La integral de fourier

Tema: La integral de Fourier, la Transformada de Fourier.
Autor: Juan Sanango
Docente Universidad de Cuenca

1. ANÁLISIS MATEMÁTICO IV
LA INTEGRAL DE FOURIER
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Juan Sanango
1

2. 2
En algunas aplicaciones físicas, el uso de funciones periódicas
llevaba a una representación de estas funciones en series de
Fourier.
Las funciones que no poseen periodo o son aperiódicas se
representan mediante la Integral de Fourier o una Transformada
de Fourier.
Las funciones aperiódicas también aparecen con bastante
frecuencia en aplicaciones físicas.

3. 3
Una función aperiódica se le puede definir como una función
periódica cuyo periodo T tiende al infinito, es decir, si f
T
(x) es
una función de periodo T, entonces f(x) se puede representar
como:
)(lím)( xfxf
T
T¥®
=

4. 4
Ejemplo 1:
ï
î
ï
í
ì
<<
<<
-<<
=
2
T
2
T
x1 si 0
1x1- si 1
1 - si 0
)(
x
xf
T
)(lím)( xfxf
T
T¥®
=

5. 5
Ejemplo 2:
)()(y - si )(
22
T xfTxfxexf
TT
T
x
T
=+<<=
-
x
T
T
exfxf
-
¥®
== )(lím)(

6. 6
Para la función f
T
(x), su serie de Fourier es:
å
¥
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
++=
1
22
cos)(
n
nnoT
T
xn
senb
T
xn
aaxf
pp
ò
ò
ò
-
-
-
=
=
=
2
2
2
2
2
2
2
sen)(
2
2
cos)(
2
)(
1
T
T
T
T
T
T
dx
T
xn
xf
T
b
dx
T
xn
xf
T
a
dxxf
T
a
Tn
Tn
To
p
p
Los coeficientes de Fourier se calculan usando las fórmulas de
Euler:

7. 7
Para el caso de la función f(x) aperiódica al realizar el cambio de w
n
=
2πn/T y aproximar a f(x) como el límite de la función f
T
(x) se obtiene
una representación de una integral de Fourier.
[ ]dwwxwBwxwAxf ò
¥
+=
0
sen)(cos)(
1
)(
p
ò
ò
¥
¥-
¥
¥-
=
=
wvdvvfwB
wvdvvfwA
sen)()(
cos)()(
Esta expresión será válida si y solo si el siguiente teorema se cumple:
TEOREMA: Si f(x) es seccionalmente continua en todo intervalo finito con
derivadas por la derecha e izquierda en todo punto y la integral de f(x) existe;
entonces f(x) se puede representar mediante una integral de Fourier. Si f(x) es
discontinua en algún punto el valor de la integral de Fourier es el promedio de
los límites desde la izquierda y derecha de f(x) en ese punto de discontinuidad.

8. 8
Ejemplo 3:
î
í
ì
>
<
=
1x si 0
1 si 1
)(
x
xf
T
La representación de esta función mediante una integral de Fourier
será:
0sen)()(
sen2
cos)()(
==
==
ò
ò
¥
¥-
¥
¥-
wvdvvfwB
w
w
wvdvvfwA
dw
w
wxw
xf ò
¥
=
0
cossen2
)(
p

9. 9
Si f(x) es una función par, entonces el coeficiente B(w) se anula y la
representación mediante la integral de Fourier es:
dwwxwAxf ò
¥
=
0
cos)(
1
)(
p
ò
¥
=
0
cos)(2)( wvdvvfwA
En cambio si f(x) es una función impar, el coeficiente A(w) se anula y la
representación mediante la integral de Fourier es:
dwwxwBxf ò
¥
=
0
sen)(
1
)(
p
ò
¥
=
0
sen)(2)( wvdvvfwB

10. 10
Ejemplo 4: Integrales de Laplace
Dada la función f(x) encontrar su representación en la integral de
Fourier:
)()( 0 si )( xfxfxexf
kx
=->=
-
Se puede demostrar que la representación buscada es:
ò
¥
-
+
==
0
22
cos2k
)( dw
wk
wx
exf
kx
p
Si f(-x)=-f(x) entonces:
ò
¥
-
+
==
0
22
sen2
)( dw
wk
wxw
exf
kx
p

11. 11
Partiendo de las expresiones de f(x) representada como una integral
de Fourier y su coeficientes A(w) y B(w) y usando la identidad
trigonométrica:
bababa sensencoscos)cos( +=-
Se encuentra la forma compleja de la integral de Fourier dada por:
òò
¥
¥-
¥
¥-
-
ú
û
ù
ê
ë
é
= dwdvevfxf
vxjw )(
)(
2
1
)(
p
Al realizar las respectivas manipulaciones algebraicas, se obtiene las
siguientes expresiones:

12. 12
ò
¥
¥-
= dwewCxf
jwx
)(
2
1
)(
p
ò
¥
¥-
-
= dvevfwC
jwv
)(
2
1
)(
p
A C(w) se le denomina la transformada de Fourier de f(x), comúnmente
se le llama la F[f(x)] o F(w); y f(x) se convierte en la transformada
inversa de Fourier de C(w):
La Transformada de Fourier es una herramienta matemática muy
utilizada dentro del análisis espectral de señales y posee algunas
propiedades que ser resumen a continuación.

13. 13