LA SEZIONE AUREA - Rapporto di Fibonacci .ppt

La sezione aurea Rapporto di Fibonacci

1. LA SEZIONE AUREA

2. Un po’ di storia…

Leonardo Bonaccio, detto poi
Fibonacci da Filius Bonaccii, nasce a
Pisa nel 1175; figlio di un
commerciante, aiuta il padre a gestire
un emporio in Algeria, dove
approfondisce lo studio della
matematica araba

3. 
Leonardo Pisano nel
1202 scrive il Liber
Abaci, “manuale per
far di conto”, in cui
si raccomanda l’uso
delle cifre arabe per
risolvere i problemi
della vita quotidiana

Problema dei conigli

4. La successione di Fibonacci

Dal problema dei conigli nacque la s.
costruita in modo che ogni termine è
uguale alla somma dei due numeri
immediatamente precedenti

Facendo il rapporto tra due numeri
consecutivi si avvicina a 0,618

5. Arriviamo alla sezione aurea
Dato un segmento di lunghezza 1, sia a la
parte maggiore e b la minore: a è la sezione
aurea del segmento se è media proporzionale
tra b e il segmento stesso, cioè:
b:a=a:1
Posto a=x e b=1-x si ottiene:
(1-x):x=x:1, da cui risolvendo la proporzione:
cioè ,
Risolvendo l’equazione si ottiene
Prendendo la soluzione con il “+” si trova
x=0,618…, cioè la sezione aurea
xx1
2
01
2
xx
2
51
x

6. Costruzione geometrica

7. La s.a. in geometria
Triangoli isosceli e poligoni regolari

AC=bisettrice di MAB 
AMC e ABC isosceli, con
BAC=36°, AB=AC=MC  MC
sezione aurea di MB

Tracciando la bisettrice del
nuovo angolo di 72° si
ripete il procedimento
trovando le varie sezioni
auree dei vari triangoli

Con 10 triangoli AMB si
costruisce un decagono
regolare, in cui il raggio del
cerchi circoscritto , rispetto
al lato è la sezione aurea

8. La s.a. in geometria
Triangoli isosceli e poligoni regolari
Collegando
alternativamente i
vertici del decagono
regolare si ottiene il
pentagono regolare in
cui gli angoli al centro
che sottendono i lati
sono 72°  ACB=36°
AD incontra BC in E 
AE e ED sono in
rapporto aureo

9. La s.a. in geometria
La stella a 5 punte

Le diagonali del pentagono
determinano la stella a 5 punte

La “G” posta spesso al centro si
riferisce al Grande Geometra
dell’Universo che regola tutto
secondo la misura, il peso e il tempo

Tale simbolo esisteva tra gli antichi
Indù, nella tradizione ebraica (sigillo
di Salomone)

Ai tempi di Pitagora aveva una
misteriosa considerazione (si ritrova
anche sui muri di Pompei)

Nel Medioevo era detto “piede di
strega” e le si attribuivano poteri
diabolici

In ambito massonico è ottenuto
considerando la squadra, il compasso
e la G

10. La s.a. in geometria
La spirale logaritmica

La crescita del raggio per unità
angolare è proporzionale al
raggio  la distanza tra le
volute aumenta continuamente

Quando MA, MB, MC formano
angoli uguali tra loro 
MA:MB=MB:MC  si ottiene la
sezione aurea se la cost. di
proporzionalità è tale che ogni
raggio venga diviso da tre
volute susseguentisi in due
parti che stanno tra loro come
0,618:1

11. La s.a. in geometria
La spirale logaritmica

In 3 dimensioni facendo
crescere la nuova
coordinata (altezza)
secondo la stessa legge
applicata al raggio 
spirale logaritmica
volumetrica

12. La s.a. in geometria
Il rettangolo aureo

Un rettangolo è detto aureo se i suoi lati sono in rapporto aureo.

I rettangoli aurei sono caratterizzati da una particolare proprietà: se si
scompongono in un quadrato e un rettangolo, quest’ultimo sarà a sua volta
necessariamente un rettangolo aureo, simile al rettangolo di partenza.

Tale procedimento può quindi essere reiterato, arrivando a costruire una
successione di rettangoli aurei e una di quadrati aventi lati in rapporto
aureo.

Questa regolarità è dovuta alla particolare successione che si viene a creare
tra le lunghezze dei lati dei rettangoli via via ottenuti.

13. La s.a. in geometria
Il rettangolo aureo

Tracciando un arco di circonferenza all’interno di
ciascun quadrato si ottiene la spirale aurea, che
approssima molto bene la spirale logaritmica o
equiangolare: ingrandita o ridotta prosegue
perfettamente la linea della spirale tracciata.

