Límite de una Función: Introducción, Definición

Demostrar el límite de una función

1. Lic. Jesús E. Alarcón Samplini Mg.
Matemática II -Agronomía
Tema:LímitedeunaFunción.
*)Introducción.
*)DefiniciónformaldeLímite-.

2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
INTRODUCCIÓN :
Enmatemática,ellímiteesunnúmerorealesdecirpuedeser:unnúmeronatural,unnúmeroentero,
unnúmeroracional:fracción,decimalexacto,decimalperiódicopuro,decimalperiódicomixtooun
númeroirracional:raízinexacta,,e;cuyavariableindependiente“x”tomavaloresmuypróximoso
cercanos,dondelafunciónnoestádefinida,sinllegaraalcanzarlo,asítenemoslasiguientefunción:
????????????=
0.75??????
3
+0.25??????
2
−1
??????−1
;??????≠1
Sedanvaloresalavariable“x”,menoresymayoresque1,peroquésucedecuandox=1¿Cómoesel
comportamientode?????????????
Lafunción????????????,noestádefinidoenx=1(veaelpequeñoagujero)observequecuando“x”toma
valorescercanosauno,sinimportansi“x”seaproximaporlaizquierda(x<1)oporladerecha(x>1),
elvalorúnicodelafunción????????????,seaproximaa2.75;enconclusiónellímitede????????????,cuando“x”se
aproximaa1eselnúmeroreal2.75.Ennotacióndelímites,tenemos:
lim
??????→1
0.75??????
3
+0.25??????
2
−1
??????−1
=2.7522

3. Comprobaremoselresultado2.75conelprocedimientodeltemaanteriorsobrelas
fraccionesracionales.
Procedimiento:
1)Seleccionamoscinconúmerosconcifrasdecimaleslomáscercanoalnúmero1porla
izquierdayporladerecha.Tenerencuentalaposicióndelosnúmerosenlarecta
numérica.Así:
2)Reemplazamoscadavalorde“x”enlafunciónf(x).Así:

4. 3)Respondemosalapregunta.
*)Cuandolosvaloresde“x”seacercanalnúmero1porlaizquierdaesdecirdesde0.9
hasta0.99999;entonceslosvaloresdelrango“f(x)”seacercanporlaizquierdadesdeel
2.5075hastael2.749975000075.Porlotantoelvalordelrango“f(x)”iráaproximándose
cadavezmásal2.75cuandoelvalorde“x”seacercacadavezmásalnúmerocentral1por
laizquierda.
*)Perocuandolosvaloresde“x”seacercanalnúmero1porladerechaesdecirdesde1.1
hasta1.00001;entonceslosvaloresdelrango“f(x)”seacercanporladerechadesdeel
3.0075hastael2.750025000075.Porlotantoelvalordelrango“f(x)”iráaproximándose
cadavezmásal2.75cuandoelvalorde“x”seacercacadavezmásalnúmerocentral1por
laderecha.
Porlotantoelvalordelafunciónf(x)seaproximacadavezmásporlaizquierdayporla
derechaalnúmero2.75.

5. 4)Gráficadelafunciónf(x),lafunciónf(x)noestádefinidoenx=1(veaelpequeño
agujerodecolorrojo

6. 2.DEFINICIÓNFORMALDELÍMITE
Ellímitede????????????cuando“x”seacercaa“b”,eselnúmeroreal“L”,cuyanotaciónse
demuestraen:
lim
??????→??????
??????(??????)=??????, dónde:??????(??????)L< y 0<x–b<
Nota:Elvalorde“”(épsilon)esunnúmeromuypequeñoqueseacercamuchoalcero.
Esoquieredecirque??????(??????)Lesunnúmeropositivomenorque“”,ydondeelvalor
de“”(delta)dependede“”.
Laletragriegaépsilon“”esunnúmeropositivoarbitrarioqueconstituyelamedidade
proximidadalnúmero“L”.ylaletragriegadelta“”,esunnúmeropositivo,yestáen
funciónde“”.
Entonces:??????(??????)L<siempreque0<x–b<.
Ellímite“L”debeserindependientedelamaneraenque“x”seaproximaa“b”,esdecir
ellímitedebeserelmismosi“x”,seaproximaa“b”porlaizquierdaoporladerecha.

7. Ejemplo 1: Aplicando la definición formal de límite . Demuestre que:
lim
??????→2
(4??????−2)=6
Procedimiento:
1) Identificamos los elementos en: lim
??????→??????
??????(??????)=??????
????????????=(4??????−2) ; L = 6 ; b = 2
2) Reemplazar los valores en la expresión: ??????(??????)L< siempre que 0 < x –b< :
(4x –2) 6< siempre que 0 < x –2< .
3) Relacionamos la ordenada f(x) con la abscisa “x”:
4x –2 6< siempre que 0 < x –2< .
4x –8< siempre que 0 < x –2< .
4(x –2)< siempre que 0 < x –2< .
4x –2< siempre que 0 < x –2< .
x –2<
??????
4
siempre que 0 < x –2< .

