La derivada

La derivada, Presentación Análisis Matemático 1 Conceptos básicos sobre derivada, tipos, reglas etc.

1. Leandro Ubrí Lorenzo 16-6556

2. La derivAda Análisis matemático 1

3. Contenido del tema Concepto de derivada . El problema de la tangente . Definición general de la derivada. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica Aplicaciones de la derivada. Relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función. Teoremas fundamentales sobre las derivadas. Reglas principales de derivación de funciones.

4. Derivada de algunas funciones simples. Derivada de una función compuesta, inversa, implícita, logarítmica, exponencial, potencial. Derivada de funciones trigonométricas inversas. Derivada fundamentales. Derivadas parciales. Funciones compuestas varias variables. Extremos locales de funciones de varias variables y extremos condicionados.

5. Concepto de derivada. El problema de la tangente

6. La Derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se le están alterando sus valores iniciales. La derivada de una función esta representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función), el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual esta siendo estudiada la función recibe el nombre de Derivada.

7. Derivada de una función en un punto de interpretación geométrica Geométricamente, la derivada de una función F(x) en un punto dado a da la pendiente de la recta tangente a F(x) en el punto a.

8. La recta dibujada forma un cierto ángulo que llamamos B. Evidentemente, este ángulo estará relacionado con el pendiente de la recta, que hemos dicho que el valor de la derivada en el punto de tangencia. Por lo tanto podemos concluir: Tan B = F’ (a)

9. Aplicaciones de la derivada Recta tangente: La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) es f’(a). Velocidad: si un punto P se mueve a lo largo de una recta coordenada de manera que el tiempo t su coordenada es S(t), entonces su velocidad al tiempo a es S’ (a).

10. Relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función La función derivada no siempre existe, puede suceder que en algún punto el limite no pueda ser calculado. Sin embargo existen unas condiciones que nos permiten asegurar la existencia de la función derivada. Cuando ello sucede se dice que la función F(x) es derivable.

11. Sea la función definida a trozos: El punto X=0 es especial ¿existe la derivada en este punto? Para ver si la derivada existe en el punto X=0 se utiliza el siguiente método: se busca el valor de la derivada acercándose al punto X=0 por la izquierda y luego por la derecha. Si los dos valores existen y coinciden diremos que la función es derivable en X=0. Veamos el ejemplo.

12. Una función derivable en el punto a es también continua en este punto a. El reciproco no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene que ser derivable en ese punto Estudiemos la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones

13. Teoremas fundamentales sobre las derivadas Teorema 1 : la derivada de una función constante es cero. Ejemplo: Si F(x)=8 entonces F’ (x)=0 Teorema 2: si F(x)=X entonces f es derivable sobre R y D x x =1. Ejemplo: D y y =1. Teorema 3: si F(x)= con n ∈ Q y X pertenece al conjunto A en el que esta bien definida, entonces f es derivable en A y D x = N . Ejemplo: Si F(x)= entonces F’(x)= 2 = 2 = 2x  

14. Teorema 4: si la función F es derivable sobre un intervalo K y c es un numero natural, entonces la función g para la que g(x)=c f(x) es derivable sobre K, además Dx [c f(x)] = c D x f(x). Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Ejemplo: 5. Si f(x) = 5x entonces f’( x) = 5 D x x = 5 · 1 = 5 . Teorema 5: Si f y g son dos funciones derivables sobre un intervalo K, entonces la función h = f + g es derivable sobre K y además Dx [f(x) + g(x)] = D x f (x) + D x g (x), para x ∈ K. Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones.

15. Ejemplo: Dx [ + ] = D x + D x = 3 +7 . Teorema 6: Si f y g son funciones derivables sobre un intervalo K entonces la función H = f · g es derivable sobre K, y además para cualquier x ∈ K se tiene que Dx [ F(x) . G(x)]= F(x) D x g(x)+g(x) D x f (x). Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera funci´on por la derivada de la segunda, m´as el producto de la segunda funci´on por la derivada de la primera. Ejemplo:  

16. Teorema 7: Si f y g son dos funciones derivables y si g(x ) ≠ 0 sobre un intervalo K entonces la función h = es derivable para cualquier ∈ K y se tiene Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.  

