: Traducir a forma simbólica y comprobar la validez
de los enunciados.
1.Si usted gana el premio mayor, entonces se hará millonario. Se hace
usted millonario, entonces podrá vivir mejor. Usted gana el premio
mayor luego:
2.Si la enfermedad del paciente tiene un diagnóstico de tuberculosis
,entonces la bacteria que posee es el bacilo de Koch .Se sabe que la
bacteria que posee no es bacilo de Koch. En consecuencia.
3.El argumento: Eres Ingeniero o Matemático. Pero no eres
profesional en matemáticas. Por tanto:
4.La proposición Si caigo, me levanto. Si me levanto, camino. Por
tanto.
p. : gana el premio mayor q. : es millonario r. : podré vivir mejor.
{[(p → q) ^ (q → r)] ^ p} → r
p. : la enfermedad tiene un diagnóstico de tuberculosis q. : la bacteria es el bacilo de Koch.
[(p → q) ^ ~ q ] → ~ p
[(p v q) ^ ~ q] → p
eres profesional en Ingeniería
ya que caigo bien se ve que camino
p : Me caigo q : Me levanto r : camino [(p → q) ^ (q → r) ] → (p → r)

25. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Reglas de Inferencia.
Cuando aparecen tres o más proposiciones simples en
un argumento resulta tedioso estar utilizando las tablas
de verdad para verificar su valides, existe un método
más conveniente para verificar si un argumento es
válido o no, es deducir las conclusiones de sus
premisas por una secuencia de argumentos más
cortos y más elementales que sabemos válidos. A
estos nuevos argumentos más cortos, que son válidos,
se les llama Reglas de Inferencia.

26. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Modus Ponendo Ponens
Esta regla de inferencia se aplica cuando aparecen como premisas
una condicional y el antecedente de esa condicional para obtener
como conclusión al consecuente de la condicional. Consideremos
algunos ejemplos en donde se aplica la regla de Inferencia del
Modus Ponendo Pones.
Ejm. Nº1
Si estudio mucho, entonces pasaré el examen….premisa 1
Estudio mucho…………………………………………premisa 2
Pasaré el examen……………………………………...conclusión.
Ejm. Nº2
Si no hace frió, entonces el lago no se helará….premisa 1
No hace frió……………………………………………premisa 2
El lago no se helará………………………………….conclusión
A  BP1
A P2
B Conclusión
⌐C  ⌐ D P1
⌐C P2
⌐ D Conclusión

27. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Modus Tollendo Tollens
Esta regla de inferencia se aplica cuando se tiene como premisas a
una proposición condicional y como otra de las premisas a la
negación del consecuente de la condicional, para obtener como
conclusión la negación del antecedente.
Si llovió entonces hubo nubes………….…premisa 1
No hubo nubes………………………… …premisa 2
No llovió………………………………… …. conclusión.
A  B P1
⌐B P2
⌐ A Concusión

28. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Regla de Adjunción
Esta regla será denotada con “A” y consiste en lo siguiente.
Supongamos que se tienen las proposiciones verdaderas:
Cinco es mayor que tres
Y la segunda es:
Tres es menor que cuatro
Como ambas son verdaderas, entonces también lo es la
proposición:
Cinco es mayor que tres y tres es menor que cuatro
Al simbolizar las proposiciones se tiene lo siguientes:
A P1
B P2 A ^ B Conclusión

29. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Regla de Simplificación
Esta regla la denotaremos con “S” y es recíproca a la anterior,
es decir, si se tiene la proposición verdadera:
Cinco es mayor que tres y tres es menor que cuatro
Podemos deducir las proposiciones verdaderas:
La primera de ellas es: cinco es mayor que tres
Y la segunda es: tres es menor que cuatro
Ahora al simbolizar las proposiciones se tiene:
A ^ B P1
A Conclusión
B Conclusión

30. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Ley de Silogismo Hipotético
La abreviatura que utilizaremos es “S.H.” y si se tienen las
premisas:
Si voy a la Universidad entonces asisto a clases
Si asisto a clases entonces entiendo los temas
Al utilizar la Ley del Silogismo Hipotético concluimos:
Si voy a la Universidad entonces entiendo los temas
Al simbolizar estas proposiciones se tiene lo siguiente:
A=voy a la Universidad B=asisto a clases y C=entiendo los temas.
Luego la simbolización completa es:
A  B P1
B  C P2
A  C Conclusión

31. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Ley de Silogismo Disyuntivo
Esta ley afirma:
Sí se niega uno de los miembros de una premisa disyuntiva,
se concluye en la afirmación del otro miembro.
Ejemplo:
X es número par o múltiplo de 5……..p v q
X no es par……………………………. ~p
X es múltiplo de 5………………….. q ó
X es número par o múltiplo de 5……..p v q
X no es múltiplo de 5.………………. ~q
X es par………………………….……. p

32. 19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos
Reglas de Inferencia
[( p ® q) Ù Øq ] Þ ØpModus Tollens
[ p Ù ( p ® q)] Þ qModus Ponens
p Þ ( p Ú q )Amplificación
( p Ù q ) Þ pSimplificación
Implicación lógicaNombre de la Regla
[( p Ú q) Ù Øp)] Þ qSilogismo disyuntivo
[(p ® q) Ù (q ® r)] Þ (p ® r)Silogismo hipotético
( p Ù q ) = p
( p Ù q ) = q
Reducción