La parábola

Definición, elementos, gráfica y ecuaciones

1. LA PARÁBOLA

2. DEFINICIÓN:
Laparábolaesunacurvaabiertayplana,
quesedefinecomoellugargeométrico
delospuntosdelplanoqueequidistande
unpuntodenominadofoco,yunarecta
denominadadirectriz,observandola
figura,FP=PQ=r.

3. Elejedelaparábolaeslarectaperpendicular
aladirectriz,quepasaporelfocoF.La
distanciaFD,delfocoaladirectriz,se
denominaparámetrodelaparábola,elpunto
mediodelsegmentoFD,eselpuntoV,quese
denominavérticedelaparábola.

4. ELEMENTOS
•ElpuntoFsedenominafoco
•Larectalesladirectriz
•Larectaquecontieneelfocoyesperpendicularala
directrizsellamaejefocaloejedesimetríaE.
•Elpuntodecortedelaparábolaconelejesedenomina
vérticeV,yequidistadelfocoyladirectriz.
•Sedenominaparámetroaladistanciadelfocoala
directrizyseexpresacomo2p.
•LacuerdaABquepasaporelfocoyesperpendicularal
ejefocalsellamaladorecto

5. ECUACIÓN CANONICA DE LA PARÁBOLA
Supongamos que F tiene coordenadas (0, p) y la recta d tiene
ecuación y = − p con p > 0. Observe la gráfica:
Observe que d (P,F) = (x − 0)2 + ( y − p)2 y que d (P,l) = y + p .
Igualando distancias y resolviendo:
Observe que d (P,F) =[ (x − 0)
2
+ ( y − p)
2
] y que d (P,l) = y + p.
Igualando distancias y resolviendo:
d(P,F) = d (P,l)
[ (x − 0)
2
+ ( y − p)
2
] = y + p
([ (x − 0)
2
+ ( y − p)
2
])
2
= (y + p)
2
x
2
+ y
2
–2py + p
2
= y
2
+ 2py + p
2
x
2
= 4py
Observe que para la parábola anterior el eje focal es el eje y , el vértice es el
punto (0,0) y además que la parábola es cóncava hacia arriba. Se denomina
parábola vertical (eje y)
p<0abrehaciaarriba
p>0abrehaciaabajo

6. ECUACIÓN CANONICA PARÁBOLA HORIZONTAL (EJE
X) CON VÉRTICE (0,0)
y²=4px
Vértice(0,0)
Parahallarelfoco:
F=(p,0)
Parahallarladirectriz:
x=-p
p<0abrealaizquierda
p>0abrealaderecha

7. ECUACIÓN CANONICA PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE (H,K)
Sisedesplazaunaparábolaconvérticeenel
origenhunidadesdemanerahorizontaly
luegokunidadesdemaneravertical,elresultadodeesto
esunaparábolaconvérticeen(h,k)yejedesimetría
paraleloaunodelosejescoordenados.
Siconsideramoslaecuacióny²=4pxyreemplazamos
xporx-hyypory-ktenemos
(x-h)²=4p(y-k)²
Conestaecuaciónsehallaelfoco:(h,k+p)
Conestaladirectriz:Y=k-p
p<0abrehaciaabajo
p>0abrehaciaarriba

8. ECUACIÓN CANONICA PARÁBOLA HORIZONTAL CON VÉRTICE (H,K)
Sisedesplazaunaparábolaconvérticeenel
origenhunidadesdemanerahorizontalyluegokunidades
demaneravertical,elresultadodeestoesunaparábola
convérticeen(h,k)yejedesimetríaparaleloaunodelos
ejescoordenados.
Siconsideramoslaecuacióny²=4pxyreemplazamosx
porx-hyypory-ktenemos
(y-k)²=4p(x-h)
Parahallarelfoco:
F=(h+p,k)
Parahallarladirectriz:
x=h-p
p<0abrealaizquierda
p>0abrealaderecha

9. APLICACIONES PRÁCTICAS
Lasaplicacionesprácticassonmuchas:lasantenas
satelitalesyradiotelescopiosaprovechanelprincipio
concentrandoseñalesrecibidasdesdeunemisor
lejanoenunreceptorcolocadoenlaposicióndel
foco.
Laconcentracióndelaradiaciónsolarenunpunto,
medianteunreflectorparabólicotienesuaplicación
enpequeñascocinassolaresygrandescentrales
captadorasdeenergíasolar.

10. EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL Y ARQUITECTÓNICO DE
PUENTES

11. CONSTRUCCIÓN PLEGANDO PAPEL
https://www.youtube.com/watch?v=UDgMlSlDSEw