17. Reglas principales de derivación de funciones 1.Para una constante ''a'': ·Si  f (x)=a, su derivada es  f  '(x)=0 Ejemplo: → Si  f (x)=16, su derivada es  f  '(x)=0 2. Para la función identidad  f (x)= x. ·Si  f (x)= x, su derivada es  f  '(x)= 1. Ejemplo: →Si  f (x)= x,su derivada es  f  '(x) =1

18. 3.Para una constante ''a'' por una variable ''x'': ·Si  f (x)= ax , su derivada es  f  '(x)=a Ejemplo: →Si  f (x)= 7x, su derivada es  f  '(x)= 7 4.Para una varibale ''x'' elevada a una potencia ''n'': ·Si  f (x)=xⁿ, su derivada es  f  '(x)= nx ⁿˉ¹ Ejemplo: →Si  f (x)= x², su derivada es  f  '(x)= 2x

19. 5.Para una constante ''a'' por una varibale ''x' elevada a una potencia ''n'' ·Si  f (x)= ax ⁿ su derivada es  f  '(x)= anxⁿ̄ˉ¹ Ejemplo: →Si  f (x) = 4x², su derivada es  f  '(x)= 8x 6. Para una suma de funciones: ·Si  f (x) =  u ( x ) + v ( x ), su derivada es  f  '(x) =  u '( x ) +  v '( x ) Ejemplo: →Si  f (x)= 3x²+4x, su derivada es  f  '(x) = 6x+4

20. 7.La regla de producto. ·Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios, como por ejemplo:  f (x)=(2x³+3)(3x³-5); la regla de producto es : Si '' u '' y '' v '' son los polinomios: La función: f (x ) =  uv Su derivada:  f  '(x) =  u'v  + uv ' Veamos un ejemplo: ¿Cuál es la derivada de  f (x)= (2x³+3)(3x³-5)? →Solución: f (x)= (2x³+3)(3x³-5) f (x)= (6x²)(3x³-5) + (2x³+3)(12x³) Si es fácil simplificar la expresión,entonces debe simplificarse.

21. 8. La regla de cociente. ·Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios, como por ejemplo:  f  (x)= 2x³+3/3x²-5; la regla de cociente es: Si '' u' ' y '' v '' son los polinomios: La función:  f (x)=  u/v Su derivada:  f  '(x)=  u'v - uv '/v² Veamos un ejemplo: ¿Cuál es la derivada de  f (x) = 2x³+3/3x²-5? →Solución: f (x) = 2x³+3/3x²-5 f  '(x)= (6x²)(3x²-5)-(2x³+3)(12x³)/(3x²-5)² Si es fácil simplificar la expresión, entonces debe simplificarse .

22. 9.Regla de cadena. ·Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia como por ejemplo:  f (x) = (2x³+3)³; la regla de cadena es: Si '' u '' es el polinomio: La función:   f (x)=  uⁿ̄ Su derivada : f  '(x) =  n(u)ⁿˉ¹(u')̄ Veamos un ejemplo:¿Cuál es la derivada de  f (x) = (2x³+3)³? →Solución: f (x)=(2x³+3)³ f  '(x)=3(2x³+3)²(6x²) f  '(x)= 18x²(2x³+3)²

23. Derivada de algunas funciones simples Ejemplos : F( ) = 2 +4 F’(x)= G( ) = 7 -5 +9 +14 -2 G’(x)=  

24. Derivada de una función compuesta

25. Derivada de una función inversa Si (y) = Ejemplo si = encuentre f’ (y) (y)=  

26. Función implícita ? (*-1)  

27. Función logarítmica

28. Derivada de una función exponencial Ejemplo: = . F’(x)= Ejemplo 2: f’(x)= . (2x+5)  

29. Derivada de una función potencial Ejemplo: Y’ = 3 (x+ Y’=3 (x+  

30. Derivada de funciones trigonométricas inversas Derivada de la función arcoseno F( )= arc sen u f’( )= Derivada de la función arcocoseno F( )= arc cos f’( )= Derivada de la función arcotangente F( )= arc tg u f’( )=   Derivada de la función arcoseno

31. Derivada de la función arcocotangente F( )= arc cotg u f’( )= Derivada de la función arcosecante F( )= arc sec u f’( )= Derivada de la función arcocosecante F( )= arc cosec u f’( )=  

32. Derivadas fundamentales Explicita: una función explicita es aquella donde la ‘y’ esta despejada. Gráficamente la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto determinado de dicha curva la nomenclatura para indicar la derivada de una función puede ser de tres formas: y, dydx , f( ). Ejemplo: cuando derivamos con respecto a x f( ) = 9 ^2 F’( ) = 18  

33. Sucesivas: si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una función que se llama derivada segunda, f’’ ( ). Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f’’’( ) y así sucesivamente. Ejemplo: calcular las derivadas 1ª,2ª,3ª y 4ª de: f( )= - +36 -12 f’( )= -30x+36 f’’( )=12 -30 f’’’( )=12 ( )=0  

34. Derivadas parciales Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en calculo vectorial y geometría diferencial. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes: = axf = f’x  

35. Bibliografía https:// www.hiru.eus/es/matematicas/derivada-de-una-funcion https:// www.youtube.com/user/julioprofe https:// es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n http:// www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/funciones_vv.htm