14. La s.a. in geometria
Il rettangolo aureo
Il rettangolo aureo
possiede un interessante
legame con la geometria
solida: i vertici di tre
rettangoli aurei congruenti
che si intersecano
perpendicolarmente nello
spazio sono i vertici di un
icosaedro regolare (e
quindi anche punti centrali
delle facce del poliedro
duale dell’icosaedro, il
dodecaedro regolare).

15. La s.a. in geometria
Margini di tolleranza

Normalmente un rapporto aureo non è
mai esattamente 1:0,618

Per trovare il margine consentito per poter
parlare ancora di s.a. si ricorre alla teoria
degli errori, facendo più misurazioni,
calcolando la media e lo scarto quadratico
medio (es. foglie di rosa)

Nel caso di un solo oggetto (es. quadro)
non è possibile seguire questa via  si
esegue una sola misurazione, valutata in
base al risultato estetico

16. La s.a. in algebra
Sue rappresentazioni
La s.a. è rappresentabile mediante frazioni
continue
DEF: una frazione si dice continua se è
rappresentabile nella forma

17. La s.a. in algebra
Sue rappresentazioni
Ogni n° razionale si può esprimere come
frazione continua limitata
Ogni n° irrazionale si può esprimere come
frazione continua illimitata
Esempi:

18. La s.a. in algebra
Sue rappresentazioni
Altra rappresentazione della s.a. è

i cui primi troncamenti sono 1, 1.414, 1.554, 1.598,
1.612, 1.618, 1.617, 1.618

19. La s.a. in algebra
Sue rappresentazioni
La s. a. si può quindi
esprimere come:
Troncando tale frazione ai
vari “+” si ottengono le
frazioni:
cioè: 1, 2, 1.5, 1.667, 1.6,
1.623….
Numeratori e denominatori
sono n° di Fibonacci la
s.a. a sua volta genera i n°
di Fibonacci
....
8
13
5
8
3
5
2
3
1
2
1
1

20. La s.a. in fisica
Vibrazioni e suoni
Una corda tesa fissata a due estremità (nodi), fatta
vibrare, mostra vibrazioni più ampie al centro
(ventre); la distanza tra due nodi è 1/2 lunghezza
d’onda (L)
La vibrazione provoca un suono; il n° di vibrazioni
ne determina l’altezza (dal grave all’acuto)
Lf=v (f=frequenza, v=velocità)  minore è L,
maggiore è f  suono più acuto
Quando 2 corde hanno lo stesso n° di vibrazioni e
ne facciamo vibrare una sola  l’altra si mette a
vibrare assieme  risonanza

21. La s.a. in fisica
Suono e udito umano

La distanza tra un do e il successivo = OTTAVA

Un gruppo di 8 note = SCALA

Toni: do-re, re-mi, fa-sol, sol-la, la-si

Semitoni: mi-fa, si-do

1 scala completa= 12 semitoni che si
susseguono con la formula


Il n° di vibrazioni dei semitoni forma una
proporzione continua e
.......2T 2
12
23
12
12
 TTT
113
2TT
618,1:1::618,02
17991
128
 TTTT

22. La s.a. in fisica
Suono e udito umano

La s.a. deve essere presente anche
nell’apparato uditivo e su di essa si deve
basare la costruzione degli strumenti musicali

Un violino è contenibile in 4 pentagoni i cui lati
fungono da tangenti

Si ritrova la Divina proporzione in diversi brani
musicali, che si possono suddividere in 3 parti ,
a loro volta suddivisibili in sottoparti il cui
rapporto richiama la s.a.

E’ difficile pensare che compositori vissuti in
epoche diverse abbiano conosciuto le leggi
della s.a. così da applicarla volutamente.
Piuttosto si pensa che lo spirito umano sia
naturalmente e inconsapevolmente sensibile
all’armonia della s.a.

23. La s.a. in fisica
Suono e udito umano

Adalbert Goeringer
costruì un
compasso col quale
misurare la s.a.

E divide BD in base
alla s.a., qualunque
sia la distanza tra B
e D

24. La s.a. in botanica
La successione di Fibonacci nel mondo
vegetale
La crescita avviene
mediante divisione delle
cellule  le dimensioni
fondamentali devono
presentarsi come la s. di
F.
Misurando lo stelo da un
germoglio all’altro
AB:BC:CD:DE
Questo vale per l’intera
ramificazione

25. La s.a. in botanica
La successione di Fibonacci nel mondo
vegetale

26. La s.a. in botanica
La successione di Fibonacci nel mondo
vegetale

Anche la lunghezza
e la larghezza della
foglia di una rosa
sono in rapporto
aureo

