La Elipse

Basicamente habla sobre la elipse en general.

1. LA ELIPSE

2. La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es : La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano , tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante . Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. 1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado . DEFINICION:

3. x 2 + xy + y 2 = 1 ECUACION:

4. Forma cartesiana centrada en el origen La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas , con centro en el origen, es : donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa , siendo ε la excentricidad y a el semieje mayor .

5. Forma cartesiana centrada fuera del origen Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es :

6. Vértices Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

7. Los focos de la elipse son dos puntos. Respecto de ellos la suma de las distancias a cualquier otro punto de la elipse es constante . FOCO:

8. Lado Mayor y Menor: Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje menor y a, b, c están ligados por la relación a2= b2+c2.

9. También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es:

10. , y la excentricidad e está dada por la fórmula e

11. GRAFICA DE LA ELIPSE CON SUS ELEMENTOS:

12. Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación : Con los datos de la ecuación podemos encontrar directamente los valores de a y b.

13. Con los valores de a y b podemos encontrar la distancia focal c . Por lo tanto la coordenadas de los focos son:

14. Los vértices y los covértices tienen las siguientes coordenadas: El gráfico sería :

15. Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación : De la gráfica obtenemos que:

16. Pero cuando queremos encontrar la distancia focal c, nos encontramos con un problema . El valor de c no es un número real. El error sería debido a que en este caso los focos de la elipse se encuentran en el eje y, ¿cómo nos damos cuenta de eso?, si observamos los valores de a y b vemos que b es mayor, eso nos indica que el diámetro mayor se encuentra sobre el eje y, y en él, están los focos. Como solucionamos nuestras cuentas, haciendo un cambio entre a y b. La ecuación que tendremos en cuenta será:

17. Entonces tenemos: y la distancia focal será:

18. Ahora hay que tener cuidado con las coordenadas : Vértices : Covértices: Focos :

19. El gráfico sería: