LA CIRCUNFERENCIA matemáticas nivelación.pptx

Para estudiantes de matemáticas

1. La circunferencia Jhon Dairo Diego chavarro Yeiner Camilo

2. QUE ES? La circunferencia es un concepto fundamental en geometría. Básicamente, es el **conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia fija de un punto central**. Esa distancia fija se llama **radio** y el punto central se llama **centro

3. Ecuacion Esta es la forma más básica y revela directamente el centro y el radio. Si el centro de la circunferencia está en el punto \((h, k)\) y su radio es \(r\), la ecuación canónica es: (x - h)² + (y - k)² = r² * **\( (h, k) \)** es el centro de la circunferencia. * **\(r\)** es el radio de la circunferenci .

4. * *Ejemplo:** Si el centro es \((2, -3)\) y el radio es 5, la ecuación canónica sería: \[ (x – 2)²+ (y – (-3))²= 5²\] \[ (x – 2)² + (y + 3)² = 25 \] Si el centro está en el origen \((0, 0)\), la ecuación se simplifica a:
\[ x² + y² = r²\]

5. Ecuacion general Podemos obtener la ecuación general al expandir la ecuación canónica. La forma general de la ecuación de una circunferencia es: \[ x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0 \] Donde \(D\), \(E\), y \(F\) son constante. Para pasar de la ecuación general a la canónica (y así encontrar el centro y el radio), usamos el método de **completar el cuadrado**.

6. Supongamos que tenemos la ecuación general: \(x²+ y² – 4x + 6y – 12 = 0\)
1. **Agrupa los términos con \(x\) y los términos con \(y\):**
\((x² – 4x) + (y² + 6y) = 12\)
2. **Completa el cuadrado para los términos de \(x\):** Toma la mitad del coeficiente de \(x\) (\(-4/2 = -2\)) y elévalo al cuadrado (\((-2)² = 4\)). Suma 4 a ambos lados de la ecuación. \((x² – 4x + 4) + (y² + 6y) = 12 + 4\) 3. **Completa el cuadrado para los términos de \(y\):*
Toma la mitad del coeficiente de \(y\) (\(6/2 = 3\)) y elévalo al cuadrado (\(3² = 9\)). Suma 9 a ambos lados de la ecuación. \((x² – 4x + 4) + (y²+ 6y + 9) = 12 + 4 + 9\)4. *Reescribe en forma de binomio al cuadrado y simplifica el lado derecho:** \((x – 2)² + (y + 3)² = 25\)
Ahora tenemos la ecuación en forma canónica. De aquí podemos ver que el centro es \((2, -3)\) y el radio es \(\ sqrt {25} = 5\).

7. Aplicaciones La circunferencia aparece en muchos lugares de la vida real y en diversas áreas:
* **Astronomía:** Las órbitas de los planetas y satélites son elípticas, pero a menudo se aproximan como circunferencias para simplificar cálculos * **Ingeniería:** En el diseño de ruedas, engranajes, tuberías, y en sistemas de navegación (como el GPS, que utiliza el principio de trilateración basado en distancias a satélites, formando esferas, que son la versión 3D de la circunferencia).
* **Arquitectura:** Arcos, cúpulas, y el diseño de edificios circulares.
* **Arte y Diseño:** Patrones circulares, mandalas , y la composición vvisual **Física:** Movimiento circular uniforme, ondas circularesñ .

8. Posición Relativa entre Puntos y Circunferencias Podemos determinar si un punto está dentro, sobre o fuera de una circunferencia. Si tenemos una circunferencia con centro \((h, k)\) y radio \(r\), y un punto \(( x_p , y_p )\): * **Punto dentro de la circunferencia:** Si la distancia del punto al centro es menor que el radio (\(d < r\)). Equivalentemente, si \(( x_p – h)² + ( y_p – k)²< r²\). * **Punto sobre la circunferencia:** Si la distancia del punto al centro es igual al radio (\(d = r\)). Equivalentemente, si \(( x_p – h)² + ( y_p – k)² = r²\). * **Punto fuera de la circunferencia:** Si la distancia del punto al centro es mayor que el radio (\(d > r\)). Equivalentemente, si \(( x_p – h)² + ( y_p – k)² > r²\).

9. Preguntas tipo saber

10. Pregunta 1 **¿Cuál es la ecuación de una circunferencia con centro en \((4, -1)\) y radio 3?** A) \((x – 4)² + (y + 1)² = 9\)
B) \((x + 4)²+ (y – 1 )²= 3\)
C) \((x – 4)²+ (y – 1)²= 3\)
D) \((x + 4)²+ (y + 1)²= 9\)

11. Pregunta 2 **Si la ecuación de una circunferencia es:**
\[ x²+ y²– 10x + 8y + 25 = 0 \]
**¿Cuál es el radio de la circunferencia?**
A) 5
B) 3
C) 4
D) 2

12. Pregunta 3 **¿Qué punto está dentro de la circunferencia con centro en \((0, 0)\) y radio 5?**
A) \((3, 4)\)
B) \((5, 0)\)
C) \((6, 0)\)
D) \((0, 5)\)

13. Pregunta 4
**Si el centro de una circunferencia es \((-2, 3)\) y pasa por el punto \((1, 3)\), ¿cuál es la ecuación de la circunferencia?**
A) \((x + 2)²+ (y – 3)² = 9\)
B) \((x + 2)²+ (y – 3)²= 3\)
C) \((x – 1)²+ (y – 3)²= 9\)
D) \((x – 1)²+ (y + 2)² = 9\)

14. Pregunta 5
**La ecuación de una circunferencia es:**
\[ x² + y²– 6x – 4y + 9 = 0 \]
**¿Cuál es el centro de la circunferencia?** A) \((3, 2)\)
B) \((3, -2)\)
C) \((-3, 2)\) D) \((-3, -2)\)

15. Pregunta 6 **¿Cuál es la distancia entre el centro de la circunferencia con ecuación:**
\[ (x – 1)²+ (y + 2)²= 16 \]
**y el punto \((5, -2)\)?** A) 3
B) 4
C) 5 D) 6

16. Pregunta 7
**¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro los puntos \((1, 2)\) y \((7, 6)\)?** A) \((x – 4)²+ (y – 4)² = 8\)
B) \((x – 4)²+ (y – 4)²= 16\)
C) \((x – 4)²+ (y – 4)²= 4\)
D) \((x – 4)²+ (y – 4)² = 12\)

17. Pregunta 8
**Si un punto \((x, y)\) está a una distancia de 5 unidades del centro de la circunferencia en \((3, -4)\), ¿cuál es la ecuación de la circunferencia?**
A) \((x – 3)²+ (y + 4)²= 25\)
B) \((x + 3)²+ (y – 4)²= 25\)
C) \((x – 3)²+ (y + 4)² = 5\)
D) \((x + 3)²+ (y + 4)²= 25\)