27. La s.a. in botanica
La successione di Fibonacci nel mondo
vegetale

In un piumino la
lunghezza degli assi
laterali sono tra loro in
rapporto come i n° della
s. di F. ed, essendo
sistemati ad elica, la loro
proiezione su un piano
dà la spirale logaritmica

28. La s.a. in botanica
La successione di Fibonacci nel mondo
vegetale

La foglia del pioppo
è un pentagono

Il n° delle foglie di
un cactus
ammonta a 5, 8 o
13

29. La s.a. in botanica
La successione di Fibonacci nel mondo
vegetale

Il girasole
riproduce la spirale
logaritmica nella
disposizione dei
semi

30. La s.a. in zoologia
L’uomo: animale “proporzionato”
La scienza delle
proporzioni dell’uomo era
già nota agli scultori della
Grecia e della Roma antica
Vitruvio. L’uomo, se in piedi
con braccia distese in
orizzontale e gambe
chiuse, può essere inscritto
in un cerchio; la lunghezza
del corpo viene tagliata
dalla vita in due segmenti
di cui il più lunga è una s.a.

31. La s.a. in zoologia
L’uomo: animale “proporzionato”

Se in piedi a gambe
divaricate e braccia
leggermente
inclinate verso il
basso può essere
contenuto in un
pentagono
regolare

32. La s.a. in zoologia
L’uomo: animale “proporzionato”

Con braccia e mani
pendenti la punta del dito
medio divide la lunghezza
totale, determinando la
sezione aurea

Le spalle e i genitali
dividono la lunghezza
totale in tre parti che
stanno in rapporto 3:5:8

33. La s.a. in zoologia
L’uomo: animale “proporzionato”

Anche Policleto (420 a.C.)
affermava che nell’uomo
perfetto la lunghezza del
corpo è divisa dai fianchi
seconda la s.a. (Canone)

Il r.a si ritrova in:

distanza tra genitali e
laringe tagliata
dall’ombelico

quella tra testa e ombelico
tagliata dalla laringe

distanza tra spalle e punta
del dito medio, divisa dal
polso

distanza tra punto della
circonferenza massima
della coscia e la pianta dei
piedi, divisa dal ginocchio

34. La s.a. in zoologia
L’uomo: animale “proporzionato”

La fronte divide
l’altezza totale del capo
determinando la s.a.

La fronte cd, il naso ce
e la parte inferiore del
viso cf sono della
stessa lunghezza

La bocca divide la
parte inferiore del viso
determinando la s.a.

35. La s.a. in zoologia
L’uomo: animale “proporzionato”

Le taglie devono coprire tutte le
dimensioni esistenti e devono essere
realizzate in modo che si possano
ottenere misure intermedie

Si è trovato che il peso ha una
correlazione più stretta con la
“larghezza” di una persona

36. La s.a. in zoologia
Misurazioni nel regno animale
Gazzella:
la lunghezza della schiena
è divisa secondo il r.a. dal
groppone
l’altezza della schiena dalle
parti genitali
l’altezza globale dal garrese
la lunghezza della testa
dall’occhio

37. La s.a. in zoologia
Misurazioni nel regno animale
Pesce persico:
la pinna B’ (in
punta) divide la
lunghezza totale
determinando la
s.a.
lo stesso vale per
la pinna caudale

38. La s.a. in zoologia
Misurazioni nel regno animale
Farfalle:
ad ali dispiegate
l’altezza totale è
divisa dalla testa
e l’altezza del
corpo dal punto
che separa il
torace dalla
parte posteriore

39. La s.a. in zoologia
Misurazioni nel regno animale

40. La s.a. in zoologia
Misurazioni nel regno animale

41. La s.a. nelle arti decorative
Anfora greca (IV-III se.
a.C.):
diametro maggiore :
diametro collo = 1: 0,618
il listello all’altezza dei
manici divide l’altezza
totale in proporzione
aurea, che si ritrova
anche tra la fascia
decorata a figure e la
parte superiore del vaso

42. La s.a. nelle arti decorative
Rosone della
Cattedrale di
Amiens:
sfrutta il principio
compositivo del
decagono regolare

43. La s.a. nelle arti decorative
Archi a sesto
acuto:
ricorrono a
triangoli isosceli
con angolo al
vertice di 36°

44. La s.a. nelle arti decorative
Capitello ionico:
il motivo principale
è composto da 2
spirali logaritmiche

45. La s.a. in architettura
Partenone:
la pianta del Partenone
di Atene è un rettangolo
con lati di dimensioni tali
che la lunghezza sia pari
alla radice di 5 volte la
larghezza, mentre
nell'architrave in facciata
il rettangolo aureo è
ripetuto più volte.
lungh.:largh.=1:0,618
il timpano è un triangolo
isoscele con angolo al
vertice di 108°

46. La s.a. in architettura
Arco di Costantino:
fu costruito nel 313 d.C.
l'altezza dell'arco divide
l'altezza totale secondo
la sezione aurea, mentre
i due archi più piccoli
giocano lo stesso ruolo
nella distanza tra la base
e il livello inferiore

47. La s.a. in architettura
Cattedrale di
Friburgo:
è riprodotta la
successione di
Fibonacci nei
rapporti delle altezze

48. La s.a. in architettura
Notre Dame:
nella sua
progettazione sono
state utilizzate le
proporzioni del
rettangolo aureo.

49. La s.a. in architettura

Anche nell’architettura del Medio
Oriente compaiono soluzioni
analoghe fatti “culturali” così
distanti in spazio e tempo si sono
verificati per l’esistenza di un
principio “naturale” comune

50. La s.a. in pittura
Dürer
nella
rappresentazione di
un panorama si
ottiene un risultato
più soddisfacente
quando l’orizzonte
divide l’altezza del
quadro secondo la
s.a.

51. La s.a. in pittura
Gerard Dou
(Scuola serale)
la fiamma della
candela divide il
quadro in altezza
e in larghezza
secondo r.a.

52. La s.a. in pittura
Rembrandt (I
sindaci della
corporazione della
lana)
La testa del
personaggio
principale svolge la
stessa funzione della
candela di Dou

53. La s.a. in pittura
Leonardo (La Gioconda)
il rapporto aureo è stato
individuato:
nella disposizione del
quadro
nelle dimensioni del viso
nell’area che va dal collo a
sopra le mani
in quella che va dalla
scollatura dell’abito fino a
sotto le mani.

54. La s.a. in pittura
Leonardo (L’ultima cena)
Gesù, il solo personaggio veramente divino,
è dipinto con le proporzioni divine, ed è
racchiuso in un rettangolo aureo

55. La s.a. in pittura
Botticelli (La Venere)
misurando l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza
complessiva il loro rapporto risulterà 0.618, così anche il
rapporto tra  la distanza tra il collo del femore e il ginocchio
e la lunghezza dell’intera gamba o anche il rapporto tra il
gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del braccio.

56. La s.a. in pittura
Mondrian
l'intero dipinto è basato
sull'accostamento di quadrati e
rettangoli aurei

57. La s.a. in pittura
Seurat (La parade du cirq)
impiega varie sezioni auree alcune delle
quali evidenziate in figura.

58. La s.a. nei formati della carta
Fino a qualche decennio fa la scelta dei
formati era libera, anche se le dimensioni
erano state ufficialmente fissate
Cinquant’anni fa il berlinese Ostwald
presentò il modello di un formato unitario
con rapporto costante tra lunghezza e
larghezza ( ), anche in caso di piegatura
In questo modo, passando da un formato
più grande a uno più piccolo non si
avevano scarti
2

59. La s.a. nei formati della carta
Si partì da un foglio di 1 metro
quadrato lungo 1189 mm e
largo 841 mm, detto formato
unitario 0
Il formato unitatio 1 aveva
dimensioni 841 x 584 mm e
una superficie di 0,5 metri
quadrati
Il formato unitario 2 era 584 x
420 mm e aveva una superficie
di 0,25 metri quadrati…
Per ogni formato si calcola
quanti fogli stanno in 1 metro
quadrato

60. La s.a. nei formati della carta
Disponendo uno
accanto all’altro il
formato in folio di 34,5 x
21,5 cm, il formato
unitario 4 di 29,5 x 21
cm e il formato in
quarto di 28 x 22 cm, il
senso estetico è
soddisfatto soprattutto
dal formato in folio che
più si avvicina col suo
rapporto di 1,60 alla
s.a.

61. La s.a. nei formati della carta
Dürer nella
realizzazione del libro
delle preghiere
dell’Imperatore
Massimiliano I
dispose testo e
decorazioni laterali
nel rispetto del
rapporto tra
lunghezza e larghezza

62. La s.a. nei formati della carta
Nelle edizioni d’arte le
dimensioni della carta e
della porzione stampata
devono stare tra loro in
un rapporto che si ottiene
tracciando la diagonale
secondo il principio della
sezione aurea. Ad es. su
un foglio 21 x 13 si può
occupare con la stampa
una porzione 13 x 8 in
modo che bordi superiori
e inferiori diano valori
della successione di
Fibonacci, 3 e 5

63. La s.a. nei formati della carta
La parte inferiore deve
essere più larga di quella
superiore perché è da
quella parte che il lettore
regge il libro
I margini misurano 2.5,
la metà di 5
Accostando due facciate
si può far risaltare la s.a.
attribuendo ai margini
esterni 3 e a quelli interni
2