Límite de Funciones a Trozos.pdf

Cálculo de funciones a trozos

1. L´IMITESLATERALES DE UNA FUNCI´ON

2. CONTENIDO
1
L´IMITESLATERALES
L´ımite Lateral Derecho
L´ımite Lateral Izquierdo

3. OBJETIVOGENERAL Usar la sustituci´on directa para calcular los l´ımites laterales de una fun-
ci´on en un punto.
OBJETIVOSESPEC´IFICOS
1
Entender el concepto de l´ımite lateral de una funci´on en un punto.
2
Determinar la existencia o no del l´ımite de una funci´on definida a
trozos.

4. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LDE R E C H O
L´ımiteLateralDerecho
l´ım
x→a
+
f(x)=L

5. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LDE R E C H O
Definici´on
Sea
l´ım
x→a
+
f(x) =L
se lee ´ımite derecho def(x)cuandoxtiende aa(o ´ımite
def(x)cuandoxse acerca aadesde la derecha) es iguala L, si
se puede aproximar los valores def(x)aLtanto como quiera,
escogiendo unaxlo bastante cerca deapero no menor quea

6. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LDE R E C H O
L´ımiteLateralDerecho
FIGURA1:´ımite lateral por derecha def(x)

7. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LDE R E C H O
Ejemplo
Si
f(x) =
√
x
Calcule
l´ım
x→0
+
−√
x
˙

8. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LDE R E C H O
Soluci´on
Para ello, evaluamosf(x)para valores dexcada vez m´as “cerca-
nos” a 0 pero mayores que 0
Acercamiento por derecha
←−−−−−−−−−−−−−−−−−−
x00.00010.00010.0010.01 0.1
f(x) 0.00310.01000.03160.10000.3162
Se observa que a medida quexse acerca a 0 por la derecha,f(x)
se acerca a 0. Por lo tanto, se concluye que
l´ım
x→0
+
Γ√
x
∆
=0

9. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
L´ımiteLateralIzquierdo
l´ım
x→a
−
f(x)=L

10. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Definici´on
Sea
l´ım
x→a
−
f(x) =L
se lee ´ımite izquierdo def(x)cuandoxtiende aa(o ´ımite
def(x)cuandoxse acerca aadesde la izquierda) es iguala L,
si se puede aproximar los valores def(x)aLtanto como quiera,
escogiendo unaxlo bastante cerca deapero no menor quea

11. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
L´ımiteLateralIzquierdo
FIGURA2:f(x)

12. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Ejemplo
Si
f(x) =
1
x
Calcule
l´ım
x→0
−
ȷ
1
x
ff

13. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Soluci´on
Para ello, evaluamosf(x)para valores dexcada vez m´as “cerca-
nos” a 0 pero mayores que 0
Acercamiento por izquierda
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
x−0.1−0.01−0.001−0.0001−0.0000010
f(x)−10−100−1000.0−10000−100000
Se observa que a medida quexse acerca a 0 por la izquierda,f(x)
se va hacia infinito negativo. Por lo tanto, se concluye que
l´ım
x→0
−
θ
1
x
ι
=−∞

14. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Teorema
Si
l´ım
x→a
−
(f(x)) =Ly l´ım
x→a
+
(f(x)) =L
entonces
l´ım
x→a
(f(x)) =L
Es decir, el l´ımite def(x)existe si los l´ımites laterales existen y
son iguales.

15. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Ejemplo
Seaf(x)tal como se define en la Figura 3
FIGURA3: ´onf(x)definida a trozos

16. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Con base en la Figura 3, calcule
1
l´ım
x→0
−
(f(x))
2
l´ım
x→0
+
(f(x))
3
l´ım
x→0
(f(x))

17. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Soluci´on
Con base en la Figura 3, se puede concluir que
1
l´ım
x→0
−
(f(x)) =1
2
l´ım
x→0
+
(f(x)) =
−1
3
l´ım
x→0
(f(x))NO
existe

18. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Ejemplo
Con base en la Figura 3, calcule
1
l´ım
x→3
−
(f(x))
2
l´ım
x→3
+
(f(x))
3
l´ım
x→3
(f(x))

19. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Soluci´on
Con base en la Figura 3, se puede concluir que
1
l´ım
x→3
−
(f(x)) =3
2
l´ım
x→3
+
(f(x)) =3
3
l´ım
x→3
(f(x)) =3

20. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
C´alculodel´ımitesdefuncionesa
trozosutilizandosustituci´ondirecta

21. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Ejemplo
Sea
f(x) =











1−x
3
six<1
x
2
+2 ≤x≤3
4−xsix>3
Calcule
1
l´ım
x→1
−
(f(x))
2
l´ım
x→1
+
(f(x))
3
l´ım
x→1
(f(x))

22. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Soluci´on
Con base enf(x), y usando sustituci´on directa en cada caso, se
tiene
1
l´ım
x→1
−
(f(x) l´ım
x→1
−
−
1−x
3
˙
=0
2
l´ım
x→1
+
(f(x) l´ım
x→1
−
−
x
2
+2
˙
=3
Dado que
l´ım
x→1
−
(f(x))̸=l´ım
x→1
+
(f(x))
se concluye que
l´ım
x→3
(f(x))No existe

23. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Ejemplo
Sea
f(x) =











1−x
3
six<1
x
2
+2 ≤x≤3
4−xsix>3
Calcule
1
l´ım
x→3
−
(f(x))
2
l´ım
x→3
+
(f(x))
3
l´ım
x→3
(f(x))

24. L´I M I T E SLAT E R A L E SL´I M I T ELAT E R A LIZ Q U I E R D O
Soluci´on
Con base enf(x), y usando sustituci´on directa en cada caso, se
tiene
1
l´ım
x→3
−
(f(x) l´ım
x→3
−
−
x
2
+2
˙
=3
2
l´ım
x→3
+
(f(x) l´ım
x→3
−
(4−x) =3
Dado que
l´ım
x→3
−
(f(x)) =l´ım
x→3
+
(f(x))
se concluye que
l´ım
x→3
(f(x)) =3