La Integral Definida. Área Bajo La Curva.

En esta sección, repasamos el concepto integral definida, motivada por áreas bajo curvas y algunas de las propiedades. Definimos de manera rigurosa la integra como el límite de una suma de Riemann.

1. Cálculo Integral
La Integral Definida. Área Bajo La
Curva.
M. en C. Juliho Castillo
31 de enero de 2017
Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana
1

2. 1La Integral Definida. Área Bajo La Curva.
Notación “Sigma”
Área bajo la curva
Propiedades de la Integral Definida
Ejercicios Resueltos
2

3. La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
3

4. La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
Notación “Sigma”
4

5. La letra griegadenota adición repetida:
b
X
i=a
f(i) =f(a) +f(a+ 1) +:::+f(b);
siempre queab:
5

6. Ejemplo 1.1.
1
P
5
j=1j= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
2
P
3
i=0(2i+ 1) = 1 + 3 + 5 + 7
3
P
10
i=2i
2
= 2
2
+ 3
2
+:::+ 10
2
4
P
4
j=1cos(j) = cos+ cos 2+ cos 3+ cos 4:
6

7. Linealidad
Proposición 1.1.
b
X
i=a
cf(i) =c
b
X
i=a
f(i) (1.1)
b
X
i=a
f(i) +g(i) =
b
X
i=a
f(i) +
b
X
i=a
g(i) (1.2)
7

8. La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
Área bajo la curva
8

9. Seafuna función tal quef(x)0en el intervalo[a; b]:
9

10. Figura 1.1:Aproximación de área bajo la curva
10

11. Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).
1Dividimos el intervalo enNsubintervalos
a=x0< x1< ::: < xN=b:
2Definimos la longitud de cada intervalo[xi; xi+1]como
xi=xi+1xi:
3El área bajo la curva definida porfesta aproximada por
N
X
i=1
f(i)xi;
dondeies un punto en el intervalo[xi; xi+1]:
11

12. Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).
1Dividimos el intervalo enNsubintervalos
a=x0< x1< ::: < xN=b:
2Definimos la longitud de cada intervalo[xi; xi+1]como
xi=xi+1xi:
3El área bajo la curva definida porfesta aproximada por
N
X
i=1
f(i)xi;
dondeies un punto en el intervalo[xi; xi+1]:
11

13. Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).
1Dividimos el intervalo enNsubintervalos
a=x0< x1< ::: < xN=b:
2Definimos la longitud de cada intervalo[xi; xi+1]como
xi=xi+1xi:
3El área bajo la curva definida porfesta aproximada por
N
X
i=1
f(i)xi;
dondeies un punto en el intervalo[xi; xi+1]:
11

14. Una manera más concreta de construir una suma de Riemman
esfijando el tamaño del paso:
1Definimosh=
ba
N
;
2Escogemos
k=a+kh; k= 1;2; :::; N;
3La suma de Riemann correspondiente será
N
X
k=1
f(k)h=h(f(1) +:::+f(N)):
12

15. Una manera más concreta de construir una suma de Riemman
esfijando el tamaño del paso:
1Definimosh=
ba
N
;
2Escogemos
k=a+kh; k= 1;2; :::; N;
3La suma de Riemann correspondiente será
N
X
k=1
f(k)h=h(f(1) +:::+f(N)):
12

16. Una manera más concreta de construir una suma de Riemman
esfijando el tamaño del paso:
1Definimosh=
ba
N
;
2Escogemos
k=a+kh; k= 1;2; :::; N;
3La suma de Riemann correspondiente será
N
X
k=1
f(k)h=h(f(1) +:::+f(N)):
12

17. Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derecho
de cada intervalo:xk=a+kh;pero también podemos
escoger por ejemplo:
el extremo izquierdo:
k=a+ (k1)h;
o el punto medio de cada intervalo:
k=a+

k
1
2

h;
13

18. Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derecho
de cada intervalo:xk=a+kh;pero también podemos
escoger por ejemplo:
el extremo izquierdo:
k=a+ (k1)h;
o el punto medio de cada intervalo:
k=a+

k
1
2

h;
13

19. Si en un intervalo[a; b]; f(x)<0;entonces la suma anterior
aproxima el áreasobre la curva.
Figura 1.2:Aproximación de área bajo la curva
14

20. Por esta razón, cuando no distinguimos cuandof(x)cambia
de signo en un intervalo, hablamos delárea con signo.
Figura 1.3:Aproximación de área bajo la curva
15

21. Definición 1.1.
La integral definida defen el intervalo[a; b]está dada por por
Z
b
a
f(x)dx= lm
N!1

N
X
i=1
f(i)xi
!
;
siempre y cuando el límite exista.
Si el límite existe, diremos quefes integrable (en[a; b]).
La suma está definida como en el algoritmo1.1y se conoce
comosuma de Riemman.
16

22. Definición 1.1.
La integral definida defen el intervalo[a; b]está dada por por
Z
b
a
f(x)dx= lm
N!1

N
X
i=1
f(i)xi
!
;
siempre y cuando el límite exista.
Si el límite existe, diremos quefes integrable (en[a; b]).La suma está definida como en el algoritmo1.1y se conoce
comosuma de Riemman.
16

23. Definición 1.1.
La integral definida defen el intervalo[a; b]está dada por por
Z
b
a
f(x)dx= lm
N!1

N
X
i=1
f(i)xi
!
;
siempre y cuando el límite exista.
Si el límite existe, diremos quefes integrable (en[a; b]).La suma está definida como en el algoritmo1.1y se conoce
comosuma de Riemman.
16

24. Ejemplo 1.2.
Calcule
Z
5
1
1dx:
17

25. Ejemplo 1.3.
Calcule
Z
5
0
xdx:
18

26. Ejemplo 1.4.
Calcule
Z
5
1
xdx:
19

27. Proposición 1.2.
Z
b
a
1dx=ba (1.3)
Z
b
a
xdx=
b
2
2

a
2
2
(1.4)
20

28. Ejemplo 1.5.
Aproxime la integral
Z
b
a
1
p
2
e

1
2
x
2
dx
utilizando el algoritmo1.1fijando el tamaño del paso, con
a=1; b= 1; N= 5y usando el extremo derecho de cada
intervalo.
21

29. Evaluación Continua 1.
Aproxime la integral del ejemplo1.5cuando:
1a= 0; b= 3; N= 4;
2a=2; b= 2; N= 8;
3a=3; b= 3; N= 16:
22

30. La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
Propiedades de la Integral Definida
23

31. Propiedades: Linealidad
Z
b
a
cf(x)dx=c
Z
b
a
f(x)dx (1.5)
Z
b
a
(f(x) +g(x))dx
=
Z
b
a
f(x)dx+
Z
b
a
g(x)dx (1.6)
24

32. Propiedades: Linealidad
Z
b
a
cf(x)dx=c
Z
b
a
f(x)dx (1.5)
Z
b
a
(f(x) +g(x))dx=
Z
b
a
f(x)dx+
Z
b
a
g(x)dx (1.6)
24

33. Propiedades: Límites
Z
c
a
f(x)dx=
Z
b
a
f(x)dx+
Z
c
b
f(x)dx (1.7)
Z
a
a
f(x)dx
= 0 (1.8)
Z
b
a
f(x)dx
=
Z
a
b
f(x)dx (1.9)
25

34. Propiedades: Límites
Z
c
a
f(x)dx=
Z
b
a
f(x)dx+
Z
c
b
f(x)dx (1.7)
Z
a
a
f(x)dx= 0 (1.8)
Z
b
a
f(x)dx=
Z
a
b
f(x)dx (1.9)
25

35. Propiedades: Límites
Z
c
a
f(x)dx=
Z
b
a
f(x)dx+
Z
c
b
f(x)dx (1.7)
Z
a
a
f(x)dx= 0 (1.8)
Z
b
a
f(x)dx=
Z
a
b
f(x)dx (1.9)
25

36. La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
Ejercicios Resueltos
26

37. Ejercicio Resuelto 1.
Supongamos quefygson integrables en[a; b]:Demostrar
que:
(a)Sif(x)0en[a; b];entonces
R
b
a
f(x)dx0:
(b)Sif(x)g(x)en[a; b];entonces
Z
b
a
f(x)dx
Z
b
a
g(x)dx:
(c)Simf(x)Mpara todox2[a; b];entonces
m(ba)
Z
b
a
f(x)dxM(ba):
27

38. Ejercicio Resuelto 2.
Evalue
Z
1
0
x
2
dx
a partir de la definición.
28

39. Ejercicio Resuelto 3.
Demuestre la fórmula
n
X
k=1
k=
n(n+ 1)
2
:
29

40. Bibliografía
Las notas de estas sección se basaron en el capítulo 23``The
Definite Integral. Area Under a Curve''de nuestro
libro de texto``Ayres, F. and Mendelson,
E.;``Calculus''; Schaum's Outlines, McGraw Hill;
5th Edition.''
30