La integral definida

Trabajo que describe el concepto de integral definida, usos, y explicaciones a detalles de la aplicación de la misma en distintos campos de la ciencia.

1. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE VERACRUZ
ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO

ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL

PROFESOR ING. CARLOS MELESIO CARRILLO CONSUEGRA

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

TEMA: LA INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRANTES:
BASULTO ALMEIDA MAURICIO ALBERTO
JIMÉNEZ MENDOZA ANDRÉS GIOVANNI
LEAL HERNÁNDEZ ARLETTE
MARTÍNEZ SÁNCHEZ JOSÉ FRANCISCO
REYES LLANOS LUIS ARTURO

GRUPO:
602

FECHA DE ENTREGA:
VIERNES, 06 DE JUNIO DE 2014

2. INTRODUCCIÓN
Dentro del estudio del cálculo integral, un tema que tiene bastante importancia y
es necesario recalcar es la integral definida, debido a sus aplicaciones y su misma
concepción, esencial para el entendimiento de diversos términos matemáticos.
Además de ello, la integral definida cuenta con diversos elementos, parámetros y
lineamentos para poder ser aplicada dentro de las funciones, siendo el teorema
fundamental del cálculo una de ellas, por lo que en el siguiente proyecto
abordaremos de manera ordenada y sistemática cada una de esas partes
indispensables para lograr a comprender y a aplicar de la manera correcta esta
integral, y de esta manera, hacer fácil y sencillo el entendimiento de la misma,
además de abordar las diversas aplicaciones prácticas que tiene dando ejemplos
para hacer la explicación más clara y concisa.
Notación de la integral definida
Supongamos que es continua para . La integral definida de , de a
se escribe:




Y es el límite de las sumas izquierda o derecha, con subdivisiones de
cuando se hace arbitrariamente grande. En otras palabras,
























A cada una de esas sumas se les llama sumas de Riemann, a se le llama
integrando y a a y b se les llama limites de integración.
El Teorema Fundamental del Cálculo
Las dos grandes ramas del cálculo: el cálculo diferencial (de la mano del problema
de la recta tangente) y el cálculo integral (de la mano del problema del área);
ambos problemas tienen entre ellos una intima conexión, descubierta
independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que constituye el
llamado, con toda justicia, teorema fundamental del Cálculo.

3. Informalmente, el teorema afirma que la derivación y la integración (definida) son
operaciones mutuamente inversas. Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron
cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que muestra la Figura 1. Cuando
definimos la pendiente de la recta tangente, utilizamos el cociente
(pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de una región
bajo una curva, usamos el producto (area de un rectangulo). Así pues, en su
primer paso derivacion e integracion son operaciones inversas. El teorema
fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir
ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas.

Figura 1
Expresemos ahora el Teorema Fundamental del Cálculo:
Si es una función continua en el intervalo cerrado y es una primitiva de
en entonces,




Estrategia para usar el Teorema Fundamental del Cálculo
● Al aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo es conveniente la siguiente
notación.

4. Por ejemplo:



























● No es necesario agregar una constante de integración C en la primitiva, ya que:









● Se debe comprobar la continuidad de la función en el intervalo delimitado por los
límites de integración, esto es que:

Por ejemplo, si queremos determinar:








Primero debemos analizar el dominio del integrando, que como observamos, es
una función racional, por lo que el denominador debe ser distinto de 0, entonces,
el dominio queda definido como:





Y como nos damos cuenta, al analizar los límites de integración, observamos que:

Podemos comprobarlo efectuando la integral definida, de la siguiente forma:






















Como sabemos, el logaritmo natural de cero no existe, por lo tanto, tampoco existe
solución para esta integral definida, cosa que ya habíamos determinado al analizar
el dominio de la función junto con el intervalo de integración.
● Al aplicar el TFC a una función con valor absoluto, lo más recomendado es
hacer una descomposición de la función, como lo muestra el siguiente ejemplo:

