La función delta de Dirac

En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que
de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de
Laplace es F(s) = 1.

1. La función delta de Dirac Carrera: Ingenierías Asignatura : Matemática III Grupo : 2 Elaborado por : Karen Bonilla Fecha: 21/02/2019

2. Función delta de Dirac Introducción y teoría de la función delta de Dirac Transformada de Laplace de la función delta de Dirac Resolución de ejercicio planteado

3. Paul Dirac Ingeniero eléctrico, matemático y físico teórico británico que contribuyó de forma fundamental al desarrollo de la mecánica cuántica y la electrodinámica cuántica. " En ciencia uno intenta decir a la gente, en una manera en que todos puedan entender, algo que nunca nadie supo antes…”

4. Estado a t =0 Estado b t 2  2  Golpe preciso (Perturbación) Se propone un sistema con condiciones iniciales de reposo. En el estado “a” el sistema es un resorte en posición de equilibrio, en un medio en el cual el amortiguamiento es despreciable. En el tiempo 2  el resorte recibe un golpe preciso, que lo deja en las condiciones d el estado “b”. t 1 =2  Se generan las siguientes preguntas: ¿Cómo se modelaría matemáticamente el cambio que sufrió el sistema, en el instante de tiempo 1? ¿Existe alguna manera de predecir el cambio en el comportamiento del sistema?

5. Impulso unitario Los sistemas mecánicos suelen ser afectados por una fuerza externa en un periodo muy corto. Por ejemplo, podría caer un rayo en el ala vibrante de un avión, un martillo de bola podría golpear con precisión una masa en un resorte, una bola de golf podría ser enviada por el aire al ser golpeada de modo violento con un palo de golf.

6. La función definida por partes que se muestra podría servir como modelo para estas fuerzas. Ya que si se considera un valor muy pequeño de , es en esencia una función constante que está “activada” sólo durante un periodo muy corto * tiene la propiedad de integración .    

7. La forma que toma esta función cuando debido a su propiedad de integración, es como se muestra en b:   Por lo que en general podemos definir las propiedades:   El impulso unitario se llama función delta de Dirac  

8. Transformada de Laplace de la función delta de Dirac Es posible obtener la transformada de Laplace de la función delta de Dirac por la suposición formal de que, Así se puede escribir a la función de Dirac en términos de escalón unitario, tal que: A partir de la propiedad de la linealidad la transformada de Laplace puede ser escrita así:  

9. usando las transformada de Laplace* se sabe, * *  

10. puesto que el límite de esta última parte toma una forma indeterminada cuando , se aplica la regla de L’Hopital : Tomando que , como un caso específico, se concluye que,  

11. Volviendo al problema inicial… El sistema descrito corresponde a un modelo que describe el movimiento de una masa en un resorte, dado por . Como la masa está en reposo cuando ocurre el cambio los valores iniciales para el problema son:   Estado a t =0 Estado b t 2  2  Golpe preciso (Perturbación) t 1 =2  Con estos datos se puede resolver el problema a partir de la transformada de Laplace para ecuaciones diferenciales, y usando las transformadas*: * ,  

12. La ecuación diferencial es: ,de la que se despeja, , para obtener y(t) s e aplica la transformada inversa, tal que: y , a partir de la definición de la función escalón unitario se sabe entonces que:  

13. Los datos de los valores iniciales pueden cambiar la función resultante, así, si se supone que la masa se libera a partir del reposo una unidad más debajo de la posición de equilibrio. Con los valores iniciales Entonces, a partir de la ecuación diferencial al despejarla se tiene: , para obtener y(t) se aplica la transformada inversa, tal que: y  

14. Usando las siguientes transformadas de Laplace *: * , * se obtiene: , a partir de la definición de la función escalón unitario se sabe entonces que:  

15. En general, la delta de Dirac puede representar, la concentración de la fuerza en un tiempo que tiende a 0. Esta función constituye una aproximación para funciones picudas. En ocasiones se denomina también función de impulso

16. Zill , D. G., & Cullen , M. R. (2013).  Ecuaciones diferenciales . McGraw-Hill Interamericana . Referencias