8. 4) Ahora igualamos ambas expresiones:
(x –2<
??????
4
) = ( 0 < x –2< )
Y se concluye que:
??????
4
=&#3627409151;
5) Luego si = 0.01 (es decir, la medida de aproximación al límite L=6 es de una centésima “0,01”; puede ser
más pequeño “cercano” si se desea), entonces:
δ=
ε
4
=
0.01
4
=0.0025,quedandofinalmente:
??????(??????)L<  siempre que 0 < x –b< 
< ??????(??????)L <  siempre que < x –b < 
L < ??????(??????)< L +  siempre que b < x < b + 
6 0.01 < ??????(??????)< 6 + 0.01 siempre que 2 0.0025 < x < 2 + 0.0025
5.99 < ??????(??????)< 6.01 siempre que 1.9975 < x < 2.0025
Por lo tanto:X 1.9975 2 2.0025
f(x)5.99 --- 6.01

9. 6)Gráficade:lim
??????→2
(4??????−2)=6(veaelpequeñoagujerodecolorrojo

10. Ejemplo 2: Aplicando la definición formal de límites con los números y . Demuestre que:
lim
x→3
x
2
=9
Procedimiento:
1) Identificamos los elementos en: lim
??????→??????
??????(??????)=??????
????????????=??????
2
; L = 9 ; b = 3
2) Reemplazar los valores en la expresión: ??????(??????)L< siempre que 0 < x –b< :
x
2
9< siempre que 0 < x –3< .
3) Relacionamos la ordenada f(x) con la abscisa “x”:
(x + 3)(x 3)< siempre que 0 < x –3< .
x + 3x 3< siempre que 0 < x –3< .

11. 4) Como “x” tiende a 3 (x3), entonces el 3 se encuentra entre el 2 y el 4 para:x + 3x 3
2 < x < 4 y 2 < x < 4
2 + 3 < x + 3 < 4 + 3 y 2 3 < x 3 < 4 3
5 < x + 3 < 7 y 1 < x 3 < 1
5< x + 3< 7 y 1< x 3< 1
5 < x + 3< 7 y 1 < x 3< 1
5 < x + 3< 7 y x 3< 1
x + 3< 7 y = 1
5) Multiplicamos por x + 3< 7 a la abscisa, así:
(x + 3< 7 )(0 < x –3< )
= 0 < x + 3x –3< 7

12. 6) Ahora igualamos ambas expresiones:
x + 3x 3< = 0 < x + 3x –3< 7
Y se concluye que:ε=7∙δ,
ε
7
=δ→δ=mínimo&#3627409151;
1=1,&#3627409151;
2=
??????
7
7) Luego si = 0.01 (es decir, la medida de aproximación al límite L=9 es de una centésima “0,01”;
puede ser más pequeño “cercano” si se desea), entonces:
δ=
ε
7
=
0.01
7
=0.0014aproximadamente,quedandofinalmente:
??????(??????)L<  siempre que 0 < x –b< 
< ??????(??????)L <  siempre que < x –b < 
L < ??????(??????)< L + siempre que b < x < b + 
9 0.01 < ??????(??????)< 9 + 0.01 siempre que 3 0.0014 < x < 3 + 0.0014
8.99 < ??????(??????)< 9.01 siempre que 2.9986 < x < 3.0014

13. Por lo tanto:
X 2.9986 3 3.0014
f(x) 8.99 --- 9.01

14. 8)Gráficade:lim
x→3
x
2
=9(veaelpequeñoagujerodecolorrojo

15. Ejemplo 3: Aplicando la definición formal de límites con los números y . Demuestre que:
lim
x→1
3x
2
+2x+1=6
Procedimiento:
1) Identificamos los elementos en: lim
??????→??????
??????(??????)=??????
fx=3x
2
+2x+1 ; L = 6 ; b = 1
2) Reemplazar los valores en la expresión: ??????(??????)L< siempre que 0 < x –b< :
3x
2
+ 2x + 1 6< siempre que 0 < x –1< .
3) Relacionamos la ordenada f(x) con la abscisa “x”:
3x
2
+ 2x 5< siempre que 0 < x –1< .
(3x + 5)(x –1)< Siempre que 0 < x –1< .
3x + 5x –1< siempre que 0 < x –1< .

16. 4) Como “x” tiende a 1 (x1), entonces el 1 se encuentra entre el 0 y el 2 para: 3x + 5x –1
0 < x < 2 y 0 < x < 2
30 < 3x < 32 y 0 1 < x 1 < 2 1
0 < 3x < 6 y 1 < x 1 < 1
0 + 5 < 3x + 5 < 6 + 5 y 1 < x 1 < 1
5 < 3x + 5 < 11 y 1 < x 1 < 1
5< 3x + 5< 11 y 1< x 1< 1
5 < 3x + 5< 11 y 1 < x 1< 1
5 < 3x + 5< 11 y x 1< 1
3x + 5< 11 y = 1

17. 5) Multiplicamos por 3x + 5< 11 a la abscisa, así:
(3x + 5< 11)(0 < x –1< )
= 0 < 3x + 5x –1< 11
6) Ahora igualamos ambas expresiones:
3x + 5x 1< = 0 < 3x + 5x –1< 11
Y se concluye que:
ε=11∙δ,
ε
11
=δ→δ=mínimo&#3627409151;
1=1,&#3627409151;
2=
&#3627409152;
11

18. 7) Luego si = 0.01 (es decir, la medida de aproximación al límite L=6 es de una centésima
“0,01”; puede ser más pequeño “cercano” si se desea), entonces:
δ=
ε
11
=
0.01
11
=0.0009aproximadamente,quedandofinalmente:
??????(??????)L<  siempre que 0 < x –b< 
< ??????(??????)L <  siempre que < x –b < 
L < ??????(??????)< L + siempre que b < x < b + 
6 0.01 < ??????(??????)< 6 + 0.01 siempre que 1 0.0009 < x < 1 + 0.0009
5.99 < ??????(??????)< 6.01 siempre que 0.9991 < x < 1.0009
Por lo tanto:X 0.9991 1 1.0009
f(x)5.99 --- 6.01

19. 8)Gráficade:lim
x→1
3x
2
+2x+1=6(veaelpequeñoagujerodecolorrojo

20. Ejemplo 4: Aplicando la definición formal de límites con los números y . Demuestre que:
lim
x→5
x+3
x−3
=4
Procedimiento:
1) Identificamos los elementos en: lim
x→b
f(x)=L
fx=
x+3
x−3
; L=4 ;b=5
2) Reemplazar los valores en la expresión: ??????(??????)L< siempre que 0 < x –b< :
x+3
x−3
−4< siempre que 0 < x –5< .
3) Relacionamos la ordenada f(x) con la abscisa “x”:
x+3−4x−3
x−3
< siempre que 0 < x –5< .
x+3−4x+12
x−3
< siempre que 0 < x –5< .
15−3x
x−3
< siempre que 0 < x –5< .
−3x−5
x−3
< siempre que 0 < x –5< .
3x−5
x−3
< siempre que 0 < x –5< .

21. 4) Como “x” tiende a 5 (x5), entonces el 5 se encuentra entre el 4 y el 6 para:
3x−5
x−3
4 < x < 6 y 4 < x < 6
4 –3 < x –3 < 6 –3 y 4 5 < x 5 < 6 5
1 < x –3 < 3 y 1 < x 5 < 1
1< x –3< 3 y 1< x 5< 1
1 < x –3< 3 y 1 < x 5< 1
1 <
1
x−3
<
1
3
y x 5< 1
1
3
<
1
x−3
< 1 y x 5< 1
3??????1
3
<
3??????1
x−3
< 3x1 y x 5< 1
1 <
3
x−3
< 3 y x 5< 1
3
x−3
< 3 y = 1

22. 5) Multiplicamos por
3
x−3
< 3 a la abscisa, así:
(
3
x−3
< 3)(0 < x –5< )
= 0 <
3x−5
x−3
< 3
6) Ahora igualamos ambas expresiones:
3x−5
x−3
< = 0 <
3x−5
x−3
< 3
Y se concluye que:
ε=3∙δ,
ε
3
=δ→δ=mínimo&#3627409151;
1=1,&#3627409151;
2=
&#3627409152;
3

23. 7) Luego si = 0.01 (es decir, la medida de aproximación al límite L=4 es de una centésima
“0,01”; puede ser más pequeño “cercano” si se desea), entonces:
δ=
ε
3
=
0.01
3
=0.0033aproximadamente,quedandofinalmente:
??????(??????)L<  siempre que 0 < x –b< 
< ??????(??????)L <  siempre que < x –b < 
L < ??????(??????)< L + siempre que b < x < b + 
4 0.01 < ??????(??????)< 4 + 0.01 siempre que 5 0.0033 < x < 5 + 0.0033
3.99 < ??????(??????)< 4.01 siempre que 4.9967 < x < 5.0033
Por lo tanto:
x 4.9967 5 5.0033
f(x)4.01 --- 3.99

24. 8)Gráficade:lim
x→1
x+3
x−3
=4(veaelpequeñoagujerodecolorrojo