5. Al aplicar la definición de valor absoluto vemos que,









De ahí que se pueda romper la integral en dos partes,































































Aplicaciones de la integral definida
Existe una diversidad enorme de aplicaciones de la integral definida en muchas
ciencias, el siguiente listado muestra algunas aplicaciones de la integral definida.
 Para determinar el área bajo una curva.
 Para determinar el área entre dos curvas.
 Para determinar el volumen de un sólido de revolución.
 Para calcula la longitud de arco, o longitud de una curva.
 Para calcular el valor promedio de una función.
 Para el cálculo del trabajo en física.
 Para la aplicación de la ley de Hooke en física.
 Para calcular el trabajo necesario para levantar un cable en física.
 Para el cálculo de la presión y la fuerza hidrostática en física.
 Para el cálculo de los momentos y centros de masa en física.
 Para calcular el excedente del consumidor en economía.
 Para calcular la circulación sanguínea en biología.
 Para calcular la capacidad cardiaca en biología.
 Para el cálculo de la probabilidad de que un valor se encuentre entre otros
dos valores.
 Para el cálculo de los valores promedio, en probabilidad.
 Para el cálculo de distribuciones normales en probabilidad.

6. Algunos ejemplos resueltos
~Trabajo~












Cuando una partícula está situada a una distancia de x pies del origen, una fuerza
de

actua sobre ella. ¿Cuánto trabajo se realiza al moverla de a
?




















Por lo tanto, el trabajo realizado es de 16.666 libras-pie.
~Ley de Hooke~
De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza necesaria para estirar un resorte x
metros más que su longitud natural es .
Una fuerza de 40 N se hace necesaria para sostener un resorte que ha sido
estirado desde su longitud natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. ¿Cuánto
trabajo es realizado para estirar el resorte de 15 cm a 18 cm?
Cuando el resorte se estira de 10 a 15 cm, la cantidad estirada es de 5 cm, que es
lo mismo que 0.05 m. Esto significa que , entonces,

Entonces y el trabajo realizado al estirar el resorte de 15 a 18 cm es,


















~Centro de masa~
El centro de masa de una placa está colocado en el punto , en donde,

















Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de radio r.

7. Primero colocamos el semicírculo como en
la figura de la izquierda para que




, y Aquí no
necesitamos encontrar , ya que, por el
principio de simetría, el centro de masa
debe estar sobre el eje y, de modo que
. El area de un semicirculo es





, entonces,

































































Por lo tanto el centro de masa está ubicado en



~Capacidad cardiaca~







Se emplea el método de dilución de colorante a fin de medir la respuesta o gasto
cardiaco inyectado 6 miligramos de colorante en la arteria pulmonar de un
paciente durante 12 segundos. Determina la capacidad cardiaca en litros por
minuto si la concentración de tinta es




.
Sustituimos los valores en la ecuación de la capacidad cardiaca.

8. ~Circulación sanguínea~






























































Calcula el flujo de sangre de una arteria humana normal. Supón que ,
, y

. (De acuerdo con estas unidades,
el flujo de sangre se mide en

por segundo).


















Área bajo una curva
Hallar el área de la región S que se encuentra bajo la curva de a a b.
Esto significa que S, ilustrada en la figura 2, está limitada por la grafica de una
función continua [donde ], las rectas verticales y , y el eje x.
Al estimar el área bajo una curva, se
puede hacer uso de rectángulos con la
misma base acomodados a lo largo del
intervalo , como se demuestra en el
siguiente ejemplo.


Figura 2
Use rectángulos para estimar el área bajo la parábola

de 0 a 1(la region
parabolica S ilustrada en la Figura 3).

9. Primero nótese que el área de S debe
estar entre 0 y 1 porque S está contenida
en un cuadrado con longitud 1 de lado,
pero podemos ciertamente mejorar esto.
Suponga que dividimos S en cuatro franjas
S1, S2, S3 y S4 trazando las rectas
verticales








como
en la figura (a).
Podemos aproximar cada franja por un
rectángulo cuya base es la misma que la
de la franja y cuya altura es igual que el
borde derecho de la franja [vea Figura (b)].




En otras palabras, las alturas de estos rectángulos son los valores de la función


en los puntos extremos derechos de los subintervalos


















.
Cada rectángulo tiene ancho de ¼ y las alturas son














. Si
hacemos R4 la suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación,
obtenemos


































De la figura (b) vemos que el área A de S es
menor que R4, de modo que,


En lugar de usar los rectángulos de la
Figura (b) podríamos usar los rectángulos

10. más pequeños de la Figura 5, cuyas alturas son los valores de f en los puntos
extremos izquierdos de los subintervalos. (El rectángulo de la extrema izquierda se
ha colapsado porque su altura es 0.) La suma de las áreas de estos rectángulos
de aproximación es




































Vemos que el área A de S es mayor que L4, de modo que

Sin embargo, ahora tenemos estimaciones superior e inferior para A (o S), por lo
que concluimos que

La exactitud del área aumenta conforme se vayan haciendo más subdivisiones n,
de esta forma, decimos que:

Para una función definida en el intervalo , si es continua en y
, el area A bajo la curva en esta dada por











Sin embargo, el sumatorio que aparece en el límite es conocido como suma de
Riemann y se puede expresar lo siguiente:

Dada la función , definida en el intervalo cerrado y una particion como la
definida para la suma de Riemann sobre dicho intervalo la integral definida esta
dada por











Ahora podemos calcular con exactitud el área bajo la curva explicada al principio;
primero habíamos concluido que

Efectuemos la integral definida para encontrar el valor exacto.



















Si nos damos cuenta, el valor obtenido cumple con la desigualdad obtenida
mediante los rectángulos.

Algo que se debe tomar en cuenta al aplicar la integral definida para obtener el
área bajo una curva son las siguientes reglas.

11. Si entonces





Si entonces





Realicemos algunos ejercicios para comprobar el uso de estas sencillas reglas.


Calcula el área de la región limitada por la curva

, el eje x, el
eje y y la recta

Puesto que el coeficiente de la

es positivo, la
curva es una parabola que se abre hacia arriba;
ademas, tenemos que si

, entonces
, o sea, y son las
intersecciones en x de , de donde podemos
esbozar su grafica, que aparece en la figura del
costado, conjuntamente con las regiones de las que
se va a calcular su área.

De acuerdo con la figura tenemos que





























Calculemos a continuación el valor del área de cada región

12. Calcula el área de la región limitada por la curva

, el eje x, el eje
y y la recta
Observando la grafica de la izquierda, nos
damos cuenta que la curva sobre la que se
obtendrá el área en el intervalo es positiva
en el mismo.
Por lo tanto, la formula que utilizaremos será la
siguiente.







Realizando las operaciones resulta


































Área entre dos curvas

Considere la región S que está entre las
dos curvas y y entre
las rectas verticales y donde
y son funciones continuas y
.

13. Así como hicimos para áreas bajo curvas, dividimos S en n franjas de anchos
iguales y luego aproximamos la i-ésima franja por medio de un rectángulo con
base y altura





(Vea la Figura 6 en la siguiente página. Si nos
parece, podríamos tomar todos los puntos muestrales de los puntos extremos
derechos, en cuyo caso



.) La suma de Riemann:










Es por tanto una aproximación a lo que intuitivamente consideramos como el área
de S.
Figura 6
Esta aproximación parece mejorar cada vez más cuando . Por tanto,
definimos el área A de la región S como el valor límite de la suma de las áreas de
estos rectángulos de aproximación.












Reconocemos el límite en la ecuación anterior como la integral definida de .
En consecuencia, tenemos la siguiente fórmula para el área.

El área A de la región acotada por las curvas , y y las rectas
y , donde y son continuas y es,






Resolvamos algunos problemas para reafirmar la aplicación de esta fórmula.

14. Encuentre el área de la región acotada arriba por

, acotada abajo por
y acotada a los lados por y .

La región se muestra en la figura
de la izquierda, la curva de
frontera superior es

y la
curva de frontera inferior es .
Entonces usamos la formula con


, , y .






































Encuentre el área de la región acotada por las parábolas

y

.

Primero encontramos los puntos
de intersección de las parábolas al
resolver sus ecuaciones
simultáneamente. Esto da




;

;


; de
modo que y . Los
puntos de intersección son (0,0) y
(1,1). De acuerdo a la grafica
observamos que la curva de
frontera superior es

y
la curva de frontera inferior es


.
Apliquemos la formula con


,

, y
.

15. Aplicaciones a las ciencias de lo económico-administrativo

Valor presente y futuro de un flujo constante

Cuando se revisan los pagos hechos a o por un individuo, por lo general se
imagina uno pagos discretos, esto es, hechos en determinados momentos en el
tiempo. Sin embargo, podemos imaginar que los pagos hechos por una empresa
son continuos. Por ejemplo, las utilidades ganadas por una gran corporación
llegan esencialmente durante todo el tiempo, por lo que se pueden representar por
un flujo o corriente de ingreso continuo. Como la rapidez con la que se gana la
utilidad puede variar de un momento a otro, el flujo de ingreso se describe con:


Observamos que es la tasa a la que se hacen depósitos. Sus unidades son
por ejemplo dólares por año, y que esa tasa depende del tiempo t, que por lo
general se mide en años a partir del presente.
El valor presente representa la cantidad de dinero que habría que depositar hoy en
una cuenta bancaria a interés, para igualar lo que se ganaría con el flujo de
ingreso.
El valor futuro representa la cantidad total de dinero obtenida depositando el flujo
de ingreso en una cuenta bancaria, dejándolo que gane intereses.













Ejemplo. Calcular el valor presente y futuro de un flujo constante de ingreso de
100 dólares por año durante un periodo de 20 años, suponiendo una tasa de
interés de 10% compuesto continuamente.

Solución. Hacemos y , entonces

16. Superávit del consumidor y del productor

El punto donde las curvas de las funciones de oferta y demanda se
cruzan se conoce como punto de equilibrio, dicho punto otorga el denominado
precio de equilibrio
.
El superávit del consumidor es la cantidad total de dinero ahorrado por los
consumidores por comprar al precio de equilibrio en lugar de comprar al precio
que hubieran estado dispuestos a pagar.





El superávit del productor es la cantidad de dinero gastado por los productores por
vender a precio de equilibrio en lugar de hacerlo al precio que hubieran estado
dispuestos a pagar.






Es muy importante recalcar que
es el valor positivo en el que la funcion de la
demanda se hace cero; y que
es el valor positivo en el que la función de la
oferta se hace cero.

Ejemplo. La demanda de un artículo que se vende a x dólares es ,
mientras que la de la oferta es . Calcula el superavit del consumidor y
del productor.

Solución. Calculemos primero el superávit del consumidor, obteniendo para dicho
objetivo el valor de
, para esto:



Ahora obtengamos el precio de equilibrio, entonces:



Ahora sustituimos:





















Para el superávit del productor obtengamos a

17. Excedente del consumidor
Una función de demanda representa las cantidades de un artículo que podrían
comprarse a varios precios. Si el precio del mercado es
y la correspondiente
demanda del mercado es
, entonces, aquellos consumidores que estuviesen
dispuestos a pagar un precio mayor que el de este mercado, ganan, por el hecho
de que el precio es solamente
.
El excedente del consumidor mide la riqueza económica desde el lado del
comprador.
Bajo ciertas hipótesis económicas, la ganancia del consumidor se representa por
el área situada bajo la curva de demanda y por encima de la recta
. Marshall
denomina a esta area excedente del consumidor y se evalúa de la siguiente forma:







Donde la función de demanda es , o también si la función de demanda es
entonces:





Y donde
es el valor de cuando .
Ejemplo. Si la función de demanda es

hallar el excedente del
consumidor si
.

18. Superávit de consumo según la función de suministro

La función de suministro
para un artículo da la relación entre el precio de
venta y el número de unidades que los fabricantes producirán a ese precio.
Para un precio más alto, los fabricantes producirán más unidades, así que
es
una funcion creciente de . Sea X la cantidad del artículo que se produce
actualmente, y sea
el precio actual.
Algunos vendedores estarían dispuestos a hacer y vender el producto por un
precio de venta menor y, por lo tanto reciben más que su precio mínimo. Este
exceso se llama superávit de consumo, el cual está dado por:





Ejemplo. Calcule el superávit de consumo para la función de suministro



al nivel de ventas .
Solución.
Consideremos y encontremos evaluando




Entonces.

19. Ley de Ingresos de Pareto
La Ley de Ingresos de Pareto expresa que el número de personas con ingresos
entre y es:





Donde A y k son constantes con y . El promedio de ingreso de estas
personas es:









Ejemplo. Calcule el número de personas con ingresos entre $3.00 y $5.00 dólares
para A=20 y k=2, y también el promedio de ingreso de estas personas.
Solución. Calculemos primero el valor de N con los valores otorgados, de la
siguiente forma.


























Ahora con la solución obtenida, calculemos el promedio de ingreso.

20. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

21. CONCLUSIONES
La integral definida es un tema de suma importancia dentro del cálculo integral y
de la matemática general, pues sus aplicaciones tienen alcances bastante
amplios, útiles y sumamente importante, en ramas y áreas como el aspecto
industrial, la resolución de problemas planteados, tanto de las matemáticas
propias como de la física y algunos conceptos de la misma, sean trabajo, presión,
fuerza hidrostática, momentos y centros de masa, entre otras; cosas que sin la
ayuda y aplicación de la integral definida serían demasiado complejas y aún,
imposibles de resolver.
Por ende, su estudio resulta bastante importante en su estudio y análisis, para
llegar a entender desde una perspectiva matemáticamente analítica cómo se
aplica y cómo funciona dentro del cálculo. Una herramienta indispensable.
Reyes Llanos Luis Arturo
Como una conclusión personal y a lo mejor un poco vaga, puedo opinar del tema
en general de la Integral Definida, que es muy útil en lo que se refiere a la vida que
llevamos día a día, ya que sus aplicaciones nos facilitan la existencia, las cuales
se mencionan en este informe, como por ejemplo: para calcular la circulación
sanguínea en biología, la capacidad cardiaca en biología, para el cálculo de los
valores promedio, en probabilidad, entre otros. Y sí, este tema también abarca
ciertas materias, tales como la física, economía, biología, probabilidad, entre otros.
Tal vez y a algunas personas se les haga un poco difícil, tanto el Cálculo
Diferencial como el Cálculo Integral, pero yo creo que con un poco de empeño,
dedicación y sobretodo paciencia, se puede llegar a comprender mejor las
aplicaciones del Cálculo. Partiendo a otro tema, el Teorema Fundamental del
Cálculo, como ya se expuso en el informe, este Teorema nos dice en pocas
palabras que la derivación y la integración son operaciones inversas, ya que si
integramos una función que es continua, y luego la derivamos, llegamos de nuevo
a la función original, no está de más mencionar que este Teorema fue desarrollado
por el matemático Isaac Barrow y que con los aportes de Isaac Newton y de
Gottfried Leibniz, este teorema pudo ser enunciado y demostrado.
Leal Hernández Arlette
La integral definida es una herramienta que revolucionó a las matemáticas y otras
ciencias en muchos aspectos, ya que es capaz de comprobar y resolver
problemas muy complejos que, sin ella, sería muy difícil hacerlo y no se tendría tal
exactitud que esta tiene.
Cabe destacar que se debe agradecer a las personas que contribuyeron y
aportaron al desarrollo de esta y reconocerles lo valioso que fue su aporte a la
historia.

22. En conclusión la integral definida es una de las herramientas más eficaces de
hacer cálculos no sólo de áreas, sino de volúmenes e infinidad de usos, puede
parecer compleja para algunos, y lo es, pero conociéndola y sabiendo aplicar
todas las reglas que se deben seguir, puede ser muy fácil de utilizarla y
desarrollarla.
Martínez Sánchez José Francisco
La integral definida, que se puede tomar una herramienta de calculo
importantísima no tan solo por sus usos actuales, si no por la gran influencia que
ha tenido en muchas otros tópicos de las matemáticas y física aplicadas a nivel
industrial, ya que al utilizarlas en el cálculo de áreas, volúmenes de distintas
regiones y sólidos de revolución, son de gran ayuda en las bases de distintas
ramas de las ciencias exactas, como análisis de estructuras, estabilidad y control,
mecánica de fluidos y dinámica entre muchas otras áreas donde se ven
involucradas las integrales definidas.
Basulto Almeida Mauricio Alberto
Sin duda, la integral definida es un tema muy importante del cálculo; ya que
resuelve una de las problemáticas que dieron origen a una rama del mismo, el
cálculo integral. Sabemos que puede ser un tema difícil de captar a la primera, ya
que no es sencillo aprenderse tantas formulas como las que aparecen aquí, pero
si es posible, con la dedicación, el esfuerzo, y principalmente, el gusto por el tema.
Conocer la importancia y aplicaciones de la integral definida en otras ramas de la
ciencia, nos ayuda también a darnos cuenta del peso que tiene el cálculo en la
ciencia, y del hecho de que, en cualquier lugar que estemos, estará presente.
Jiménez Mendoza Andrés Giovanni